2 encontre a área do paralelogramo. Como encontrar a área de um paralelogramo? Fórmulas para encontrar a área de um paralelogramo
A derivação da fórmula da área de um paralelogramo se resume à construção de um retângulo igual em área ao paralelogramo dado. Tomemos como base um lado do paralelogramo, e a perpendicular traçada de qualquer ponto do lado oposto à reta que contém a base será chamada de altura do paralelogramo. Então a área do paralelogramo será igual ao produto de sua base pela sua altura.
Teorema.A área de um paralelogramo é igual ao produto de sua base pela sua altura.
Prova. Considere um paralelogramo com área. Vamos tomar a lateral como base e desenhar as alturas (Figura 2.3.1). É necessário provar isso.
Figura 2.3.1
Vamos primeiro provar que a área do retângulo também é igual. Um trapézio é composto por um paralelogramo e um triângulo. Por outro lado, é composto por um retângulo NVSC e um triângulo. Mas os triângulos retângulos são iguais na hipotenusa e no ângulo agudo (suas hipotenusas são iguais aos lados opostos de um paralelogramo, e os ângulos 1 e 2 são iguais aos ângulos correspondentes na intersecção de retas paralelas e uma transversal), então suas áreas são iguais. Portanto, as áreas do paralelogramo e do retângulo também são iguais, ou seja, a área do retângulo é igual. De acordo com o teorema da área de um retângulo, mas desde então.
O teorema foi provado.
Exemplo 2.3.1.
Um círculo está inscrito em um losango com um lado e um ângulo agudo. Determine a área de um quadrilátero cujos vértices são os pontos de contato do círculo com os lados do losango.
Solução:
O raio de um círculo inscrito em um losango (Figura 2.3.2), visto que o Quadrilátero é um retângulo, pois seus ângulos repousam sobre o diâmetro do círculo. Sua área é onde (lado oposto ao ângulo). 
Figura 2.3.2
Então, 
Responder:
Exemplo 2.3.2.
Dado um losango cujas diagonais são 3 cm e 4 cm, a partir do vértice de um ângulo obtuso traçam-se as alturas e calcula-se a área do quadrilátero
Solução:
Área de um losango (Figura 2.3.3).
Então, 
Responder:
Exemplo 2.3.3.
A área de um quadrilátero é Encontre a área de um paralelogramo cujos lados são iguais e paralelos às diagonais do quadrilátero.
Solução:
Como e (Figura 2.3.4), então é um paralelogramo e, portanto, .
Figura 2.3.4
Da mesma forma, obtemos o que segue.
Responder:.
2.4 Área de um triângulo
Existem diversas fórmulas para calcular a área de um triângulo. Vejamos aqueles que são estudados na escola.
A primeira fórmula segue a fórmula da área de um paralelogramo e é oferecida aos alunos na forma de um teorema.
Teorema.A área de um triângulo é igual à metade do produto de sua base pela altura.
Prova. Seja a área do triângulo. Pegue o lado da base do triângulo e desenhe a altura. Vamos provar isso:
Figura 2.4.1
Vamos construir o triângulo em um paralelogramo conforme mostrado na figura. Os triângulos são iguais em três lados (o lado comum e os lados opostos de um paralelogramo), portanto suas áreas são iguais. Consequentemente, a área S do triângulo ABC é igual à metade da área do paralelogramo, ou seja, 
O teorema foi provado.
É importante chamar a atenção dos alunos para dois corolários que decorrem deste teorema. Nomeadamente:
A área de um triângulo retângulo é igual à metade do produto de seus catetos.
Se as alturas de dois triângulos forem iguais, então suas áreas estão relacionadas como bases.
Estas duas consequências desempenham um papel importante na resolução de vários tipos de problemas. Com base nisso, é provado outro teorema, que tem ampla aplicação na resolução de problemas.
Teorema. Se o ângulo de um triângulo for igual ao ângulo de outro triângulo, então suas áreas estão relacionadas como o produto dos lados que encerram ângulos iguais.
Prova. Sejam e as áreas dos triângulos cujos ângulos são iguais.
Figura 2.4.2
Vamos provar que: 
.
Vamos aplicar um triângulo. no triângulo de modo que o vértice se alinhe com o vértice e os lados se sobreponham aos raios, respectivamente.
Figura 2.4.3
Os triângulos têm uma altura comum, então... Os triângulos também têm uma altura comum – portanto,. Multiplicando as igualdades resultantes, obtemos 
.
O teorema foi provado.
Segunda fórmula.A área de um triângulo é igual à metade do produto de seus dois lados pelo seno do ângulo entre eles. Existem várias maneiras de provar esta fórmula e usarei uma delas.
Prova. Da geometria existe um teorema bem conhecido de que a área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura abaixada por esta base:
No caso de um triângulo agudo. No caso de um ângulo obtuso. Ho, e portanto 
. Então, em ambos os casos. Substituindo a área de um triângulo na fórmula geométrica, obtemos a fórmula trigonométrica da área de um triângulo:
O teorema foi provado.
Terceira fórmula para a área de um triângulo - fórmula de Heron, em homenagem ao antigo cientista grego Heron de Alexandria, que viveu no século I dC. Esta fórmula permite encontrar a área de um triângulo, conhecendo seus lados. É conveniente porque permite não fazer construções adicionais ou medir ângulos. Sua conclusão é baseada na segunda fórmula da área do triângulo que consideramos e no teorema do cosseno: e.
Antes de prosseguir com a implementação deste plano, observe que
Exatamente da mesma forma temos:
Agora vamos expressar o cosseno em termos de e:
Como qualquer ângulo em um triângulo é maior e menor, então. Significa, 
.
Agora transformamos separadamente cada um dos fatores na expressão radical. Nós temos:
Substituindo esta expressão na fórmula da área, obtemos:
O tema “Área de um triângulo” é de grande importância no curso de matemática escolar. Um triângulo é a mais simples das formas geométricas. É um “elemento estrutural” da geometria escolar. A grande maioria dos problemas geométricos se resume à resolução de triângulos. O problema de encontrar a área de um n-gon regular e arbitrário não é exceção.
Exemplo 2.4.1.
Qual é a área de um triângulo isósceles se sua base é , e seu lado é ?
Solução:
-isósceles,
Figura 2.4.4
Vamos usar as propriedades de um triângulo isósceles - mediana e altura. Então 
De acordo com o teorema de Pitágoras:
Encontrando a área do triângulo:
Responder:
Exemplo 2.4.2.
Em um triângulo retângulo, a bissetriz de um ângulo agudo divide o cateto oposto em segmentos de 4 e 5 cm de comprimento. Determine a área do triângulo.
Solução:
Deixe (Figura 2.4.5). Então (já que BD é uma bissetriz). A partir daqui temos 
, aquilo é. Significa,
Figura 2.4.5
Responder: 
Exemplo 2.4.3.
Encontre a área de um triângulo isósceles se sua base for igual a , e o comprimento da altura traçada até a base for igual ao comprimento do segmento que conecta os pontos médios da base e do lado.
Solução:
De acordo com a condição, – a linha média (Figura 2.4.6). Já que temos:
ou 
, daí, 
Ao resolver problemas neste tópico, exceto propriedades básicas paralelogramo e as fórmulas correspondentes, você pode lembrar e aplicar o seguinte:
- A bissetriz de um ângulo interno de um paralelogramo separa dele um triângulo isósceles
- As bissetrizes dos ângulos internos adjacentes a um dos lados de um paralelogramo são mutuamente perpendiculares
- As bissetrizes provenientes de cantos internos opostos de um paralelogramo são paralelas entre si ou estão na mesma linha reta
- A soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos seus lados
- A área de um paralelogramo é igual à metade do produto das diagonais pelo seno do ângulo entre elas
Consideremos problemas nos quais essas propriedades são utilizadas.
Tarefa 1.
A bissetriz do ângulo C do paralelogramo ABCD cruza o lado AD no ponto M e a continuação do lado AB além do ponto A no ponto E. Encontre o perímetro do paralelogramo se AE = 4, DM = 3.
Solução.
1. O triângulo CMD é isósceles. (Propriedade 1). Portanto, CD = MD = 3 cm.
2. O triângulo EAM é isósceles.
Portanto, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perímetro ABCD = 20 cm.
Responder. 20 cm.
Tarefa 2.
As diagonais são desenhadas em um quadrilátero convexo ABCD. Sabe-se que as áreas dos triângulos ABD, ACD, BCD são iguais. Prove que este quadrilátero é um paralelogramo.
Solução.
1. Seja BE a altura do triângulo ABD, CF a altura do triângulo ACD. Como, pelas condições do problema, as áreas dos triângulos são iguais e têm uma base comum AD, então as alturas desses triângulos são iguais. SER = CF.
2. BE, CF são perpendiculares a AD. Os pontos B e C estão localizados no mesmo lado em relação à linha reta AD. SER = CF. Portanto, a reta BC || DE ANÚNCIOS. (*)
3. Seja AL a altitude do triângulo ACD, BK a altitude do triângulo BCD. Como, de acordo com as condições do problema, as áreas dos triângulos são iguais e possuem uma base comum CD, então as alturas desses triângulos são iguais. AL = BK.
4. AL e BK são perpendiculares a CD. Os pontos B e A estão localizados no mesmo lado em relação à linha reta CD. AL = BK. Portanto, reta AB || CD (**)
5. Das condições (*), (**) segue-se que ABCD é um paralelogramo.
Responder. Comprovado. ABCD é um paralelogramo.
Tarefa 3.
Nos lados BC e CD do paralelogramo ABCD, são marcados os pontos M e H, respectivamente, de modo que os segmentos BM e HD se cruzam no ponto O;<ВМD = 95 о,
Solução.
1. No triângulo DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Num triângulo retângulo DHC Então<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Mas CD = AB. Então AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Resposta: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Tarefa 4. Uma das diagonais de um paralelogramo de comprimento 4√6 forma um ângulo de 60° com a base, e a segunda diagonal forma um ângulo de 45° com a mesma base. Encontre a segunda diagonal. Solução.
1. AO = 2√6. 2. Aplicamos o teorema do seno ao triângulo AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sen 45 o = OD/sen 60 o. ОD = (2√6sen 60 о) / sen 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Resposta: 12.
Tarefa 5. Para um paralelogramo com lados 5√2 e 7√2, o menor ângulo entre as diagonais é igual ao menor ângulo do paralelogramo. Encontre a soma dos comprimentos das diagonais. Solução.
Sejam d 1, d 2 as diagonais do paralelogramo, e o ângulo entre as diagonais e o ângulo menor do paralelogramo é igual a φ. 1. Vamos contar dois diferentes S ABCD = AB AD sen A = 5√2 7√2 sen f, S ABCD = 1/2 AC ВD sen AOB = 1/2 d 1 d 2 sen f. Obtemos a igualdade 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ou 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Usando a relação entre os lados e diagonais do paralelogramo, escrevemos a igualdade (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Vamos criar um sistema: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Vamos multiplicar a segunda equação do sistema por 2 e adicioná-la à primeira. Obtemos (d 1 + d 2) 2 = 576. Portanto, Id 1 + d 2 I = 24. Como d 1, d 2 são os comprimentos das diagonais do paralelogramo, então d 1 + d 2 = 24. Resposta: 24.
Tarefa 6. Os lados do paralelogramo são 4 e 6. O ângulo agudo entre as diagonais é de 45 graus. Encontre a área do paralelogramo. Solução.
1. A partir do triângulo AOB, usando o teorema do cosseno, escrevemos a relação entre o lado do paralelogramo e as diagonais. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Da mesma forma, escrevemos a relação para o triângulo AOD. Vamos levar em conta isso<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Obtemos a equação d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Temos um sistema Subtraindo a primeira da segunda equação, obtemos 2d 1 · d 2 √2 = 80 ou d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sen AOB = 1/2 d 1 d 2 sen α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Observação: Neste e no problema anterior não há necessidade de resolver o sistema completamente, antecipando que neste problema precisamos do produto das diagonais para calcular a área. Resposta: 10. Tarefa 7. A área do paralelogramo é 96 e seus lados são 8 e 15. Encontre o quadrado da diagonal menor. Solução.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Vamos fazer uma substituição na fórmula. Obtemos 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Portanto, pecado ÂAD = 4/5. 2. Vamos encontrar o cos VAD. sen 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25. De acordo com as condições do problema, encontramos o comprimento da diagonal menor. A diagonal ВD será menor se o ângulo ВАD for agudo. Então porque VAD = 3/5. 3. A partir do triângulo ABD, usando o teorema do cosseno, encontramos o quadrado da diagonal BD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3/5 = 145. Resposta: 145.
Ainda tem dúvidas? Não sabe como resolver um problema de geometria? site, ao copiar o material total ou parcialmente, é necessário um link para a fonte. Antes de aprendermos como determinar a área de um paralelogramo, precisamos lembrar o que é um paralelogramo e como é chamada sua altura. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos aos pares (ficam em linhas paralelas). Uma perpendicular traçada de um ponto arbitrário no lado oposto a uma linha que contém esse lado é chamada de altura de um paralelogramo. Quadrado, retângulo e losango são casos especiais de paralelogramo. A área de um paralelogramo é denotada como (S). S=a*h, onde a é a base, h é a altura desenhada até a base. S=a*b*sinα, onde aeb são as bases e α é o ângulo entre as bases a e b. S =p*r, onde p é o semiperímetro, r é o raio do círculo inscrito no paralelogramo. A área do paralelogramo, que é formada pelos vetores a e b, é igual ao módulo do produto dos vetores dados, a saber: Consideremos o exemplo nº 1: Dado um paralelogramo com lado de 7 cm e altura de 3 cm. Para encontrar a área de um paralelogramo, precisamos de uma fórmula para a solução. Assim S = 7x3. S=21. Resposta: 21cm2. Considere o exemplo nº 2: dadas as bases têm 6 e 7 cm, e também dado um ângulo entre as bases de 60 graus. Como encontrar a área de um paralelogramo? Fórmula usada para resolver: Assim, primeiro encontramos o seno do ângulo. Seno 60 = 0,5, respectivamente S = 6*7*0,5=21 Resposta: 21 cm 2. Espero que esses exemplos ajudem você a resolver problemas. E lembre-se, o principal é o conhecimento das fórmulas e a atenção O que é um paralelogramo? Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos aos pares. 1. A área de um paralelogramo é calculada pela fórmula: \[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\] Onde: 2. Se os comprimentos de dois lados adjacentes de um paralelogramo e o ângulo entre eles forem conhecidos, a área do paralelogramo será calculada pela fórmula: \[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \] 3. Se as diagonais de um paralelogramo forem fornecidas e o ângulo entre elas for conhecido, então a área do paralelogramo é calculada pela fórmula: \[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \] Em um paralelogramo, os lados opostos são iguais: \(AB = CD\), \(BC = AD\) Em um paralelogramo, os ângulos opostos são iguais: \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\) As diagonais de um paralelogramo no ponto de intersecção são divididas ao meio \(AO = OC\) , \(BO = OD\) A diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos iguais. A soma dos ângulos de um paralelogramo adjacente a um lado é 180 o: \(\ângulo A + \ângulo B = 180^(o)\), \(\ângulo B + \ângulo C = 180^(o)\) \(\ângulo C + \ângulo D = 180^(o)\), \(\ângulo D + \ângulo A = 180^(o)\) As diagonais e os lados de um paralelogramo estão relacionados pela seguinte relação: \(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \) Em um paralelogramo, o ângulo entre as alturas é igual ao seu ângulo agudo: \(\angle K B H =\angle A\) . As bissetrizes dos ângulos adjacentes a um lado de um paralelogramo são mutuamente perpendiculares. As bissetoras de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas. Um quadrilátero será um paralelogramo se: \(AB = CD\) e \(AB || CD\) \(AB = CD\) e \(BC = AD\) \(AO = OC\) e \(BO = OD\) \(\ângulo A = \ângulo C\) e \(\ângulo B = \ângulo D\) Fórmula para a área de um paralelogramo A área de um paralelogramo é igual ao produto do seu lado pela altura desse lado. Prova Se o paralelogramo for um retângulo, então a igualdade é satisfeita pelo teorema da área de um retângulo. A seguir, assumimos que os ângulos do paralelogramo não são corretos. Seja $\angle BAD$ um ângulo agudo no paralelogramo $ABCD$ e $AD > AB$. Caso contrário, renomearemos os vértices. Então a altura $BH$ do vértice $B$ até a linha $AD$ cai no lado $AD$, já que a perna $AH$ é mais curta que a hipotenusa $AB$, e $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны. Vamos comparar a área do paralelogramo $ABCD$ e a área do retângulo $HBCK$. A área de um paralelogramo é maior pela área $\triangle ABH$, mas menor pela área $\triangle DCK$. Como esses triângulos são iguais, suas áreas são iguais. Isso significa que a área de um paralelogramo é igual à área de um retângulo com lados comprimento a lado e a altura do paralelogramo. Fórmula para a área de um paralelogramo usando lados e seno A área de um paralelogramo é igual ao produto dos lados adjacentes pelo seno do ângulo entre eles. Prova A altura do paralelogramo $ABCD$ colocado no lado $AB$ é igual ao produto do segmento $BC$ e o seno do ângulo $\angle ABC$. Resta aplicar a afirmação anterior. Fórmula para a área de um paralelogramo usando diagonais A área de um paralelogramo é igual à metade do produto das diagonais pelo seno do ângulo entre elas. Prova Deixe as diagonais do paralelogramo $ABCD$ se cruzarem no ponto $O$ formando um ângulo $\alpha$. Então $AO=OC$ e $BO=OD$ pela propriedade do paralelogramo. Os senos dos ângulos que somam $180^\circ$ são iguais, $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Isso significa que os senos dos ângulos na intersecção das diagonais são iguais a $\sin \alpha$. $S_(ABCD)=S_(\triângulo AOB) + S_(\triângulo BOC) + S_(\triângulo COD) + S_(\triângulo AOD)$ de acordo com o axioma da medição de área. Aplicamos a fórmula da área do triângulo $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ para esses triângulos e ângulos quando as diagonais se cruzam. Os lados de cada um são iguais à metade das diagonais e os senos também são iguais. Portanto, as áreas de todos os quatro triângulos são iguais a $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Resumindo tudo o que foi dito acima, obtemos $S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$
(
(Já que em um triângulo retângulo o cateto oposto ao ângulo de 30° é igual à metade da hipotenusa).
maneira sua área.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
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Fórmulas para encontrar a área de um paralelogramo
a é o lado do paralelogramo,
h a – altura desenhada para este lado.Propriedades de um paralelogramo
Sinais de um paralelogramo
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