Como calcular a fórmula de progressão aritmética. Progressão aritmética: o que é? Diferença de progressão: definição

Ou aritmética é um tipo de sequência numérica ordenada, cujas propriedades são estudadas em um curso escolar de álgebra. Este artigo discute em detalhes a questão de como encontrar a soma de uma progressão aritmética.

Que tipo de progressão é essa?

Antes de passar à questão (como encontrar a soma de uma progressão aritmética), vale a pena entender do que estamos falando.

Qualquer sequência de números reais obtida adicionando (subtraindo) algum valor de cada número anterior é chamada de progressão algébrica (aritmética). Esta definição, quando traduzida para linguagem matemática, assume a forma:

Aqui i é o número de série do elemento da linha a i. Assim, conhecendo apenas um número inicial, você pode facilmente restaurar toda a série. O parâmetro d na fórmula é chamado de diferença de progressão.

Pode ser facilmente demonstrado que para a série de números em consideração a seguinte igualdade é válida:

uma n = uma 1 + d * (n - 1).

Ou seja, para encontrar o valor do enésimo elemento em ordem, você deve adicionar a diferença d ao primeiro elemento a 1 n-1 vezes.

Qual é a soma de uma progressão aritmética: fórmula

Antes de fornecer a fórmula do valor indicado, vale a pena considerar um caso especial simples. Dada uma progressão de números naturais de 1 a 10, é necessário encontrar sua soma. Como existem poucos termos na progressão (10), é possível resolver o problema de frente, ou seja, somar todos os elementos em ordem.

S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Vale a pena considerar uma coisa interessante: como cada termo difere do próximo pelo mesmo valor d = 1, então a soma aos pares do primeiro com o décimo, do segundo com o nono e assim por diante dará o mesmo resultado. Realmente:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Como você pode ver, existem apenas 5 dessas somas, ou seja, exatamente duas vezes menos que o número de elementos da série. Multiplicando então o número de somas (5) pelo resultado de cada soma (11), você chegará ao resultado obtido no primeiro exemplo.

Se generalizarmos esses argumentos, podemos escrever a seguinte expressão:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Esta expressão mostra que não é necessário somar todos os elementos de uma linha, basta saber o valor do primeiro a 1 e do último a n, bem como o número total de termos n;

Acredita-se que Gauss pensou nessa igualdade pela primeira vez quando procurava uma solução para um problema dado por seu professor: somar os primeiros 100 números inteiros.

Soma dos elementos de m a n: fórmula

A fórmula dada no parágrafo anterior responde à questão de como encontrar a soma de uma progressão aritmética (os primeiros elementos), mas muitas vezes em problemas é necessário somar uma série de números no meio da progressão. Como fazer isso?

A maneira mais fácil de responder a esta pergunta é considerar o seguinte exemplo: seja necessário encontrar a soma dos termos do m-ésimo ao n-ésimo. Para resolver o problema, você deve apresentar o segmento dado de m a n da progressão na forma de uma nova série numérica. Nesta representação, o m-ésimo termo a m será o primeiro, e a n será numerado como n-(m-1). Neste caso, aplicando a fórmula padrão para a soma, obter-se-á a seguinte expressão:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Exemplo de uso de fórmulas

Sabendo como encontrar a soma de uma progressão aritmética, vale a pena considerar um exemplo simples de utilização das fórmulas acima.

Abaixo está uma sequência numérica, você deve encontrar a soma de seus termos, começando no 5º e terminando no 12º:

Os números fornecidos indicam que a diferença d é igual a 3. Usando a expressão para o enésimo elemento, você pode encontrar os valores do 5º e 12º termos da progressão. Acontece que:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Conhecendo os valores dos números nas extremidades da progressão algébrica em consideração, e também sabendo quais números da série eles ocupam, pode-se utilizar a fórmula da soma obtida no parágrafo anterior. Acontecerá:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

É importante notar que este valor poderia ser obtido de forma diferente: primeiro encontre a soma dos primeiros 12 elementos usando a fórmula padrão, depois calcule a soma dos primeiros 4 elementos usando a mesma fórmula e depois subtraia o segundo da primeira soma.

Então, vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:
Você pode escrever qualquer número e pode haver quantos quiser (no nosso caso, existem). Não importa quantos números escrevemos, sempre podemos dizer qual é o primeiro, qual é o segundo e assim sucessivamente até o último, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de sequência numérica:

Sequência numérica
Por exemplo, para nossa sequência:

O número atribuído é específico para apenas um número na sequência. Em outras palavras, não há três segundos números na sequência. O segundo número (como o décimo número) é sempre o mesmo.
O número com número é chamado de décimo termo da sequência.

Geralmente chamamos a sequência inteira por alguma letra (por exemplo,), e cada membro dessa sequência é a mesma letra com um índice igual ao número desse membro: .

No nosso caso:

Digamos que temos uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual.
Por exemplo:

etc.
Essa sequência numérica é chamada de progressão aritmética.
O termo "progressão" foi introduzido pelo autor romano Boécio no século VI e foi entendido num sentido mais amplo como uma sequência numérica infinita. O nome "aritmética" foi transferido da teoria das proporções contínuas, que foi estudada pelos antigos gregos.

Esta é uma sequência numérica, cada membro da qual é igual ao anterior adicionado ao mesmo número. Este número é chamado de diferença de uma progressão aritmética e é designado.

Tente determinar quais sequências numéricas são uma progressão aritmética e quais não são:

a)
b)
c)
e)

Entendi? Vamos comparar nossas respostas:
É progressão aritmética - b, c.
Não é progressão aritmética - a, d.

Vamos voltar à progressão dada () e tentar encontrar o valor do seu décimo termo. Existe dois maneira de encontrá-lo.

1. Método

Podemos adicionar o número da progressão ao valor anterior até atingirmos o décimo termo da progressão. É bom que não tenhamos muito para resumir – apenas três valores:

Assim, o décimo termo da progressão aritmética descrita é igual a.

2. Método

E se precisássemos encontrar o valor do décimo termo da progressão? O somatório levaria mais de uma hora, e não é fato que não cometeríamos erros na soma dos números.
É claro que os matemáticos descobriram uma forma em que não é necessário adicionar a diferença de uma progressão aritmética ao valor anterior. Dê uma olhada na imagem desenhada... Certamente você já notou um certo padrão, a saber:

Por exemplo, vamos ver em que consiste o valor do décimo termo desta progressão aritmética:

Em outras palavras:

Tente encontrar você mesmo o valor de um membro de uma determinada progressão aritmética dessa maneira.

Você calculou? Compare suas anotações com a resposta:

Observe que você obteve exatamente o mesmo número do método anterior, quando adicionamos sequencialmente os termos da progressão aritmética ao valor anterior.
Vamos tentar “despersonalizar” esta fórmula – vamos colocá-la de forma geral e obter:

Equação de progressão aritmética.

As progressões aritméticas podem ser crescentes ou decrescentes.

Aumentando- progressões em que cada valor subsequente dos termos é maior que o anterior.
Por exemplo:

descendente- progressões em que cada valor subsequente dos termos é menor que o anterior.
Por exemplo:

A fórmula derivada é usada no cálculo de termos crescentes e decrescentes de uma progressão aritmética.
Vamos verificar isso na prática.
Recebemos uma progressão aritmética que consiste nos seguintes números: Vamos verificar qual será o décimo número desta progressão aritmética se usarmos nossa fórmula para calculá-la:

Desde então:

Assim, estamos convencidos de que a fórmula opera tanto na progressão aritmética decrescente quanto na crescente.
Tente encontrar você mesmo o décimo e o quinto termos dessa progressão aritmética.

Vamos comparar os resultados:

Propriedade de progressão aritmética

Vamos complicar o problema - derivaremos a propriedade da progressão aritmética.
Digamos que nos seja dada a seguinte condição:
- progressão aritmética, encontre o valor.
Calma, você diz e começa a contar de acordo com a fórmula que você já conhece:

Vamos, ah, então:

Absolutamente certo. Acontece que primeiro encontramos, depois adicionamos ao primeiro número e obtemos o que procuramos. Se a progressão for representada por valores pequenos, então não há nada de complicado nisso, mas e se recebermos números na condição? Concordo, existe a possibilidade de cometer erros nos cálculos.
Agora pense se é possível resolver esse problema em uma etapa usando qualquer fórmula? Claro que sim, e é isso que tentaremos trazer agora.

Vamos denotar o termo requerido da progressão aritmética como, a fórmula para encontrá-lo é conhecida por nós - esta é a mesma fórmula que derivamos no início:
, Então:

o termo anterior da progressão é:
o próximo termo da progressão é:

Vamos resumir os termos anteriores e subsequentes da progressão:

Acontece que a soma dos termos anteriores e subsequentes da progressão é o dobro do valor do termo da progressão localizado entre eles. Em outras palavras, para encontrar o valor de um termo de progressão com valores anteriores e sucessivos conhecidos, é necessário adicioná-los e dividir por.

Isso mesmo, temos o mesmo número. Vamos garantir o material. Calcule você mesmo o valor da progressão, não é nada difícil.

Bom trabalho! Você sabe quase tudo sobre progressão! Resta descobrir apenas uma fórmula que, segundo a lenda, foi facilmente deduzida por um dos maiores matemáticos de todos os tempos, o “rei dos matemáticos” - Karl Gauss...

Quando Carl Gauss tinha 9 anos, um professor, ocupado verificando o trabalho dos alunos de outras turmas, atribuiu a seguinte tarefa em sala de aula: “Calcular a soma de todos os números naturais de até (de acordo com outras fontes até) inclusive”. Imagine a surpresa do professor quando um de seus alunos (era Karl Gauss) um minuto depois deu a resposta correta à tarefa, enquanto a maioria dos colegas do temerário, após longos cálculos, obtiveram o resultado errado...

O jovem Carl Gauss notou um certo padrão que você também pode notar facilmente.
Digamos que temos uma progressão aritmética que consiste em -ésimos termos: Precisamos encontrar a soma desses termos da progressão aritmética. Claro, podemos somar manualmente todos os valores, mas e se a tarefa exigir encontrar a soma dos seus termos, como Gauss estava procurando?

Vamos descrever a progressão que nos foi dada. Observe mais de perto os números destacados e tente realizar várias operações matemáticas com eles.

Tentaste? O que você percebeu? Certo! Suas somas são iguais

Agora diga-me, quantos pares existem no total na progressão que nos foi dada? Claro, exatamente metade de todos os números.
Com base no fato de que a soma de dois termos de uma progressão aritmética é igual e os pares semelhantes são iguais, obtemos que a soma total é igual a:
.
Assim, a fórmula para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:

Em alguns problemas não conhecemos o termo, mas sabemos a diferença da progressão. Tente substituir a fórmula do décimo termo na fórmula da soma.
O que você conseguiu?

Bom trabalho! Agora voltemos ao problema que foi proposto a Carl Gauss: calcule você mesmo a que é igual a soma dos números começando com o th e a soma dos números começando com o th.

Quanto você conseguiu?
Gauss descobriu que a soma dos termos é igual, e a soma dos termos. Foi isso que você decidiu?

Na verdade, a fórmula para a soma dos termos de uma progressão aritmética foi comprovada pelo antigo cientista grego Diofanto no século III e, ao longo desse tempo, pessoas espirituosas fizeram pleno uso das propriedades da progressão aritmética.
Por exemplo, imagine o Egito Antigo e o maior projeto de construção da época - a construção de uma pirâmide... A imagem mostra um lado dela.

Onde está a progressão aqui, você diz? Observe com atenção e encontre um padrão no número de blocos de areia em cada linha da parede da pirâmide.

Por que não uma progressão aritmética? Calcule quantos blocos são necessários para construir uma parede se os tijolos forem colocados na base. Espero que você não conte enquanto move o dedo pelo monitor. Lembra-se da última fórmula e de tudo o que dissemos sobre progressão aritmética?

Neste caso, a progressão fica assim: .
Diferença de progressão aritmética.
O número de termos de uma progressão aritmética.
Vamos substituir nossos dados nas últimas fórmulas (calcular o número de blocos de 2 maneiras).

Método 1.

Método 2.

E agora você pode calcular no monitor: compare os valores obtidos com a quantidade de blocos que estão em nossa pirâmide. Entendi? Muito bem, você dominou a soma dos enésimos termos de uma progressão aritmética.
Claro, você não pode construir uma pirâmide com blocos na base, mas com? Tente calcular quantos tijolos de areia são necessários para construir uma parede com esta condição.
Você conseguiu?
A resposta correta é blocos:

Treinamento

Tarefas:

Masha está ficando em forma para o verão. Todos os dias ela aumenta o número de agachamentos. Quantas vezes Masha fará agachamentos em uma semana se ela fez agachamentos no primeiro treino?
Qual é a soma de todos os números ímpares contidos em.
Ao armazenar logs, os madeireiros os empilham de forma que cada camada superior contenha um log a menos que a anterior. Quantas toras tem uma alvenaria, se a base da alvenaria são toras?

Respostas:

Vamos definir os parâmetros da progressão aritmética. Nesse caso
(semanas = dias).
Responder: Em duas semanas, Masha deverá fazer agachamentos uma vez por dia.
Primeiro número ímpar, último número.
Diferença de progressão aritmética.
O número de números ímpares é a metade, porém, vamos verificar esse fato usando a fórmula para encontrar o décimo termo de uma progressão aritmética:
Os números contêm números ímpares.
Vamos substituir os dados disponíveis na fórmula:
Responder: A soma de todos os números ímpares contidos em é igual.
Vamos lembrar o problema das pirâmides. Para o nosso caso, a , como cada camada superior é reduzida em um log, então no total há um monte de camadas, isto é.
Vamos substituir os dados na fórmula:
Responder: Existem toras na alvenaria.

Vamos resumir

- uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual. Pode ser crescente ou decrescente.
Fórmula de descoberta O décimo termo de uma progressão aritmética é escrito pela fórmula - , onde é o número de números na progressão.
Propriedade dos membros de uma progressão aritmética- - onde está o número de números em progressão.
A soma dos termos de uma progressão aritmética pode ser encontrado de duas maneiras:

, onde está o número de valores.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA. NÍVEL MÉDIO

Sequência numérica

Vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:

Você pode escrever qualquer número e pode haver quantos quiser. Mas sempre podemos dizer qual é o primeiro, qual é o segundo, e assim por diante, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de sequência numérica.

Sequência numéricaé um conjunto de números, cada um dos quais pode receber um número exclusivo.

Em outras palavras, cada número pode estar associado a um determinado número natural e a um único. E não atribuiremos este número a nenhum outro número deste conjunto.

O número com número é chamado de décimo membro da sequência.

Geralmente chamamos a sequência inteira por alguma letra (por exemplo,), e cada membro dessa sequência é a mesma letra com um índice igual ao número desse membro: .

É muito conveniente que o décimo termo da sequência possa ser especificado por alguma fórmula. Por exemplo, a fórmula

define a sequência:

E a fórmula é a seguinte sequência:

Por exemplo, uma progressão aritmética é uma sequência (o primeiro termo aqui é igual e a diferença é). Ou (, diferença).

Fórmula enésimo termo

Chamamos de recorrente uma fórmula em que, para descobrir o décimo termo, é necessário conhecer o anterior ou vários anteriores:

Para encontrar, por exemplo, o décimo termo da progressão utilizando esta fórmula, teremos que calcular os nove anteriores. Por exemplo, deixe. Então:

Bem, está claro agora qual é a fórmula?

Em cada linha adicionamos, multiplicado por algum número. Qual deles? Muito simples: este é o número do membro atual menos:

Muito mais conveniente agora, certo? Nós verificamos:

Decida por si mesmo:

Em uma progressão aritmética, encontre a fórmula para o enésimo termo e encontre o centésimo termo.

Solução:

O primeiro termo é igual. Qual é a diferença? Aqui está o que:

(É por isso que se chama diferença porque é igual à diferença dos termos sucessivos da progressão).

Então, a fórmula:

Então o centésimo termo é igual a:

Qual é a soma de todos os números naturais de até?

Segundo a lenda, o grande matemático Carl Gauss, aos 9 anos, calculou esse valor em poucos minutos. Ele percebeu que a soma do primeiro e do último número é igual, a soma do segundo e do penúltimo é a mesma, a soma do terceiro e do terceiro a partir do final é a mesma, e assim por diante. Quantos desses pares existem no total? Isso mesmo, exatamente metade do número de todos os números. Então,

A fórmula geral para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:

Exemplo:
Encontre a soma de todos os múltiplos de dois dígitos.

Solução:

O primeiro desses números é este. Cada número subsequente é obtido somando-se ao número anterior. Assim, os números que nos interessam formam uma progressão aritmética com o primeiro termo e a diferença.

Fórmula do décimo termo para esta progressão:

Quantos termos existem na progressão se todos eles tiverem que ter dois dígitos?

Muito fácil: .

O último termo da progressão será igual. Então a soma:

Responder: .

Agora decida por si mesmo:

Todos os dias o atleta corre mais metros que no dia anterior. Quantos quilômetros no total ele correrá em uma semana se tiver corrido km m no primeiro dia?
Um ciclista percorre mais quilômetros todos os dias do que no dia anterior. No primeiro dia ele percorreu km. Quantos dias ele precisa viajar para percorrer um quilômetro? Quantos quilômetros ele percorrerá no último dia de viagem?
O preço de uma geladeira em uma loja diminui na mesma proporção a cada ano. Determine quanto o preço de uma geladeira diminuiu a cada ano se, colocado à venda por rublos, seis anos depois foi vendido por rublos.

Respostas:

O mais importante aqui é reconhecer a progressão aritmética e determinar seus parâmetros. Neste caso, (semanas = dias). Você precisa determinar a soma dos primeiros termos desta progressão:
.
Responder:
Aqui é dado: , deve ser encontrado.
Obviamente, você precisa usar a mesma fórmula de soma do problema anterior:
.
Substitua os valores:
A raiz obviamente não cabe, então a resposta é.
Vamos calcular o caminho percorrido no último dia usando a fórmula do décimo termo:
(km).
Responder:
Dado: . Encontrar: .
Não poderia ser mais simples:
(esfregar).
Responder:

PROGRESSÃO ARITMÉTICA. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS

Esta é uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual.

A progressão aritmética pode ser crescente () e decrescente ().

Por exemplo:

Fórmula para encontrar o enésimo termo de uma progressão aritmética

é escrito pela fórmula, onde é o número de números em progressão.

Propriedade dos membros de uma progressão aritmética

Ele permite que você encontre facilmente o termo de uma progressão se seus termos vizinhos forem conhecidos - onde está o número de números na progressão.

Soma dos termos de uma progressão aritmética

Existem duas maneiras de encontrar o valor:

Onde está o número de valores.

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Em matemática, qualquer coleção de números que se sucedem, organizados de alguma forma, é chamada de sequência. De todas as sequências de números existentes, distinguem-se dois casos interessantes: progressões algébricas e geométricas.

O que é uma progressão aritmética?

Deve-se dizer desde já que a progressão algébrica é muitas vezes chamada de aritmética, uma vez que suas propriedades são estudadas pelo ramo da matemática - a aritmética.

Esta progressão é uma sequência de números em que cada membro seguinte difere do anterior por um certo número constante. É chamada de diferença de uma progressão algébrica. Para definição, denotamos isso pela letra latina d.

Um exemplo de tal sequência poderia ser o seguinte: 3, 5, 7, 9, 11..., aqui você pode ver que o número 5 é maior que o número 3 por 2, 7 é maior que 5 por 2, e breve. Assim, no exemplo apresentado, d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Quais são os tipos de progressões aritméticas?

A natureza dessas sequências ordenadas de números é amplamente determinada pelo sinal do número d. Os seguintes tipos de progressões algébricas são diferenciados:

aumentando quando d é positivo (d>0);
constante quando d = 0;
diminuindo quando d é negativo (d<0).

O exemplo dado no parágrafo anterior mostra uma progressão crescente. Um exemplo de sequência decrescente é a seguinte sequência de números: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Uma progressão constante, como segue de sua definição, é uma coleção de números idênticos.

enésimo termo de progressão

Devido ao fato de que cada número subsequente na progressão em consideração difere do anterior por uma constante d, seu enésimo termo pode ser facilmente determinado. Para fazer isso, você precisa conhecer não apenas d, mas também 1 - o primeiro termo da progressão. Usando uma abordagem recursiva, pode-se obter uma fórmula de progressão algébrica para encontrar o enésimo termo. Parece: a n = a 1 + (n-1)*d. Esta fórmula é bastante simples e pode ser compreendida intuitivamente.

Também não é difícil de usar. Por exemplo, na progressão dada acima (d=2, a 1 =3), definimos o seu 35º termo. Pela fórmula, será igual a: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.

Fórmula para quantidade

Quando dada uma progressão aritmética, a soma dos seus primeiros n termos é um problema frequentemente encontrado, juntamente com a determinação do valor do enésimo termo. A fórmula para a soma de uma progressão algébrica é escrita da seguinte forma: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, aqui o símbolo ∑ n 1 indica que o 1º ao enésimo termos são somados.

A expressão acima pode ser obtida recorrendo às propriedades da mesma recursão, mas existe uma forma mais fácil de provar a sua validade. Vamos escrever os 2 primeiros e os 2 últimos termos desta soma, expressando-os em números a 1, a n e d, e obtemos: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Agora observe que se somarmos o primeiro termo ao último, será exatamente igual à soma do segundo e do penúltimo termos, ou seja, a 1 +a n. De forma semelhante, pode-se mostrar que a mesma soma pode ser obtida somando o terceiro e o penúltimo termos, e assim por diante. No caso de um par de números na sequência, obtemos n/2 somas, cada uma das quais é igual a a 1 +a n. Ou seja, obtemos a fórmula acima para a progressão algébrica da soma: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

Para um número não pareado de termos n, uma fórmula semelhante é obtida se seguirmos o raciocínio descrito. Apenas lembre-se de adicionar o termo restante, que está no centro da progressão.

Vamos mostrar como usar a fórmula acima usando o exemplo de uma progressão simples que foi introduzida acima (3, 5, 7, 9, 11...). Por exemplo, é necessário determinar a soma dos seus primeiros 15 termos. Primeiro, vamos definir 15. Usando a fórmula para o enésimo termo (veja o parágrafo anterior), obtemos: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Agora podemos aplicar a fórmula para a soma de uma progressão algébrica: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

É interessante citar um fato histórico interessante. A fórmula para a soma de uma progressão aritmética foi obtida pela primeira vez por Carl Gauss (o famoso matemático alemão do século XVIII). Quando ele tinha apenas 10 anos, sua professora pediu que ele encontrasse a soma dos números de 1 a 100. Dizem que o pequeno Gauss resolveu esse problema em poucos segundos, percebendo que ao somar os números do início e do final da sequência em pares, você sempre pode obter 101 e, como existem 50 dessas somas, ele rapidamente deu a resposta: 50*101 = 5050.

Exemplo de solução de problema

Para completar o tópico da progressão algébrica, daremos um exemplo de resolução de outro problema interessante, fortalecendo assim a compreensão do tema em consideração. Seja dada uma certa progressão para a qual a diferença d = -3 é conhecida, bem como seu 35º termo a 35 = -114. É necessário encontrar o 7º termo da progressão a 7 .

Como pode ser visto pelas condições do problema, o valor de a 1 é desconhecido, portanto não será possível usar a fórmula do enésimo termo diretamente. O método de recursão também é inconveniente, difícil de implementar manualmente e com grande probabilidade de cometer erros. Vamos proceder da seguinte forma: escreva as fórmulas para a 7 e a 35, temos: a 7 = a 1 + 6*d e a 35 = a 1 + 34*d. Subtraia o segundo da primeira expressão, obtemos: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Segue-se: a 7 = a 35 - 28*d. Resta substituir os dados conhecidos da definição do problema e anotar a resposta: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

Progressão geométrica

Para revelar mais detalhadamente o tema do artigo, fornecemos uma breve descrição de outro tipo de progressão - geométrica. Em matemática, esse nome é entendido como uma sequência de números em que cada termo subsequente difere do anterior por um determinado fator. Vamos denotar esse fator pela letra r. É chamado de denominador do tipo de progressão em consideração. Um exemplo desta sequência numérica seria: 1, 5, 25, 125, ...

Como pode ser visto na definição acima, as progressões algébricas e geométricas são semelhantes em ideia. A diferença entre eles é que o primeiro muda mais lentamente que o segundo.

A progressão geométrica também pode ser crescente, constante ou decrescente. Seu tipo depende do valor do denominador r: se r>1, então há uma progressão crescente, se r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Fórmulas de progressão geométrica

Como no caso da algébrica, as fórmulas de uma progressão geométrica se reduzem à determinação de seu enésimo termo e da soma de n termos. Abaixo estão essas expressões:

a n = a 1 *r (n-1) - esta fórmula segue da definição de progressão geométrica.
∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). É importante notar que se r = 1, então a fórmula acima dá incerteza, portanto não pode ser usada. Neste caso, a soma de n termos será igual ao produto simples a 1 *n.

Por exemplo, vamos encontrar a soma de apenas 10 termos da sequência 1, 5, 25, 125, ... Sabendo que a 1 = 1 e r = 5, obtemos: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. O valor resultante é um exemplo claro de quão rapidamente a progressão geométrica cresce.

Talvez a primeira menção desta progressão na história seja a lenda do tabuleiro de xadrez, quando um amigo de um sultão, tendo-o ensinado a jogar xadrez, pediu grãos por seu serviço. Além disso, a quantidade de grãos deveria ser a seguinte: um grão deve ser colocado na primeira casa do tabuleiro de xadrez, na segunda o dobro da primeira, na terceira o dobro da segunda, e assim por diante. . O sultão concordou de boa vontade em cumprir este pedido, mas não sabia que teria de esvaziar todos os caixotes do lixo do seu país para cumprir a sua palavra.