Função y=sinx, suas principais propriedades e gráfico. Funções y = sin x, y = cos x, suas propriedades e gráficos - Hipermercado do Conhecimento O gráfico da função y é igual ao seno x

"Faculdade de Tecnologias de Serviço Yoshkar-Ola"

Construção e estudo do gráfico da função trigonométrica y=sinx em uma planilhaEM Excel

/desenvolvimento metodológico/

Yoshkar-Ola

Assunto. Construção e estudo do gráfico de uma função trigonométricasim = sinx na planilha do MS Excel

Tipo de aula– integrado (adquirindo novos conhecimentos)

Metas:

Finalidade didática - explore o comportamento dos gráficos de funções trigonométricassim= sinxdependendo das probabilidades usando um computador

Educacional:

1. Descubra a mudança no gráfico de uma função trigonométrica sim= pecado x dependendo das probabilidades

2. Mostrar a introdução da tecnologia informática no ensino da matemática, a integração de duas disciplinas: álgebra e informática.

3. Desenvolver competências na utilização da tecnologia informática nas aulas de matemática

4. Fortalecer as habilidades de estudo de funções e construção de seus gráficos

Educacional:

1. Desenvolver o interesse cognitivo dos alunos pelas disciplinas académicas e a capacidade de aplicar os seus conhecimentos em situações práticas

2. Desenvolva a capacidade de analisar, comparar, destacar o principal

3. Contribuir para melhorar o nível geral de desenvolvimento dos alunos

Educar :

1. Promova independência, precisão e trabalho árduo

2. Promova uma cultura de diálogo

Formas de trabalho na aula - combinado

Instalações e equipamentos didáticos:

1. Computadores

2. Projetor multimídia

4. Apostilas

5. Slides de apresentação

Durante as aulas

EU. Organização do início da aula

· Cumprimentando alunos e convidados

· Humor para a aula

II. Definição de metas e atualização de tópicos

Demora muito tempo para estudar uma função e construir seu gráfico, é preciso fazer muitos cálculos complicados, não é conveniente, a tecnologia da informática vem em socorro.

Hoje aprenderemos como construir gráficos de funções trigonométricas no ambiente de planilha do MS Excel 2007.

O tema da nossa lição é “Construção e estudo do gráfico de uma função trigonométrica sim= sinx em um processador de tabela"

Do curso de álgebra conhecemos o esquema para estudar uma função e construir seu gráfico. Vamos lembrar como fazer isso.

Diapositivo 2

Esquema de estudo de função

1. Domínio da função (D(f))

2. Alcance da função E(f)

3. Determinação da paridade

4. Frequência

5. Zeros da função (y=0)

6. Intervalos de sinal constante (y>0, y<0)

7. Períodos de monotonia

8. Extremos da função

III. Assimilação primária de novo material educacional

Abra o MS Excel 2007.

Vamos traçar a função y=sin x

Construindo gráficos em um processador de planilhasEM Excel 2007

Vamos traçar o gráfico desta função no segmento xЄ[-2π; 2π]

Tomaremos os valores dos argumentos em incrementos , para tornar o gráfico mais preciso.

Como o editor trabalha com números, vamos converter radianos em números, sabendo que P ≈ 3,14 . (tabela de tradução em apostila).

1. Encontre o valor da função no ponto x=-2P. Caso contrário, o editor calcula automaticamente os valores da função correspondentes.

2. Agora temos uma tabela com os valores do argumento e da função. Com esses dados, temos que traçar esta função usando o Chart Wizard.

3. Para construir um gráfico, você precisa selecionar o intervalo de dados necessário, linhas com argumentos e valores de função

4..jpg" largura="667" altura="236 src=">

Anotamos as conclusões em um caderno (Slide 5)

Conclusão. O gráfico de uma função da forma y=sinx+k é obtido a partir do gráfico da função y=sinx usando translação paralela ao longo do eixo do amplificador operacional por k unidades

Se k >0, então o gráfico se desloca para cima em k unidades

Se k<0, то график смещается вниз на k единиц

Construção e estudo de uma função da formae =k*sinx,k- const

Tarefa 2. No trabalho Planilha2 desenhar gráficos de funções em um sistema de coordenadas sim= sinx sim=2* sinx, sim= * sinx, no intervalo (-2π; 2π) e observe como a aparência do gráfico muda.

(Para não redefinir o valor do argumento, vamos copiar os valores existentes. Agora você precisa definir a fórmula e construir um gráfico usando a tabela resultante.)

Comparamos os gráficos resultantes. Juntamente com os alunos, analisamos o comportamento do gráfico de uma função trigonométrica em função dos coeficientes. (Slide 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , no intervalo (-2π; 2π) e observe como a aparência do gráfico muda.

Comparamos os gráficos resultantes. Juntamente com os alunos, analisamos o comportamento do gráfico de uma função trigonométrica em função dos coeficientes. (Slide 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Anotamos as conclusões em um caderno (Slide 11)

Conclusão. O gráfico de uma função da forma y=sin(x+k) é obtido a partir do gráfico da função y=sinx usando translação paralela ao longo do eixo OX por k unidades

Se k >1, então o gráfico se desloca para a direita ao longo do eixo OX

Se 0

4. Consolidação primária do conhecimento adquirido

Cartões diferenciados com a tarefa de construir e estudar uma função usando um gráfico

V. Organização do dever de casa

Trace um gráfico da função y=-2*sinх+1, examine e verifique a exatidão da construção em um ambiente de planilha do Microsoft Excel. (Slide 12)

VI. Reflexão

Nesta lição, daremos uma olhada detalhada na função y = sin x, suas propriedades básicas e gráfico. No início da lição, daremos a definição da função trigonométrica y = sin t no círculo coordenado e consideraremos o gráfico da função no círculo e na reta. Vamos mostrar a periodicidade desta função no gráfico e considerar as principais propriedades da função. Ao final da lição, resolveremos vários problemas simples utilizando o gráfico de uma função e suas propriedades.

Tópico: Funções trigonométricas

Lição: Função y=sinx, suas propriedades básicas e gráfico

Ao considerar uma função, é importante associar cada valor de argumento a um único valor de função. Esse lei da correspondência e é chamada de função.

Vamos definir a lei de correspondência para.

Qualquer número real corresponde a um único ponto no círculo unitário. Um ponto possui uma única ordenada, que é chamada de seno do número (Fig. 1).

Cada valor de argumento está associado a um único valor de função.

Propriedades óbvias decorrem da definição de seno.

A figura mostra que porque é a ordenada de um ponto no círculo unitário.

Considere o gráfico da função. Recordemos a interpretação geométrica do argumento. O argumento é o ângulo central, medido em radianos. Ao longo do eixo representaremos números reais ou ângulos em radianos, ao longo do eixo os valores correspondentes da função.

Por exemplo, um ângulo no círculo unitário corresponde a um ponto no gráfico (Fig. 2)

Obtivemos um gráfico da função na área Mas conhecendo o período do seno, podemos representar o gráfico da função em todo o domínio de definição (Fig. 3).

O período principal da função é Isso significa que o gráfico pode ser obtido em um segmento e depois continuado ao longo de todo o domínio de definição.

Considere as propriedades da função:

1) Escopo de definição:

2) Faixa de valores:

3) Função ímpar:

4) Menor período positivo:

5) Coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico com o eixo das abcissas:

6) Coordenadas do ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas:

7) Intervalos em que a função assume valores positivos:

8) Intervalos em que a função assume valores negativos:

9) Intervalos crescentes:

10) Intervalos decrescentes:

11) Pontos mínimos:

12) Funções mínimas:

13) Máximo de pontos:

14) Funções máximas:

Vimos as propriedades da função e seu gráfico. As propriedades serão usadas repetidamente na resolução de problemas.

Bibliografia

1. Álgebra e início da análise, nota 10 (em duas partes). Livro didático para instituições de ensino geral (nível de perfil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2009.

2. Álgebra e início da análise, nota 10 (em duas partes). Livro de problemas para instituições de ensino (nível de perfil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Álgebra e análise matemática para o 10º ano (livro didático para alunos de escolas e turmas com estudo aprofundado de matemática - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Estudo aprofundado de álgebra e análise matemática.-M.: Educação, 1997.

5. Coleção de problemas de matemática para candidatos a instituições de ensino superior (editado por M.I. Skanavi - M.: Escola Superior, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulador algébrico.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemas de álgebra e princípios de análise (um manual para alunos do 10º ao 11º ano de instituições de ensino geral - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karpa A.P. Coleção de problemas de álgebra e princípios de análise: livro didático. subsídio para 10-11 séries. com profundidade estudado Matemática.-M.: Educação, 2006.

Trabalho de casa

Álgebra e início da análise, nota 10 (em duas partes). Livro de problemas para instituições de ensino (nível de perfil), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Recursos adicionais da web

3. Portal educacional para preparação para exames ().

Como representar graficamente a função y=sin x? Primeiro, vejamos o gráfico do seno no intervalo.

Pegamos um único segmento de 2 células no notebook. No eixo Oy marcamos um.

Por conveniência, arredondamos o número π/2 para 1,5 (e não para 1,6, conforme exigido pelas regras de arredondamento). Neste caso, um segmento de comprimento π/2 corresponde a 3 células.

No eixo do Boi marcamos não segmentos únicos, mas segmentos de comprimento π/2 (a cada 3 células). Assim, um segmento de comprimento π corresponde a 6 células e um segmento de comprimento π/6 corresponde a 1 célula.

Com esta escolha de um segmento unitário, o gráfico representado em uma folha de caderno em uma caixa corresponde mais de perto ao gráfico da função y=sin x.

Vamos fazer uma tabela de valores de senos no intervalo:

Marcamos os pontos resultantes no plano de coordenadas:

Como y=sin x é uma função ímpar, o gráfico do seno é simétrico em relação à origem - ponto O(0;0). Levando esse fato em consideração, continuamos traçando o gráfico à esquerda, depois os pontos -π:

A função y=sin x é periódica com período T=2π. Portanto, o gráfico de uma função tomada no intervalo [-π;π] é repetido um número infinito de vezes para a direita e para a esquerda.

Nesta lição, daremos uma olhada detalhada na função y = sin x, suas propriedades básicas e gráfico. No início da lição, daremos a definição da função trigonométrica y = sin t no círculo coordenado e consideraremos o gráfico da função no círculo e na reta. Vamos mostrar a periodicidade desta função no gráfico e considerar as principais propriedades da função. Ao final da lição, resolveremos vários problemas simples utilizando o gráfico de uma função e suas propriedades.

Tópico: Funções trigonométricas

Lição: Função y=sinx, suas propriedades básicas e gráfico

Ao considerar uma função, é importante associar cada valor de argumento a um único valor de função. Esse lei da correspondência e é chamada de função.

Vamos definir a lei de correspondência para.

Qualquer número real corresponde a um único ponto no círculo unitário. Um ponto possui uma única ordenada, que é chamada de seno do número (Fig. 1).

Cada valor de argumento está associado a um único valor de função.

Propriedades óbvias decorrem da definição de seno.

A figura mostra que porque é a ordenada de um ponto no círculo unitário.

Considere o gráfico da função. Recordemos a interpretação geométrica do argumento. O argumento é o ângulo central, medido em radianos. Ao longo do eixo representaremos números reais ou ângulos em radianos, ao longo do eixo os valores correspondentes da função.

Por exemplo, um ângulo no círculo unitário corresponde a um ponto no gráfico (Fig. 2)

Obtivemos um gráfico da função na área Mas conhecendo o período do seno, podemos representar o gráfico da função em todo o domínio de definição (Fig. 3).

O período principal da função é Isso significa que o gráfico pode ser obtido em um segmento e depois continuado ao longo de todo o domínio de definição.

Considere as propriedades da função:

1) Escopo de definição:

2) Faixa de valores:

3) Função ímpar:

4) Menor período positivo:

5) Coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico com o eixo das abcissas:

6) Coordenadas do ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas:

7) Intervalos em que a função assume valores positivos:

8) Intervalos em que a função assume valores negativos:

9) Intervalos crescentes:

10) Intervalos decrescentes:

11) Pontos mínimos:

12) Funções mínimas:

13) Máximo de pontos:

14) Funções máximas:

Vimos as propriedades da função e seu gráfico. As propriedades serão usadas repetidamente na resolução de problemas.

Bibliografia

1. Álgebra e início da análise, nota 10 (em duas partes). Livro didático para instituições de ensino geral (nível de perfil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2009.

2. Álgebra e início da análise, nota 10 (em duas partes). Livro de problemas para instituições de ensino (nível de perfil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Álgebra e análise matemática para o 10º ano (livro didático para alunos de escolas e turmas com estudo aprofundado de matemática - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Estudo aprofundado de álgebra e análise matemática.-M.: Educação, 1997.

5. Coleção de problemas de matemática para candidatos a instituições de ensino superior (editado por M.I. Skanavi - M.: Escola Superior, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulador algébrico.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemas de álgebra e princípios de análise (um manual para alunos do 10º ao 11º ano de instituições de ensino geral - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karpa A.P. Coleção de problemas de álgebra e princípios de análise: livro didático. subsídio para 10-11 séries. com profundidade estudado Matemática.-M.: Educação, 2006.

Trabalho de casa

Álgebra e início da análise, nota 10 (em duas partes). Livro de problemas para instituições de ensino (nível de perfil), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Recursos adicionais da web

3. Portal educacional para preparação para exames ().

Descobrimos que o comportamento das funções trigonométricas e das funções y = pecado x em particular, em toda a reta numérica (ou para todos os valores do argumento X) é completamente determinado pelo seu comportamento no intervalo 0 < X < π / 2 .

Portanto, em primeiro lugar, traçaremos a função y = pecado x exatamente neste intervalo.

Vamos fazer a seguinte tabela de valores da nossa função;

Marcando os pontos correspondentes no plano coordenado e conectando-os com uma linha suave, obtemos a curva mostrada na figura

A curva resultante também poderia ser construída geometricamente, sem compilar uma tabela de valores de função y = pecado x .

1. Divida o primeiro quarto de um círculo de raio 1 em 8 partes iguais. As ordenadas dos pontos divisores do círculo são os senos dos ângulos correspondentes.

2. O primeiro quarto do círculo corresponde aos ângulos de 0 a π / 2 . Portanto, no eixo X Vamos pegar um segmento e dividi-lo em 8 partes iguais.

3. Vamos desenhar linhas retas paralelas aos eixos X, e a partir dos pontos de divisão construímos perpendiculares até que se cruzem com linhas horizontais.

4. Conecte os pontos de intersecção com uma linha suave.

Agora vamos olhar para o intervalo π / 2 < X < π .
Cada valor de argumento X deste intervalo pode ser representado como

x = π / 2 + φ

Onde 0 < φ < π / 2 . De acordo com fórmulas de redução

pecado( π / 2 + φ ) = porque φ = pecado ( π / 2 - φ ).

Pontos do eixo X com abscissas π / 2 + φ E π / 2 - φ simétricos entre si em relação ao ponto do eixo X com abscissa π / 2 , e os senos nesses pontos são iguais. Isso nos permite obter um gráfico da função y = pecado x no intervalo [ π / 2 , π ] simplesmente exibindo simetricamente o gráfico desta função no intervalo relativo à linha reta X = π / 2 .

Agora usando a propriedade função de paridade ímpar y = pecado x,

pecado(- X) = - pecado X,

é fácil traçar esta função no intervalo [- π , 0].

A função y = sin x é periódica com período de 2π ;. Portanto, para construir todo o gráfico desta função, basta continuar a curva mostrada na figura à esquerda e à direita periodicamente com um período 2π .

A curva resultante é chamada sinusóide . Representa o gráfico da função y = pecado x.

A figura ilustra bem todas as propriedades da função y = pecado x , o que já provamos anteriormente. Vamos relembrar essas propriedades.

1) Função y = pecado x definido para todos os valores X , então seu domínio é o conjunto de todos os números reais.

2) Função y = pecado x limitado. Todos os valores que aceita estão entre -1 e 1, incluindo esses dois números. Consequentemente, a faixa de variação desta função é determinada pela desigualdade -1 < no < 1. Quando X = π / 2 + 2k π a função assume os maiores valores iguais a 1, e para x = - π / 2 + 2k π - os menores valores iguais a -1.

3) Função y = pecado x é ímpar (a onda senoidal é simétrica em relação à origem).

4) Função y = pecado x periódico com período 2 π .

5) Em intervalos de 2n π < x < π + 2n π (n é qualquer número inteiro) é positivo e em intervalos π + 2k π < X < 2π + 2k π (k é qualquer número inteiro) é negativo. Em x = k π a função vai para zero. Portanto, esses valores do argumento x (0; ± π ; ±2 π ; ...) são chamados de zeros de função y = pecado x

6) Em intervalos - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π função y = pecado x aumenta monotonicamente e em intervalos π / 2 + 2k π < X < 3π/ 2 + 2k π diminui monotonicamente.

Você deve prestar atenção especial ao comportamento da função y = pecado x perto do ponto X = 0 .

Por exemplo, pecado 0,012 ≈ 0,012; pecado (-0,05) ≈ -0,05;

pecado 2° = pecado π 2 / 180 = pecado π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Ao mesmo tempo, deve-se notar que para quaisquer valores de x

| pecado x| < | x | . (1)

Na verdade, seja o raio do círculo mostrado na figura igual a 1,
a / AOB = X.

Então pecar x= AC. Mas AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. O comprimento deste arco é obviamente igual a X, já que o raio do círculo é 1. Então, em 0< X < π / 2

pecado x< х.

Portanto, devido à estranheza da função y = pecado x é fácil mostrar que quando - π / 2 < X < 0

| pecado x| < | x | .

Finalmente, quando x = 0

| pecado x | = | x |.

Assim, para | X | < π / 2 a desigualdade (1) foi comprovada. Na verdade, esta desigualdade também é verdadeira para | x | > π / 2 devido ao fato de que | pecado X | < 1, um π / 2 > 1

Exercícios

1.De acordo com o gráfico da função y = pecado x determine: a) pecado 2; b) pecado 4; c) pecado (-3).

2.De acordo com o gráfico da função y = pecado x determine qual número do intervalo
[ - π / 2 , π / 2 ] tem seno igual a: a) 0,6; b) -0,8.

3. De acordo com o gráfico da função y = pecado x determinar quais números têm um seno;
igual a 1/2.

4. Encontre aproximadamente (sem usar tabelas): a) sen 1°; b) pecado 0,03;
c) pecado (-0,015); d) sen (-2°30").