Tópico da lição: “A posição relativa de dois círculos. A posição relativa de dois círculos em um plano A posição relativa de dois círculos

Sejam os círculos definidos por um vetor da origem ao centro e o raio deste círculo.

Considere os círculos A e B com raios Ra e Rb e vetores de raio (vetor para o centro) a e b. Além disso, Oa e Ob são seus centros. Sem perda de generalidade, assumiremos que Ra > Rb.

Então as seguintes condições são satisfeitas:

Pontos de intersecção de dois círculos

Suponha que A e B se cruzem em dois pontos. Vamos encontrar esses pontos de intersecção.

Para fazer isso, um vetor de a a um ponto P, que está no círculo A e está em OaOb. Para fazer isso, você precisa pegar o vetor b - a, que será o vetor entre os dois centros, normalizá-lo (substituí-lo por um vetor unitário codirecional) e multiplicá-lo por Ra. Denotamos o vetor resultante como p. Esta configuração pode ser vista na Fig. 6

Arroz. 6. Vetores a, b, pe onde moram.

Denotemos i1 e i2 como vetores de a até os pontos de intersecção I1 e I2 de dois círculos. Torna-se óbvio que i1 e i2 são obtidos por rotação de p. Porque conhecemos todos os lados dos triângulos OaI1Ob e OaI2Ob (Raio e distância entre centros), podemos obter esse ângulo fi, girar o vetor p em uma direção dará I1, e na outra I2.

De acordo com o teorema do cosseno, é igual a:

Se você girar p por fi, obterá i1 ou i2, dependendo de como você gira. A seguir, o vetor i1 ou i2 deve ser adicionado a a para obter o ponto de intersecção

Este método funcionará mesmo que o centro de um círculo esteja dentro do outro. Mas aí o vetor p definitivamente terá que ser especificado na direção de a para b, que foi o que fizemos. Se você construir p com base em outro círculo, nada resultará disso

Bem, para concluir, um fato deve ser mencionado: se os círculos se tocam, então é fácil verificar que P é o ponto de contato (isso vale tanto para o contato interno quanto para o externo).
Aqui você pode ver a visualização (você precisa clicar para iniciá-la).

Este método funciona, mas em vez do ângulo de rotação, você pode calcular seu cosseno, e através dele o seno, e então usá-los ao girar o vetor. Isso simplificará significativamente os cálculos, eliminando o código das funções trigonométricas.

Classe 7G, ​​Z

Tópico da lição: “A posição relativa de dois círculos”
Objetivo: conhecer possíveis casos de posição relativa de dois círculos; aplicar conhecimentos na resolução de problemas.

Objetivos: Educacionais: facilitar a criação e consolidação nos alunos de uma representação visual de possíveis casos de disposição de dois círculos. Os alunos serão capazes de:

Estabeleça uma ligação entre as posições relativas dos círculos, seus raios e a distância entre seus centros;

Analise um desenho geométrico e modifique-o mentalmente,

Desenvolva a imaginação planimétrica.

Os alunos serão capazes de aplicar conhecimentos teóricos à resolução de problemas.

Tipo de aula: aula de introdução e consolidação de novos conhecimentos sobre a matéria.

Equipamento: apresentação para a aula; bússola, régua, lápis e livro didático para cada aluno.

Tutorial: . “Geometria 7ª série”, Almaty “Atamura” 2012

Durante as aulas.

Tempo de organização. Verificando o dever de casa.

3. Atualização de conhecimentos básicos.

Repita as definições de círculo, círculo, raio, diâmetro, corda, distância de um ponto a uma linha reta.

1) 1) Que casos de localização de uma linha e de um círculo você conhece?

2) Qual reta é chamada de tangente?

3) Qual reta é chamada de secante?

4) Teorema sobre o diâmetro perpendicular à corda?

5) Como fica a tangente em relação ao raio do círculo?

6) Preencha a tabela (nos cartões).

Os alunos, sob orientação do professor, resolvem e analisam problemas.

1) A linha a é uma tangente a um círculo com centro O. O ponto A é dado na linha a. O ângulo entre a tangente e o segmento OA é 300. Encontre o comprimento do segmento OA se o raio for 2,5 m.

2) Determine a posição relativa da linha e do círculo se:

1. R=16cm, d=12cm 2. R=5cm, d=4,2cm 3. R=7,2dm, d=3,7dm 4. R=8 cm, d=1,2dm 5. R=5 cm, d= 50mm

a) uma reta e um círculo não possuem pontos comuns;

b) a reta é tangente ao círculo;

c) uma linha reta intercepta um círculo.

d é a distância do centro do círculo à linha reta, R é o raio do círculo.

3) O que pode ser dito sobre a posição relativa da reta e do círculo se o diâmetro do círculo for 10,3 cm e a distância do centro do círculo à reta for 4,15 cm; 2 dm; 103mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Dado um círculo com centro O e ponto A. Onde está localizado o ponto A se o raio do círculo for 7 cm e o comprimento do segmento OA for: a) 4 cm; b) 10cm; c) 70 mm.

4. Juntamente com os alunos, descubra o tema da aula e formule os objetivos da aula.

5. Introdução de novo material.

Trabalho prático em grupo.

Construa 3 círculos. Para cada círculo, construa outro círculo de modo que 1) 2 círculos não se cruzem, 2) 2 círculos se toquem, 3) dois círculos se cruzem. Encontre o raio de cada círculo e a distância entre os centros dos círculos e compare os resultados. O que pode ser concluído?
2) Resuma e anote em um caderno os casos de posição relativa de dois círculos.

A posição relativa de dois círculos em um plano.

Os círculos não têm pontos comuns (não se cruzam). (R1 e R2 são os raios dos círculos)

Se R1 + R2< d,

d – Distância entre os centros dos círculos.

c) Os círculos têm dois pontos comuns. (cruzar).

Se R1 + R2 > d,

Pergunta. Dois círculos podem ter três pontos comuns?

6. Consolidação do material estudado.

Encontre um erro no dado ou afirmação e corrija-o, justificando sua opinião:
A) Dois círculos se tocam. Seus raios são iguais a R = 8 cm e r = 2 cm, a distância entre os centros é d = 6.
B) Duas circunferências têm pelo menos dois pontos em comum.
B) R = 4, r = 3, d = 5. Os círculos não têm pontos comuns.
D) R = 8, r = 6, d = 4. O círculo menor está localizado dentro do maior.
D) Dois círculos não podem ser posicionados de forma que um fique dentro do outro.

7. Resumo da lição. O que você aprendeu na lição? Que padrão foi estabelecido?

Como dois círculos podem ser posicionados? Nesse caso, os círculos têm um ponto comum? Como é chamado o ponto comum de dois círculos? Que toques você conhece? Quando os círculos se cruzam? Quais círculos são chamados de concêntricos?

Tópico da lição: " A posição relativa de dois círculos em um plano.”

Alvo :

Educacional - dominar novos conhecimentos sobre a posição relativa de dois círculos, preparando-se para o teste

Desenvolvimento - desenvolvimento de competências computacionais, desenvolvimento do pensamento lógico-estrutural; desenvolver competências na procura de soluções racionais e na obtenção de resultados finais; desenvolvimento da atividade cognitiva e pensamento criativo.

Educacional – formação de responsabilidade e consistência nos alunos; desenvolvimento de qualidades cognitivas e estéticas; formação da cultura informacional dos alunos.

Correcional - desenvolver o pensamento espacial, a memória e as habilidades motoras manuais.

Tipo de aula: aprendizagem de novo material educacional, consolidação.

Tipo de aula: aula mista.

Método de ensino: verbal, visual, prático.

Forma de estudo: coletivo.

Meios de educação: quadro

DURANTE AS AULAS:

1. Estágio organizacional

- saudações;

- verificar a preparação para a aula;

2. Atualizando conhecimentos básicos.
Que tópicos abordamos nas lições anteriores?

Forma geral da equação de um círculo?

Execute oralmente:

Pesquisa relâmpago

3. Introdução de novo material.

Que número você acha que consideraremos hoje... E se houver dois deles?

Como eles podem ser localizados???

As crianças mostram com as mãos (vizinhos) como os círculos podem ser organizados ( minuto de educação física)

Bem, o que você acha que deveríamos considerar hoje? Hoje deveríamos considerar a posição relativa de dois círculos. E descubra qual é a distância entre os centros dependendo da localização.

Tópico da lição:« A posição relativa de dois círculos. Solução de problemas.»

1. Círculos concêntricos

2. Círculos disjuntos

3. Toque externo

4. Círculos que se cruzam

5. Toque interno

Então vamos concluir

4.Formação de competências e habilidades

Encontre um erro no dado ou afirmação e corrija-o, justificando sua opinião:

A) Dois círculos se tocam. Seus raios são iguais a R = 8 cm e r = 2 cm, a distância entre os centros é d = 6.
B) Duas circunferências têm pelo menos dois pontos em comum.

B) R = 4, r = 3, d = 5. Os círculos não têm pontos comuns.

D) R = 8, r = 6, d = 4. O círculo menor está localizado dentro do maior.

D) Dois círculos não podem ser posicionados de forma que um fique dentro do outro.

5. Consolidação de competências e habilidades.

Os círculos se tocam externamente. O raio do círculo menor é 3 cm. O raio do círculo maior é 5 cm.

Solução: 3+5=8(cm)

Os círculos se tocam internamente. O raio do círculo menor é 3 cm. O raio do círculo maior é 5 cm.

Solução: 5-3=2(cm)

Os círculos se tocam internamente. A distância entre os centros dos círculos é de 2,5 cm.

resposta: (5,5 cm e 3 cm), (6,5 cm e 4 cm), etc.

VERIFICANDO A COMPREENSÃO

1) Como dois círculos podem ser posicionados?

2) Nesse caso os círculos têm um ponto comum?

3) Como é chamado o ponto comum de duas circunferências?

4) Que toques você conhece?

5) Quando os círculos se cruzam?

6) Quais círculos são chamados de concêntricos?

Tarefas adicionais sobre o tema: Vetores. Método de coordenadas"(se sobrar tempo)

1)E(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Encontre:

a) coordenadas dos vetores EF,GH

b) o comprimento do vetor FG

c) coordenadas do ponto O - meio de EF

coordenadas do ponto W – ponto médio de GH

d) equação de um círculo com diâmetro FG

e) equação da reta FH

6. Lição de casa

& 96 Nº 1000. Quais dessas equações são equações de um círculo. Encontre o centro e o raio

7. Resumindo a lição(3 minutos)

(fazer uma avaliação qualitativa do trabalho da turma e de cada aluno).

8. Etapa de reflexão(2 minutos.)

(iniciar a reflexão dos alunos sobre seu estado emocional, suas atividades, interação com o professor e colegas por meio de desenhos)

Ministério da Educação e Ciência da Federação Russa

Instituição educacional orçamentária municipal

cidade de Novosibirsk "Ginásio No. 4"

Seção: matemática

PESQUISAR

neste tópico:

PROPRIEDADES DE DOIS CÍRCULOS DE TOQUE

Alunos do 10º ano:

Khaziakhmetov Radik Ildarovich

Zubarev Evgeniy Vladimirovich

Supervisor:

L.L. Barinova

Professor de matemática

Categoria de qualificação mais alta

§ 1.Introdução………..………………………….……………………………………………………3

§ 1.1 A posição relativa de dois círculos………………………...………………...………3

§ 2º Imóveis e suas evidências……………………………………………………..……………….....….…4

§ 2.1 Propriedade 1………………...……………………………………..………………...….…4

§ 2.2 Propriedade 2…………………………………………………..………………...………5

§ 2.3 Propriedade 3…………………………………………………..………………...………6

§ 2.4 Propriedade 4…………………………………………………..………………...………6

§ 2.5 Propriedade 5………………………………..………………………………...………8

§ 2.6 Propriedade 6………………………………………………..……………………...………9

§ 3 Tarefas……………………………………………………..……………….........………..…11

Referências………………………………………………………………………….………….13

§ 1. Introdução

Muitos problemas envolvendo dois círculos tangentes podem ser resolvidos de forma mais breve e simples conhecendo algumas das propriedades que serão apresentadas a seguir.

A posição relativa de dois círculos

Para começar, estipulemos a possível posição relativa dos dois círculos. Pode haver 4 casos diferentes.

1. Os círculos não podem se cruzar.

2. Cruze.

3. Toque em um ponto externo.

4.Toque em um ponto interno.

§ 2. Propriedades e suas provas

Passemos diretamente à prova das propriedades.

§ 2.1 Propriedade 1

Os segmentos entre os pontos de intersecção das tangentes com os círculos são iguais entre si e iguais a dois raios médios geométricos dos círculos dados.

Prova 1. O 1 A 1 e O 2 B 1 – raios traçados até os pontos de contato.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1, О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (de acordo com o ponto 1)

1. ▲O 1 O 2 D – retangular, porque O 2 D ┴ O 2 × 1
2. O 1 O 2 = R + r, O 2 D = R – r

1. De acordo com o teorema de Pitágoras A 1 B 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (provado de forma semelhante)

1) Vamos desenhar os raios nos pontos de intersecção das tangentes com os círculos.

2) Esses raios serão perpendiculares às tangentes e paralelos entre si.

3) Abaixemos uma perpendicular do centro do círculo menor até o raio do círculo maior.

4) A hipotenusa do triângulo retângulo resultante é igual à soma dos raios dos círculos. A perna é igual à diferença deles.

5) Usando o teorema de Pitágoras obtemos a relação necessária.

§ 2.2 Propriedade 2

Os pontos de intersecção de uma reta que cruza o ponto tangente dos círculos e não se encontra em nenhum deles com as tangentes dividem pela metade os segmentos das tangentes externas, limitados pelos pontos de tangência, em partes, cada uma das quais é igual à média geométrica dos raios desses círculos.

Prova 1.EM= MA 1 (como segmentos tangentes)

2.MC = MV 1 (como segmentos tangentes)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr (conforme pontos 1 e 2 )

Declarações usadas na prova Os segmentos tangentes traçados de um ponto a um determinado círculo são iguais. Usamos esta propriedade para ambos os círculos dados.

§ 2.3 Propriedade 3

O comprimento do segmento da tangente interna encerrado entre as tangentes externas é igual ao comprimento do segmento da tangente externa entre os pontos de contato e é igual a dois raios médios geométricos dos círculos dados.

Prova Esta conclusão decorre da propriedade anterior.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Propriedade 4

O triângulo formado pelos centros dos círculos tangentes e o ponto médio do segmento tangente entre os raios traçados até os pontos de contato é retangular. A proporção de suas pernas é igual ao quociente das raízes dos raios desses círculos.

Prova 1.MO 1 é a bissetriz do ângulo A 1 MS, MO 2 é a bissetriz do ângulo B 1 MS, porque O centro de um círculo inscrito em um ângulo está na bissetriz desse ângulo.

2.De acordo com o ponto 1 РО 1 MS + РСМО 2 = 0,5(РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.РО 1 MO 2 – direto. MC é a altura do triângulo O 1 MO 2, porque a tangente MN é perpendicular aos raios traçados aos pontos de contato → os triângulos O 1 MC e MO 2 C são semelhantes.

4.O 1 M / MO 2 = O 1 C / MC = r / √Rr = √r / R (semelhante)

Declarações usadas na prova 1) O centro de um círculo inscrito em um ângulo está na bissetriz desse ângulo. Os catetos de um triângulo são as bissetrizes dos ângulos.

2) Aproveitando o fato de que os ângulos formados desta forma são iguais, descobrimos que o ângulo que procuramos é um ângulo reto. Concluímos que este triângulo é de fato retângulo.

3) Provamos a semelhança dos triângulos em que a altura (já que a tangente é perpendicular aos raios traçados aos pontos de tangência) divide o triângulo retângulo, e por semelhança obtemos a razão necessária.

§ 2.5 Propriedade 5

O triângulo formado pelo ponto de contato dos círculos entre si e pelos pontos de intersecção dos círculos com a tangente é retangular. A proporção de suas pernas é igual ao quociente das raízes dos raios desses círculos.

Prova

1. ▲A 1 MC e ▲SMV 1 são isósceles → ÐMA 1 C = ÐMSA 1 = α, ÐMV 1 C = ÐMSV 1 = β.

1. 2α + 2β + RA 1 MC + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MC + RSMV 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Mas RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 – direto → RA 1 CO 2 = RS 1 O 2 = p/2 – β = α

1. ▲A 1 MC e ▲CO 2 B 1 são semelhantes → A 1 C / SV 1 = MC / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Declarações usadas na prova 1) Anotamos a soma dos ângulos dos triângulos, aproveitando o fato de serem isósceles. A isósceles dos triângulos é provada usando a propriedade de igualdade dos segmentos tangentes.

2) Tendo escrito a soma dos ângulos desta forma, descobrimos que o triângulo em questão tem um ângulo reto, portanto é retangular. A primeira parte da afirmação foi comprovada.

3) Usando a semelhança de triângulos (para justificá-la, usamos o sinal de semelhança em dois ângulos) encontramos a razão entre os catetos de um triângulo retângulo.

§ 2.6 Propriedade 6

O quadrilátero formado pelos pontos de intersecção dos círculos com a tangente é um trapézio no qual um círculo pode ser inscrito.

Prova 1.▲A 1 RA 2 e ▲B 1 PB 2 são isósceles porque A 1 P = RA 2 e B 1 P = PB 2 como segmentos tangentes → ▲A 1 RA 2 e ▲B 1 PB 2 – semelhantes.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, porque os ângulos correspondentes formados na intersecção da secante A 1 B 1 são iguais.

1. MN – linha média conforme propriedade 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → no trapézio A 2 A 1 B 1 B 2 a soma das bases é igual à soma dos lados, e esta é uma condição necessária e suficiente para a existência de um círculo inscrito.

Declarações usadas na prova 1) Utilizemos novamente a propriedade dos segmentos tangentes. Com sua ajuda, provaremos as isósceles dos triângulos formados pelo ponto de intersecção das tangentes e dos pontos de tangência.

2) Segue-se disso que esses triângulos são semelhantes e suas bases são paralelas. Com base nisso concluímos que este quadrilátero é um trapézio.

3) Usando a propriedade (2) que provamos anteriormente, encontramos a linha média do trapézio. É igual a dois raios médios geométricos dos círculos. No trapézio resultante, a soma das bases é igual à soma dos lados, sendo esta condição necessária e suficiente para a existência de um círculo inscrito.

§ 3. Problemas

Vejamos um exemplo prático de como você pode simplificar a solução de um problema usando as propriedades descritas acima.

Problema 1

No triângulo ABC, lado AC = 15 cm Um círculo está inscrito no triângulo. O segundo círculo toca o primeiro e os lados AB e BC. No lado AB, o ponto F é selecionado, e no lado BC, o ponto M é selecionado de forma que o segmento FM seja uma tangente comum aos círculos. Encontre a razão entre as áreas do triângulo BFM e do quadrilátero AFMC, se FM tiver 4 cm e o ponto M estiver localizado duas vezes mais longe do centro de um círculo do que do centro do outro.

Dado: FM-tangente total AC=15cm FM=4cm O 2 M=2О 1 M

Encontre S BFM /S AFMC

Solução:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; QP=FM=4

3)▲BO 1 P e ▲BO 2 Q são semelhantes → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4)FM+PA=16/3, S FBM =r*P FBM =1*(16/3)=16/3; AC+QQ=15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*P ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3):(244/3)=4/61

Problema 2

Dois círculos tangentes com seu ponto comum D e uma tangente comum FK passando por este ponto estão inscritos em um triângulo isósceles ABC. Encontre a distância entre os centros desses círculos se a base do triângulo AC = 9 cm, e o segmento do lado do triângulo delimitado entre os pontos de tangência dos círculos for 4 cm.

Dado: ABC – triângulo isósceles; FK – tangente comum dos círculos inscritos. CA = 9cm; NE = 4 cm

Solução:

Deixe as linhas retas AB e CD se cruzarem no ponto O. Então OA = OD, OB = OC, então CD = = AB = 2√Rr

Os pontos O 1 e O 2 estão na bissetriz do ângulo AOD. A bissetriz de um triângulo isósceles AOD é sua altitude, então AD ┴ O 1 O 2 e BC ┴ O 1 O 2, o que significa

AD ║ BC e ABCD – trapézio isósceles.

O segmento MN é sua linha média, então AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Portanto, um círculo pode ser inscrito neste trapézio.

Seja AP a altura do trapézio, os triângulos retângulos ARB e O 1 FO 2 são semelhantes, portanto AP/O 1 F = AB/O 1 O 2 .

A partir daqui descobrimos que

Bibliografia

• Suplemento do jornal “Primeiro de Setembro” “Matemática” nº 43, 2003
• Exame Estadual Unificado 2010. Matemática. Tarefa C4. Gordin R.K.