Como você pode encontrar a área de um triângulo. Calculando a área de um polígono a partir das coordenadas de seus vértices Determinando a área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices
O método das coordenadas, proposto no século XVII pelos matemáticos franceses R. Descartes (1596-1650) e P. Fermat (1601-1665), é um poderoso aparato que permite traduzir conceitos geométricos para a linguagem algébrica. Este método é baseado no conceito de sistema de coordenadas. Consideraremos o cálculo da área de um polígono a partir das coordenadas de seus vértices em um sistema de coordenadas retangulares.
Área de um triângulo
Teorema 1. Se é a área do triângulo
então a igualdade é verdadeira
chamaremos isso de determinante da área de um triângulo.
Prova. Deixe os vértices do triângulo estarem localizados no primeiro quadrante de coordenadas. Há duas possibilidades.
Caso 1. A direção (ou, ou) da localização dos vértices do triângulo coincide com a direção do movimento da extremidade do ponteiro do relógio (Fig. 1.30).
Como a figura é um trapézio.
Da mesma forma descobrimos que
Realizando transformações algébricas
nós entendemos isso:
Na igualdade (1.9) o determinante da área é, portanto, há um sinal de menos antes da expressão, pois.
Vamos mostrar isso. Na verdade, aqui
(a área de um retângulo com base e altura é maior que a soma das áreas dos retângulos com bases e alturas; (Fig. 1.30), de onde
Caso 2. As direções indicadas no caso 1 são opostas à direção do movimento da extremidade do ponteiro do relógio (Fig. 1.31)
já que a figura é um trapézio, e
Onde. Na verdade, aqui
O teorema é provado quando os vértices do triângulo estão localizados no primeiro quadrante coordenado.
Usando o conceito de módulo, as igualdades (1.9) e (1.10) podem ser escritas da seguinte forma:
Nota 1. Derivamos a fórmula (1.8) considerando o arranjo mais simples de vértices, mostrado nas Figuras 1.30 e 1.31; entretanto, a fórmula (1.8) é verdadeira para qualquer arranjo de vértices.
Considere o caso representado na Figura 1.32.
Portanto, realizando transformações geométricas simples:
obtemos novamente o que, onde
Área de n-gon
Um polígono pode ser convexo ou não convexo; a ordem de numeração dos vértices é considerada negativa se os vértices forem numerados no sentido horário. Um polígono que não possui autointersecção de lados será chamado de simples. Para simples é n-gon o seguinte é verdadeiro
Teorema 2. Se é a área de um primo n-gon, onde, então a igualdade é verdadeira
chamaremos o determinante da área de um primo n-Vai.
Prova. Há duas possibilidades.
Caso 1. n-gon - convexo. Vamos provar a fórmula (1.11) usando o método de indução matemática.
Pois já foi provado (Teorema 1). Suponhamos que seja verdade para n-gon; vamos provar que permanece válido para convexo ( n+1)-gon.
Vamos adicionar mais um vértice ao polígono (Fig. 1.33).
Assim, a fórmula é válida para ( n+1)-gon e, portanto, as condições de indução matemática são satisfeitas, ou seja, fórmula (1.11) para o caso de um convexo n-gon foi comprovado.
Caso 2. n-gon - não convexo.
Em qualquer não-convexo n-gon pode-se desenhar uma diagonal dentro dela e, portanto, a prova do caso 2 para um não-convexo n-gon é semelhante à prova de um convexo n-Vai.
Nota 2. Expressões para não são fáceis de lembrar. Portanto, para calcular seus valores, é conveniente anotar as coordenadas do primeiro, segundo, terceiro, ..., em uma coluna. n-th e novamente os primeiros vértices n-gon e multiplique de acordo com o esquema:
Os sinais da coluna (1.12) devem ser dispostos conforme indicado no diagrama (1.13).
Nota 3. Ao compor a coluna (1.12) para um triângulo, você pode começar de qualquer vértice.
Nota 4. Ao compilar a coluna (1.12) para n-gon() é necessário seguir a sequência de escrita das coordenadas dos vértices n-gon (não importa de qual vértice iniciar a travessia). Portanto, calculando a área n-gon deve começar com a construção de um desenho “bruto”.
O triângulo é uma das formas geométricas mais comuns, com a qual nos familiarizamos no ensino fundamental. Todo aluno enfrenta a questão de como encontrar a área de um triângulo nas aulas de geometria. Então, quais características de localização da área de uma determinada figura podem ser identificadas? Neste artigo veremos as fórmulas básicas necessárias para realizar tal tarefa e também analisaremos os tipos de triângulos.
Tipos de triângulos
Você pode encontrar a área de um triângulo de maneiras completamente diferentes, porque na geometria existe mais de um tipo de figura contendo três ângulos. Esses tipos incluem:
- Obtuso.
- Equilátero (correto).
- Triângulo retângulo.
- Isósceles.
Vamos dar uma olhada em cada um dos tipos de triângulos existentes.
Esta figura geométrica é considerada a mais comum na resolução de problemas geométricos. Quando surge a necessidade de desenhar um triângulo arbitrário, esta opção vem em socorro.
Em um triângulo agudo, como o nome sugere, todos os ângulos são agudos e somam 180°.
Este tipo de triângulo também é muito comum, mas é um pouco menos comum que um triângulo agudo. Por exemplo, ao resolver triângulos (ou seja, vários de seus lados e ângulos são conhecidos e você precisa encontrar os elementos restantes), às vezes é necessário determinar se o ângulo é obtuso ou não. Cosseno é um número negativo.
B, o valor de um dos ângulos ultrapassa 90°, portanto os dois ângulos restantes podem assumir valores pequenos (por exemplo, 15° ou mesmo 3°).
Para encontrar a área de um triângulo desse tipo, você precisa conhecer algumas nuances, das quais falaremos mais tarde.
Triângulos regulares e isósceles
Um polígono regular é uma figura que inclui n ângulos e cujos lados e ângulos são todos iguais. Isto é o que é um triângulo regular. Como a soma de todos os ângulos de um triângulo é 180°, então cada um dos três ângulos é 60°.
Um triângulo regular, devido à sua propriedade, também é chamado de figura equilátera.
Também é importante notar que apenas um círculo pode ser inscrito em um triângulo regular, e apenas um círculo pode ser descrito em torno dele, e seus centros estão localizados no mesmo ponto.
Além do tipo equilátero, também se pode distinguir um triângulo isósceles, que é ligeiramente diferente dele. Nesse triângulo, dois lados e dois ângulos são iguais entre si, e o terceiro lado (ao qual os ângulos iguais são adjacentes) é a base.
A figura mostra um triângulo isósceles DEF cujos ângulos D e F são iguais e DF é a base.
Triângulo retângulo
Um triângulo retângulo tem esse nome porque um de seus ângulos é reto, ou seja, igual a 90°. Os outros dois ângulos somam 90°.
O maior lado desse triângulo, oposto ao ângulo de 90°, é a hipotenusa, enquanto os dois lados restantes são os catetos. Para este tipo de triângulo, aplica-se o teorema de Pitágoras:
A soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa.
A figura mostra um triângulo retângulo BAC com hipotenusa AC e pernas AB e BC.
Para encontrar a área de um triângulo com ângulo reto, você precisa conhecer os valores numéricos de seus catetos.
Passemos às fórmulas para encontrar a área de uma determinada figura.
Fórmulas básicas para encontrar área
Em geometria, existem duas fórmulas adequadas para encontrar a área da maioria dos tipos de triângulos, nomeadamente para triângulos agudos, obtusos, regulares e isósceles. Vejamos cada um deles.
Por lado e altura
Esta fórmula é universal para encontrar a área da figura que estamos considerando. Para isso, basta saber o comprimento do lado e o comprimento da altura traçada sobre ele. A fórmula em si (metade do produto da base pela altura) é a seguinte:
onde A é o lado de um determinado triângulo e H é a altura do triângulo.
Por exemplo, para encontrar a área de um triângulo agudo ACB, você precisa multiplicar seu lado AB pela altura CD e dividir o valor resultante por dois.
Porém, nem sempre é fácil encontrar a área de um triângulo dessa forma. Por exemplo, para usar esta fórmula para um triângulo obtuso, você precisa estender um de seus lados e só então traçar uma altura para ele.
Na prática, esta fórmula é usada com mais frequência do que outras.
Em ambos os lados e canto
Esta fórmula, como a anterior, é adequada para a maioria dos triângulos e em seu significado é uma consequência da fórmula para encontrar a área por lado e altura de um triângulo. Ou seja, a fórmula em questão pode ser facilmente derivada da anterior. Sua formulação é assim:
S = ½*sinO*A*B,
onde A e B são os lados do triângulo e O é o ângulo entre os lados A e B.
Lembremos que o seno de um ângulo pode ser visualizado em uma tabela especial com o nome do notável matemático soviético V. M. Bradis.
Agora vamos passar para outras fórmulas que são adequadas apenas para tipos excepcionais de triângulos.
Área de um triângulo retângulo
Além da fórmula universal, que inclui a necessidade de encontrar a altura em um triângulo, a partir de seus catetos você pode encontrar a área de um triângulo contendo um ângulo reto.
Assim, a área de um triângulo contendo um ângulo reto é metade do produto de seus catetos, ou:
onde aeb são os catetos de um triângulo retângulo.
Triângulo regular
Este tipo de figura geométrica se diferencia porque sua área pode ser encontrada com o valor indicado de apenas um de seus lados (já que todos os lados de um triângulo regular são iguais). Então, diante da tarefa de “encontrar a área de um triângulo quando os lados são iguais”, você precisa usar a seguinte fórmula:
S = A 2 *√3/4,
onde A é o lado do triângulo equilátero.
Fórmula de Heron
A última opção para encontrar a área de um triângulo é a fórmula de Heron. Para utilizá-lo, você precisa saber os comprimentos dos três lados da figura. A fórmula de Heron é assim:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
onde a, b e c são os lados de um determinado triângulo.
Às vezes o problema é dado: “a área de um triângulo regular é encontrar o comprimento do seu lado”. Neste caso, precisamos usar a fórmula que já conhecemos para encontrar a área de um triângulo regular e derivar dela o valor do lado (ou seu quadrado):
UMA 2 = 4S / √3.
Tarefas de exame
Existem muitas fórmulas em problemas GIA em matemática. Além disso, muitas vezes é necessário encontrar a área de um triângulo em papel xadrez.
Neste caso, é mais conveniente traçar a altura de um dos lados da figura, determinar seu comprimento a partir das células e usar a fórmula universal para encontrar a área:
Assim, depois de estudar as fórmulas apresentadas no artigo, você não terá problemas para encontrar a área de um triângulo de qualquer tipo.
