§13. Teorema de Steiner sobre o momento de inércia em torno de um eixo arbitrário

Corpos eu por quadrado de distância d entre eixos:

J = J c + m d 2 , (\estilo de exibição J=J_(c)+md^(2),)

Onde eu- peso corporal total.

Por exemplo, o momento de inércia de uma haste em relação a um eixo que passa por sua extremidade é igual a:

J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\esquerda((\frac (l)(2))\direita)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Momentos axiais de inércia de alguns corpos

Momentos de inércia corpos homogêneos da forma mais simples em relação a certos eixos de rotação

Descrição	Posição do eixo a	Momento de inércia Ja
Massa pontual material eu	À distância R de um ponto, estacionário
Cilindro oco de parede fina ou anel de raio R e massas eu	Eixo do cilindro	m r 2 (\ displaystyle mr ^ (2))
Cilindro sólido ou disco radial R e massas eu	Eixo do cilindro	1 2m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2))
Cilindro de massa oco de parede espessa eu com raio externo R 2 e raio interno R 1	Eixo do cilindro	m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2)))
Comprimento do cilindro sólido eu, raio R e massas eu		1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
Comprimento do cilindro oco de parede fina (anel) eu, raio R e massas eu	O eixo é perpendicular ao cilindro e passa pelo seu centro de massa	1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
Haste reta e fina eu e massas eu	O eixo é perpendicular à barra e passa pelo seu centro de massa	1 12m eu 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2))
Haste reta e fina eu e massas eu	O eixo é perpendicular à haste e passa por sua extremidade	1 3m eu 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2))
Esfera de raio de paredes finas R e massas eu	O eixo passa pelo centro da esfera	2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2))
Bola de raio R e massas eu	O eixo passa pelo centro da bola	2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2))
Cone de raio R e massas eu	Eixo cônico	3 10m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2))
Triângulo isósceles com altitude h, base a e massa eu	O eixo é perpendicular ao plano do triângulo e passa pelo vértice	1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2)))
Triângulo regular com lado a e massa eu	O eixo é perpendicular ao plano do triângulo e passa pelo centro de massa	1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2))
Quadrado com lado a e massa eu	O eixo é perpendicular ao plano do quadrado e passa pelo centro de massa	1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2))
Retângulo com lados a E b e massa eu	O eixo é perpendicular ao plano do retângulo e passa pelo centro de massa	1 12m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2)))
N-gon regular de raio R e massa eu	O eixo é perpendicular ao plano e passa pelo centro de massa	m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\esquerda)
Toro (oco) com raio do círculo guia R, raio do círculo gerador R e massa eu	O eixo é perpendicular ao plano do círculo guia do toro e passa pelo centro de massa	Eu = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\esquerda((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\direita))

Derivando fórmulas

Cilindro de parede fina (anel, aro)

Derivação da fórmula

O momento de inércia de um corpo é igual à soma dos momentos de inércia de suas partes constituintes. Vamos dividir um cilindro de parede fina em elementos com massa DM e momentos de inércia DJ eu. Então

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m . (1) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

Como todos os elementos de um cilindro de parede fina estão à mesma distância do eixo de rotação, a fórmula (1) é transformada na forma

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\soma R^(2)dm=R^(2)\soma dm=mR^(2).)

Cilindro de parede espessa (anel, aro)

Derivação da fórmula

Seja um anel homogêneo com um raio externo R, raio interno R 1, grosso h e densidade ρ. Vamos quebrá-lo em anéis finos e grossos Dr.. Massa e momento de inércia de um anel de raio fino R vai ser

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)

Vamos encontrar o momento de inércia do anel grosso como integral

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2 )-R_(1)^(2)\direita)\esquerda(R^(2)+R_(1)^(2)\direita).)

Como o volume e a massa do anel são iguais

V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h,)

obtemos a fórmula final para o momento de inércia do anel

J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\esquerda(R^(2)+R_(1)^(2)\direita).)

Disco homogêneo (cilindro sólido)

Derivação da fórmula

Considerando um cilindro (disco) como um anel com raio interno zero ( R 1 = 0 ), obtemos a fórmula do momento de inércia do cilindro (disco):

J = 1 2 m R 2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

Cone sólido

Derivação da fórmula

Vamos quebrar o cone em discos finos com espessura dh, perpendicular ao eixo do cone. O raio de tal disco é igual a

r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)

Onde R– raio da base do cone, H– altura do cone, h– distância do topo do cone ao disco. A massa e o momento de inércia desse disco serão

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)

Integrando, obtemos

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \direita)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\direita)^(4)\esquerda.(\frac (h^(5))(5))\direita|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\right)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(alinhado)))

Bola sólida homogênea

Derivação da fórmula

Vamos quebrar a bola em discos finos de espessura dh, perpendicular ao eixo de rotação. O raio de tal disco localizado a uma altura h do centro da esfera, encontramos usando a fórmula

r = R 2 − h 2 . (\estilo de exibição r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)

A massa e o momento de inércia desse disco serão

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 - h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 - 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\direita)dh.)

Encontramos o momento de inércia da bola por integração:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\esquerda(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\direita)dh=\\&=\pi \rho \esquerda.\esquerda(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\direita)\direita|_(0)^( R)=\pi \rho \esquerda(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\direita) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(aligned)))

Esfera de paredes finas

Derivação da fórmula

Para deduzir isso, usamos a fórmula do momento de inércia de uma bola homogênea de raio R :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)

Vamos calcular quanto mudará o momento de inércia da bola se, a uma densidade constante ρ, seu raio aumentar em uma quantidade infinitesimal dR .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 mR2. (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\direita)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\fim(alinhado)))

Haste fina (o eixo passa pelo centro)

Derivação da fórmula

Vamos quebrar a haste em pequenos fragmentos de comprimento Dr.. A massa e o momento de inércia de tal fragmento são iguais a

d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)

Integrando, obtemos

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\esquerda.(\frac (r^(3))(3))\direita|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)

Haste fina (o eixo passa pela extremidade)

Derivação da fórmula

Quando o eixo de rotação se move do meio da haste até sua extremidade, o centro de gravidade da haste se move em relação ao eixo por uma distância eu ⁄ 2. De acordo com o teorema de Steiner, o novo momento de inércia será igual a

J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\esquerda((\frac (l)(2))\direita)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)

Momentos adimensionais de inércia de planetas e satélites

Seus momentos de inércia adimensionais são de grande importância para estudos da estrutura interna dos planetas e seus satélites. Momento de inércia adimensional de um corpo de raio R e massas eué igual à razão entre seu momento de inércia em relação ao eixo de rotação e o momento de inércia de um ponto material da mesma massa em relação a um eixo fixo de rotação localizado a uma distância R(igual a senhor 2). Este valor reflete a distribuição da massa ao longo da profundidade. Um dos métodos para medi-lo próximo a planetas e satélites é determinar o deslocamento Doppler do sinal de rádio transmitido por um AMS voando próximo a um determinado planeta ou satélite. Para uma esfera de parede fina, o momento de inércia adimensional é igual a 2/3 (~0,67), para uma bola homogênea - 0,4 e, em geral, quanto menor, maior a massa do corpo está concentrada em seu centro. Por exemplo, a Lua tem um momento de inércia adimensional próximo de 0,4 (igual a 0,391), portanto supõe-se que ela seja relativamente homogênea, sua densidade muda pouco com a profundidade. O momento de inércia adimensional da Terra é menor que o de uma bola homogênea (igual a 0,335), o que é um argumento a favor da existência de um núcleo denso.

Momento centrífugo de inércia

Os momentos centrífugos de inércia de um corpo em relação aos eixos de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares são as seguintes quantidades:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J e z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)

Onde x , sim E z- coordenadas de um pequeno elemento de corpo com volume dV, densidade ρ e massa DM .

O eixo OX é chamado eixo principal de inércia do corpo, se os momentos centrífugos de inércia J-xy E Jxz são simultaneamente iguais a zero. Três eixos principais de inércia podem ser traçados através de cada ponto do corpo. Esses eixos são mutuamente perpendiculares entre si. Momentos de inércia do corpo em relação aos três eixos principais de inércia desenhados em um ponto arbitrário Ó os corpos são chamados principais momentos de inércia deste corpo.

Os principais eixos de inércia que passam pelo centro de massa do corpo são chamados principais eixos centrais de inércia do corpo, e os momentos de inércia em torno desses eixos são seus principais momentos centrais de inércia. O eixo de simetria de um corpo homogêneo é sempre um dos seus principais eixos centrais de inércia.

Momentos geométricos de inércia

Momento geométrico de inércia do volume

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

onde, como antes R- distância do elemento dV para o eixo a .

Momento geométrico de inércia da área em relação ao eixo - uma característica geométrica do corpo, expressa pela fórmula:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

onde a integração é realizada sobre a superfície S, A dS- elemento desta superfície.

Dimensão JSa- comprimento elevado à quarta potência ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), respectivamente, a unidade de medida do SI é 4. Em cálculos de construção, literatura e sortimentos de laminados, é frequentemente indicado em cm 4.

O momento de resistência da seção é expresso através do momento geométrico de inércia da área:

W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)

Aqui r máx.- distância máxima da superfície ao eixo.

Momentos geométricos de inércia da área de algumas figuras
Altura do retângulo h (\estilo de exibição h) e largura b (\estilo de exibição b):	J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12))) J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
Seção de caixa retangular com altura e largura ao longo dos contornos externos H (\estilo de exibição H) E B (\estilo de exibição B), e para interno h (\estilo de exibição h) E b (\estilo de exibição b) respectivamente	J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3))) J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
Diâmetro do círculo d (\estilo de exibição d)	J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

Momento de inércia em relação ao plano

O momento de inércia de um corpo rígido em relação a um determinado plano é uma grandeza escalar igual à soma dos produtos da massa de cada ponto do corpo pelo quadrado da distância deste ponto ao plano em questão.

Se através de um ponto arbitrário O (\estilo de exibição O) desenhar eixos coordenados x , y , z (\estilo de exibição x,y,z), então os momentos de inércia em relação aos planos coordenados x O y (\estilo de exibição xOy), y O z (\ displaystyle yOz) E z O x (\ displaystyle zOx) será expresso pelas fórmulas:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ eu = 1 n m eu y eu 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)

No caso de um corpo sólido, a soma é substituída pela integração.

Momento central de inércia

Momento central de inércia (momento de inércia em relação ao ponto O, momento de inércia em torno do pólo, momento de inércia polar) J O (\ displaystyle J_ (O))é a quantidade determinada pela expressão:

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)

O momento central de inércia pode ser expresso em termos dos principais momentos axiais de inércia, bem como em termos dos momentos de inércia em relação aos planos:

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \certo),) J O = J x O y + J y O z + J x O z . (\estilo de exibição J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

Tensor de inércia e elipsóide de inércia

O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo arbitrário que passa pelo centro de massa e tem uma direção especificada pelo vetor unitário s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\right\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\direita\vert =1), pode ser representado como uma forma quadrática (bilinear):

Eu s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)

onde está o tensor de inércia. A matriz do tensor de inércia é simétrica e possui dimensões 3 × 3 (\estilo de exibição 3\vezes 3) e consiste em componentes de momentos centrífugos:

J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(array )(ccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\end(array))\right\Vert ,) J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , (\displaystyle J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz),\quad )J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m , J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m , J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m . (\displaystyle J_(xx)=\int \limits _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \limits _((m)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \limits _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

Ao escolher o sistema de coordenadas apropriado, a matriz do tensor de inércia pode ser reduzida à forma diagonal. Para fazer isso, você precisa resolver o problema de autovalor para a matriz tensorial J ^ (\ displaystyle (\ chapéu (J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=(\hat (Q))^(T)\cdot (\hat (J))\ cdot (\ chapéu (Q)),) J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=\left\Vert (\begin(array)(ccc)J_(X)&0&0\ \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\end(array))\right\Vert ,)

Onde Q ^ (\ displaystyle (\ chapéu (Q)))- matriz ortogonal de transição para a própria base do tensor de inércia. Na base adequada, os eixos coordenados são direcionados ao longo dos eixos principais do tensor de inércia e também coincidem com os semieixos principais do elipsóide do tensor de inércia. Quantidades J X , J Y , J Z (\estilo de exibição J_(X),J_(Y),J_(Z))- principais momentos de inércia. A expressão (1) em seu próprio sistema de coordenadas tem a forma:

I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , (\displaystyle I_(s)=J_(X)\cdot s_(x)^(2)+J_(Y)\cdot s_(y )^(2)+J_(Z)\cponto s_(z)^(2),)

a partir do qual obtemos a equação do elipsóide em suas próprias coordenadas. Dividindo ambos os lados da equação por Eu sou (\estilo de exibição I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 (\displaystyle \left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s)) ))\direita)^(2)\cdot J_(X)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Y) +\left((s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Z)=1)

e fazendo substituições:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)

obtemos a forma canônica da equação do elipsóide em coordenadas ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cponto J_(Z)=1.)

A distância do centro do elipsóide a um determinado ponto está relacionada ao valor do momento de inércia do corpo ao longo de uma linha reta que passa pelo centro do elipsóide e por este ponto.

Que haja um corpo sólido. Vamos escolher alguma reta OO (Fig. 6.1), que chamaremos de eixo (a reta OO pode estar fora do corpo). Vamos dividir o corpo em seções elementares (pontos materiais) com massas
localizado a uma distância do eixo
respectivamente.

O momento de inércia de um ponto material em relação a um eixo (OO) é o produto da massa de um ponto material pelo quadrado de sua distância a este eixo:

. (6.1)

O momento de inércia (MI) de um corpo em relação a um eixo (OO) é a soma dos produtos das massas das seções elementares do corpo pelo quadrado de sua distância ao eixo:

. (6.2)

Como você pode ver, o momento de inércia de um corpo é uma quantidade aditiva - o momento de inércia de todo o corpo em relação a um determinado eixo é igual à soma dos momentos de inércia de suas partes individuais em relação ao mesmo eixo.

Nesse caso

O momento de inércia é medido em kgm 2. Porque

, (6.3)

onde  – densidade da substância,
- volume eu- a seção, então

ou, passando para elementos infinitesimais,

. (6.4)

A fórmula (6.4) é conveniente para calcular o MI de corpos homogêneos de forma regular em relação ao eixo de simetria que passa pelo centro de massa do corpo. Por exemplo, para o MI de um cilindro em relação a um eixo que passa pelo centro de massa paralelo à geratriz, esta fórmula dá

Onde T- peso; R- raio do cilindro.

O teorema de Steiner fornece grande ajuda no cálculo do MI de corpos em relação a determinados eixos: MI de corpos EU em relação a qualquer eixo é igual à soma do MI deste corpo EU c em relação a um eixo que passa pelo centro de massa do corpo e paralelo a este, e o produto da massa do corpo pelo quadrado da distância d entre os eixos indicados:

. (6.5)

Momento de força em torno do eixo

Deixe a força agir sobre o corpo F. Suponhamos, por simplicidade, que a força F encontra-se em um plano perpendicular a alguma linha reta OO (Fig. 6.2, A), que chamaremos de eixo (por exemplo, este é o eixo de rotação do corpo). Na Fig. 6.2, A A- ponto de aplicação da força F,
- o ponto de intersecção do eixo com o plano em que se encontra a força; R- vetor de raio que define a posição do ponto A em relação ao ponto SOBRE"; Ó"B = b - ombro de força. O braço de força em relação ao eixo é a menor distância do eixo à linha reta na qual o vetor de força se encontra F(o comprimento da perpendicular traçada a partir do ponto para esta linha).

O momento de força em relação ao eixo é uma grandeza vetorial definida pela igualdade

. (6.6)

O módulo deste vetor é. Às vezes, portanto, dizem que o momento de uma força em relação a um eixo é o produto da força e do seu braço.

Se força Fé direcionado arbitrariamente, então pode ser decomposto em dois componentes; E (Fig.6.2, b), ou seja
+, Onde - componente direcionado paralelamente ao eixo OO, e está em um plano perpendicular ao eixo. Neste caso, sob o momento de força F em relação ao eixo OO entenda o vetor

. (6.7)

De acordo com as expressões (6.6) e (6.7), o vetor M direcionado ao longo do eixo (ver Fig. 6.2, A,b).

Momento de um corpo em relação ao eixo de rotação

P Deixe o corpo girar em torno de um certo eixo OO com velocidade angular
. Vamos dividir mentalmente este corpo em seções elementares com massas
, que estão localizados a partir do eixo, respectivamente, a distâncias
e girar em círculos, tendo velocidades lineares
Sabe-se que o valor é igual
- há um impulso eu-trama. momento de impulso eu-seção (ponto material) em relação ao eixo de rotação é chamada de vetor (mais precisamente, pseudovetor)

, (6.8)

Onde R eu– vetor de raio definindo a posição eu- área relativa ao eixo.

O momento angular de todo o corpo em relação ao eixo de rotação é chamado de vetor

(6.9)

cujo módulo
.

De acordo com as expressões (6.8) e (6.9), os vetores
E direcionado ao longo do eixo de rotação (Fig. 6.3). É fácil mostrar que o momento angular de um corpo eu em relação ao eixo de rotação e momento de inércia EU deste corpo em relação ao mesmo eixo estão relacionados pela relação

. (6.10)

O momento de inércia de um corpo (sistema) em relação a um determinado eixo Oz (ou momento de inércia axial) é uma grandeza escalar que difere da soma dos produtos das massas de todos os pontos do corpo (sistema) pelo quadrados de suas distâncias deste eixo:

Da definição segue-se que o momento de inércia de um corpo (ou sistema) em relação a qualquer eixo é uma quantidade positiva e diferente de zero.

No futuro, será mostrado que o momento de inércia axial desempenha o mesmo papel durante o movimento rotacional de um corpo que a massa desempenha durante o movimento translacional, ou seja, que o momento de inércia axial é uma medida da inércia de um corpo durante a rotação. movimento.

Segundo a fórmula (2), o momento de inércia de um corpo é igual à soma dos momentos de inércia de todas as suas partes em relação ao mesmo eixo. Para um ponto material localizado a uma distância h do eixo, . A unidade de medida do momento de inércia no SI será 1 kg (no sistema MKGSS -).

Para calcular os momentos axiais de inércia, as distâncias dos pontos aos eixos podem ser expressas através das coordenadas desses pontos (por exemplo, será o quadrado da distância do eixo do Boi, etc.).

Então os momentos de inércia em relação aos eixos serão determinados pelas fórmulas:

Freqüentemente, durante os cálculos, o conceito de raio de giração é usado. O raio de inércia de um corpo em relação a um eixo é uma quantidade linear determinada pela igualdade

onde M é a massa corporal. Da definição segue-se que o raio de inércia é geometricamente igual à distância do eixo do ponto no qual a massa de todo o corpo deve ser concentrada para que o momento de inércia deste ponto seja igual ao momento de inércia de todo o corpo.

Conhecendo o raio de inércia, pode-se usar a fórmula (4) para encontrar o momento de inércia do corpo e vice-versa.

As fórmulas (2) e (3) são válidas tanto para um corpo rígido quanto para qualquer sistema de pontos materiais. No caso de um corpo sólido, dividindo-o em partes elementares, descobrimos que no limite a soma na igualdade (2) se transformará em integral. Como resultado, levando em consideração que onde está a densidade e V é o volume, obtemos

A integral aqui se estende a todo o volume V do corpo, e a densidade e a distância h dependem das coordenadas dos pontos do corpo. Da mesma forma, as fórmulas (3) para corpos sólidos assumem a forma

As fórmulas (5) e (5) são convenientes para usar no cálculo dos momentos de inércia de corpos homogêneos de forma regular. Neste caso, a densidade será constante e ficará fora do sinal integral.

Encontremos os momentos de inércia de alguns corpos homogêneos.

1. Uma barra fina e homogênea de comprimento le massa M. Calculemos seu momento de inércia em relação ao eixo perpendicular à barra e passando por sua extremidade A (Fig. 275). Vamos direcionar o eixo de coordenadas ao longo de AB. Então, para qualquer segmento elementar de comprimento d, o valor é , e a massa é , onde é a massa de uma unidade de comprimento da haste. Como resultado, a fórmula (5) dá

Substituindo aqui pelo seu valor, finalmente encontramos

2. Um anel fino, redondo e homogêneo de raio R e massa M. Vamos encontrar seu momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano do anel e passando por seu centro C (Fig. 276).

Como todos os pontos do anel estão localizados distantes do eixo, a fórmula (2) dá

Portanto, para o anel

Obviamente, o mesmo resultado será obtido para o momento de inércia de uma fina casca cilíndrica de massa M e raio R em relação ao seu eixo.

3. Uma placa ou cilindro redondo homogêneo de raio R e massa M. Calculemos o momento de inércia da placa redonda em relação ao eixo perpendicular à placa e passando pelo seu centro (ver Fig. 276). Para isso, selecionamos um anel elementar com raio e largura (Fig. 277, a). A área deste anel é , e a massa é onde está a massa por unidade de área da placa. Então, de acordo com a fórmula (7), para o anel elementar selecionado haverá e para toda a placa

Conforme observado acima, figuras planas simples incluem três figuras: um retângulo, um triângulo e um círculo. Estas figuras são consideradas simples porque a posição do centro de gravidade destas figuras é conhecida antecipadamente. Todas as outras figuras podem ser compostas por estas figuras simples e são consideradas complexas. Calculemos os momentos axiais de inércia de figuras simples em relação aos seus eixos centrais.

1. Retângulo. Consideremos a seção transversal de um perfil retangular com dimensões (Fig. 4.6). Vamos selecionar um elemento de seção com duas seções infinitamente próximas a uma distância do eixo central
.

Vamos calcular o momento de inércia de uma seção retangular em relação ao eixo:

. (4.10)

Momento de inércia de uma seção retangular em torno do eixo
encontraremos de forma semelhante. A conclusão não é dada aqui.

. (4.11)

E
é igual a zero, pois os eixos
E
são eixos de simetria e, portanto, eixos principais.

2. Triângulo isósceles. Consideremos uma seção de um perfil triangular com dimensões
(Fig.4.7). Vamos selecionar um elemento de seção com duas seções infinitamente próximas a uma distância do eixo central
. O centro de gravidade do triângulo está a uma distância
da base. O triângulo é considerado isósceles, então o eixo
seção é o eixo de simetria.

Vamos calcular o momento de inércia da seção em relação ao eixo
:

. (4.12)

Tamanho determinamos a partir da semelhança de triângulos:

; onde
.

Substituindo expressões por em (4.12) e integrando, obtemos:

. (4.13)

Momento de inércia para um triângulo isósceles em torno do eixo
é encontrado de maneira semelhante e é igual a:

(4.14)

Momento centrífugo de inércia em torno dos eixos
E
é igual a zero, pois o eixo
é o eixo de simetria da seção.

3. Círculo. Considere a seção transversal de um perfil circular com diâmetro (Fig.4.8). Vamos destacar o elemento de seção com dois círculos concêntricos infinitamente próximos localizados a uma distância do centro de gravidade do círculo .

Vamos calcular o momento polar de inércia do círculo usando a expressão (4.5):

. (4.15)

Usando a condição de invariância para a soma dos momentos axiais de inércia em torno de dois eixos perpendiculares entre si (4.6) e levando em consideração que para um círculo, devido à simetria
, determinamos o valor dos momentos axiais de inércia:

. (4.16)

. (4.17)

Momento centrífugo de inércia em torno dos eixos E é igual a zero, pois os eixos
E
são os eixos de simetria da seção.

4.4. Dependências entre momentos de inércia em relação a eixos paralelos

Ao calcular os momentos de inércia para figuras complexas, uma regra deve ser lembrada: os valores dos momentos de inércia podem ser somados, se eles são calculados em relação ao mesmo eixo. Para figuras complexas, na maioria das vezes os centros de gravidade de figuras simples individuais e da figura inteira não coincidem. Conseqüentemente, os eixos centrais das figuras simples individuais e da figura inteira não coincidem. Nesse sentido, existem técnicas para trazer momentos de inércia para um eixo, por exemplo, o eixo central de toda a figura. Isto pode ser devido à translação paralela dos eixos de inércia e cálculos adicionais.

Consideremos a determinação dos momentos de inércia em relação aos eixos de inércia paralelos mostrados na Fig.

Sejam os momentos de inércia axial e centrífugo mostrados na Fig. números relativos a eixos escolhidos arbitrariamente
E
com a origem no ponto conhecido. É necessário calcular os momentos de inércia axiais e centrífugos de uma figura em relação a eixos paralelos arbitrários
E
com a origem no ponto . Eixos
E
realizado a distâncias E respectivamente dos eixos
E
.

Utilizemos as expressões para os momentos de inércia axiais (4.4) e para o momento de inércia centrífuga (4.7). Vamos substituir essas expressões em vez das coordenadas atuais
E
elemento com área de coordenadas infinitesimal
E
no novo sistema de coordenadas. Nós temos:

Analisando as expressões obtidas, chegamos à conclusão que no cálculo dos momentos de inércia relativos aos eixos paralelos, devem ser adicionados aditivos na forma de termos adicionais aos momentos de inércia calculados em relação aos eixos de inércia originais, que podem ser muito maiores do que os valores dos momentos de inércia em relação aos eixos originais. Portanto, estes termos adicionais não devem, em circunstância alguma, ser negligenciados.

O caso considerado é o caso mais geral de transferência paralela de eixos, quando eixos de inércia arbitrários foram tomados como iniciais. Na maioria dos cálculos existem casos especiais de determinação de momentos de inércia.

Primeiro caso especial. Os eixos de origem são os eixos centrais de inércia da figura. Então, usando a propriedade principal para o momento estático da área, podemos excluir das equações (4.18)–(4.20) os termos das equações que incluem o momento estático da área da figura. Como resultado obtemos:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

Aqui estão os eixos
E
-eixos centrais de inércia.

Segundo caso especial. Os eixos de referência são os principais eixos de inércia. Então, levando em consideração que em relação aos eixos principais de inércia o momento centrífugo de inércia é igual a zero, obtemos:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

Aqui estão os eixos
E
eixos principais de inércia.

Vamos usar as expressões obtidas e considerar vários exemplos de cálculo de momentos de inércia para figuras planas.

Exemplo 4.2. Determine os momentos axiais de inércia da figura mostrada na Fig. 4.10, relativo aos eixos centrais E .

No exemplo anterior 4.1, para a figura mostrada na Fig. 4.10, foi determinada a posição do centro de gravidade C. A coordenada do centro de gravidade foi traçada a partir do eixo e compilado
. Vamos calcular as distâncias E entre eixos E e eixos E . Essas distâncias foram respectivamente
E
. Como os eixos originais E são os eixos centrais para figuras simples em forma de retângulos, para determinar o momento de inércia da figura em relação ao eixo Utilizemos as conclusões para o primeiro caso particular, em particular, a fórmula (4.21).

Momento de inércia em torno do eixo obtemos somando os momentos de inércia de figuras simples em relação ao mesmo eixo, já que o eixo é o eixo central comum para figuras simples e para toda a figura.

centímetros 4.

Momento centrífugo de inércia em torno dos eixos E é igual a zero, pois o eixo de inércia é o eixo principal (eixo de simetria da figura).

Exemplo 4.3. Qual é o tamanho? b(em cm) a figura mostrada na Fig. 4.11, se o momento de inércia da figura em relação ao eixo igual a 1000cm4?

Vamos expressar o momento de inércia em torno do eixo através de um tamanho de seção desconhecido , utilizando a fórmula (4.21), levando em consideração que a distância entre os eixos E equivale a 7cm:

centímetros 4. (A)

Resolvendo a expressão (a) em relação ao tamanho da seção , Nós temos:

cm.

Exemplo 4.4. Qual das figuras mostradas na Fig. 4.12 tem maior momento de inércia em relação ao eixo se ambas as figuras tiverem a mesma área
cm2?

1. Expressemos as áreas das figuras em termos de seus tamanhos e determinemos:

a) diâmetro da seção para uma seção redonda:

cm2; Onde
cm.

b) tamanho do lado quadrado:

; Onde
cm.

2. Calcule o momento de inércia para uma seção circular:

centímetros 4.

3. Calcule o momento de inércia para uma seção quadrada:

centímetros 4.

Comparando os resultados obtidos, chegamos à conclusão que uma seção quadrada terá o maior momento de inércia em comparação com uma seção circular com a mesma área.

Exemplo 4.5. Determine o momento polar de inércia (em cm 4) de uma seção retangular em relação ao seu centro de gravidade, se a largura da seção
cm, altura da seção
cm.

1. Encontre os momentos de inércia da seção em relação à horizontal e verticais eixos centrais de inércia:

cm4;
centímetros 4.

2. Determinamos o momento polar de inércia da seção como a soma dos momentos de inércia axiais:

centímetros 4.

Exemplo 4.6. Determine o momento de inércia da figura triangular mostrada na Fig. 4.13, em relação ao eixo central , se o momento de inércia da figura em relação ao eixo igual a 2400cm4.

Momento de inércia de uma seção triangular em relação ao eixo de inércia principal será menor comparado ao momento de inércia em torno do eixo pela quantia
. Portanto, quando
cm momento de inércia da seção em relação ao eixo encontramos da seguinte maneira.

DEFINIÇÃO

A medida da inércia de um corpo em rotação é momento de inércia(J) em relação ao eixo em torno do qual ocorre a rotação.

Esta é uma grandeza física escalar (em geral, tensorial), que é igual ao produto das massas dos pontos materiais () nos quais o corpo em questão deve ser dividido em quadrados de distâncias () deles ao eixo de rotação:

onde r é função da posição de um ponto material no espaço; - densidade corporal; - volume de um elemento do corpo.

Para um corpo homogêneo, a expressão (2) pode ser representada como:

O momento de inércia no sistema internacional de unidades é medido em:

A quantidade J está incluída nas leis básicas com as quais a rotação de um corpo rígido é descrita.

No caso geral, a magnitude do momento de inércia depende da direção do eixo de rotação, e como durante o movimento o vetor costuma mudar de direção em relação ao corpo, o momento de inércia deve ser considerado em função do tempo. Uma exceção é o momento de inércia de um corpo girando em torno de um eixo fixo. Neste caso, o momento de inércia permanece constante.

Teorema de Steiner

O teorema de Steiner permite calcular o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo de rotação arbitrário quando o momento de inércia do corpo em questão é conhecido em relação ao eixo que passa pelo centro de massa deste corpo e esses eixos são paralelo. Na forma matemática, o teorema de Steiner é representado como:

onde é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação que passa pelo centro de massa do corpo; m é a massa do corpo em questão; a é a distância entre os eixos. Lembre-se de que os eixos devem ser paralelos. Da expressão (4) segue-se que:

Algumas expressões para calcular os momentos de inércia de um corpo

Ao girar em torno de um eixo, um ponto material tem um momento de inércia igual a:

onde m é a massa do ponto; r é a distância do ponto ao eixo de rotação.

Para uma barra fina homogênea de massa m e comprimento eu J em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa (o eixo é perpendicular à barra) é igual a:

Um anel fino com uma massa girando em torno de um eixo que passa pelo seu centro, perpendicular ao plano do anel, então o momento de inércia é calculado como:

onde R é o raio do anel.

Um disco redondo homogêneo de raio R e massa m tem J em relação ao eixo que passa pelo seu centro e perpendicular ao plano do disco, igual a:

Para uma bola homogênea

onde m é a massa da bola; R é o raio da bola. A bola gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro.

Se os eixos de rotação são os eixos de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares, então para um corpo contínuo os momentos de inércia podem ser calculados como:

onde estão as coordenadas de um elemento infinitesimal do corpo.

Exemplos de resolução de problemas

EXEMPLO 1

Exercício

Duas bolas, que podem ser consideradas bolas pontiagudas, são mantidas juntas por uma haste fina e leve. Comprimento da haste l. Qual é o momento de inércia deste sistema, em relação ao eixo que passa perpendicularmente à barra pelo centro de massa. As massas dos pontos são iguais e iguais a m.

Solução

Vamos encontrar o momento de inércia de uma bola () em relação a um eixo localizado a uma distância dela:

O momento de inércia da segunda bola será igual a:

O momento total de inércia do sistema é igual à soma:

Responder

EXEMPLO 2

Exercício	Qual é o momento de inércia de um pêndulo físico em relação ao eixo que passa pelo ponto O (Fig. 1)? O eixo é perpendicular ao plano do desenho. Considere que um pêndulo físico consiste em uma haste fina de comprimento l com massa m e um disco de massa . O disco está preso à extremidade inferior da haste e tem raio igual a
Solução	O momento de inércia do nosso pêndulo (J) será igual à soma do momento de inércia da haste () girando em torno do eixo que passa pelo ponto O e do disco () girando em torno do mesmo eixo: