Подсчет критерия Q Розенбаума. Гипотезы U - критерия Манна-Уитни

Назначение критерия

Критерий используется для оценки различий между двумя вы­борками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. В каждой из выборок должно быть не менее 11 испытуемых.

Описание критерия

Это очень простой непараметрический критерий, который позво­ляет быстро оценить различия между двумя выборками по какому-либо признаку. Однако если критерий Q не выявляет достоверных различий, это еще не означает, что их действительно нет.

В этом случае стоит применить критерий φ* Фишера. Если же Q-критерий выявляет достоверные различия между выборками с уров­нем значимости р< 0,01, можно ограничиться только им и избежать трудностей применения других критериев.

Критерий применяется в тех случаях, когда данные представлены по крайней мере в порядковой шкале. Признак должен варьировать в каком-то диапазоне значений, иначе сопоставления с помощью Q -критерия просто невозможны. Например, если у нас только 3 значения признака, 1, 2 и 3, - нам очень трудно будет установить различия. Ме­тод Розенбаума требует, следовательно, достаточно тонко измеренных признаков.

Применение критерия начинаем с того, что упорядочиваем значе­ния признака в обеих выборках по нарастанию (или убыванию) призна­ка. Лучше всего, если данные каждого испытуемого представлены на отдельной карточке. Тогда ничего не стоит упорядочить два ряда зна­чений по интересующему нас признаку, раскладывая карточки на столе. Так мы сразу увидим, совпадают ли диапазоны значений, и если нет, то насколько один ряд значений "выше" (S 1), а второй - "ниже" (S 2). Для того, чтобы не запутаться, в этом и во многих других критериях рекомендуется первым рядом (выборкой, группой) считать тот ряд, где значения выше, а вторым рядом - тот, где значения ниже.

Гипотезы

H 0: Уровень признака в выборке 1 не превышает уровня признака в выборке 2.

H 1: Уровень признака в выборке 1 превышает уровень признака в вы­борке 2.

Графическое представление критерия Q

На Рис. 2.2. представлены три варианта соотношения рядов зна­чений в двух выборках. В варианте (а) все значения первого ряда выше всех значений второго ряда. Различия, безусловно, достоверны, при соблюдении условия, что n 1 , n 2 ≥11.

В варианте (б), напротив, оба ряда находятся на одном и том же уровне: различия недостоверны. В варианте (в) ряды частично пере­крещиваются, но все же первый ряд оказывается гораздо выше второго. Достаточно ли велики зоны S 1 и S 2 , в сумме составляющие Q, можно определить по Таблице I Приложения 1, где приведены критические значения Q для разных п. Чем величина Q больше, тем более досто­верные различия мы сможем констатировать.

Ограничения критерия Q

1. В каждой из сопоставляемых выборок должно быть не менее 11 на­блюдений. При этом объемы выборок должны примерно совпадать. Е.В. Гублером указываются следующие правила:

а) если в обеих выборках меньше 50 наблюдений, то абсолютная ве­личина разности между n 1 и n 2 не должна быть больше 10 на­блюдений;

б) если в каждой из выборок больше 51 наблюдения, но меньше 100, то абсолютная величина разности между щ и Л2 не должна быть больше 20 наблюдений;

в) если в каждой из выборок больше 100 наблюдений, то допуска­ется, чтобы одна из выборок была больше другой не более чем в 1,5-2 раза (Гублер Е.В., 1978, с. 75).

2. Диапазоны разброса значений в двух выборках должны не совпадать между собой, в противном случае применение критерия бессмыслен­но. Между тем, возможны случаи, когда диапазоны разброса значе­ний совпадают, но, вследствие разносторонней асимметрии двух рас­пределений, различия в средних величинах признаков существенны (Рис. 2.3., 2.4).

Пример

У предполагаемых участников психологического эксперимента, моделирующего деятельность воздушного диспетчера, был измерен уро­вень вербального и невербального интеллекта с помощью методики Д. Векслера. Было обследовано 26 юношей в возрасте от 18 до 24 лет (средний возраст 20,5 лет). 14 из них были студентами физического факультета, а 12 - студентами психологического факультета Ленинград­ского университета (Сидоренко Е.В., 1978). Показатели вербального интеллекта представлены в Табл. 2.1.

Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню вербального интеллекта?

Таблица 2.1

Индивидуальные значения вербального интеллекта в выборках студен­тов физического (n 1 =14)и психологического (n 2 = 12) факультетов

Упорядочим значения в обеих выборках, а затем сформулируем гипотезы:

H 0: Студенты-физики не превосходят студентов-психологов по уровню вербального интеллекта.

H 1: Студенты-физики превосходят студентов-психологов по уровню вербального интеллекта.

Таблица 2.2

Упорядоченные по убыванию вербального интеллекта ряды индивидуальных значений в двух студенческих выборках

Как видно из Табл. 2.2, мы правильно обозначили ряды: пер­вый, тот, что "выше" - ряд физиков, а второй, тот, что "ниже" - ряд психологов.

По Табл. 2.2 определяем количество значений первого ряда, ко­торые больше максимального значения второго ряда: S 1 =5.

Теперь определяем количество значений второго ряда, которые меньше минимального значения первого ряда: S 2 =6.

Вычисляем Q ЭМП по формуле:

Q ЭМN= S 1 +S 2 =5+6=ll

По Табл.II Приложения 1 определяем критические значения Q для n 1 =14, n 2 =12:

Ясно, что чем больше расхождения между выборками, тем боль­ше величина Q. Н о отклоняется при Q эмп >Q к p , а при Q эмп

Построим "ось значимости".

Принимается H 1 . Студенты-физики превосходят студентов-психологов по уровню вербального интеллекта (р< 0,01). Отметим, что в тех случаях, когда эмпирическая величина критерия оказывается на границе зоны незначимости, мы имеем право утверждать лишь, что различия достоверны при р< 0,05, если же оно оказывается между двумя критическими значениями, то мы можем утверждать, что р< 0,05.

Если эмпирическое значение критерия оказывается на границе зоны значимости, р< 0,01, в зоне значимости - что р< 0,01

Поскольку уровень значимости выявленных различий достаточно высок (р< 0,01), мы могли бы на этом остановиться. Однако если ис­следователь сам психолог, а не физик, вряд ли он на этом остановится. Он может попробовать сопоставить выборки по уровню невербального интеллекта, поскольку именно невербальный интеллект определяет уро­вень интеллекта в целом и степень его организованности (см., напри­мер: Бергер М.А., Логинова НА., 1974).

Мы вернемся к этому примеру при рассмотрении критерия Манна-Уитни и попытаемся ответить на вопрос о соотношении уровней не­вербального интеллекта в двух выборках. Быть может, психологи еще окажутся в более высоком ряду!

Q-критерий Розенбаума

Непараметрический критерий, который используется для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Данный критерий является не достаточно мощным, то есть, если критерий Q не выявляет достоверных различий, это еще не означает, что их действительно нет. В этом случае стоит применять критерий U-Манна-Уитни или j * Фишера.

Критерий применяется в тех случаях, когда данные представлены в порядковой, интервальной шкале или шкале отношений. Признак должен варьировать в каком-то диапазоне значений.

Ограничения критерия:

1) n 1 и n 2 ³11 (n 1 и n 2 - объемы соответственно 1-й и 2-й выборок).

2) Объемы выборок должны примерно совпадать. Так,

а) если n 1 и n 2 £50, то ú n 1 -n 2 ê£10;

б) если 51£n 1 и n 2 £100, то ú n 1 -n 2 ê£20;

в) если n 1 и n 2 >100, то n 1 / n 2 или n 1 /n 2 £2.

3) Диапазон разброса значений в двух выборках должны не совпадать между собой, т.е. либо max 1 ¹max 2 , либо min 1 ¹min 2 .

Эмпирическое значение критерия вычисляется по формуле:

Критические значения критерия можно определить по таблице 1 приложения 2.

Различия между выборками считаются достоверными, если Q эмп ³Q 0,01 ; незначимыми, если Q эмп < Q 0,05 ; достоверными на 5% уровне, если Q 0,05 £ Q эмп

Пример. С учащимися шестого класса (15 человек) и восьмого (17 человек) были проведены 8 субтестов теста структуры интеллекта Р. Амтхауера, и получен обобщенный показатель. Результаты представлены в таблице 15. Можно ли утверждать, что учащиеся восьмого класса превосходят учащихся шестого класса по обобщенному показателю теста Р. Амтхауера?

Таблица 15

Индивидуальные значения обобщенного показателя теста Р. Амтхауера учащихся шестого (n 1 =15) и восьмого (n 2 =17) классов

Решение : Данные представлены в интервальной шкале,

n 1 =15 и n 2 =17 это >11; ún 1 - n 2 ï=2< 10;

max 1 =94 ¹ max 2 =107.

Следовательно, для решения данной задачи мы имеем право применять критерий Q.

Для вычисления необходимо упорядочить данные по убыванию. При этом значения выборки, где данные предположительно, выше записываются в 1 ряд, а где ниже, - соответственно во 2-й ряд. Так, в нашем случае 1 ряд – значения учащихся 8 класса, 2 ряд – 6 класса (таблица 16).

Сформулируем экспериментальную гипотезу: учащиеся 8-го класса превосходят учащихся 6-го класса по обобщенному показателю теста Р. Амтхауера.

Таблица 16

Упорядоченные по убыванию обобщенного

показателя теста Р. Амтхаера индивидуальные

значения учащихся 8 и 6 классов

Определим максимальное значение в ряду 2-м и подсчитаем количество значений в ряду 1-м, лежащих выше этого значения: S 1 =4.

Назначение критерия

Критерий используется для оценки различий между двумя вы­борками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. В каждой из выборок должно быть не менее 11 испытуемых.

Описание критерия

Это очень простой непараметрический критерий, который позво­ляет быстро оценить различия между двумя выборками по какому-либо признаку. Однако если критерий Q не выявляет достоверных различий, это еще не означает, что их действительно нет.

В этом случае стоит применить критерий φ* Фишера. Если же Q-критерий выявляет достоверные различия между выборками с уров­нем значимости р< 0,01, можно ограничиться только им и избежать трудностей применения других критериев.

Критерий применяется в тех случаях, когда данные представлены по крайней мере в порядковой шкале. Признак должен варьировать в каком-то диапазоне значений, иначе сопоставления с помощью Q -критерия просто невозможны. Например, если у нас только 3 значения признака, 1, 2 и 3, - нам очень трудно будет установить различия. Ме­тод Розенбаума требует, следовательно, достаточно тонко измеренных признаков.

Применение критерия начинаем с того, что упорядочиваем значе­ния признака в обеих выборках по нарастанию (или убыванию) призна­ка. Лучше всего, если данные каждого испытуемого представлены на отдельной карточке. Тогда ничего не стоит упорядочить два ряда зна­чений по интересующему нас признаку, раскладывая карточки на столе. Так мы сразу увидим, совпадают ли диапазоны значений, и если нет, то насколько один ряд значений "выше" (S 1), а второй - "ниже" (S 2). Для того, чтобы не запутаться, в этом и во многих других критериях рекомендуется первым рядом (выборкой, группой) считать тот ряд, где значения выше, а вторым рядом - тот, где значения ниже.

Гипотезы

H 0: Уровень признака в выборке 1 не превышает уровня признака в выборке 2.

H 1: Уровень признака в выборке 1 превышает уровень признака в вы­борке 2.

Графическое представление критерия Q

На Рис. 2.2. представлены три варианта соотношения рядов зна­чений в двух выборках. В варианте (а) все значения первого ряда выше всех значений второго ряда. Различия, безусловно, достоверны, при соблюдении условия, что n 1 , n 2 ≥11.

В варианте (б), напротив, оба ряда находятся на одном и том же уровне: различия недостоверны. В варианте (в) ряды частично пере­крещиваются, но все же первый ряд оказывается гораздо выше второго. Достаточно ли велики зоны S 1 и S 2 , в сумме составляющие Q, можно определить по Таблице I Приложения 1, где приведены критические значения Q для разных п. Чем величина Q больше, тем более досто­верные различия мы сможем констатировать.

Ограничения критерия Q

1. В каждой из сопоставляемых выборок должно быть не менее 11 на­блюдений. При этом объемы выборок должны примерно совпадать. Е.В. Гублером указываются следующие правила:

а) если в обеих выборках меньше 50 наблюдений, то абсолютная ве­личина разности между n 1 и n 2 не должна быть больше 10 на­блюдений;

б) если в каждой из выборок больше 51 наблюдения, но меньше 100, то абсолютная величина разности между щ и Л2 не должна быть больше 20 наблюдений;

в) если в каждой из выборок больше 100 наблюдений, то допуска­ется, чтобы одна из выборок была больше другой не более чем в 1,5-2 раза (Гублер Е.В., 1978, с. 75).

2. Диапазоны разброса значений в двух выборках должны не совпадать между собой, в противном случае применение критерия бессмыслен­но. Между тем, возможны случаи, когда диапазоны разброса значе­ний совпадают, но, вследствие разносторонней асимметрии двух рас­пределений, различия в средних величинах признаков существенны (Рис. 2.3., 2.4).

Пример

У предполагаемых участников психологического эксперимента, моделирующего деятельность воздушного диспетчера, был измерен уро­вень вербального и невербального интеллекта с помощью методики Д. Векслера. Было обследовано 26 юношей в возрасте от 18 до 24 лет (средний возраст 20,5 лет). 14 из них были студентами физического факультета, а 12 - студентами психологического факультета Ленинград­ского университета (Сидоренко Е.В., 1978). Показатели вербального интеллекта представлены в Табл. 2.1.

Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню вербального интеллекта?

Таблица 2.1

Индивидуальные значения вербального интеллекта в выборках студен­тов физического (n 1 =14)и психологического (n 2 = 12) факультетов

Упорядочим значения в обеих выборках, а затем сформулируем гипотезы:

H 0: Студенты-физики не превосходят студентов-психологов по уровню вербального интеллекта.

H 1: Студенты-физики превосходят студентов-психологов по уровню вербального интеллекта.

Таблица 2.2

Упорядоченные по убыванию вербального интеллекта ряды индивидуальных значений в двух студенческих выборках

Как видно из Табл. 2.2, мы правильно обозначили ряды: пер­вый, тот, что "выше" - ряд физиков, а второй, тот, что "ниже" - ряд психологов.

По Табл. 2.2 определяем количество значений первого ряда, ко­торые больше максимального значения второго ряда: S 1 =5.

Теперь определяем количество значений второго ряда, которые меньше минимального значения первого ряда: S 2 =6.

Вычисляем Q ЭМП по формуле:

Q ЭМN= S 1 +S 2 =5+6=ll

По Табл.II Приложения 1 определяем критические значения Q для n 1 =14, n 2 =12:

Ясно, что чем больше расхождения между выборками, тем боль­ше величина Q. Н о отклоняется при Q эмп >Q к p , а при Q эмп

Построим "ось значимости".

Принимается H 1 . Студенты-физики превосходят студентов-психологов по уровню вербального интеллекта (р< 0,01). Отметим, что в тех случаях, когда эмпирическая величина критерия оказывается на границе зоны незначимости, мы имеем право утверждать лишь, что различия достоверны при р< 0,05, если же оно оказывается между двумя критическими значениями, то мы можем утверждать, что р< 0,05.

Если эмпирическое значение критерия оказывается на границе зоны значимости, р< 0,01, в зоне значимости - что р< 0,01

Поскольку уровень значимости выявленных различий достаточно высок (р< 0,01), мы могли бы на этом остановиться. Однако если ис­следователь сам психолог, а не физик, вряд ли он на этом остановится. Он может попробовать сопоставить выборки по уровню невербального интеллекта, поскольку именно невербальный интеллект определяет уро­вень интеллекта в целом и степень его организованности (см., напри­мер: Бергер М.А., Логинова НА., 1974).

Мы вернемся к этому примеру при рассмотрении критерия Манна-Уитни и попытаемся ответить на вопрос о соотношении уровней не­вербального интеллекта в двух выборках. Быть может, психологи еще окажутся в более высоком ряду!

Описание критерия

Простой непараметрический критерий.

Мощность критерия не очень велика. В том случае, когда если он не выявляет различий, можно обратиться к другим статистическим критериям, например, к U-критерию Манна-Уитни или критерию φ* Фишера .

Данные для применения Q-критерия Розенбаума должны быть представлены хотя бы в порядковой шкале . Признак должен измеряться в значительном диапазоне значений (чем более значительном – тем лучше).

Ограничения применимости критерия

1. В каждой из выборок должно быть не менее 11 значений признака.
2. Объемы выборок должны примерно совпадать.
   1. Если объемы выборок меньше 50, то абсолютная величина разности n 1 (количество единиц в первой выборке) и n 2 (количество единиц во второй выборке) не должна быть больше 10.
   2. Если объемы выборок между 50 и 100, то абсолютная величина разности n 1 и n 2 не должна быть больше 20;
   3. Если объемы выборок больше 100, то допускается, чтобы одна из выброк превышала другую не более чем в 1,5 – 2 раза.
3. Диапазоны значений признака в двух выборках не должны совпадать между собой.

Использование критерия

Для применения Q-критерия Розенбаума нужно произвести следующие операции.

1. Упорядочить значения отдельно в каждой выборке по степени возрастания признака; принять за первую выборку ту, значения признака в которой предположительно выше, а за вторую – ту, где значения признака предположительно ниже.
2. Определить максимальное значение признака во второй выборке и подсчитать количество значений признака в первой выборке, которые больше его (S 1 ).
3. Определить минимальное значение признака в первой выборке и подсчитать количество значений признака во второй выборке, которые меньше его (S 2 ).
4. Рассчитать значение критерия Q = S 1 + S 2 .
5. По таблице определить критические значения критерия для данных n 1 и n 2 . Если полученное значение Q превышает табличное или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение Q меньше табличного, принимается нулевая гипотеза .

Таблица критических значений

Различия между двумя выборками достоверны с вероятностью 95% при p=0,05 и с вероятностью 99% при p=0,01. Для выборок, в которых больше чем 26 элементов, критические значения Q принимаются равными 8 (при p=0,05) и 10 (при p=0,01).

Википедия

Или Критерий согласия Колмогорова Смирнова статистический критерий, использующийся для определения того, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо того, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели.… … Википедия

В статистике критерий согласия Колмогорова (также известный, как критерий согласия Колмогорова Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли… … Википедия

U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

1. Проверить, выполняются ли ограничения: n 1 n 2 ≥11, n 1 n 2 ≈n 2 Упорядочить значения отдельно в каждой выборке по степени воз­растания признака. Считать выборкой 1 ту выборку, значения в ко­торой предположительно выше, а выборкой 2 - ту, где значения предположительно ниже.

3. Определить самое высокое (максимальное) значение в выборке 2.

5. Определить самое низкое (минимальное) значение в выборке 1.

8. По Табл. I Приложения I определить критические значения Q для данных n 1 и n 2 . Если Q эмп равно Q 0,05 или превышает его, Н 0 от­вергается.

9. При n 1 n 2 >26сопоставить полученное эмпирическое значение с Q к p = 8 (р≤ 0,05) и Q к p = 10(p≤ 0,01). Если Q эмп превышает или по крайней мере равняется Q к p = 8, H 0 отвергается.

2.3. U - критерий Манна-Уитни

Назначение критерия

Критерий предназначен для оценки различий между двумя вы­борками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n 1 n 2 ≥ 3 или n 1 =2, n 2 ≥5, и является более мощным, чем критерий Ро­зенбаума.

Описание критерия

Существует несколько способов использования критерия и не­сколько вариантов таблиц критических значений, соответствующих этим способам (Гублер Е. В., 1978; Рунион Р., 1982; Захаров В. П., 1985; McCall R., 1970; Krauth J., 1988).

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещиваю­щихся значений между двумя рядами. Мы помним, что 1-м рядом (выборкой, группой) мы называем тот ряд значений, в котором значе­ния, по предварительной оценке, выше, а 2-м рядом - тот, где они предположительно ниже.

Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более ве­роятно, что различия достоверны. Иногда эти различия называют раз­личиями в расположении двух выборок (Welkowitz J. et al., 1982).

Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько вели­ка зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше U эмп, тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы

Н 0: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

H 1: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

Графическое представление критерия U

На Рис. 2.5. представлены три из множества возможных вариан­тов соотношения двух рядов значений.

В варианте (а) второй ряд ниже первого, и ряды почти не пере­крещиваются. Область наложения слишком мала, чтобы скрадывать различия между рядами. Есть шанс, что различия между ними досто­верны. Точно определить это мы сможем с помощью критерия U.

В варианте (б) второй ряд тоже ниже первого, но и область пе­рекрещивающихся значений у двух рядов достаточно обширна. Она может еще не достигать критической величины, когда различия придет­ся признать несущественными. Но так ли это, можно определить толь­ко путем точного подсчета критерия U.

В варианте (в) второй ряд ниже первого, но область наложения настолько обширна, что различия между рядами скрадываются.

Ограничения критерия U

1. В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений: n 1 n 2 ≥3; допускается, чтобы в одной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5.

2. В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений; n 1 n 2 ≤60. Однако уже при n 1 n 2 >20 ранжирование становиться достаточно трудоемким.

На наш взгляд, в случае, если n 1 n 2 >20, лучше использовать другой критерий, а именно угловое преобразование Фишера в комбина­ции с критерием λ, позволяющим выявить критическую точку, в кото­рой накапливаются максимальные различия между двумя сопоставляе­мыми выборками (см. п. 5.4). .Формулировка звучит сложно, но сам метод достаточно прост. Каждому исследователю лучше попробовать разные пути и выбрать тот, который кажется ему более подходящим.

Пример

Вернемся к результатам обследования студентов физического и психологического факультетов Ленинградского университета с помощью методики Д. Векслера для измерения вербального и невербального ин­теллекта. С помощью критерия Q Розенбаума мы в предыдущем па­раграфе смогли с высоким уровнем значимости определить, что уровень вербального интеллекта в выборке студентов физического факультета выше. Попытаемся установить теперь, воспроизводится ли этот резуль­тат при сопоставлении выборок по уровню невербального интеллекта. Данные приведены в Табл. 2.3.

Можно ли утверждать, что одна из выборок превосходит другую по уровню невербального интеллекта?

Таблица 2.3

Индивидуальные значения невербального интеллекта в выборках студентов физического (щ=\4) и психологического (п2 = 12) факультетов

Критерий U требует тщательности и внимания. Прежде всего, необходимо помнить правила ранжирования.

Правила ранжирования

1. Меньшему значению начисляется меньший ранг. Наименьшему значению начисляется ранг 1.

Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количе­ству ранжируемых значений. Например, если n=7, то наибольшее значение получит ранг 7, за возможным исключением для тех слу­чаев, которые предусмотрены правилом 2.

2. В случае, если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны.

Например, 3 наименьших значения равны 10 секундам. Если бы мы измеряли время более точно, то эти значения могли бы различаться и составляли бы, скажем, 10,2 сек; 10,5 сек; 10,7 сек. В этом случае они получили бы ранги, соответственно, 1, 2 и 3. Но поскольку полученные нами значения равны, каждое из них получа­ет средний ранг:

Допустим, следующие 2 значения равны 12 сек. Они должны были бы получить ранги 4 и 5, но, поскольку они равны, то получают средний ранг:

3. Общая сумма рангов должна совпадать с расчетной, которая опре­деляется по формуле:

где N - общее количество ранжируемых наблюдений (значений). Несовпадение реальной и расчетной сумм рангов будет свидетельст­вовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их сум­мировании. Прежде чем продолжить работу, необходимо найти ошибку и устранить ее.

При подсчете критерия U легче всего сразу приучить себя дейст­вовать по строгому алгоритму.

АЛГОРИТМ 4

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-03-31