Coordenadas generalizadas e forças generalizadas. Coordenadas generalizadas e forças generalizadas Como é o trabalho das forças em coordenadas generalizadas

Mecânica analítica. Classificação das conexões. Exemplos. Movimentos possíveis.

Conexão– esta é a relação entre as coordenadas e velocidades dos pontos do sistema, apresentadas na forma de igualdades ou desigualdades.

Classificação:

Geométrico– impõe restrições apenas nas coordenadas dos pontos do sistema (as velocidades não estão incluídas)

Cinemático– as velocidades entram nas equações. Se você conseguir se livrar das velocidades, a conexão estará integrada.

Conexões holonômicas– ligações diferenciais geométricas e integráveis.

A conexão é chamada contenção(impostas ou restrições permanecem em qualquer posição do sistema) e desenfreado, que não possuem esta propriedade (de tais conexões, como dizem, o sistema pode ser “libertado”

Possível realocação

Qualquer mental

Infinitesimal

Mover pontos do sistema é permitido

Neste momento no tempo

Conexões impostas ao sistema.

Movimento real– depende de forças, tempo, conexões, condições iniciais.

O movimento possível depende apenas das conexões.

Para ligações estacionárias, o movimento real é um dos possíveis.

Conexões ideais. O princípio dos movimentos possíveis.

Ideal são chamadas conexões para as quais a soma dos trabalhos elementares de todas as suas reações em qualquer deslocamento possível é igual a 0.

O princípio dos movimentos possíveis.

Para o equilíbrio de um sistema mecânico com ligações estacionárias ideais, é necessário e suficiente que a soma do trabalho elementar de todas as forças ativas em qualquer deslocamento possível seja igual a 0. Neste caso, para suficiência, a velocidade inicial deve ser igual para zero. Equilíbrio necessário => Suficiente => equilíbrio.

Coordenadas generalizadas. O número de graus de liberdade do sistema. Forças generalizadas, métodos para calculá-las. Condições de equilíbrio para um sistema com restrições holonómicas, expressas em termos de forças generalizadas.

Coordenadas generalizadas– um parâmetro independente que determina completamente a posição do sistema e através do qual todas as coordenadas cartesianas dos pontos do sistema podem ser expressas.

O número de graus de liberdade é determinado pelo número de coordenadas generalizadas

O número de grandezas escalares mutuamente independentes que determinam exclusivamente a posição de um sistema mecânico no espaço é chamado de número de graus de liberdade.

As coordenadas generalizadas de um sistema mecânico são quaisquer quantidades geométricas independentes umas das outras que determinam exclusivamente a posição do sistema no espaço.

Q i = δA j /δq j ou δA j = Q i ⋅ δq j .

Força generalizada- esta é uma força que realiza o mesmo trabalho em um possível deslocamento ao longo de sua coordenada generalizada que todas as forças aplicadas ao sistema no deslocamento correspondente dos pontos de sua aplicação.

Para encontrar a força generalizada, damos o possível deslocamento ao longo da sua coordenada generalizada, deixando as outras coordenadas inalteradas. Depois encontramos o trabalho realizado por todas as forças aplicadas ao sistema e dividimos pelo deslocamento possível.

O princípio dos deslocamentos possíveis em termos de forças generalizadas.

Como em equilíbrio a soma do trabalho elementar em qualquer deslocamento possível ( bA=bq j , que não dependem entre si, então para isso deve ser verdadeiro o seguinte: Q 1 =0; Q 2 =0; Q K =0

Definição de forças generalizadas

Para um sistema com um grau de liberdade, uma força generalizada correspondente à coordenada generalizada q, é chamada de quantidade determinada pela fórmula

onde d q– pequeno incremento da coordenada generalizada; – a soma dos trabalhos elementares das forças do sistema em seu possível movimento.

Lembremos que o possível movimento do sistema é definido como o movimento do sistema para uma posição infinitamente próxima permitida pelas conexões em um determinado momento (para mais detalhes, consulte o Apêndice 1).

Sabe-se que a soma do trabalho realizado pelas forças de reação das ligações ideais em qualquer deslocamento possível do sistema é igual a zero. Portanto, para um sistema com ligações ideais, apenas o trabalho das forças ativas do sistema deve ser levado em consideração na expressão. Se as conexões não forem ideais, então suas forças de reação, por exemplo, forças de atrito, são convencionalmente consideradas forças ativas (veja abaixo as instruções no diagrama da Fig. 1.5). Isto inclui o trabalho elementar das forças ativas e o trabalho elementar dos momentos dos pares ativos de forças. Vamos anotar fórmulas para determinar esses trabalhos. Digamos que a força ( F kx ,F ky ,F kz) aplicado no ponto PARA, cujo vetor raio é ( xk,yk,zk), e possível deslocamento – ​​(d obrigado, d sim, d z k). O trabalho elementar de uma força sobre um possível deslocamento é igual ao produto escalar, que na forma analítica corresponde à expressão

d A( ) = F para d r para cos(), (1.3a)

e na forma de coordenadas – a expressão

d A( ) = Fkx d x k + F ky d y k + F kz d z k. (1.3b)

Se algumas forças com um momento M aplicado a um corpo giratório, cuja coordenada angular é j, e o deslocamento possível é dj, então o trabalho elementar do momento M no possível deslocamento dj é determinado pela fórmula

d SOU) = ± M d j. (1,3v)

Aqui o sinal (+) corresponde ao caso em que o momento M e possível movimento dj coincidem em direção; sinal (-) quando eles estão em direções opostas.

Para poder determinar a força generalizada utilizando a fórmula (1.3), é necessário expressar os possíveis movimentos de corpos e pontos através de um pequeno incremento da coordenada generalizada d q, usando dependências (1)…(7) adj. 1.

Definição de força generalizada P, correspondente à coordenada generalizada selecionada q, é recomendável fazê-lo na seguinte ordem.

· Desenhar no diagrama de projeto todas as forças ativas do sistema.

· Dê um pequeno incremento à coordenada generalizada d q> 0; mostre no diagrama de cálculo os correspondentes deslocamentos possíveis de todos os pontos nos quais as forças são aplicadas e os possíveis deslocamentos angulares de todos os corpos aos quais os momentos de pares de forças são aplicados.

· Compor uma expressão para o trabalho elementar de todas as forças ativas do sistema nesses movimentos, expressar possíveis movimentos em através de d q.

· Determine a força generalizada através da fórmula (1.3).

Exemplo 1.4 (ver condição da Fig. 1.1).

Vamos definir a força generalizada correspondente à coordenada generalizada é(Fig. 1.4).

As forças ativas atuam no sistema: P- peso da carga; G– peso e torque do tambor M.

O plano inclinado áspero é para a carga A conexão imperfeita. Força de fricção deslizante F tr, agindo sobre a carga A desta conexão, é igual a F tr = fN.

Para determinar a força N pressão normal de uma carga em um plano durante o movimento, usamos o princípio de D'Alembert: se uma força inercial condicional for aplicada a cada ponto do sistema, além das forças ativas ativas e das forças de reação das conexões, então o conjunto resultante de as forças serão equilibradas e as equações dinâmicas podem receber a forma de equações de equilíbrio estático. Seguindo o método bem conhecido de aplicação deste princípio, representaremos todas as forças que atuam na carga A(Fig. 1.5), – e , onde é a força de tensão do cabo.

Arroz. 1.4 Fig. 1,5

Vamos somar a força de inércia, onde é a aceleração da carga. Equação do princípio de d'Alembert em projeção no eixo sim parece N-Pcos a = 0.

Daqui N = PCos a. A força de atrito deslizante agora pode ser determinada pela fórmula F tr = f P cos a.

Vamos dar a coordenada generalizada é pequeno incremento d e> 0. Neste caso, a carga (Fig. 1.4) subirá no plano inclinado a uma distância d é, e o tambor girará no sentido anti-horário no ângulo dj.

Usando fórmulas como (1.3a) e (1.3c), vamos compor uma expressão para a soma dos trabalhos de torque elementares M, força P E F tr:

Vamos expressar dj nesta equação através de d é: , Então

definimos a força generalizada usando a fórmula (1.3)

Vamos levar em conta a fórmula escrita anteriormente para F tr e finalmente conseguiremos

Se no mesmo exemplo tomarmos o ângulo j como coordenada generalizada, então a força generalizada Qj expresso pela fórmula

1.4.2. Determinação de forças generalizadas do sistema
com dois graus de liberdade

Se o sistema tiver n graus de liberdade, sua posição é determinada n coordenadas generalizadas. Cada coordenada q eu(eu = 1,2,…,n) corresponde à sua força generalizada Qi, que é determinado pela fórmula

onde está a soma dos trabalhos elementares das forças ativas em eu-º possível movimento do sistema quando d q eu > 0, e as demais coordenadas generalizadas permanecem inalteradas.

Na determinação é necessário levar em consideração as instruções para determinação de forças generalizadas conforme fórmula (1.3).

Recomenda-se determinar as forças generalizadas de um sistema com dois graus de liberdade na seguinte ordem.

· Mostrar no diagrama de projeto todas as forças ativas do sistema.

· Determinar a primeira força generalizada Pergunta 1. Para fazer isso, dê ao sistema o primeiro movimento possível quando d q 1 > 0 e d q 2 =q1 movimentos possíveis de todos os corpos e pontos do sistema; compor - uma expressão do trabalho elementar das forças do sistema no primeiro deslocamento possível; movimentos possíveis em expressos através de d q1; encontrar Pergunta 1 de acordo com a fórmula (1.4), tomando eu = 1.

· Determinar a segunda força generalizada Pergunta 2. Para fazer isso, dê ao sistema um segundo movimento possível quando d q 2 > 0 e d q 1 = 0; mostre o d correspondente no diagrama de projeto q 2 movimentos possíveis de todos os corpos e pontos do sistema; compor - uma expressão do trabalho elementar das forças do sistema no segundo deslocamento possível; movimentos possíveis em expressos através de d q 2; encontrar Pergunta 2 de acordo com a fórmula (1.4), tomando eu = 2.

Exemplo 1.5 (ver condição da Fig. 1.2)

Vamos definir Pergunta 1 E Pergunta 2, correspondendo a coordenadas generalizadas xD E xA(Fig. 1.6, A).

Existem três forças ativas agindo no sistema: PA = 2P, P B = P D = P.

Definição Pergunta 1. Vamos dar ao sistema o primeiro movimento possível quando d xD> 0, d xUMA = 0 (Fig. 1.6, A). Ao mesmo tempo, a carga D xD, bloquear B irá girar no sentido anti-horário pelo ângulo dj B, eixo do cilindro A permanecerá imóvel, cilindro A irá girar em torno de um eixo A no ângulo dj A sentido horário. Vamos compilar a soma do trabalho nos movimentos indicados:

vamos definir

Vamos definir Pergunta 2. Vamos dar ao sistema um segundo movimento possível quando d x D = 0, d xA> 0 (Fig. 1.6, b). Neste caso, o eixo do cilindro A se moverá verticalmente para baixo uma distância d xA, cilindro A irá girar em torno de um eixo A sentido horário para ângulo dj A, bloquear B e carga D permanecerá imóvel. Vamos compilar a soma do trabalho nos movimentos indicados:

vamos definir

Exemplo 1.6 (ver condição da Fig. 1.3)

Vamos definir Pergunta 1 E Pergunta 2, correspondendo às coordenadas generalizadas j, é(Fig. 1.7, A). Existem quatro forças ativas agindo no sistema: o peso da haste P, peso da bola, força elástica da mola e .

Vamos levar isso em conta. O módulo das forças elásticas é determinado pela fórmula (a).

Observe que o ponto de aplicação da força F2 está imóvel, portanto o trabalho desta força em qualquer deslocamento possível do sistema é zero, na expressão das forças generalizadas a força F2 não vai entrar.

Definição Pergunta 1. Vamos dar ao sistema o primeiro movimento possível quando o DJ > 0, d s = 0 (Fig. 1.7, A). Neste caso, a haste AB irá girar em torno de um eixo z sentido anti-horário por ângulo dj, possíveis movimentos da bola D e centro E as hastes são direcionadas perpendicularmente ao segmento DE ANÚNCIOS, o comprimento da mola não mudará. Vamos colocá-lo na forma de coordenadas [ver. fórmula (1.3b)]:

(Observe que, portanto, o trabalho realizado por esta força no primeiro deslocamento possível é zero).

Vamos expressar os deslocamentos d x-E e d xD através do DJ. Para fazer isso, primeiro escrevemos

Então, de acordo com a fórmula (7) adj. 1 vamos encontrar

Substituindo os valores encontrados em , obtemos

Usando a fórmula (1.4), levando em consideração que, determinamos

Definição Pergunta 2. Vamos dar ao sistema um segundo movimento possível quando o DJ = 0, d e> 0 (Fig. 1.7, b). Neste caso, a haste AB permanecerá imóvel e a bola M se moverá ao longo da haste por uma distância d é. Vamos compilar a soma do trabalho nos movimentos indicados:

vamos definir

substituindo o valor da força F1 da fórmula (a), obtemos

1.5. Expressando a energia cinética de um sistema
em coordenadas generalizadas

A energia cinética de um sistema é igual à soma das energias cinéticas de seus corpos e pontos (Apêndice 2). Para conseguir T A expressão (1.2) deve expressar as velocidades de todos os corpos e pontos do sistema através de velocidades generalizadas utilizando métodos cinemáticos. Neste caso, o sistema é considerado em uma posição arbitrária, todas as suas velocidades generalizadas são consideradas positivas, ou seja, direcionadas para coordenadas generalizadas crescentes.

Exemplo 1. 7 (ver condição da Fig. 1.1)

Vamos determinar a energia cinética do sistema (Fig. 1.8), tomando a distância como uma coordenada generalizada é,

T = T A + T B.

De acordo com as fórmulas (2) e (3) adj. 2 temos: .

Substituindo esses dados em T e levando em conta isso, obtemos

Exemplo 1.8(ver condição na Fig. 1.2)

Vamos determinar a energia cinética do sistema da Fig. 1.9, tomando como coordenadas generalizadas as quantidades xD E xA,

T = T A + T B + T D.

De acordo com as fórmulas (2), (3), (4) adj. 2 vamos anotar

Vamos expressar V A , V D , w B e W A através :

Ao determinar w A leva-se em conta que o ponto Ó(Fig. 1.9) – centro instantâneo das velocidades do cilindro A E V k = V D(ver as explicações correspondentes para o exemplo 2 apêndice 2).

Substituindo os resultados obtidos em T e dado que

vamos definir

Exemplo 1.9(ver condição na Fig. 1.3)

Vamos determinar a energia cinética do sistema da Fig. 1.10, tomando j e como coordenadas generalizadas é,

T = T AB + T D.

De acordo com as fórmulas (1) e (3) adj. 2 temos

Vamos expressar w AB E VD através e:

onde está a velocidade de transferência da bola D, seu módulo é determinado pela fórmula

Direcionado perpendicularmente ao segmento DE ANÚNCIOS na direção do aumento do ângulo j; – velocidade relativa da bola, seu módulo é determinado pela fórmula, direcionada para coordenadas crescentes é. Observe que é perpendicular, portanto

Substituindo esses resultados em T e dado que

1.6. Elaboração de equações diferenciais
movimento de sistemas mecânicos

Para obter as equações desejadas, é necessário substituir nas equações de Lagrange (1.1) a expressão anteriormente encontrada para a energia cinética do sistema em coordenadas generalizadas e forças generalizadas P 1 , P 2 , … , Qn.

Ao encontrar derivadas parciais T usando coordenadas generalizadas e velocidades generalizadas, deve-se levar em conta que as variáveis q 1 , q 2 , … , q n; são considerados independentes um do outro. Isso significa que ao definir a derivada parcial T para uma dessas variáveis, todas as outras variáveis ​​na expressão para T devem ser considerados como constantes.

Ao realizar uma operação, todas as variáveis ​​incluídas na variável devem ser diferenciadas no tempo.

Enfatizamos que as equações de Lagrange são escritas para cada coordenada generalizada q eu (eu = 1, 2,…n) sistemas.

Na mecânica analítica, juntamente com o conceito de força como uma grandeza vetorial que caracteriza o impacto de outros corpos materiais sobre um determinado corpo, eles usam o conceito de força generalizada. Para determinar poder generalizado Consideremos o trabalho virtual das forças aplicadas aos pontos do sistema.

Se um sistema mecânico com forças restritivas holonômicas impostas a ele h tem conexões s =3n-h graus de liberdade , então a posição deste sistema é determinada ( eu = s)

coordenadas generalizadas e (2.11) : De acordo com (2.13), (2.14) deslocamento virtual k- os pontos

(2.13)

(2.14)

Substituindo (2.14): na fórmula do trabalho virtual das forças

(2.24), obtemos

Quantidade escalar = (2.26)

chamado força generalizada, correspondente eu a coordenada generalizada.

Força generalizadacorrespondendo a eu-a coordenada generalizada é uma quantidade igual ao multiplicador da variação de uma determinada coordenada generalizada na expressão do trabalho virtual das forças que atuam sobre um sistema mecânico.

Trabalho virtual determinado a partir de

¾ forças ativas especificadas independentes de restrições e

¾ reações de acoplamento (se os acoplamentos não forem ideais, então para resolver o problema é necessário definir adicionalmente a dependência física T j de N j, ( T j ¾ são, via de regra, forças de atrito ou momentos de resistência ao atrito de rolamento, que podemos determinar).

Em geral força generalizadaé uma função de coordenadas generalizadas, velocidades de pontos do sistema e tempo. Da definição segue-se que força generalizada¾ é uma grandeza escalar que depende das coordenadas generalizadas escolhidas para um determinado sistema mecânico. Isto significa que quando o conjunto de coordenadas generalizadas que determinam a posição de um determinado sistema muda, o forças generalizadas.

Exemplo 2.10. Para um disco com raio R e massa eu, que rola sem deslizar sobre um plano inclinado (Fig. 2.9), pode ser tomado como uma coordenada generalizada:

¾ ou q = s¾ movimento do centro de massa do disco,

¾ou q= j ¾ ângulo de rotação do disco. Se desprezarmos a resistência ao rolamento, então:

¾no primeiro caso força generalizada vai

Arroz. 2.9 Q s = mg sina, a

¾ no segundo caso ¾ Q j = mg r cosa.

A coordenada generalizada também determina a unidade de medida do correspondente poder generalizado. Da expressão (2.25)

(2.27)

segue-se que a unidade de medida poder generalizado igual à unidade de trabalho dividida pela unidade de coordenada generalizada.

Se, como uma coordenada generalizada q aceitar q = s¾ movimento de qualquer ponto, então a unidade de medida poder generalizado Qs ¾ será [Newton] ,

Se, como um q= j ¾ será tomado o ângulo de rotação (em radianos) do corpo, então a unidade de medida poder generalizado Q j 2 será [ metro newton].

Vamos anotar a soma dos trabalhos elementares das forças que atuam nos pontos do sistema no possível deslocamento do sistema:

Deixe o sistema holonômico ter graus de liberdade e, portanto, sua posição no espaço é determinada coordenadas generalizadas
.

Substituindo (225) em (226) e alterando a ordem de soma por índices E , Nós temos

. (226")

onde está a quantidade escalar

chamado força generalizada relacionada à coordenada generalizada . Usando a expressão bem conhecida para o produto escalar de dois vetores, a força transmitida também pode ser representada como

– projeções de força nos eixos coordenados;
– coordenadas do ponto de aplicação da força.

A dimensão da força generalizada de acordo com (226") depende da dimensão como segue , coincidindo com a dimensão :

, (228)

isto é, a dimensão da força generalizada é igual à dimensão do trabalho da força (energia) ou ao momento da força, dividido pela dimensão da coordenada generalizada à qual a força generalizada é atribuída. Segue-se disso que uma força generalizada pode ter a dimensão de força ou momento de força.

Cálculo da força generalizada

1. A força generalizada pode ser calculada usando a fórmula (227), que a define, ou seja,

2. As forças generalizadas podem ser calculadas como coeficientes para as variações correspondentes de coordenadas generalizadas na expressão para trabalho elementar (226"), ou seja,

3. O método mais adequado para calcular forças generalizadas, obtido a partir de (226 ""), é se for dado ao sistema um movimento tão possível que apenas uma coordenada generalizada mude, enquanto as outras não mudam. Então se
, e o resto
, então de (179") temos

.

Índice indica que a soma dos trabalhos elementares é calculada sobre um possível deslocamento, durante o qual apenas a coordenada muda (varia) . Se a coordenada da variável for , Que

. (227")

Condições de equilíbrio para um sistema de forças em termos de forças generalizadas

Condições de equilíbrio do sistema são derivados do princípio dos movimentos possíveis. Aplicam-se a sistemas para os quais este princípio é válido: para o equilíbrio de um sistema mecânico sujeito a restrições holonômicas, estacionárias, ideais e não liberadoras, no momento em que as velocidades de todos os pontos do sistema são iguais a zero, é necessário e suficiente que todas as forças generalizadas sejam iguais a zero

. (228")

3.6.7. Equação geral da dinâmica

Equação geral de dinâmica para um sistema com quaisquer conexões (princípio combinado d'Alembert-Lagrange ou equação geral da mecânica):

, (229)

Onde – força ativa aplicada a -ésimo ponto do sistema; – força de reação das ligações;
– força de inércia pontual; – movimento possível.

No caso de equilíbrio do sistema, quando todas as forças inerciais dos pontos do sistema desaparecem, isso se transforma no princípio dos deslocamentos possíveis. Geralmente é usado para sistemas com conexões ideais, para os quais a condição é satisfeita

Neste caso (229) assume uma das formas:

,

,

. (230)

Por isso, de acordo com a equação geral da dinâmica, em qualquer momento de movimento de um sistema com conexões ideais, a soma dos trabalhos elementares de todas as forças ativas e forças de inércia dos pontos do sistema é igual a zero em qualquer movimento possível do sistema permitido pelas conexões.

A equação geral da dinâmica pode receber outras formas equivalentes. Expandindo o produto escalar de vetores, pode ser expresso como

Onde
– coordenadas -ésimo ponto do sistema. Considerando que as projeções das forças de inércia nos eixos coordenados através das projeções das acelerações nesses eixos são expressas pelas relações

,

a equação geral da dinâmica pode ter a forma

Nesta forma é chamado equação geral da dinâmica na forma analítica.

Ao utilizar a equação geral da dinâmica, é necessário ser capaz de calcular o trabalho elementar das forças inerciais do sistema sobre possíveis deslocamentos. Para fazer isso, aplique as fórmulas correspondentes para o trabalho elementar obtido para forças ordinárias. Consideremos sua aplicação às forças inerciais de um corpo rígido em casos particulares de seu movimento.

Durante o movimento para frente. Neste caso, o corpo possui três graus de liberdade e, devido às restrições impostas, só pode realizar movimento de translação. Possíveis movimentos do corpo que permitem conexões também são translacionais.

As forças inerciais durante o movimento de translação são reduzidas à resultante
. Pela soma dos trabalhos elementares das forças de inércia no possível movimento de translação de um corpo, obtemos

Onde
– possível movimento do centro de massa e de qualquer ponto do corpo, uma vez que o movimento translacional possível de todos os pontos do corpo é o mesmo: as acelerações também são as mesmas, ou seja,
.

Quando um corpo rígido gira em torno de um eixo fixo. O corpo, neste caso, tem um grau de liberdade. Ele pode girar em torno de um eixo fixo
. O movimento possível, permitido por conexões sobrepostas, é também uma rotação do corpo em um ângulo elementar
em torno de um eixo fixo.

Forças de inércia reduzidas a um ponto no eixo de rotação, são reduzidos ao vetor principal e o ponto principal
. O principal vetor de forças inerciais é aplicado a um ponto fixo, e seu trabalho elementar sobre um possível deslocamento é zero. Para o momento principal das forças inerciais, o trabalho elementar diferente de zero será realizado apenas por sua projeção no eixo de rotação
. Assim, para a soma do trabalho das forças de inércia no possível deslocamento em consideração, temos

,

se o ângulo
relatório na direção do arco de seta de aceleração angular .

Em movimento plano. Neste caso, as restrições impostas ao corpo rígido permitem apenas movimentos planos possíveis. No caso geral, consiste em um possível movimento de translação junto com o pólo, para o qual escolhemos o centro de massa, e uma rotação através de um ângulo elementar
em torno do eixo
, passando pelo centro de massa e perpendicular ao plano paralelo ao qual o corpo pode realizar movimento plano.

Como as forças inerciais no movimento plano de um corpo rígido podem ser reduzidas ao vetor principal e o ponto principal
(se escolhermos o centro de massa como centro de redução), então a soma do trabalho elementar das forças de inércia em um plano de possível deslocamento será reduzida ao trabalho elementar do vetor de força de inércia
sobre o possível movimento do centro de massa e o trabalho elementar do momento principal das forças de inércia em um movimento rotacional elementar em torno de um eixo
, passando pelo centro de massa. Neste caso, o trabalho elementar diferente de zero só pode ser realizado pela projeção do momento principal das forças de inércia no eixo
, ou seja
. Assim, no caso em análise temos

se a rotação for por um ângulo elementar
direcionar em uma flecha em arco para .

É claro que, ao calcular esta força generalizada, a energia potencial deve ser determinada em função das coordenadas generalizadas

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Notas.

Primeiro. Ao calcular as forças de reação generalizadas, as ligações ideais não são levadas em consideração.

Segundo. A dimensão da força generalizada depende da dimensão da coordenada generalizada. Então, se a dimensão [ q] – metro, então a dimensão

[Q]= Nm/m = Newton, se [ q] – radiano, então [Q] = Nm; Se [ q] = m 2, então [Q] = H/m, etc.

Exemplo 4. Um anel desliza ao longo de uma haste que oscila em um plano vertical. M peso R(Fig. 10). Consideramos a haste sem peso. Vamos definir forças generalizadas.

Figura 10

Solução. O sistema possui dois graus de liberdade. Atribuímos duas coordenadas generalizadas é E .

Vamos encontrar a força generalizada correspondente à coordenada S. Damos um incremento a esta coordenada, deixando a coordenada inalterada e calculando o trabalho da única força ativa R, obtemos a força generalizada

Então incrementamos a coordenada, assumindo é= const. Quando a haste é girada em um ângulo, o ponto de aplicação da força R, anel M, passará para . A força generalizada será

Como o sistema é conservativo, forças generalizadas também podem ser encontradas utilizando energia potencial. Nós temos E . Acontece muito mais simples.

Equações de equilíbrio de Lagrange

Por definição (7) forças generalizadas , k = 1,2,3,…,é, Onde é– número de graus de liberdade.

Se o sistema estiver em equilíbrio, então de acordo com o princípio dos deslocamentos possíveis (1) . Aqui estão os movimentos permitidos pelas conexões, os movimentos possíveis. Portanto, quando um sistema material está em equilíbrio, todas as suas forças generalizadas são iguais a zero:

Q k= 0, (k=1,2,3,…, é). (10)

Essas equações equações de equilíbrio em coordenadas generalizadas ou Equações de equilíbrio de Lagrange , permitir mais um método para resolver problemas estáticos.

Se o sistema for conservativo, então. Isso significa que está em uma posição de equilíbrio. Ou seja, na posição de equilíbrio de tal sistema material, sua energia potencial é máxima ou mínima, ou seja, a função П(q) tem um extremo.

Isto é óbvio a partir da análise do exemplo mais simples (Fig. 11). Energia potencial da bola em posição M 1 tem um mínimo, na posição M 2 – máximo. Pode-se notar que na posição M 1 equilíbrio será estável; grávida M 2 – instável.

Figura 11

O equilíbrio é considerado estável se o corpo nesta posição receber uma velocidade baixa ou se deslocar uma pequena distância e esses desvios não aumentarem no futuro.

Pode-se provar (teorema de Lagrange-Dirichlet) que se na posição de equilíbrio de um sistema conservativo sua energia potencial tem um mínimo, então esta posição de equilíbrio é estável.

Para um sistema conservativo com um grau de liberdade, a condição para a energia potencial mínima e, portanto, a estabilidade da posição de equilíbrio, é determinada pela segunda derivada, seu valor na posição de equilíbrio,

Exemplo 5. Núcleo OA peso R pode girar em um plano vertical em torno de um eixo SOBRE(Fig. 12). Vamos encontrar e estudar a estabilidade das posições de equilíbrio.

Figura 12

Solução. A haste tem um grau de liberdade. Coordenada generalizada – ângulo.

Em relação à posição zero inferior, energia potencial P = Ph. ou

Na posição de equilíbrio deve haver . Portanto, temos duas posições de equilíbrio correspondentes aos ângulos e (posições OA 1 e OA 2). Vamos explorar sua estabilidade. Encontrando a segunda derivada. Claro, com , . A posição de equilíbrio é estável. No , . A segunda posição de equilíbrio é instável. Os resultados são óbvios.

Forças inerciais generalizadas.

Usando o mesmo método (8) pelo qual as forças generalizadas foram calculadas Q k, correspondendo a forças ativas, especificadas, forças generalizadas também são determinadas Sk, correspondendo às forças de inércia dos pontos do sistema:

E desde Que

Algumas transformações matemáticas.

Obviamente,

Como a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), então

Isto significa que a derivada parcial da velocidade em relação a

Além disso, no último termo (14) você pode alterar a ordem de diferenciação:

Substituindo (15) e (16) em (14) e depois (14) em (13), obtemos

Dividindo a última soma por dois e tendo em mente que a soma das derivadas é igual à derivada da soma, obtemos

onde está a energia cinética do sistema e é a velocidade generalizada.

Equações de Lagrange.

Por definição (7) e (12) forças generalizadas

Mas com base na equação da dinâmica geral (3), o lado direito da igualdade é igual a zero. E já que tudo ( k = 1,2,3,…,é) são diferentes de zero, então . Substituindo o valor da força de inércia generalizada (17), obtemos a equação

Essas equações são chamadas de equações diferenciais de movimento em coordenadas generalizadas, equações de Lagrange do segundo tipo ou simplesmente – Equações de Lagrange.

O número dessas equações é igual ao número de graus de liberdade do sistema material.

Se o sistema é conservativo e se move sob a influência de forças de campo potenciais, quando as forças generalizadas são , as equações de Lagrange podem ser compostas na forma

Onde eu = T– P é chamado Função Lagrange (presume-se que a energia potencial P não depende das velocidades generalizadas).

Muitas vezes, ao estudar o movimento de sistemas materiais, verifica-se que algumas coordenadas generalizadas q j não estão incluídos explicitamente na função de Lagrange (ou em T e P). Tais coordenadas são chamadas cíclico. As equações de Lagrange correspondentes a estas coordenadas são obtidas de forma mais simples.

A primeira integral de tais equações pode ser encontrada imediatamente. É chamada de integral cíclica:

Estudos posteriores e transformações das equações de Lagrange constituem o tema de uma seção especial de mecânica teórica - “Mecânica Analítica”.

As equações de Lagrange têm uma série de vantagens em comparação com outros métodos de estudo do movimento de sistemas. Principais vantagens: o método de composição das equações é o mesmo em todos os problemas, as reações das conexões ideais não são levadas em consideração na resolução dos problemas.

E mais uma coisa - essas equações podem ser usadas para estudar não apenas sistemas mecânicos, mas também outros sistemas físicos (elétricos, eletromagnéticos, ópticos, etc.).

Exemplo 6. Vamos continuar nosso estudo do movimento do anel M em uma haste oscilante (exemplo 4).

Coordenadas generalizadas são atribuídas – e s (Fig. 13). Forças generalizadas são definidas: e .

Figura 13

Solução. Energia cinética do anel Onde a e .

Compomos duas equações de Lagrange

então as equações ficam assim:

Obtivemos duas equações diferenciais não lineares de segunda ordem, cuja solução requer métodos especiais.

Exemplo 7. Vamos criar uma equação diferencial de movimento da viga AB, que rola sem deslizar ao longo de uma superfície cilíndrica (Fig. 14). Comprimento do feixe AB = eu, peso - R.

Na posição de equilíbrio, a viga estava horizontal e o centro de gravidade COM estava localizado no ponto superior do cilindro. A viga tem um grau de liberdade. Sua posição é determinada por uma coordenada generalizada - um ângulo (Fig. 76).

Figura 14

Solução. O sistema é conservador. Portanto, comporemos a equação de Lagrange utilizando a energia potencial P=mgh, calculada em relação à posição horizontal. No ponto de contato existe um centro instantâneo de velocidades e (igual ao comprimento do arco circular com ângulo).

Portanto (ver Fig. 76) e .

Energia cinética (o feixe sofre movimento plano paralelo)

Encontramos as derivadas necessárias para a equação e

Vamos fazer uma equação

ou, finalmente,

Perguntas de autoteste

Como é chamado o movimento possível de um sistema mecânico restrito?

Como os movimentos possíveis e reais do sistema estão relacionados?

Quais conexões são chamadas de: a) estacionárias; b) ideal?

Formule o princípio dos movimentos possíveis. Escreva sua expressão estereotipada.

É possível aplicar o princípio dos movimentos virtuais a sistemas com conexões não ideais?

Quais são as coordenadas generalizadas de um sistema mecânico?

Qual é o número de graus de liberdade de um sistema mecânico?

Nesse caso, as coordenadas cartesianas dos pontos do sistema dependem não apenas das coordenadas generalizadas, mas também do tempo?

Como são chamados os movimentos possíveis de um sistema mecânico?

Os movimentos possíveis dependem das forças que atuam no sistema?

Quais conexões de um sistema mecânico são chamadas de ideais?

Por que uma ligação feita com atrito não é uma ligação ideal?

Como é formulado o princípio dos movimentos possíveis?

Que tipos a equação de trabalho pode ter?

Por que o princípio dos deslocamentos possíveis simplifica a derivação das condições de equilíbrio para forças aplicadas a sistemas restritos que consistem em um grande número de corpos?

Como são construídas as equações de trabalho para forças que atuam em um sistema mecânico com vários graus de liberdade?

Qual é a relação entre a força motriz e a força resistente em máquinas simples?

Como é formulada a regra de ouro da mecânica?

Como são determinadas as reações das conexões usando o princípio dos movimentos possíveis?

Quais conexões são chamadas de holonômicas?

Qual é o número de graus de liberdade de um sistema mecânico?

Quais são as coordenadas generalizadas do sistema?

Quantas coordenadas generalizadas possui um sistema mecânico não livre?

Quantos graus de liberdade tem o volante de um carro?

O que é força generalizada?

Escreva uma fórmula que expresse o trabalho elementar total de todas as forças aplicadas ao sistema em coordenadas generalizadas.

Como é determinada a dimensão da força generalizada?

Como as forças generalizadas são calculadas em sistemas conservativos?

Escreva uma das fórmulas que expressam a equação geral da dinâmica de um sistema com conexões ideais. Qual é o significado físico desta equação?

Qual é a força generalizada das forças ativas aplicadas a um sistema?

Qual é a força inercial generalizada?

Formule o princípio de d'Alembert em forças generalizadas.

Qual é a equação geral da dinâmica?

O que é chamado de força generalizada correspondente a alguma coordenada generalizada do sistema, e que dimensão ela possui?

Quais são as reações generalizadas de ligações ideais?

Derive a equação geral da dinâmica em forças generalizadas.

Qual é a forma das condições de equilíbrio para forças aplicadas a um sistema mecânico obtidas a partir da equação geral da dinâmica em forças generalizadas?

Que fórmulas expressam forças generalizadas através de projeções de forças nos eixos fixos das coordenadas cartesianas?

Como são determinadas as forças generalizadas no caso das forças conservadoras e no caso das forças não conservativas?

Quais conexões são chamadas de geométricas?

Dê uma representação vetorial do princípio dos deslocamentos possíveis.

Cite as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um sistema mecânico com conexões geométricas estacionárias ideais.

Que propriedade tem a função de força de um sistema conservativo em estado de equilíbrio?

Escreva um sistema de equações diferenciais de Lagrange de segundo tipo.

Quantas equações de Lagrange do segundo tipo podem ser construídas para um sistema mecânico restrito?

O número de equações de Lagrange de um sistema mecânico depende do número de corpos incluídos no sistema?

Qual é o potencial cinético de um sistema?

Para quais sistemas mecânicos existe a função de Lagrange?

Quais são os argumentos da função do vetor velocidade de um ponto pertencente a um sistema mecânico com é graus de liberdade?

Qual é a derivada parcial do vetor velocidade de um ponto do sistema em relação a alguma velocidade generalizada?

A função de quais argumentos é a energia cinética de um sistema sujeito a restrições holonômicas não estacionárias?

Qual é a forma das equações de Lagrange do segundo tipo? Qual é o número dessas equações para cada sistema mecânico?

Que forma assumem as equações de Lagrange do segundo tipo no caso em que o sistema sofre a ação simultânea de forças conservativas e não conservativas?

Qual é a função de Lagrange ou potencial cinético?

Qual é a forma das equações de Lagrange do segundo tipo para um sistema conservativo?

Dependendo de quais variáveis ​​​​a energia cinética de um sistema mecânico deve ser expressa na composição das equações de Lagrange?

Como é determinada a energia potencial de um sistema mecânico sob a influência de forças elásticas?

Problemas para resolver de forma independente

Tarefa 1. Usando o princípio dos deslocamentos possíveis, determine as reações das ligações de estruturas mistas. Diagramas estruturais são mostrados na Fig. 15, e os dados necessários para a solução são apresentados na tabela. 1. Nas fotos todas as dimensões estão em metros.

tabela 1

Opção 1 Opção 2

Opção 3 Opção 4

Opção 5 Opção 6

Opção 7 Opção 8

Fig.16 Fig.17

Solução.É fácil verificar que neste problema estão reunidas todas as condições para aplicação do princípio de Lagrange (o sistema está em equilíbrio, as ligações são estacionárias, holonómicas, confinantes e ideais).

Vamos nos libertar da conexão correspondente à reação X A (Fig. 17). Para isso, no ponto A, a dobradiça fixa deve ser substituída, por exemplo, por um suporte de haste, caso em que o sistema recebe um grau de liberdade. Como já foi observado, o possível movimento do sistema é determinado pelas restrições que lhe são impostas e não depende das forças aplicadas. Portanto, determinar possíveis deslocamentos é um problema cinemático. Como neste exemplo o quadro só pode se mover no plano da imagem, seus possíveis movimentos também são planos. No movimento plano, o movimento do corpo pode ser considerado como uma rotação em torno do centro instantâneo das velocidades. Se o centro instantâneo das velocidades estiver no infinito, isso corresponde ao caso do movimento translacional instantâneo, quando os deslocamentos de todos os pontos do corpo são iguais.

Para encontrar o centro instantâneo das velocidades, é necessário conhecer as direções das velocidades de quaisquer dois pontos do corpo. Portanto, a determinação dos possíveis deslocamentos de uma estrutura mista deve começar com a determinação dos possíveis deslocamentos do elemento para os quais tais velocidades são conhecidas. Neste caso, você deve começar com o quadro CDB, desde o seu ponto EM está imóvel e, portanto, o movimento possível deste referencial é a sua rotação através de um ângulo em torno de um eixo que passa pela dobradiça B. Agora, conhecendo o movimento possível do ponto COM(pertence simultaneamente a ambos os frames do sistema) e possível movimento do ponto A(um possível movimento do ponto A é o seu movimento ao longo do eixo X), encontre o centro de velocidade instantânea C 1 do referencial AES. Assim, possível movimento do quadro AESé a sua rotação em torno do ponto C 1 por um ângulo . A conexão entre os ângulos e é determinada através do movimento do ponto C (ver Fig. 17)

Da semelhança dos triângulos EC 1 C e BCD temos

Como resultado, obtemos as dependências:

De acordo com o princípio dos movimentos possíveis

Vamos calcular sequencialmente os possíveis empregos incluídos aqui:

Q=2q – resultante da carga distribuída, cujo ponto de aplicação é mostrado na Fig. 79; o trabalho possível realizado por ele é igual.