Por que eles não conseguem provar o teorema de Fermat? Vamos expor! O Último Teorema de Fermat foi provado? Trabalho de Shimura e Taniyama

Como poucas pessoas têm pensamento matemático, falarei sobre a maior descoberta científica - a prova elementar do Último Teorema de Fermat - na linguagem escolar mais compreensível.

A prova foi encontrada para um caso especial (para um grau simples n>2), ao qual (e para o caso n=4) todos os casos com n composto podem ser facilmente reduzidos.

Portanto, precisamos provar que a equação A^n=C^n-B^n não tem solução em números inteiros. (Aqui o sinal ^ significa grau.)

A prova é realizada em um sistema numérico com base simples n. Neste caso, os últimos dígitos de cada tabuada não se repetem. No sistema decimal usual a situação é diferente. Por exemplo, ao multiplicar o número 2 por 1 e 6, ambos os produtos – 2 e 12 – terminam nos mesmos dígitos (2). E, por exemplo, no sistema setenário para o número 2, todos os últimos dígitos são diferentes: 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5, com um conjunto de últimos dígitos 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Graças a esta propriedade, para qualquer número A que não termine em zero (e na igualdade de Fermat, o último dígito dos números A, ou B, após dividir a igualdade pelo divisor comum dos números A, B, C não é igual a zero), é possível selecionar um fator g tal que o número Ag tenha uma terminação arbitrariamente longa na forma 000...001. É por este número g que multiplicamos todos os números de base A, B, C na igualdade de Fermat. Neste caso, faremos com que a unidade termine bastante longa, ou seja, dois dígitos a mais que o número (k) de zeros no final do número U=A+B-C.

O número U não é igual a zero - caso contrário, C=A+B e A^n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

Isto, na verdade, é toda a preparação da igualdade de Fermat para um estudo breve e final. A única coisa que faremos é reescrever o lado direito da igualdade de Fermat – C^n-B^n – usando a fórmula de decomposição escolar: C^n-B^n=(C-B)P, ou aP. E como iremos operar (multiplicar e somar) apenas com os dígitos das terminações de (k+2) dígitos dos números A, B, C, então não podemos levar em conta suas partes principais e simplesmente descartá-las (deixando apenas um fato na memória: o lado esquerdo da igualdade de Fermat é uma POTÊNCIA).

A única coisa que vale a pena mencionar são os últimos dígitos dos números a e P. Na igualdade original de Fermat, o número P termina com o número 1. Isto decorre da fórmula do pequeno teorema de Fermat, que pode ser encontrado em livros de referência. E depois de multiplicar a igualdade de Fermat pelo número g ^ n, o número P é multiplicado pelo número g elevado à potência n-1, que, de acordo com o pequeno teorema de Fermat, também termina no número 1. Portanto, na nova igualdade equivalente de Fermat , o número P termina em 1. E se A termina em 1, então A^n também termina em 1 e, portanto, o número a também termina em 1.

Então, temos uma situação inicial: os últimos dígitos A, a, P dos números A, a, P terminam no número 1.

Pois bem, então começa uma operação fofa e fascinante, chamada preferencialmente de “moinho”: introduzindo em consideração os números subsequentes a"", a""" e assim por diante, números a, calculamos com extrema “facilidade” que eles são todos também igual a zero! Palavra que coloquei “fácil” entre aspas, porque a humanidade não conseguiu encontrar a chave para esse “fácil” por 350 anos! ^(k+2). Não vale a pena prestar atenção ao segundo termo desta soma - afinal, na prova adicional descartamos todos os dígitos após o (k+2)-ésimo nos números (e isso simplifica radicalmente a análise)!Então, depois de descartar os números das partes da cabeça, a igualdade de Fermat assume a forma: ...1 =aq^(n-1), onde a e q não são números, mas apenas as terminações dos números a e q! (não introduzo novas notações, pois isso dificulta a leitura.)

A última questão filosófica permanece: por que o número P pode ser representado como P=q^(n-1)+Qn^(k+2)? A resposta é simples: porque qualquer inteiro P com 1 no final pode ser representado desta forma, e IDENTICAMENTE. (Pode ser representado de muitas outras maneiras, mas não precisamos disso.) Na verdade, para P=1 a resposta é óbvia: P=1^(n-1). Para Р=hn+1, o número q=(n-h)n+1, que é fácil de verificar resolvendo a equação [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 usando dois dígitos terminações. E assim por diante (mas não precisamos de mais cálculos, pois precisamos apenas representar números na forma P=1+Qn^t).

Ufa! Bem, a filosofia acabou, você pode passar para os cálculos no nível da segunda série, talvez apenas lembre-se da fórmula binomial de Newton mais uma vez.

Então, vamos introduzir o número a"" (no número a=a""n+1) e usá-lo para calcular o número q"" (no número q=q""n+1):
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1), ou...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ], de onde q""=a"".

E agora o lado direito da igualdade de Fermat pode ser reescrito como:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2), onde o valor do número D não nos interessa.

Agora chegamos à conclusão decisiva. O número a""n+1 é a terminação de dois dígitos do número A e, PORTANTO, de acordo com um lema simples, determina ÚNICAMENTE o TERCEIRO dígito do grau A^n. E além disso, a partir da expansão do binômio de Newton
(a""n+1)^n, levando em consideração que a cada termo da expansão (exceto o primeiro, que não pode mudar o clima!) é adicionado um fator SIMPLES n (a base numérica!), fica claro que este terceiro dígito é igual a a"" . Mas multiplicando a igualdade de Fermat por g^n, transformamos k+1 dígitos antes do último 1 do número A em 0. E, portanto, a""=0!!!

Assim, completamos o ciclo: tendo inserido a"", descobrimos que q""=a"", e finalmente a""=0!

Bem, resta dizer que depois de realizar cálculos completamente semelhantes e os próximos k dígitos, obtemos a igualdade final: a terminação de (k + 2) dígitos do número a, ou CB, assim como o número A, é igual para 1. Mas então o (k+2)-ésimo dígito do número C-A-B é IGUAL a zero, embora NÃO seja IGUAL a zero!!!

Isso, na verdade, é toda a prova. Para entendê-lo, não é necessário ter formação superior e, principalmente, ser matemático profissional. Porém, os profissionais permanecem em silêncio...

O texto legível da prova completa está localizado aqui:

Avaliações

Olá, Vitor. Gostei do seu currículo. “Não deixe morrer antes da morte” parece ótimo, é claro. Para ser sincero, fiquei surpreso com meu encontro com o teorema de Fermat em prosa! Ela pertence aqui? Existem sites científicos, de ciência popular e de bules. Caso contrário, obrigado pelo seu trabalho literário.
Atenciosamente, Anya.

Querida Anya, apesar da censura bastante rígida, a Prosa permite que você escreva SOBRE TUDO. A situação com o teorema de Fermat é a seguinte: grandes fóruns matemáticos tratam os fermatistas com desconfiança, com grosseria, e em geral os tratam da melhor maneira possível. No entanto, apresentei a versão mais recente da prova em pequenos fóruns em russo, inglês e francês. Ninguém apresentou ainda quaisquer contra-argumentos e, tenho a certeza, ninguém apresentará nenhum (as provas foram verificadas com muito cuidado). No sábado publicarei uma nota filosófica sobre o teorema.
Quase não há grosseiros na prosa e, se você não ficar com eles, logo eles cairão.
Quase todos os meus trabalhos são apresentados em prosa, por isso incluí aqui também a prova.
Até mais,

Não há muitas pessoas no mundo que nunca tenham ouvido falar do Último Teorema de Fermat - talvez este seja o único problema matemático que se tornou tão conhecido e se tornou uma verdadeira lenda. É mencionado em muitos livros e filmes, e o contexto principal de quase todas as menções é a impossibilidade de provar o teorema.

Sim, este teorema é muito conhecido e, de certa forma, tornou-se um “ídolo” adorado por matemáticos amadores e profissionais, mas poucos sabem que a sua prova foi encontrada, e isso aconteceu em 1995. Mas primeiro as primeiras coisas.

Assim, o Último Teorema de Fermat (muitas vezes chamado de último teorema de Fermat), formulado em 1637 pelo brilhante matemático francês Pierre Fermat, é muito simples em essência e compreensível para qualquer pessoa com ensino médio. Diz que a fórmula a elevado a n + b elevado a n = c elevado a n não tem soluções naturais (isto é, não fracionárias) para n > 2. Tudo parece simples e claro, mas o os melhores matemáticos e amadores comuns lutaram para encontrar uma solução por mais de três séculos e meio.

Por que ela é tão famosa? Agora vamos descobrir...

Existem muitos teoremas comprovados, não comprovados e ainda não comprovados? A questão aqui é que o Último Teorema de Fermat representa o maior contraste entre a simplicidade da formulação e a complexidade da prova. O Último Teorema de Fermat é um problema incrivelmente difícil, mas sua formulação pode ser compreendida por qualquer pessoa do 5º ano do ensino médio, mas nem mesmo todo matemático profissional consegue entender a prova. Nem na física, nem na química, nem na biologia, nem na matemática, existe um único problema que pudesse ser formulado de forma tão simples, mas que permanecesse sem solução por tanto tempo. 2. Em que consiste?

Vamos começar com as calças pitagóricas. O texto é muito simples - à primeira vista. Como sabemos desde a infância, “as calças pitagóricas são iguais em todos os lados”. O problema parece tão simples porque foi baseado em uma afirmação matemática que todos conhecem - o teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, o quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados construídos sobre os catetos.

No século 5 aC. Pitágoras fundou a irmandade pitagórica. Os pitagóricos, entre outras coisas, estudaram trigêmeos inteiros que satisfazem a igualdade x²+y²=z². Eles provaram que existem infinitos triplos pitagóricos e obtiveram fórmulas gerais para encontrá-los. Eles provavelmente tentaram procurar graus C e superiores. Convencidos de que isso não funcionou, os pitagóricos abandonaram as tentativas inúteis. Os membros da irmandade eram mais filósofos e estetas do que matemáticos.

Ou seja, é fácil selecionar um conjunto de números que satisfaça perfeitamente a igualdade x²+y²=z²

Começando com 3, 4, 5 - na verdade, um estudante júnior entende que 9 + 16 = 25.

Ou 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Ótimo.

Então, acontece que eles NÃO são. É aqui que o truque começa. A simplicidade é aparente, porque é difícil provar não a presença de algo, mas, pelo contrário, a sua ausência. Quando precisar provar que existe uma solução, você pode e deve simplesmente apresentar essa solução.

Provar ausência é mais difícil: por exemplo, alguém diz: tal e tal equação não tem solução. Colocá-lo em uma poça? fácil: bam - e aqui está a solução! (dar solução). E pronto, o adversário está derrotado. Como comprovar ausência?

Diga: “Não encontrei essas soluções”? Ou talvez você não estivesse bem? E se eles existirem, apenas muito grandes, muito grandes, de tal forma que mesmo um computador superpoderoso ainda não tenha força suficiente? Isto é o que é difícil.

Isso pode ser mostrado visualmente assim: se você pegar dois quadrados de tamanhos adequados e desmontá-los em quadrados unitários, então deste monte de quadrados unitários você obterá um terceiro quadrado (Fig. 2):


Mas vamos fazer o mesmo com a terceira dimensão (Fig. 3) - não funciona. Não há cubos suficientes ou sobraram cubos extras:

Mas o matemático francês do século 17, Pierre de Fermat, estudou com entusiasmo a equação geral x n + y n = z n. E finalmente concluí: para n>2 não existem soluções inteiras. A prova de Fermat está irremediavelmente perdida. Manuscritos estão queimando! Tudo o que resta é a sua observação na Aritmética de Diofanto: “Encontrei uma prova verdadeiramente surpreendente desta proposição, mas as margens aqui são demasiado estreitas para a conter”.

Na verdade, um teorema sem prova é chamado de hipótese. Mas Fermat tem a reputação de nunca cometer erros. Mesmo que ele não tenha deixado provas de uma declaração, esta foi posteriormente confirmada. Além disso, Fermat provou sua tese para n=4. Assim, a hipótese do matemático francês ficou para a história como o Último Teorema de Fermat.

Depois de Fermat, grandes mentes como Leonhard Euler trabalharam na busca por uma prova (em 1770 ele propôs uma solução para n = 3),

Adrien Legendre e Johann Dirichlet (estes cientistas encontraram em conjunto a prova para n = 5 em 1825), Gabriel Lamé (que encontrou a prova para n = 7) e muitos outros. Em meados da década de 80 do século passado, ficou claro que o mundo científico estava a caminho da solução final do Último Teorema de Fermat, mas somente em 1993 os matemáticos viram e acreditaram que o épico de três séculos de busca por uma prova de O último teorema de Fermat estava praticamente concluído.

É facilmente demonstrado que basta provar o teorema de Fermat apenas para n simples: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Para n composto, a prova permanece válida. Mas existem infinitos números primos...

Em 1825, usando o método de Sophie Germain, as matemáticas Dirichlet e Legendre provaram independentemente o teorema para n=5. Em 1839, utilizando o mesmo método, o francês Gabriel Lame mostrou a veracidade do teorema para n=7. Gradualmente, o teorema foi provado para quase todos os n menores que cem.

Finalmente, o matemático alemão Ernst Kummer, num estudo brilhante, mostrou que o teorema em geral não pode ser provado usando os métodos da matemática do século XIX. O Prêmio da Academia Francesa de Ciências, criado em 1847 para a prova do teorema de Fermat, permaneceu sem prêmio.

Em 1907, o rico industrial alemão Paul Wolfskehl decidiu tirar a própria vida por causa de um amor não correspondido. Como um verdadeiro alemão, ele marcou a data e a hora do suicídio: exatamente à meia-noite. No último dia fez testamento e escreveu cartas para amigos e parentes. As coisas terminaram antes da meia-noite. Deve ser dito que Paul estava interessado em matemática. Não tendo mais nada para fazer, foi à biblioteca e começou a ler o famoso artigo de Kummer. De repente, teve a impressão de que Kummer havia cometido um erro de raciocínio. Wolfskel começou a analisar esta parte do artigo com um lápis nas mãos. A meia-noite passou, a manhã chegou. A lacuna na prova foi preenchida. E o próprio motivo do suicídio agora parecia completamente ridículo. Paulo rasgou suas cartas de despedida e reescreveu seu testamento.

Ele logo morreu de causas naturais. Os herdeiros ficaram bastante surpresos: 100.000 marcos (mais de 1.000.000 de libras esterlinas atuais) foram transferidos para a conta da Real Sociedade Científica de Göttingen, que no mesmo ano anunciou um concurso para o Prêmio Wolfskehl. 100.000 marcos foram concedidos à pessoa que provou o teorema de Fermat. Nem um centavo foi concedido por refutar o teorema...

A maioria dos matemáticos profissionais considerava a busca por uma prova do Último Teorema de Fermat uma tarefa impossível e recusou-se resolutamente a perder tempo com um exercício tão inútil. Mas os amadores se divertiram muito. Poucas semanas após o anúncio, uma avalanche de “evidências” atingiu a Universidade de Göttingen. O professor E.M. Landau, cuja responsabilidade era analisar as provas enviadas, distribuiu cartões aos seus alunos:

Querido. . . . . . . .

Obrigado por me enviar o manuscrito com a prova do Último Teorema de Fermat. O primeiro erro está na página... na linha... . Por causa disso, toda a prova perde a validade.
Professor EM Landau

Em 1963, Paul Cohen, apoiando-se nas descobertas de Gödel, provou a insolubilidade de um dos vinte e três problemas de Hilbert - a hipótese do contínuo. E se o Último Teorema de Fermat também for indecidível?! Mas os verdadeiros fanáticos do Grande Teorema não ficaram nem um pouco desapontados. O advento dos computadores deu repentinamente aos matemáticos um novo método de prova. Após a Segunda Guerra Mundial, equipes de programadores e matemáticos provaram o Último Teorema de Fermat para todos os valores de n até 500, depois até 1.000 e mais tarde até 10.000.

Na década de 1980, Samuel Wagstaff aumentou o limite para 25.000 e, na década de 1990, os matemáticos declararam que o Último Teorema de Fermat era verdadeiro para todos os valores de n até 4 milhões. Mas se você subtrair até mesmo um trilhão de trilhões do infinito, ele não ficará menor. Os matemáticos não são convencidos pelas estatísticas. Provar o Grande Teorema significava prová-lo para TODO e indo até o infinito.

Em 1954, dois jovens amigos matemáticos japoneses começaram a pesquisar formas modulares. Esses formulários geram séries de números, cada um com sua série. Por acaso, Taniyama comparou essas séries com séries geradas por equações elípticas. Eles combinaram! Mas as formas modulares são objetos geométricos e as equações elípticas são algébricas. Nenhuma conexão jamais foi encontrada entre objetos tão diferentes.

No entanto, após testes cuidadosos, amigos apresentaram uma hipótese: toda equação elíptica tem um gêmeo - uma forma modular e vice-versa. Foi essa hipótese que se tornou a base de toda uma direção na matemática, mas até que a hipótese Taniyama-Shimura fosse comprovada, todo o edifício poderia desabar a qualquer momento.

Em 1984, Gerhard Frey mostrou que uma solução para a equação de Fermat, se existir, pode ser incluída em alguma equação elíptica. Dois anos depois, o professor Ken Ribet provou que esta equação hipotética não poderia ter contrapartida no mundo modular. A partir de agora, o Último Teorema de Fermat estava inextricavelmente ligado à conjectura de Taniyama-Shimura. Tendo provado que qualquer curva elíptica é modular, concluímos que não existe equação elíptica com solução para a equação de Fermat, e o Último Teorema de Fermat seria imediatamente provado. Mas durante trinta anos não foi possível provar a hipótese de Taniyama-Shimura e havia cada vez menos esperança de sucesso.

Em 1963, quando tinha apenas dez anos, Andrew Wiles já era fascinado pela matemática. Quando aprendeu sobre o Grande Teorema, percebeu que não poderia desistir dele. Quando estudante, estudante e estudante de pós-graduação, ele se preparou para essa tarefa.

Tendo aprendido sobre as descobertas de Ken Ribet, Wiles mergulhou de cabeça na prova da hipótese de Taniyama-Shimura. Ele decidiu trabalhar em completo isolamento e sigilo. “Percebi que tudo o que tinha a ver com o Último Teorema de Fermat desperta muito interesse... Muitos espectadores obviamente interferem no alcance do objetivo.” Sete anos de trabalho árduo foram recompensados, Wiles finalmente completou a prova da conjectura de Taniyama-Shimura.

Em 1993, o matemático inglês Andrew Wiles apresentou ao mundo sua prova do Último Teorema de Fermat (Wiles leu seu artigo sensacional em uma conferência no Instituto Sir Isaac Newton em Cambridge), trabalho que durou mais de sete anos.

Enquanto o hype continuava na imprensa, um trabalho sério começou a verificar as evidências. Cada evidência deve ser cuidadosamente examinada antes que a evidência possa ser considerada rigorosa e precisa. Wiles passou um verão agitado esperando o feedback dos revisores, na esperança de conseguir sua aprovação. No final de agosto, os especialistas consideraram que a decisão não estava suficientemente fundamentada.

Descobriu-se que esta decisão contém um erro grosseiro, embora em geral seja correta. Wiles não desistiu, recorreu à ajuda do famoso especialista em teoria dos números Richard Taylor, e já em 1994 publicou uma prova corrigida e ampliada do teorema. O mais surpreendente é que este trabalho ocupou até 130 (!) páginas na revista matemática “Annals of Mathematics”. Mas a história também não terminou aí - o ponto final só foi alcançado no ano seguinte, 1995, quando foi publicada a versão final e “ideal”, do ponto de vista matemático, da prova.

“...meio minuto após o início do jantar festivo por ocasião do seu aniversário, apresentei a Nadya o manuscrito da prova completa” (Andrew Wales). Ainda não disse que os matemáticos são pessoas estranhas?

Desta vez não houve dúvidas sobre as evidências. Dois artigos foram submetidos à análise mais cuidadosa e foram publicados em maio de 1995 nos Annals of Mathematics.

Muito tempo se passou desde aquele momento, mas ainda existe uma opinião na sociedade de que o Último Teorema de Fermat é insolúvel. Mas mesmo quem conhece a prova encontrada continua trabalhando nessa direção - poucos estão satisfeitos com o fato de o Grande Teorema exigir uma solução de 130 páginas!

Portanto, agora os esforços de muitos matemáticos (em sua maioria amadores, não cientistas profissionais) estão voltados para a busca por uma prova simples e concisa, mas esse caminho, muito provavelmente, não levará a lugar nenhum...

fonte

Assim, o Último Teorema de Fermat (muitas vezes chamado de último teorema de Fermat), formulado em 1637 pelo brilhante matemático francês Pierre Fermat, é de natureza muito simples e compreensível para qualquer pessoa com ensino médio. Diz que a fórmula a elevado a n + b elevado a n = c elevado a n não tem soluções naturais (ou seja, não fracionárias) para n > 2. Tudo parece simples e claro, mas o os melhores matemáticos e amadores comuns lutaram para encontrar uma solução por mais de três séculos e meio.

NOTÍCIAS DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

CDU 51:37;517.958

A.V. Konovko, Ph.D.

Academia do Corpo de Bombeiros do Estado do Ministério de Situações de Emergência da Rússia O GRANDE TEOREMA DE FERMA FOI PROVADO. OU NÃO?

Durante vários séculos, não foi possível provar que a equação xn+yn=zn para n>2 fosse insolúvel em números racionais e, portanto, em inteiros. Este problema nasceu sob a autoria do advogado francês Pierre Fermat, que ao mesmo tempo se dedicava profissionalmente à matemática. Sua decisão é creditada ao professor americano de matemática Andrew Wiles. Esse reconhecimento durou de 1993 a 1995.

O GRANDE TEOREMA DE FERMA ESTÁ PROVADO. OU NÃO?

A dramática história da prova do último teorema de Fermat é considerada. Demorou quase quatrocentos anos. Pierre Fermat escreveu pouco. Ele escreveu em estilo comprimido. Além disso, ele não publicou suas pesquisas. A afirmação de que a equação xn+yn=zn é insolúvel sobre conjuntos de números racionais e inteiros se n>2 foi acompanhado pelo comentário de Fermat de que ele encontrou uma prova realmente notável para esta afirmação. Os descendentes não foram alcançados por esta prova. Mais tarde, esta afirmação foi chamada de último teorema de Fermat. Os melhores matemáticos do mundo quebraram a lança sobre este teorema sem resultado. Na década de setenta, o matemático francês, membro da Academia de Ciências de Paris, Andre Veil, estabeleceu novas abordagens para a solução. em 1993, na conferência de teoria dos números em Cambridge, o matemático da Universidade de Princeton, Andrew Whiles, anunciou que a última prova do teorema de Fermat estava concluída. No entanto, era cedo para triunfar.

Em 1621, o escritor francês e amante da matemática Claude Gaspard Bachet de Meziriak publicou o tratado grego "Aritmética" de Diofanto com tradução e comentários para o latim. O luxuoso “Aritmética”, com margens excepcionalmente amplas, caiu nas mãos de Fermat, de 20 anos, e tornou-se seu livro de referência por muitos anos. Nas margens deixou 48 notas contendo os fatos que descobriu sobre as propriedades dos números. Aqui, à margem da “Aritmética”, foi formulado o grande teorema de Fermat: “É impossível decompor um cubo em dois cubos ou um biquadrado em dois biquadrados, ou em geral uma potência maior que dois em duas potências com o mesmo expoente; Encontrei uma prova verdadeiramente maravilhosa disso, que por falta de espaço não cabe nestes campos." Aliás, em latim fica assim: “Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstram mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.”

O grande matemático francês Pierre Fermat (1601-1665) desenvolveu um método para determinar áreas e volumes e criou um novo método de tangentes e extremos. Junto com Descartes, tornou-se o criador da geometria analítica, junto com Pascal esteve nas origens da teoria da probabilidade, no campo do método infinitesimal deu a regra geral de diferenciação e provou de forma geral a regra de integração de um função de poder... Mas, o mais importante, uma das histórias misteriosas e dramáticas mais importantes que já chocaram a matemática - a história da prova do último teorema de Fermat. Agora, este teorema é expresso na forma de uma afirmação simples: a equação xn + yn = zn para n>2 é insolúvel em números racionais e, portanto, em inteiros. A propósito, para o caso n = 3, o matemático da Ásia Central Al-Khojandi tentou provar este teorema no século X, mas a sua prova não sobreviveu.

Natural do sul da França, Pierre Fermat recebeu formação jurídica e, a partir de 1631, serviu como conselheiro do parlamento da cidade de Toulouse (ou seja, o tribunal de mais alta instância). Depois de um dia de trabalho dentro dos muros do parlamento, ele começou a estudar matemática e imediatamente mergulhou em um mundo completamente diferente. Dinheiro, prestígio, reconhecimento público – nada disso importava para ele. A ciência nunca se tornou um meio de subsistência para ele, não se transformou em um ofício, permanecendo sempre apenas um emocionante jogo mental, compreensível apenas para alguns. Ele manteve sua correspondência com eles.

Fermat nunca escreveu artigos científicos no sentido usual. E na sua correspondência com os amigos há sempre algum desafio, até uma espécie de provocação, e de forma alguma uma apresentação académica do problema e da sua solução. É por isso que muitas de suas cartas posteriormente passaram a ser chamadas de desafio.

Talvez seja precisamente por isso que ele nunca percebeu a sua intenção de escrever um ensaio especial sobre a teoria dos números. Enquanto isso, essa era sua área favorita da matemática. Foi a ela que Fermat dedicou os versos mais inspirados de suas cartas. "A aritmética", escreveu ele, "tem seu próprio campo, a teoria dos inteiros. Esta teoria foi apenas ligeiramente abordada por Euclides e não foi suficientemente desenvolvida por seus seguidores (a menos que estivesse contida nas obras de Diofanto, que as devastações de o tempo nos privou). Os aritméticos, portanto, devem desenvolvê-lo e renová-lo."

Por que o próprio Fermat não tinha medo dos efeitos destrutivos do tempo? Escrevia pouco e sempre de forma muito concisa. Mas, o mais importante, ele não publicou seu trabalho. Durante sua vida, eles circularam apenas em manuscritos. Não é surpreendente, portanto, que os resultados de Fermat sobre a teoria dos números tenham chegado até nós de forma dispersa. Mas Bulgakov provavelmente estava certo: grandes manuscritos não queimam! O trabalho de Fermat permanece. Permaneceram em suas cartas aos amigos: o professor de matemática de Lyon Jacques de Billy, o empregado da casa da moeda Bernard Freniquel de Bessy, Marcenny, Descartes, Blaise Pascal... O que restou foi a "Aritmética" de Diofanto com seus comentários nas margens, que depois A morte de Fermat foi incluída juntamente com comentários de Bachet na nova edição de Diofanto, publicada por seu filho mais velho, Samuel, em 1670. Apenas a evidência em si não sobreviveu.

Dois anos antes de sua morte, Fermat enviou ao amigo Carcavi uma carta testamento, que ficou na história da matemática com o título “Resumo de novos resultados na ciência dos números”. Nesta carta, Fermat provou sua famosa afirmação para o caso n = 4. Mas então ele provavelmente não estava interessado na afirmação em si, mas no método de prova que descobriu, que o próprio Fermat chamou de descida infinita ou indefinida.

Manuscritos não queimam. Mas, se não fosse pela dedicação de Samuel, que após a morte de seu pai coletou todos os seus esboços matemáticos e pequenos tratados, e depois os publicou em 1679 sob o título “Obras Matemáticas Diversas”, os matemáticos eruditos teriam que descobrir e redescobrir muito. . Mas mesmo após a sua publicação, os problemas colocados pelo grande matemático permaneceram imóveis por mais de setenta anos. E isso não é surpreendente. Na forma como apareceram impressos, os resultados da teoria dos números de P. Fermat apareceram diante dos especialistas na forma de problemas graves que nem sempre eram claros para os contemporâneos, quase sem comprovação, e indícios de conexões lógicas internas entre eles. Talvez, na ausência de uma teoria coerente e bem pensada, esteja a resposta à questão de por que o próprio Fermat nunca decidiu publicar um livro sobre teoria dos números. Setenta anos depois, L. Euler interessou-se por estas obras, e este foi verdadeiramente o seu segundo nascimento...

A matemática pagou caro pela maneira peculiar de Fermat apresentar seus resultados, como se omitisse deliberadamente suas provas. Mas, se Fermat afirmasse ter provado este ou aquele teorema, então este teorema foi posteriormente provado. No entanto, houve um problema com o grande teorema.

Um mistério sempre excita a imaginação. Continentes inteiros foram conquistados pelo misterioso sorriso de Gioconda; A teoria da relatividade, como chave para o mistério das conexões espaço-tempo, tornou-se a teoria física mais popular do século. E podemos dizer com segurança que não houve outro problema matemático tão popular quanto ___93

Problemas científicos e educacionais da proteção civil

Qual é o teorema de Fermat? As tentativas de prová-lo levaram à criação de um extenso ramo da matemática - a teoria dos números algébricos, mas (infelizmente!) o teorema em si permaneceu sem comprovação. Em 1908, o matemático alemão Wolfskehl legou 100.000 marcos a quem conseguisse provar o teorema de Fermat. Esta foi uma quantia enorme para aqueles tempos! Em um momento você poderá se tornar não apenas famoso, mas também fabulosamente rico! Não é de surpreender, portanto, que estudantes do ensino médio, mesmo na Rússia, longe da Alemanha, competindo entre si, se apressassem em provar o grande teorema. O que podemos dizer sobre matemáticos profissionais! Mas em vão! Após a Primeira Guerra Mundial, o dinheiro perdeu o valor e o fluxo de cartas com pseudoevidências começou a diminuir, embora, é claro, nunca tenha parado. Dizem que o famoso matemático alemão Edmund Landau preparou formulários impressos para enviar aos autores das provas do teorema de Fermat: “Há um erro na página..., na linha...”. (O professor assistente foi encarregado de encontrar o erro.) Havia tantas esquisitices e anedotas relacionadas à prova desse teorema que seria possível compilar um livro com elas. A última anedota é a história policial de A. Marinina, “Coincidência de Circunstâncias”, filmada e exibida nas telas de televisão do país em janeiro de 2000. Nele, o nosso compatriota prova um teorema não provado por todos os seus grandes antecessores e reivindica o Prémio Nobel por isso. Como se sabe, o inventor da dinamite ignorou os matemáticos em seu testamento, de modo que o autor da prova só poderia reivindicar a Medalha de Ouro Fields, o mais alto prêmio internacional aprovado pelos próprios matemáticos em 1936.

Na obra clássica do notável matemático russo A.Ya. Khinchin, dedicado ao grande teorema de Fermat, fornece informações sobre a história deste problema e presta atenção ao método que Fermat poderia ter usado para provar o seu teorema. Uma prova para o caso n = 4 e uma breve revisão de outros resultados importantes são fornecidas.

Mas no momento em que a história policial foi escrita, e mais ainda no momento em que foi filmada, a prova geral do teorema já havia sido encontrada. Em 23 de junho de 1993, numa conferência sobre teoria dos números em Cambridge, o matemático Andrew Wiles, de Princeton, anunciou que o Último Teorema de Fermat havia sido provado. Mas não como o próprio Fermat “prometeu”. O caminho seguido por Andrew Wiles não se baseou nos métodos da matemática elementar. Ele estudou a chamada teoria das curvas elípticas.

Para se ter uma ideia das curvas elípticas, você precisa considerar uma curva plana definida por uma equação de terceiro grau

Y(x,y) = a30X + a21x2y+ ... + a1x+ a2y + a0 = 0. (1)

Todas essas curvas são divididas em duas classes. A primeira classe inclui aquelas curvas que possuem pontos de nitidez (como a parábola semicúbica y2 = a2-X com o ponto de nitidez (0; 0)), pontos de autointersecção (como a folha cartesiana x3+y3-3axy = 0 , no ponto (0; 0)), bem como curvas para as quais o polinômio Dx,y) é representado na forma

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

onde ^(x,y) e ^(x,y) são polinômios de graus inferiores. As curvas desta classe são chamadas de curvas degeneradas de terceiro grau. A segunda classe de curvas é formada por curvas não degeneradas; vamos chamá-los de elípticos. Estes podem incluir, por exemplo, o Agnesi Curl (x2 + a2)y - a3 = 0). Se os coeficientes do polinômio (1) forem números racionais, então a curva elíptica pode ser transformada na chamada forma canônica

y2= x3 + machado + b. (2)

Em 1955, o matemático japonês Y. Taniyama (1927-1958), no âmbito da teoria das curvas elípticas, conseguiu formular uma hipótese que abriu caminho para a prova do teorema de Fermat. Mas nem o próprio Taniyama nem os seus colegas suspeitaram disso na altura. Durante quase vinte anos esta hipótese não atraiu muita atenção e tornou-se popular apenas em meados dos anos 70. De acordo com a conjectura de Taniyama, toda elíptica

uma curva com coeficientes racionais é modular. Contudo, até agora a formulação da hipótese diz pouco ao leitor meticuloso. Portanto, algumas definições são necessárias.

Cada curva elíptica pode estar associada a uma característica numérica importante – seu discriminante. Para uma curva dada na forma canônica (2), o discriminante A é determinado pela fórmula

UMA = -(4a + 27b2).

Seja E alguma curva elíptica dada pela equação (2), onde a e b são inteiros.

Para um número primo p, considere a comparação

y2 = x3 + machado + b(mod p), (3)

onde aeb são os restos da divisão dos inteiros aeb por p, e denotamos por np o número de soluções para esta comparação. Os números pr são muito úteis no estudo da questão da solubilidade de equações da forma (2) em números inteiros: se algum pr for igual a zero, então a equação (2) não tem soluções inteiras. No entanto, só é possível calcular números nos casos mais raros. (Ao mesmo tempo sabe-se que р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).

Consideremos aqueles números primos p que dividem o discriminante A da curva elíptica (2). Pode-se provar que para tal p o polinômio x3 + ax + b pode ser escrito de duas maneiras:

x3 + machado + b = (x + a)2 (x + ß)(mod P)

x3 + machado + b = (x + y)3 (mod p),

onde a, ß, y são alguns restos da divisão por p. Se para todos os primos p dividindo o discriminante da curva, a primeira das duas possibilidades indicadas for realizada, então a curva elíptica é chamada de semiestável.

Os números primos que dividem o discriminante podem ser combinados no que é chamado de gabarito de curva elíptica. Se E é uma curva semiestável, então seu condutor N é dado pela fórmula

onde para todos os números primos p > 5 dividindo A, o expoente eP é igual a 1. Os expoentes 82 e 83 são calculados usando um algoritmo especial.

Essencialmente, isso é tudo o que é necessário para compreender a essência da prova. No entanto, a hipótese de Taniyama contém um conceito complexo e, no nosso caso, chave de modularidade. Portanto, vamos esquecer por um momento as curvas elípticas e considerar a função analítica f (isto é, a função que pode ser representada por uma série de potências) do argumento complexo z, dado no semiplano superior.

Denotamos por H o ​​semiplano complexo superior. Seja N um número natural ek um número inteiro. Uma forma parabólica modular de peso k de nível N é uma função analítica f(z) definida no semiplano superior e satisfazendo a relação

f = (cz + d)kf (z) (5)

para quaisquer inteiros a, b, c, d tais que ae - bc = 1 e c seja divisível por N. Além disso, assume-se que

lim f (r + isto) = 0,

onde r é um número racional, e que

O espaço de formas parabólicas modulares de peso k de nível N é denotado por Sk(N). Pode-se mostrar que tem dimensão finita.

A seguir, estaremos especialmente interessados ​​em formas parabólicas modulares de peso 2. Para N pequeno, a dimensão do espaço S2(N) é apresentada na Tabela. 1. Em particular,

Dimensões do espaço S2(N)

tabela 1

N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

Da condição (5) segue que % + 1) = para cada forma f e S2(N). Portanto, f é uma função periódica. Tal função pode ser representada como

Chamaremos uma forma parabólica modular de A^) em S2(N) propriamente dita se seus coeficientes forem inteiros que satisfaçam as relações:

a g ■ a = a g+1 ■ p ■ c Г_1 para um p simples que não divide o número N; (8)

(ap) para um p primo dividindo o número N;

atn = em um, se (t,n) = 1.

Formulemos agora uma definição que desempenha um papel fundamental na prova do teorema de Fermat. Uma curva elíptica com coeficientes racionais e condutor N é chamada modular se existe tal forma própria

f (z) = ^anq"g S2(N),

que ap = p - pr para quase todos os números primos p. Aqui n é o número de soluções de comparação (3).

É difícil acreditar na existência de pelo menos uma dessas curvas. É bastante difícil imaginar que haveria uma função A(r) que satisfizesse as restrições estritas listadas (5) e (8), que seria expandida na série (7), cujos coeficientes estariam associados a valores praticamente incomputáveis números pr. Mas a ousada hipótese de Taniyama não levantou dúvidas sobre o facto da sua existência, e o material empírico acumulado ao longo do tempo confirmou brilhantemente a sua validade. Após duas décadas de esquecimento quase total, a hipótese de Taniyama recebeu uma espécie de segundo fôlego nos trabalhos do matemático francês, membro da Academia de Ciências de Paris, André Weil.

Nascido em 1906, A. Weil acabou se tornando um dos fundadores de um grupo de matemáticos que atuou sob o pseudônimo de N. Bourbaki. Desde 1958, A. Weil tornou-se professor do Instituto de Estudos Avançados de Princeton. E o surgimento de seu interesse pela geometria algébrica abstrata remonta a esse mesmo período. Na década de setenta, ele se voltou para as funções elípticas e para a conjectura de Taniyama. A monografia sobre funções elípticas foi traduzida aqui na Rússia. Ele não está sozinho em seu hobby. Em 1985, o matemático alemão Gerhard Frey propôs que se o teorema de Fermat for falso, isto é, se existe um triplo de inteiros a, b, c tal que a" + bn = c" (n > 3), então a curva elíptica

y2 = x (x - a")-(x - cn)

não pode ser modular, o que contradiz a conjectura de Taniyama. O próprio Frey não conseguiu provar esta afirmação, mas logo a prova foi obtida pelo matemático americano Kenneth Ribet. Em outras palavras, Ribet mostrou que o teorema de Fermat é uma consequência da conjectura de Taniyama.

Ele formulou e provou o seguinte teorema:

Teorema 1 (Ribet). Seja E uma curva elíptica com coeficientes racionais e tendo um discriminante

e condutor

Suponhamos que E seja modular e

/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)

é a forma adequada correspondente do nível N. Fixamos um número primo £, e

р:еР =1;- " 8 р

Então existe uma forma parabólica

/(g) = 2 dnqn e N)

com coeficientes inteiros tais que as diferenças e - dn são divisíveis por I para todos os 1< п<ад.

É claro que se este teorema for provado para um determinado expoente, então também será provado para todos os expoentes divisíveis por n. Como todo número inteiro n > 2 é divisível por 4 ou por um número primo ímpar, podemos, portanto, nos limitar a o caso quando o expoente é 4 ou um número primo ímpar. Para n = 4, uma prova elementar do teorema de Fermat foi obtida primeiro pelo próprio Fermat e depois por Euler. Assim, basta estudar a equação

a1 + b1 = c1, (12)

em que o expoente I é um número primo ímpar.

Agora o teorema de Fermat pode ser obtido por cálculos simples (2).

Teorema 2. O último teorema de Fermat segue da conjectura de Taniyama para curvas elípticas semiestáveis.

Prova. Suponhamos que o teorema de Fermat seja falso e que haja um contra-exemplo correspondente (como acima, aqui I é um primo ímpar). Vamos aplicar o Teorema 1 à curva elíptica

y2 = x (x - ae) (x - c1).

Cálculos simples mostram que o condutor desta curva é dado pela fórmula

Comparando as fórmulas (11) e (13), vemos que N = 2. Portanto, pelo Teorema 1 existe uma forma parabólica

deitado no espaço 82(2). Mas em virtude da relação (6), este espaço é zero. Portanto, dn = 0 para todo n. Ao mesmo tempo, a^ = 1. Portanto, a diferença ag - dl = 1 não é divisível por I e chegamos a uma contradição. Assim, o teorema está provado.

Este teorema forneceu a chave para a prova do Último Teorema de Fermat. E, no entanto, a hipótese em si ainda não foi comprovada.

Tendo anunciado em 23 de junho de 1993 a prova da conjectura de Taniyama para curvas elípticas semiestáveis, que incluem curvas da forma (8), Andrew Wiles estava com pressa. Era muito cedo para os matemáticos comemorarem sua vitória.

O verão quente terminou rapidamente, o outono chuvoso ficou para trás e o inverno chegou. Wiles escreveu e reescreveu a versão final de sua prova, mas colegas meticulosos encontraram cada vez mais imprecisões em seu trabalho. E assim, no início de Dezembro de 1993, poucos dias antes de o manuscrito de Wiles ser impresso, foram novamente descobertas sérias lacunas nas suas provas. E então Wiles percebeu que não conseguiria consertar nada em um ou dois dias. Isso exigiu melhorias sérias. A publicação da obra teve que ser adiada. Wiles pediu ajuda a Taylor. “Trabalhar nos erros” demorou mais de um ano. A versão final da prova da conjectura de Taniyama, escrita por Wiles em colaboração com Taylor, foi publicada apenas no verão de 1995.

Ao contrário do herói A. Marinina, Wiles não se candidatou ao Prêmio Nobel, mas mesmo assim... deveria ter recebido algum tipo de prêmio. Mas qual deles? Wiles já tinha cinquenta anos naquela época, e as medalhas de ouro de Fields são concedidas estritamente até os quarenta anos, quando o pico da atividade criativa ainda não passou. E então decidiram estabelecer um prêmio especial para Wiles - o distintivo de prata do Comitê Fields. Este distintivo foi apresentado a ele no próximo congresso de matemática em Berlim.

De todos os problemas que podem, com maior ou menor probabilidade, substituir o último teorema de Fermat, o problema do empacotamento mais próximo de bolas tem a maior chance. O problema do empacotamento mais denso de bolas pode ser formulado como o problema de como dobrar laranjas de maneira mais econômica em uma pirâmide. Os jovens matemáticos herdaram esta tarefa de Johannes Kepler. O problema surgiu em 1611, quando Kepler escreveu um pequeno ensaio “Sobre flocos de neve hexagonais”. O interesse de Kepler no arranjo e auto-organização das partículas de matéria levou-o a discutir outra questão - o empacotamento mais denso de partículas, no qual elas ocupam o menor volume. Se assumirmos que as partículas têm a forma de bolas, então fica claro que não importa como estejam localizadas no espaço, inevitavelmente permanecerão lacunas entre elas, e a questão é reduzir ao mínimo o volume das lacunas. No trabalho, por exemplo, é afirmado (mas não comprovado) que tal forma é um tetraedro, cujos eixos coordenados internos determinam o ângulo de ortogonalidade básico de 109°28", e não 90°. Este problema é de grande importância para física de partículas, cristalografia e outros ramos das ciências naturais.

Literatura

1. Weil A. Funções elípticas segundo Eisenstein e Kronecker. - M., 1978.

2. Solovyov Yu.P. A conjectura de Taniyama e o último teorema de Fermat // Revista educacional de Soros. - Nº 2. - 1998. - S. 78-95.

3. Último Teorema de Singh S. Fermat. A história de um mistério que ocupa as melhores mentes do mundo há 358 anos / Trans. do inglês Yu.A. Danilova. M.: MTsNMO. 2000. - 260 p.

4. Mirmovich E.G., Usacheva T.V. Álgebra de quatérnios e rotações tridimensionais // Esta revista nº 1(1), 2008. - P. 75-80.