Правила решения примеров с десятичными дробями. Задания: Действия с десятичными дробями
При сложении десятичных дробей надо записать их одну под другой так, чтобы одинаковые разряды были друг под другом, а запятая - под запятой, и сложить дроби так, как складывают натуральные числа. Сложим, напрнмер, дроби 12,7 и 3,442. Первая дробь содержит одну цифру после запятой, а вторая - три. Чтобы выполнить сложение, преобразуем первую дробь так, чтобы после запятой было три цифры: , тогда
Аналогично выполняется вычитание десятичных дробей. Найдем разность чисел 13,1 и 0,37:
При умножении десятичных дробей достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а затем в результате справа отделить запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.
Например, умножим 2,7 на 1,3. Имеем . Запятой отделим справа две цифры (сумма цифр у множителей после запятой равна двум). В итоге получаем 2,7 1,3=3,51.
Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:
Рассмотрим умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. Пусть нужно умножить дробь 12,733 на 10. Имеем . Отделив справа запятой три цифры, получим Но . Значит,
12 733 10=127,33. Таким образом, умножение десятичной дроби на Ю сводится к переносу запятой на одну цифру вправо.
Вообще чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, надо в этой дроби перенести запятую на 1, 2, 3 цифры вправо Сприписав в случае необходимости к дроби справа определенное число нулей). Например,
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как деление натурального числа на натуральное, а запятую в частном ставят после того, как закончено деление целой части. Пусть надо разделить 22,1 на 13:
Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:
Рассмотрим теперь деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12. Для этого и в делимом, и в делителе перенесем запятую вправо на столько цифр, сколько их имеется после запятой в делителе (в данном примере на две). Иными словами, умножим делимое и делитель на 100 - от этого частное не изменится. Тогда нужно разделить дробь 257,6 на натуральное число 112, т. е. задача сводится к уже рассмотренному случаю:
Чтобы разделить десятичную дробь на надо в этой дроби перенести запятую на цифр влево (при этом в случае необходимости слева приписывается нужное число нулей). Например, .
Как для натуральных чисел деление не всегда выполнимо, так оно не всегда выполнимо и для десятичных дробей. Разделим для примера 2,8 на 0,09.
Глава 2 ДРОБНЫЕ ЧИСЛА И Действия С НИМИ
§ 45. Задачи и примеры на все действия с натуральными числами и десятичными дробями
Начальный уровень
1620. Найди (устно):
1) 1,8 + 3,1; 2) 0,05 + 0,18; 3) 4,2 - 1,2;
4) 100 ∙ 0,15; 5) 57 ∙ 0,1; 6) 0,73: 0,1.
1621. Найди (устно):
1) 7,8 + 4,9; 2) 3,7 + 2,51; 3) 1 - 0,6;
4) 2 - 0,17; 5) 0,001 ∙ 29; 6) 4,2: 0,7.
1622. Обчисли (устно):
1) 0,57 + 1,43; 2) 4,27 - 2,07; 3) 4,1 - 2,01;
4) 8 ∙ 1,5; 5) 60: 0,2; 6) 739: 100.
1623. Обчисли (устно):
1) 8,32 ∙ 10; 2) 117,3 ∙ 100; 3) 1,85 ∙ 1000;
4) 3,71 ∙ 0,1; 5) 4,92 ∙ 0,01; 6) 125,3 ∙ 0,001.
1624. Обчисли (устно):
1) 32,7: 10; 2) 45,13: 100; 3) 2792: 1000;
4) 8,3: 0,1; 5) 37,3: 0,01; 6) 13,24: 0,001.
1625. Обчисли:
1) 5,18 + 25,37; 2) 0,805 + 7,105;
3) 5,97 + 0,032; 4) 8,91 - 1,328;
5) 71,5 - 16,07; 6) 42 - 7,18.
1626. Обчисли:
1) 4,27 + 37,42; 2) 0,913 + 8,39;
3) 4,13 + 0,9027; 4) 4,17 - 0,127;
5) 42,7 - 17,08; 6) 78 - 14,53.
1627. Обчисли:
1) 42 ∙ 0,13; 2) 3,6 ∙ 2,5; 3) 7,05 ∙ 800;
4) 15: 4; 5) 72: 2,25; 6) 15,3: 17.
1628. Обчисли:
1) 38 ∙ 0,25; 2) 4,8 ∙ 3,5; 3) 4,07 ∙ 900;
4) 18,3: 2; 5) 53,55: 4,25; 6) 406,6: 19.
1629. Запиши в виде десятичной дроби:
1630. Запиши в виде обыкновенной дроби или смешанного числа:
1) 2,3; 2) 4,07; 3) 0,23; 4) 10,073.
1631. Сравни:
1) 4,897 и 4,879; 2) 7,520 и 7,52;
3) 42,57 и 42,572; 4) 9,759 и 9,758.
1632. Сравни:
1) 7,896 и 7,869; 2) 8,01 и 8,1;
3) 47,53 и 47,530; 4) 4,571 и 4,578.
Средний уровень
1633. Обчисли 2,5 x + 0,37, если:
1) x = 1,6; 2) x = 3,4.
1634. Найди среднее арифметическое чисел:
1) 0,573; 1,96; 35,24;
2) 4,82; 89,59; 0,462; 9,368.
1635. Найди среднее арифметическое чисел 20,76; 80,43; 90,24.
1636. За 2,5 часа поезд проехал 195 км. Сколько километров проедет поезд за 3,6 ч, если будет двигаться с той же скоростью?
1637. Автомобиль в течение t часов ехал со скоростью 85 км/час. Составь выражение для нахождения пути, пройденного автомобилем, и обчисли его, если t равен 0,5; 0,8; 1,4; 3.
1638. Обчисли значение выражения 27,3 - а: b , если:
1) а = 33,5; b = 2,5; 2) а = 32,16; b = 13,4.
1639. Реши уравнения:
1) 12,5 + х = 37,4; 2) в + 13,72 = 18,1;
3) в - 137,8 = 27,41; 4) 17 - х = 12,42.
1640. Реши уравнения:
1) 13,7 + a = 18,4; 2) x + 13,42 = 18,9;
3) b - 142,3 = 15,73; 4) 14 - y = 12,142.
1641. Сравни величины:
1) 0,4 м и 4 дм; 2) 0,2 дм и 20 см;
3) 0,07 м и 7 см; 4) 0,03 км и 300 м
1642. Сравни величины:
1) 0,2 т и 2 ц; 2) 0,3 ц и 31 кг;
3) 0,8 т и 785 кг; 4) 0,08 кг и 80 г.
1643. Скорость теплохода в стоячей воде равна 25,4 км/ч, а скорость течения реки - 1,8 км/час. Сколько километров проходит теплоход:
1) за 1,5 ч по течению реки;
2) за 2,4 ч против течения реки?
1644. Катер двигался сначала 1,6 ч по озеру со скоростью 25,5 км/ч, а затем 0,8 ч по реке против течения. Скорость течения равна 1,7 км/ч. Какое расстояние преодолел катер?
1645. Найди значение выражения:
1) 15 ∙ (2,7 + 4,2);
2) (5,7 - 2,3) : 4;
3) (5,47 - 4,25) ∙ 10;
4) (4,47 + 2,7) : 10;
5) (13,42 - 4,15) ∙ (12,3 - 0,3);
6) (2,17 + 4,45) : (12,6 - 12,5).
1646. Найди значение выражения:
1) (2,43 + 4,15) ∙ 1,7;
2) (12,49 - 3,57) : 0,4;
3) (4,17 - 3,8) ∙ (10,1 - 8,1);
4) (15,7 + 14,9) : (2,91 - 1,21).
1647. Реши уравнения:
1) 12,5 х = 45; 2) в ∙ 4,8 = 60,6;
3) х: 4,7 = 12,3; 4) 12,7: в = 0,01.
1648. Розв яжи уравнения:
1) 3,7 y = 7,77; 2) х ∙ 3,48 = 8,7;
3) в: 5,4 = 13,5; 4) 52,54: х = 3,7.
1649. Составь выражение: от суммы чисел а и 42,3 отнять разницу чисел 15,7 и b . Обчисли значение выражения, если а = 3,7; b = 2,3.
1650. Из 360 учеников школы 40 % принимали участие в кроссе. Сколько учащихся участвовало в кроссе?
1651. Найди значение выражения:
1) (120,21 - 37,59) : 34 + 5,43 ∙ 19;
2) (8,57 + 9,585: 4,5) ∙ 3,8 - 42,7: 4.
1652. Найди значение выражения:
1) (5,02 - 3,89) ∙ 29 + 0,27: 18;
2) (32,526: 3,9 + 2,26) ∙ 5,4 - 47,2 ∙ 0,5.
1653. На сколько сумма чисел 19,4 и 4,72 больше разности этих же чисел?
1654. Найди сумму 25,3 дм + 13,7 см + 15 мм в сантиметрах.
1655. 32 ученики собрали 152 кг клубники и 33,6 кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрал каждый ученик, если они собрали ягод каждого вида поровну?
1656. С поля площадью 420 га планировалось собрать по 35 центнеров зерна с каждого гектара, но собрали 1785 т зерна. На сколько центнеров урожай с 1 га выше, чем было запланировано?
1657. Найди площадь поверхности куба с ребром 1,5 см.
1658. Найди площадь и периметр квадрата со стороной 4,7 дм.
1659. Запиши в порядке убывания дроби: 0,27; 0,372; 0,423; 0,279; 0,51; 0,431; 0,307.
1660. Запиши в порядке возрастания дроби: 4,23; 4,32; 4,222; 43,2; 4,232; 4,323.
1661. Веревку длиной 15,3 м разрезали на три части. Одна из них составляет веревки, вторая
длиннее первой на 1,8 м. Найди длину каждой части.
1662. Яхта «Беда» за 3 дня регаты преодолела 234,9 км. За первый день яхта преодолела этого расстояния, а за второй - на 8,3 км меньше, чем за первый. Сколько километров яхта «Беда» преодолевала каждый день?
1663. Автомобиль проехал 471 км. Первые 205 км он ехал со скоростью 82 км/ч, а оставшуюся часть - со скоростью 76 км/час. За какое время автомобиль преодолел весь путь?
1664. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,4 см. Найди его основание, если боковая сторона треугольника равна 5,3 см.
1665. Найди периметр равнобедренного треугольника, основа которого равна 4,2 дм, а боковая сторона в 1,5 раза больше за основу.
1666. Обчисли:
1) (88,57 + 66,87) : 29 - 0,27 ∙ 18;
2) 20,8: (12 - 11,36) - 8: 12,5 + 4,7 ∙ 5,2.
1667. Обчисли:
1) (1,37 + 4,86) ∙ 17 - 556,89: 19;
2) (3,81 + 59,427: 9,3) ∙ 7,6 - 10,2 ∙ 4,7.
1668. На сколько сумма чисел 8,1 и 7,2 больше их долю?
1669. На сколько разность чисел 3,7 и 2,5 меньше их произведения?
1670. Найди значение выражения а ∙ 2,5 - b , если а = 3,6; b = 1,117.
1671. Между какими соседними натуральными числами размещено дробь:
1672. Округли до:
1) единиц: 25,17; 37,89;
2) десятых: 37,893; 42,012;
3) сотых: 108,112; 213,995.
1673. Округли до:
1) единиц: 25,372; 37,51;
2) десятых: 13,185; 14,002;
3) сотых: 15,894; 17,377.
1674. Начерти координатный луч, взяв за единичный отрезок 10 клеточек. Отметить на нем точки А(0,7), B (1,3), С(1), D (0,2), D (1,9).
1675. Начерти координатный луч, взяв за единичный отрезок 10 клеточек. Обозначь на нем точки М(0,6), N (1,4), K (0,3), L (2), Р(1,8).
1676. Белый медведь весит 720 кг, а масса бурого составляет 40 % массы белого медведя. Обчисли массу бурого медведя.
1677. Упрости выражение 2,7 x - 0,05 x + 0,75 x и найди его значение, если х = 2,7.
1678. Основа равнобедренного треугольника равна 10,8 см, а длина боковой стороны составляет длины основы. Найди периметр треугольника.
1679. Упрости выражение и обчисли его значение:
1) 2,7 а ∙ 2, если а = 3,5;
2) 3,2 x ∙ 5у, если x = 0,1; в = 1,7.
1680. Найди объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны:
1) 1,2 см, 5 см, 1,8 см; 2) 1,2 дм, 3 см, 23 мм.
1681. Вырази в тоннах и запиши в виде десятичной дроби:
1) 7314 кг; 2) 2 т 511 кг; 3) 3 ц 12 кг; 4) 18 кг.
1682. Вырази в метрах и запиши в виде десятичной дроби:
1) 527 см; 2) 12 дм; 3) 3 м 5 дм; 4) 5 м 4 см. 336
Достаточный уровень
1683. Выполни деление, полученную долю округли:
1) 110: 57 до единиц; 2) 18: 7 до десятых;
3) 15,2: 0,7 до сотых; 4) 14: 5,1 до тысячных.
1684. Выполни деление, полученную долю округли:
1) 120: 37 до десятых; 2) 5,2: 0,17 до сотых.
1685. Завод работал 15 дней и выпускал ежедневно в среднем по 45,4 т минеральных удобрений. Все удобрения загрузили в 25 железнодорожных вагонов поровну. Сколько удобрений погрузили в каждый вагон?
1686. Сумма двух длин треугольника равна 15 см, а длина третьей стороны составляет 80 % этой суммы. Найди периметр треугольника.
1687. Одна из сторон прямоугольника равна 14,4 см, а длина второго составляет 75 % первой. Найди площадь и периметр этого прямоугольника.
1688. Периметр треугольника равен 36 см. Длина одной из сторон составляет периметра, а длина второй - 40 % периметра. Найди стороны треугольника.
1689. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 16 дм, ширина составляет длины, а высота - 70 % ширины. Найди объем прямоугольного параллелепипеда.
1690. Найди сумму трех чисел, первое из которых равна 4,27, а каждое следующее в 10 раз больше вперединет.
1691. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 16 см, что составляет длины и 40 % ширины. Найди объем прямоугольного параллелепипеда.
1692. Одна сторона прямоугольника равна 8,5 см, а вторая составляет 60 % первой. Найди периметр и площадь прямоугольника.
1693. Один из рабочих изготовил 96 деталей за 6 ч, а другой - 45 деталей за 2,5 часа. За сколько часов они изготовят 119 деталей, работая вместе?
1694. Что выгоднее купить?
1695. Что выгоднее купить?
1696. Составь задачи по схемам и реши их.
1697. Составь задачи по схемам и реши их.
1698. На сколько увеличится объем куба, если его ребро увеличить с 2,5 см до 3,5 см?
1699. Составь числовое выражение и найди его значение:
1) разность сумм чисел 2,72 и 3,82 и
2) произведение разности чисел 18,93 и 9,83 и числа 10.
1700. Из поселка А в поселок В одновременно выехали два велосипедиста со скоростями 15,6 км/ч и 18,4 км/час. Через 3,5 час один из велосипедистов прибыл в поселок В. Сколько километров должен проехать другой велосипедист?
1701. Из одного города одновременно в противоположных направлениях выехали два автомобиля. Скорость одного из них - 76 км/ч, что составляет 95 % скорости другого. Через сколько часов расстояние между автомобилями будет 390 км?
1702. Реши уравнения:
1) 1,17 x + 0,32 x = 3,725;
2) 4,7 x - 1,2 x = 4,34;
3) 2,47 x - 1,32 x + 1,3 = 4,221;
4) 1,4 x + 2,7 x - 8,113 = 2,342.
1703. Реши уравнения:
1) 4,13 x - 0,17 x = 9,9;
2) 5,3 x + 4,8 x - 5,13 = 43,35.
1704. Развернутый угол разделили лучами на треуголки. Первый составляет развернутого, а второй - первого. Найди градусные меры трех образованных углов.
1705. Составь задачи по схемам и реши их:
1706. Составь задачи по схемам и реши их:
1707. Реши уравнения:
1) 2,7(x - 4,7) = 9,45; 2) (4,7 + x ) : 3,8 = 10,5;
3) 2,4 + (x : 3 - 5) = 0,8; 4) 2,45: (2 x - 1,4) = 3,5.
1708. Реши уравнения:
1) 21: (4 x + 1,6) = 2,5;
2) 3,7 - (x : 2 + 1,5) = 0,8.
1709. С 2,5 г медного провода, масса 1 м которого 1,2 кг, и куска латунной проволоки, длина которого в 8 раз больше медный, а масса 1 м составляет 0,2 кг, изготовили шар. Сколько сплава останется, если масса пули 6,4 кг?
1710. Купили 2,5 кг печенья по цене 13,6 грн. за килограмм и конфет 1,6 кг, цена за один килограмм в 1,5 раза больше за цену одного килограмма печенья. Какую сдачу должны получить со 100 грн.?
1711. Заполни клетки цифрами, чтобы образовались правильные примеры:
1712. Заполни ячейки такими цифрами, чтобы образовались правильные примеры:
1713. Число 5,2 является средним арифметическим чисел 2,1; 3,2 и х. Найди х.
1714. Найди среднее арифметическое четырех чисел, первое из которых равно 3,6, а каждое следующее на 0,2 больше предыдущего.
1715. Из одного города в другой в одном направлении одновременно отправились двое мотоциклистов со скоростью 72,4 км/ч и 67,8 км/час. Через какое время расстояние между мотоциклистами будет 11,5 км?
1716. Цена некоторого товара 120 грн. Сколько будет стоить этот товар, если цену:
1) увеличить на 15 %;
2) уменьшить на 10 %;
3) сначала увеличить на 5 %, а затем новую цену уменьшить на 20 %?
1717. Найди числа, которых не хватает в цепочке вычислений:
1718. Автомобиль проехал за первые два часа 170,4 км, а за следующую - 0,45 этого расстояния. Найди среднюю скорость автомобиля.
1719. Поезд проехал за первые три часа 210,5 км, а за следующие две - 0,6 этого расстояния. Найди среднюю скорость поезда.
1720. Сторона равностороннего треугольника равна 11,2 см. Найди сторону квадрата, периметр которого равен периметру треугольника. Определи площадь этого квадрата.
1721. Найди заштрихованная часть круга:
1722. Найди сумму трех чисел, первое из которых равна 37,6, второе составляет от первого, а третий является средним арифметическим первых двух.
1723. Лодка прошла за 6 ч против течения реки 231 км. Какой путь он пройдет по течению реки за 4 ч, если скорость течения составляет 1,4 км/ч?
1724. Из двух пунктов, расстояние между которыми 8,5 км, в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга, одновременно вышли двое пешеходов. Скорость одного из них 4,2 км/ч, что составляет скорости второго. Какое расстояние будет между пешеходами через 2,5 ч?
1725. Автомобиль двигался 4 часа со скоростью 82,5 км/ч и 6 часов со скоростью 83,7 км/час. Найди среднюю скорость автомобиля на всем пути.
Высокий уровень
1726. Карлсон и Малыш вместе съели 3,6 кг варенья, причем Карлсон съел в 3 раза больше, чем Малыш. Сколько варенья съел Карлсон и сколько Малыш?
1727. Груз массой 4,8 т разместили на двух грузовых автомобилях, причем на первый погрузили на 0,6 т больше, чем на второй. Сколько тонн груза в каждом автомобиле?
1728. Рабочие, работая втроем, за 7 ч изготовили 1001 деталь. Причем первый изготовил всех деталей, а второй - всех деталей. Сколько деталей в час изготовил третий рабочий?
1729. От некоторого числа вычли 10 % и получили 48,6. Найди это число.
1730. К некоторому числу прибавили его 20 % и получили 74,4. Найди это число.
1731. Найди два числа, если их сумма 4,7, а разница 3,1.
1732. Сумма двух чисел равна 27,2. Найди эти числа, если одно из них в три раза больше за другое.
1733. Веревку длиной 10,6 м разрезали на три части. Найди их длины, если третья часть на 0,4 м больше как за первую, так и вторую.
1734. Собственная скорость катера в 13 раз больше скорости течения. Двигаясь по течению 2,5 ч, катер преодолел 63 км. Найди собственную скорость катера и скорость течения.
1735. С двух станций, расстояние между которыми равно 385 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 2,5 часа. Найди скорости поездов, если известно, что скорость одного из них в 1,2 раза больше скорости другого.
1736. Сумма длины и ширины прямоугольника равна 9,6 см, причем ширина составляет 60 % длины. Найди площадь и периметр прямоугольника.
1737. Длина одной стороны треугольника составляет периметра, а длина другой стороны - периметра. Найди длины этих сторон, если третья сторона равна 10,4 см.
1738. Ученик прочитал сначала 0,25 всей книги, а потом еще 0,4 остальных, после чего оказалось, что ученик прочитал 30 страниц больше, чем ему осталось прочитать. Сколько страниц в книге?
1739. Найди значение букв g , h , m , n , k , l , если:
g: n = 1,8; n ∙ k = 1,71; h + m = 2,13;
k + l = 10,44; m ∙ 0,9 = 1,17; g - h = 0,79.
1740. IS В трех ящиках вместе 62,88 кг товара. В первом ящике товара в 1,4 раза больше, чем во втором, а в третьем - столько товара, сколько его в первом и втором вместе. Сколько килограммов товара в каждом ящике?
Упражнения для повторения
1741. 1) Выполни действия:
2) Выполни действия:
3) Сравни числа, обозначены фигурами:
1742. 1) Выполни действия:
2) Выполни действия:
2. Найди среднее арифметическое чисел 1,8 и 2,6.
А) 1,8; Б) 2; В) 2,6; Г) 2,2.
3. Запиши в виде десятичной дроби смешанное число
А) 3,13; Б) 13,3; В) 13,003; Г) 13,03.
4. После перегонки нефти получают 30 % керосина. Сколько керосина получают с 18 т нефти?
А) 6 т; Б) 5,4 т; В) 54 т; Г) 0,6 т.
5. Из молока получается 9 % сыра. Сколько было взято молока, если сыра получили 36 кг?
А) 400 кг; Б) 40 кг; В) 324 кг; Г) 300 кг.
6. В команде баскетболистов двоим игрокам по 19 лет, двоим - по 21 году, а одному игроку - 26 лет. Какой средний возраст игроков этой команды?
A ) 19 лет; Б) 21 год;
B ) 21,2 года; Г) 21,4 года.
7. Во время сушки грибы теряют 89 % своей массы. Сколько сухих грибов получим из 60 кг свежих?
А) 53,4 кг; Б) 6,6 кг; В) 6 кг; Г) 5,34 кг.
8. Когда ученик прочитал 30 % книги, то заметил, что ему осталось прочитать еще 105 страниц. Сколько страниц в книге?
А) 350 сек.; Б) 250 сек.; В) 150 сек.; Г) 160с.
9. Один из операторов компьютерного набора набрал 45 страниц текста за 6 часов, а другой - 26 страниц текста за 4 часа. За сколько часов, работая вместе, они наберут 35 страниц?
А) 2 ч; Б) 2,5 ч В) 3 ч; Г) 3,5 часа.
10. В ящике находятся белые и черные шары, причем белые составляют 30 % всех шариков. Сколько в ящике шаров всего, если черных шаров на 32 больше, чем белых?
А) 80; Б) 70; В) 56; Г) 180.
11. Среднее арифметическое двух чисел, одно из которых в 4 раза больше другого, равна 6. Найдите меньшее из этих двух чисел.
А) 1,5; Б) 2,4; В) 2,5; Г) 9,6.
12. Цена некоторого товара 150 грн. Сколько будет стоить этот товар, если изначально цену товара увеличить на 10 %, а затем новую цену уменьшить на 15 %?
А) 142,5 грн.; Б) 157,5 грн.;
в) 155 грн.; Г) 140,25 грн.
Задания для проверки знаний № 9 (§42 - §45)
1. Запиши в виде десятичной дроби:
1) 15 %; 2) 3 %.
2. Запиши в процентах десятичную дробь:
1) 0,45; 2) 1,37.
3. Выполни действия:
1) 3,7 + 13,42; 2) 15,8 - 13,12;
3) 4,2 ∙ 2,05; 4) 8,64: 2,4.
4. Из 1200 учащихся, обучающихся в школе, 65 % принимали участие в спартакиаде. Сколько учеников принимали участие в спартакиаде?
5. Сергей купил книгу за 8 грн., что составляет 40 % денег, которые у него были. Сколько гривен было у Сергея?
6. Найди среднее арифметическое чисел 48,5; 58,2; 46,8; 42,2.
7. Рабочий изготовил 320 деталей. За первый час - 35 % всех деталей, второй - 40 %, а за третью - остальные. Сколько деталей рабочий изготовил за третий час?
8. Автомобиль ехал 2 ч со скоростью 66,7 км/ч и 3 ч со скоростью 72,8 км/ч. Найди его среднюю скорость на всем пути.
9. Турист прошел за три дня 56 км. За первый день он прошел 30 % всего пути, что составляет 80 % расстояния, пройденного туристом за второй день. Сколько километров прошел турист за третий день?
10. Дополнительное задание. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 8,5 см, что в 2,5 раза больше ширины и на 5,1 см больше высоту. Найди объем этого прямоугольного параллелепипеда.
11. Дополнительное задание. Среднее арифметическое двух чисел равен 12,4, а среднее арифметическое восьми других чисел - 10,7. Найди среднее арифметическое этих десяти чисел.
Десятичная дробь используется, когда нужно выполнять действия с нецелыми числами. Это может показаться нерациональным. Но такой вид чисел существенно облегчает математические операции, которые с ними необходимо выполнять. Это понимание приходит со временем, когда их запись становится привычной, а прочтение не вызывает трудностей, и освоены правила десятичных дробей. Тем более что все действия повторяют уже известные, которые усвоены с натуральными числами. Только нужно запомнить некоторые особенности.
Определение десятичной дроби
Десятичная дробь — это особое представление нецелого числа со знаменателем, который делится на 10, а ответ получается в виде единицы и, возможно, нулей. Другими словами, если в знаменателе 10, 100, 1000 и так далее, то удобнее переписать число с использованием запятой. Тогда до нее будет расположена целая часть, а потом - дробная. Причем запись второй половины числа будет зависеть от знаменателя. Количество цифр, которые находятся в дробной части, должно быть равно разряду знаменателя.
Проиллюстрировать вышесказанное можно этими числами:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Причины, по которым понадобилось применение десятичных дробей
Математикам потребовались десятичные дроби по нескольким основаниям:
Упрощение записи. Такая дробь расположена вдоль одной линии без черточки между знаменателем и числителем, при этом наглядность не страдает.
Простота в сравнении. Достаточно просто соотнести цифры, находящиеся в одинаковых позициях, в то время как с обыкновенными дробями пришлось бы приводить их к общему знаменателю.
Упрощение вычислений.
Калькуляторы не рассчитаны на введение обыкновенных дробей, они для всех операций используют десятичную запись чисел.
Как правильно прочитать такие числа?
Ответ прост: так же, как обыкновенное смешанное число со знаменателем, кратным 10. Исключение составляют только дроби без целого значения, тогда при чтении нужно произносить «ноль целых».
Например, 45/1000 нужно произнести как сорок пять тысячных , в то же время 0,045 будет звучать как ноль целых сорок пять тысячных .
Смешанное число с целой частью равной 7 и дробью 17/100, что запишется как 7,17, в обоих случаях будет прочитано как семь целых семнадцать сотых .
Роль разрядов в записи дробей
Верно отметить разряд - это то, что требует математика. Десятичные дроби и их значение могут существенно измениться, если записать цифру не в том месте. Впрочем, это было справедливо и раньше.
Для прочтения разрядов целой части десятичной дроби нужно просто воспользоваться правилами, известными для натуральных чисел. А в правой части они зеркально отражаются и по-другому читаются. Если в целой части звучало "десятки", то после запятой это будут уже "десятые".
Наглядно это можно увидеть в этой таблице.
| класс | тысячи | единицы | , | дробная часть | |||||||
| разряд | сот. | дес. | ед. | сот. | дес. | ед. | десятая | сотая | тысячная | десятитысячная | |
Как правильно записать смешанное число десятичной дробью?
Если в знаменателе стоит число, равное 10 или 100, и прочие, то вопрос о том, как дробь перевести в десятичную, несложен. Для этого достаточно по-другому переписать все ее составные части. В этом помогут такие пункты:
немного в стороне написать числитель дроби, в этот момент десятичная запятая располагается справа, после последней цифры;
переместить запятую влево, здесь самое главное - правильно сосчитать цифры — передвинуть ее нужно на столько позиций, сколько нолей в знаменателе;
если их не хватает, то на пустых позициях должны оказаться нули;
нули, которые были в конце числителя, теперь не нужны, и их можно зачеркнуть;
перед запятой приписать целую часть, если ее не было, то здесь тоже окажется нуль.
Внимание. Нельзя зачеркивать нули, которые оказались окружены другими цифрами.
О том, как быть в ситуации, когда в знаменателе число не только из единицы и нулей, как дробь переводить в десятичную, можно прочитать чуть ниже. Это важная информация, с которой обязательно стоит ознакомиться.
Как дробь перевести в десятичную, если знаменатель - произвольное число?
Здесь возможны два варианта:
Когда знаменатель можно представить в виде числа, которое равно десяти в любой степени.
Если такую операцию проделать нельзя.
Как это проверить? Нужно разложить знаменатель на множители. Если в произведении присутствуют только 2 и 5, то все хорошо, и дробь легко преобразуется в конечную десятичную. В противном случае, если появляются 3, 7 и другие простые числа, то результат будет бесконечным. Такую десятичную дробь для удобства использования в математических операциях принято округлять. Об этом будет речь немного ниже.
Изучает, как получаются такие десятичные дроби, 5 класс. Примеры здесь будут очень кстати.
Пусть в знаменателях находятся числа: 40, 24 и 75. Разложение на простые множители для них будет такое:
- 40=2·2·2·5;
- 24=2·2·2·3;
- 75=5·5·3.
В этих примерах только первая дробь может быть представлена в виде конечной.
Алгоритм перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную
Проверить разложение знаменателя на простые множители и убедиться в том, что оно будет состоять из 2 и 5.
Добавить к этим числам столько 2 и 5, чтобы их стало равное количество. Они дадут значение дополнительного множителя.
Произвести умножение знаменателя и числителя на это число. В результате получится обыкновенная дробь, под чертой у которой стоит 10 в некоторой степени.
Если в задаче эти действия выполняются со смешанным числом, то его сначала нужно представить в виде неправильной дроби. А уже потом действовать по описанному сценарию.
Представление обыкновенной дроби в виде округленной десятичной
Этот способ того, как дробь переводить в десятичную, кому-то покажется даже проще. Потому что в нем нет большого количества действий. Нужно только разделить значение числителя на знаменатель.
К любому числу с десятичной частью справа от запятой можно приписать бесконечное количество нулей. Этим свойством и нужно воспользоваться.
Сначала записать целую часть и поставить после нее запятую. Если дробь правильная, то написать ноль.
Потом полагается выполнить деление числителя на знаменатель. Так, чтобы количество цифр у них было одинаковым. То есть приписать справа у числителя нужное количество нолей.
Выполнять деление в столбик до тех пор, пока не будет набрано нужное количество цифр. Например, если округлить нужно будет до сотых, то в ответе их должно быть 3. В общем, цифр должно быть на одну больше, чем нужно получить в итоге.
Записать промежуточный ответ после запятой и округлить по правилам. Если последняя цифра - от 0 до 4, то ее нужно просто отбросить. А когда она равна 5-9, то стоящую перед ней нужно увеличить на единицу, отбросив последнюю.
Возврат от десятичной дроби к обыкновенной
В математике встречаются задачи, когда десятичные дроби удобнее представить в виде обыкновенных, в которых есть числитель со знаменателем. Можно вздохнуть с облегчением: эта операция возможна всегда.
Для этой процедуры нужно сделать следующее:
записать целую часть, если она равна нулю, то ничего писать не надо;
провести дробную черту;
над ней записать цифры из правой части, если первыми идут нули, то их нужно зачеркнуть;
под чертой написать единицу с таким количеством нолей, сколько цифр стоит после запятой в первоначальной дроби.
Это все, что нужно сделать, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную.
Что можно делать с десятичными дробями?
В математике это будут определенные действия с десятичными дробями, которые ранее выполнялись для других чисел.
Ими являются:
сравнение;
сложение и вычитание;
умножение и деление.
Первое действие, сравнение, похоже на то, как это делалось для натуральных чисел. Чтобы определить, какое больше, нужно сравнивать разряды целой части. Если они окажутся равными, то переходят к дробной и так же по разрядам сравнивают их. То число, где окажется большая цифра в старшем разряде, и будет ответом.
Сложение и вычитание десятичных дробей
Это, пожалуй, самые простые действия. Потому что выполняются по правилам для натуральных чисел.
Так, чтобы выполнить сложение десятичных дробей, их нужно записать друг под другом, разместив запятые в столбик. При такой записи слева от запятых оказываются целые части, а справа — дробные. И теперь нужно сложить цифры поразрядно, как это делается с натуральными числами, снеся вниз запятую. Начинать сложение нужно с самого маленького разряда дробной части числа. Если в правой половине не хватает цифр, то дописывают нули.
При вычитании действуют так же. И здесь действует правило, которое описывает возможность занять единицу у старшего разряда. Если в уменьшаемой дроби после запятой меньше цифр, чем у вычитаемого, то в ней просто приписывают нули.
Немного сложнее обстоит дело с заданиями, где нужно выполнить умножение и деление десятичных дробей.
Как умножить десятичную дробь в разных примерах?
Правило, по которому производится умножение десятичных дробей на натуральное число, такое:
записать их в столбик, не обращая внимания на запятую;
перемножить, как если бы они были натуральными;
отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробной части исходного числа.
Частным случаем является пример, в котором натуральное число равно 10 в любой степени. Тогда для получения ответа нужно просто передвинуть запятую вправо на столько позиций, сколько нулей в другом множителе. Иными словами, при умножении на 10 запятая сдвигается на одну цифру, на 100 - их будет уже две, и так далее. Если цифр в дробной части не хватает, то нужно записать на пустых позициях нули.
Правило, которым пользуются, когда в задании нужно произвести умножение десятичных дробей на другое такое же число:
записать их друг под другом, не обращая внимания на запятые;
умножить, как если бы они были натуральными;
отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробных частях обеих исходных дробях вместе.
Частным случаем выделяются примеры, в которых один из множителей равен 0,1 или 0,01 и далее. В них нужно выполнить перемещение запятой влево на количество цифр в представленных множителях. То есть если умножается на 0,1, то запятая сдвигается на одну позицию.
Как разделить десятичную дробь в разных заданиях?
Деление десятичных дробей на натуральное число выполняется по такому правилу:
записать их для деления в столбик, как если бы они были натуральными;
делить по привычному правилу до тех пор, пока не закончится целая часть;
поставить в ответ запятую;
продолжить деление дробной составляющей до получения в остатке нуля;
если нужно, то можно приписать нужное количество нулей.
Если целая часть равна нулю, то и в ответе ее тоже не будет.
Отдельно стоит деление на числа, равные десятке, сотне и так далее. В таких задачах нужно передвинуть запятую влево на количество нулей в делителе. Бывает, что цифр в целой части не хватает, тогда вместо них используют нули. Можно заметить, что эта операция подобна умножению на 0,1 и подобным ей числам.
Чтобы выполнить деление десятичных дробей, нужно воспользоваться этим правилом:
превратить делитель в натуральное число, а для этого перенести в нем запятую вправо до конца;
выполнить перемещение запятой и в делимом на такое же число цифр;
действовать по предыдущему сценарию.
Выделяется деление на 0,1; 0,01 и прочие подобные числа. В таких примерах запятая сдвигается вправо на число цифр в дробной части. Если они закончились, то нужно приписать недостающее количество нулей. Стоит отметить, что это действие повторяет деление на 10 и подобные ему числа.
Заключение: все дело в практике
Ничто в учебе не дается легко и без усилий. Для надежного освоения нового материала требуются время и тренировка. Математика не исключение.
Чтобы тема про десятичные дроби не вызывала затруднений, нужно решать с ними примеров как можно больше. Ведь было время, когда и сложение натуральных чисел ставило в тупик. А теперь все нормально.
Поэтому, перефразируя известную фразу: решать, решать и еще раз решать. Тогда и задания с такими числами будут выполняться легко и непринужденно, как очередная головоломка.
Кстати, и головоломки поначалу решаются сложно, а потом нужно делать привычные движения. Так же и в математических примерах: пройдя по одному пути несколько раз, потом уже не будешь задумываться над тем, куда повернуть.
§ 31. Задачи и примеры на все действия с десятичными дробями.
Выполнить указанные действия:
767. Найти частное от деления:
772. Вычислить:
Найти х , если:
776. Неизвестное число умножили на разность чисел 1 и 0,57 и в произведении получили 3,44. Найти неизвестное число.
777. Сумму неизвестного числа и 0,9 умножили на разность между 1 и 0,4 и в произведении получили 2,412. Найти неизвестное число.
778. По данным диаграммы о выплавке чугуна в РСФСР (рис. 36) составить задачу, для решения которой надо применить действия сложения, вычитания и деления.
779. 1) Длина Суэцкого канала 165,8 км, длина Панамского канала меньше Суэцкого на 84,7 км, а длина Беломорско-Балтийского канала на 145,9 км больше длины Панамского. Какова длина Беломорско-Балтийского канала?
2) Московское метро (к 1959 г.) было построено в 5 очередей. Длина первой очереди метро 11,6 км, второй -14,9 км, длина третьей на 1,1 км меньше длины второй очереди, длина четвёртой очереди на 9,6 км больше третьей очереди, а длина пятой очереди на 11,5 км меньше четвёртой. Чему равна длина Московского метро к началу 1959 г.?
780. 1) Наибольшая глубина Атлантического океана 8,5 км, наибольшая глубина Тихого ркеана на 2,3 км больше глубины Атлантического океана, а наибольшая глубина Северного Ледовитого океана в 2 раза меньше наибольшей глубины Тихого океана. Какова наибольшая глубина Северного Ледовитого океана?
2) Автомобиль «Москвич» на 100 км пути расходует 9 л бензина, автомобиль «Победа» на 4,5 л больше, чем расходует «Москвич», а «Волга» в 1,1 раза больше «Победы». Сколько бензина расходует автомобиль «Волга» на 1 км пути? (Ответ округлить с точностью до 0,01 л.)
781. 1) Ученик во время каникул поехал к дедушке. По железной дороге он ехал 8,5 часа, а от станции на лошадях 1,5 часа. Всего он проехал 440 км. С какой скоростью ученик ехал по железной дороге, если на лошадях он ехал со скоростью 10 км в час?
2) Колхознику надо было быть в пункте, находящемся на расстоянии 134,7 км от его дома. 2,4 часа он ехал на автобусе со средней скоростью 55 км в час, а остальную часть пути он прошёл пешком со скоростью 4,5 км в час. Сколько времени он шёл пешком?
782. 1) За лето один суслик уничтожает около 0,12 ц хлеба. Пионеры весной истребили на 37,5 га 1 250 сусликов. Сколько хлеба сохранили школьники для колхоза? Сколько сбережённого хлеба приходится на 1 га?
2) Колхоз подсчитал, что, уничтожив сусликов на площади в 15 га пашни, школьники сберегли 3,6 т зерна. Сколько сусликов в среднем уничтожено на 1 га земли, если один суслик за лето уничтожает 0,012 т зерна?
783. 1) При размоле пшеницы на муку теряется 0,1 её веса, а при выпечке получается припёк, равный 0,4 веса муки. Сколько печёного хлеба получится из 2,5 т пшеницы?
2) Колхоз собрал 560 т семян подсолнуха. Сколько подсолнечного масла изготовят из собранного зерна, если вес зерна составляет 0,7 веса семян подсолнуха, а вес полученного масла составляет 0,25 веса зерна?
784. 1) Выход сливок из молока составляет 0,16 веса молока, а выход масла из сливок составляет 0,25 веса сливок. Сколько требуется молока (по весу) для получения 1 ц масла?
2) Сколько килограммов белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушёных, если при подготовке к сушке остаётся 0,5 веса, а при сушке остаётся 0,1 веса обработанного гриба?
785. 1) Земля, отведённая колхозу, использована так: 55% её занято пашней, 35% -лугом, а вся остальная земля в количестве 330,2 га отведена под колхозный сад и под усадьбы колхозников. Сколько всего земли в колхозе?
2) Колхоз засеял 75% всей посевной площади зерновыми культурами, 20% -овощными, а остальную площадь кормовыми травами. Сколько посевной площади имел колхоз, если кормовыми травами он засеял 60 га?
786. 1) Сколько центнеров семян потребуется для засева поля, имеющего форму прямоугольника длиной 875 м и шириной 640 м, если на 1 га высевать 1,5 ц семян?
2) Сколько центнеров семян потребуется для засева поля, имеющего форму прямоугольника, если его периметр равен 1,6 км? Ширина поля 300 м. На засев 1 га требуется 1,5 ц семян.
787. Сколько пластинок квадратной формы со стороной в 0,2 дм поместится в прямоугольнике размером 0,4 дм х 10 дм?
788. Читальный зал имеет размеры 9,6 м х 5м х 4,5 м. На сколько мест рассчитан читальный зал, если на каждого человека необходимо 3 куб. м воздуха?
789. 1) Какую площадь луга скосит трактор с прицепом четырёх косилок за 8 час, если ширина захвата каждой косилки 1,56 м и скорость трактора 4,5 км в час? (Время на остановки не учитывается.) (Ответ округлить с точностью до 0,1 га.)
2) Ширина захвата тракторной овощной сеялки равна 2,8 м. Какую площадь можно засеять этой сеялкой за 8 час. работы при скорости 5 км в час?
790. 1) Найти выработку трёхкорпусного тракторного плуга за 10 час. работы, если скорость трактора 5 км в час, захват одного корпуса 35 см, а непроизводительная трата времени составила 0,1 всего затраченного времени. (Ответ округлить с точностью до 0,1 га.)
2) Найти выработку пятикорпусного тракторного плуга за 6 час. работы, если скорость трактора 4,5 км в час, захват одного корпуса 30 см, а непроизводительная трата времени составила 0,1 всего затраченного времени. (Ответ округлить с точностью до 0,1 га.)
791. Расход воды на 5 км пробега для паровоза пассажирского поезда равен 0,75 т. Водяной бак тендера вмещает 16,5 т воды. На сколько километров пути хватит воды поезду, если бак был наполнен на 0,9 своей вместимости?
792. На запасном пути могут поместиться только 120 товарных вагонов при средней длине вагона в 7,6 м. Сколько поместится на этом пути четырёхосных пассажирских вагонов длиной в 19,2 м каждый, если на этом пути будут помещены ещё 24 товарных вагона?
793. Для прочности железнодорожной насыпи рекомендуется производить укрепление откосов посредством посева полевых трав. На каждый квадратный метр насыпи требуется 2,8 г семян стоимостью 0,25 руб. за 1 кг. Сколько будет стоить засев 1,02 га откосов, если стоимость работ составит 0,4 от стоимости семян? (Ответ округлить с точностью до 1 руб.)
794. Кирпичный завод доставил на станцию железной дороги кирпичи. На перевозке кирпичей работали 25 лошадей и 10 грузовых машин. Каждая лошадь перевозила 0,7 т за одну поездку и в день совершала 4 поездки. Каждая машина перевозила за одну поездку 2,5 т и в день совершала 15 поездок. Перевозка продолжалась 4 дня. Сколько штук кирпичей было доставлено на станцию, если средний вес одного кирпича 3,75 кг? (Ответ округлить с точностью до 1 тыс. штук.)
795. Запас муки был распределён между тремя пекарнями: первая получила 0,4 всего запаса, вторая 0,4 остатка, а третья пекарня получила муки на 1,6 т меньше, чем первая. Сколько всего муки было распределено?
796. На втором курсе института 176 студентов, на третьем 0,875 этого числа, а на первом в полтора раза больше того, что было на третьем курсе. Число студентов на первом, втором и третьем курсах составляло 0,75 всего числа студентов этого института. Сколько студентов было в институте?
___________
797. Найти среднее арифметическое:
1) двух чисел: 56,8 и 53,4; 705,3 и 707,5;
2) трёх чисел: 46,5; 37,8 и 36; 0,84; 0,69 и 0,81;
3) четырёх чисел: 5,48; 1,36; 3,24 и 2,04.
798. 1) Утром температура была 13,6°, в полдень 25,5°, а вечером 15,2°. Вычислить среднюю температуру за этот день.
2) Какова средняя температура за неделю, если в течение недели термометр показал: 21°; 20,3°; 22,2°; 23,5°; 21,1°; 22,1°; 20,8°?
799. 1) Школьная бригада в первый день прополола 4,2 га свёклы, во второй день 3,9 га, а в третий 4,5 га. Определять среднюю выработку бригады за день.
2) Для установления нормы времени на изготовление новой детали были поставлены 3 токаря. Первый изготовил деталь за 3,2 мин., второй за 3,8 мин., а третий за 4,1 мин. Вычислить норму времени, которая была установлена на изготовление детали.
800. 1) Среднее арифметическое двух чисел 36,4. Одно из этих чисел 36,8. Найти другое.
2) Температуру воздуха измеряли три раза в день: утром, в полдень и вечером. Найти температуру воздуха утром, если в полдень было 28,4°, вечером 18,2° тепла, а средняя температура дня 20,4°.
801. 1) Автомобиль проехал за первые два часа 98,5 км, а за последующие три часа 138 км. Сколько километров в среднем проезжал автомобиль в час?
2) Пробный улов и взвешивание карпов-годовичков показал, что из 10 карпов 4 имели вес по 0,6 кг, 3 по 0,65 кг, 2 по 0,7 кг и 1 весил 0,8 кг. Каков в среднем вес карпа-годовичка?
802. 1) К 2 л сиропа стоимостью 1,05 руб. за 1 л добавили 8 л воды. Сколько стоит 1 л полученной воды с сиропом?
2) Хозяйка купила банку консервированного борща объёмом 0,5 л за 36 коп. и прокипятила с 1,5 л воды. Во что обошлась тарелка борща, если её объём равен 0,5 л?
803. Лабораторная работа «Измерение расстояния между двумя точками»,
1-й приём. Измерение рулеткой (мерной лентой). Класс разбивается на звенья по три человека в каждом. Принадлежности: 5-6 вех и 8-10 бирок.
Ход выполнения работы: 1) отмечаются точки А и Б и между ними провешивают прямую (см. задачу 178); 2) укладывают рулетку, вдоль провешенной прямой и каждый раз отмечают биркой конец рулетки. 2-й приём. Измерение, шагами. Класс разбивается на звенья по три человека в каждом. Каждый учащийся проходит расстояние от А до Б, считая число своих шагов. Умножив среднюю длину своего шага на полученное число шагов, находят расстояние от А до Б.
3-й приём. Измерение "на глаз" . Каждый из учащихся вытягивает левую руку с поднятым большим пальцем (рис. 37) и направляет большой палец на веху в точку Б (на рисунке - дерево) так, чтобы левый глаз (точка А), большой палец и точка Б находились на одной прямой. Не изменяя положения, закрывают левый глаз и смотрят правым на большой палец. Измеряют на глаз полученное смещение и увеличивают его в 10 раз. Это и есть расстояние от А до Б.
_________________
804. 1) По переписи 1959 г. население СССР составляло 208,8 млн. человек, причем сельского населения было на 9,2 млн. человек больше, чем городского. Сколько было городского и сколько сельского населения в СССР в 1959 г.?
2) По переписи 1913 г. население России составляло 159,2 млн. человек, причём городского населения было на 103,0 млн. человек меньше, чем сельского. Сколько было городского и сельского населения в России в 1913 г.?
805. 1) Длина проволоки 24,5 м. Эту проволоку разрезали на две части так, что первая часть получилась на 6,8 м длиннее, чем вторая. Сколько метров длины имеет каждая часть?
2) Сумма двух чисел 100,05. Одно число на 97,06 больше другого. Найти эти числа.
806. 1) На трёх угольных складах 8656,2 т угля, на втором складе на 247,3 т угля больше, чем на первом, а на третьем на 50,8 т больше, чем на втором. Сколько тонн угля на каждом складе?
2) Сумма трёх чисел 446,73. Первое число меньше второго на 73,17 и больше третьего на 32,22. Найти эти числа.
807. 1) Катер по течению реки шёл со скоростью 14,5 км в час, а против течения со скоростью 9,5 км в час. Какова скорость катера в стоячей воде и какова скорость течения реки?
2) Пароход прошёл за 4 часа по течениию реки 85,6 км, а против течения за 3 часа 46,2 км. Какова скорость парохода в стоячей воде и какова скорость течения реки?
_________
808. 1) Два парохода доставили 3 500 т груза, причём один пароход доставил в 1,5 раза груза больше, чем другой. Сколько груза доставил каждый пароход?
2) Площадь двух комнат 37,2 кв. м. Площадь одной комнаты в 2 раза больше другой. Чему равна площадь каждой комнаты?
809. 1) Из двух населённых пунктом, расстояние между которыми 32,4 км одновременно выехали навстречу друг другу мотоциклист и велосипедист. Сколько километров проедет каждый из них до встречи, если скорость мотоциклиста в 4 раза больше скорости велосипедиста?
2) Найти два числа, сумма которых 26,35, а частное от деления одного числа на другое равно 7,5.
810. 1) Завод отправил три вида груза общим весом в 19,2 т. Вес груза первого вида был втрое больше веса груза второго вида, а вес груза третьего вида был вдвое меньше, чем вес груза первого и второго видов вместе. Каков вес груза каждого вида?
2) За три месяца бригада горняков добыла 52,5 тыс. т железной руды. За март добыто в 1,3, за февраль в 1,2 раза больше, чем за январь. Сколько руды добывала бригада ежемесячно?
811. 1) Газопровод Саратов - Москва на 672 км длиннее канала имени Москвы. Найти длину того и другого сооружения, если длина газопровода в 6,25 раза больше длины канала имени Москвы.
2) Длина реки Дона в 3,934 раза больше длины реки Москвы. Найти длину каждой реки, если длина реки Дона больше длины реки Москвы на 1 467 км.
812. 1) Разность двух чисел 5,2, а частное от деления одного числа на другое 5. Найти эти числа.
2) Разность двух чисел 0,96, а их частное 1,2. Найти эти числа.
813. 1) Одно число на 0,3 меньше другого и составляет 0,75 его. Найти эти числа.
2) Одно число на 3,9 больше другого числа. Если меньшее число увеличить в 2 раза, то оно составит 0,5 от большего. Найти эти числа.
814. 1) Колхоз засеял пшеницей и рожью 2600 га земли. Сколько гектаров земли было засеяно пшеницей и сколько рожью, если 0,8 площади, засеянной пшеницей, равны 0,5 площади, засеянной рожью?
2) Коллекция двух мальчиков вместе составляет 660 марок. Из скольких марок состоит коллекция каждого мальчика, если 0,5 числа марок первого мальчика равны 0,6 числа марок коллекции второго мальчика?
815. Два ученика вместе имели 5,4 руб. После того как первый истратил 0,75 своих денег, а второй 0,8 своих денег, у них осталось денег поровну. Сколько денег было у каждого ученика?
816. 1) Два парохода вышли навстречу друг другу из двух портов, расстояние между которыми 501,9 км. Через сколько времени они встретятся, если скорость первого парохода 25,5 км в час, а скорость второго 22,3 км в час?
2) Два поезда вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 382,2 км. Через сколько времени они встретятся, если средняя скорость первого поезда была 52,8 км в час, а второго 56,4 км в час?
817. 1) Из двух городов, расстояние между которыми 462 км, одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3,5 часа. Найти скорость каждого автомобиля, если скорость первого была на 12 км в час больше скорости второго автомобиля.
2) Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 63 км, одновременно выехали навстречу друг другу мотоциклист и велосипедист и встретились через 1,2 часа. Найти скорость мотоциклиста, если велосипедист ехал со скоростью на 27,5 км в час меньшей скорости мотоциклиста.
818. Ученик заметил, что поезд, состоящий из паровоза и 40 вагонов, проходил мимо него 35 сек. Определить скорость поезда в час, если длина паровоза 18,5 м, а длина вагона 6,2 м. (Ответ дать с точностью до 1 км в час.)
819. 1) Из А в Б выехал велосипедист со средней скоростью 12,4 км в час. Спустя 3 часа 15 мин. из Б навстречу ему выехал другой велосипедист со средней скоростью 10,8 км в час. Через сколько часов и на каком расстоянии от А они встретятся, если 0,32 расстояния между А и Б равны 76 км?
2) Из городов А и Б, расстояние между которыми 164,7 км, выехали навстречу друг другу грузовая машина из города А и легковая - из города Б. Скорость грузовой машины 36 км, а легковой в 1,25 раза больше. Легковая машина вышла на 1,2 часа позже грузовой. Через сколько времени и на каком расстоянии от города Б легковая машина встретит грузовую?
820. Два парохода вышли одновременно из одного порта и идут в одном направлении. Первый пароход в каждые 1,5 часа проходит 37,5 км, а второй в каждые 2 часа проходит 45 км. Через сколько времени первый пароход будет находиться от второго на расстоянии 10 км?
821. Из одного пункта вначале вышел пешеход, а через 1,5 часа после его выхода выехал в том же направлении велосипедист. На каком расстоянии от пункта велосипедист догнал пешехода, если пешеход шёл со скоростью 4,25 км в час, а велосипедист ехал со скоростью 17 км в час?
822. Поезд вышел из Москвы в Ленинград в 6 час. 10 мин. утра и шёл со средней скоростью 50 км п час. Позднее из Москвы в Ленинград вылетел пассажирский самолет и прилетел в Ленинград одновременно с прибытием поезда. Средняя скорость самолёта была 325 км в час, а расстояние между Москвой и Ленинградом 650 км. Когда самолёт вылетел из Москвы?
823. Пароход по течению реки шёл 5 час, а против течения 3 часа и прошёл всего 165 км. Сколько километров он прошёл по течению и сколько против течении, если скорость течения реки 2,5 км в час?
824. Поезд вышел из А и должен прибыть в Б в определённое время; пройдя половину пути и делая по 0,8 км в 1 мин., поезд был остановлен на 0,25 часа; увеличив далее скорость на 100 м в 1 млн., поезд прибыл в Б вовремя. Найти расстояние между А и Б.
825. От колхоза до города 23 км. Из города в колхоз выехал на велосипеде почтальон со скоростью 12,5 км в час. Через 0,4 часа после этого ИВ колхоза в город выехал на лошади колхозник со скоростью, ранной 0,6 скорости почтальона. Через сколько времени после своего выезда колхозник встретит почтальона?
826. Из города А в город Б, отстоящий от А на 234 км, выехал автомобиль со скоростью 32 км в час. Через 1,75 часа после этого из города Б выехал навстречу первому второй автомобиль, скорость которого в 1,225 раза больше скорости первого. Через сколько часов после своего выезда второй автомобиль встретит первы
827. 1) Одна машинистка может перепечатать рукопись за 1,6 часа, а другая за 2,5 часа. За сколько времени обе машинистки перепечатают эту рукопись, работая совместно? (Ответ округлить с точностью до 0,1 часа.)
2) Бассейн наполняется двумя насосами различной мощности. Первый насос, работая один, может наполнить бассейн за 3,2 часа, а второй за 4 часа. За сколько времени наполнится бассейн при одновременной работе этих насосов? (Ответ округлить с точностью до 0,1.)
828. 1) Одна бригада может выполнить некоторый заказ за 8 дней. Другой на выполнение этого заказа требуется 0,5 времени первой. Третья бригада может выполнить этот заказ за 5 дней. За сколько дней будет выполнен весь заказ при совместной работе трёх бригад? (Ответ округлить с точностью до 0,1 дня.)
2) Первый рабочий может выполнить заказ за 4 часа, второй в 1,25 раза быстрее, а третий за 5 час. За сколько часов будет выполнен заказ при совместной работе трёх рабочих? (Ответ округлить с точностью до 0,1 часа.)
829. На уборке улицы работают две машины. Первая из них может убрать всю улицу за 40 мин., второй для этого требуется 75% времени первой. Обе машины начали работу одновременно. После совместной рвботы в течение 0,25 часа вторая машина прекратила работу. Во сколько времени после этого первая машина закончила работу по уборке улицы?
830. 1) Одна из сторон треугольника 2,25 см, вторая на 3,5 см больше первой, а третья на 1,25 см меньше второй. Найти периметр треугольника.
2) Одна из сторон треугольника 4,5 см, вторая на 1,4 см меньше первой, а третья сторона равна полусумме двух первых сторон. Чему равен периметр треугольника?
831 . 1) Основание треугольника 4,5 см, а высота его на 1,5 см меньше. Найти площадь треугольника.
2) Высота треугольника 4,25 см, а его основание в 3 раза больше. Найти площадь треугольника. (Ответ округлить с точностью до 0,1.)
832. Найти площади заштрихованных фигур (рис. 38).
833. Какая площадь больше: прямоугольника со сторонами 5 см и 4 см, квадрата со стороной 4,5 см или треугольника, основание и высота которого равны по 6 см?
834. Комната имеет длину 8,5 м, ширину 5,6 м и высоту 2,75 м. Площадь окон, дверей и печей составляет 0,1 общей площади стен комнаты. Сколько кусков обоев понадобится для оклеивания этой комнаты, если кусок обоев имеет длину 7 м и ширину 0,75 м? (Ответ округлить с точностью до 1 куска.)
835. Надо снаружи оштукатурить и побелить одноэтажный дом, размеры которого: длина 12 м, ширина 8 м и высота 4,5 м. В доме 7 окон размером каждое 0,75 м х 1,2 м и 2 двери каждая размером 0,75 м х 2,5 м. Сколько будет стоить вся работа, если побелка и штукатурка 1 кв. м стоит 24 коп.? (Ответ округлить а точностью до 1 руб.)
836. Вычислите поверхность и объём вашей комнаты. Размеры комнаты найдите измерением.
837. Огород имеет форму прямоугольника, длина которого 32 м, ширина 10 м. 0,05 всей площади огорода засеяно морковью, а остальная часть огорода засажена картофелем и луком, причём картофелем засажена площадь в 7 paз большая, чем луком. Сколько земли в отдельности засажено картофелем, луком и морковью?
838. Огород имеет форму прямоугольника, длина которого 30 м и ширина 12 м. 0,65 всей площади огорода засажено картофелем, а остальная часть - морковью и свёклой, причём свёклой засажено на 84 кв. м больше, чем морковью. Сколько земли в отдельности под картофелем, свёклой и морковью?
839. 1) Ящик, имеющий форму куба, обшили со всех сторон фанерой. Сколько фанеры израсходовано, если ребро куба 8,2 дм? (Ответ округлить с точностью до 0,1 кв. дм.)
2) Сколько краски потребуется для окраски куба с ребром в 28 см, если на 1 кв. см будет истрачено 0,4 г краски? (Ответ, округлить с точностью до 0,1 кг.)
840. Длина чугунной заготовки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, равна 24,5 см, ширина 4,2 см и высота 3,8 см. Сколько весят 200 чугунных заготовок, если 1 куб. дм чугуна весит 7,8 кг? (Ответ округлить с точностью до 1 кг.)
841. 1) Длина ящика (с крышкой), имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равна 62,4 см, ширина 40,5 см, высота 30 см. Сколько квадратных метров досок пошло на изготовление ящика, если отходы досок составляют 0,2 поверхности, которая должна быть обшита досками? (Ответ округлить с точностью до 0,1 кв. м.)
2) Дно и боковые стенки ямы, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, должны быть обшиты досками. Длина ямы 72,5 м, ширина 4,6 м и высота 2,2 м. Сколько квадратных метров досок пошло на обшивку, если отходы досок составляют 0,2 поверхности, которая должна быть обшита досками? (Ответ округлить с точностью до 1 кв. м.)
842. 1) Длина подвала, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равна 20,5 м, ширина 0,6 его длины, а высота 3,2 м. Подвал заполнили картофелем на 0,8 его объёма. Сколько тонн картофеля поместилось в подвале, если 1 куб.м картофеля весит 1,5 т? (Ответ округлить с точностью до 1 т.)
2) Длина бака, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равна 2,5 м, ширина 0,4 его длины, а высота 1,4 м. Бак наполнен керосином на 0,6 его объёма. Сколько тонн керосина налито в бак, если вес керосина в объёме 1 куб. м равен 0,9 т? (Ответ округлить с точностью до 0,1 т.)
843. 1) Во сколько времени можно обновить воздух в комнате, имеющей 8,5 м длины, 6 м ширины и 3,2 м высоты, если через форточку в 1 сек. проходит 0,1 куб. м воздуха?
2) Произведите подсчёт времени, необходимого для обновления воздуха в вашей комнате.
844. Размеры бетонного блока для постройки стен следующие: 2,7 м х 1,4 м х 0,5 м. Пустота составляет 30% объёма блока. Сколько кубометров бетона потребуется на изготовление 100 таких блоков?
845. Грейдер-элеватор (машина для рытья канав) за 8 час. работы делает канаву шириной 30 см, глубиной 34 см и длиной 15 км. Скольких землекопов заменяет такая машина, если один землекоп может вынуть 0,8 куб. м в час? (Результат округлить.)
846. Закром в форме прямоугольного параллелепипеда имеет в длину 12 м и в ширину 8 ж. В этом закроме насыпано зерно до высоты 1,5 м. Для того чтобы узнать, сколько весит всё зерно, взяли ящик длиной 0,5 м, шириной 0,5 м и высотой 0,4 м, наполнили его зерном и взвесили. Сколько весило зерно в закроме, если зерно в ящике весило 80 кг?
849. Построить линейную диаграмму роста городского населения в СССР, если в 1913 г. городского населения было 28,1 млн человек, в 1926 г.-24,7 млн., в 1939 г.-56,1 млн. и в 1959г- 99,8 млн. человек.
850. 1) Составить смету на ремонт помещения вашего класса, если требуется побелить стены и потолок, а также покрасить пол. Данные для составления сметы (размеры класса, стоимость побелки 1 кв. м, стоимость покраски пола 1 кв. м) выяснить у завхоза школы.
2) Для посадки в саду школа купила саженцы: 30 яблонь по 0,65 руб. за штуку, 50 вишен по 0,4 руб. за штуку, 40 кустов крыжовника по 0,2 руб. и 100 кустов малины по 0,03 руб. за куст. Напишите счёт на эту покупку по образцу:
ОТВЕТЫ
Организация: МБОУ Бестужевская СОШ
Населенный пункт: с. Бестужево, Устьянский р-н, Архангельская область
Дидактический материал по теме:
«Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями. Проценты»
«Дидактический материал - особый тип наглядного учебного пособия (преимущественно карты, таблицы, наборы карточек с текстом, цифрами или рисунками и т.д.), раздаваемые учащимся для самостоятельной работы в классе или дома. Дидактическим материалом называются также сборники задач и упражнений» .
- Данный дидактический материал разработан по теме: «Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями. Проценты». рассчитан на учащихся 5 класса общеобразовательных школ и предназначен для формирования и развития вычислительной культуры учащихся по данной теме.
Цель данного дидактического материала – овладение учащимися вычислительных навыков действий с десятичными дробями и процентами; развитие познавательной активности и повышение учебной мотивации у пятиклассников; формирование у учащихся культуры учебной деятельности и повышение интереса к математике.
Задачи :
1) Сформировать и развить вычислительные навыки действий с десятичными дробями и процентами у пятиклассников при решении заданий данного дидактического материала;
2) Повысить учебную мотивацию и интерес к изучению математики у учащихся через решение нестандартных заданий дидактического материала;
3) Развивать познавательную активность и культуру учебной деятельности учащихся при различных формах работы с данным дидактическим материалом.
Данный дидактический материал представлен в виде карточек с различными нестандартными заданиями. Первый вид заданий – числовые кроссворды. В этих кроссвордах ответом может быть целое число или конечная десятичная дробь. Такие кроссворды – альтернатива примерам из учебных пособий. При разгадывании кроссвордов, нужно выполнить действие с десятичными дробями, записать ответ в кроссворд, при этом надо учитывать, что каждый знак записывается в отдельную клетку. В конце каждой карточки с кроссвордом дана инструкция по заполнению ответов. Решая такие числовые кроссворды, учащиеся могут контролировать правильность своих решений (при индивидуальной работе с кроссвордом) или контролировать друг друга (при работе в парах или малых группах). Кроссворды в дидактическом материале представлены по следующим темам: «Запись десятичных дробей», «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Умножение десятичных дробей на натуральное число», «Деление десятичных дробей на натуральное число», «Умножение десятичных дробей», «Деление числа на десятичную дробь».
В дидактическом материале также содержатся задания, ответом на которые может быть слово, фраза, поговорка или имя ученого. В таких заданиях учащийся решает пример, получает ответ, которому соответствует определенная буква. Решив все примеры в задании можно получить термин, значение которого дается ниже; пословицу или имя ученого, внесшего вклад в развитие математики. Решая такие задания, учащиеся узнают интересные факты из истории математики, о различных древних приспособлениях счета, об истории появления процентов. В процессе решении заданий учащиеся могут сами контролировать правильность своего решения или контроль осуществляет учитель. В конце карточки с заданиями дана инструкция по заполнению ответов. Эти задания носят познавательный характер и направлены на расширение кругозора учащихся. В дидактическом материале содержатся задания по темам: «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Умножение десятичных дробей на натуральное число», «Умножение и деление десятичных дробей на натуральное число», «Умножение десятичных дробей», «Умножение и деление десятичных дробей», «Все действия с десятичными дробями», «Среднее арифметическое», «Нахождение числа по его процентам».
В данном дидактическом материале содержится задания, в которых нужно вставить пропущенные числа. Это цепочка вычислений, в которой дано одно число: первое, последнее или число посередине цепочки и нужно расставить остальные числа, выполняя действия в одну или другую сторону. Цепочки вычислений представлены в разных уровнях сложности. Также сюда относятся задания, в которых нужно вставить пропущенные числа по кругу, выполняя различные действия с числом в центре. Такие задания требуют контроля и проверки учителем и рассчитаны для устного счета или небольшой проверочной работы. Эти задания представлены по темам: «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Умножение и деление десятичных дробей на натуральное число», «Действия с десятичными дробями», «Проценты».
Следующий вид заданий, которые содержатся в дидактическом материале – задания на определение истинности или ложности высказывания, которые тоже рассчитаны для устного решения или математического диктанта. В таких заданиях дано высказывание или решен пример и нужно определить верно это или неверно, в кружок рядом с высказыванием поставить «И» или «Л». При решении таких заданий учащимися должен быть контроль со стороны учителя. Задания представлены по следующим темам: «Чтение и запись десятичных дробей», «Умножение числа на 0,1; 0,01; 0,001; …….».
Последний вид заданий данного дидактического материала - это задания на нахождение ошибки в примерах или в решении уравнений. В таких заданиях нужно найти и исправить предложенные ошибки, к каждой карточке с заданием для самоконтроля указано количество допущенных ошибок. Проверка выполнения задания осуществляется учителем. Задания представлены по темам: «Деление десятичных дробей на натуральное число», «Деление числа на 0,1; 0,01; 0,001; …..».
При использовании нестандартных заданий данного дидактического материала у учащихся формируется вычислительная культура, развиваются и отрабатываются вычислительные навыки по теме: «Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями. Проценты». Задания дидактического материала позволяют привить учащимся интерес к математике, повысить их познавательную активность и мотивацию к учению. С помощью дидактического материала у пятиклассников формируются умения самостоятельно осмысливать и усваивать материал по данной теме, развивается смекалка. Данный дидактический материал можно использоваться на уроках для индивидуальной работы учащихся, работы в парах или малых группах. Для индивидуальной работы задания выдаются более сильным учащимся, более слабые работают в парах или группах по 3-4 человека. Оцениваются эти задания разными способами: самооценка учащимися, взаимооценка при работе в паре или группе, оценка работы учителем. Задания дидактического материала можно использовать для домашней работы и самоподготовки учащихся. Дидактический материал можно применять на разных этапах урока. На этапе актуализации знаний применяются цепочки вычислений и задания на определении истинности и ложности высказываний, так же эти задания можно использовать при проведении математических диктантов. Числовые кроссворды и задания на получение слова, фразы или имени ученого можно использовать на этапах закрепления и применения знаний. Данный дидактический материал можно использовать для контроля и проверки знаний учащихся по теме: «Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями. Проценты». При решении такого рода заданий у учащихся развивается культура учебной деятельности: если это индивидуальная работа, то ученик самостоятельно определяет шаги по решению и может себя проконтролировать и оценить, может проявить смекалку; если это работа в паре или в малой группе, то ученики распределяют задания между собой, контролируют друг друга, проводят взаимооценку. Дидактический материал направлен на самоконтроль со стороны учащихся, взаимоконтроль и тренировку в процессе усвоения учебного материала. При работе с дидактическим материалом учащийся решает конкретную дидактическую задачу, используя свои знания и навыки, при этом развивает свою интеллектуальную, мотивационную, волевую и эмоциональную сферы. Из опыта использования данного дидактического материала могу сказать, что ученики на «ура» принимают эти задания, особенно любят отгадывать числовые кроссворды.
При использовании данного дидактического материала в процессе обучения у учащихся формируются все группы УУД (универсальные учебные действия). УУД – совокупность способов действия учащегося (а также связанных с ними навыков учебной работы), обеспечивающих его способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию этого процесса . Формируются и развиваются:
Личностные УУД – использование полученных знаний, мотивация к учению, оценивание собственной учебной деятельности.
Регулятивные УУД - организация и планирование своей учебной деятельности, самостоятельный анализ условия достижения цели, прогнозирование и предвосхищение результата, контроль и коррекция своей деятельности.
Познавательные УУД - структурирование знаний, выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий, владение анализом и синтезом, поиск и выделение необходимой информации.
Коммуникативные УУД - умение формулировать мысли, планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, управление поведением партнера - контроль, коррекция, оценка действий партнера, умение отстаивать свою точку зрения.
Данный дидактический материал разработан с опорой на учебники математики для 5 класса: «Математика 5» авторского коллектива Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И., а также «Математика 5» коллектива авторов Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Задания дидактического материала могут быть использованы учителями в процессе преподавания математики в 5 классах по учебникам других авторов. Также дидактический материал будет служить хорошим помощником при самоподготовке учащихся. В конце дидактического материала предложены ответы к заданиям.
Список литературы:
1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика 5класс, 6 класс, учебник Москва Мнемозина, 2013 год.
2. Глейзер Г. И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1981 год.
3. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика 5, 6 класс. Москва Вентана-Граф, 2013 год.
4. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.. Дидактические материалы. Математика 5 класс, 6 класс. Москва Вентана-Граф, 2015 год.
5. Рапацевич Е. С. Новейший психолого-педагогический словарь. Современная школа, 2010 год.
6. Фундаментальное ядро содержания общего образования под редакцией Козлова В. В., Кондакова А. М. М.: Просвещение 2011 год.
7. Чесноков А. С., Нешков К. И. Дидактические материалы по математике 5класс, 6 класс. Москва Классик Стиль, 2010.
8. Википедия. Свободная энциклопедия. https://ru.wikipedia.org/wiki/
