Прямоугольник вписанный в треугольник свойства. Вписанная окружность

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой .

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R

Площадь круга : S=\pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
Используя радианную меру: CD = \alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD \cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ} .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr ,

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = \frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = \frac{S}{p} ,

где p = \frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника .

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ} .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

R = \frac{abc}{4 S}

a , b , c — длины сторон треугольника,

S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

И касается всех его сторон.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5
Свойства вписанной окружности:
r = (− a + b + c) (a − b + c) (a + b − c) 4 (a + b + c) ; {\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};} 1 r = 1 h a + 1 h b + 1 h c {\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}
где a , b , c {\displaystyle a,b,c} - стороны треугольника, h a , h b , h c {\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}} - высоты, проведённые к соответствующим сторонам ;
r = S p = (p − a) (p − b) (p − c) p {\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}}
Где S {\displaystyle S} - площадь треугольника, а p {\displaystyle p} - его полупериметр.
- Если A B {\displaystyle AB} - основание равнобедренного треугольника , то окружность, касающаяся сторон угла ∠ A C B {\displaystyle \angle ACB} в точках A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , проходит через центр вписанной окружности треугольника △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} .
- Теорема Эйлера : R 2 − 2 R r = | O I | 2 {\displaystyle R^{2}-2Rr=|OI|^{2}} , где R {\displaystyle R} - радиус описанной вокруг треугольника окружности, r {\displaystyle r} - радиус вписанной в него окружности, O {\displaystyle O} - центр описанной окружности, I {\displaystyle I} - центр вписанной окружности .
- Если прямая, проходящая через точку I параллельно стороне AB, пересекает стороны BC и CA в точках A 1 и B 1 , то A 1 B 1 = A 1 B + A B 1 {\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}} .
- Если точки касания вписанной в треугольник T {\displaystyle T} окружности соединить отрезками, то получится треугольник T 1 со свойствами:
  - Биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T 1
  - Пусть T 2 - ортотреугольник T 1 . Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
  - Пусть T 3 - серединный треугольник T 1 . Тогда биссектрисы T являются высотами T 3 .
  - Пусть T 4 - ортотреугольник T 3 , тогда биссектрисы T являются биссектрисами T 4 .
- Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен a + b − c 2 {\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}} .
- Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d = a + b − c 2 = p − c {\displaystyle d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c} .
- Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно l c = r sin ⁡ (γ 2) {\displaystyle l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}} , где r - радиус вписанной окружности, а γ - угол вершины C.
- Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам l c = (p − c) 2 + r 2 {\displaystyle l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}} и l c = a b − 4 R r {\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}}
- Теорема о трезубце или теорема трилистника : Если D - точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC , I и J - соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC , тогда | D I | = | D B | = | D C | = | D J | {\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|} .
- Лемма Веррьера : пусть окружность V {\displaystyle V} касается сторон A B {\displaystyle AB} , A C {\displaystyle AC} и дуги B C {\displaystyle BC} описанной окружности треугольника . Тогда точки касания окружности V {\displaystyle V} со сторонами и центр вписанной окружности треугольника A B C {\displaystyle ABC} лежат на одной прямой.
- Теорема Фейербаха . Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей , а также вписанной окружности . Точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха .
Связь вписанной окружности с описанной окружностью

R R = 4 S 2 p a b c = cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ − 1 ; {\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;}

Видеоурок 2: Окружность, описанная около треугольника
Лекция: Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника
Около некоторых треугольников можно описать окружность, а в некоторые можно окружность вписать.
Вписанный треугольник
Если все вершины некоторого треугольника лежат на окружности, то такой треугольник называется вписанным .
Обратите внимание, если некоторый треугольник вписан в окружность, то все прямые, которые соединяют центр окружности с вершинами треугольника, равны. Более того, они имеют величину радиуса.
Существуют несложные формулы, позволяющие определить стороны треугольника по известному радиусу окружности, или же наоборот определить радиус по сторонам:
Если в окружность вписан правильный треугольник, то формулы упрощаются. Хотелось бы напомнить, что правильным называется тот треугольник, у которого все стороны равны:
Формула для нахождения площади правильного треугольника, если он вписан в окружность:
Если некоторый треугольник располагается внутри окружности, то существует правило размещения центра окружности.
Если в окружность вписали любой остроугольный треугольник, то центр этой окружности будет находится внутри треугольника:
Если в окружность вписан правильный треугольник, то центр окружности будет считаться центром треугольником, а также точкой пересечения его высот.
Если в окружность вписанный прямоугольный треугольник, то центр окружности будет лежать на середине гипотенузы:
Если в окружность вписан тупоугольный треугольник, то центр окружности будет находится за пределами треугольника:
Вписанная окружность
Окружность можно назвать вписанной в том случае, если она касается всех сторон треугольника в одной точке.
Для треугольника, в который вписана окружность, существует некоторое правило.

Определение 2

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.
Рисунок 1. Вписанная окружность
Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)
Теорема 1

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK.\ $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M\ и\ L$. Так как $OM,OK\ и\ OL$ - перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.

Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:
Определение 3

Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).
Определение 4

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.

Рисунок 3. Описанная окружность
Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)
Теорема 2

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)
Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2
Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.
Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:
Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности
Пример 1

В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:

Рисунок 5.

Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора ${BM}^2={BC}^2-{MC}^2,\ BM=\sqrt{{BC}^2-\frac{{AC}^2}{4}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$. $OM=OH=r$ -- искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4\ см$. Следовательно, $BH=5-4=1\ см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:
\[{(3-r)}^2=r^2+1\] \ \ \
Ответ: $\frac{4}{3}$.