Por que vivemos no espaço tridimensional? Espaço tridimensional: vetores, coordenadas Onde é usado o espaço tridimensional?

Lança o projeto “Pergunta a um Cientista”, no qual especialistas responderão questões interessantes, ingênuas ou práticas. Nesta edição, o Candidato em Ciências Físicas e Matemáticas Ilya Shchurov fala sobre 4D e se é possível entrar na quarta dimensão.

O que é espaço quadridimensional (“4D”)?

Ilya Shchurov

Candidato em Ciências Físicas e Matemáticas, Professor Associado do Departamento de Matemática Superior, Escola Superior de Economia da National Research University

Vamos começar com o objeto geométrico mais simples - um ponto. Um ponto tem dimensão zero. Não tem comprimento, nem largura, nem altura.

Agora vamos mover o ponto ao longo de uma linha reta por alguma distância. Digamos que nosso ponto seja a ponta de um lápis; quando o movemos, ele traçou uma linha. Um segmento tem comprimento e não tem mais dimensões - é unidimensional. O segmento “vive” em linha reta; uma linha reta é um espaço unidimensional.

Agora vamos pegar um segmento e tentar movê-lo, como antes de um ponto. (Você pode imaginar que nosso segmento é a base de um pincel largo e muito fino.) Se ultrapassarmos a linha e nos movermos em uma direção perpendicular, obteremos um retângulo. Um retângulo tem duas dimensões – largura e altura. Um retângulo está em um determinado plano. Um plano é um espaço bidimensional (2D), um sistema de coordenadas bidimensional pode ser introduzido nele - cada ponto corresponderá a um par de números. (Por exemplo, o sistema de coordenadas cartesianas num quadro negro ou latitude e longitude num mapa geográfico.)

Se você mover um retângulo em uma direção perpendicular ao plano em que ele se encontra, obterá um “tijolo” (um paralelepípedo retangular) - um objeto tridimensional que possui comprimento, largura e altura; ele está localizado no espaço tridimensional - o mesmo em que você e eu vivemos. Portanto, temos uma boa ideia de como são os objetos tridimensionais. Mas se vivêssemos num espaço bidimensional - num plano - teríamos que forçar um pouco a nossa imaginação para imaginar como poderíamos mover o retângulo para que ele saísse do plano em que vivemos.

Também é muito difícil imaginarmos o espaço quadridimensional, embora seja muito fácil descrevê-lo matematicamente. O espaço tridimensional é um espaço em que a posição de um ponto é dada por três números (por exemplo, a posição de um avião é dada pela longitude, latitude e altitude acima do nível do mar). No espaço quadridimensional, um ponto corresponde a quatro números de coordenadas. Um “tijolo quadridimensional” é obtido deslocando um tijolo comum ao longo de alguma direção que não se encontra no nosso espaço tridimensional; tem quatro dimensões.

Na verdade, todos os dias nos deparamos com um espaço quadridimensional: por exemplo, ao marcar uma data, indicamos não só o local do encontro (pode ser especificado por três números), mas também a hora (pode ser especificado por um número - por exemplo, o número de segundos que se passaram desde uma determinada data). Se você olhar para um tijolo real, ele não tem apenas comprimento, largura e altura, mas também uma extensão no tempo - desde o momento da criação até o momento da destruição.

Um físico dirá que vivemos não apenas no espaço, mas também no espaço-tempo; o matemático acrescentará que é quadridimensional. Portanto, a quarta dimensão está mais próxima do que parece.

Tarefas:

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Defina o que é o espaço pentadimensional (5D). Como deveria ser um filme 5D?

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Desde o curso escolar de álgebra e geometria, conhecemos o conceito de espaço tridimensional. Se você olhar para ele, o próprio termo “espaço tridimensional” é definido como um sistema de coordenadas com três dimensões (todo mundo sabe disso). Na verdade, qualquer objeto tridimensional pode ser descrito usando comprimento, largura e altura no sentido clássico. No entanto, vamos nos aprofundar um pouco mais, como dizem.

O que é espaço tridimensional

Como já ficou claro, a compreensão do espaço tridimensional e dos objetos que podem existir dentro dele é determinada por três conceitos básicos. É verdade que, no caso de um ponto, são exatamente três valores, e no caso de linhas retas, curvas, quebradas ou objetos volumétricos, pode haver mais coordenadas correspondentes.

Neste caso, tudo depende do tipo de objeto e do sistema de coordenadas utilizado. Hoje, o mais comum (clássico) é o sistema cartesiano, às vezes também chamado de retangular. Ela e algumas outras variedades serão discutidas um pouco mais tarde.

Entre outras coisas, aqui é necessário distinguir entre conceitos abstratos (por assim dizer, sem forma) como pontos, linhas ou planos e figuras que possuem dimensões finitas ou mesmo volume. Para cada uma dessas definições, existem também equações que descrevem sua possível posição no espaço tridimensional. Mas não se trata disso agora.

O conceito de um ponto no espaço tridimensional

Primeiro, vamos definir o que representa um ponto no espaço tridimensional. Em geral, pode ser chamada de determinada unidade básica que define qualquer figura plana ou tridimensional, reta, segmento, vetor, plano, etc.

O ponto em si é caracterizado por três coordenadas principais. Para eles, no sistema retangular, são utilizadas guias especiais, denominadas eixos X, Y e Z, sendo que os dois primeiros eixos servem para expressar a posição horizontal do objeto, e o terceiro relativo ao ajuste vertical das coordenadas. Naturalmente, para a conveniência de expressar a posição de um objeto em relação às coordenadas zero, o sistema aceita valores positivos e negativos. Porém, hoje você pode encontrar outros sistemas.

Tipos de sistemas de coordenadas

Como já mencionado, o sistema de coordenadas retangulares criado por Descartes é o principal hoje. No entanto, algumas técnicas para especificar a localização de um objeto no espaço tridimensional também utilizam algumas outras variações.

Os mais famosos são os sistemas cilíndrico e esférico. A diferença do clássico é que ao especificar as mesmas três grandezas que determinam a localização de um ponto no espaço tridimensional, um dos valores é angular. Em outras palavras, tais sistemas utilizam um círculo correspondente a um ângulo de 360 graus. Daí a atribuição específica de coordenadas, incluindo elementos como raio, ângulo e geratriz. As coordenadas em um espaço tridimensional (sistema) deste tipo estão sujeitas a leis ligeiramente diferentes. Sua tarefa neste caso é controlada pela regra da mão direita: se você alinhar o polegar e o indicador com os eixos X e Y, respectivamente, os dedos restantes em uma posição curva apontarão na direção do eixo Z.

O conceito de linha reta no espaço tridimensional

Agora, algumas palavras sobre o que é uma linha reta no espaço tridimensional. Com base no conceito básico de linha reta, trata-se de uma espécie de linha infinita traçada através de um ou dois pontos, sem contar os muitos pontos localizados em uma sequência que não altera a passagem direta da linha por eles.

Se você olhar para uma linha traçada através de dois pontos no espaço tridimensional, terá que levar em conta três coordenadas de ambos os pontos. O mesmo se aplica a segmentos e vetores. Estes últimos determinam a base do espaço tridimensional e sua dimensão.

Definição de vetores e base do espaço tridimensional

Observe que só podem ser três vetores, mas você pode definir quantos trigêmeos de vetores desejar. A dimensão do espaço é determinada pelo número de vetores linearmente independentes (no nosso caso, três). E um espaço no qual existe um número finito de tais vetores é chamado de dimensão finita.

Vetores dependentes e independentes

No que diz respeito à definição de vetores dependentes e independentes, os vetores linearmente independentes são considerados projeções (por exemplo, vetores do eixo X projetados no eixo Y).

Como já está claro, qualquer quarto vetor é dependente (a teoria dos espaços lineares). Mas três vetores independentes no espaço tridimensional não devem estar no mesmo plano. Além disso, se vetores independentes são definidos no espaço tridimensional, eles não podem ser, por assim dizer, uma continuação do outro. Como já está claro, no caso das três dimensões que estamos considerando, de acordo com a teoria geral, é possível construir exclusivamente apenas tripletos de vetores linearmente independentes em um determinado sistema de coordenadas (não importa o tipo).

Plano no espaço tridimensional

Se considerarmos o conceito de plano, sem entrar em definições matemáticas, para uma compreensão mais simples deste termo, tal objeto pode ser considerado exclusivamente bidimensional. Em outras palavras, esta é uma coleção infinita de pontos para os quais uma das coordenadas é constante.

Por exemplo, um plano pode ser chamado de qualquer número de pontos com coordenadas diferentes ao longo dos eixos X e Y, mas com as mesmas coordenadas ao longo do eixo Z. Em qualquer caso, uma das coordenadas tridimensionais permanece inalterada. No entanto, este é, por assim dizer, um caso geral. Em algumas situações, o espaço tridimensional pode ser interceptado por um plano ao longo de todos os eixos.

Existem mais de três dimensões?

A questão de quantas dimensões pode haver é bastante interessante. Acredita-se que não vivemos em um espaço tridimensional do ponto de vista clássico, mas sim em um espaço quadridimensional. Além do comprimento, largura e altura conhecidos por todos, esse espaço também inclui o tempo de existência de um objeto, e o tempo e o espaço estão fortemente interligados. Isto foi provado por Einstein na sua teoria da relatividade, embora esteja mais relacionado com a física do que com a álgebra e a geometria.

Outro fato interessante é que hoje os cientistas já comprovaram a existência de pelo menos doze dimensões. É claro que nem todos serão capazes de compreender o que são, pois se referem antes a uma determinada área abstrata que está fora da percepção humana do mundo. No entanto, o facto permanece. E não é à toa que muitos antropólogos e historiadores argumentam que nossos ancestrais poderiam ter tido alguns órgãos sensoriais específicos desenvolvidos, como o terceiro olho, que ajudou a perceber a realidade multidimensional, e não exclusivamente o espaço tridimensional.

Aliás, hoje existem muitas opiniões sobre o fato de que a percepção extra-sensorial também é uma das manifestações da percepção do mundo multidimensional, e muitas evidências podem ser encontradas nisso.

Observe que também nem sempre é possível descrever espaços multidimensionais que diferem do nosso mundo quadridimensional com equações e teoremas básicos modernos. E a ciência nesta área pertence mais ao domínio das teorias e pressupostos, do que àquilo que pode ser claramente sentido ou, por assim dizer, tocado ou visto com os próprios olhos. No entanto, hoje ninguém duvida da evidência indireta da existência de mundos multidimensionais, nos quais podem existir quatro ou mais dimensões.

Conclusão

Em geral, revisamos brevemente os conceitos básicos relacionados ao espaço tridimensional e às definições básicas. Naturalmente, existem muitos casos especiais associados a diferentes sistemas de coordenadas. Além disso, procuramos não entrar na selva matemática para explicar os termos básicos apenas para que a questão a eles relacionada ficasse clara para qualquer aluno (por assim dizer, uma explicação “nos dedos”).

No entanto, parece que mesmo a partir de interpretações tão simples se pode tirar uma conclusão sobre o aspecto matemático de todos os componentes incluídos no curso básico de álgebra e geometria.

Em que pedimos aos nossos cientistas que respondam a questões bastante simples, à primeira vista, mas controversas dos leitores. Para você, selecionamos as respostas mais interessantes dos especialistas do PostNauka.

Todos estão familiarizados com a abreviatura 3D, que significa “tridimensional” (a letra D vem da palavra dimensão). Por exemplo, ao escolher um filme marcado em 3D no cinema, temos a certeza: para assisti-lo teremos que usar óculos especiais, mas a imagem não será plana, mas sim tridimensional. O que é 4D? O “espaço quadridimensional” existe na realidade? E é possível entrar na “quarta dimensão”?

Para responder a essas perguntas, vamos começar com o objeto geométrico mais simples – um ponto. O ponto é de dimensão zero. Não tem comprimento, nem largura, nem altura.

// 8 células simples

Agora vamos mover o ponto ao longo de uma linha reta por alguma distância. Digamos que nosso ponto seja a ponta de um lápis; quando o movemos, ele traçou uma linha. Um segmento tem comprimento e nenhuma outra dimensão: é unidimensional. O segmento “vive” em linha reta; uma linha reta é um espaço unidimensional.

Agora vamos pegar num segmento e tentar movê-lo da mesma forma que movemos um ponto antes. Você pode imaginar que nosso segmento é a base de um pincel largo e muito fino. Se ultrapassarmos a linha e nos movermos em uma direção perpendicular, obteremos um retângulo. Um retângulo tem duas dimensões – largura e altura. Um retângulo está em um determinado plano. Um plano é um espaço bidimensional (2D), um sistema de coordenadas bidimensional pode ser introduzido nele - cada ponto corresponderá a um par de números. (Por exemplo, o sistema de coordenadas cartesianas num quadro negro ou latitude e longitude num mapa geográfico.)

Se você mover um retângulo em uma direção perpendicular ao plano em que ele se encontra, obterá um “tijolo” (um paralelepípedo retangular) - um objeto tridimensional que possui comprimento, largura e altura; está localizado no espaço tridimensional, o mesmo em que você e eu vivemos. Portanto, temos uma boa ideia de como são os objetos tridimensionais. Mas se vivêssemos num espaço bidimensional - num plano - teríamos que forçar um pouco a nossa imaginação para imaginar como poderíamos mover o retângulo para que ele saísse do plano em que vivemos.

Na verdade, encontramos todos os dias um espaço quadridimensional: por exemplo, ao marcar uma data, indicamos não só o local do encontro (pode ser especificado por três números), mas também a hora (pode ser especificado por um único número , por exemplo, o número de segundos que se passaram desde uma determinada data). Se você olhar para um tijolo real, ele não tem apenas comprimento, largura e altura, mas também uma extensão no tempo - desde o momento da criação até o momento da destruição.

Espaço tridimensional – possui três dimensões homogêneas: altura, largura e comprimento. Este é um modelo geométrico do nosso mundo material.

Para compreender a natureza do espaço físico, primeiro precisamos responder à questão sobre a origem da sua dimensão. Portanto, o valor da dimensão, como se pode verificar, é a característica mais significativa do espaço físico.

Dimensão do espaço

A dimensão é a propriedade quantificável mais geral do espaço-tempo. Atualmente, uma teoria física que pretende fornecer uma descrição espaço-temporal da realidade toma o valor da dimensão como postulado inicial. O conceito de número de dimensões, ou dimensão do espaço, é um dos conceitos mais fundamentais da matemática e da física.

A física moderna chegou perto de responder à questão metafísica colocada nas obras do físico e filósofo austríaco Ernst Mach: “Por que o espaço é tridimensional?” Acredita-se que o fato da tridimensionalidade do espaço esteja associado às propriedades fundamentais do mundo material.

O desenvolvimento de um processo a partir de um ponto gera espaço, ou seja, o local onde deverá ocorrer a implementação do programa de desenvolvimento. “O espaço gerado “é para nós a forma do Universo, ou a forma da matéria no Universo”.

Isso é o que eles pensavam nos tempos antigos...

Até Ptolomeu escreveu sobre o tema da dimensão do espaço, onde argumentou que mais de três dimensões espaciais não podem existir na natureza. Em seu livro “Sobre o Céu”, outro pensador grego, Aristóteles, escreveu que somente a presença de três dimensões garante a perfeição e completude do mundo. Uma dimensão, raciocinou Aristóteles, forma uma linha. Se adicionarmos outra dimensão à linha, obteremos uma superfície. Adicionar outra dimensão à superfície forma um corpo volumétrico.

Acontece que “não é mais possível ultrapassar os limites do corpo volumétrico para outra coisa, pois qualquer alteração ocorre por algum tipo de deficiência, e aqui não existe. A linha acima do pensamento de Aristóteles sofre de uma fraqueza significativa: ainda não está claro por que razão exatamente um corpo volumétrico tridimensional tem completude e perfeição. Houve uma época em que Galileu ridicularizou, com razão, a opinião de que “o número “3” é um número perfeito e que é dotado da capacidade de conferir perfeição a tudo o que tem trindade”.

Como é determinada a dimensão do espaço?

O espaço tem extensão infinita em todas as direções. Porém, só pode ser medido em três direções independentes: comprimento, largura e altura; Chamamos essas direções de dimensões do espaço e dizemos que o nosso espaço tem três dimensões, que é tridimensional. Além disso, “neste caso chamamos de direção independente uma linha perpendicular a outra. Tais linhas, ou seja, situados simultaneamente em ângulos retos entre si e não paralelos entre si, nossa geometria conhece apenas três. Ou seja, a dimensionalidade do nosso espaço é determinada pelo número de linhas possíveis nele que formam ângulos retos entre si. Não pode haver outra linha em uma linha – é um espaço unidimensional. Existem 2 perpendiculares possíveis na superfície - este é um espaço bidimensional. No “espaço” existem três perpendiculares – este é o espaço tridimensional.”

Por que o espaço é tridimensional?

Rara em condições terrenas, a experiência de materialização de pessoas muitas vezes tem um efeito físico nas testemunhas oculares...

Mas ainda há muita coisa que não está clara nas ideias sobre espaço e tempo, dando origem a discussões contínuas entre os cientistas. Por que nosso espaço tem três dimensões? Podem existir mundos multidimensionais? É possível que objetos materiais existam fora do espaço e do tempo?

A afirmação de que o espaço físico tem três dimensões é tão objetiva quanto a afirmação, por exemplo, de que existem três estados físicos da matéria: sólido, líquido e gasoso; descreve um fato fundamental do mundo objetivo. I. Kant enfatizou que a razão da tridimensionalidade do nosso espaço ainda é desconhecida. P. Ehrenfest e J. Withrow mostraram que se o número de dimensões do espaço fosse superior a três, então a existência de sistemas planetários seria impossível - somente no mundo tridimensional podem existir órbitas estáveis de planetas em sistemas planetários. Ou seja, a ordem tridimensional da matéria é a única ordem estável.

Mas a tridimensionalidade do espaço não pode ser afirmada como uma espécie de necessidade absoluta. É um facto físico como qualquer outro e, como consequência, está sujeito ao mesmo tipo de explicação.

A questão de por que o nosso espaço é tridimensional pode ser resolvida tanto a partir da posição da teleologia, com base na afirmação não científica de que “o mundo tridimensional é o mais perfeito de todos os mundos possíveis”, ou a partir de posições materialistas científicas, baseado em leis físicas fundamentais.

Opinião dos contemporâneos

A física moderna diz que a característica da tridimensionalidade é que ela, e somente ela, torna possível formular leis causais contínuas para a realidade física. Mas, “os conceitos modernos não refletem o verdadeiro estado da imagem física do mundo. Hoje em dia, os cientistas consideram o espaço como uma determinada estrutura composta por vários níveis, também incertos. E, portanto, não é coincidência que a ciência moderna não possa responder à questão de por que o nosso espaço, em que vivemos e que observamos, é tridimensional.”

Teoria do espaço conectado

Em mundos paralelos, os eventos acontecem à sua maneira, eles podem...

“As tentativas de procurar uma resposta a esta questão, permanecendo apenas dentro dos limites da matemática, estão fadadas ao fracasso. A resposta pode estar em uma área nova e pouco explorada da física.” Vamos tentar encontrar a resposta a esta pergunta com base nas disposições da física dos espaços conectados em consideração.

De acordo com a teoria dos espaços conectados, o desenvolvimento de um objeto ocorre em três estágios, com cada estágio se desenvolvendo ao longo de sua direção designada, ou seja, ao longo do seu eixo de desenvolvimento.

Na primeira fase, o desenvolvimento do objeto prossegue ao longo da direção inicialmente selecionada, ou seja, tem um eixo de desenvolvimento. No segundo estágio, o sistema formado no primeiro estágio gira 90°, ou seja, a direção do eixo espacial muda e o desenvolvimento do sistema começa a prosseguir ao longo da segunda direção selecionada, perpendicular à original. Na terceira etapa, o desenvolvimento do sistema gira novamente 90°, e começa a se desenvolver ao longo da terceira direção selecionada, perpendicular às duas primeiras. Como resultado, formam-se três esferas de espaço aninhadas umas nas outras, cada uma das quais corresponde a um dos eixos de desenvolvimento. Além disso, todos esses três espaços estão conectados em uma única formação estável por um processo físico.

E porque este processo é implementado em todos os níveis de grande escala do nosso mundo, todos os sistemas, incluindo as próprias coordenadas, são construídos sobre um princípio triádico (três coordenadas). Segue-se que como resultado da passagem de três etapas de desenvolvimento do processo, forma-se naturalmente um espaço tridimensional, formado como consequência do processo físico de desenvolvimento por três eixos coordenados de três direções de desenvolvimento mutuamente perpendiculares!

Esses seres inteligentes surgiram no início da existência do Universo...

Não é à toa que Pitágoras, que aparentemente poderia ter esse conhecimento, possui a expressão: “Todas as coisas consistem em três”. NK também fala sobre isso. Roerich: “O símbolo da Trindade é muito antigo e se encontra em todo o mundo, portanto não pode ser limitado a nenhuma seita, organização, religião ou tradição, bem como a interesses pessoais ou de grupo, porque representa a evolução da consciência em todas as suas fases... O sinal da Trindade acabou por se espalhar por todo o mundo... Se juntarmos todas as marcas do mesmo sinal, então talvez ele acabe sendo o mais difundido e mais antigo entre símbolos humanos. Ninguém pode afirmar que este sinal pertence a apenas uma crença ou é baseado em um folclore.”

Não é à toa que mesmo nos tempos antigos nosso mundo era representado como uma divindade trina (três fundidos em um): algo único, inteiro e indivisível, em seu significado sagrado excedendo em muito seus valores originais.

Rastreamos a especialização espacial (distribuição ao longo das direções coordenadas do espaço) dentro de um único sistema, mas podemos ver exatamente a mesma distribuição em qualquer sociedade, dos átomos às galáxias. Esses três tipos de espaço nada mais são do que três estados coordenados do espaço geométrico.

Quantas dimensões tem o espaço do mundo em que vivemos?

Que pergunta! Claro, uma pessoa comum dirá três e estará certa. Mas há também uma raça especial de pessoas que adquiriram a capacidade de duvidar de coisas óbvias. Essas pessoas são chamadas de “estudiosos” porque aprendem isso especificamente. Para eles, a nossa questão não é tão simples: a medição do espaço é uma coisa elusiva, não podem ser simplesmente contados apontando com o dedo: um, dois, três. É impossível medir seu número com qualquer dispositivo como uma régua ou um amperímetro: o espaço tem 2,97 mais ou menos 0,04 dimensões. Temos que pensar mais profundamente nesta questão e procurar métodos indiretos. Essas pesquisas revelaram-se um esforço frutífero: a física moderna acredita que o número de dimensões do mundo real está intimamente relacionado com as propriedades mais profundas da matéria. Mas o caminho para estas ideias começou com uma revisão da nossa experiência quotidiana.

Costuma-se dizer que o mundo, como qualquer corpo, tem três dimensões, que correspondem a três direções diferentes, digamos, “altura”, “largura” e “profundidade”. Parece claro que a “profundidade” representada no plano do desenho se reduz à “altura” e à “largura” e é, em certo sentido, uma combinação delas. Também está claro que no espaço tridimensional real todas as direções concebíveis são reduzidas a três direções pré-selecionadas. Mas o que significa “reduzir”, “são uma combinação”? Onde estarão essa “largura” e “profundidade” se não nos encontrarmos numa sala retangular, mas na ausência de peso em algum lugar entre Vênus e Marte? Finalmente, quem pode garantir que a “altura”, digamos, em Moscovo e Nova Iorque, é a mesma “dimensão”?

O problema é que já sabemos a resposta para o problema que estamos tentando resolver, e isso nem sempre é útil. Agora, se ao menos alguém pudesse se encontrar em um mundo cujo número de dimensões não é conhecido de antemão, e procurá-las uma por uma Ou, pelo menos, renunciar ao conhecimento existente sobre a realidade para olhar para suas propriedades originais de uma maneira completamente nova.

Ferramenta matemática de paralelepípedos

Em 1915, o matemático francês Henri Lebesgue descobriu como determinar o número de dimensões do espaço sem usar os conceitos de altura, largura e profundidade. Para entender sua ideia, basta olhar atentamente para a calçada de paralelepípedos. Você pode facilmente encontrar lugares onde as pedras se juntam em grupos de três e quatro. Você pode pavimentar a rua com ladrilhos quadrados, que ficarão adjacentes uns aos outros em dois ou quatro; se você pegar peças triangulares idênticas, elas serão adjacentes em grupos de dois ou seis. Mas nem um único mestre pode pavimentar a rua de modo que os paralelepípedos em todos os lugares fiquem contíguos uns aos outros apenas em pares. Isto é tão óbvio que é ridículo sugerir o contrário.

Os matemáticos diferem das pessoas normais precisamente porque percebem a possibilidade de tais suposições absurdas e são capazes de tirar conclusões delas. No nosso caso, Lebesgue raciocinou da seguinte forma: a superfície do pavimento é, obviamente, bidimensional. Ao mesmo tempo, há inevitavelmente pontos onde convergem pelo menos três paralelepípedos. Tentemos generalizar esta observação: digamos que a dimensão de alguma área seja igual a N se, ao ladrá-la, não for possível evitar contatos de N + 1 ou mais “paralelepípedos”. Agora a tridimensionalidade do espaço será confirmada por qualquer pedreiro: afinal, ao fazer uma parede grossa com várias camadas, com certeza haverá pontos onde pelo menos quatro tijolos se tocarão!

No entanto, à primeira vista parece que se pode encontrar, como os matemáticos lhe chamam, um “contra-exemplo” à definição de dimensão de Lebesgue. Este é um piso de tábuas em que as tábuas tocam exatamente duas de cada vez. Por que não pavimentar? Por isso, Lebesgue também exigiu que os “paralelepípedos” utilizados na determinação da dimensão fossem pequenos. Esta é uma ideia importante e voltaremos a ela no final - a partir de uma perspectiva inesperada. E agora está claro que a condição do pequeno tamanho dos “paralelepípedos” salva a definição de Lebesgue: digamos, pisos de parquet curtos, ao contrário das tábuas longas, em alguns pontos necessariamente se tocarão em três. Isso significa que três dimensões do espaço não são apenas a capacidade de escolher arbitrariamente três direções “diferentes” nele. As três dimensões são uma verdadeira limitação das nossas capacidades, que pode ser facilmente sentida brincando um pouco com cubos ou tijolos.

A dimensão do espaço através dos olhos de Stirlitz

Outra limitação associada à tridimensionalidade do espaço é bem sentida por um prisioneiro trancado numa cela de prisão (por exemplo, Stirlitz na cave de Müller). Como é esta câmera do ponto de vista dele? Paredes de concreto ásperas, uma porta de aço bem trancada - em uma palavra, uma superfície bidimensional sem rachaduras ou buracos, fechando por todos os lados o espaço fechado onde está localizado. Não há realmente nenhum lugar para escapar dessa concha. É possível trancar uma pessoa dentro de um circuito unidimensional? Imagine como Müller desenha um círculo no chão com giz ao redor de Stirlitz e vai para casa: isso nem chega a ser uma piada.

A partir dessas considerações, deriva-se outra forma de determinar o número de dimensões do nosso espaço. Vamos formular desta forma: é possível encerrar uma região do espaço N-dimensional em todos os lados apenas com uma “superfície” (N-1)-dimensional. No espaço bidimensional, a “superfície” será um contorno unidimensional, no espaço unidimensional haverá dois pontos de dimensão zero. Esta definição foi inventada em 1913 pelo matemático holandês Brouwer, mas tornou-se famosa apenas oito anos depois, quando foi redescoberta de forma independente pelo nosso Pavel Uryson e pelo austríaco Carl Menger.

É aqui que os nossos caminhos divergem dos de Lebesgue, Brouwer e dos seus colegas. Eles precisavam de uma nova definição de dimensão para construir uma teoria matemática abstrata de espaços de qualquer dimensão até o infinito. Esta é uma construção puramente matemática, um jogo da mente humana, que é forte o suficiente até para compreender objetos estranhos como o espaço de dimensão infinita. Os matemáticos não tentam descobrir se realmente existem coisas com tal estrutura: essa não é a sua profissão. Pelo contrário, o nosso interesse no número de dimensões do mundo em que vivemos é físico: queremos descobrir quantas realmente existem e como sentir o seu número “na nossa própria pele”. Precisamos de fenômenos, não de ideias puras.

É característico que todos os exemplos dados tenham sido mais ou menos emprestados da arquitetura. É esta área da atividade humana que está mais intimamente ligada ao espaço, tal como nos aparece na vida quotidiana. Para avançar ainda mais na busca pelas dimensões do mundo físico, será necessário acesso a outros níveis de realidade. Eles são acessíveis aos humanos graças à tecnologia moderna e, portanto, à física.

O que a velocidade da luz tem a ver com isso?

Voltemos brevemente a Stirlitz, que foi deixado na cela. Para sair da concha que o separava de forma confiável do resto do mundo tridimensional, ele usou a quarta dimensão, que não tem medo de barreiras bidimensionais. Ou seja, ele pensou um pouco e encontrou um álibi adequado. Em outras palavras, a nova dimensão misteriosa da qual Stirlitz aproveitou foi o tempo.

É difícil dizer quem foi o primeiro a perceber a analogia entre o tempo e as dimensões do espaço. Há dois séculos eles já sabiam disso. Joseph Lagrange, um dos criadores da mecânica clássica, a ciência dos movimentos dos corpos, comparou-a com a geometria do mundo quadridimensional: a sua comparação soa como uma citação de um livro moderno sobre Relatividade Geral.

A linha de pensamento de Lagrange, entretanto, é fácil de entender. Na sua época já eram conhecidos gráficos da dependência das variáveis com o tempo, como os cardiogramas atuais ou os gráficos das variações mensais de temperatura. Esses gráficos são desenhados em um plano bidimensional: o caminho percorrido pela variável é traçado ao longo do eixo das ordenadas e o tempo decorrido é traçado ao longo do eixo das abcissas. Neste caso, o tempo torna-se realmente apenas “mais uma” dimensão geométrica. Da mesma forma, você pode adicioná-lo ao espaço tridimensional do nosso mundo.

Mas será que o tempo é realmente como as dimensões espaciais? No plano com o gráfico desenhado há duas direções “significativas” destacadas. E as direções que não coincidem com nenhum dos eixos não têm sentido, não representam nada. Em um plano bidimensional geométrico comum, todas as direções são iguais, não há eixos designados.

O tempo só pode ser verdadeiramente considerado uma quarta coordenada se não for distinguido de outras direções no “espaço-tempo” quadridimensional. Precisamos encontrar uma forma de “girar” o espaço-tempo para que o tempo e as dimensões espaciais “se misturem” e possam, em certo sentido, transformar-se uma na outra.

Este método foi descoberto por Albert Einstein, que criou a teoria da relatividade, e Hermann Minkowski, que lhe deu uma forma matemática estrita. Eles aproveitaram o fato de que na natureza existe uma velocidade universal, a velocidade da luz.

Tomemos dois pontos no espaço, cada um em seu próprio momento no tempo, ou dois “eventos” no jargão da teoria da relatividade. Se você multiplicar o intervalo de tempo entre eles, medido em segundos, pela velocidade da luz, obtém uma certa distância em metros. Assumiremos que este segmento imaginário é “perpendicular” à distância espacial entre os eventos, e juntos formam as “pernas” de algum triângulo retângulo, cuja “hipotenusa” é um segmento no espaço-tempo conectando os eventos selecionados. Minkowski propôs: para encontrar o quadrado do comprimento da “hipotenusa” deste triângulo, não adicionaremos o quadrado do comprimento do cateto “espacial” ao quadrado do comprimento do cateto “temporal”, mas subtraia. Claro, isto pode resultar num resultado negativo: então considera-se que a “hipotenusa” tem um comprimento imaginário! Mas qual é o objetivo?

Quando o plano é girado, o comprimento de qualquer segmento desenhado nele é preservado. Minkowski percebeu que era necessário considerar tais “rotações” do espaço-tempo que preservassem o “comprimento” dos segmentos entre os eventos que ele propôs. É assim que é possível garantir que a velocidade da luz seja universal na teoria construída. Se dois eventos estão conectados por um sinal luminoso, então a “distância de Minkowski” entre eles é zero: a distância espacial coincide com o intervalo de tempo multiplicado pela velocidade da luz. A “rotação” proposta por Minkowski mantém esta “distância” zero, não importando como o espaço e o tempo se misturam durante a “rotação”.

Esta não é a única razão pela qual a “distância” de Minkowski tem um significado físico real, apesar da sua definição extremamente estranha para uma pessoa não treinada. A “distância” de Minkowski fornece uma maneira de construir a “geometria” do espaço-tempo de modo que os intervalos espaciais e temporais entre eventos possam ser igualados. Talvez esta seja precisamente a ideia central da teoria da relatividade.

Assim, o tempo e o espaço do nosso mundo estão tão intimamente ligados entre si que é difícil entender onde termina um e começa o outro. Juntos, eles formam uma espécie de palco onde é encenada a peça “A História do Universo”. Os personagens são partículas de matéria, átomos e moléculas a partir das quais se montam galáxias, nebulosas, estrelas, planetas e, em alguns planetas, até organismos vivos inteligentes (o leitor deve conhecer pelo menos um desses planetas).

Com base nas descobertas de seus antecessores, Einstein criou uma nova imagem física do mundo, na qual o espaço e o tempo eram inseparáveis um do outro e a realidade tornou-se verdadeiramente quadridimensional. E nesta realidade quadridimensional, uma das duas “interações fundamentais” conhecidas pela ciência da época “dissolveu-se”: a lei da gravitação universal foi reduzida à estrutura geométrica do mundo quadridimensional. Mas Einstein não pôde fazer nada com outra interação fundamental - a eletromagnética.

O espaço-tempo assume novas dimensões

A teoria geral da relatividade é tão bela e convincente que imediatamente após se tornar conhecida, outros cientistas tentaram seguir o mesmo caminho. Einstein reduziu a gravidade à geometria? Isso significa que resta aos seus seguidores geometrizar as forças eletromagnéticas!

Como Einstein havia esgotado as possibilidades da métrica do espaço quadridimensional, seus seguidores começaram a tentar de alguma forma expandir o conjunto de objetos geométricos a partir dos quais tal teoria poderia ser construída. É bastante natural que quisessem aumentar o número de dimensões.

Mas enquanto os teóricos estavam engajados na geometrização das forças eletromagnéticas, mais duas interações fundamentais foram descobertas - as chamadas fortes e fracas. Agora era necessário combinar quatro interações. Ao mesmo tempo, surgiram muitas dificuldades inesperadas, para superar as quais foram inventadas novas ideias, que afastaram cada vez mais os cientistas da física visual do século passado. Eles começaram a considerar modelos de mundos com dezenas e até centenas de dimensões, e o espaço de dimensão infinita também foi útil. Para falar dessas buscas seria necessário escrever um livro inteiro. Outra questão é importante para nós: onde estão localizadas todas essas novas dimensões? É possível senti-los da mesma forma que sentimos o tempo e o espaço tridimensional?

Imagine um tubo longo e muito fino - por exemplo, uma mangueira de incêndio vazia, com tamanho reduzido mil vezes. É uma superfície bidimensional, mas as suas duas dimensões são desiguais. Um deles, o comprimento, é fácil de perceber - é uma medida “macroscópica”. O perímetro, a dimensão “transversal”, só pode ser visto ao microscópio. Os modelos multidimensionais modernos do mundo são semelhantes a este tubo, embora não tenham uma, mas quatro dimensões macroscópicas - três espaciais e uma temporal. As dimensões restantes nesses modelos não podem ser vistas nem mesmo sob um microscópio eletrônico. Para detectar suas manifestações, os físicos usam aceleradores - "microscópios" muito caros, mas rudimentares, para o mundo subatômico.

Enquanto alguns cientistas aperfeiçoavam esta imagem impressionante, superando brilhantemente um obstáculo após o outro, outros tinham uma pergunta complicada:

A dimensão pode ser fracionária?

Por que não? Para fazer isso, basta “simplesmente” encontrar uma nova propriedade de dimensão que possa conectá-la com números não inteiros e objetos geométricos que possuam essa propriedade e tenham dimensão fracionária. Se quisermos encontrar, por exemplo, uma figura geométrica que tenha uma dimensão e meia, então temos dois caminhos. Você pode tentar subtrair meia dimensão de uma superfície bidimensional ou adicionar meia dimensão a uma linha unidimensional. Para fazer isso, vamos primeiro praticar a adição ou subtração de uma dimensão inteira.

Existe um truque infantil tão famoso. O mágico pega um pedaço de papel triangular, faz um corte com uma tesoura, dobra o papel ao meio na linha de corte, faz outro corte, dobra novamente, corta uma última vez e sobe! Em suas mãos está uma guirlanda de oito triângulos, cada um deles completamente semelhante ao original, mas oito vezes menor em área (e a raiz quadrada de oito vezes em tamanho). Talvez esse truque tenha sido mostrado ao matemático italiano Giuseppe Peano em 1890 (ou talvez ele mesmo adorasse mostrá-lo), de qualquer forma, foi então que ele percebeu isso. Vamos pegar um papel perfeito, uma tesoura perfeita e repetir a sequência de cortar e dobrar um número infinito de vezes. Então, os tamanhos dos triângulos individuais obtidos em cada etapa desse processo tenderão a zero e os próprios triângulos encolherão até se tornarem pontos. Portanto, obteremos uma linha unidimensional de um triângulo bidimensional sem perder um único pedaço de papel! Se você não esticar essa linha em uma guirlanda, mas deixá-la tão “amassada” como fizemos ao cortá-la, ela preencherá totalmente o triângulo. Além disso, sob qualquer microscópio poderoso que examinarmos este triângulo, ampliando seus fragmentos inúmeras vezes, a imagem resultante será exatamente igual à imagem não ampliada: cientificamente falando, a curva de Peano tem a mesma estrutura em todas as escalas de ampliação, ou é “ escalado” invariante.”

Assim, tendo dobrado inúmeras vezes, a curva unidimensional poderia, por assim dizer, adquirir a dimensão dois. Isto significa que há esperança de que a curva menos “enrugada” tenha uma “dimensão” de, digamos, um e meio. Mas como podemos encontrar uma maneira de medir dimensões fracionárias?

Na determinação da dimensão do “paralelepípedo”, como lembra o leitor, foi necessário utilizar “paralelepípedos” bastante pequenos, caso contrário o resultado poderia ser incorreto. Mas você vai precisar de muitos pequenos “paralelepípedos”: quanto menor o tamanho, maior. Acontece que para determinar a dimensão não é necessário estudar como os “paralelepípedos” se adjacentes, mas basta descobrir como seu número aumenta à medida que o tamanho diminui.

Tomemos um segmento de reta com 1 decímetro de comprimento e duas curvas de Peano, preenchendo juntas um quadrado medindo decímetro por decímetro. Vamos cobri-los com pequenos “paralelepípedos” quadrados com comprimento lateral de 1 centímetro, 1 milímetro, 0,1 milímetro e assim por diante, até um mícron. Se expressarmos o tamanho de um “paralelepípedo” em decímetros, então um segmento exigirá um número de “paralelepípedos” igual ao seu tamanho elevado à potência de menos um, e para curvas de Peano igual ao seu tamanho elevado à potência de menos dois. Além disso, o segmento tem definitivamente uma dimensão, e a curva de Peano, como vimos, tem duas. Isto não é apenas uma coincidência. O expoente na relação que liga o número de “paralelepípedos” ao seu tamanho é de fato igual (com sinal de menos) à dimensão da figura que está coberta por eles. É especialmente importante que o expoente possa ser uma fração. Por exemplo, para uma curva que é intermediária em sua “crustação” entre uma linha comum e, às vezes, preenchendo densamente um quadrado de curvas de Peano, o valor do indicador será maior que 1 e menor que 2. Isso abre o caminho que precisamos para determinar dimensões fracionárias.

Foi assim que se determinou, por exemplo, o tamanho do litoral da Noruega, país que tem um litoral bastante acidentado (ou “amassado”, como preferir). É claro que a pavimentação da costa da Noruega com paralelepípedos não ocorreu no solo, mas em um mapa de um atlas geográfico. O resultado (não absolutamente preciso devido à impossibilidade na prática de atingir “paralelepípedos” infinitesimais) foi 1,52 mais ou menos um centésimo. É claro que a dimensão não poderia ser menor que um, pois ainda estamos falando de uma linha “unidimensional”, e mais de dois, já que o litoral da Noruega está “desenhado” na superfície bidimensional do globo .

O homem como medida de todas as coisas

As dimensões fracionárias são ótimas, o leitor pode dizer aqui, mas o que elas têm a ver com a questão do número de dimensões do mundo em que vivemos? Será que a dimensão do mundo é fracionária e não exatamente igual a três?

Exemplos da curva de Peano e da costa norueguesa mostram que uma dimensão fracionária é obtida se a linha curva estiver fortemente “amassada”, embutida em dobras infinitesimais. O processo de determinação da dimensão fracionária inclui também a utilização de “paralelepípedos” infinitamente decrescentes com os quais cobrimos a curva em estudo. Portanto, a dimensão fracionária, cientificamente falando, só pode se manifestar “em escalas suficientemente pequenas”, ou seja, o expoente na razão que liga o número de “paralelepípedos” ao seu tamanho só pode atingir seu valor fracionário no limite. Pelo contrário, um enorme paralelepípedo pode cobrir um fractal, um objeto de dimensão fracionária de dimensões finitas indistinguíveis de um ponto.

Para nós, o mundo em que vivemos é, antes de tudo, a escala em que nos é acessível na realidade quotidiana. Apesar das surpreendentes conquistas da tecnologia, as suas dimensões características ainda são determinadas pela acuidade da nossa visão e pela distância dos nossos passeios, os períodos de tempo característicos pela velocidade da nossa reação e pela profundidade da nossa memória, as quantidades características de energia por a força das interações que nosso corpo estabelece com as coisas ao seu redor. Não superamos muito os antigos aqui, e vale a pena lutar por isso? Os desastres naturais e tecnológicos expandem um pouco a escala da “nossa” realidade, mas não os tornam cósmicos. O micromundo é ainda mais inacessível em nossa vida cotidiana. O mundo que nos é aberto é tridimensional, “liso” e “plano”, é perfeitamente descrito pela geometria dos antigos gregos; as conquistas da ciência deveriam, em última análise, servir não tanto para expandir, mas para proteger as suas fronteiras.

Então, qual é a resposta para as pessoas que aguardam a descoberta das dimensões ocultas do nosso mundo? Infelizmente, a única dimensão disponível para nós que o mundo tem além das três dimensões espaciais é o tempo. É pouco ou muito, antigo ou novo, maravilhoso ou comum? O tempo é simplesmente o quarto grau de liberdade e pode ser usado de muitas maneiras diferentes. Lembremos mais uma vez o mesmo Stirlitz, aliás, físico de formação: cada momento tem sua razão

Andrei Sobolevsky