Пределы онлайн. Предел последовательности и функции
Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству
|x n - a| < ε. (6.1)
Записывают это следующим образом: или x n → a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a- ε < x n < a + ε, (6.2)
которое означает, что точки x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- ε, a+ ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае - расходящейся .
Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .
Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.
Это определение называют определением предел функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.
Определение 2
. Постоянное число А называется предел
функции
f(x) при
x→
a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε
, можно найти такое δ
>0 (зависящее от ε
), что для всех x
, лежащих в
ε-окрестности числа а
, т.е. для x
, удовлетворяющих неравенству
0 <
x-a
< ε
, значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е.
|f(x)-A|
<
ε.
Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ “.
Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде
. (6.3)
В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:
Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .
Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.
Теорема 1 . Если существует каждый предел
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.
Теорема 2. (6.7)
т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;
(6.8)
(6.9)
Теорема 3.
(6.10)
(6.11)
где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.
Используются на практике и следствия формулы (6.11):
(6.12)
(6.13)
(6.14)
в частности предел,
Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→ a и при этом xa-0. Числа и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел
. (6.15)
Условие (6.15) можно переписать в виде:
,
то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.
Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел
,
и непрерывной слева в точке x o, если предел
.
Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.
1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .
2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .
Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 » 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел
Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.
Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n N имеет место неравенство |x n -1| < ε.
Возьмем любое e > 0. Так как ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n< e . Отсюда n>1/ e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ e , N = E(1/ e ). Мы тем самым доказали, что предел .
Пример 3 .2 . Найти предел последовательности, заданной общим членом .
Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:
.
Пример 3.3 . . Найти .
Решение. .
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.
Пример 3 .4 . Найти ().
Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞ . Преобразуем формулу общего члена:
.
Пример 3 .5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.
Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.
Пример 3 .6 . Доказать, что предел не существует.
Решение.
Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞
Если x n =
p
n, то sin x n = sin
p
n = 0 при всех n
и предел Если же
x n =2
p
n+
p
/2, то sin x n = sin(2
p
n+
p
/2) = sin
p
/2 = 1 для всех n
и следовательно предел . Таким образом, не существует.
Виджет для вычисления пределов on-line
В верхнем окошке вместо sin(x)/x введите функцию, предел которой надо найти. В нижнее окошко введите число, к которому стремится х и нажмите кнопку Calcular, получите искомый предел. А если в окне результата нажмете на Show steps в правом верхнем углу, то получите подробное решение.
Правила ввода функций: sqrt(x)- квадратный корень, cbrt(x) - кубический корень, exp(x) - экспонента, ln(x) - натуральный логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan(x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксинус, arccos(x) - арккосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаки: * умножения, / деления, ^ возведение в степень, вместо бесконечности Infinity. Пример: функция вводится так sqrt(tan(x/2)).
Математика — наука, строящая мир. Как учёный, так и простой человек — никто не сможет обойтись без неё. Сначала маленьких детей учат считать, потом складывать, вычитать, умножать и делить, к средней школе в ход вступают буквенные обозначения, а в старшей без них уже не обойтись.
Но сегодня речь пойдёт о том, на чём строится вся известная математика. О сообществе чисел под названием «пределы последовательностей».
Что такое последовательности и где их предел?
Значение слова «последовательность» трактовать нетрудно. Это такое построение вещей, где кто-то или что-то расположены в определённом порядке или очереди. Например, очередь за билетами в зоопарк — это последовательность. Причём она может быть только одна! Если, к примеру, посмотреть на очередь в магазин — это одна последовательность. А если один человек из этой очереди вдруг уйдёт, то это уже другая очередь, другой порядок.
Слово «предел» также легко трактуется — это конец чего-либо. Однако в математике пределы последовательностей — это такие значения на числовой прямой, к которым стремится последовательность чисел. Почему стремится, а не заканчивается? Всё просто, у числовой прямой нет конца, а большинство последовательностей, как лучи, имеют только начало и выглядят следующим образом:
х 1 , х 2 , х 3 , …х n …
Отсюда определение последовательности — функция натурального аргумента. Более простыми словами — это ряд членов некоторого множества.
Как строится числовая последовательность?
Простейший пример числовой последовательности может выглядеть так: 1, 2, 3, 4, …n…
В большинстве случаев для практических целей последовательности строятся из цифр, причём каждый следующий член ряда, обозначим его Х, имеет своё имя. Например:
х 1 — первый член последовательности;
х 2 — второй член последовательности;
х 3 — третий член;
х n — энный член.
В практических методах последовательность задаётся общей формулой, в которой есть некоторая переменная. Например:
Х n =3n, тогда сам ряд чисел будет выглядеть так:
Стоит не забывать, что при общей записи последовательностей можно использовать любые латинские буквы, а не только Х. Например: y, z, k и т. д.
Арифметическая прогрессия как часть последовательностей
Прежде чем искать пределы последовательностей, целесообразно поглубже окунуться в само понятие подобного числового ряда, с которым все сталкивались, будучи в средних классах. Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором разница между соседними членами постоянна.
Задача: «Пусть а 1 =15, а шаг прогрессии числового ряда d=4. Постройте первые 4 члена этого ряда»
Решение: а 1 = 15 (по условию) — первый член прогрессии (числового ряда).
а 2 = 15+4=19 — второй член прогрессии.
а 3 =19+4=23 — третий член.
а 4 =23+4=27 — четвёртый член.
Однако подобным методом трудно добраться до крупных значений, например до а 125. . Специально для таких случаев была выведена удобная для практики формула: а n =a 1 +d(n-1). В данном случае а 125 =15+4(125-1)=511.
Виды последовательностей
Большинство последовательностей бесконечны, это стоит запомнить на всю жизнь. Существует два интересных вида числового ряда. Первый задаётся формулой а n =(-1) n . Математики часто называют эту последовательностей мигалкой. Почему? Проверим её числовой ряд.
1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т. д. На подобном примере становится ясно, что числа в последовательностях могут легко повторяться.
Факториальная последовательность. Легко догадаться — в формуле, задающей последовательность, присутствует факториал. Например: а n = (n+1)!
Тогда последовательность будет выглядеть следующим образом:
а 2 = 1х2х3 = 6;
а 3 = 1х2х3х4 =24 и т. д.
Последовательность, заданная арифметической прогрессией, называется бесконечно убывающей, если для всех её членов соблюдается неравенство -1 а 3 = - 1/8 и т. д. Существует даже последовательность, состоящая из одного и того же числа. Так, а n =6 состоит из бесконечного множества шестёрок. Пределы последовательностей давно существуют в математике. Конечно, они заслужили свое собственное грамотное оформление. Итак, время узнать определение пределов последовательностей. Для начала рассмотрим подробно предел для линейной функции: Легко понять, что определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: это некоторое число, к которому бесконечно приближаются все члены последовательности. Простой пример: а x = 4x+1. Тогда сама последовательность будет выглядеть следующим образом. 5, 9, 13, 17, 21…x … Таким образом, данная последовательность будет бесконечно увеличиваться, а, значит, её предел равен бесконечности при x→∞, и записывать это следует так: Если же взять похожую последовательность, но х будет стремиться к 1, то получим: А ряд чисел будет таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т. д. Каждый раз нужно подставлять число всё больше приближеннее к единице (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Из этого ряда видно, что предел функции — это пять. Из этой части стоит запомнить, что такое предел числовой последовательности, определение и метод решения простых заданий. Разобрав предел числовой последовательности, определение его и примеры, можно приступить к более сложной теме. Абсолютно все пределы последовательностей можно сформулировать одной формулой, которую обычно разбирают в первом семестре. Итак, что же обозначает этот набор букв, модулей и знаков неравенств? ∀ — квантор всеобщности, заменяющий фразы «для всех», «для всего» и т. п. ∃ — квантор существования, в данном случае обозначает, что существует некоторое значение N, принадлежащее множеству натуральных чисел. Длинная вертикальная палочка, следующая за N, значит, что данное множество N «такое, что». На практике она может означать «такая, что», «такие, что» и т. п. Для закрепления материала прочитайте формулу вслух. Метод нахождения предела последовательностей, который рассматривался выше, пусть и прост в применении, но не так рационален на практике. Попробуйте найти предел для вот такой функции: Если подставлять различные значения «икс» (с каждым разом увеличивающиеся: 10, 100, 1000 и т. д.), то в числителе получим ∞, но в знаменателе тоже ∞. Получается довольно странная дробь: Но так ли это на самом деле? Вычислить предел числовой последовательности в данном случае кажется достаточно легко. Можно было бы оставить всё, как есть, ведь ответ готов, и получен он на разумных условиях, однако есть ещё один способ специально для таких случаев. Для начала найдём старшую степень в числителе дроби — это 1, т. к. х можно представить как х 1 . Теперь найдём старшую степень в знаменателе. Тоже 1. Разделим и числитель, и знаменатель на переменную в высшей степени. В данном случае дробь делим на х 1 . Далее найдём, к какому значению стремится каждое слагаемое, содержащее переменную. В данном случае рассматриваются дроби. При х→∞ значение каждой из дробей стремится к нулю. При оформлении работы в писменном виде стоит сделать такие сноски: Получается следующее выражение: Конечно же, дроби, содержащие х, не стали нулями! Но их значение настолько мало, что вполне разрешено не учитывать его при расчётах. На самом же деле х никогда не будет равен 0 в данном случае, ведь на ноль делить нельзя. Предположим, в распоряжении профессора сложная последовательность, заданная, очевидно, не менее сложной формулой. Профессор нашёл ответ, но подходит ли он? Ведь все люди ошибаются. Огюст Коши в своё время придумал отличный способ для доказательства пределов последовательностей. Его способ назвали оперированием окрестностями. Предположим, что существует некоторая точка а, её окрестность в обе стороны на числовой прямой равна ε («эпсилон»). Поскольку последняя переменная — расстояние, то её значение всегда положительно. Теперь зададим некоторую последовательность х n и положим, что десятый член последовательности (x 10) входит в окрестность а. Как записать этот факт на математическом языке? Допустим, х 10 находится правее от точки а, тогда расстояние х 10 -а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Теперь пора разъяснить на практике ту формулу, о которой говорилось выше. Некоторое число а справедливо называть конечной точкой последовательности, если для любого её предела выполняется неравенство ε>0, причём вся окрестность имеет свой натуральный номер N, такой, что всё члены последовательности с более значительными номерами окажутся внутри последовательности |x n - a|< ε. С такими знаниями легко осуществить решение пределов последовательности, доказать или опровергнуть готовый ответ. Теоремы о пределах последовательностей — важная составляющая теории, без которой невозможна практика. Есть всего лишь четыре главных теоремы, запомнив которые, можно в разы облегчить ход решения или доказательства: Иногда требуется решить обратную задачу, доказать заданный предел числовой последовательности. Рассмотрим на примере. Доказать, что предел последовательности, заданной формулой, равен нолю. По рассмотренному выше правилу, для любой последовательности должно выполняться неравенство |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Выразим n через «эпсилон», чтобы показать существование некоего номера и доказать наличие предела последовательности. На этом этапе важно напомнить, что «эпсилон» и «эн» - числа положительные и не равны нулю. Теперь можно продолжать дальнейшие преобразования, используя знания о неравенствах, полученные в средней школе. Откуда получается, что n > -3 + 1/ε. Поскольку стоит помнить, что речь идёт о натуральных числах, то результат можно округлить, занеся его в квадратные скобки. Таким образом, было доказано, что для любого значения окрестности «эпсилон» точки а=0 нашлось значение такое, что выполняется начальное неравенство. Отсюда можно смело утверждать, что число а есть предел заданной последовательности. Что и требовалось доказать. Вот таким удобным методом можно доказать предел числовой последовательности, какой бы сложной она на первый взгляд ни была. Главное — не впадать в панику при виде задания. Существование предела последовательности необязательно на практике. Легко можно встретить такие ряды чисел, которые действительно не имеют конца. К примеру, та же «мигалка» x n = (-1) n . очевидно, что последовательность, состоящая всего лишь из двух цифр, циклически повторяющихся, не может иметь предела. Та же история повторяется с последовательностями, состоящими из одного числа, дробными, имеющими в ходе вычислений неопределённость любого порядка (0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д.). Однако следует помнить, что неверное вычисление тоже имеет место быть. Иногда предел последоватей найти поможет перепроверка собственного решения. Выше рассматривались несколько примеров последовательностей, методы их решения, а теперь попробуем взять более определённый случай и назовём его «монотонной последовательностью». Определение: любую последовательность справедливо называть монотонно возрастающей, если для нее выполняется строгое неравенство x n < x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n > x n +1. Наряду с этими двумя условиями существуют также подобные нестрогие неравенства. Соответственно, x n ≤ x n +1 (неубывающая последовательность) и x n ≥ x n +1 (невозрастающая последовательность). Но легче понимать подобное на примерах. Последовательность, заданная формулой х n = 2+n, образует следующий ряд чисел: 4, 5, 6 и т. д. Это монотонно возрастающая последовательность. А если взять x n =1/n, то получим ряд: 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Это монотонно убывающая последовательность. Ограниченная последовательность — последовательность, имеющая предел. Сходящаяся последовательность — ряд чисел, имеющий бесконечно малый предел. Таким образом, предел ограниченной последовательности — это любое действительное или комплексное число. Помните, что предел может быть только один. Предел сходящейся последовательности — это величина бесконечно малая (действительная или комплексная). Если начертить диаграмму последовательности, то в определённой точке она будет как бы сходиться, стремиться обратиться в определённую величину. Отсюда и название — сходящаяся последовательность. Предел у такой последовательности может быть, а может и не быть. Сначала полезно понять, когда он есть, отсюда можно оттолкнуться при доказательстве отсутствия предела. Среди монотонных последовательностей выделяют сходящуюся и расходящуюся. Сходящаяся — это такая последовательность, которая образована множеством х и имеет в данном множестве действительный или комплексный предел. Расходящаяся — последовательность, не имеющая предела в своём множестве (ни действительного, ни комплексного). Причём последовательность сходится, если при геометрическом изображении её верхний и нижний пределы сходятся. Предел сходящейся последовательности во многих случаях может быть равен нулю, так как любая бесконечно малая последовательность имеет известный предел (ноль). Какую сходящуюся последовательность ни возьми, они все ограничены, однако далеко не все ограниченные последовательности сходятся. Сумма, разность, произведение двух сходящихся последовательностей - также сходящаяся последовательность. Однако частное может быть также сходящейся, если оно определено! Пределы последовательностей — это такая же существенная (в большинстве случаев) величина, как и цифры и числа: 1, 2, 15, 24, 362 и т. д. Получается, что с пределами можно проводить некоторые операции. Во-первых, как и цифры и числа, пределы любых последовательностей можно складывать и вычитать. Исходя из третьей теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел суммы последовательностей равен сумме их пределов. Во-вторых, исходя из четвёртой теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел произведения n-ого количества последовательностей равен произведению их пределов. То же справедливо и для деления: предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел не равен нулю. Ведь если предел последовательностей будет равен нулю, то получится деление на ноль, что невозможно. Казалось бы, предел числовой последовательности уже разобран довольно подробно, однако не раз упоминаются такие фразы, как «бесконечно маленькие» и «бесконечно большие» числа. Очевидно, если есть последовательность 1/х, где x→∞, то такая дробь бесконечно малая, а если та же последовательность, но предел стремится к нулю (х→0), то дробь становится бесконечно большой величиной. А у таких величин есть свои особенности. Свойства предела последовательности, имеющей какие угодно малые или большие величины, состоят в следующем: На самом деле вычислить предел последовательности - не такая сложная задача, если знать простой алгоритм. Но пределы последовательностей — тема, требующая максимума внимания и усидчивости. Конечно, достаточно просто уловить суть решения подобных выражений. Начиная с малого, со временем можно достигнуть больших вершин. Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции
. Программа решения пределов
не
просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями
, т.е. отображает процесс вычисления предела. Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением. Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается. Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи . Наши игры, головоломки, эмуляторы: Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \) Возьмем из X последовательность точек, отличных от х 0: Определение
. Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х 0 (или при х -> x 0), если для
любой сходящейся к x 0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x 0 соответствующая
последовательность (2) значений функции сходится к числу A. Функция f(x) может иметь в точке x 0 только один предел. Это следует из того, что последовательность Существует другое определение предела функции. Определение
Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x 0 , если для любого числа \(\varepsilon > 0 \)
существует число \(\delta > 0 \) такое, что для всех \(x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \(|x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне,
а определение предела функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)» - определением предела функции по Коши. В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом. Определение
Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любой сходящейся
к x 0 последовательности (1), элементы x n которой больше (меньше) x 0 , соответствующая
последовательность (2) сходится к А. Символически это записывается так: Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)»: Определение
число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x 0 , если для любого
\(\varepsilon > 0 \) существует \(\delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам
\(x_0
Символические записи: Функция f
(x
)
называется
функцией целочисленного
аргумента,
если
множество значений x
,
для
которых она определена, является
множеством всех натуральных чисел1,
2, 3,… Примером функции целочисленного
аргумента может служить сумма n
первых
чисел натурального ряда. В данном случае Числовой
последовательностью
называется
бесконечное множество чисел следующих одно
за другим в определенном порядке и
построенных по определенному закону,
с помощью которого задается
как функция целочисленного
аргумента, т.е. . Число
А
называется
пределом последовательности
(1), если
для любого
существует
число
,
такое, что при
выполняется
неравенство
.
Если
число А есть предел последовательности
(1), то пишут Числовая
последовательность не может иметь более
одного предела. Последовательность,
имеющая предел, называется сходящейся.
Для
сходящихся последовательностей имеют
место теоремы: Пример
1.
Найти
общий член последовательности 1, 4, 9, 16,
25, … Р е ш е н и
е: нетрудно видеть, что Следовательно Пример
2.
Найти
общий член последовательности Р е ш е н и
е: не трудно видеть, что , , и
т.д. Следовательно: Пример
3.
Доказать,
что последовательность с общим
членом имеет
предел, равный нулю. Р е ш е н и
е: запишем ряд членов последовательности и
положим .
Для всех членов данной последовательности,
начиная с четвертого, выполняется
равенство Действительно В
данном случае N
(см.
определение предела последовательности)
можно принять равным трем (или любому
числу, больше трех), так как, если
порядковый номер члена
последовательности n больше
трех, то выполняется неравенство . Положим
теперь .
Ясно, что для
всех членов последовательности начиная
с седьмого, . Теперь
за N
можно
принять шесть (или любое число, большее
шести). Если ,
то и
т.д. В
данном случае можно найти общее выражение
для числа N
в
зависимости от . Общий член
данной последовательности .
Задавшись произвольным положительным
числом ,
мы должны в соответствии с определением
предела, потребовать, чтобы
при n
>
N
выполнялось
неравенство ,
если . Решая
неравенство относительно n,
получаем .
Итак, за N
можно
принять число (или
любое большее число). Таким образом, мы
показали, что для любого существует
такое ,
чтопри ,
выполняется неравенство ,
а это и доказывает, что пределом
последовательности является нуль. Отметим,
что в этой задаче члены последовательности
приближались к своему пределу, оставаясь
больше этого предела, как говорят,
справа. Чтобы
задать функцию, нужно указать способ,
с помощью которого для каждого значения
аргумента можно найти соответствующее
значение функции. Наиболее употребительным
является способ задания функции с
помощью формулы у = f (х),
где
f (х) - некоторое выражение с переменной
х. В таком случае говорят, что функция
задана формулой или что функция задана
аналитически. Для
аналитически заданной функции иногда
не указывают явно область определения
функции. В таком случае подразумевают,
что область определения функции у = f
(х) совпадает с областью определения
выражения f (х), т. е. с множеством тех
значений х, при которых выражение f (х)
имеет смысл. Приводятся формулировки основных теорем и свойств числовых последовательностей, имеющих предел. Содержится определение последовательности и ее предела. Рассмотрены арифметические действия с последовательностями, свойства, связанные с неравенствами, критерии сходимости, свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. Числовой последовательностью
называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу ставится в соответствие число .
ограниченной
, если существует такое число M
,
что для всех действительных n
.
Верхней гранью
последовательности называют наименьшее из чисел, ограничивающее последовательность сверху. То есть это такое число s
,
для которого для всех n
и для любого ,
найдется такой элемент последовательности ,
превосходящий s′
:
.
Нижней гранью
последовательности называют наибольшее из чисел, ограничивающее последовательность снизу. То есть это такое число i
,
для которого для всех n
и для любого ,
найдется такой элемент последовательности ,
меньший i′
:
.
Верхнюю грань также называют точной верхней границей
, а нижнюю грань - точной нижней границей
. Понятия верхней и нижней граней справедливы не только к последовательностям, но и к любым множествам действительных чисел. Число a
называется пределом последовательности
,
если для любого положительного числа существует такое натуральное число N
,
зависящее от ,
что для всех натуральных выполняется неравенство С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела можно записать следующим образом: Открытый интервал (a - ε, a + ε)
называют ε
- окрестностью точки a
.
Последовательность, у которой существует предел называется сходящейся последовательностью
. Также говорят, что последовательность сходится
к a
.
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся
. Точка a
не является пределом последовательности
,
если существует такое ,
что для любого натурального n
существует такое натуральное m >
n
,
что Точка a
является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов
последовательности или пустое множество. Если число a
не является пределом последовательности ,
то существует такая окрестность точки a
,
за пределами которой находится бесконечное число элементов последовательности
. Теорема единственности предела числовой последовательности
. Если последовательность имеет предел, то он единственный. Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена
. Если каждый элемент последовательности равен одному и тому же числу
C
:
,
то эта последовательность имеет предел, равный числу C
.
Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m
элементов
, то это не повлияет на ее сходимость. Доказательства основных свойств
приведены на странице Пусть существуют конечные пределы и последовательностей и .
И пусть C
- постоянная, то есть заданное число. Тогда Если ,
то .
Доказательства арифметических свойств
приведены на странице Если и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству ,
то и предел a
этой последовательности удовлетворяет неравенству .
Если и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат замкнутому интервалу (сегменту) ,
то и предел a
также принадлежит этому интервалу: .
Если и и элементы последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству ,
то .
Если и, начиная с некоторого номера, ,
то .
Если и ,
то .
Пусть и .
Если a <
b
,
то найдется такое натуральное число N
,
что для всех n >
N
выполняется неравенство .
Доказательства свойств, связанных с неравенствами
приведены на странице Последовательность называется бесконечно малой последовательностью
, если ее предел равен нулю: Сумма и разность
конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью. Произведение ограниченной последовательности
на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью. Произведение конечного числа
бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью. Для того, чтобы последовательность имела предел a
,
необходимо и достаточно, чтобы ,
где - бесконечно малая последовательность. Доказательства свойств бесконечно малых последовательностей
приведены на странице Последовательность называется бесконечно большой последовательностью
, если для любого положительного числа существует такое натуральное число N
,
зависящее от ,
что для всех натуральных выполняется неравенство Если ,
начиная с некоторого номера N
,
то Если последовательность являются бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N
,
определена последовательность ,
которая является бесконечно малой. Если являются бесконечно малой последовательностью с отличными от нуля элементами, то последовательность является бесконечно большой. Если последовательность бесконечно большая, а последовательность ограничена, то Если абсолютные значения элементов последовательности ограничены снизу положительным числом (), а - бесконечно малая с неравными нулю элементами, то Более подробно определение бесконечно большой последовательности с примерами
приводится на странице Последовательность называется строго возрастающей
, если для всех n
выполняется неравенство: Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей. Последовательность называется монотонной
, если она неубывающая или невозрастающая. Монотонная последовательность ограничена, по крайней мере, с одной стороны значением .
Неубывающая последовательность ограничена снизу: .
Невозрастающая последовательность ограничена сверху: .
Теорема Вейерштрасса
. Для того чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху (снизу ). Здесь M
- некоторое число. Поскольку любая неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена снизу (сверху), то теорему Вейерштрасса можно перефразировать следующим образом: Для того чтобы монотонная последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной: .
Монотонная неограниченная последовательность
имеет бесконечный предел, равный для неубывающей и для невозрастающей последовательности. Доказательство теоремы Вейерштрасса
приведено на странице Условие Коши
. Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такое натуральное число ,
что для всех натуральных чисел n
и m
,
удовлетворяющих условию ,
выполняется неравенство Критерий Коши сходимости последовательности
. Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши. Доказательство критерия сходимости Коши
приведено на странице Теорема Больцано - Вейерштрасса
. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. А из любой неограниченной последовательности - бесконечно большую подпоследовательность, сходящуюся к или к .
Доказательство теоремы Больцано - Вейерштрасса
приведено на странице Определения, теоремы и свойства подпоследовательностей и частичных пределов рассмотрены на странице Использованная литература:Определение предела последовательности
Общее обозначение предела последовательностей
Неопределённость и определённость предела
Что такое окрестность?
Теоремы
Доказательство последовательностей
А может, его нет?
Монотонная последовательность
Предел сходящейся и ограниченной последовательности
Предел монотонной последовательности
Различные действия с пределами
Свойства величин последовательностей
Вычислить предел
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.Немного теории.
Предел функции при х->х 0
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.
$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$
{f(x n)}
имеет только один предел.
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Отметим, что неравенства \(x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением
«на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \(\varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более
удобно при решении той или иной задачи.Предел функции при x->x 0 - и при x->x 0 +
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left(\lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$2.Способы задания функции.
1. Аналитический способ
Последовательности
Число называют n-м членом или элементом последовательности.
Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.Определение предела последовательности
.
Предел последовательности обозначается так:
.
Или при .
.
.
.
Это означает, что можно выбрать такую ε
- окрестностью точки a
,
за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности.Свойства конечных пределов последовательностей
Основные свойства
Основные свойства конечных пределов последовательностей >>> .Арифметические действия с пределами
;
;
;
,
если .
В случае частного предполагается, что для всех n
.
Арифметические свойства конечных пределов последовательностей >>> .Свойства, связанные с неравенствами
В частности, если, начиная с некоторого номера, ,
то
если ,
то ;
если ,
то .
Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами >>> .Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности
Бесконечно малая последовательность
.
Бесконечно малые последовательности - определение и свойства >>> .Бесконечно большая последовательность
.
В этом случае пишут
.
Или при .
Говорят, что стремится к бесконечности.
.
Если же ,
то
.
.
.
Определение бесконечно большой последовательности >>> .
Доказательства свойств бесконечно больших последовательностей
приведены на странице
Свойства бесконечно больших последовательностей >>> .Критерии сходимости последовательностей
Монотонные последовательности
.
Соответственно, для строго убывающей
последовательности выполняется неравенство:
.
Для неубывающей
:
.
Для невозрастающей
:
.
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности >>> .Критерий Коши сходимости последовательности
.
Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, также называют фундаментальными последовательностями
.
Критерий Коши сходимости последовательности >>> .Подпоследовательности
Теорема Больцано – Вейерштрасса >>> .
Подпоследовательности и частичные пределы последовательностей >>>.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва, 1997.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Москва, 2005.