Bissetriz perpendicular em um triângulo retângulo. Um círculo circunscrito a um triângulo. Um triângulo inscrito em um círculo

Provas de teoremas sobre as propriedades do círculo circunscrito de um triângulo

Bissetriz perpendicular a um segmento de reta

Definição 1. Bissetriz perpendicular a um segmento chamada de linha reta perpendicular a este segmento e passando por seu meio (Fig. 1).

Teorema 1. Cada ponto da bissetriz perpendicular a um segmento está localizado à mesma distância das extremidades este segmento.

Prova . Vamos considerar um ponto arbitrário D situado na bissetriz perpendicular ao segmento AB (Fig. 2) e provar que os triângulos ADC e BDC são iguais.

Na verdade, esses triângulos são triângulos retângulos nos quais as pernas AC e BC são iguais e a perna DC é comum. A igualdade dos triângulos ADC e BDC implica a igualdade dos segmentos AD e DB. O teorema 1 está provado.

Teorema 2 (Converso com o Teorema 1). Se um ponto estiver à mesma distância das extremidades de um segmento, ele estará na bissetriz perpendicular a esse segmento.

Prova . Vamos provar o Teorema 2 por contradição. Para tanto, suponha que algum ponto E esteja à mesma distância das extremidades do segmento, mas não esteja na bissetriz perpendicular a este segmento. Vamos levar essa suposição a uma contradição. Consideremos primeiro o caso em que os pontos E e A estão em lados opostos da bissetriz perpendicular (Fig. 3). Neste caso, o segmento EA intercepta a bissetriz perpendicular em algum ponto, que denotaremos pela letra D.

Vamos provar que o segmento AE é maior que o segmento EB. Realmente,

Assim, no caso em que os pontos E e A estão em lados opostos da bissetriz perpendicular, temos uma contradição.

Agora considere o caso em que os pontos E e A estão no mesmo lado da bissetriz perpendicular (Fig. 4). Vamos provar que o segmento EB é maior que o segmento AE. Realmente,

A contradição resultante completa a prova do Teorema 2

Círculo circunscrito a um triângulo

Definição 2. Um círculo circunscrito a um triângulo, é chamado de círculo que passa por todos os três vértices do triângulo (Fig. 5). Neste caso o triângulo é chamado triângulo inscrito em uma circunferência ou triângulo inscrito.

Propriedades do círculo circunscrito de um triângulo. Teorema dos senos

Figura	Desenho	Propriedade
Bissetoras perpendiculares para os lados do triângulo		se cruzam em um ponto .

Centro círculo circunscrito a um triângulo acutângulo		Centro descrito sobre ângulo agudo dentro triângulo.
Centro círculo circunscrito a um triângulo retângulo		O centro descreveu cerca de retangular meio da hipotenusa .
Centro círculo circunscrito a um triângulo obtuso		Centro descrito sobre ângulo obtuso mentiras do círculo do triângulo fora triângulo.
		,
Quadrado triângulo		S= 2R 2 pecado A pecado B pecado C ,
Circunradius		Para qualquer triângulo a igualdade é verdadeira:

Bissetoras perpendiculares aos lados de um triângulo

Todas as bissetoras perpendiculares , desenhado nos lados de um triângulo arbitrário, se cruzam em um ponto .

Círculo circunscrito a um triângulo

Qualquer triângulo pode ser circundado por um círculo . O centro de um círculo circunscrito a um triângulo é o ponto no qual todas as bissetoras perpendiculares traçadas aos lados do triângulo se cruzam.

Centro do círculo circunscrito de um triângulo agudo

Centro descrito sobre ângulo agudo mentiras do círculo do triângulo dentro triângulo.

Centro do círculo circunscrito de um triângulo retângulo

O centro descreveu cerca de retangular círculo triangular é meio da hipotenusa .

Centro do círculo circunscrito de um triângulo obtuso

Centro descrito sobre ângulo obtuso mentiras do círculo do triângulo fora triângulo.

Para qualquer triângulo, as seguintes igualdades são verdadeiras (teorema do seno):

onde a, b, c são os lados do triângulo, A, B, C são os ângulos do triângulo, R é o raio do círculo circunscrito.

Área de um triângulo

Para qualquer triângulo a igualdade é verdadeira:

S= 2R 2 pecado A pecado B pecado C ,

onde A, B, C são os ângulos do triângulo, S é a área do triângulo, R é o raio do círculo circunscrito.

Circunradius

Para qualquer triângulo a igualdade é verdadeira:

onde a, b, c são os lados do triângulo, S é a área do triângulo, R é o raio do círculo circunscrito.

Provas de teoremas sobre as propriedades do círculo circunscrito de um triângulo

Teorema 3. Todas as bissetoras perpendiculares desenhadas aos lados de um triângulo arbitrário se cruzam em um ponto.

Prova . Vamos considerar duas bissetoras perpendiculares traçadas aos lados AC e AB do triângulo ABC e denotar seu ponto de intersecção com a letra O (Fig. 6).

Como o ponto O está na bissetriz perpendicular ao segmento AC, então, em virtude do Teorema 1, a igualdade é verdadeira.

Bissetriz perpendicular (mediana perpendicular ou medianeira) - uma linha reta perpendicular a um determinado segmento e passando por seu meio.

Propriedades

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

onde o subscrito denota o lado para o qual a perpendicular é desenhada,

S

é a área do triângulo, e também se assume que os lados estão relacionados por desigualdades

a\geqslant b\geqslant c.

p_a\geq p_b

p_c\geq p_b.

Em outras palavras, a menor bissetriz perpendicular de um triângulo pertence ao segmento intermediário.

Escreva uma resenha sobre o artigo "Bissetriz perpendicular"

Notas

Um trecho caracterizando a bissetriz perpendicular

Kutuzov, parando para mastigar, olhou surpreso para Wolzogen, como se não entendesse o que lhe diziam. Wolzogen, percebendo a excitação de des alten Herrn, [o velho cavalheiro (alemão)] disse com um sorriso:
– Não me considerei no direito de esconder de Vossa Senhoria o que vi... As tropas estão em completa desordem...
- Você viu? Você viu?.. – Kutuzov gritou, franzindo a testa, levantando-se rapidamente e avançando em direção a Wolzogen. “Como você... como você ousa!..”, ele gritou, fazendo gestos ameaçadores com mãos trêmulas e engasgadas. - Como você ousa, caro senhor, me dizer isso? Você não sabe de nada. Diga por mim ao General Barclay que sua informação está incorreta e que o verdadeiro curso da batalha é conhecido por mim, o comandante-em-chefe, melhor do que por ele.
Wolzogen quis contestar, mas Kutuzov o interrompeu.
- O inimigo é repelido pela esquerda e derrotado pelo flanco direito. Se você não viu bem, caro senhor, então não se permita dizer o que não sabe. Por favor, vá até o General Barclay e transmita a ele no dia seguinte minha intenção absoluta de atacar o inimigo”, disse Kutuzov severamente. Todos ficaram em silêncio, e tudo o que se ouvia era a respiração pesada do velho general sem fôlego. “Eles foram repelidos em todos os lugares, pelo que agradeço a Deus e ao nosso bravo exército.” O inimigo está derrotado e amanhã iremos expulsá-lo da sagrada terra russa”, disse Kutuzov, fazendo o sinal da cruz; e de repente soluçou com as lágrimas que vieram. Wolzogen, encolhendo os ombros e franzindo os lábios, afastou-se silenciosamente para o lado, perguntando-se sobre diese Eingenommenheit des alten Herrn. [com esta tirania do velho cavalheiro. (Alemão) ]
“Sim, aqui está ele, meu herói”, disse Kutuzov ao general rechonchudo, bonito e de cabelos pretos, que naquele momento estava entrando no monte. Foi Raevsky, que passou o dia inteiro no ponto principal do campo de Borodino.
Raevsky relatou que as tropas estavam firmemente posicionadas e que os franceses não ousavam mais atacar. Depois de ouvi-lo, Kutuzov disse em francês:
– Vous ne pensez donc pas como lesautres que nos obriga a nos aposentar? [Você não acha, então, como outros, que deveríamos recuar?]

Para se ter uma ideia de uma nova classe de problemas - construir figuras geométricas usando compasso e régua sem divisões de escala.

Apresente o conceito de GMT.

Defina a bissetriz perpendicular, ensine como construí-la e prove o teorema da bissetriz perpendicular, bem como sua inversa.

Utilizando o sistema de desenho computacional “Compass-3D”, realize construções geométricas, que são recomendadas para serem realizadas em um curso de geometria com auxílio de compasso e régua.

Apostilas (Apêndice No. 1)

Problemas envolvendo construção com compasso e régua sem divisões são geralmente resolvidos de acordo com um determinado esquema:

EU. Análise: Desenhe esquematicamente a figura desejada e estabeleça conexões entre os dados da tarefa e os elementos necessários.

II. Construção: De acordo com o plano planejado, a construção é feita com compasso e régua.

III. Prova: Prove que a figura construída satisfaz as condições do problema.

4. Estudar: Realizar um estudo para ver se o problema tem solução para algum dado e, em caso afirmativo, quantas soluções existem (não realizadas em todos os problemas).

Aqui estão alguns exemplos de tarefas elementares de construção que consideraremos:

1. Separe um segmento igual ao dado (estudado anteriormente).

2. Construção da bissetriz perpendicular a um segmento:

construir o meio de um determinado segmento;
construir uma linha passando por um determinado ponto e perpendicular a uma determinada linha (o ponto pode ou não estar em uma determinada linha).

3. Construção da bissetriz do ângulo.

4. Construindo um ângulo igual ao dado.

A bissetriz perpendicular de um segmento de linha.

Definição: Uma bissetriz perpendicular a um segmento é uma linha que passa pelo meio do segmento e é perpendicular a ele.

Tarefa: “Construir a bissetriz perpendicular ao segmento.” Apresentação

O - meio AB

Descrição da construção ( slide número 4):

Feixe um; A – início do feixe

Circunferência (A; r = m)

Círculo a = B; AB = m

Círculo 1 (A; r 1 > m/2)

Círculo 2 (B; r 1)

Círculo 1 Círculo 2 =

MN; MN AB =0, (MN = L)

onde MN AB, O – o meio de AB

III. Prova(slide nº 5, 6)

1. Considere AMN e BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2, portanto AM = BN, AN = BM MN – lado comum

(Figura 3)

Portanto, AMN = BNM (em 3 lados),

Por isso

1= 2 (por definição de igual)

3= 4 (por definição de igual)

2. MAN e NBM são isósceles (por definição) ->

1 = 4 e 3 = 2 (pela propriedade isósceles)

3. Dos pontos 1 e 2 -> 1 = 3 portanto MO é a bissetriz do isósceles AMB

4. Assim provamos que MN é a bissetriz perpendicular ao segmento AB

4. Estudar

Este problema tem uma solução única, porque qualquer segmento tem apenas um ponto médio, e através de um determinado ponto pode-se traçar uma única linha reta perpendicular a esse ponto.

Definição: Um conjunto geométrico de pontos (GMT) é um conjunto de pontos que possuem uma determinada propriedade. (Apêndice No. 2)

GMT que você conhece:

A bissetriz perpendicular de um segmento é o conjunto de pontos equidistantes das extremidades do segmento.
Bissetriz de um ângulo - um conjunto de pontos equidistantes dos lados do ângulo

Então, vamos provar o teorema:

Teorema: “Cada ponto da bissetriz perpendicular a um segmento é equidistante das extremidades deste segmento.”

(Figura 4)

Dado: AB; MO – bissetriz perpendicular

Prove: AM = VM

Prova:

1. MO – bissetriz perpendicular (por condição) -> O – ponto médio do segmento AB, MOAB

2. Considere AMO e VMO - retangular

MO – perna geral

AO = VO (O – meio de AB) -> AMO = VMO (em 2 pernas) -> AM = VM (por definição de triângulos iguais, como lados correspondentes)

QED

Trabalho de casa: “Prove o teorema inverso deste”

Teorema: “Todo ponto equidistante das extremidades de um segmento está na bissetriz perpendicular a este segmento.”

(Figura 5)

Dado: AB; MA = VM

Provar: O ponto M está na bissetriz perpendicular

Prova:

Que. MO é a bissetriz perpendicular que contém todos os pontos equidistantes das extremidades do segmento.

Propriedade das bissetoras perpendiculares aos lados de um triângulo

Eles se cruzam em um ponto e este ponto é o centro do círculo circunscrito ao redor do triângulo, que estudaremos na oitava série.

Oficina

Materiais e equipamentos técnicos:

Distribuição: 29.574 KB

SO: Windows 9x/2000/XP

Site: http://www.ascon.ru

Agora vamos transferir a construção para o ambiente gráfico do computador (slide nº 7)

Conhecimentos e habilidades previamente adquiridos devem ser aplicados a uma tarefa específica. Você verá que a construção não levará mais tempo do que a construção em um caderno. Entre outras coisas, é interessante ver como o ambiente computacional executa comandos humanos para construir figuras planas. Aqui está o Apêndice No. 3, que descreve detalhadamente as etapas de construção. Carregue o programa e abra um novo desenho ( slide número 8, 9).

Desenhe os objetos geométricos especificados na definição do problema: raio A começando em um ponto A e o segmento é igual eu– comprimento arbitrário ( slide número 10).

Insira a designação do raio, segmento, início do raio no desenho usando a guia "Ferramentas" texto.

Construa um círculo com raio igual ao segmento eu centrado no vértice em um determinado ponto A (slide número 11).

eu com centro no vértice dado o ponto A ( slides nº 12, 13).

Construa um círculo com raio igual a um segmento maior que 1/2 eu Para fazer isso, selecione o item “ no menu de contexto RMB Entre 2 pontos" (slide nº 14, 15, 16).

Através dos pontos de intersecção dos círculos M e N desenhe uma linha reta ( slide nº 17,18).

Livros usados:

Ugrinovich N. D. “Informática. Curso Básico” 7º ano. - M.: BINOM – 2008 – 175 p.
Ugrinovich N.D. “Workshop sobre ciência da computação e tecnologia da informação.” Tutorial. – M.: BINOM, 2004-2006. -
Ugrinovich N.D. “Ministério do curso “Informática e TIC” nas séries do ensino fundamental e médio do 8º ao 11º ano: Laboratório de Conhecimento BINOM, 2008. - 180 p.
Ugrinovich N. D. Oficina de informática em CD-ROM. – M.: BINOM, 2004-2006.
Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. “Bússola - 3D v 5.11-8.0 Workshop para iniciantes” - M.: SOLON - PRESS, 2006 - 272 p.
Atanasyan LS, Butuzov VF, Kadomtsev SB, e outros “Geometria 7-9. Livro didático para escolas secundárias” – M: Educação 2006 – 384 p.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., e outros “Estudar geometria de 7 a 9 anos. Recomendações metodológicas para o livro didático” - M: Educação 1997 - 255 p.
Afanasyeva T.L., Tapilina L.A. “Planos de aula baseados no livro didático da 8ª série de Atanasyan L.S.” - Volgogrado “Professor” 2010, 166 p.

Apêndice nº 1

Planeje a solução de problemas envolvendo construção com compasso e régua.

Análise.
Construção.
Prova.
Estudar.

Explicação

Ao realizar uma análise, a figura desejada é desenhada esquematicamente e uma conexão é estabelecida entre os dados da tarefa e os elementos necessários.
De acordo com o plano planejado, a construção é realizada por meio de compasso e régua.
Eles provam que a figura construída satisfaz as condições do problema.
Eles conduzem um estudo: o problema tem solução para quaisquer dados e, em caso afirmativo, quantas soluções?

Exemplos de problemas elementares de construção

Separe um segmento igual ao dado.
Construa a bissetriz perpendicular ao segmento.
Construa o ponto médio do segmento.
Construa uma linha que passe por um determinado ponto, perpendicular a uma determinada linha (o ponto pode ou não estar em uma determinada linha).
Construa a bissetriz do ângulo.
Construa um ângulo igual ao dado.

Apêndice nº 2

O lugar geométrico dos pontos (GLP) é um conjunto de pontos que possuem uma determinada propriedade.

Exemplos de GMT:

A bissetriz perpendicular de um segmento é o conjunto de pontos equidistantes das extremidades do segmento.
Um círculo é um conjunto de pontos equidistantes de um determinado ponto - o centro do círculo.
A bissetriz de um ângulo é o conjunto de pontos equidistantes dos lados do ângulo.

Cada ponto da bissetriz perpendicular de um segmento é equidistante das extremidades desse segmento.

Na lição anterior, examinamos as propriedades da bissetriz de um ângulo, tanto dentro de um triângulo quanto livre. Um triângulo inclui três ângulos e para cada um deles as propriedades consideradas da bissetriz são preservadas.

Teorema:

As bissetrizes AA 1, BB 1, СС 1 do triângulo se cruzam em um ponto O (Fig. 1).

Arroz. 1. Ilustração para o teorema

Prova:

Consideremos primeiro duas bissetrizes BB 1 e CC 1. Eles se cruzam, o ponto de intersecção O existe. Para provar isso, vamos supor o oposto: não deixemos que as bissetoras dadas se cruzem, caso em que são paralelas. Então a linha reta BC é uma secante e a soma dos ângulos é , isso contradiz o fato de que em todo o triângulo a soma dos ângulos é .

Portanto, existe o ponto O da intersecção de duas bissetoras. Vamos considerar suas propriedades:

O ponto O está na bissetriz do ângulo, o que significa que é equidistante de seus lados BA e BC. Se OK é perpendicular a BC, OL é perpendicular a BA, então os comprimentos dessas perpendiculares são iguais -. Além disso, o ponto O encontra-se na bissetriz do ângulo e é equidistante de seus lados CB e CA, as perpendiculares OM e OK são iguais.

Obtivemos as seguintes igualdades:

, isto é, todas as três perpendiculares lançadas do ponto O aos lados do triângulo são iguais entre si.

Estamos interessados na igualdade das perpendiculares OL e OM. Esta igualdade diz que o ponto O é equidistante dos lados do ângulo, segue-se que está na sua bissetriz AA 1.

Assim, provamos que todas as três bissetoras de um triângulo se cruzam em um ponto.

Além disso, um triângulo consiste em três segmentos, o que significa que devemos considerar as propriedades de um segmento individual.

O segmento AB é dado. Qualquer segmento tem um ponto médio e uma perpendicular pode ser traçada através dele - vamos denotá-lo como p. Assim, p é a bissetriz perpendicular.

Arroz. 2. Ilustração do teorema

Qualquer ponto situado na bissetriz perpendicular é equidistante das extremidades do segmento.

Prove isso (Fig. 2).

Prova:

Considere triângulos e . Eles são retangulares e iguais, pois possuem um cateto comum OM, e os catetos AO e OB são iguais por condição, portanto temos dois triângulos retângulos, iguais em dois catetos. Segue-se que as hipotenusas dos triângulos também são iguais, ou seja, o que era necessário provar.

O teorema inverso é verdadeiro.

Cada ponto equidistante das extremidades de um segmento encontra-se na bissetriz perpendicular a esse segmento.

Dado um segmento AB, sua bissetriz perpendicular p e um ponto M equidistante das extremidades do segmento. Prove que o ponto M está na bissetriz perpendicular ao segmento (Fig. 3).

Arroz. 3. Ilustração para o teorema

Prova:

Considere um triângulo. É isósceles, conforme a condição. Considere a mediana de um triângulo: o ponto O é o meio da base AB, OM é a mediana. De acordo com a propriedade de um triângulo isósceles, a mediana traçada até sua base é uma altura e uma bissetriz. Segue que . Mas a linha p também é perpendicular a AB. Sabemos que no ponto O é possível traçar uma única perpendicular ao segmento AB, o que significa que as retas OM e p coincidem, segue-se que o ponto M pertence à reta p, que é o que precisávamos provar.

Os teoremas direto e inverso podem ser generalizados.

Um ponto pertence à bissetriz perpendicular de um segmento se, e somente se, for equidistante das extremidades desse segmento.

Então, repitamos que existem três segmentos em um triângulo e a propriedade da bissetriz perpendicular se aplica a cada um deles.

Teorema:

As bissetoras perpendiculares de um triângulo se cruzam em um ponto.

Um triângulo é dado. Perpendiculares aos seus lados: P 1 ao lado BC, P 2 ao lado AC, P 3 ao lado AB.

Prove que as perpendiculares P 1, P 2 e P 3 se cruzam no ponto O (Fig. 4).

Arroz. 4. Ilustração do teorema

Prova:

Vamos considerar duas bissetoras perpendiculares P 2 e P 3, elas se cruzam, o ponto de intersecção O existe. Vamos provar esse fato por contradição - sejam as perpendiculares P 2 e P 3 paralelas. Então o ângulo é invertido, o que contradiz o fato de que a soma dos três ângulos de um triângulo é . Portanto, existe um ponto O de intersecção de duas das três bissetrizes perpendiculares. Propriedades do ponto O: encontra-se na bissetriz perpendicular ao lado AB, o que significa que é equidistante das extremidades do segmento AB: . Também está na bissetriz perpendicular ao lado AC, o que significa. Obtivemos as seguintes igualdades.