Se 2 são paralelos. Linhas paralelas, sinais e condições para linhas paralelas

Sinais de paralelismo de duas linhas

Teorema 1. Se, quando duas retas se cruzam com uma secante:

ângulos cruzados são iguais, ou

os ângulos correspondentes são iguais, ou

a soma dos ângulos unilaterais é 180°, então

linhas são paralelas(Figura 1).

Prova. Limitamo-nos a provar o caso 1.

Sejam as linhas que se cruzam a e b transversais e os ângulos AB iguais. Por exemplo, ∠ 4 = ∠ 6. Vamos provar que a || b.

Suponha que as linhas aeb não sejam paralelas. Então eles se cruzam em algum ponto M e, portanto, um dos ângulos 4 ou 6 será o ângulo externo do triângulo ABM. Para maior definição, seja ∠ 4 o ângulo externo do triângulo ABM e ∠ 6 o interno. Segue-se do teorema do ângulo externo de um triângulo que ∠ 4 é maior que ∠ 6, e isso contradiz a condição, o que significa que as linhas a e 6 não podem se cruzar, portanto são paralelas.

Corolário 1. Duas retas diferentes em um plano perpendicular à mesma reta são paralelas(Figura 2).

Comente. A forma como acabamos de provar o caso 1 do Teorema 1 é chamada de método de prova por contradição ou redução ao absurdo. Este método recebeu seu primeiro nome porque no início do argumento é feita uma suposição contrária (oposta) ao que precisa ser provado. É chamado de levar ao absurdo porque, raciocinando com base na suposição feita, chegamos a uma conclusão absurda (ao absurdo). Receber tal conclusão nos obriga a rejeitar a suposição feita no início e a aceitar aquela que precisava ser provada.

Tarefa 1. Construa uma reta que passe por um dado ponto M e paralela a uma dada reta a, não passando pelo ponto M.

Solução. Desenhamos uma linha reta p através do ponto M perpendicular à linha reta a (Fig. 3).

Então traçamos uma reta b passando pelo ponto M perpendicular à reta p. A linha b é paralela à linha a de acordo com o corolário do Teorema 1.

Uma conclusão importante segue do problema considerado:
através de um ponto que não está em uma determinada linha, é sempre possível traçar uma linha paralela à dada.

A principal propriedade das linhas paralelas é a seguinte.

Axioma das retas paralelas. Por um determinado ponto que não pertence a uma determinada reta, passa apenas uma reta paralela àquela dada.

Consideremos algumas propriedades de retas paralelas que decorrem deste axioma.

1) Se uma linha cruza uma de duas linhas paralelas, então ela também cruza a outra (Fig. 4).

2) Se duas linhas diferentes são paralelas a uma terceira linha, então elas são paralelas (Fig. 5).

O seguinte teorema também é verdadeiro.

Teorema 2. Se duas retas paralelas são interceptadas por uma transversal, então:

os ângulos transversais são iguais;

os ângulos correspondentes são iguais;

a soma dos ângulos unilaterais é 180°.

Corolário 2. Se uma reta é perpendicular a uma de duas retas paralelas, então ela também é perpendicular à outra(ver Fig. 2).

Comente. O Teorema 2 é chamado de inverso do Teorema 1. A conclusão do Teorema 1 é a condição do Teorema 2. E a condição do Teorema 1 é a conclusão do Teorema 2. Nem todo teorema tem um inverso, isto é, se um determinado teorema é verdadeiro, então o teorema inverso pode ser falso.

Vamos explicar isso usando o exemplo do teorema dos ângulos verticais. Este teorema pode ser formulado da seguinte forma: se dois ângulos são verticais, então eles são iguais. O teorema inverso seria: se dois ângulos são iguais, então eles são verticais. E isso, claro, não é verdade. Dois ângulos iguais não precisam ser verticais.

Exemplo 1. Duas linhas paralelas são cruzadas por uma terceira. Sabe-se que a diferença entre dois ângulos unilaterais internos é de 30°. Encontre esses ângulos.

Solução. Deixe a Figura 6 atender à condição.

CAPÍTULO III.
PARALELO DIRETO

§ 38. DEPENDÊNCIA ENTRE ÂNGULOS,
FORMADO POR DUAS LINHAS PARALELAS E UMA SECUNDÁRIA.

Sabemos que duas retas são paralelas se, quando interceptam uma terceira reta, os ângulos correspondentes são iguais, ou os ângulos internos ou externos cruzados são iguais, ou a soma dos ângulos internos, ou a soma dos ângulos unilaterais externos é igual a 2 d. Vamos provar que os teoremas inversos também são verdadeiros, a saber:

Se duas linhas paralelas são cruzadas por uma terceira, então:

1) os ângulos correspondentes são iguais;
2) os ângulos transversais internos são iguais;
3) os ângulos transversais externos são iguais;
4) a soma dos ângulos unilaterais internos é igual a 2 d ;
5) a soma dos ângulos unilaterais externos é igual a 2 d .

Vamos provar, por exemplo, que se duas retas paralelas são interceptadas por uma terceira reta, então os ângulos correspondentes são iguais.

Sejam as retas AB e CD paralelas e MN sua secante (Fig. 202). Provemos que os ângulos correspondentes 1 e 2 são iguais entre si.

Vamos supor que / 1 e / 2 não são iguais. Então no ponto O podemos construir / COI, correspondente e igual / 2 (desenho 203).

Mas se / Quantidade mínima = / 2, então a reta OK será paralela a CD (§ 35).

Descobrimos que duas retas AB e OK foram traçadas através do ponto O, paralelas à reta CD. Mas isto não pode ser (§ 37).

Chegamos a uma contradição porque assumimos que / 1 e / 2 não são iguais. Portanto, nossa suposição está incorreta e / 1 deve ser igual / 2, ou seja, os ângulos correspondentes são iguais.

Vamos estabelecer as relações entre os ângulos restantes. Sejam as retas AB e CD paralelas e MN sua secante (Fig. 204).

Acabamos de provar que neste caso os ângulos correspondentes são iguais. Suponhamos que dois deles tenham 119° cada. Vamos calcular o tamanho de cada um dos outros seis ângulos. Com base nas propriedades dos ângulos adjacentes e verticais, descobrimos que quatro dos oito ângulos terão 119° cada, e os restantes terão 61° cada.

Descobriu-se que os ângulos transversais internos e externos são iguais aos pares, e a soma dos ângulos unilaterais internos ou externos é igual a 180° (ou 2 d).

O mesmo acontecerá para qualquer outro valor de ângulos correspondentes iguais.

Corolário 1. Se cada uma das duas linhas AB e CD for paralela à mesma terceira linha MN, então as duas primeiras linhas serão paralelas entre si (desenho 205).

Na verdade, traçando a secante EF (Fig. 206), obtemos:
A) / 1 = / 3, já que AB || MN; b) / 2 = / 3, desde CO || MN.

Significa, / 1 = / 2, e esses são os ângulos correspondentes às retas AB e CD e à secante EF, portanto, as retas AB e CD são paralelas.

Corolário 2. Se uma reta é perpendicular a uma de duas retas paralelas, então ela também é perpendicular à outra (desenho 207).

Na verdade, se EF _|_ AB, então / 1 = d; se AB || CD, então / 1 = / 2.

Por isso, / 2 = d ou seja, EF _|_ CD .

1) Se, quando duas retas se cruzam com uma transversal, os ângulos adjacentes são iguais, então as retas são paralelas.

2) Se, quando duas retas se cruzam com uma transversal, os ângulos correspondentes são iguais, então as retas são paralelas.

3) Se, quando duas retas se cruzam com uma transversal, a soma dos ângulos unilaterais é igual a 180°, então as retas são paralelas.

3. Através de um ponto que não pertence a uma determinada reta passa apenas uma reta paralela àquela dada.

4 Se uma linha cruza uma de duas linhas paralelas, então ela também intercepta a outra.

5. Se duas retas são paralelas a uma terceira reta, então elas são paralelas.

Propriedades de linhas paralelas

1) Se duas retas paralelas são interceptadas por uma transversal, então os ângulos de interseção são iguais.

2) Se duas retas paralelas são interceptadas por uma transversal, então os ângulos correspondentes são iguais.

3) Se duas retas paralelas são interceptadas por uma transversal, então a soma dos ângulos unilaterais é 180°.

7. Se uma linha é perpendicular a uma de duas linhas paralelas, então também é perpendicular à outra.

8. Resolvendo um sistema de duas equações com dois Esse par de números é chamado desconhecido X E no , que, quando substituído neste sistema, transforma cada uma de suas equações em uma igualdade numérica correta.

9. Resolva o sistema de equações- significa encontrar todas as suas soluções ou estabelecer que não há nenhuma.

1. Métodos para resolver um sistema de equações:

a) substituição

b) adição;

c) gráfico.

10. A soma dos ângulos de um triângulo é 180°.

11. Canto externo de um triângulo é um ângulo adjacente a algum ângulo desse triângulo.

Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma de dois ângulos do triângulo que não são adjacentes a ele.

12. Em qualquer triângulo, ou todos os ângulos são agudos, ou dois ângulos são agudos e o terceiro é obtuso ou reto.

13Se todos os três ângulos de um triângulo são agudos, então o triângulo é chamado ângulo agudo.

14.Se um dos ângulos de um triângulo for obtuso, então o triângulo é chamado ângulo obtuso.

15. Se um dos ângulos de um triângulo for reto, então o triângulo é chamado retangular.

16. O lado de um triângulo retângulo oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa, e os outros dois lados são pernas.

17. Num triângulo: 1) o ângulo maior está oposto ao lado maior; 2) atrás, o lado maior fica oposto ao ângulo maior.

18. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é mais longa que o cateto.

19. Se dois ângulos de um triângulo são iguais, então o triângulo é isósceles (sinal de um triângulo isósceles).

20. Cada lado de um triângulo é menor que a soma dos outros dois lados.

21 A soma de dois ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90°.

22. Um cateto de um triângulo retângulo oposto a um ângulo de 30° é igual à metade da hipotenusa.

Sinais de igualdade de triângulos retângulos: 1) em dois lados; 2) ao longo da hipotenusa e ângulo agudo; 3) ao longo da hipotenusa e perna; 4) ao longo da perna e ângulo agudo

O comprimento de uma perpendicular traçada de um ponto a uma linha é chamado de distância deste ponto à linha.

Neste artigo falaremos sobre retas paralelas, daremos definições e delinearemos os sinais e condições do paralelismo. Para tornar o material teórico mais claro, utilizaremos ilustrações e soluções de exemplos típicos.

Yandex.RTB RA-339285-1 Definição 1

Retas paralelas em um avião– duas linhas retas em um plano que não possuem pontos comuns.

Definição 2

Linhas paralelas no espaço tridimensional– duas linhas retas no espaço tridimensional, situadas no mesmo plano e sem pontos comuns.

É necessário notar que para determinar linhas paralelas no espaço, o esclarecimento “deitadas no mesmo plano” é extremamente importante: duas linhas no espaço tridimensional que não possuem pontos comuns e não estão no mesmo plano não são paralelas , mas se cruzando.

Para indicar retas paralelas, é comum utilizar o símbolo ∥. Ou seja, se as retas aeb dadas são paralelas, esta condição deve ser resumidamente escrita da seguinte forma: a ‖ b. Verbalmente, o paralelismo de linhas é denotado da seguinte forma: as linhas aeb são paralelas, ou a linha a é paralela à linha b, ou a linha b é paralela à linha a.

Formulemos uma afirmação que desempenha um papel importante no tema em estudo.

Axioma

Por um ponto que não pertence a uma determinada reta passa a única reta paralela àquela dada. Esta afirmação não pode ser provada com base nos axiomas conhecidos da planimetria.

No caso quando falamos de espaço, o teorema é verdadeiro:

Teorema 1

Através de qualquer ponto do espaço que não pertença a uma determinada linha, haverá uma única linha reta paralela a esta.

Este teorema é fácil de provar com base no axioma acima (programa de geometria para 10ª a 11ª séries).

O critério de paralelismo é uma condição suficiente, cujo cumprimento garante o paralelismo das linhas. Em outras palavras, o cumprimento desta condição é suficiente para confirmar o fato do paralelismo.

Em particular, existem condições necessárias e suficientes para o paralelismo das retas no plano e no espaço. Expliquemos: necessário significa a condição cujo cumprimento é necessário para retas paralelas; se não for cumprido, as linhas não são paralelas.

Resumindo, uma condição necessária e suficiente para o paralelismo das retas é uma condição cuja observância é necessária e suficiente para que as retas sejam paralelas entre si. Por um lado, isso é um sinal de paralelismo, por outro, é uma propriedade inerente às retas paralelas.

Antes de fornecer a formulação exata de uma condição necessária e suficiente, recordemos alguns conceitos adicionais.

Definição 3

Linha secante– uma linha reta que cruza cada uma de duas linhas retas não coincidentes.

Cruzando duas retas, uma transversal forma oito ângulos não desenvolvidos. Para formular uma condição necessária e suficiente, usaremos tipos de ângulos como cruzados, correspondentes e unilaterais. Vamos demonstrá-los na ilustração:

Teorema 2

Se duas retas em um plano são interceptadas por uma transversal, então para que as retas dadas sejam paralelas é necessário e suficiente que os ângulos que se cruzam sejam iguais, ou que os ângulos correspondentes sejam iguais, ou que a soma dos ângulos unilaterais seja igual a 180 graus.

Vamos ilustrar graficamente a condição necessária e suficiente para o paralelismo das retas em um plano:

A prova dessas condições está presente no programa de geometria do 7º ao 9º ano.

Em geral, estas condições também são aplicáveis ​​ao espaço tridimensional, apesar de duas retas e uma secante pertencerem ao mesmo plano.

Vamos indicar mais alguns teoremas que são frequentemente usados ​​para provar o fato de que as retas são paralelas.

Teorema 3

Num plano, duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si. Esta característica é provada com base no axioma do paralelismo indicado acima.

Teorema 4

No espaço tridimensional, duas linhas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.

A prova de um sinal é estudada no currículo de geometria do 10º ano.

Vamos dar uma ilustração desses teoremas:

Indiquemos mais um par de teoremas que comprovam o paralelismo das retas.

Teorema 5

Num plano, duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.

Vamos formular algo semelhante para o espaço tridimensional.

Teorema 6

No espaço tridimensional, duas linhas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.

Vamos ilustrar:

Todos os teoremas, sinais e condições acima permitem provar convenientemente o paralelismo de retas usando métodos geométricos. Ou seja, para provar o paralelismo das retas, pode-se mostrar que os ângulos correspondentes são iguais, ou demonstrar o fato de que duas retas dadas são perpendiculares à terceira, etc. Mas observe que muitas vezes é mais conveniente usar o método de coordenadas para provar o paralelismo de retas em um plano ou no espaço tridimensional.

Paralelismo de linhas em um sistema de coordenadas retangulares

Em um determinado sistema de coordenadas retangulares, uma linha reta é determinada pela equação de uma linha reta em um plano de um dos tipos possíveis. Da mesma forma, uma linha reta definida em um sistema de coordenadas retangulares no espaço tridimensional corresponde a algumas equações para uma linha reta no espaço.

Vamos escrever as condições necessárias e suficientes para o paralelismo das retas em um sistema de coordenadas retangulares, dependendo do tipo de equação que descreve as retas dadas.

Vamos começar com a condição de paralelismo de retas em um plano. Baseia-se nas definições do vetor direção de uma reta e do vetor normal de uma reta em um plano.

Teorema 7

Para que duas retas não coincidentes sejam paralelas em um plano, é necessário e suficiente que os vetores de direção das retas dadas sejam colineares, ou que os vetores normais das retas dadas sejam colineares, ou que o vetor de direção de uma reta seja perpendicular a o vetor normal da outra linha.

Torna-se óbvio que a condição de paralelismo de retas em um plano se baseia na condição de colinearidade dos vetores ou na condição de perpendicularidade de dois vetores. Ou seja, se a → = (a x , a y) e b → = (b x , b y) são vetores de direção das retas a e b ;

e n b → = (n b x , n b y) são vetores normais das retas a e b, então escrevemos a condição necessária e suficiente acima da seguinte forma: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y ou n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y ou a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , onde t é algum número real. As coordenadas das guias ou vetores retos são determinadas pelas equações dadas das retas. Vejamos os principais exemplos.

1. A linha a em um sistema de coordenadas retangular é determinada pela equação geral da linha: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; linha reta b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Então os vetores normais das retas dadas terão coordenadas (A 1, B 1) e (A 2, B 2), respectivamente. Escrevemos a condição de paralelismo da seguinte forma:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. A reta a é descrita pela equação de uma reta com inclinação da forma y = k 1 x + b 1 . Linha reta b - y = k 2 x + b 2. Então os vetores normais das retas dadas terão coordenadas (k 1, - 1) e (k 2, - 1), respectivamente, e escreveremos a condição de paralelismo da seguinte forma:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Assim, se as linhas paralelas em um plano em um sistema de coordenadas retangulares forem dadas por equações com coeficientes angulares, então os coeficientes angulares das linhas fornecidas serão iguais. E a afirmação oposta é verdadeira: se as linhas não coincidentes em um plano em um sistema de coordenadas retangulares são determinadas pelas equações de uma linha com coeficientes angulares idênticos, então essas linhas dadas são paralelas.

1. As linhas aeb em um sistema de coordenadas retangulares são especificadas pelas equações canônicas de uma linha em um plano: x - x 1 a x = y - y 1 a y e x - x 2 b x = y - y 2 b y ou por equações paramétricas de uma reta em um plano: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y e x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Então os vetores de direção das retas dadas serão: a x, a y e b x, b y, respectivamente, e escreveremos a condição de paralelismo da seguinte forma:

a x = t b x a y = t b y

Vejamos exemplos.

Exemplo 1

Duas linhas são fornecidas: 2 x - 3 y + 1 = 0 e x 1 2 + y 5 = 1. É necessário determinar se eles são paralelos.

Solução

Vamos escrever a equação de uma reta em segmentos na forma de uma equação geral:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vemos que n a → = (2, - 3) é o vetor normal da reta 2 x - 3 y + 1 = 0, e n b → = 2, 1 5 é o vetor normal da reta x 1 2 + y 5 = 1.

Os vetores resultantes não são colineares, porque não existe tal valor de tat em que a igualdade seja verdadeira:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Assim, a condição necessária e suficiente para o paralelismo das retas em um plano não é satisfeita, o que significa que as retas dadas não são paralelas.

Responder: as linhas fornecidas não são paralelas.

Exemplo 2

As linhas y = 2 x + 1 e x 1 = y - 4 2 são fornecidas. Eles são paralelos?

Solução

Vamos transformar a equação canônica da reta x 1 = y - 4 2 na equação da reta com a inclinação:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vemos que as equações das retas y = 2 x + 1 e y = 2 x + 4 não são iguais (se fosse de outra forma, as retas seriam coincidentes) e os coeficientes angulares das retas são iguais, o que significa que o dadas linhas são paralelas.

Vamos tentar resolver o problema de forma diferente. Primeiro, vamos verificar se as linhas fornecidas coincidem. Usamos qualquer ponto da reta y = 2 x + 1, por exemplo, (0, 1), as coordenadas deste ponto não correspondem à equação da reta x 1 = y - 4 2, o que significa que as retas fazem não coincide.

O próximo passo é determinar se a condição de paralelismo das linhas fornecidas é satisfeita.

O vetor normal da reta y = 2 x + 1 é o vetor n a → = (2 , - 1) , e o vetor de direção da segunda reta dada é b → = (1 , 2) . O produto escalar desses vetores é igual a zero:

n uma → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Assim, os vetores são perpendiculares: isso nos demonstra o cumprimento da condição necessária e suficiente para o paralelismo das retas originais. Aqueles. as linhas fornecidas são paralelas.

Responder: essas linhas são paralelas.

Para provar o paralelismo de linhas em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional, é utilizada a seguinte condição necessária e suficiente.

Teorema 8

Para que duas retas não coincidentes no espaço tridimensional sejam paralelas, é necessário e suficiente que os vetores direções dessas retas sejam colineares.

Aqueles. dadas as equações das retas no espaço tridimensional, a resposta à pergunta: são paralelas ou não, é encontrada determinando as coordenadas dos vetores de direção das retas dadas, bem como verificando a condição de sua colinearidade. Em outras palavras, se a → = (a x, a y, a z) e b → = (b x, b y, b z) são os vetores diretores das retas a e b, respectivamente, então para que sejam paralelos, a existência de tal número real t é necessário, para que a igualdade seja válida:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Exemplo 3

As linhas x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 e x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ são fornecidas. É necessário provar o paralelismo destas linhas.

Solução

As condições do problema são dadas pelas equações canônicas de uma reta no espaço e pelas equações paramétricas de outra reta no espaço. Vetores guia uma → e b → as retas fornecidas têm coordenadas: (1, 0, - 3) e (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , então a → = 1 2 · b → .

Consequentemente, a condição necessária e suficiente para o paralelismo das linhas no espaço é satisfeita.

Responder: o paralelismo das linhas fornecidas está comprovado.

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ângulos correspondentes: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7;

ângulos transversais internos: 3 e 5, 4 e 6;

ângulos transversais externos: 1 e 7, 2 e 8;

cantos internos unilaterais: 3 e 6, 4 e 5;

cantos externos unilaterais: 1 e 8, 2 e 7.

Então, ∠ 2 = ∠ 4 e ∠ 8 = ∠ 6, mas conforme foi comprovado, ∠ 4 = ∠ 6.

Portanto, ∠ 2 = ∠ 8.

3. Ângulos correspondentes 2 e 6 são iguais, pois ∠ 2 = ∠ 4 e ∠ 4 = ∠ 6. Vamos também ter certeza de que os outros ângulos correspondentes são iguais.

4. Soma cantos internos unilaterais 3 e 6 serão 2d porque a soma cantos adjacentes 3 e 4 é igual a 2d = 180 0, e ∠ 4 pode ser substituído pelo idêntico ∠ 6. Também garantimos que soma dos ângulos 4 e 5 é igual a 2d.

5. Soma cantos externos unilaterais será 2d porque esses ângulos são iguais respectivamente cantos internos unilaterais como cantos vertical.

Da justificativa comprovada acima, obtemos teoremas inversos.

Quando, na intersecção de duas retas com uma terceira reta arbitrária, obtemos que:

1. Os ângulos transversais internos são iguais;

ou 2. Os ângulos transversais externos são idênticos;

ou 3. Os ângulos correspondentes são iguais;

ou 4. A soma dos ângulos unilaterais internos é igual a 2d = 180 0;

ou 5. A soma dos unilaterais externos é 2d = 180 0 ,

então as duas primeiras linhas são paralelas.