Wyprowadzenie podstawowej zasady dynamiki ruchu obrotowego. Weryfikacja podstawowego prawa dynamiki ruchu obrotowego ciała sztywnego Podstawowe prawo ruchu obrotowego ciała sztywnego

Moment siły względem punktu stałegoO jest wektorową wielkością fizyczną zdefiniowaną przez iloczyn wektorowy wektora promienia narysowane z punktuO DokładnieA zastosowanie siły, siły (Rys.1.4.1):

(1.4.1)

Tutaj – pseudowektor, jego kierunek pokrywa się z kierunkiem ruchu prawego śmigła podczas jego obrotu Do .

Moduł momentu siły

Gdzie
– kąt pomiędzy I ,
– najkrótsza odległość pomiędzy linią działania siły a punktem O–siła ramion.

Moment siły względem ustalonej osi z
równy rzutowi na tę oś wektora moment siły określony względem dowolnego punktuO daną ośz (Rys. 1.4.1).

Praca wykonana podczas obrotu ciała jest równa iloczynowi momentu działającej siły i kąta obrotu:

.

Natomiast praca ta zmierza w kierunku zwiększenia jego energii kinetycznej:

, Ale

, Dlatego

, Lub
.

Biorąc pod uwagę, że
, otrzymujemy

. (1.4.2)

Dostał podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego ciała sztywnego względem ustalonej osi: moment sił zewnętrznych działających na ciało jest równy iloczynowi momentu bezwładności ciała i przyspieszenia kątowego.

Można wykazać, że jeśli oś obrotu pokrywa się z główną osią bezwładności przechodzącą przez środek masy, to zachodzi równość wektorów:

,

Gdzie I– główny moment bezwładności ciała (moment bezwładności względem osi głównej).

1.5 Moment pędu i prawo jego zachowania

moment impulsu punkt materialnyA względem stałego punktu O jest wektorową wielkością fizyczną zdefiniowaną przez iloczyn wektorowy:

(1.5.1)

Gdzie – wektor promienia narysowany od punktu O Dokładnie A;
– pęd punktu materialnego (rys. 1.5.1).
– pseudowektor, jego kierunek pokrywa się z kierunkiem ruchu postępowego prawego śmigła podczas jego obrotu Do .

,

Gdzie
– kąt między wektorami I ,– ramię wektora względem punktu O.

Pęd impulsu względem ustalonej osi z nazywana wielkością skalarną
równy rzutowi na tę oś wektora momentu pędu określonego względem dowolnego punktuO tę oś. Wartość pędu
nie zależy od położenia punktu O na osi z.

Kiedy absolutnie sztywne ciało obraca się wokół ustalonej osi z każdy pojedynczy punkt ciała porusza się po okręgu o stałym promieniu z pewną prędkością . Prędkość i pęd
prostopadle do tego promienia, tj. promień jest ramieniem wektora
. Dlatego możemy napisać, że moment pędu pojedynczej cząstki

i jest skierowany wzdłuż osi w kierunku określonym przez regułę prawej śruby.

Pęd ciała sztywnego względem osi jest sumą pędu poszczególnych cząstek:

.

Korzystanie z formuły
, otrzymujemy

, tj.
. (1.5.2)

Zatem moment pędu ciała sztywnego względem osi jest równy iloczynowi momentu bezwładności ciała względem tej samej osi i prędkości kątowej.

Zróżniczkujmy równanie (1.5.2) ze względu na czas:

, tj.
. (1.5.3)

To wyrażenie jest inną formą podstawowe równanie (prawo) dynamiki ruchu obrotowego ciała sztywnego względem stałej osi: pochodna czasowa momentu pędu układu mechanicznego (ciała stałego) względem osi jest równa głównemu momentowi wszystkich sił zewnętrznych działających na ten układ względem tej samej osi.

Można wykazać, że istnieje równość wektorów
.

W układzie zamkniętym moment sił zewnętrznych
I
, Gdzie

. (1.5.4)

Wyrażenie (1.5.4) jest prawo zachowania momentu pędu : Moment pędu układu zamkniętego jest zachowany.

Porównajmy podstawowe wielkości i równania określające obrót ciała wokół ustalonej osi oraz jego ruch postępowy (tabela 1.5.1).

Tabela 1.5.1

Podstawowe koncepcje.

Chwila mocy względem osi obrotu - jest to iloczyn wektorowy wektora promienia i siły.

Moment siły jest wektorem , którego kierunek wyznacza reguła świdra (prawa śruba) w zależności od kierunku siły działającej na korpus. Moment siły skierowany jest wzdłuż osi obrotu i nie ma określonego punktu przyłożenia.

Wartość liczbową tego wektora określa się ze wzoru:

M=r×F× sina(1.15),

gdzie - kąt między wektorem promienia a kierunkiem siły.

Jeśli a=0 Lub P, chwila mocy M=0, tj. siła przechodząca przez oś obrotu lub zbiegająca się z nią nie powoduje obrotu.

Największy moment modułowy powstaje, gdy siła działa pod kątem a=p/2 (M > 0) Lub a=3p/2 (M< 0).

Stosowanie koncepcji dźwigni D- jest to prostopadła obniżona ze środka obrotu do linii działania siły), wzór na moment siły przyjmuje postać:

Gdzie (1.16)

Zasada momentów sił(stan równowagi ciała o ustalonej osi obrotu):

Aby ciało o ustalonej osi obrotu znajdowało się w równowadze, konieczne jest, aby suma algebraiczna momentów sił działających na to ciało była równa zeru.

SM i =0(1.17)

Jednostką SI momentu siły jest [N×m]

Podczas ruchu obrotowego bezwładność ciała zależy nie tylko od jego masy, ale także od jego rozkładu w przestrzeni względem osi obrotu.

Bezwładność podczas obrotu charakteryzuje się momentem bezwładności ciała względem osi obrotu J.

Moment bezwładności punkt materialny względem osi obrotu to wartość równa iloczynowi masy punktu przez kwadrat jego odległości od osi obrotu:

J ja = m ja × r ja 2(1.18)

Moment bezwładności ciała względem osi jest sumą momentów bezwładności punktów materialnych tworzących ciało:

J=S m ja × r ja 2(1.19)

Moment bezwładności ciała zależy od jego masy i kształtu, a także od wyboru osi obrotu. Do określenia momentu bezwładności ciała względem określonej osi wykorzystuje się twierdzenie Steinera-Huygensa:

J=J 0 +m× d 2(1.20),

Gdzie J0– moment bezwładności względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy ciała, D– odległość między dwiema równoległymi osiami . Moment bezwładności w SI mierzony jest w [kg × m 2 ]

Moment bezwładności podczas ruchu obrotowego ciała ludzkiego wyznacza się eksperymentalnie i oblicza w przybliżeniu za pomocą wzorów na cylinder, okrągły pręt lub kulę.

Moment bezwładności człowieka względem pionowej osi obrotu przechodzącej przez środek masy (środek masy ciała człowieka znajduje się w płaszczyźnie strzałkowej nieco przed drugim kręgiem krzyżowym), zależny od pozycja osoby ma następujące wartości: stojąc na baczność – 1,2 kg × m 2; z pozą „arabeską” – 8 kg × m 2; w pozycji poziomej – 17 kg × m 2.

Pracuj w ruchu obrotowym występuje, gdy ciało obraca się pod wpływem sił zewnętrznych.

Elementarna praca siły w ruchu obrotowym jest równa iloczynowi momentu siły i elementarnego kąta obrotu ciała:

dA i =M i × dj(1.21)

Jeżeli na ciało działa kilka sił, to pracę elementarną wypadkowej wszystkich przyłożonych sił określa wzór:

dA=M×dj(1.22),

Gdzie M– całkowity moment wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało.

Energia kinetyczna obracającego się ciałaW do zależy od momentu bezwładności ciała i prędkości kątowej jego obrotu:

Kąt impulsu (moment pędu) – wielkość liczbowo równa iloczynowi pędu ciała i promienia obrotu.

L=p× r=m× V× r(1.24).

Po odpowiednich przekształceniach wzór na wyznaczenie momentu pędu można zapisać w postaci:

(1.25).

Moment pędu jest wektorem, którego kierunek jest określony przez regułę śruby prawoskrętnej. Jednostką momentu pędu w SI jest [kg×m 2 /s]

Podstawowe prawa dynamiki ruchu obrotowego.

Podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego:

Przyspieszenie kątowe ciała znajdującego się w ruchu obrotowym jest wprost proporcjonalne do całkowitego momentu wszystkich sił zewnętrznych i odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności ciała.

(1.26).

Równanie to odgrywa tę samą rolę w opisie ruchu obrotowego, co drugie prawo Newtona dla ruchu postępowego. Z równania jasno wynika, że ​​pod działaniem sił zewnętrznych im większe przyspieszenie kątowe, tym mniejszy moment bezwładności ciała.

Drugie prawo Newtona dotyczące dynamiki ruchu obrotowego można zapisać w innej formie:

(1.27),

te. pierwsza pochodna momentu pędu ciała po czasie jest równa sumie momentów wszystkich sił zewnętrznych działających na dane ciało.

Prawo zachowania momentu pędu ciała:

Jeżeli całkowity moment wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało jest równy zeru, tj.

SM i =0, Następnie dL/dt=0 (1.28).

Oznacza to albo (1.29).

Stwierdzenie to stanowi istotę prawa zachowania momentu pędu ciała, które sformułowane jest w sposób następujący:

Moment pędu ciała pozostaje stały, jeśli całkowity moment sił zewnętrznych działających na obracające się ciało wynosi zero.

Prawo to obowiązuje nie tylko dla ciała absolutnie sztywnego. Przykładem jest łyżwiarka figurowa, która wykonuje obrót wokół osi pionowej. Naciskając dłonie, łyżwiarz zmniejsza moment bezwładności i zwiększa prędkość kątową. Przeciwnie, aby spowolnić obrót, rozkłada szeroko ramiona; W efekcie wzrasta moment bezwładności i maleje prędkość kątowa obrotu.

Podsumowując, przedstawiamy tabelę porównawczą głównych wielkości i praw charakteryzujących dynamikę ruchów translacyjnych i obrotowych.

Tabela 1.4.

Ruch do przodu	Ruch obrotowy
Wielkość fizyczna	Formuła	Wielkość fizyczna	Formuła
Waga	M	Moment bezwładności	J=m×r 2
Siła	F	Chwila mocy	M=F×r, jeśli
Impuls ciała (ilość ruchu)	p=m×V	Pęd ciała	L=m×V×r; L=J×sz
Energia kinetyczna		Energia kinetyczna
Praca mechaniczna	dA=FdS	Praca mechaniczna	dA=Mdj
Podstawowe równanie dynamiki ruchu postępowego		Podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego	,
Prawo zachowania pędu ciała	Lub Jeśli	Prawo zachowania momentu pędu ciała	Lub SJ i w i = stała, Jeśli

Wirowanie.

Rozdzielenie układów niejednorodnych składających się z cząstek o różnej gęstości można przeprowadzić pod wpływem grawitacji i siły Archimedesa (siły wyporu). Jeżeli występuje wodna zawiesina cząstek o różnej gęstości, wówczas działa na nie siła wypadkowa

F r =F t – F A =r 1 ×V×g - r×V×g, tj.

F. r =(r 1 - r)× V ×g(1.30)

gdzie V jest objętością cząstki, r 1 I R– odpowiednio gęstość substancji cząstki i wody. Jeśli gęstości różnią się nieznacznie od siebie, wówczas powstająca siła jest niewielka i separacja (osadzanie) zachodzi dość powoli. Dlatego stosuje się wymuszoną separację cząstek w wyniku rotacji oddzielanego ośrodka.

Wirowanie to proces rozdzielania (rozdzielania) układów heterogenicznych, mieszanin lub zawiesin składających się z cząstek o różnych masach, zachodzący pod wpływem siły odśrodkowej lub bezwładności.

Podstawą wirówki jest rotor z gniazdami na probówki, umieszczony w zamkniętej obudowie, który napędzany jest silnikiem elektrycznym. Kiedy wirnik wirówki obraca się z odpowiednio dużą prędkością, zawieszone cząstki o różnej masie pod wpływem siły odśrodkowej bezwładności rozkładają się warstwami na różnych głębokościach, a najcięższe osiadają na dnie probówki.

Można wykazać, że siłę, pod wpływem której następuje separacja, określa wzór:

(1.31)

Gdzie w- prędkość kątowa obrotu wirówki, R– odległość od osi obrotu. Im większa jest różnica w gęstości oddzielonych cząstek i cieczy, tym większy jest efekt wirowania, a także znacząco zależy od prędkości kątowej obrotu.

Ultrawirówki pracujące przy prędkości obrotowej wirnika około 10 5 – 10 6 obrotów na minutę są w stanie oddzielać cząstki o wielkości mniejszej niż 100 nm, zawieszone lub rozpuszczone w cieczy. Znalazły szerokie zastosowanie w badaniach biomedycznych.

Ultrawirowanie można zastosować do rozdzielenia komórek na organelle i makrocząsteczki. Najpierw osadzają się większe części (jądra, cytoszkielet). Wraz z dalszym wzrostem prędkości wirowania stopniowo osadzają się mniejsze cząstki – najpierw mitochondria, lizosomy, następnie mikrosomy, a na końcu rybosomy i duże makrocząsteczki. Podczas wirowania różne frakcje osiadają z różną szybkością, tworząc w probówce oddzielne pasma, które można wyizolować i zbadać. Frakcjonowane ekstrakty komórkowe (systemy bezkomórkowe) są szeroko stosowane do badania procesów wewnątrzkomórkowych, na przykład do badania biosyntezy białek i rozszyfrowywania kodu genetycznego.

Do sterylizacji końcówek w stomatologii stosuje się sterylizator olejowy z wirówką w celu usunięcia nadmiaru oleju.

Do osadzania cząstek zawieszonych w moczu można zastosować wirowanie; oddzielanie powstałych pierwiastków od osocza krwi; separacja biopolimerów, wirusów i struktur subkomórkowych; kontrolę nad czystością leku.

Zadania do samokontroli wiedzy.

Ćwiczenie 1 . Pytania do samokontroli.

Jaka jest różnica między ruchem jednostajnym po okręgu a ruchem jednostajnym liniowym? W jakich warunkach ciało będzie poruszać się ruchem jednostajnym po okręgu?

Wyjaśnij, dlaczego ruch jednostajny po okręgu następuje wraz z przyspieszeniem.

Czy ruch krzywoliniowy może zachodzić bez przyspieszenia?

W jakim warunku moment siły jest równy zeru? przyjmuje największą wartość?

Wskaż granice stosowania prawa zachowania pędu i momentu pędu.

Wskaż cechy separacji pod wpływem grawitacji.

Dlaczego rozdział białek o różnych masach cząsteczkowych można przeprowadzić metodą wirowania, a metoda destylacji frakcyjnej jest niedopuszczalna?

Zadanie 2 . Testy na samokontrolę.

Uzupełnij brakujące słowo:

Zmiana znaku prędkości kątowej wskazuje na zmianę_ _ _ _ _ ruchu obrotowego.

Zmiana znaku przyspieszenia kątowego wskazuje na zmianę_ _ _ ruchu obrotowego

Prędkość kątowa jest równa _ _ _ _ pochodnej kąta obrotu wektora promienia względem czasu.

Przyspieszenie kątowe jest równe _ _ _ _ _ pochodnej kąta obrotu wektora promienia względem czasu.

Moment siły jest równy_ _ _ _ _ jeśli kierunek siły działającej na ciało pokrywa się z osią obrotu.

Znajdź poprawną odpowiedź:

Moment siły zależy tylko od punktu przyłożenia siły.

Moment bezwładności ciała zależy wyłącznie od masy ciała.

Ruch jednostajny po okręgu zachodzi bez przyspieszenia.

Odpowiedź: Poprawnie. B. Niepoprawnie.

Wszystkie powyższe wielkości są skalarne, z wyjątkiem

A. moment siły;

B. praca mechaniczna;

C. energia potencjalna;

D. moment bezwładności.

Ilości wektorowe to

A. prędkość kątowa;

B. przyspieszenie kątowe;

C. moment siły;

D. moment pędu.

Odpowiedzi: 1 – kierunki; 2 – znak; 3 – pierwszy; 4 – drugi; 5 – zero; 6 – B; 7 – B; 8 – B; 9 – A; 10 – A, B, C, D.

Zadanie 3. Uzyskaj związek między jednostkami miary :

prędkość liniowa cm/min i m/s;

przyspieszenie kątowe rad/min 2 i rad/s 2 ;

moment siły kN×cm i N×m;

impuls ciała g×cm/s i kg×m/s;

moment bezwładności g×cm 2 i kg×m 2.

Zadanie 4. Zadania o treści medycznej i biologicznej.

Zadanie nr 1. Dlaczego podczas fazy lotu podczas skoku sportowiec nie może wykonać żadnego ruchu, aby zmienić trajektorię środka ciężkości ciała? Czy mięśnie sportowca wykonują pracę przy zmianie położenia części ciała w przestrzeni?

Odpowiedź: Poruszając się w locie swobodnym po paraboli, zawodnik może jedynie zmieniać położenie ciała i jego poszczególnych części względem jego środka ciężkości, którym w tym przypadku jest środek obrotu. Sportowiec wykonuje pracę polegającą na zmianie energii kinetycznej obrotu ciała.

Zadanie nr 2. Jaką średnią moc rozwija osoba podczas chodzenia, jeśli czas trwania kroku wynosi 0,5 s? Weź pod uwagę, że praca polega na przyspieszaniu i zwalnianiu kończyn dolnych. Ruch kątowy nóg wynosi około Dj=30 o. Moment bezwładności kończyny dolnej wynosi 1,7 kg × m 2. Ruch nóg należy uznać za równomiernie naprzemienny obrotowy.

Rozwiązanie:

1) Zapiszmy krótko stan problemu: Dt= 0,5 s; DJ=30 0 =P/ 6; I=1,7 kg × m 2

2) Zdefiniuj pracę w jednym kroku (prawa i lewa noga): A= 2×Iw 2 / 2=Iw 2 .

Korzystając ze wzoru na średnią prędkość kątową w av =Dj/Dt, otrzymujemy: w= 2w av = 2×Dj/Dt; N=A/Dt= 4×I×(Dj) 2 /(Dt) 3

3) Zastąp wartości liczbowe: N=4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36) = 14,9 (W)

Odpowiedź: 14,9 W.

Zadanie nr 3. Jaka jest rola ruchu ramion podczas chodzenia?

Odpowiedź: Ruch nóg poruszających się w dwóch równoległych płaszczyznach znajdujących się w pewnej odległości od siebie wytwarza moment siły, który ma tendencję do obracania ciała ludzkiego wokół osi pionowej. Osoba macha rękami „w kierunku” ruchu nóg, tworząc w ten sposób moment siły przeciwnego znaku.

Zadanie nr 4. Jednym z obszarów udoskonalania wierteł stosowanych w stomatologii jest zwiększanie prędkości obrotowej wiertła. Prędkość obrotowa końcówki borowej w wiertarkach łapowych wynosi 1500 obr/min, w stacjonarnych wiertarkach elektrycznych – 4000 obr/min, w wiertarkach turbinowych – osiąga już 300 000 obr/min. Dlaczego opracowywane są nowe modyfikacje wierteł o dużej liczbie obrotów na jednostkę czasu?

Odpowiedź: Zębina jest kilka tysięcy razy bardziej podatna na ból niż skóra: na 1 mm skóry przypada 1-2 punkty bólowe, a na 1 mm zębiny siekaczy przypada aż 30 000 punktów bólowych. Zwiększenie liczby obrotów zdaniem fizjologów zmniejsza ból podczas leczenia ubytku próchnicowego.

Z zadanie 5 . Wypełnij tabele:

Tabela nr 1. Narysuj analogię pomiędzy charakterystykami liniowymi i kątowymi ruchu obrotowego i wskaż zależność między nimi.

Tabela nr 2.

Zadanie 6. Wypełnij orientacyjną kartę akcji:

Rozdział 2. Podstawy biomechaniki.

Pytania.

Dźwignie i stawy w układzie mięśniowo-szkieletowym człowieka. Pojęcie stopni swobody.

Rodzaje skurczu mięśni. Podstawowe wielkości fizyczne opisujące skurcze mięśni.

Zasady regulacji motorycznej człowieka.

Metody i przyrządy do pomiaru cech biomechanicznych.

2.1. Dźwignie i stawy w układzie mięśniowo-szkieletowym człowieka.

Anatomia i fizjologia układu mięśniowo-szkieletowego człowieka mają następujące cechy, które należy uwzględnić w obliczeniach biomechanicznych: o ruchach ciała decydują nie tylko siły mięśni, ale także siły reakcji zewnętrznych, grawitacja, siły bezwładności, a także siły sprężystości i tarcie; struktura narządu ruchu umożliwia wyłącznie ruchy obrotowe. Korzystając z analizy łańcuchów kinematycznych, ruchy translacyjne można sprowadzić do ruchów obrotowych w stawach; ruchami steruje bardzo złożony mechanizm cybernetyczny, dzięki czemu następuje ciągła zmiana przyspieszenia.

Układ mięśniowo-szkieletowy człowieka składa się z połączonych ze sobą kości szkieletowych, do których w określonych punktach przyczepione są mięśnie. Kości szkieletu działają jak dźwignie, które mają punkt podparcia w stawach i są napędzane siłą trakcji generowaną przez skurcz mięśni. Wyróżnić trzy rodzaje dźwigni:

1) Dźwignia, na którą działa siła F i siła oporu R stosowane po przeciwnych stronach punktu podparcia. Przykładem takiej dźwigni jest czaszka oglądana w płaszczyźnie strzałkowej.

2) Dźwignia posiadająca aktywną siłę F i siła oporu R przyłożonego po jednej stronie punktu podparcia oraz siły F przyłożonego do końca dźwigni i siły R- bliżej punktu podparcia. Dźwignia ta daje przyrost siły i utratę dystansu, tj. Jest dźwignia mocy. Przykładem jest działanie łuku stopy podczas podnoszenia na półpalce, dźwignie okolicy szczękowo-twarzowej (ryc. 2.1). Ruchy narządu żucia są bardzo złożone. Podczas zamykania ust uniesienie żuchwy z pozycji maksymalnego opuszczenia do pozycji całkowitego zamknięcia zębów zębami górnej szczęki odbywa się poprzez ruch mięśni unoszących dolną szczękę. Mięśnie te działają na żuchwę jak dźwignia drugiego rodzaju z punktem podparcia w stawie (dając przyrost siły żucia).

3) Dźwignia, w której siła działająca jest przykładana bliżej punktu podparcia niż siła oporu. Ta dźwignia jest dźwignia prędkości, ponieważ powoduje utratę siły, ale wzrost ruchu. Przykładem są kości przedramienia.

Ryż. 2.1. Dźwignie okolicy szczękowo-twarzowej i łuk stopy.

Większość kości szkieletu podlega działaniu kilku mięśni, rozwijając siły w różnych kierunkach. Ich wypadkową oblicza się metodą dodawania geometrycznego zgodnie z zasadą równoległoboku.

Kości układu mięśniowo-szkieletowego są połączone ze sobą w stawach lub stawach. Końce kości tworzących staw są utrzymywane razem przez torebkę stawową, która szczelnie je otacza, a także więzadła przyczepione do kości. Aby zmniejszyć tarcie, stykające się powierzchnie kości pokryte są gładką chrząstką, a pomiędzy nimi znajduje się cienka warstwa lepkiego płynu.

Pierwszym etapem analizy biomechanicznej procesów motorycznych jest określenie ich kinematyki. Na podstawie takiej analizy konstruowane są abstrakcyjne łańcuchy kinematyczne, których ruchliwość lub stabilność można sprawdzić na podstawie rozważań geometrycznych. Istnieją zamknięte i otwarte łańcuchy kinematyczne utworzone przez przeguby i sztywne ogniwa umieszczone pomiędzy nimi.

Stan swobodnego punktu materialnego w przestrzeni trójwymiarowej określony jest trzema niezależnymi współrzędnymi - x, y, z. Nazywa się zmienne niezależne charakteryzujące stan układu mechanicznego stopnie swobody. W przypadku bardziej złożonych układów liczba stopni swobody może być wyższa. Ogólnie rzecz biorąc, liczba stopni swobody określa nie tylko liczbę zmiennych niezależnych (charakteryzujących stan układu mechanicznego), ale także liczbę niezależnych ruchów układu.

Liczba stopni swoboda jest główną cechą mechaniczną złącza, tj. definiuje liczba osi, wokół którego możliwy jest wzajemny obrót kości przegubowych. Jest to spowodowane głównie geometrycznym kształtem powierzchni kości stykających się w stawie.

Maksymalna liczba stopni swobody w stawach wynosi 3.

Przykładami jednoosiowych (płaskich) stawów w organizmie człowieka są stawy ramienno-łokciowe, nadpiętowe i paliczkowe. Umożliwiają zginanie i prostowanie tylko z jednym stopniem swobody. W ten sposób kość łokciowa za pomocą półkolistego wycięcia zakrywa cylindryczny występ na kości ramiennej, który służy jako oś stawu. Ruchy w stawie to zginanie i prostowanie w płaszczyźnie prostopadłej do osi stawu.

Staw nadgarstkowy, w którym dochodzi do zgięcia i wyprostu oraz przywodzenia i odwiedzenia, można zaliczyć do stawów o dwóch stopniach swobody.

Stawy o trzech stopniach swobody (artykulacja przestrzenna) obejmują staw biodrowy i staw barkowo-ramienny. Na przykład w stawie łopatkowo-ramiennym kulista głowa kości ramiennej wpasowuje się w kulistą jamę występu łopatki. Ruchy w stawie to zgięcie i wyprost (w płaszczyźnie strzałkowej), przywodzenie i odwodzenie (w płaszczyźnie czołowej) oraz rotacja kończyny wokół osi podłużnej.

Zamknięte płaskie łańcuchy kinematyczne mają wiele stopni swobody f F, która jest obliczana na podstawie liczby linków N w następujący sposób:

Sytuacja łańcuchów kinematycznych w przestrzeni jest bardziej złożona. Tutaj zależność zachodzi

(2.2)

Gdzie jeśli ja - liczba stopni swobody ograniczeń I- link.

W dowolnym korpusie można wybrać osie, których kierunek podczas obrotu będzie zachowywany bez żadnych specjalnych urządzeń. Mają imię swobodne osie obrotu

W tym rozdziale bryła sztywna jest rozpatrywana jako zbiór punktów materialnych, które nie poruszają się względem siebie. Takie ciało, którego nie można odkształcić, nazywa się absolutnie stałym.

Niech ciało stałe o dowolnym kształcie obraca się pod działaniem siły wokół ustalonej osi 00 (ryc. 30). Wtedy wszystkie jego punkty opisują okręgi ze środkami na tej osi. Wiadomo, że wszystkie punkty ciała mają tę samą prędkość kątową i to samo przyspieszenie kątowe (w danym momencie).

Rozłóżmy działającą siłę na trzy wzajemnie prostopadłe składowe: (równoległą do osi), (prostopadłą do osi i leżącą na prostej przechodzącej przez oś) oraz (prostopadłą. Oczywiście obrót ciała powodowany jest tylko przez składowa styczna do okręgu opisanego przez punkt przyłożenia siły.Składowe obrotu nie są przyczyną.Nazwijmy to siłą wirującą.Jak wiadomo ze szkolnych zajęć z fizyki, działanie siły zależy nie tylko od jej wielkość, ale także odległość punktu jej przyłożenia A od osi obrotu, czyli zależy od momentu działania siły Moment siły obrotowej (momentu obrotowego) Iloczyn siły obrotowej i promienia okręgu opisanego przez punkt przyłożenia siły nazywa się:

Rozłóżmy w myślach całe ciało na bardzo małe cząstki – masy elementarne. Chociaż siła jest przyłożona do jednego punktu A ciała, jej efekt obrotowy jest przenoszony na wszystkie cząstki: do każdej elementarnej masy zostanie przyłożona elementarna siła obrotowa (patrz ryc. 30). Zgodnie z drugim prawem Newtona,

gdzie jest przyspieszeniem liniowym nadawanym masie elementarnej. Mnożąc obie strony tej równości przez promień okręgu opisanego przez masę elementarną i wprowadzając przyspieszenie kątowe zamiast liniowego (patrz § 7), otrzymujemy

Biorąc pod uwagę moment obrotowy przyłożony do masy elementarnej i oznaczając

gdzie jest moment bezwładności masy elementarnej (punkt materialny). W konsekwencji moment bezwładności punktu materialnego względem określonej osi obrotu jest iloczynem masy punktu materialnego przez kwadrat jego odległości od tej osi.

Sumując momenty przyłożone do wszystkich elementarnych mas tworzących ciało, otrzymujemy

gdzie jest momentem obrotowym przyłożonym do ciała, tj. moment siły obrotowej jest momentem bezwładności ciała. Zatem moment bezwładności ciała jest sumą momentów bezwładności wszystkich punktów materialnych tworzących ciało.

Teraz możemy przepisać wzór (3) do postaci

Wzór (4) wyraża podstawowe prawo dynamiki obrotu (drugie prawo Newtona dotyczące ruchu obrotowego):

moment siły obrotowej przyłożonej do ciała jest równy iloczynowi momentu bezwładności ciała i przyspieszenia kątowego.

Ze wzoru (4) wynika, że ​​przyspieszenie kątowe nadawane ciału przez moment obrotowy zależy od momentu bezwładności ciała; Im większy moment bezwładności, tym mniejsze przyspieszenie kątowe. W konsekwencji moment bezwładności charakteryzuje bezwładność ciała podczas ruchu obrotowego, podobnie jak masa charakteryzuje bezwładność ciała podczas ruchu postępowego.Jednak w odróżnieniu od masy moment bezwładności danego ciała może mieć wiele wartości zgodnie z wieloma możliwymi osiami obrotu. Zatem mówiąc o momencie bezwładności ciała sztywnego należy wskazać, względem jakiej osi jest on obliczany. W praktyce najczęściej mamy do czynienia z momentami bezwładności względem osi symetrii ciała.

Ze wzoru (2) wynika, że ​​jednostką miary momentu bezwładności jest kilogram-metr kwadratowy

Jeżeli moment obrotowy i moment bezwładności ciała, to wzór (4) można przedstawić jako

W artykule opisano ważny dział fizyki - „Kinematyka i dynamika ruchu obrotowego”.

Podstawowe pojęcia kinematyki ruchu obrotowego

Ruchem obrotowym punktu materialnego wokół ustalonej osi nazywa się taki ruch, którego trajektorią jest okrąg położony w płaszczyźnie prostopadłej do tej osi, a jego środek leży na osi obrotu.

Ruch obrotowy ciała sztywnego to ruch, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się po koncentrycznych (których środki leżą na tej samej osi) okręgach zgodnie z zasadą ruchu obrotowego punktu materialnego.

Niech dowolne ciało sztywne T obraca się wokół osi O, która jest prostopadła do płaszczyzny rysunku. Wybierzmy na tym ciele punkt M. Po obróceniu punkt ten będzie opisywał okrąg o promieniu wokół osi O R.

Po pewnym czasie promień obróci się względem swojego pierwotnego położenia o kąt Δφ.

Za dodatni kierunek obrotu przyjmuje się kierunek prawej śruby (zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Zmiana kąta obrotu w czasie nazywana jest równaniem ruchu obrotowego ciała sztywnego:

φ = φ(t).

Jeśli φ mierzy się w radianach (1 rad to kąt odpowiadający łukowi o długości równej jego promieniowi), to długość łuku kołowego ΔS, który przejdzie punkt materialny M w czasie Δt, jest równa:

ΔS = Δφr.

Podstawowe elementy kinematyki ruchu jednostajnego obrotowego

Miara ruchu punktu materialnego w krótkim okresie czasu dt służy jako elementarny wektor rotacji dφ.

Prędkość kątowa punktu materialnego lub ciała jest wielkością fizyczną określoną przez stosunek wektora elementarnego obrotu do czasu trwania tego obrotu. Kierunek wektora można wyznaczyć z reguły prawej śruby wzdłuż osi O. W formie skalarnej:

ω = dφ/dt.

Jeśli ω = dφ/dt = stała, wówczas taki ruch nazywamy jednostajnym ruchem obrotowym. Dzięki niemu prędkość kątową określa się ze wzoru

ω = φ/t.

Zgodnie ze wstępnym wzorem wymiar prędkości kątowej

[ω] = 1 rad/s.

Jednostajny ruch obrotowy ciała można opisać okresem obrotu. Okres obrotu T jest wielkością fizyczną określającą czas, w którym ciało wykonuje jeden pełny obrót wokół osi obrotu ([T] = 1 s). Jeśli we wzorze na prędkość kątową przyjmiemy t = T, φ = 2 π (jeden pełny obrót promienia r), to

ω = 2π/T,

Dlatego definiujemy okres rotacji w następujący sposób:

T = 2π/ω.

Liczbę obrotów, jakie ciało wykonuje w jednostce czasu, nazywa się częstotliwością obrotu ν i jest ona równa:

ν = 1/T.

Jednostki częstotliwości: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Porównując wzory na prędkość kątową i częstotliwość obrotów, otrzymujemy wyrażenie łączące te wielkości:

ω = 2πν.

Podstawowe elementy kinematyki nierównego ruchu obrotowego

Nierówny ruch obrotowy ciała sztywnego lub punktu materialnego wokół ustalonej osi charakteryzuje się prędkością kątową, która zmienia się w czasie.

Wektor ε , charakteryzujący szybkość zmian prędkości kątowej, nazywany jest wektorem przyspieszenia kątowego:

ε = dω/dt.

To znaczy, jeśli ciało obraca się, przyspieszając dω/dt > 0, wektor ma kierunek wzdłuż osi w tym samym kierunku co ω.

Jeśli ruch obrotowy jest powolny - dω/dt< 0 , to wektory ε i ω są skierowane przeciwnie.

Komentarz. Gdy występuje nierówny ruch obrotowy, wektor ω może zmieniać się nie tylko pod względem wielkości, ale także kierunku (gdy obraca się oś obrotu).

Zależność pomiędzy wielkościami charakteryzującymi ruch postępowy i obrotowy

Wiadomo, że długość łuku z kątem obrotu promienia i jego wartością wiąże zależność

ΔS = Δφ r.

Następnie prędkość liniowa punktu materialnego wykonującego ruch obrotowy

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Przyspieszenie normalne punktu materialnego wykonującego ruch rotacyjno-translacyjny wyznacza się w następujący sposób:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Zatem w formie skalarnej

a = ω 2 r.

Styczny, przyspieszony punkt materialny wykonujący ruch obrotowy

a = ε r.

Pęd punktu materialnego

Iloczyn wektora promienia trajektorii punktu materialnego o masie mi i jego pędu nazywany jest momentem pędu tego punktu wokół osi obrotu. Kierunek wektora można wyznaczyć za pomocą reguły prawej śruby.

Pęd punktu materialnego ( L ja) jest skierowany prostopadle do płaszczyzny poprowadzonej przez r i oraz υ i i tworzy z nimi prawą trójkę wektorów (to znaczy podczas ruchu od końca wektora r ja Do υ i prawa śruba pokaże kierunek wektora L I).

W formie skalarnej

L = m ja υ ja r ja sin(υ ja , r ja).

Biorąc pod uwagę, że podczas poruszania się po okręgu wektor promienia i wektor prędkości liniowej dla i-tego punktu materialnego są wzajemnie prostopadłe,

grzech(υ ja , r ja) = 1.

Zatem moment pędu punktu materialnego dla ruchu obrotowego przybierze postać

L = m ja υ ja r ja .

Moment siły działający na i-ty punkt materialny

Iloczyn wektorowy wektora promienia, który jest rysowany do punktu przyłożenia siły, a siła ta nazywana jest momentem siły działającej na i-ty punkt materialny względem osi obrotu.

W formie skalarnej

M ja = r ja fa ja sin(r ja , fi).

Biorąc pod uwagę, że r ja sinα = l ja ,M ja = l ja fa ja .

Ogrom l ja, równa długości prostopadłej obniżonej od punktu obrotu do kierunku działania siły, nazywa się ramieniem siły Fi.

Dynamika ruchu obrotowego

Równanie dynamiki ruchu obrotowego zapisuje się następująco:

M = dL/dt.

Sformułowanie prawa jest następujące: szybkość zmiany momentu pędu ciała obracającego się wokół ustalonej osi jest równa wypadkowemu momentowi względem tej osi wszystkich sił zewnętrznych działających na to ciało.

Moment impulsu i moment bezwładności

Wiadomo, że dla i-tego punktu materialnego moment pędu w postaci skalarnej wyraża się wzorem

L ja = m ja υ ja r ja .

Jeśli zamiast prędkości liniowej zastąpimy jej wyrażenie prędkością kątową:

υ ja = ωr ja ,

wówczas wyrażenie na moment pędu przybierze postać

L ja = m ja r ja 2 ω.

Ogrom ja ja = m ja r ja 2 nazywany jest momentem bezwładności względem osi i-tego punktu materialnego ciała absolutnie sztywnego przechodzącego przez jego środek masy. Następnie zapisujemy moment pędu punktu materialnego:

L ja = ja i ω.

Moment pędu ciała absolutnie sztywnego zapisujemy jako sumę pędu punktów materialnych tworzących to ciało:

L = Iω.

Moment siły i moment bezwładności

Prawo ruchu obrotowego stwierdza:

M = dL/dt.

Wiadomo, że moment pędu ciała można przedstawić poprzez moment bezwładności:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Biorąc pod uwagę, że przyspieszenie kątowe jest określone przez wyrażenie

ε = dω/dt,

otrzymujemy wzór na moment siły, reprezentowany przez moment bezwładności:

M = Iε.

Komentarz. Moment siły uważa się za dodatni, jeśli powodujące go przyspieszenie kątowe jest większe od zera i odwrotnie.

Twierdzenie Steinera. Prawo dodawania momentów bezwładności

Jeżeli oś obrotu ciała nie przechodzi przez jego środek masy, to względem tej osi można wyznaczyć jego moment bezwładności korzystając z twierdzenia Steinera:
ja = ja 0 + ma 2,

Gdzie ja 0- początkowy moment bezwładności ciała; M- masa ciała; A- odległość między osiami.

Jeśli składa się z układu obracającego się wokół stałej osi N ciał, wówczas całkowity moment bezwładności tego typu układu będzie równy sumie momentów jego elementów składowych (prawo dodawania momentów bezwładności).

Chwila mocy

O działaniu obrotowym siły decyduje jej moment. Moment siły względem dowolnego punktu nazywany jest iloczynem wektorowym

Wektor promienia narysowany od punktu do punktu przyłożenia siły (ryc. 2.12). Jednostka miary momentu siły.

Rysunek 2.12

Wielkość momentu siły

albo możesz napisać

gdzie jest ramieniem siły (najkrótsza odległość od punktu do linii działania siły).

Kierunek wektora określa reguła iloczynu wektorowego lub zasada „prawej śruby” (wektory i przesunięcie równoległe łączy się w punkcie O, kierunek wektora wyznacza się tak, aby od jego końca widoczny był obrót od wektora k przeciwnie do ruchu wskazówek zegara - na ryc. 2.12 wektor jest skierowany prostopadle do płaszczyzny rysującej „od nas” (podobnie jak w przypadku reguły świdra - ruch translacyjny odpowiada kierunkowi wektora, ruch obrotowy odpowiada obrotowi od do)).

Moment siły względem dowolnego punktu jest równy zeru, jeśli linia działania siły przechodzi przez ten punkt.

Rzut wektora na dowolną oś, na przykład oś z, nazywany jest momentem siły wokół tej osi. Aby wyznaczyć moment siły względem osi, należy najpierw rzutować siłę na płaszczyznę prostopadłą do osi (rys. 2.13), a następnie znaleźć moment tego rzutu względem punktu przecięcia osi z płaszczyzną prostopadłą do To. Jeżeli linia działania siły jest równoległa do osi lub ją przecina, to moment siły względem tej osi jest równy zero.

Rysunek 2.13

Pęd

Pęd punkt materialny masa poruszająca się z prędkością względem dowolnego punktu odniesienia nazywana jest iloczynem wektorowym

Wektor promienia punktu materialnego (ryc. 2.14) to jego pęd.

Rysunek 2.14

Wielkość pędu punktu materialnego

gdzie jest najkrótsza odległość od linii wektora do punktu.

Kierunek momentu impulsu wyznacza się analogicznie do kierunku momentu siły.

Jeśli pomnożymy wyrażenie dla L 0 i podzielimy przez l, otrzymamy:

Gdzie jest moment bezwładności punktu materialnego - odpowiednik masy w ruchu obrotowym.

Prędkość kątowa.

Moment bezwładności ciała sztywnego

Można zauważyć, że otrzymane wzory są bardzo podobne do wyrażeń odpowiednio na pęd i drugie prawo Newtona, tyle że zamiast prędkości i przyspieszenia liniowego stosuje się prędkość i przyspieszenie kątowe, a zamiast masy wielkość Ja=mR 2, tzw moment bezwładności punktu materialnego .

Jeśli ciała nie można uznać za punkt materialny, ale można je uznać za absolutnie stałe, wówczas jego moment bezwładności można uznać za sumę momentów bezwładności jego nieskończenie małych części, ponieważ prędkości kątowe obrotu tych części są takie same (ryc. 2.16). Suma nieskończenie małych jest całką:

Dla każdego ciała istnieją osie przechodzące przez jego środek bezwładności, które mają następującą właściwość: gdy ciało obraca się wokół takich osi przy braku wpływów zewnętrznych, osie obrotu nie zmieniają swojego położenia. Takie osie nazywane są wolne osie ciała . Można wykazać, że dla ciała o dowolnym kształcie i dowolnym rozkładzie gęstości istnieją trzy wzajemnie prostopadłe swobodne osie, zwane główne osie bezwładności ciała. Nazywa się momenty bezwładności ciała względem głównych osi główne (wewnętrzne) momenty bezwładności ciała.

Główne momenty bezwładności niektórych ciał podano w tabeli:

Twierdzenie Huygensa-Steinera.

To wyrażenie nazywa się Twierdzenie Huygensa-Steinera : moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności ciała względem osi równoległej do zadanej i przechodzącej przez środek masy ciała oraz iloczynu masę ciała przez kwadrat odległości między osiami.

Podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego

Podstawowe prawo dynamiki ruchu obrotowego można wyprowadzić z drugiego prawa Newtona dla ruchu postępowego ciała sztywnego

Gdzie F– siła przyłożona do ciała poprzez masę M; A– przyspieszenie liniowe ciała.

Jeśli do ciała stałego o masie M w punkcie A (ryc. 2.15) przyłóż siłę F, wówczas w wyniku sztywnego połączenia wszystkich punktów materialnych ciała otrzymają one przyspieszenie kątowe ε i odpowiadające im przyspieszenia liniowe, tak jakby na każdy punkt działała siła F 1 ...F n. Dla każdego punktu materialnego możemy napisać:

Gdzie zatem

Gdzie ja- waga I- punkty; ε – przyspieszenie kątowe; r ja– jego odległość od osi obrotu.

Mnożąc lewą i prawą stronę równania przez r ja, otrzymujemy

Gdzie - moment siły jest iloczynem siły i jej ramienia.

Ryż. 2.15. Ciało sztywne obracające się pod wpływem siły F wokół osi „OO”

- moment bezwładności I punkt materialny (analog masy w ruchu obrotowym).

Wyrażenie można zapisać w następujący sposób:

Podsumujmy lewą i prawą część po wszystkich punktach ciała:

Równanie jest podstawową zasadą dynamiki ruchu obrotowego ciała sztywnego. Wielkość jest sumą geometryczną wszystkich momentów siły, to znaczy momentu siły F, nadając przyspieszenie ε wszystkim punktom ciała. – algebraiczna suma momentów bezwładności wszystkich punktów ciała. Prawo to jest sformułowane w następujący sposób: „Moment siły działający na obracające się ciało jest równy iloczynowi momentu bezwładności ciała i przyspieszenia kątowego”.

Z drugiej strony

Z kolei - zmiana momentu pędu ciała.

Wówczas podstawowe prawo dynamiki ruchu obrotowego można zapisać jako:

Lub - impuls momentu siły działającej na obracające się ciało jest równy zmianie jego momentu pędu.

Prawo zachowania momentu pędu

Podobnie jak ZSI.

Zgodnie z podstawowym równaniem dynamiki ruchu obrotowego moment siły względem osi Z: . Zatem w układzie zamkniętym całkowity moment pędu względem osi Z wszystkich ciał wchodzących w skład układu zamkniętego jest wielkością stałą. To wyraża prawo zachowania momentu pędu . Prawo to działa tylko w inercjalnych układach odniesienia.

Narysujmy analogię pomiędzy charakterystyką ruchu translacyjnego i obrotowego.