Względne położenie dwóch okręgów. Teoria

Klasa 7G, ​​Z

Temat lekcji: „Względne położenie dwóch okręgów”
Cel: poznać możliwe przypadki względnego położenia dwóch okręgów; zastosować wiedzę przy rozwiązywaniu problemów.

Cele: Edukacyjne: ułatwienie tworzenia i utrwalania u uczniów wizualnej reprezentacji możliwych przypadków ułożenia dwóch okręgów. Uczniowie będą potrafili:

Ustal związek między względnymi położeniami okręgów, ich promieniami i odległością między ich środkami;

Przeanalizować projekt geometryczny i zmodyfikować go mentalnie,

Rozwijaj wyobraźnię planimetryczną.

Studenci będą potrafili zastosować wiedzę teoretyczną do rozwiązywania problemów.

Typ lekcji: lekcja wprowadzająca i utrwalająca nową wiedzę z materiału.

Sprzęt: prezentacja na lekcję; kompas, linijka, ołówek i podręcznik dla każdego ucznia.

Instruktaż: . „Geometria 7. klasa”, Ałmaty „Atamura” 2012

Podczas zajęć.

Organizowanie czasu. Sprawdzanie pracy domowej.

3. Aktualizacja wiedzy podstawowej.

Powtórz definicje okręgu, okręgu, promienia, średnicy, cięciwy, odległości punktu od prostej.

1) 1) Jakie znasz przypadki położenia prostej i okręgu?

2) Która prosta nazywa się styczną?

3) Która prosta nazywa się sieczną?

4) Twierdzenie o średnicy prostopadłej do cięciwy?

5) Jak ma się tangens do promienia okręgu?

6) Wypełnij tabelę (na kartach).

Uczniowie pod okiem nauczyciela rozwiązują i analizują problemy.

1) Linia a jest styczna do okręgu o środku O. Punkt A jest dany na prostej a. Kąt pomiędzy styczną a odcinkiem OA wynosi 300. Znajdź długość odcinka OA, jeśli promień wynosi 2,5 m.

2) Określ względne położenie linii i okręgu, jeżeli:

1. R=16cm, d=12cm 2. R=5cm, d=4,2cm 3. R=7,2dm, d=3,7dm 4. R=8 cm, d=1,2dm 5. R=5 cm, d= 50mm

a) prosta i okrąg nie mają wspólnych punktów;

b) linia jest styczna do okręgu;

c) prosta przecina okrąg.

d to odległość od środka okręgu do prostej, R to promień okręgu.

3) Co można powiedzieć o względnym położeniu prostej i okręgu, jeśli średnica okręgu wynosi 10,3 cm, a odległość od środka okręgu do prostej wynosi 4,15 cm; 2 dm; 103mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Dany jest okrąg o środku O i punkcie A. Gdzie znajduje się punkt A, jeśli promień okręgu wynosi 7 cm, a długość odcinka OA wynosi: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 mm.

4. Wspólnie z uczniami ustalcie temat lekcji i sformułujcie cele lekcji.

5. Wprowadzenie nowego materiału.

Praktyczna praca w grupach.

Skonstruuj 3 okręgi. Dla każdego okręgu skonstruuj kolejny okrąg tak, aby 1) 2 okręgi się nie przecinały, 2) 2 okręgi stykały się, 3) dwa okręgi się przecinały. Znajdź promień każdego okręgu i odległość między środkami okręgów, porównaj wyniki. Co można stwierdzić?
2) Podsumuj i zapisz w zeszycie przypadki względnego położenia dwóch okręgów.

Względne położenie dwóch okręgów na płaszczyźnie.

Okręgi nie mają punktów wspólnych (nie przecinają się). (R1 i R2 to promienie okręgów)

Jeśli R1 + R2< d,

d – Odległość między środkami okręgów.

c) Okręgi mają dwa punkty wspólne. (przecinać).

Jeśli R1 + R2 > d,

Pytanie. Czy dwa okręgi mogą mieć trzy punkty wspólne?

6. Utrwalenie badanego materiału.

Znajdź błąd w danych lub stwierdzeniu i popraw go, uzasadniając swoją opinię:
A) Dwa koła stykają się. Ich promienie są równe R = 8 cm i r = 2 cm, odległość między środkami wynosi d = 6.
B) Dwa okręgi mają co najmniej dwa punkty wspólne.
B) R = 4, r = 3, d = 5. Okręgi nie mają punktów wspólnych.
D) R = 8, r = 6, d = 4. Mniejsze koło znajduje się wewnątrz większego.
D) Nie można ustawić dwóch okręgów tak, aby jedno znajdowało się wewnątrz drugiego.

7. Podsumowanie lekcji. Czego nauczyłeś się na lekcji? Jaki wzór został ustalony?

Jak ustawić dwa koła? W jakim przypadku okręgi mają jeden punkt wspólny? Jak nazywa się punkt wspólny dwóch okręgów? Jakie znasz dotknięcia? Kiedy okręgi się przecinają? Jakie kręgi nazywane są koncentrycznymi?

Temat lekcji: " Względne położenie dwóch okręgów na płaszczyźnie.”

Cel :

Edukacyjny - opanowanie nowej wiedzy na temat względnego położenia dwóch okręgów, przygotowanie do testu

Rozwojowy - rozwój umiejętności obliczeniowych, rozwój myślenia logiczno-strukturalnego; rozwijanie umiejętności znajdowania racjonalnych rozwiązań i osiągania końcowych rezultatów; rozwój aktywności poznawczej i twórczego myślenia .

Edukacyjny – kształtowanie odpowiedzialności i konsekwencji wśród uczniów; rozwój walorów poznawczych i estetycznych; kształtowanie kultury informacyjnej uczniów.

Poprawczy - rozwijać myślenie przestrzenne, pamięć, zdolności motoryczne rąk.

Typ lekcji: nauka nowego materiału edukacyjnego, konsolidacja.

Typ lekcji: lekcja mieszana.

Metoda nauczania: werbalne, wizualne, praktyczne.

Forma studiów: kolektyw.

Środki edukacji: tablica

PODCZAS ZAJĘĆ:

1. Etap organizacyjny

- pozdrowienia;

- sprawdzenie przygotowania do lekcji;

2. Aktualizacja podstawowej wiedzy.
Jakie tematy omawialiśmy na poprzednich lekcjach?

Ogólna postać równania okręgu?

Wykonaj ustnie:

Ankieta błyskawiczna

3. Wprowadzenie nowego materiału.

Jak myślisz, jaką liczbę dzisiaj rozważymy... A co jeśli jest ich dwóch??

Jak można je zlokalizować???

Dzieci pokazują rękami (sąsiadami), jak można ułożyć koła (minuta wychowania fizycznego)

Cóż, jak myślisz, co powinniśmy dzisiaj rozważyć? Dzisiaj powinniśmy rozważyć względne położenie dwóch okręgów. I dowiedz się, jaka jest odległość między ośrodkami w zależności od lokalizacji.

Temat lekcji: « Względne położenie dwóch okręgów. Rozwiązywanie problemów. »

1. Koncentryczne koła

2. Okręgi rozłączne

3. Dotyk zewnętrzny

4. Przecinające się okręgi

5. Wewnętrzny dotyk

Podsumujmy więc

4.Kształcenie umiejętności i zdolności

Znajdź błąd w danych lub stwierdzeniu i popraw go, uzasadniając swoją opinię:

A) Dwa koła stykają się. Ich promienie są równe R = 8 cm i r = 2 cm, odległość między środkami wynosi d = 6.
B) Dwa okręgi mają co najmniej dwa punkty wspólne.

B) R = 4, r = 3, d = 5. Okręgi nie mają punktów wspólnych.

D) R = 8, r = 6, d = 4. Mniejsze koło znajduje się wewnątrz większego.

D) Nie można ustawić dwóch okręgów tak, aby jedno znajdowało się wewnątrz drugiego.

5. Konsolidacja umiejętności i zdolności.

Okręgi stykają się zewnętrznie. Promień mniejszego okręgu wynosi 3 cm. Promień większego okręgu wynosi 5 cm. Jaka jest odległość między środkami?

Rozwiązanie: 3+5=8(cm)

Okręgi stykają się wewnętrznie. Promień mniejszego okręgu wynosi 3 cm. Promień większego okręgu wynosi 5 cm. Jaka jest odległość między środkami okręgów?

Rozwiązanie: 5-3=2(cm)

Okręgi stykają się wewnętrznie. Odległość między środkami okręgów wynosi 2,5 cm. Jakie są promienie okręgów?

odpowiedź: (5,5 cm i 3 cm), (6,5 cm i 4 cm) itd.

SPRAWDZANIE ROZUMIENIA

1) Jak można ustawić dwa koła?

2) W jakim przypadku okręgi mają jeden punkt wspólny?

3) Jak nazywa się punkt wspólny dwóch okręgów?

4) Jakie dotyki znasz?

5) Kiedy okręgi się przecinają?

6) Jakie okręgi nazywane są koncentrycznymi?

Zadania dodatkowe na temat: Wektory. Metoda współrzędnych „(jeśli zostało jeszcze trochę czasu)

1)E(4;12),F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Znajdź:

a) współrzędne wektoraE.F., G.H.

b) długość wektoraFG

c) współrzędne punktu O - środekE.F.

współrzędne punktuW- środekG.H.

d) równanie okręgu ze średnicąFG

e) równanie liniiFH

6. Praca domowa

& 96 nr 1000. Które z tych równań jest równaniem okręgu. Znajdź środek i promień

7. Podsumowanie lekcji (3 minuty)

(wystawić jakościową ocenę pracy klasy i poszczególnych uczniów).

8. Etap refleksji (2 minuty.)

Niech okręgi zostaną określone przez wektor od początku do środka i promień tego okręgu.

Rozważmy okręgi A i B o promieniach Ra i Rb oraz wektory promieni (wektor do środka) aib. Co więcej, Oa i Ob są ich ośrodkami. Bez utraty ogólności założymy, że Ra > Rb.

Spełnione są wtedy następujące warunki:

Punkty przecięcia dwóch okręgów

Załóżmy, że A i B przecinają się w dwóch punktach. Znajdźmy te punkty przecięcia.

Aby to zrobić, wektor z a do punktu P, który leży na okręgu A i leży na OaOb. Aby to zrobić, musisz wziąć wektor b - a, który będzie wektorem między dwoma środkami, znormalizować go (zastąpić go współkierunkowym wektorem jednostkowym) i pomnożyć przez Ra. Wynikowy wektor oznaczamy jako p. Konfigurację tę można zobaczyć na rys. 6

Ryż. 6. Wektory a, b, p oraz miejsce zamieszkania.

Oznaczmy i1 i i2 jako wektory od a do punktów przecięcia I1 i I2 dwóch okręgów. Staje się oczywiste, że i1 i i2 otrzymuje się przez obrót z p. Ponieważ znamy wszystkie boki trójkątów OaI1Ob i OaI2Ob (promień i odległość między środkami), możemy otrzymać ten kąt fi, obracając wektor p w jednym kierunku otrzymamy I1, a w drugim I2.

Zgodnie z twierdzeniem cosinus jest to równe:

Jeśli obrócisz p o fi, otrzymasz i1 lub i2, w zależności od tego, w którą stronę się obrócisz. Następnie do a należy dodać wektor i1 lub i2, aby otrzymać punkt przecięcia

Ta metoda będzie działać, nawet jeśli środek jednego okręgu znajduje się wewnątrz drugiego. Ale tam z pewnością trzeba będzie określić wektor p w kierunku od a do b, co też zrobiliśmy. Jeśli zbudujesz p w oparciu o inny okrąg, to nic z tego nie wyjdzie

No cóż, na zakończenie trzeba wspomnieć o jednym fakcie: jeśli okręgi się stykają, to łatwo sprawdzić, czy P jest punktem styku (dotyczy to zarówno kontaktu wewnętrznego, jak i zewnętrznego).
Tutaj możesz zobaczyć wizualizację (należy kliknąć, aby ją uruchomić).

Ta metoda działa, ale zamiast kąta obrotu można obliczyć jego cosinus, a przez to sinus, a następnie wykorzystać je przy obracaniu wektora. Znacząco uprości to obliczenia, eliminując kod z funkcji trygonometrycznych.

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej

Miejska budżetowa instytucja oświatowa

miasto Nowosybirsk „Gimnazjum nr 4”

Sekcja: matematyka

BADANIA

w tym temacie:

WŁAŚCIWOŚCI DWÓCH DOTYKAJĄCYCH KRĘGÓW

Uczniowie klasy 10:

Chaziachmetow Radik Ildarowicz

Zubarew Jewgienij Władimirowicz

Kierownik:

LL. Barinova

Nauczyciel matematyki

Najwyższa kategoria kwalifikacji

§ 1.Wprowadzenie………..………………………….……………………………………………………3

§ 1.1 Względne położenie dwóch okręgów………………………...………………...………3

§ 2 Właściwości i ich dowody…………………………………………………………..………………….….…4

§ 2.1 Nieruchomość 1…………………………………………………..…………………...….…4

§ 2.2 Nieruchomość 2………………………………………………..…………………...………5

§ 2.3 Własność 3………………………………………………..…………………...………6

§ 2.4 Własność 4………………………………………………..…………………...………6

§ 2.5 Własność 5………………………………..…………………………………...………8

§ 2.6 Własność 6………………………………………………..………………………...………9

§ 3 Zadania…………………………………………………..…………………...…...………..…11

Referencje……………………………………………………………………………….………….13

§ 1. Wstęp

Wiele problemów dotyczących dwóch stycznych okręgów można rozwiązać w krótszym czasie i po prostu, znając niektóre właściwości, które zostaną przedstawione poniżej.

Względne położenie dwóch okręgów

Na początek ustalmy możliwe względne położenie obu okręgów. Mogą być 4 różne przypadki.

1. Okręgi nie mogą się przecinać.

2. Przecięcie.

3. Dotknąć w jednym miejscu na zewnątrz.

4.Dotknij w jednym miejscu wnętrza.

§ 2. Właściwości i ich dowody

Przejdźmy bezpośrednio do dowodu własności.

§ 2.1 Własność 1

Odcinki pomiędzy punktami przecięcia stycznych z okręgami są sobie równe i równe dwóm średnim geometrycznym promieniom danych okręgów.

Dowód 1. O 1 A 1 i O 2 B 1 – promienie poprowadzone do punktów styku.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1, О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (zgodnie z pkt. 1)

1. ▲O 1 O 2 D – prostokątny, ponieważ О 2 D ┴ О 2 В 1
2. O 1 O 2 = R + r, O 2 re = R – r

1. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa A 1 B 1 = 2√Rr

(O 1 re 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (udowodniono podobnie)

1) Narysujmy promienie w punktach przecięcia stycznych z okręgami.

2) Promienie te będą prostopadłe do stycznych i równoległe do siebie.

3) Opuśćmy prostopadłą ze środka mniejszego okręgu do promienia większego okręgu.

4) Przeciwprostokątna powstałego trójkąta prostokątnego jest równa sumie promieni okręgów. Noga jest równa ich różnicy.

5) Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy wymaganą zależność.

§ 2.2 Majątek 2

Punkty przecięcia prostej przecinającej punkt styczności okręgów i nie leżącej w żadnym z nich ze stycznymi, dzielą na pół odcinki stycznych zewnętrznych, ograniczone punktami styczności, na części, z których każda jest równa średniej geometrycznej promieni tych okręgów.

Dowód 1.SM= MA 1 (jako odcinki styczne)

2.MC = MV 1 (jako odcinki styczne)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr (zgodnie z pkt. 1 i 2 )

Stwierdzenia użyte w dowodzie Odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu do określonego okręgu są równe. Korzystamy z tej właściwości dla obu danych okręgów.

§ 2.3 Majątek 3

Długość odcinka stycznej wewnętrznej zawartej pomiędzy stycznymi zewnętrznymi jest równa długości odcinka stycznej zewnętrznej pomiędzy punktami styku i jest równa dwóm średnim geometrycznym promieniom danych okręgów.

Dowód Wniosek ten wynika z poprzedniej właściwości.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = ZA 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Własność 4

Trójkąt utworzony przez środki stycznych okręgów i środek odcinka stycznego pomiędzy promieniami poprowadzonymi do punktów styku jest prostokątny. Stosunek jego nóg jest równy ilorazowi pierwiastków promieni tych okręgów.

Dowód 1.MO 1 jest dwusieczną kąta A 1 MS, MO 2 jest dwusieczną kąta B 1 MS, ponieważ Środek okręgu wpisanego w kąt leży na dwusiecznej tego kąta.

2.Według punktu 1 РО 1 MS + РСМО 2 = 0,5(РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.РО 1 MO 2 – prosto. MC jest wysokością trójkąta O 1 MO 2, ponieważ styczna MN jest prostopadła do promieni poprowadzonych do punktów styku → trójkąty O 1 MC i MO 2 C są podobne.

4.O 1 M / MO 2 = O 1 C / MC = r / √Rr = √r / R (podobny)

Stwierdzenia użyte w dowodzie 1) Środek okręgu wpisanego w kąt leży na dwusiecznej tego kąta. Nogi trójkąta są dwusiecznymi kątów.

2) Korzystając z faktu, że powstałe w ten sposób kąty są równe, stwierdzamy, że szukany kąt jest kątem prostym. Dochodzimy do wniosku, że ten trójkąt jest rzeczywiście prostokątny.

3) Udowodnimy podobieństwo trójkątów, na które wysokość (ponieważ styczna jest prostopadła do promieni poprowadzonych do punktów styczności) dzieli trójkąt prostokątny i przez podobieństwo otrzymujemy wymagany stosunek.

§ 2.5 Własność 5

Trójkąt utworzony przez punkt styku okręgów ze sobą i punkty przecięcia okręgów ze styczną jest prostokątny. Stosunek jego nóg jest równy ilorazowi pierwiastków promieni tych okręgów.

Dowód

1. ▲A 1 MC i ▲SMV 1 to równoramienne → ÐMA 1 C = ÐMSA 1 = α, ÐMV 1 C = ÐMSV 1 = β.

1. 2α + 2β + RA 1 MC + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MC + RSMV 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Ale RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 – bezpośredni → RA 1 CO 2 = RS 1 O 2 = p/2 – β = α

1. ▲A 1 MC i ▲CO 2 B 1 są podobne → A 1 C / SV 1 = MC / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Stwierdzenia użyte w dowodzie 1) Zapisujemy sumę kątów trójkątów, korzystając z faktu, że są one równoramienne. Równoramienne trójkąty dowodzi się za pomocą własności równości odcinków stycznych.

2) Po zapisaniu w ten sposób sumy kątów stwierdzamy, że rozpatrywany trójkąt ma kąt prosty, a zatem jest prostokątny. Pierwsza część stwierdzenia została udowodniona.

3) Korzystając z podobieństwa trójkątów (aby to uzasadnić, używamy znaku podobieństwa pod dwoma kątami) znajdujemy stosunek nóg trójkąta prostokątnego.

§ 2.6 Własność 6

Czworokąt utworzony przez punkty przecięcia okręgów ze styczną jest trapezem, w który można wpisać okrąg.

Dowód 1.▲A 1 RA 2 i ▲B 1 PB 2 są równoramienne, ponieważ A 1 P = RA 2 i B 1 P = PB 2 jako odcinki styczne → ▲A 1 RA 2 i ▲B 1 PB 2 – podobnie.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, ponieważ odpowiednie kąty utworzone na przecięciu siecznej A 1 B 1 są równe.

1. MN – linia środkowa według własności 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → w trapezie A 2 A 1 B 1 B 2 suma podstaw jest równa do sumy boków i jest to warunek konieczny i wystarczający istnienia koła wpisanego.

Stwierdzenia użyte w dowodzie 1) Skorzystajmy jeszcze raz z własności odcinków stycznych. Za jego pomocą udowodnimy równoramienne trójkąty utworzone przez punkt przecięcia stycznych i punktów styczności.

2) Z tego wynika, że ​​te trójkąty są podobne, a ich podstawy są równoległe. Na tej podstawie wnioskujemy, że ten czworokąt jest trapezem.

3) Korzystając z udowodnionej wcześniej własności (2), znajdujemy linię środkową trapezu. Jest równy dwóm średnim geometrycznym promieniom okręgów. W powstałym trapezie suma podstaw jest równa sumie boków i jest to warunek konieczny i wystarczający istnienia koła wpisanego.

§ 3. Problemy

Spójrzmy na praktyczny przykład tego, jak można uprościć rozwiązanie problemu, korzystając z właściwości opisanych powyżej.

Problem 1

W trójkącie ABC bok AC = 15 cm W trójkąt ten wpisano okrąg. Drugi okrąg dotyka pierwszego oraz boków AB i BC. Na stronie AB wybrano punkt F, a na stronie BC punkt M tak, aby odcinek FM był wspólną styczną do okręgów. Znajdź stosunek pól trójkąta BFM i czworoboku AFMC, jeśli FM wynosi 4 cm, a punkt M leży dwa razy dalej od środka jednego okręgu niż od środka drugiego.

Dany: FM-styczna całkowita AC=15cm FM=4cm O 2 M=2О 1 M

Znajdź S BFM /S AFMC

Rozwiązanie:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P i ▲BO 2 Q są podobne → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM =r*P FBM =1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*P ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3):(244/3)=4/61

Problem 2

W trójkąt równoramienny ABC wpisano dwa okręgi styczne o wspólnym punkcie D i wspólnej stycznej FK przechodzącej przez ten punkt. Znajdź odległość między środkami tych okręgów, jeśli podstawa trójkąta AC = 9 cm, a odcinek boku trójkąta zawarty pomiędzy punktami styczności okręgów wynosi 4 cm.

Dany: ABC – trójkąt równoramienny; FK – tangens wspólny okręgu wpisanego. AC = 9 cm; NE = 4 cm

Rozwiązanie:

Niech proste AB i CD przecinają się w punkcie O. Wtedy OA = OD, OB = OC, więc CD = = AB = 2√Rr

Punkty O 1 i O 2 leżą na dwusiecznej kąta AOD. Dwusieczna trójkąta równoramiennego AOD to jego wysokość, więc AD ┴ O 1 O 2 i BC ┴ O 1 O 2, co oznacza

AD ║ BC i ABCD – trapez równoramienny.

Odcinek MN to jego linia środkowa, więc AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Zatem w ten trapez można wpisać okrąg.

Niech AP będzie wysokością trapezu, trójkąty prostokątne ARB i O 1 FO 2 są podobne, zatem AP/O 1 F = AB/O 1 O 2 .

Stąd to znajdujemy

Bibliografia

• Dodatek do gazety „Pierwszy września” „Matematyka” nr 43, 2003
• Jednolity egzamin państwowy 2010. Matematyka. Zadanie C4. Gordin R.K.