Quais segmentos podem ser desenhados para cortar. Olimpíada, problemas lógicos e divertidos em matemática

, Concurso "Apresentação para a aula"

Apresentação para a aula

Para trás para a frente

Atenção! As visualizações de slides são apenas para fins informativos e podem não representar todos os recursos da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, baixe a versão completa.

A experiência mostra que, ao utilizar métodos práticos de ensino, é possível formar nos alunos uma série de técnicas mentais necessárias para identificar corretamente características essenciais e não essenciais na familiarização com as figuras geométricas. a intuição matemática se desenvolve, o pensamento lógico e abstrato se desenvolve, uma cultura do discurso matemático é formada, as habilidades matemáticas e de design são desenvolvidas, a atividade cognitiva aumenta, o interesse cognitivo é formado, o potencial intelectual e criativo se desenvolve. O artigo fornece uma série de tarefas práticas sobre corte geométrico formas em pedaços para compor essas peças criar uma nova figura. Os alunos trabalham em tarefas em grupos. Cada grupo defende então o seu projeto.

Duas figuras são chamadas igualmente compostas se, cortando uma delas de uma certa maneira em um número finito de partes, é possível (arranjando essas partes de maneira diferente) formar uma segunda figura a partir delas. Portanto, o método de particionamento baseia-se no fato de que quaisquer dois polígonos igualmente compostos têm tamanhos iguais. É natural colocar a questão oposta: dois polígonos quaisquer com a mesma área são iguais em tamanho? A resposta a esta questão foi dada (quase simultaneamente) pelo matemático húngaro Farkas Bolyai (1832) e pelo oficial alemão e entusiasta da matemática Gerwin (1833): dois polígonos com áreas iguais são igualmente proporcionais.

O teorema de Bolyai-Gerwin afirma que qualquer polígono pode ser cortado em pedaços de modo que os pedaços possam formar um quadrado.

Exercício 1.

Corte o retângulo a X 2a em pedaços para que possam formar um quadrado.

Cortamos o retângulo ABCD em três partes ao longo das linhas MD e MC (M é o meio de AB)

Imagem 1

Movemos o triângulo AMD para que o vértice M coincida com o vértice C, a perna AM se move para o segmento DC. Movemos o triângulo MVS para a esquerda e para baixo de modo que a perna MV se sobreponha à metade do segmento DC. (Imagem 1)

Tarefa 2.

Corte o triângulo equilátero em pedaços para que possam ser dobrados em um quadrado.

Vamos denotar este triângulo regular ABC. É necessário cortar o triângulo ABC em polígonos para que possam ser dobrados em um quadrado. Então esses polígonos devem ter pelo menos um ângulo reto.

Seja K o ponto médio de CB, T o ponto médio de AB, escolha os pontos M e E do lado AC de modo que ME=AT=TV=BK=SC= A, SOU = CE = A/2.

Figura 2

Desenhemos o segmento MK e os segmentos EP e TN perpendiculares a ele. Vamos cortar o triângulo em pedaços ao longo das linhas construídas. Giramos o quadrilátero KRES no sentido horário em relação ao vértice K para que SC se alinhe com o segmento KV. Vamos girar o quadrilátero AMNT no sentido horário em relação ao vértice T para que AT se alinhe com TV. Vamos mover o triângulo MEP para que o resultado seja um quadrado. (Figura 2)

Tarefa 3.

Corte o quadrado em pedaços para que dois quadrados possam ser dobrados a partir deles.

Vamos denotar o quadrado original ABCD. Vamos marcar os pontos médios dos lados do quadrado - pontos M, N, K, H. Vamos desenhar os segmentos MT, HE, KF e NP - partes dos segmentos MC, HB, KA e ND, respectivamente.

Cortando o quadrado ABCD ao longo das linhas traçadas, obtemos o quadrado PTEF e quatro quadriláteros MDHT, HCKE, KBNF e NAMP.

Figura 3

PTEF é um quadrado pronto. Dos quadrantes restantes formaremos o segundo quadrado. Os vértices A, B, C e D são compatíveis em um ponto, os segmentos AM e BC, MD e KS, BN e CH, DH e AN são compatíveis. Os pontos P, T, E e F se tornarão os vértices do novo quadrado. (Figura 3)

Tarefa 4.

Um triângulo equilátero e um quadrado são recortados em papel grosso. Corte essas figuras em polígonos para que possam ser dobradas em um quadrado, e as partes devem preenchê-lo completamente e não devem se cruzar.

Corte o triângulo em pedaços e faça um quadrado com eles, conforme mostrado na tarefa 2. Comprimento do lado do triângulo – 2a. Agora você deve dividir o quadrado em polígonos para que dessas partes e do quadrado que saiu do triângulo você faça um novo quadrado. Pegue um quadrado com lado 2 A, vamos denotar isso como LRSD. Vamos desenhar segmentos mutuamente perpendiculares UG e VF de modo que DU=SF=RG=LV. Vamos cortar o quadrado em quadrantes.

Figura 4

Tomemos um quadrado composto por partes de um triângulo. Vamos dispor os quadriláteros - partes do quadrado, conforme mostrado na Figura 4.

Tarefa 5.

A cruz é composta por cinco quadrados: um quadrado no centro e os outros quatro adjacentes às laterais. Corte-o em pedaços para que você possa fazer um quadrado com eles.

Vamos conectar os vértices dos quadrados conforme mostrado na Figura 5. Corte os triângulos “externos” e mova-os para os espaços livres dentro do quadrado ABC.

Figura 5

Tarefa 6.

Redesenhe dois quadrados arbitrários em um.

A Figura 6 mostra como cortar e mover as peças quadradas.

Um ponto é um objeto abstrato que não possui características de medição: nem altura, nem comprimento, nem raio. No âmbito da tarefa, apenas a sua localização é importante

O ponto é indicado por um número ou uma letra latina maiúscula (maiúscula). Vários pontos - com números ou letras diferentes para que possam ser distinguidos

ponto A, ponto B, ponto C

ponto 1, ponto 2, ponto 3

Você pode desenhar três pontos “A” em um pedaço de papel e convidar a criança a traçar uma linha através dos dois pontos “A”. Mas como entender por meio de quais? AA A

Uma linha é um conjunto de pontos. Apenas o comprimento é medido. Não tem largura nem espessura

Indicado por letras latinas minúsculas (pequenas)

linha a, linha b, linha c

A linha pode ser

1. fechado se seu início e fim estiverem no mesmo ponto,
2. aberto se seu início e fim não estiverem conectados

linhas fechadas

linhas abertas

1. auto-intersecção
2. sem auto-interseções

linhas que se cruzam

linhas sem auto-interseções

1. direto
2. quebrado
3. torto

linhas retas

linhas quebradas

linhas curvas

Uma linha reta é uma linha que não é curva, não tem começo nem fim, pode ser continuada indefinidamente em ambas as direções

Mesmo quando uma pequena secção de uma linha recta é visível, assume-se que esta continua indefinidamente em ambas as direcções.

Indicado por uma letra latina minúscula (minúscula). Ou duas letras latinas maiúsculas (maiúsculas) - pontos em linha reta

linha reta a

reta AB

Direto pode ser

1. cruzando se eles tiverem um ponto comum. Duas linhas podem se cruzar apenas em um ponto.
   • perpendiculares se eles se cruzarem em ângulos retos (90°).
2. Paralelos, se não se cruzam, não possuem um ponto comum.

linhas paralelas

linhas que se cruzam

linhas perpendiculares

Um raio é uma parte de uma linha reta que tem começo, mas não tem fim; pode ser continuado indefinidamente em apenas uma direção

O raio de luz na imagem tem como ponto de partida o sol.

Sol

Um ponto divide uma linha reta em duas partes - dois raios A A

O feixe é designado por uma letra latina minúscula (minúscula). Ou duas letras latinas maiúsculas (maiúsculas), onde a primeira é o ponto a partir do qual o raio começa e a segunda é o ponto situado no raio

raio um

feixe AB

Os raios coincidem se

1. localizado na mesma linha reta
2. comece em um ponto
3. direcionado em uma direção

os raios AB e AC coincidem

os raios CB e CA coincidem

Um segmento é a parte de uma reta limitada por dois pontos, ou seja, tem início e fim, o que significa que seu comprimento pode ser medido. O comprimento de um segmento é a distância entre seus pontos inicial e final

Através de um ponto você pode desenhar qualquer número de linhas, incluindo linhas retas

Através de dois pontos - um número ilimitado de curvas, mas apenas uma linha reta

linhas curvas que passam por dois pontos

reta AB

Um pedaço foi “cortado” da reta e ficou um segmento. No exemplo acima você pode ver que seu comprimento é a menor distância entre dois pontos. ✂ B A ✂

Um segmento é denotado por duas letras latinas maiúsculas (maiúsculas), onde a primeira é o ponto em que o segmento começa e a segunda é o ponto em que o segmento termina

segmento AB

Problema: onde está a reta, semirreta, segmento, curva?

Uma linha quebrada é uma linha que consiste em segmentos conectados consecutivamente que não formam um ângulo de 180°

Um segmento longo foi “dividido” em vários segmentos curtos

Os elos de uma linha tracejada (semelhantes aos elos de uma corrente) são os segmentos que compõem a linha tracejada. Links adjacentes são links em que o final de um link é o início de outro. Os links adjacentes não devem estar na mesma linha reta.

Os vértices de uma linha tracejada (semelhantes aos topos das montanhas) são o ponto a partir do qual a linha tracejada começa, os pontos onde os segmentos que formam a linha tracejada estão conectados e o ponto onde a linha tracejada termina.

Uma linha quebrada é designada listando todos os seus vértices.

linha quebrada ABCDE

vértice da polilinha A, vértice da polilinha B, vértice da polilinha C, vértice da polilinha D, vértice da polilinha E

link quebrado AB, link quebrado BC, link quebrado CD, link quebrado DE

link AB e link BC são adjacentes

link BC e link CD são adjacentes

link CD e link DE são adjacentes

O comprimento de uma linha quebrada é a soma dos comprimentos de seus links: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Tarefa: qual linha quebrada é mais longa, A que tem mais vértices? A primeira linha contém todos os links do mesmo comprimento, ou seja, 13 cm. A segunda linha contém todos os links do mesmo comprimento, ou seja, 49 cm. A terceira linha contém todos os links do mesmo comprimento, ou seja, 41 cm.

Um polígono é uma polilinha fechada

Os lados do polígono (as expressões vão te ajudar a lembrar: “vá nas quatro direções”, “corra em direção à casa”, “de que lado da mesa você vai sentar?”) são os elos de uma linha tracejada. Os lados adjacentes de um polígono são links adjacentes de uma linha quebrada.

Os vértices de um polígono são os vértices de uma linha quebrada. Os vértices adjacentes são os pontos finais de um lado do polígono.

Um polígono é denotado listando todos os seus vértices.

polilinha fechada sem autointerseção, ABCDEF

polígono ABCDEF

vértice do polígono A, vértice do polígono B, vértice do polígono C, vértice do polígono D, vértice do polígono E, vértice do polígono F

vértice A e vértice B são adjacentes

vértice B e vértice C são adjacentes

vértice C e vértice D são adjacentes

vértice D e vértice E são adjacentes

vértice E e vértice F são adjacentes

vértice F e vértice A são adjacentes

lado do polígono AB, lado do polígono BC, lado do polígono CD, lado do polígono DE, lado do polígono EF

lado AB e lado BC são adjacentes

lado BC e lado CD são adjacentes

O lado CD e o lado DE são adjacentes

lado DE e lado EF são adjacentes

lado EF e lado FA são adjacentes

O perímetro de um polígono é o comprimento da linha tracejada: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Um polígono com três vértices é chamado de triângulo, com quatro - um quadrilátero, com cinco - um pentágono, etc.

Uma série de aulas eletivas sobre o tema “Resolvendo problemas de corte”

Nota explicativa

Básico metas que colocamos nas aulas eletivas são os seguintes:

Apresentar material sobre os tipos de polígonos de corte;

Promover a formação de competências nos alunos para realizar mentalmente transformações como:

• transferência paralela,

  vez,

  simetria central e diversas composições dessas transformações.

E o objetivo principal de todas as aulas: alcançar uma mudança positiva nas habilidades de pensamento espacial.

As tarefas oferecidas nas aulas eletivas são de natureza criativa, sua solução exige que os alunos: habilidades:

a capacidade de fazer transformações mentais que modifiquem a localização das imagens que os alunos têm em suas mentes, sua estrutura, estrutura;

a capacidade de alterar a imagem tanto em localização quanto em estrutura simultaneamente e executar repetidamente composições de operações individuais.

Planejamento temático:

1. Questionário nº 1 – 1 hora.

2. Problemas de corte. Corte tipo R – 1 hora.

3. Corte tipo P – 1 hora.

4. Corte tipo Q – 1 hora.

5. Corte tipo S – 1 hora.

6. Corte tipo T – 1 hora.

7. Questionário nº 2 – 1 hora.

Na compilação de uma série de aulas eletivas, foram utilizados problemas das revistas “Kvant”, “Mathematics at School” e do livro de G. Lindgren.

Diretrizes: Ao apresentar os problemas aos alunos, recomendamos considerá-los justamente de acordo com os tipos de recorte propostos por G. Lindgren, o que permite, por um lado, classificar esses problemas, por outro lado, em sala de aula resolver problemas envolvendo espaço transformações de vários níveis de complexidade (o segundo e terceiro tipos operando com imagens, segundo I.S. Yakimanskaya). Recomendamos o uso de tarefas de aulas eletivas ao trabalhar com alunos da 7ª à 9ª série.

Lição nº 1

Tópico: Problemas de corte. Corte tipo R (corte racional).

Alvo: Familiarizar os alunos com o conceito de problema de corte, explicar a essência do corte tipo R, analisando a solução de problemas para este tipo de corte, no processo de resolução de problemas, promover a formação de competências para realizar mentalmente as operações (corte, adicionar, recortar, girar, transferir paralelamente), promovendo assim o desenvolvimento do pensamento espacial.

Equipamento: papel, pastas coloridas, tesoura, cartaz.

Método: explicativo - ilustrativo.

Professor: cartaz no quadro:

Esquema: Problemas de corte

Problemas de corte

1) Corte a figura em várias figuras

3) Remodele uma ou mais formas em outra forma

2) Dobre uma figura a partir das figuras fornecidas

Entre todos os problemas de corte, a maioria deles são problemas de corte racional. Isso se deve ao fato de que tais cortes são fáceis de fazer e os quebra-cabeças baseados neles não são muito simples nem muito complexos.

Problemas em R - corte

1) Corte a figura em várias figuras (quase sempre iguais)

3) Remodele uma ou mais formas em uma determinada forma

2) Adicione um valor a partir de valores fornecidos (em sua maioria iguais)

3.1. Usando corte escalonado

3.2. Sem usar corte escalonado

Vamos conhecer a solução de problemas para cada tipo de corte R.

Estágio II: Estágio de resolução de problemas

Métodos: pesquisa parcial

Tarefa nº 1(AI) : Corte um quadrado com quatro quadrados de lado em duas partes iguais. Encontre tantas maneiras de cortar quanto possível.

Nota: Você só pode cortar nas laterais das células.

Solução:

Os alunos procuram esses cortes em seus cadernos, depois o professor resume todos os métodos de corte encontrados pelos alunos.

Problema nº 2(AI) : Corte essas formas em duas partes iguais.

Nota: Você pode cortar não apenas nas laterais das células, mas também na diagonal.

Os alunos buscam tais recortes em seus cadernos com a ajuda do professor.

A praça tem muitas propriedades maravilhosas. Ângulos retos, lados iguais e simetria conferem-lhe simplicidade e perfeição de forma. Existem muitos quebra-cabeças para dobrar quadrados feitos de peças de formas iguais e diferentes.

PARA exemplo tarefa nº 3(BII) : Você recebe quatro peças idênticas. Faça mentalmente um quadrado com eles, usando todas as quatro partes de cada vez. Faça todos os testes no papel. Apresente os resultados da sua solução na forma de um desenho feito à mão.

Solução:

Um tabuleiro de xadrez cortado em pedaços, que deve ser dobrado corretamente, é um dos quebra-cabeças populares e conhecidos. A complexidade da montagem depende de quantas partes o tabuleiro está dividido.

Proponho a seguinte tarefa:

Problema nº 4(BII) : Monte um tabuleiro de xadrez com as peças mostradas na imagem.

Solução:

Problema nº 5(VII) : Corte o “Barco” em duas partes para poder dobrá-las em um quadrado.

Solução:

1) corte em duas partes como na foto

vire uma das peças (ou seja, gire)

Problema nº 6(VII): Qualquer uma das três figuras pode ser cortada em duas partes, das quais é fácil dobrar um quadrado. Encontre esses cortes.

A) b)

V)

Solução:

transferência paralela da parte 1 em relação à parte 2

rotação da parte 1 em relação à parte 2

) b) V)

Problema nº 7(VII): Um retângulo com lados de 4 e 9 unidades é cortado em duas partes iguais, que, quando dobradas corretamente, podem ser obtidas como um quadrado.

o corte é feito em degraus de altura e largura iguais;

a figura é dividida em partes e uma parte sobe um (ou vários) degraus, colocando-a sobre outra parte.

Solução:

transferência paralela da parte 1

Problema nº 9(VII): Tendo cortado a figura mostrada na figura em duas partes, dobre-as em um quadrado de modo que os quadrados coloridos sejam simétricos em relação a todos os eixos de simetria do quadrado.

Solução:

transferência paralela da parte 1

Problema nº 9(ВIII): Como cortar dois quadrados 3 x 3 e 4 x 4 para que as partes resultantes possam ser dobradas em um quadrado? Pense em várias maneiras. Tente sobreviver com o mínimo de peças possível.

Solução:

transferência paralela de peças

Caminho:

Caminho:

translação e rotação paralela

4 vias:

transferência paralela e rotação de peças

Os alunos, com a ajuda do professor, procuram os cortes.

Problema nº 10(AIII): A figura mostrada na figura deve ser dividida em 6 partes iguais, fazendo cortes apenas nas linhas da grade. De quantas maneiras você pode fazer isso?

Solução: Duas soluções possíveis.

Problema nº 11(BII): Construa um tabuleiro de xadrez com as peças fornecidas.

Solução:

Problema nº 12(BIII): Converta o retângulo 3 x 5 em um retângulo 5 x 3 sem girar as partes correspondentes.

Nota: Use corte escalonado.

Solução:(transferência paralela)

Problema nº 13(BIII): Corte a forma em 2 pedaços com um corte para formar um quadrado de 8 x 8.

Solução:

rotação da parte 2 em relação à parte 1

Diretrizes: Os problemas de corte do tipo R são alguns dos mais fáceis e interessantes. Muitos problemas para este tipo de corte envolvem vários métodos de solução, e a solução independente desses problemas pelos alunos pode ajudar a identificar todos os métodos de solução. As tarefas 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 envolvem os alunos a trabalhar com a imagem de figuras, através de transformações mentais (“corte”, adição, rotação, transferência paralela). Os problemas 4, 5, 9, 11 envolvem os alunos a trabalhar com modelos (feitos de papel), cortando diretamente a figura com uma tesoura e realizando transformações matemáticas (rotação, translação paralela) para encontrar soluções para os problemas. Tarefas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 - para o segundo tipo de operação com imagens, tarefas 9, 10, 12 - para o terceiro tipo de operação com imagens.

Lição nº 2

Tópico: Corte tipo P (deslocamento do paralelogramo P).

Alvo: Explicar a essência do corte tipo P, no processo de análise da solução de problemas para este tipo de corte, ao mesmo tempo que promove a formação de competências para realizar mentalmente as operações (cortar, adicionar, recortar, transferência paralela), promovendo assim o desenvolvimento do pensamento espacial.

Equipamento:

Estágio I: Estágio Orientado

Método: apresentação problemática.

Professor apresenta um problema (resolva o problema nº 1) e mostra sua solução.

Tarefa nº 1(BIII): Converter um paralelogramo com lados de 3 e 5 cm em um novo paralelogramo com os mesmos ângulos do paralelogramo original, cujo lado mede 4 cm.

Solução: 1)

4)

abc D – paralelogramo

AB = 3, UMA D=5

faça um corte AO VO = D K = 4;

mova a parte 1 para cima (translação paralela) para a direita ao longo da linha de corte até que o ponto O caia na continuação do lado DC;

faça um corte KA' para que KA' || DC;

e Δ AA'K inserimos no recesso localizado abaixo do ponto O (transferência paralela de Δ AA'K ao longo da linha reta AO).

KVO D é o paralelogramo desejado (КD = 4)

KDO=  A.D.C.  RUIM =  1 +  4,

1 =  2 e  4 =  3 – transversalmente em linhas paralelas.

Portanto,  RUIM =  2 + 3 =  BOC =  BKD,  RUIM =  BKD, etc.

você

Problemas no deslocamento P

Remodelar uma ou mais formas em outra forma

A essência do corte tipo P:

fazemos um corte desta figura que atenda aos requisitos da tarefa;

realizamos uma transferência paralela da parte cortada ao longo da linha de corte até que o topo da parte cortada coincida com a continuação do outro lado da figura original (paralelogramo);

fazemos um segundo corte paralelo ao lado do paralelogramo, obtemos outra parte;

Realizamos uma transferência paralela da peça recém-cortada ao longo da linha do primeiro corte até que os vértices coincidam (colocamos a peça na reentrância).

Estágio II: Estágio de resolução de problemas

Métodos: explicativo - ilustrativo

Problema nº 2(BII): Converta o quadrado 5 x 5 em um retângulo com largura 3.

Solução:

1) 2) – 3) 4)

seção AO / VO = D T = 3

transferência paralela ΔABO ao longo da linha reta AO até o ponto O  (DC)

cortar TA’ / TA’ || CD

Δ AA 'T por transferência paralela ao longo da linha reta AO.

TBOD é o retângulo desejado (TB = 3).

Problema nº 3(ВIII): Dobre três quadrados idênticos em um quadrado grande.

Nota: Dobre três quadrados em um retângulo e aplique o deslocamento P.

Solução:

S pr = 1,5 * 4,5 = 6,75

kv = 6,75 =

1) 2) – 3)

4)

Problema nº 4(BIII): Corte o retângulo 5 x 1 em um quadrado

Nota: faça uma incisão AB (A C =
), aplique P shift ao retângulo XYWA.

Solução:

1)

2) – 3) 4) 5)

Problema nº 5(ВIII): Converta o H russo em um quadrado.

Observação: faça um corte conforme mostrado na imagem, dobre as partes resultantes em um retângulo.

Solução:

Problema nº 6(BIII): Converta o triângulo em um trapézio.

Nota: Faça o corte conforme mostrado na imagem.

Solução:

gire a parte 1;

Seção AB;

ΔАВС transferência paralela ao longo de AB até o ponto B  (FM)

cortar OU / OU || FM;

ΔAOR por transporte paralelo ao longo de AB. O ponto P coincide com o ponto B;

OFBC é o trapézio desejado.

Problema nº 7(ВIII): Faça um quadrado com três cruzes gregas iguais.

Solução:

Problema nº 8(BIII): Converta a letra T em um quadrado.

Nota: Primeiro, recorte um retângulo da letra t.

Solução: S t = 6 (unidade 2), Skv = (
) 2

vez

composição de hífens paralelos

VM = KS =

Problema nº 9(ВIII): Redesenhe a bandeira mostrada na imagem em um quadrado.

Nota: Primeiro converta a bandeira em um retângulo

Solução:

vez

S fl = 6,75 AB = C D =
Skv = (
) 2

transferência paralela

Diretrizes: Ao apresentar aos alunos problemas de corte tipo P, recomendamos que eles apresentem a essência desse tipo de corte na resolução de um problema específico. Aconselhamos que primeiro resolva os problemas em modelos (em papel), cortando diretamente as figuras com uma tesoura e realizando a transferência paralela, e depois no processo de resolução de problemas, a partir de modelos de figuras, passe a trabalhar com imagens de formas geométricas, realizando transformações mentais (corte, transferência paralela).

Lição nº 3

Tópico: Corte tipo Q (Q é um deslocamento de um quadrilátero).

Alvo: Delineemos a essência do corte tipo Q, no processo de resolução de problemas para este tipo de corte, ao mesmo tempo que promovemos a formação de competências para realizar mentalmente operações (corte, adição, simetria central, rotação, transferência paralela), promovendo assim a desenvolvimento do pensamento espacial.

Equipamento: papel, pastas coloridas, tesouras.

Estágio I: Estágio Orientado

Método: apresentação problemática.

O professor coloca um problema aos alunos (resolva o problema nº 1) e mostra a solução.

Tarefa nº 1(BIII): Converta este quadrilátero em um novo quadrilátero.

Solução:

fazemos o corte HP para que VN = MN, PF = DF;

faça um corte EU/ME || Sol;

fazer um corte RT/RT || DE ANÚNCIOS ;

Δ 3 e Δ 1 são girados no sentido horário em relação à parte 2;

Parte 1 por transferência paralela ao longo de uma linha reta HF até o ponto T  AR;

AMCP é o quadrilátero necessário (com lados CP e AM (pode ser especificado na condição)).

Problema nº 2(BIII): Converta o quadrilátero em um novo quadrilátero (quadrilátero longo).

Solução:

(girar a parte 1 em relação ao ponto O até que OU coincida com AO);

(girar a peça (1 – 2) em relação ao ponto T até que VT coincida com WT);

XAZW é o quadrilátero necessário.

Em problemas que utilizam cortes Q, são feitos cortes e as peças cortadas sofrem uma transformação de rotação.

Tarefas para Corte Q

transformar uma determinada forma (quadrângulo) em outra forma (quadrângulo)

Em muitos problemas, elementos de deslocamento Q são usados ​​para transformar um triângulo em algum tipo de quadrilátero ou vice-versa (um triângulo como um "quadrilátero" com um de seus lados tendo comprimento zero).

Estágio II: Estágio de resolução de problemas

Problema nº 3(VII): Um pequeno triângulo é cortado do triângulo, conforme mostrado na figura. Reorganize o pequeno triângulo para formar um paralelogramo.

Gire a parte 1 em relação ao ponto P até que KR coincida com MR.

AOO'M é o paralelogramo necessário.

Problema nº 4(BII, BIII): Qual desses triângulos pode ser transformado em retângulos fazendo um (dois) cortes e reorganizando as partes resultantes?

1) 2) 3) 4)

5)

Solução:

1)

5)

1), 5) um corte (corte – a linha média do triângulo)

2)

3)

4)

2), 3), 4) dois cortes (1º corte – linha média, 2º corte – altura do vértice do triângulo).

Problema nº 5(VII): Reconstrua o trapézio em um triângulo.

Solução:

seção KS (AK = KB)

rotação ΔKVS em torno do ponto K para que os segmentos KV e KA fiquem alinhados.

Δ FCD o triângulo desejado.

Problema nº 6(ВIII): Como quebrar um trapézio em formas a partir das quais você pode fazer um retângulo?

Solução:

1) Seção OR (AO = OB, OR┴AD)

2) cortar TF (CT = TD, TF ┴AD)

rotação da parte 1 em relação ao ponto O para que AO e BO fiquem alinhados.

Gire a peça 2 em relação ao ponto T para que DT e CT fiquem alinhados.

PLMF – retângulo.

Etapa III: definição do dever de casa.

Problema nº 7(ВIII) : converter qualquer triângulo em um triângulo retângulo.

Comente:

1) primeiro converta um triângulo arbitrário em um retângulo.

2) retângulo em triângulo retângulo.

Solução:

vez

Problema nº 8(VII): Converta um paralelogramo arbitrário em um triângulo fazendo apenas um corte.

Solução:

vez

Gire a parte 2 em torno do ponto O em 180º (centro de simetria)

Diretrizes: Resumo da essência do corte Q que recomendamos

realizar no processo de resolução de problemas específicos. As principais transformações matemáticas utilizadas na resolução de problemas para este tipo de corte são: rotação (em particular, simetria central, translação paralela). Tarefas 1, 2, 7 – para ações práticas com modelos de formas geométricas; as tarefas 3, 4, 5, 6, 8 envolvem trabalhar com imagens de formas geométricas. Tarefas 3, 4, 5, 8 – para o segundo tipo de operação com imagens, tarefas 1, 2, 4, 6, 7 – para o terceiro tipo de operação com imagens.

Lição nº 4.

Tópico: Corte tipo S.

Alvo: Explicar a essência do corte tipo S, no processo de resolução de problemas para este tipo de corte, ao mesmo tempo que promove a formação de competências para realizar mentalmente as operações (cortar, somar, sobrepor, tornear, transferência paralela, simetria central), promovendo assim o desenvolvimento do pensamento espacial.

Equipamento: papel, pastas coloridas, tesouras, códigos positivos.

EU estágio: Palco orientado.

Método: explicativo e ilustrativo.

Tarefa nº 1(VII): como cortar um paralelogramo, cujos lados medem 3,5 cm e 5 cm, em um paralelogramo com lados 3,5 cm e 5,5 cm, fazendo apenas um “corte”?

Solução:

1) desenhe um segmento (corte) CO = 5,5 cm, divida o paralelogramo em duas partes.

2) aplicamos o triângulo COM ao lado oposto do paralelogramo AK. (ou seja, transferência paralela de ∆ COM para o segmento SA na direção de SA).

3) CAOO` é o paralelogramo desejado (CO = 5,5 cm, CA = 3,5 cm).

Tarefa nº 1(BIII): mostre como você pode cortar um quadrado em 3 partes para que possa usá-las para fazer um retângulo com um lado duas vezes maior que o outro.

Solução:

Construir quadrado ABCD

vamos desenhar a diagonal AC

Vamos desenhar metade do segmento diagonal BD OD (OD ┴AC), OD = ½ AC. Construa um retângulo a partir das 3 partes resultantes (comprimento AC, largura AD

Por esta:

realizar uma transferência paralela das partes 1 e 2. parte 1 (∆1) na direção D A, ∆2 na direção AB para o segmento AB.

AOO`C é o retângulo desejado (com lados AC, OA = ½ AC).

Professor: Vimos a solução de 2 problemas; o tipo de corte usado para resolver esses problemas é figurativamente chamado de corte em S.

S -corteé basicamente a transformação de um paralelogramo em outro paralelogramo.

A essência deste corte na sequência:

fazemos um corte de comprimento igual ao lado do paralelogramo desejado;

realizamos uma transferência paralela da parte cortada até que os lados opostos iguais do paralelogramo coincidam (ou seja, aplicamos a parte cortada ao lado oposto do paralelogramo)

Dependendo dos requisitos da tarefa, o número de cortes dependerá.

Vamos considerar as seguintes tarefas:

Tarefa nº 3(BII): divida o paralelogramo em duas partes das quais você pode adicionar um retângulo.

Vamos desenhar um paralelogramo arbitrário.

Solução:

do ponto B, abaixe a altura de VN (VN┴AD)

Vamos realizar uma transferência paralela de ∆ AVN para o segmento BC na direção de BC.

Desenhe um desenho do retângulo resultante.

VNRS – retângulo.

Tarefa nº 4(BIII): Os lados do paralelogramo medem 3 e 4 cm. Transforme-o em um paralelogramo com lados de 3,5cm fazendo dois cortes.

Solução:

1)

2)

O paralelogramo desejado.

Em geral, o corte em S é baseado no método de sobreposição de tiras, que permite resolver o problema de transformação de quaisquer polígonos.

Nos problemas anteriores, pela sua facilidade, dispensamos o método de aplicação de listras, embora todas estas soluções possam ser obtidas através deste método. Mas em tarefas mais complexas você não pode prescindir de listras.

Brevemente método de faixa resume-se a isto:

1) Corte (se necessário) cada polígono (o polígono que está sendo transformado e o polígono no qual o polígono original deve ser transformado) em partes das quais duas tiras possam ser dobradas.

2) Coloque as tiras umas sobre as outras em um ângulo adequado, com as bordas de uma delas sempre posicionadas igualmente em relação aos elementos da outra tira.

3) Neste caso, todas as linhas localizadas na parte comum das 2 faixas mostrarão os locais dos cortes necessários.

Carta S, usado no termo “S-cut”, vem do inglês Strip – strip.

Estágio II: Estágio de resolução de problemas

Usando o problema 3 como exemplo, verifiquemos se o método de aplicação das listras dá a solução desejada.

Problema nº 3(VII): Divida o paralelogramo em duas partes das quais você pode adicionar um retângulo.

Solução:

1)

2)

3)

1) obtemos uma tira de um paralelogramo

2) listras de retângulos

3) sobrepor a tira 2 na tira 1, conforme mostra a Figura 3

4) obtemos a tarefa necessária.

Problema nº 5(BIII): Em um triângulo isósceles, são marcados os pontos médios dos lados laterais e suas projeções na base. Duas linhas retas são traçadas através dos pontos marcados. Mostre que as peças resultantes podem ser usadas para formar um losango.

Solução:

parte 2, 3 – rotação em torno de um ponto

parte 4 - transferência paralela

Neste problema o corte de triângulos já foi indicado, podemos verificar que se trata de um corte em S.

Problema nº 6(BIII): Converta três cruzes gregas em um quadrado (usando listras).

Solução:

1)

Colocamos uma tira de quadrados em uma tira de cruzes de modo que o ponto A e o ponto C pertençam às bordas da tira de cruzes.

∆АВН = ∆СD B, portanto, o quadrado consiste em ∆АВС e ∆АВМ.

Estágio III: Definindo o dever de casa

Problema nº 7(BIII): Converta este retângulo em outro retângulo cujos lados sejam diferentes dos lados do retângulo original.

Nota: Veja a solução para o problema 4.

Solução:

seção AO (AO – largura do retângulo requerido);

corte DP / DP  AO (DP – comprimento do retângulo requerido);

transferência paralela de ∆AVO na direção da aeronave para o segmento da aeronave;

transferência paralela de ∆АPD para o segmento AO na direção de AO;

Retângulo exigido pelo PFED.

Problema nº 8(BIII): Um triângulo regular é dividido em partes por um segmento; faça um quadrado com essas partes.

Nota: Você pode verificar, sobrepondo as tiras, que este é um corte em S.

rotação da parte 2 em torno do ponto O;

rotação da parte 3 em torno do ponto C;

transferência paralela da parte 4

Tarefa adicional nº 9(BII): Corte o paralelogramo ao longo de uma linha reta que passa pelo seu centro, de modo que as duas peças resultantes possam ser dobradas em um losango.

Solução:

O  QT

Corte QT;

parte 1 por transferência paralela ao segmento BC na direção BC (CD e AB são combinados).

Diretrizes: S – corte – um dos tipos de corte mais difíceis. Recomendamos que a essência deste corte seja delineada em tarefas específicas. Nas aulas de resolução de problemas de corte S, recomendamos a utilização de problemas em que são dadas figuras de corte e é necessário somar a figura desejada das partes resultantes, isso se explica pela dificuldade dos alunos em implementar de forma independente o método de aplicação das tiras, que é a essência do corte S. Ao mesmo tempo, nas tarefas mais acessíveis aos alunos (por exemplo, nas tarefas 3, 5, 8), o professor pode mostrar como o método de aplicação das tiras permite obter os cortes dados nas condições da tarefa. Tarefas 4, 5, 6, 8, 9 – para ações práticas com modelos de formas geométricas, tarefas 1, 2, 3, 7 – para trabalhar com imagens de formas geométricas. Tarefas 1, 3, 9 – para o segundo tipo de operação com imagens, tarefas 2, 4, 5, 6, 7, 8 – para o terceiro tipo de operação com imagens.

Lição nº 5

Tópico: Corte tipo T.

Alvo: Explicar a essência do corte tipo S, no processo de análise da solução de problemas para este tipo de corte, ao mesmo tempo que promove a formação de competências para realizar mentalmente as operações (cortar, somar, tornear, transferir paralelamente), promovendo assim o desenvolvimento de pensamento espacial.

Equipamento: papel, pastas coloridas, tesouras, pastas coloridas, códigos positivos.

Estágio I: Estágio Orientado

Método: explicativo e ilustrativo

Professor: Usar o corte em T para resolver problemas envolve a elaboração de um mosaico e sua posterior sobreposição. As tiras utilizadas no corte em S podem ser obtidas a partir de mosaicos. Portanto, o método lado a lado generaliza o método strip.

Consideremos a essência do corte em T usando o exemplo da resolução de problemas.

Tarefa nº 1(BIII): Converta a cruz grega em um quadrado.

1) o primeiro passo é converter o polígono original em elemento de mosaico (e isso é necessário);

2) a partir destes elementos fazemos o mosaico nº 1 (fazemos um mosaico com cruzes gregas);

5) todas as linhas localizadas na parte comum dos dois mosaicos mostrarão os locais dos cortes necessários.

Estágio II: Estágio de resolução de problemas

Método: parcialmente - pesquisa

Problema nº 2(BIII): A cruz grega é cortada em três partes, dobre essas partes em um retângulo.

Nota: podemos verificar que este corte é um corte tipo T.

Solução:

rotação da parte 1 em torno do ponto O;

gire a parte 2 em torno do ponto A.

Problema nº 3(BIII): Corte o quadrilátero convexo ao longo de duas linhas retas conectando os pontos médios dos lados opostos. Mostre que das quatro peças resultantes é sempre possível adicionar um paralelogramo.

rotação da parte 2 em torno do ponto O (ou centro de simetria) em 180;

rotação da parte 3 em torno do ponto C (ou centro de simetria) em 180;

parte 1 – transferência paralela.

Vamos mostrar o mosaico do qual foi obtido esse recorte.

Problema nº 4(BIII): Três triângulos idênticos foram cortados ao longo de diferentes medianas. Dobre as seis peças resultantes em um triângulo.

Solução:

1) a partir desses triângulos fazemos triângulos como na Figura 1 (simetria central);

2) fazemos outro triângulo a partir de três novos triângulos (lados iguais coincidem).

Vamos mostrar como essas seções foram feitas em mosaicos.

Problema nº 5(BIII): A cruz grega foi cortada em pedaços, e um triângulo retângulo isósceles foi feito a partir desses pedaços.

Solução:

parte 1 simetria central;

parte 3 simetria central;

partes 3 e 4 – vire.

Problema nº 6(BIII): Corte esta figura em um quadrado.

Solução:

rotação da parte 1 em torno do ponto O;

parte 3, gire 90 em torno do ponto A.

Problema nº 7(BIII): Corte a cruz grega em um paralelogramo (são dados cortes).

Solução:

parte 2 – transferência paralela relativa à parte 1;

parte 3 transferência paralela ao longo da linha de corte.

Etapa III: Definir o dever de casa.

Problema nº 8(BIII): Dois quadrantes convexos de papel idênticos com cortes: o primeiro ao longo de uma das diagonais e o segundo ao longo da outra diagonal. Prove que as partes resultantes podem ser usadas para formar um paralelogramo.

Solução: composição de turnos.

Problema nº 9(BIII): Faça um quadrado com duas cruzes gregas idênticas.

Solução:

Diretrizes: T – corte – o tipo de corte mais complexo, formando cortes do tipo S. Recomendamos que você explique a essência do corte em T no processo de resolução de problemas. Devido à complexidade de implementação do método mosaico para os alunos, que é a essência do corte em T, em sala de aula recomendamos a utilização de tarefas nas quais o corte é especificado e é necessário obter a figura desejada a partir das partes resultantes da figura usando transformações matemáticas (rotação, translação paralela). Ao mesmo tempo, em tarefas mais acessíveis aos alunos, o professor pode mostrar como obter dados de corte pelo método do mosaico. As tarefas propostas na aula nº 5 referem-se ao terceiro tipo de operação com imagens e envolvem os alunos a trabalhar com modelos de figuras geométricas através da realização de rotação e translação paralela.

Observações iniciais do professor:

Um pouco de contexto histórico: Muitos cientistas estão interessados ​​em resolver problemas desde os tempos antigos. Soluções para muitos problemas simples de corte foram encontradas pelos antigos gregos e chineses, mas o primeiro tratado sistemático sobre este tema foi escrito por Abul-Vef. Os geômetras começaram a resolver seriamente problemas de corte de figuras no menor número de partes e depois construir outra figura no início do século XX. Um dos fundadores desta seção foi o famoso fundador do quebra-cabeça Henry E. Dudeney.

Hoje em dia, os amantes de puzzles estão interessados ​​em resolver problemas de corte porque não existe um método universal para resolver tais problemas, e todos os que se comprometem a resolvê-los podem demonstrar plenamente a sua engenhosidade, intuição e capacidade de pensamento criativo. (Durante a aula indicaremos apenas um dos exemplos possíveis de corte. Pode-se presumir que os alunos podem acabar com alguma outra combinação correta - não há necessidade de ter medo disso).

Esta lição deve ser conduzida na forma de uma aula prática. Divida os participantes do círculo em grupos de 2 a 3 pessoas. Forneça a cada grupo figuras preparadas previamente pelo professor. Os alunos têm uma régua (com divisões), um lápis e uma tesoura. É permitido fazer apenas cortes retos com tesoura. Depois de cortar uma figura em pedaços, você precisa fazer outra figura com as mesmas peças.

Tarefas de corte:

1). Tente cortar a figura mostrada na figura em 3 partes de formato igual:

Dica: as formas pequenas se parecem muito com a letra T.

2). Agora corte esta figura em 4 partes de formato igual:

Dica: É fácil adivinhar que as figuras pequenas consistirão em 3 células, mas não existem muitas figuras com três células. Existem apenas dois tipos: canto e retângulo.

3). Divida a figura em duas partes iguais e use as partes resultantes para formar um tabuleiro de xadrez.

Dica: Sugira iniciar a tarefa a partir da segunda parte, como se estivesse pegando um tabuleiro de xadrez. Lembre-se do formato de um tabuleiro de xadrez (quadrado). Conte o número disponível de células em comprimento e largura. (Lembre-se que deve haver 8 células).

4). Experimente cortar o queijo em oito pedaços iguais com três movimentos da faca.

Dica: experimente cortar o queijo no sentido do comprimento.

Tarefas para solução independente:

1). Recorte um quadrado de papel e faça o seguinte:

· corte em 4 pedaços que podem ser usados ​​para fazer dois quadrados menores iguais.

· corte em cinco partes - quatro triângulos isósceles e um quadrado - e dobre-os para obter três quadrados.

Para a atenção de tutores de matemática e professores de diversas disciplinas eletivas e clubes, é oferecida uma seleção de problemas divertidos e educativos de corte geométrico. O objetivo de um tutor que utiliza tais problemas em suas aulas não é apenas interessar o aluno em combinações interessantes e eficazes de células e figuras, mas também desenvolver seu senso de linhas, ângulos e formas. O conjunto de problemas destina-se principalmente a crianças do 4º ao 6º ano, embora seja possível utilizá-lo mesmo com alunos do ensino secundário. Os exercícios exigem que os alunos tenham uma concentração de atenção alta e estável e são perfeitos para desenvolver e treinar a memória visual. Recomendado para tutores de matemática que preparam alunos para exames de admissão em escolas e turmas de matemática que impõem exigências especiais ao nível de pensamento independente e habilidades criativas da criança. O nível de tarefas corresponde ao nível das olimpíadas de entrada no liceu “segunda escola” (segunda escola de matemática), na pequena Faculdade de Mecânica e Matemática da Universidade Estadual de Moscou, na escola Kurchatov, etc.

Nota do professor de matemática:
Em algumas soluções de problemas, que você pode visualizar clicando no ponteiro correspondente, apenas um dos possíveis exemplos de corte é indicado. Admito plenamente que você pode acabar com alguma outra combinação correta - não precisa ter medo disso. Verifique cuidadosamente a solução do seu filho e se ela satisfizer as condições, fique à vontade para assumir a próxima tarefa.

1) Experimente cortar a figura mostrada na figura em 3 partes de formato igual:

: As formas pequenas são muito semelhantes à letra T

2) Agora corte esta figura em 4 partes de formato igual:

Dica do professor de matemática: É fácil adivinhar que as figuras pequenas consistirão em 3 células, mas não existem muitas figuras com três células. Existem apenas dois tipos: um canto e um retângulo 1×3.

3) Corte esta figura em 5 pedaços de formatos iguais:

Encontre o número de células que compõem cada figura. Essas figuras se parecem com a letra G.

4) Agora você precisa cortar um número de dez células em 4 desigual retângulo (ou quadrado) entre si.

Instruções do professor de matemática: selecione um retângulo e tente encaixar mais três nas células restantes. Se não funcionar, altere o primeiro retângulo e tente novamente.

5) A tarefa fica mais complicada: você precisa cortar a figura em 4 diferente em forma figuras (não necessariamente retângulos).

Dica do professor de matemática: primeiro desenhe separadamente todos os tipos de figuras de formatos diferentes (serão mais de quatro) e repita o método de enumeração de opções como na tarefa anterior.
:

6) Corte esta figura em 5 figuras de quatro células de formatos diferentes, de modo que apenas uma célula verde seja pintada em cada uma delas.

Dica do professor de matemática: Tente começar a cortar pela borda superior desta figura e você entenderá imediatamente como proceder.
:

7) Com base na tarefa anterior. Descubra quantas figuras de formatos diferentes existem, consistindo em exatamente quatro células? As figuras podem ser torcidas e viradas, mas você não pode levantar a mesa (de sua superfície) sobre a qual ela está apoiada. Ou seja, os dois valores dados não serão considerados iguais, pois não podem ser obtidos um do outro por rotação.

Dica do professor de matemática: Estude a solução do problema anterior e tente imaginar as diferentes posições dessas figuras ao girar. Não é difícil adivinhar que a resposta ao nosso problema será o número 5 ou mais. (Na verdade, até mais de seis). Existem 7 tipos de figuras descritas.

8) Corte um quadrado de 16 células em 4 pedaços de formato igual para que cada um dos quatro pedaços contenha exatamente uma célula verde.

Dica do professor de matemática: A aparência das figuras pequenas não é um quadrado ou retângulo, nem mesmo um canto de quatro células. Então, em quais formas você deve tentar cortar?

9) Corte a figura representada em duas partes para que as partes resultantes possam ser dobradas em um quadrado.

Dica do professor de matemática: Existem 16 células no total, o que significa que o quadrado terá tamanho 4x4. E de alguma forma você precisa preencher a janela do meio. Como fazer isso? Poderia haver algum tipo de mudança? Então, como o comprimento do retângulo é igual a um número ímpar de células, o corte não deve ser feito com corte vertical, mas ao longo de uma linha tracejada. Para que a parte superior seja cortada de um lado da célula do meio e a parte inferior do outro.

10) Corte um retângulo 4x9 em dois pedaços para que possam ser dobrados em um quadrado.

Dica do professor de matemática: Existem 36 células no total no retângulo. Portanto, o quadrado terá tamanho 6x6. Como o lado comprido consiste em nove células, três delas precisam ser cortadas. Como será esse corte?

11) A cruz de cinco células mostrada na figura precisa ser cortada (você pode cortar as próprias células) em pedaços dos quais um quadrado pode ser dobrado.

Dica do professor de matemática: É claro que não importa como cortemos ao longo das linhas das células, não obteremos um quadrado, pois existem apenas 5 células. Esta é a única tarefa em que o corte é permitido não por células. No entanto, ainda seria bom deixá-los como guia. por exemplo, vale a pena notar que de alguma forma precisamos remover as reentrâncias que temos - nomeadamente, nos cantos internos da nossa cruz. Como fazer isso? Por exemplo, cortar alguns triângulos salientes dos cantos externos da cruz...