Coordenadas e vetores. O Guia Abrangente (2020)

Os eixos das abscissas e das ordenadas são chamados coordenadas vetor. As coordenadas vetoriais são geralmente indicadas na forma (x, y), e o próprio vetor como: =(x, y).

Fórmula para determinação de coordenadas vetoriais para problemas bidimensionais.

No caso de um problema bidimensional, um vetor com valor conhecido coordenadas de pontos UMA(x 1;y 1) E B(x 2 ; sim 2 ) pode ser calculado:

= (x 2 - x 1; y 2 - e 1).

Fórmula para determinação de coordenadas vetoriais para problemas espaciais.

No caso de um problema espacial, um vetor com valor conhecido coordenadas de pontos A (x 1;y 1;z 1 ) e B (x 2 ; sim 2 ; z 2 ) pode ser calculado usando a fórmula:

= (x 2 - x 1 ; sim 2 - sim 1 ; z 2 - z 1 ).

As coordenadas fornecem uma descrição abrangente do vetor, pois é possível construir o próprio vetor usando as coordenadas. Conhecendo as coordenadas, é fácil calcular e comprimento do vetor. (Imóvel 3 abaixo).

Propriedades das coordenadas vetoriais.

1. Qualquer vetores iguais em um único sistema de coordenadas tem coordenadas iguais.

2. Coordenadas vetores colineares proporcional. Desde que nenhum dos vetores seja zero.

3. O quadrado do comprimento de qualquer vetor é igual à soma dos seus quadrados coordenadas.

4.Durante a cirurgia multiplicação vetorial sobre número real cada uma de suas coordenadas é multiplicada por este número.

5. Ao adicionar vetores, calculamos a soma dos correspondentes coordenadas vetoriais.

6. Produto escalar dois vetores é igual à soma dos produtos de suas coordenadas correspondentes.

12. Comprimento de um vetor, comprimento de um segmento, ângulo entre vetores, condição de perpendicularidade dos vetores.

Vetor – é um segmento direcionado que conecta dois pontos no espaço ou em um plano. Os vetores são geralmente indicados por letras minúsculas ou por pontos iniciais e finais. Geralmente há um traço no topo.

Por exemplo, um vetor direcionado do ponto A ao ponto B, pode ser designado a ,

Vetor zero 0 ou 0 - Este é um vetor cujos pontos inicial e final coincidem, ou seja, A = B. Daqui, 0 = – 0 .

Comprimento do vetor (módulo)a é o comprimento do segmento que o representa AB, denotado por |a | . Em particular, | 0 | = 0.

Os vetores são chamados colinear, se seus segmentos direcionados estiverem em linhas paralelas. Vetores colineares a E b são designados a || b .

Três ou mais vetores são chamados coplanar, se eles estiverem no mesmo plano.

Adição de vetores. Como os vetores são dirigido segmentos, então sua adição pode ser realizada geometricamente. (A adição algébrica de vetores é descrita abaixo, no parágrafo “Vetores ortogonais unitários”). Vamos fingir que

a =AB e b = CD,

então o vetor __ __

a + b = AB+ CD

é o resultado de duas operações:

a)transferência paralela um dos vetores de modo que seu ponto inicial coincida com o ponto final do segundo vetor;

b)adição geométrica, ou seja construir um vetor resultante indo do ponto inicial do vetor fixo até o ponto final do vetor transferido.

Subtração de vetores. Esta operação é reduzida à anterior substituindo o vetor subtraendo pelo seu oposto: a – b =a + (– b ) .

Leis de adição.

EU. a + b = b + a (Lei de transição).

II. (a + b ) + c = a + (b + c ) (Direito Combinativo).

III. a + 0 = a .

4. a + (– a ) = 0 .

Leis para multiplicar um vetor por um número.

EU. 1 · a = a , 0 · a = 0 , eu· 0 = 0 , (– 1) · a = – a .

II. eua = a eu,| eua | = | eu | · | um | .

III. m(na ) = (mn)a . (C o m b e t a l

lei da multiplicação por número).

4. (m+n) a = eua +na , (DISTRIBUCIONAL

eu(a + b ) = eua +mb . lei da multiplicação por número).

Produto escalar de vetores. __ __

Ângulo entre vetores diferentes de zero AB E CD– este é o ângulo formado pelos vetores quando eles são transferidos em paralelo até que os pontos estejam alinhados A E C. Produto escalar de vetoresa E b é chamado de número igual a o produto de seus comprimentos e o cosseno do ângulo entre eles:

Se um dos vetores for zero, então seu produto escalar, de acordo com a definição, é igual a zero:

(a, 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Se ambos os vetores forem diferentes de zero, então o cosseno do ângulo entre eles é calculado pela fórmula:

Produto escalar ( um, um ), igual a | a | 2, chamado quadrado escalar. Comprimento do vetor a e seu quadrado escalar estão relacionados por:

Produto escalar de dois vetores:

- positivamente, se o ângulo entre os vetores apimentado;

- negativo, se o ângulo entre os vetores cego.

O produto escalar de dois vetores diferentes de zero é igual a zero, então e somente quando o ângulo entre eles for reto, ou seja, quando esses vetores são perpendiculares (ortogonais):

Propriedades do produto escalar. Para quaisquer vetores a, b, c e qualquer número eu as seguintes relações são válidas:

EU. (a, b ) = (BA ) . (Lei de transição)

II. (eua, b ) = eu(a, b ) .

III.(a+b,c ) = (a, c ) + (b, c ). (Direito distributivo)

Vetores ortogonais unitários. Em qualquer sistema de coordenadas retangulares você pode inserir vetores ortogonais unitários pareadoseu , j E k associado aos eixos coordenados: eu – com eixo X, j – com eixo S E k – com eixo Z. De acordo com esta definição:

(eu ,j ) = (eu , k ) = (j , k ) = 0,

| eu | =| j | =| k | = 1.

Qualquer vetor a pode ser expresso por meio desses vetores de uma maneira única: a = xeu + simj+ zk . Outra forma de gravação: a = (x, y, z). Aqui x, sim, z - coordenadas vetor a neste sistema de coordenadas. De acordo com a última relação e propriedades dos vetores ortogonais unitários eu j , k O produto escalar de dois vetores pode ser expresso de forma diferente.

Deixar a = (x, y, z); b = (você, v, w). Então ( a, b ) = xu + sim + zw.

O produto escalar de dois vetores é igual à soma dos produtos das coordenadas correspondentes.

Comprimento do vetor (módulo) a = (x, sim, z ) é igual a:

Além disso, temos agora a oportunidade de realizar algébrico operações sobre vetores, ou seja, adição e subtração de vetores, podem ser realizadas usando coordenadas:

um+ b = (x + você, y + v, z + w) ;

a – b = (x–você, você– v, z–c) .

Produto vetorial de vetores. Arte vetorial [a, b ] vetoresa Eb (nesta ordem) é chamado de vetor:

Existe outra fórmula para o comprimento do vetor [ um, b ] :

| [ um, b ] | = | a | | b | pecado( um, b ) ,

ou seja comprimento ( módulo ) produto vetorial de vetoresa Eb é igual ao produto dos comprimentos (módulos) desses vetores e o seno do ângulo entre eles. Em outras palavras: comprimento (módulo) do vetor[ um, b ] numericamente igual à área de um paralelogramo construído sobre vetores a Eb .

Propriedades de um produto vetorial.

EU. Vetor [ um, b ] perpendicular (ortogonal) ambos os vetores a E b .

(Prove, por favor!).

II.[ a, b ] = – [BA ] .

III. [ eua, b ] = eu[a, b ] .

4. [ a+b,c ] = [ a, c ] + [ b, c ] .

V. [ a, [ b, c ] ] = b (uma, c ) – c (um, b ) .

VI. [ [ a, b ] , c ] = b (uma, c ) – a (b, c ) .

Condição necessária e suficiente para colinearidade vetores a = (x, y, z) E b = (você, v, w) :

Condição necessária e suficiente para coplanaridade vetores a = (x, y, z), b = (você, v, w) E c = (p, q, r) :

EXEMPLO Os vetores são dados: a = (1, 2, 3) e b = (– 2 , 0 ,4).

Calcule seus produtos escalares e cruzados e ângulo

entre esses vetores.

Solução: Usando as fórmulas apropriadas (veja acima), obtemos:

a). produto escalar:

(um, b ) = 1 · (– 2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;

b). produto vetorial:

Encontrar as coordenadas de um vetor é uma condição bastante comum para muitos problemas de matemática. A capacidade de encontrar coordenadas vetoriais irá ajudá-lo em outras tarefas mais complexas com temas semelhantes. Neste artigo veremos a fórmula para encontrar coordenadas vetoriais e vários problemas.

Encontrando as coordenadas de um vetor em um plano

O que é um avião? Um plano é considerado um espaço bidimensional, um espaço com duas dimensões (a dimensão x e a dimensão y). Por exemplo, o papel é plano. A superfície da mesa é plana. Qualquer figura não volumétrica (quadrado, triângulo, trapézio) também é um plano. Assim, se na definição do problema você precisar encontrar as coordenadas de um vetor que está em um plano, lembramos imediatamente de x e y. Você pode encontrar as coordenadas desse vetor da seguinte maneira: Coordenadas AB do vetor = (xB – xA; yB – xA). A fórmula mostra que você precisa subtrair as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto final.

Exemplo:

• O vetor CD possui coordenadas iniciais (5; 6) e finais (7; 8).
• Encontre as coordenadas do próprio vetor.
• Usando a fórmula acima, obtemos a seguinte expressão: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Assim, as coordenadas do vetor CD = (2; 2).
• Conseqüentemente, a coordenada x é igual a dois, a coordenada y também é dois.

Encontrando as coordenadas de um vetor no espaço

O que é espaço? O espaço já é uma dimensão tridimensional, onde são dadas 3 coordenadas: x, y, z. Se você precisar encontrar um vetor que esteja no espaço, a fórmula praticamente não muda. Apenas uma coordenada é adicionada. Para encontrar um vetor, você precisa subtrair as coordenadas do início das coordenadas finais. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Exemplo:

• O vetor DF possui inicial (2; 3; 1) e final (1; 5; 2).
• Aplicando a fórmula acima, obtemos: Coordenadas vetoriais DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Lembre-se, o valor da coordenada pode ser negativo, não há problema.

Como encontrar coordenadas vetoriais online?

Se por algum motivo você não quiser encontrar as coordenadas sozinho, poderá usar uma calculadora online. Para começar, selecione a dimensão vetorial. A dimensão de um vetor é responsável por suas dimensões. Dimensão 3 significa que o vetor está no espaço, dimensão 2 significa que está no plano. A seguir, insira as coordenadas dos pontos nos campos apropriados e o programa determinará para você as coordenadas do próprio vetor. Tudo é muito simples.

Ao clicar no botão, a página rolará automaticamente para baixo e fornecerá a resposta correta junto com as etapas da solução.

Recomenda-se estudar bem este tema, pois o conceito de vetor é encontrado não só na matemática, mas também na física. Os alunos da Faculdade de Tecnologia da Informação também estudam o tema vetores, mas em um nível mais complexo.

1. Definição de vetor. Comprimento do vetor. Colinearidade, coplanaridade de vetores.

Um vetor é um segmento direcionado. O comprimento ou módulo de um vetor é o comprimento do segmento direcionado correspondente.

Módulo vetorial a denotado por . Vetor aé chamado de unidade se . Os vetores são chamados colineares se forem paralelos à mesma linha. Os vetores são chamados coplanares se forem paralelos ao mesmo plano.

2. Multiplicando um vetor por um número. Propriedades de operação.

Multiplicar um vetor por um número resulta em um vetor de direção oposta que tem o dobro do comprimento. Multiplicar um vetor por um número na forma de coordenadas é feito multiplicando todas as coordenadas por este número:

Com base na definição, obtemos uma expressão para o módulo do vetor multiplicado pelo número:

Semelhante aos números, a operação de adicionar um vetor a si mesmo pode ser escrita através da multiplicação por um número:

E a subtração de vetores pode ser reescrita por meio de adição e multiplicação:

Partindo do fato de que a multiplicação por não altera o comprimento do vetor, mas apenas a direção, e levando em consideração a definição de vetor, obtemos:

3. Adição de vetores, subtração de vetores.

Na representação de coordenadas, o vetor soma é obtido somando as coordenadas correspondentes dos termos:

Para construir geometricamente um vetor soma, várias regras (métodos) são usadas, mas todas dão o mesmo resultado. A utilização de uma ou outra regra é justificada pelo problema a ser resolvido.

Regra do triângulo

A regra do triângulo decorre naturalmente da compreensão de um vetor como uma transferência. É claro que o resultado da aplicação sequencial de duas transferências num determinado ponto será o mesmo que a aplicação de uma transferência de uma só vez que corresponda a esta regra. Para adicionar dois vetores de acordo com a regra triângulo ambos os vetores são transferidos paralelamente a si mesmos, de modo que o início de um deles coincide com o final do outro. Então o vetor soma é dado pelo terceiro lado do triângulo resultante, e seu início coincide com o início do primeiro vetor e seu final com o final do segundo vetor.

Esta regra pode ser generalizada direta e naturalmente para a adição de qualquer número de vetores, transformando-se em regra da linha quebrada:

Regra do polígono

O início do segundo vetor coincide com o final do primeiro, o início do terceiro com o final do segundo e assim por diante, a soma dos vetores é um vetor, com o início coincidindo com o início do primeiro, e o final coincide com o final do th (ou seja, é representado por um segmento direcionado fechando a linha tracejada) . Também chamada de regra da linha quebrada.

Regra do paralelogramo

Para adicionar dois vetores e de acordo com a regra paralelogramo ambos os vetores são transferidos paralelamente entre si para que suas origens coincidam. Então o vetor soma é dado pela diagonal do paralelogramo construído sobre eles, a partir de sua origem comum. (É fácil ver que esta diagonal coincide com o terceiro lado do triângulo quando se utiliza a regra do triângulo).

A regra do paralelogramo é especialmente conveniente quando há necessidade de representar o vetor soma como aplicado imediatamente ao mesmo ponto ao qual ambos os termos são aplicados - isto é, representar todos os três vetores como tendo uma origem comum.

Módulo de soma vetorial

Módulo da soma de dois vetores pode ser calculado usando teorema do cosseno:

Onde está o cosseno do ângulo entre os vetores.

Se os vetores são representados de acordo com a regra do triângulo e o ângulo é obtido de acordo com o desenho - entre os lados do triângulo - que não coincide com a definição usual do ângulo entre os vetores e, portanto, com o ângulo acima fórmula, então o último termo adquire um sinal negativo, que corresponde ao teorema do cosseno em sua formulação direta.

Para a soma de um número arbitrário de vetores uma fórmula semelhante é aplicável, na qual há mais termos com cosseno: existe um desses termos para cada par de vetores do conjunto somado. Por exemplo, para três vetores a fórmula fica assim:

Subtração vetorial

Dois vetores e seu vetor de diferença

Para obter a diferença na forma de coordenadas, é necessário subtrair as coordenadas correspondentes dos vetores:

Para obter um vetor diferença, os inícios dos vetores são conectados e o início do vetor será o fim, e o fim será o fim. Se escrevermos usando pontos vetoriais, então.

Módulo de diferença vetorial

Três vetores, como na adição, formam um triângulo, e a expressão para o módulo de diferença é semelhante:

onde está o cosseno do ângulo entre os vetores

A diferença da fórmula do módulo da soma está no sinal antes do cosseno, neste caso é preciso monitorar cuidadosamente qual ângulo é tomado (a versão da fórmula do módulo da soma com o ângulo entre os lados de um triângulo quando somados de acordo com a regra do triângulo não diferem na forma desta fórmula para o módulo da diferença, mas você precisa ter Observe que ângulos diferentes são tomados aqui: no caso de uma soma, o ângulo é tomado quando o vetor é transferido para o final do vetor; quando um modelo de diferença é procurado, o ângulo entre os vetores aplicado a um ponto é tomado; a expressão para o módulo da soma usando o mesmo ângulo que na dada expressão para o módulo da diferença, difere no sinal antes do cosseno).

Em primeiro lugar, precisamos entender o próprio conceito de vetor. Para introduzir a definição de vetor geométrico, lembremos o que é um segmento. Vamos apresentar a seguinte definição.

Definição 1

Um segmento é uma parte de uma linha que possui dois limites na forma de pontos.

Um segmento pode ter 2 direções. Para denotar a direção, chamaremos um dos limites do segmento de início e o outro limite de fim. A direção é indicada do início ao fim do segmento.

Definição 2

Um vetor ou segmento direcionado será um segmento para o qual se sabe qual dos limites do segmento é considerado o início e qual é o seu fim.

Designação: Em duas letras: $\overline(AB)$ – (onde $A$ é o seu início e $B$ é o seu fim).

Em uma letra minúscula: $\overline(a)$ (Fig. 1).

Vamos agora introduzir diretamente o conceito de comprimentos vetoriais.

Definição 3

O comprimento do vetor $\overline(a)$ será o comprimento do segmento $a$.

Notação: $|\overline(a)|$

O conceito de comprimento vetorial está associado, por exemplo, a um conceito como a igualdade de dois vetores.

Definição 4

Chamaremos dois vetores de iguais se eles satisfizerem duas condições: 1. São codirecionais; 1. Seus comprimentos são iguais (Fig. 2).

Para definir vetores, insira um sistema de coordenadas e determine as coordenadas do vetor no sistema inserido. Como sabemos, qualquer vetor pode ser decomposto na forma $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, onde $m$ e $n$ são números reais, e $\overline (i )$ e $\overline(j)$ são vetores unitários nos eixos $Ox$ e $Oy$, respectivamente.

Definição 5

Chamaremos os coeficientes de expansão do vetor $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ de coordenadas deste vetor no sistema de coordenadas introduzido. Matematicamente:

$\overline(c)=(m,n)$

Como encontrar o comprimento de um vetor?

Para derivar uma fórmula para calcular o comprimento de um vetor arbitrário dadas suas coordenadas, considere o seguinte problema:

Exemplo 1

Dado: vetor $\overline(α)$ com coordenadas $(x,y)$. Encontre: o comprimento deste vetor.

Vamos introduzir um sistema de coordenadas cartesianas $xOy$ no plano. Deixemos de lado $\overline(OA)=\overline(a)$ das origens do sistema de coordenadas introduzido. Vamos construir as projeções $OA_1$ e $OA_2$ do vetor construído nos eixos $Ox$ e $Oy$, respectivamente (Fig. 3).

O vetor $\overline(OA)$ que construímos será o vetor raio do ponto $A$, portanto, terá coordenadas $(x,y)$, o que significa

$=x$, $[OA_2]=y$

Agora podemos encontrar facilmente o comprimento necessário usando o teorema de Pitágoras, obtemos

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Resposta: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Conclusão: Para encontrar o comprimento de um vetor cujas coordenadas são dadas, é necessário encontrar a raiz do quadrado da soma dessas coordenadas.

Exemplos de tarefas

Exemplo 2

Encontre a distância entre os pontos $X$ e $Y$, que possuem as seguintes coordenadas: $(-1,5)$ e $(7,3)$, respectivamente.

Quaisquer dois pontos podem ser facilmente associados ao conceito de vetor. Considere, por exemplo, o vetor $\overline(XY)$. Como já sabemos, as coordenadas de tal vetor podem ser encontradas subtraindo as coordenadas correspondentes do ponto inicial ($X$) das coordenadas do ponto final ($Y$). Nós entendemos isso