Como trabalhar com o plano coordenado. "Plano de coordenadas" - videoaulas de matemática (6ª série)

os pontos são “registrados” - “residentes”, cada ponto tem seu próprio “número da casa” - sua coordenada. Se o ponto for feito de avião, para “registrá-lo” é necessário indicar não só o “número da casa”, mas também o “número do apartamento”. Deixe-nos lembrá-lo de como isso é feito.

Vamos desenhar duas linhas de coordenadas mutuamente perpendiculares e considerar a origem de referência em ambas as linhas como o ponto de sua intersecção - ponto O. Assim, um sistema de coordenadas retangulares é especificado no plano (Fig. 20), que transforma o usual avião coordenar. O ponto O é chamado de origem das coordenadas, as linhas de coordenadas (eixo x e eixo y) são chamadas de eixos coordenados e os ângulos retos formados pelos eixos coordenados são chamados de ângulos coordenados. Os ângulos retangulares coordenados são numerados conforme mostrado na Figura 20.

Agora vamos voltar para a Figura 21, onde um sistema de coordenadas retangular é representado e marcado o ponto M. Vamos traçar uma linha reta através dele paralela ao eixo y. A linha reta cruza o eixo x em um determinado ponto, este ponto tem uma coordenada - no eixo x. Para o ponto mostrado na Figura 21, esta coordenada é igual a -1,5, é chamada de abcissa do ponto M. A seguir, traçamos uma reta passando pelo ponto M, paralela ao eixo x. A linha reta cruza o eixo y em um determinado ponto, este ponto tem uma coordenada - no eixo y.

Para o ponto M, mostrado na Figura 21, esta coordenada é igual a 2, é chamada de ordenada do ponto M. Resumidamente escrita da seguinte forma: M (-1,5; 2). A abscissa é escrita em primeiro lugar e a ordenada em segundo. Se necessário, utilize outra forma de notação: x = -1,5; y = 2.

Nota 1 . Na prática, para encontrar as coordenadas do ponto M, geralmente em vez de retas paralelas aos eixos coordenados e passando pelo ponto M, são construídos segmentos dessas retas do ponto M aos eixos coordenados (Fig. 22).

Nota 2. No parágrafo anterior introduzimos diferentes notações para intervalos numéricos. Em particular, como concordamos, a notação (3, 5) significa que na reta coordenada consideramos um intervalo com extremidades nos pontos 3 e 5. Nesta seção, consideramos um par de números como as coordenadas de um ponto; por exemplo, (3; 5) é um ponto em plano coordenado com abscissa 3 e ordenada 5. Como determinar corretamente a partir da notação simbólica do que estamos falando: um intervalo ou as coordenadas de um ponto? Na maioria das vezes isso fica claro no texto. E se não estiver claro? Preste atenção em um detalhe: usamos vírgula para indicar o intervalo e ponto e vírgula para indicar as coordenadas. Isto, claro, não é muito significativo, mas ainda assim é uma diferença; nós vamos usá-lo.

Levando em consideração os termos e notações introduzidos, a linha de coordenadas horizontais é chamada de abcissa, ou eixo x, e a linha de coordenadas verticais é chamada de eixo de ordenadas, ou eixo y. A notação x, y é geralmente usada ao especificar um sistema de coordenadas retangulares em um plano (ver Fig. 20) e é frequentemente dita assim: dado um sistema de coordenadas xOy. Contudo, existem outras notações: por exemplo, na Figura 23 é especificado o sistema de coordenadas tOs.
Algoritmo para encontrar as coordenadas do ponto M especificado no sistema de coordenadas retangulares xOy

Isso é exatamente o que fizemos ao encontrar as coordenadas do ponto M na Figura 21. Se o ponto M 1 (x; y) pertence ao primeiro ângulo coordenado, então x > 0, y > 0; se o ponto M 2 (x; y) pertence ao segundo ângulo coordenado, então x< 0, у >0; se o ponto M 3 (x; y) pertence ao terceiro ângulo coordenado, então x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >UO< 0 (рис. 24).

O que acontece se o ponto cujas coordenadas precisam ser encontradas estiver em um dos eixos de coordenadas? Deixe o ponto A estar no eixo x e o ponto B no eixo y (Fig. 25). Desenhar uma linha paralela ao eixo y através do ponto A e encontrar o ponto de intersecção desta linha com o eixo x não faz sentido, uma vez que tal ponto de intersecção já existe - este é o ponto A, sua coordenada (abscissa) é 3. Da mesma forma, não há necessidade de traçar o ponto E a reta paralela ao eixo x é o próprio eixo x, que cruza o eixo y no ponto O com coordenada (ordenada) 0. Como um resultado, para o ponto A obtemos A(3; 0). Da mesma forma, para o ponto B obtemos B(0; - 1,5). E para o ponto O temos O(0; 0).

Em geral, qualquer ponto no eixo x tem coordenadas (x; 0) e qualquer ponto no eixo y tem coordenadas (0; y)

Então, discutimos como encontrar as coordenadas de um ponto no plano de coordenadas. Como resolver o problema inverso, ou seja, como, dadas as coordenadas, construir o ponto correspondente? Para desenvolver um algoritmo, realizaremos dois raciocínios auxiliares, mas ao mesmo tempo importantes.

Primeiro raciocínio. Seja I desenhado no sistema de coordenadas xOy, paralelo ao eixo y e cruzando o eixo x em um ponto com coordenada (abscissa) 4

(Fig. 26). Qualquer ponto nesta linha tem uma abcissa 4. Portanto, para os pontos M 1, M 2, M 3 temos M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2). Em outras palavras, a abcissa de qualquer ponto M na reta satisfaz a condição x = 4. Dizem que x = 4 - a equação a linha l ou aquela linha I satisfaz a equação x = 4.

A Figura 27 mostra linhas retas que satisfazem as equações x = - 4 (linha I 1), x = - 1
(reto I 2) x = 3,5 (reto I 3). Qual reta satisfaz a equação x = 0? Você adivinhou? Eixo Y

Segundo raciocínio. Seja desenhada uma linha I no sistema de coordenadas xOy, paralela ao eixo x e cruzando o eixo y em um ponto com coordenada (ordenada) 3 (Fig. 28). Qualquer ponto nesta linha tem uma ordenada 3. Portanto, para os pontos M 1, M 2, M 3 temos: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3 ). Em outras palavras, a ordenada de qualquer ponto M da reta I satisfaz a condição y = 3. Dizem que y = 3 é a equação da reta I ou que a reta I satisfaz a equação y = 3.

A Figura 29 mostra retas que satisfazem as equações y = - 4 (reta l 1), y = - 1 (reta I 2), y = 3,5 (reta I 3) - E qual reta satisfaz a equação y = 01 Você adivinhou? eixo x

Observe que os matemáticos, buscando a brevidade, dizem “a reta x = 4”, e não “a reta que satisfaz a equação x = 4”. Da mesma forma, eles dizem “a reta y = 3” em vez de “a reta que satisfaz a equação y = 3”. Nós faremos o mesmo. Voltemos agora à Figura 21. Observe que o ponto M (- 1,5; 2), que está representado ali, é o ponto de intersecção da reta x = -1,5 e da reta y = 2. Agora, aparentemente, o algoritmo para construção do ponto ficará claro de acordo com as coordenadas fornecidas.

Algoritmo para construção do ponto M (a; b) em um sistema de coordenadas retangulares xOy

EXEMPLO No sistema de coordenadas xOy, construa os pontos: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).

Solução. O ponto A é o ponto de intersecção das retas x = 1 e y = 3 (ver Fig. 30).

O ponto B é o ponto de intersecção das retas x = - 2 e y = 1 (Fig. 30). O ponto C pertence ao eixo x e o ponto D pertence ao eixo y (ver Fig. 30).

No final da seção, notamos que pela primeira vez o sistema de coordenadas retangulares em um plano começou a ser usado ativamente para substituir o sistema algébrico modelos filósofo geométrico francês René Descartes (1596-1650). Portanto, às vezes dizem “sistema de coordenadas cartesianas”, “coordenadas cartesianas”.

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A. V. Pogorelov, Geometria para 7ª a 11ª séries, Livro didático para instituições educacionais

Um sistema de coordenadas retangulares em um plano é formado por dois eixos coordenados mutuamente perpendiculares X'X e Y'Y. Os eixos coordenados se cruzam no ponto O, que é chamado de origem, uma direção positiva é selecionada em cada eixo. A direção positiva dos eixos (em um sistema de coordenadas destro) é escolhida de modo que quando o eixo X'X é girado no sentido anti-horário em 90°, sua direção positiva coincide com a direção positiva do eixo Y'Y. Os quatro ângulos (I, II, III, IV) formados pelos eixos coordenados X'X e Y'Y são chamados de ângulos coordenados (ver Fig. 1).

A posição do ponto A no plano é determinada por duas coordenadas x e y. A coordenada x é igual ao comprimento do segmento OB, a coordenada y é igual ao comprimento do segmento OC nas unidades de medida selecionadas. Os segmentos OB e OC são definidos por linhas traçadas a partir do ponto A paralelas aos eixos Y'Y e X'X, respectivamente. A coordenada x é chamada de abcissa do ponto A, a coordenada y é chamada de ordenada do ponto A. É escrita da seguinte forma: A(x, y).

Se o ponto A estiver no ângulo coordenado I, então o ponto A terá uma abcissa e uma ordenada positivas. Se o ponto A estiver no ângulo coordenado II, então o ponto A terá uma abcissa negativa e uma ordenada positiva. Se o ponto A estiver no ângulo coordenado III, então o ponto A terá uma abscissa e uma ordenada negativas. Se o ponto A estiver no ângulo coordenado IV, então o ponto A terá uma abcissa positiva e uma ordenada negativa.

Sistema de coordenadas retangulares no espaçoé formado por três eixos coordenados mutuamente perpendiculares OX, OY e OZ. Os eixos coordenados se cruzam no ponto O, que é chamado de origem, em cada eixo é selecionada uma direção positiva, indicada por setas, e uma unidade de medida para os segmentos nos eixos. As unidades de medida são iguais para todos os eixos. OX - eixo de abscissas, OY - eixo de ordenadas, OZ - eixo aplicado. O sentido positivo dos eixos é escolhido de forma que quando o eixo OX é girado 90° no sentido anti-horário, seu sentido positivo coincide com o sentido positivo do eixo OY, se esta rotação for observada a partir do sentido positivo do eixo OZ. Esse sistema de coordenadas é chamado de destro. Se o polegar da mão direita for considerado a direção X, o dedo indicador como a direção Y e o dedo médio como a direção Z, então um sistema de coordenadas para destros é formado. Dedos semelhantes da mão esquerda formam o sistema de coordenadas esquerdo. É impossível combinar os sistemas de coordenadas direita e esquerda de modo que os eixos correspondentes coincidam (ver Fig. 2).

A posição do ponto A no espaço é determinada por três coordenadas x, y e z. A coordenada x é igual ao comprimento do segmento OB, a coordenada y é o comprimento do segmento OC, a coordenada z é o comprimento do segmento OD nas unidades de medida selecionadas. Os segmentos OB, OC e OD são definidos por planos traçados a partir do ponto A paralelos aos planos YOZ, XOZ e XOY, respectivamente. A coordenada x é chamada de abcissa do ponto A, a coordenada y é chamada de ordenada do ponto A, a coordenada z é chamada de aplicada do ponto A. É escrita da seguinte forma: A(a, b, c).

Orty

Um sistema de coordenadas retangulares (de qualquer dimensão) também é descrito por um conjunto de vetores unitários alinhados com os eixos de coordenadas. O número de vetores unitários é igual à dimensão do sistema de coordenadas e são todos perpendiculares entre si.

No caso tridimensional, tais vetores unitários são geralmente denotados eu j k ou e x e sim e z. Neste caso, no caso de um sistema de coordenadas destro, são válidas as seguintes fórmulas com o produto vetorial de vetores:

• [eu j]=k ;
• [j k]=eu ;
• [k eu]=j .

História

O sistema de coordenadas retangulares foi introduzido pela primeira vez por René Descartes em sua obra “Discurso sobre o Método” em 1637. Portanto, o sistema de coordenadas retangulares também é chamado - Sistema de coordenada cartesiana. O método de coordenadas para descrever objetos geométricos marcou o início da geometria analítica. Pierre Fermat também contribuiu para o desenvolvimento do método de coordenadas, mas seus trabalhos foram publicados pela primeira vez após sua morte. Descartes e Fermat usaram o método de coordenadas apenas no plano.

O método de coordenadas para o espaço tridimensional foi usado pela primeira vez por Leonhard Euler já no século XVIII.

Veja também

Ligações

Fundação Wikimedia. 2010.

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Se construirmos dois eixos numéricos perpendiculares entre si em um plano: BOI E OI, então eles serão chamados eixos de coordenadas. Eixo horizontal BOI chamado eixo x(eixo x), eixo vertical OI - eixo y(eixo sim).

Ponto Ó, situado na intersecção dos eixos, é chamado origem. É o ponto zero para ambos os eixos. Os números positivos são representados no eixo x com pontos à direita e no eixo y com pontos acima do ponto zero. Os números negativos são representados por pontos à esquerda e abaixo da origem (pontos Ó). O plano no qual se encontram os eixos coordenados é chamado plano coordenado.

Os eixos coordenados dividem o plano em quatro partes, chamadas em quartos ou quadrantes. Costuma-se numerar esses bairros com algarismos romanos na ordem em que são numerados no desenho.

Coordenadas de um ponto no plano

Se tomarmos um ponto arbitrário no plano coordenado A e traçar perpendiculares dele aos eixos coordenados, então as bases das perpendiculares cairão sobre dois números. O número ao qual os pontos perpendiculares verticais são chamados ponto de abscissa A. O número para o qual as perpendiculares horizontais apontam é - ordenada de um ponto A.

No desenho, a abcissa do ponto Aé igual a 3 e a ordenada é 5.

A abscissa e a ordenada são chamadas de coordenadas de um determinado ponto do plano.

As coordenadas de um ponto são escritas entre colchetes à direita da designação do ponto. A abscissa é escrita primeiro, seguida pela ordenada. Então grave A(3; 5) significa que a abcissa do ponto Aé igual a três e a ordenada é cinco.

As coordenadas de um ponto são números que determinam sua posição no plano.

Se um ponto estiver no eixo x, então sua ordenada é zero (por exemplo, um ponto B com coordenadas -2 e 0). Se um ponto estiver no eixo das ordenadas, então sua abscissa é igual a zero (por exemplo, um ponto C com coordenadas 0 e -4).

Origem - ponto Ó- tem abcissa e ordenada iguais a zero: Ó (0; 0).

Este sistema de coordenadas é chamado retangular ou cartesiano.

O texto da obra é postado sem imagens e fórmulas.
A versão completa da obra está disponível na aba “Arquivos de Trabalho” em formato PDF

Introdução

Na fala dos adultos, você já deve ter ouvido a seguinte frase: “Deixe-me suas coordenadas”. Esta expressão significa que o interlocutor deve deixar o seu endereço ou telefone onde pode ser encontrado. Aqueles de vocês que jogaram “batalha naval” usaram o sistema de coordenadas correspondente. Um sistema de coordenadas semelhante é usado no xadrez. Os assentos em um auditório de cinema são indicados por dois números: o primeiro número indica o número da fileira e o segundo número indica o número do assento nesta fileira. A ideia de especificar a posição de um ponto em um plano por meio de números originou-se na antiguidade. O sistema de coordenadas permeia toda a vida prática de uma pessoa e tem enormes aplicações práticas. Portanto, decidimos criar este projeto para ampliar nosso conhecimento sobre o tema “Plano Coordenado”

Objetivos do projeto:

conhecer a história do surgimento de um sistema de coordenadas retangulares em um plano;

figuras proeminentes envolvidas neste tema;

encontre fatos históricos interessantes;

perceber bem as coordenadas de ouvido; realizar construções com clareza e precisão;

preparar uma apresentação.

Capítulo I. Plano de coordenadas

A ideia de especificar a posição de um ponto em um plano usando números originou-se nos tempos antigos - principalmente entre astrônomos e geógrafos ao compilar mapas e calendários estelares e geográficos.

§1. Origem das coordenadas. Sistema de coordenadas em geografia

200 anos aC, o cientista grego Hiparco introduziu coordenadas geográficas. Ele sugeriu desenhar paralelos e meridianos em um mapa geográfico e indicar latitude e longitude com números. Usando esses dois números, você pode determinar com precisão a posição de uma ilha, vila, montanha ou poço no deserto e plotá-los em um mapa ou globo. Tendo aprendido a determinar a latitude e longitude da localização de um navio no mundo aberto, os marinheiros foram capazes de escolher a direção que precisavam.

A longitude leste e a latitude norte são indicadas por números com sinal de mais, e a longitude oeste e a latitude sul são indicadas por números com sinal de menos. Assim, um par de números assinados identifica exclusivamente um ponto no globo.

Latitude geográfica? - o ângulo entre o fio de prumo em um determinado ponto e o plano do equador, medido de 0 a 90 em ambos os lados do equador. Longitude geográfica? - o ângulo entre o plano do meridiano que passa por um determinado ponto e o plano de origem do meridiano (ver meridiano de Greenwich). Longitudes de 0 a 180 a leste do início do meridiano são chamadas de leste e a oeste - oeste.

Para encontrar um determinado objeto em uma cidade, na maioria dos casos basta saber seu endereço. Surgem dificuldades se você precisar explicar onde fica, por exemplo, uma casa de veraneio ou um lugar na floresta. As coordenadas geográficas são um meio universal de indicar uma localização.

Diante de uma situação de emergência, a primeira coisa que uma pessoa deve fazer é saber navegar pela área. Às vezes é necessário determinar as coordenadas geográficas da sua localização, por exemplo, para transmitir ao serviço de resgate ou para outros fins.

A navegação moderna usa o sistema de coordenadas mundiais WGS-84 como padrão. Todos os navegadores GPS e grandes projetos cartográficos na Internet operam neste sistema de coordenadas. As coordenadas no sistema WGS-84 são tão comumente usadas e compreendidas por todos quanto a hora universal. A precisão geralmente disponível ao trabalhar com coordenadas geográficas é de 5 a 10 metros no solo.

As coordenadas geográficas são números sinalizados (latitude de -90° a +90°, longitude de -180° a +180°) e podem ser escritas de diversas formas: em graus (ddd.ddddd°); graus e minutos (ddd° mm.mmm"); graus, minutos e segundos (ddd° mm" ss.s"). As formas de gravação podem ser facilmente convertidas umas nas outras (1 grau = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos ) Para indicar o sinal das coordenadas, muitas vezes são utilizadas letras, baseadas nos nomes das direções cardeais: N e E - latitude norte e longitude leste - números positivos, S e W - latitude sul e longitude oeste - números negativos.

A forma de registro das coordenadas em GRAUS é mais conveniente para entrada manual e coincide com a notação matemática de um número. A forma de registro de coordenadas em GRAUS E MINUTOS é preferida em muitos casos; este formato é definido por padrão na maioria dos navegadores GPS e é usado padrão na aviação e no mar. A forma clássica de registrar coordenadas em GRAUS, MINUTOS E SEGUNDOS não tem muita utilidade prática.

§2. Sistema de coordenadas em astronomia. Mitos sobre constelações

Como mencionado acima, a ideia de especificar a posição de um ponto em um plano usando números originou-se na antiguidade entre os astrônomos na elaboração de mapas estelares. As pessoas precisavam contar o tempo, prever fenômenos sazonais (marés altas, chuvas sazonais, inundações) e navegar pelo terreno enquanto viajavam.

A astronomia é a ciência das estrelas, planetas, corpos celestes, sua estrutura e desenvolvimento.

Milhares de anos se passaram, a ciência avançou muito, mas as pessoas ainda não conseguem tirar os olhos da beleza do céu noturno.

Constelações são áreas do céu estrelado, figuras características formadas por estrelas brilhantes. Todo o céu está dividido em 88 constelações, o que facilita a navegação entre as estrelas. A maioria dos nomes das constelações vem da antiguidade.

A constelação mais famosa é a Ursa Maior. No Antigo Egito era chamado de “Hipopótamo”, e os cazaques o chamavam de “Cavalo na coleira”, embora externamente a constelação não se assemelhe a um ou outro animal. Como é?

Os antigos gregos contavam uma lenda sobre as constelações da Ursa Maior e da Ursa Menor. O deus todo-poderoso Zeus decidiu casar-se com a bela ninfa Calisto, uma das servas da deusa Afrodite, contra a vontade desta. Para salvar Kalisto da perseguição da deusa, Zeus transformou Kalisto na Ursa Maior, seu amado cachorro na Ursa Menor e os levou para o céu. Transfira as constelações Ursa Maior e Ursa Menor do céu estrelado para o plano de coordenadas. . Cada uma das estrelas da Ursa Maior tem seu próprio nome.

URSA GRANDE

Eu reconheço pelo BALDE!

Sete estrelas brilham aqui

Aqui estão seus nomes:

DUBHE ilumina a escuridão,

MERAK está queimando ao lado dele,

Ao lado está FEKDA com MEGRETZ,

Um sujeito ousado.

De MEGRETZ para partida

ALIOT está localizada

E atrás dele - MITZAR com ALCOR

(Esses dois brilham em uníssono.)

Nossa concha fecha

BENETNASH incomparável.

Ele aponta para o olho

O caminho para a constelação BOOTES,

Onde brilha o belo ARCTURUS,

Todo mundo vai notá-lo agora!

Uma lenda igualmente bela sobre as constelações de Cepheus, Cassiopeia e Andrômeda.

A Etiópia já foi governada pelo rei Cepheus. Um dia sua esposa, a rainha Cassiopeia, teve a imprudência de exibir sua beleza aos habitantes do mar - as Nereidas. Este último, ofendido, queixou-se ao deus do mar Poseidon, e o governante dos mares, enfurecido pela insolência de Cassiopeia, soltou um monstro marinho - a Baleia - nas costas da Etiópia. Para salvar seu reino da destruição, Cefeu, a conselho do oráculo, decidiu sacrificar ao monstro e entregar-lhe sua amada filha Andrômeda para ser devorada. Ele acorrentou Andrômeda a uma rocha costeira e a deixou aguardando a decisão de seu destino.

E nesta época, do outro lado do mundo, o herói mítico Perseu realizou um feito corajoso. Ele entrou em uma ilha isolada onde viviam górgonas - monstros incríveis na forma de mulheres cujas cabeças estavam repletas de cobras em vez de cabelos. O olhar das górgonas era tão terrível que todos para quem olhavam instantaneamente se transformaram em pedra.

Aproveitando o sono desses monstros, Perseu cortou a cabeça de um deles, a Górgona Medusa. Naquele momento, o cavalo Pégaso voou para fora do corpo decepado da Medusa. Perseu agarrou a cabeça da água-viva, pulou em Pégaso e correu pelo ar para sua terra natal. Quando sobrevoou a Etiópia, viu Andrômeda acorrentada a uma rocha. Neste momento, a baleia já havia emergido das profundezas do mar, preparando-se para engolir a sua vítima. Mas Perseu, precipitando-se para uma batalha mortal com Keith, derrotou o monstro. Ele mostrou a Keith a cabeça da água-viva, que ainda não havia perdido as forças, e o monstro petrificou, virando uma ilha. Quanto a Perseu, tendo desencadeado Andrômeda, ele a devolveu ao pai, e Cefeu, emocionado de felicidade, deu Andrômeda como esposa a Perseu. Foi assim que esta história terminou feliz, cujos personagens principais foram colocados no céu pelos antigos gregos.

No mapa estelar você pode encontrar não apenas Andrômeda com seu pai, mãe e marido, mas também o cavalo mágico Pégaso e o culpado de todos os problemas - o monstro Keith.

A constelação de Cetus está localizada abaixo de Pégaso e Andrômeda. Infelizmente, não é marcado por nenhuma estrela brilhante característica e, portanto, pertence ao número de constelações menores.

§3. Usando a ideia de coordenadas retangulares na pintura.

Traços da aplicação da ideia de coordenadas retangulares em forma de grade quadrada (paleta) estão representados na parede de uma das câmaras funerárias do Antigo Egito. Na câmara mortuária da pirâmide do Padre Ramsés, há uma rede de quadrados na parede. Com a ajuda deles, a imagem é transferida de forma ampliada. Os artistas renascentistas também usaram uma grade retangular.

A palavra "perspectiva" significa "ver claramente" em latim. Nas artes plásticas, a perspectiva linear é a representação de objetos em um plano de acordo com mudanças aparentes em seu tamanho. A base da moderna teoria da perspectiva foi lançada pelos grandes artistas da Renascença - Leonardo da Vinci, Albrecht Durer e outros. Uma das gravuras de Durer (Fig. 3) retrata um método de desenhar a vida através do vidro com uma grade quadrada aplicada a ele. Este processo pode ser descrito da seguinte forma: se você ficar em frente a uma janela e, sem mudar o ponto de vista, circular no vidro tudo o que está visível por trás dela, o desenho resultante será uma imagem em perspectiva do espaço.

Métodos de design egípcio que parecem ter sido baseados em padrões de grade quadrada. Existem numerosos exemplos na arte egípcia que mostram que artistas e escultores primeiro desenharam uma grade na parede, que teve que ser pintada ou esculpida para manter as proporções estabelecidas. As simples relações numéricas destas grelhas constituem o núcleo de todas as grandes obras artísticas dos egípcios.

O mesmo método foi usado por muitos artistas da Renascença, incluindo Leonardo da Vinci. No Antigo Egito, isto foi incorporado na Grande Pirâmide, o que é reforçado pela sua estreita ligação com o padrão de Marlborough Down.

Ao iniciar o trabalho, o artista egípcio forrou a parede com uma grade de linhas retas e depois transferiu cuidadosamente as figuras para ela. Mas a ordem geométrica não o impediu de recriar a natureza com precisão detalhada. A aparência de cada peixe e de cada ave é transmitida com tanta veracidade que os zoólogos modernos podem facilmente determinar suas espécies. A Figura 4 mostra um detalhe da composição da ilustração – uma árvore com pássaros capturados na rede de Khnumhotep. O movimento da mão do artista foi guiado não só pelas reservas de suas habilidades, mas também pelo olhar, sensível aos contornos da natureza.

Fig.4 Pássaros na acácia

Capítulo II. Método de coordenadas em matemática

§1. Aplicação de coordenadas em matemática. Méritos

O matemático francês René Descartes

Por muito tempo, apenas a “descrição da terra” da geografia utilizou esta invenção maravilhosa, e somente no século XIV o matemático francês Nicolas Oresme (1323-1382) tentou aplicá-la à “medição da terra” - geometria. Ele propôs cobrir o plano com uma grade retangular e chamar de latitude e longitude o que hoje chamamos de abscissa e ordenada.

Com base nesta inovação de sucesso, surgiu o método das coordenadas, ligando a geometria à álgebra. O principal crédito pela criação deste método pertence ao grande matemático francês René Descartes (1596 - 1650). Em sua homenagem, tal sistema de coordenadas é denominado cartesiano, indicando a localização de qualquer ponto do plano pelas distâncias deste ponto até a “latitude zero” - o eixo das abcissas e o “meridiano zero” - o eixo das ordenadas.

No entanto, este brilhante cientista e pensador francês do século XVII (1596 - 1650) não encontrou imediatamente o seu lugar na vida. Nascido em família nobre, Descartes recebeu uma boa educação. Em 1606, seu pai o enviou para o colégio jesuíta de La Flèche. Considerando a saúde não muito boa de Descartes, foram-lhe feitas algumas concessões no regime estrito desta instituição de ensino, por exemplo, foi-lhe permitido levantar-se mais tarde que os outros. Tendo adquirido muitos conhecimentos no colégio, Descartes ao mesmo tempo ficou imbuído de antipatia pela filosofia escolástica, que manteve ao longo da vida.

Depois de se formar na faculdade, Descartes continuou seus estudos. Em 1616, na Universidade de Poitiers, formou-se em Direito. Em 1617, Descartes alistou-se no exército e viajou extensivamente por toda a Europa.

O ano de 1619 acabou sendo um ano chave para Descartes cientificamente.

Foi nessa época, como ele mesmo escreveu em seu diário, que lhe foram revelados os fundamentos de uma nova “ciência mais surpreendente”. Muito provavelmente, Descartes tinha em mente a descoberta de um método científico universal, que posteriormente aplicou de forma frutífera em uma variedade de disciplinas.

Na década de 1620, Descartes conheceu o matemático M. Mersenne, através de quem “manteve contacto” com toda a comunidade científica europeia durante muitos anos.

Em 1628, Descartes estabeleceu-se na Holanda por mais de 15 anos, mas não se estabeleceu em nenhum lugar, mas mudou de residência cerca de duas dezenas de vezes.

Em 1633, ao saber da condenação de Galileu pela igreja, Descartes recusou-se a publicar sua obra filosófica natural “O Mundo”, que delineava as ideias sobre a origem natural do universo de acordo com as leis mecânicas da matéria.

Em 1637, a obra “Discurso sobre o Método” de Descartes foi publicada em francês, com a qual, como muitos acreditam, começou a filosofia europeia moderna.

A última obra filosófica de Descartes, As Paixões da Alma, publicada em 1649, também teve grande influência no pensamento europeu.No mesmo ano, a convite da rainha sueca Cristina, Descartes foi para a Suécia. O clima rigoroso e o regime incomum (a rainha obrigava Descartes a acordar às 5 da manhã para dar aulas e realizar outras tarefas) prejudicaram a saúde de Descartes e, tendo pegado um resfriado, ele

morreu de pneumonia.

Segundo a tradição introduzida por Descartes, a “latitude” de um ponto é denotada pela letra x, “longitude” pela letra y

Muitas formas de indicar um local são baseadas neste sistema.

Por exemplo, em um ingresso de cinema existem dois números: uma fileira e um assento - eles podem ser considerados como as coordenadas de um assento no teatro.

Coordenadas semelhantes são aceitas no xadrez. Em vez de um dos números, é tomada uma letra: as linhas verticais das células são designadas por letras do alfabeto latino e as linhas horizontais por números. Assim, a cada casa do tabuleiro de xadrez é atribuído um par de letras e números, e os enxadristas podem registrar suas partidas. Konstantin Simonov escreve sobre o uso de coordenadas em seu poema “The Artilleryman’s Son”.

A noite toda, andando como um pêndulo,

O major não fechou os olhos,

Tchau no rádio pela manhã

O primeiro sinal veio:

"Está tudo bem, cheguei lá,

Os alemães estão à minha esquerda,

Coordenadas (3;10),

Vamos atirar logo!

As armas estão carregadas

O major calculou tudo sozinho.

E com um rugido os primeiros voleios

Eles atingiram as montanhas.

E novamente o sinal do rádio:

"Os alemães estão mais certos do que eu,

Coordenadas (5; 10),

Mais fogo em breve!

Terra e pedras voaram,

A fumaça subia em uma coluna.

Parecia que agora de lá

Ninguém sairá vivo.

Terceiro sinal de rádio:

"Os alemães estão ao meu redor,

Coordenadas (4; 10),

Não poupe o fogo.

O major empalideceu ao ouvir:

(4;10) - apenas

O lugar onde seu Lyonka

Devo sentar agora.

Konstantin Simonov "Filho de um Artilheiro"

§2. Lendas sobre a invenção do sistema de coordenadas

Existem diversas lendas sobre a invenção do sistema de coordenadas, que leva o nome de Descartes.

Legenda 1

Esta história chegou aos nossos tempos.

Visitando os teatros parisienses, Descartes não se cansava de ser surpreendido pelas confusões, brigas e às vezes até desafios para um duelo causados ​​pela falta de uma ordem elementar de distribuição do público no auditório. O sistema de numeração que ele propôs, em que cada assento recebia um número de linha e um número de série na borda, eliminou imediatamente todos os motivos de discórdia e criou uma verdadeira sensação na alta sociedade parisiense.

Legenda2. Um dia, René Descartes ficou deitado na cama o dia todo, pensando em alguma coisa, e uma mosca zumbiu e não permitiu que ele se concentrasse. Ele começou a pensar em como descrever matematicamente a posição de uma mosca em um determinado momento, a fim de poder acertá-la sem errar. E...ele criou as coordenadas cartesianas, uma das maiores invenções da história da humanidade.

Markovtsev Yu.

Era uma vez em uma cidade desconhecida

Chegou o jovem Descartes.

Ele estava terrivelmente atormentado pela fome.

Foi um mês frio de março.

Resolvi perguntar a um transeunte

Descartes, tentando acalmar o tremor:

Onde fica o hotel, me diga?

E a senhora começou a explicar:

- Vá para a loja de laticínios

Depois para a padaria, atrás dela

Mulher cigana vende broches

E veneno para ratos e camundongos,

Você certamente os encontrará

Queijos, biscoitos, frutas

E sedas coloridas...

Eu escutei todas essas explicações

Descartes, tremendo de frio.

Ele realmente queria comer

- Atrás das lojas há uma farmácia

(o farmacêutico ali é um sueco bigodudo),

E a igreja onde no início do século

Parece que meu avô se casou...

Quando a senhora ficou em silêncio por um momento,

De repente, seu servo disse:

- Ande três quarteirões em linha reta

E dois à direita. Entrada pela esquina.

Esta é a terceira história sobre o incidente que deu a Descartes a ideia das coordenadas.

Conclusão

Ao criar nosso projeto, aprendemos sobre o uso do plano coordenado em vários campos da ciência e da vida cotidiana, algumas informações da história da origem do plano coordenado e dos matemáticos que deram uma grande contribuição para esta invenção. O material que coletamos durante a redação do trabalho poderá ser utilizado nas aulas do clube escolar, como material complementar às aulas. Tudo isso pode interessar os alunos e alegrar o processo de aprendizagem.

E gostaríamos de terminar com estas palavras:

“Imagine sua vida como um plano coordenado. O eixo y é a sua posição na sociedade. O eixo x avança, em direção à meta, em direção ao seu sonho. E como sabemos, é infinito... podemos cair, indo cada vez mais para o negativo, podemos permanecer no zero e não fazer nada, absolutamente nada. Podemos subir, podemos cair, podemos avançar ou retroceder, e tudo porque toda a nossa vida é um plano de coordenadas e o mais importante aqui é qual é a sua coordenada...”

Bibliografia

Glazer G.I. História da matemática na escola: - M.: Prosveshchenie, 1981. - 239 pp., III.

Lyatker Ya. A. Descartes. M.: Mysl, 1975. - (Pensadores do passado)

Matvievskaya G. P. René Descartes, 1596-1650. M.: Nauka, 1976.

A. Savin. Coordenadas Quântico. 1977. Nº 9

Matemática - suplemento do jornal “Primeiro de Setembro”, nº 7, nº 20, nº 17, 2003, nº 11, 2000.

Siegel F.Yu. Alfabeto estrela: um manual para estudantes. - M.: Educação, 1981. - 191 pp., ilus.

Steve Parker, Nicholas Harris. Enciclopédia ilustrada para crianças. Segredos do universo. Carcóvia Belgorod. 2008

Materiais do site http://istina.rin.ru/

Tema desta videoaula: Plano de coordenadas.

Metas e objetivos da aula:

Familiarizado com sistema de coordenadas retangulares em um plano
- ensinar como navegar livremente no plano de coordenadas
- construir pontos de acordo com as coordenadas fornecidas
- determinar as coordenadas de um ponto marcado no plano de coordenadas
- entender bem as coordenadas de ouvido
- realizar construções geométricas de forma clara e precisa
- desenvolvimento de habilidades criativas
- fomentar o interesse pelo assunto

O termo " coordenadas" vem da palavra latina - "ordenado"

Para indicar a posição de um ponto no plano, tome duas retas perpendiculares X e Y.

Eixo X - eixo de abcissas
Eixo Y eixo de ordenadas
Ponto O - origem

O plano no qual o sistema de coordenadas é especificado é chamado plano coordenado.

Cada ponto M no plano coordenado corresponde a um par de números: sua abscissa e ordenada. Pelo contrário, cada par de números corresponde a um ponto do plano, para o qual esses números são coordenadas.

Exemplos considerados:

• construindo um ponto a partir de suas coordenadas
• encontrar as coordenadas de um ponto localizado no plano de coordenadas

Algumas informações adicionais:

A ideia de especificar a posição de um ponto em um plano originou-se na antiguidade, principalmente entre os astrônomos. No século II. O antigo astrônomo grego Cláudio Ptolomeu usou latitude e longitude como coordenadas. Ele deu uma descrição do uso de coordenadas no livro “Geometria” em 1637.

A descrição do uso de coordenadas foi dada no livro “Geometria” de 1637 pelo matemático francês René Descartes, portanto o sistema de coordenadas retangulares é frequentemente chamado de cartesiano.

Palavras " abscissa», « ordenar», « coordenadas"foi o primeiro a ser utilizado no final do século XVII.

Para uma melhor compreensão do plano coordenado, imagine que recebemos: um globo geográfico, um tabuleiro de xadrez, um ingresso de teatro.

Para determinar a posição de um ponto na superfície terrestre, você precisa saber a longitude e a latitude.
Para determinar a posição de uma peça em um tabuleiro de xadrez, você precisa conhecer duas coordenadas, por exemplo: e3.
Os assentos no auditório são determinados por duas coordenadas: fila e assento.

Tarefa adicional.

Após estudar a videoaula, para consolidar o material, sugiro que você pegue uma caneta e um pedaço de papel em uma caixa, desenhe um plano coordenado e construa figuras de acordo com as coordenadas fornecidas:

Fungo
1) (6; 0), (6; 2), (5; 1,5), (4; 3), (2; 1), (0; 2,5), (- 1,5; 1,5), (- 2; 5), (- 3; 0,5), (- 4; 2), (- 4; 0).
2) (2; 1), (2,2; 2), (2,3; 4), (2,5; 6), (2,3; 8), (2; 10), (6; 10), (4,8; 12), (3; 13,3), (1; 14),
(0; 14), (- 2; 13,3), (- 3,8; 12), (- 5; 10), (2; 10).
3) (- 1; 10), (- 1,3; 8), (- 1,5; 6), (- 1,2; 4), (- 0,8;2).
Rato 1) (3; - 4), (3; - 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),
(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; - 1), (- 1; 0), (- 1; - 4), (- 2; - 4),
(- 2; - 6), (- 3; - 6), (- 3; - 7), (- 1; - 7), (- 1; - 5), (1; - 5), (1; - 6), (3; - 6), (3; - 7),
(4; - 7), (4; - 5), (2; - 5), (3; - 4).
2) Cauda: (3; - 3), (5; - 3), (5; 3).
3) Olho: (- 1; 5).
Cisne
1) (2; 7), (0; 5), (- 2; 7), (0; 8), (2; 7), (- 4; - 3), (4; 0), (11; - 2), (9; - 2), (11; - 3),
(9; - 3), (5; - 7), (- 4; - 3).
2) Bico: (- 4; 8), (- 2; 7), (- 4; 6).
3) Asa: (1; - 3), (4; - 2), (7; - 3), (4; - 5), (1; - 3).
4) Olho: (0; 7).
Camelo
1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4),
(9; 3), (9; 1), (8; - 1), (8; 1), (7; 1), (7; - 7), (6; - 7), (6; - 2), (4; - 1), (- 5; - 1), (- 5; - 7),
(- 6; - 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6).
2) Olho: (- 6; 7).
Elefante
1) (2; - 3), (2; - 2), (4; - 2), (4; - 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5),
(0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; - 2), (5; - 3), (2; - 3).
2) (4; - 3), (4; - 5), (3; - 9), (0; - 8), (1; - 5), (1; - 4), (0; - 4), (0; - 9), (- 3; - 9),
(- 3; - 3), (- 7; - 3), (- 7; - 7), (- 8; - 7), (- 8; - 8), (- 11; - 8), (- 10; - 4), (- 11; - 1),
(- 14; - 3), (- 12; - 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5).
3) Olhos: (2; 4), (6; 4).
Cavalo
1) (14; - 3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10), (- 2; 10), (- 8; 5,5),
(- 8; 3), (- 7; 2), (- 5; 3), (- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; - 3), (- 5; - 1), (- 7; - 2),
(- 5; - 10), (- 2; - 11), (- 2; - 8,5), (- 4; - 8), (- 4; - 4), (0; - 7,5), (3; - 5).
2) Olho: (- 2; 7).