Lekcja wideo „Izolacja całej części od niewłaściwego ułamka. Reprezentowanie liczby mieszanej jako ułamka niewłaściwego

Zwyczajowo zapisuje się bez znaku $"+"$ jako $n\frac(a)(b)$.

Przykład 1

Na przykład suma $4+\frac(3)(5)$ jest zapisywana jako $4\frac(3)(5)$. Taki wpis nazywa się ułamkiem mieszanym, a odpowiadająca mu liczba to ułamek mieszany.

Definicja 1

pomieszane numery jest liczbą równą sumie liczby naturalnej $n$ i właściwego ułamka zwykłego $\frac(a)(b)$, zapisanego jako $n\frac(a)(b)$. W tym przypadku liczba $n$ nazywa się $n\frac(a)(b)$, a liczba $\frac(a)(b)$ jest częścią ułamkową liczby/

Dla liczb mieszanych równania $n\frac(a)(b)=n+\frac(a)(b)$ i $n+\frac(a)(b)=n\frac(a)(b)$ to ważny.

Przykład 2

Na przykład liczba $7\frac(4)(9)$ jest liczbą mieszaną, gdzie liczba naturalna $7$ jest jej częścią całkowitą, a $\frac(4)(9)$ jej częścią ułamkową. Przykłady liczb mieszanych: $17\frac(1)(2)$, $456\frac(111)(500)$, 23000\frac(4)(5)$.

Istnieją liczby w notacji mieszanej zawierające ułamek niewłaściwy w części ułamkowej. Na przykład $3\frac(54)(5)$, $56\frac(9)(2)$. Zapis tych liczb można przedstawić jako sumę ich części całkowitych i ułamkowych. Na przykład $3\frac(54)(5)=3+\frac(54)(5)$ i $56\frac(9)(2)=56+\frac(9)(2)$. Takie liczby nie pasują do definicji liczby mieszanej, ponieważ część ułamkowa liczb mieszanych musi być ułamkiem właściwym.

Liczba $0\frac(2)(7)$ również nie jest liczbą mieszaną, ponieważ $0$ nie jest liczbą naturalną.

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Algorytm zamiany liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy:

Zapisz liczbę mieszaną $n\frac(a)(b)$ jako sumę części całkowitych i ułamkowych tej liczby, tj. w postaci $n+\frac(a)(b)$.

Zastąp część całkowitą oryginalnej liczby mieszanej ułamkiem o mianowniku $1$.

Dodaj zwykłe ułamki $\frac(n)(1)$ i $\frac(a)(b)$, aby uzyskać żądany ułamek niewłaściwy równy oryginalnej liczbie mieszanej.

Przykład 3

Wyraź liczbę mieszaną $7\frac(3)(5)$ jako ułamek niewłaściwy.

Rozwiązanie.

Użyjmy algorytmu zamiany liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy.

Liczba mieszana $7\frac(3)(5)=7+\frac(3)(5)$.

Zapiszmy liczbę $7$ jako $\frac(7)(1)$.

Dodaj zwykłe ułamki $\frac(7)(1)+\frac(3)(5)=\frac(35)(5)+\frac(3)(5)=\frac(38)(5)$ .

Napiszmy krótki zapis tej decyzji:

Odpowiedź:$7\frac(3)(5)=\frac(38)(5)$

Cały algorytm zamiany liczby mieszanej $n\frac(a)(b)$ na ułamek niewłaściwy sprowadza się do \textit(wzór konwersji liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy):

Przykład 4

Zapisz liczbę mieszaną $14\frac(3)(5)$ jako ułamek niewłaściwy.

Rozwiązanie.

Użyjmy formuły $n\frac(a)(b)=\frac(n\cdot b+a)(b)$ do konwersji liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy. W tym przykładzie $n=14$, $a=3$, $b=5$.

Otrzymujemy $14\frac(3)(5)=\frac(14\cdot 5+3)(5)=\frac(73)(5)$.

Odpowiedź: 14 $\frac(3)(5)=\frac(73)(5)$

Wyodrębnianie części całkowitej z ułamka niewłaściwego

Przy otrzymywaniu rozwiązania liczbowego nie jest zwyczajem pozostawianie odpowiedzi w postaci ułamka niewłaściwego. Ułamek niewłaściwy jest zamieniany na liczbę naturalną równą jej (jeśli licznik jest podzielny przez mianownik) lub oddzielona jest cała część od ułamka niewłaściwego (jeśli licznik nie jest podzielny przez mianownik).

Definicja 2

Wyodrębnianie części całkowitej z ułamka niewłaściwego zastąpienie ułamka przez jego liczbę mieszaną nazywa się.

Aby wyodrębnić część całkowitą z ułamka niewłaściwego, należy przedstawić ułamek niewłaściwy $\frac(a)(b)$ jako liczbę mieszaną $q\frac(r)(b)$, gdzie $q$ jest niepełną iloraz $r$ — reszta z dzielenia $a$ przez $b$. Zatem część całkowita jest równa ilorazowi częściowemu $a$ podzielonemu przez $b$, a reszta jest równa licznikowi części ułamkowej.

Udowodnijmy to stwierdzenie. Aby to zrobić, wystarczy pokazać, że $q\frac(r)(b)=\frac(a)(b)$.

Przekształć liczbę mieszaną $q\frac(r)(b)$ na ułamek niewłaściwy, korzystając ze wzoru:

Dlatego $q$ to iloraz niepełny, $r$ to reszta z dzielenia $a$ przez $b$, wtedy $a=b\cdot q+r$ jest prawdziwe. Zatem $\frac(q\cdot b+r)(b)=\frac(a)(b)$, skąd $q\frac(r)(b)=\frac(a)(b)$, co miał być pokazany.

W ten sposób formułujemy \textit (zasadę wyodrębniania części całkowitej z ułamka niewłaściwego) $\frac(a)(b)$:

Podziel $a$ przez $b$ z resztą, wyznaczając niepełny iloraz $q$ i resztę $r$.

Zapisz liczbę mieszaną $q\frac(r)(b)$ równą oryginalnemu ułamkowi $\frac(a)(b)$.

Przykład 5

Wyodrębnij część całkowitą z ułamka $\frac(107)(4)$.

Rozwiązanie.

Zróbmy podział kolumn:

Obrazek 1.

Tak więc w wyniku dzielenia licznika $a=107$ przez mianownik $b=4$ otrzymujemy niepełny iloraz $q=26$ i resztę $r=3$.

Otrzymujemy, że ułamek niewłaściwy $\frac(107)(4)$ jest równy liczbie mieszanej $q\frac(r)(b)=26\frac(3)(4)$.

Odpowiedź: $\frac((\rm 107))((\rm 4))(\rm =26)\frac((\rm 3))((\rm 4))$.

Dodanie liczby mieszanej i liczby naturalnej

Reguła dodawania liczb mieszanych i naturalnych:

Aby dodać liczbę mieszaną i naturalną, musisz dodać tę liczbę naturalną do części całkowitej liczby mieszanej, część ułamkowa pozostaje niezmieniona:

gdzie $a\frac(b)(c)$ jest liczbą mieszaną,

$n$ to liczba naturalna.

Przykład 6

Dodaj liczbę mieszaną $23\frac(4)(7)$ i liczbę $3$.

Rozwiązanie.

Odpowiedź:$23\frac(4)(7)+3=26\frac(4)(7).$

Dodanie dwóch liczb mieszanych

Gdy dwie liczby mieszane są dodawane razem, ich części całkowite i części ułamkowe są dodawane.

Przykład 7

Dodaj liczby mieszane $3\frac(1)(5)$ i $7\frac(4)(7)$.

Rozwiązanie.

Użyjmy wzoru:

\ \

Odpowiedź:$10\frac(27)(35).$

Jak wyodrębnić część całkowitą z ułamka niewłaściwego? Aby wybrać część całkowitą z ułamka niewłaściwego, należy: Podzielić licznik przez mianownik z resztą; Niepełny iloraz będzie całą częścią; Reszta (jeśli istnieje) daje licznik, a dzielnik podaje mianownik części ułamkowej. Czy nr 1057, 1058, 1059, 1060. 1062, 1063. 1064. 7.

Wymiary: 960 x 720 pikseli, format: jpg. Aby pobrać obrazek do lekcji matematyki za darmo, kliknij prawym przyciskiem myszy obraz i kliknij "Zapisz obraz jako...". Aby wyświetlić zdjęcia na lekcji, możesz również bezpłatnie pobrać pełną prezentację „Mixed Numbers Grade 5.ppt” ze wszystkimi zdjęciami w archiwum zip. Rozmiar archiwum to 304 KB.

liczby mieszane

"Podsumowanie lekcji matematyki" - Postępuj zgodnie ze wzorem. a) 4/7+2/7= (4+2)/7= 6/7 b, c, d (przy planszy) e) 7/9-2/9= (7-2)/9= 5 / 9 f, f, h (przy tablicy). W ogrodzie zebrano 12 kg ogórków. 2/3 wszystkich ogórków było marynowanych. 6/7-3/7=(6-3)/7=3/7 2/11+5/11=(2+5)/22=7/22 9/10-8/10=(9-8 )/10=2/10. Pokaż ułamek 2/8+3/8. Sformułuj regułę odejmowania. Nauka nowego materiału:

„Porównanie ułamków dziesiętnych” - Cel lekcji. Porównaj liczby: Konto mentalne. 9,85 i 6,97; 75,7 i 75,700; 0,427 i 0,809; 5,3 i 5,03; 81.21 i 81.201; 76.005 i 76.05; 3,25 i 3,502; Przeczytaj ułamki: 41,1; 77,81; 21.005; 0,0203. 41,1; 77,81; 21.005; 0,0203. Wyrównaj liczbę miejsc dziesiętnych. Plan lekcji. Miejsca ułamków dziesiętnych. Lekcja konsolidacyjna w 5 klasie.

„Zasady zaokrąglania liczb” - 1.8. 48. Dobra robota! 3. 3. Naucz się stosować zasadę zaokrąglania na przykładach. Spróbuj porównać. Zaokrąglaj liczby całkowite do dziesiątek. 1. Zapamiętaj zasadę zaokrąglania liczb. Czy wygodnie jest pracować z takim numerem? Sto tysięcznych. 3. Zapisz wynik. 5312. >. 2. Wyprowadź regułę zaokrąglania ułamków dziesiętnych do podanej cyfry.

"Dodawanie liczb mieszanych" - 25. Przykład 4. Znajdź wartość różnicy 3 4\9-1 5\6. 3 4 \ 9 \u003d 3 818; 15\6=115\18. 3 4\9=3 8\18=3+8\18=2+1+8\18=2+8\18+18\18=2+ +26\18=2 26\18. Streszczenie lekcji w klasie 6

Pamiętać!

Ułamek niewłaściwy ma licznik równy lub większy od mianownika. Dlatego ułamek niewłaściwy lub równy jeden lub większy niż jeden.

Każdy ułamek niewłaściwy jest zawsze większy od właściwego.

Jak wybrać całą część

Ułamek niewłaściwy może mieć część całkowitą. Zobaczmy, jak można to zrobić.

Aby wyodrębnić całą część z ułamka niewłaściwego, musisz:

1. podziel licznik przez mianownik z resztą;
2. wynikowy niepełny iloraz jest zapisywany w części całkowitej ułamka;
3. reszta jest zapisywana w liczniku ułamka;
4. dzielnik zapisuje się w mianowniku ułamka.

Pamiętać!

Wynikowa liczba powyżej, zawierająca liczbę całkowitą i część ułamkową, nazywa się pomieszane numery.

Otrzymaliśmy liczbę mieszaną z ułamka niewłaściwego, ale można też wykonać akcję odwrotną, czyli reprezentują liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy.

Aby przedstawić liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy:

1. pomnóż jego część całkowitą przez mianownik części ułamkowej;
2. dodaj licznik części ułamkowej do powstałego produktu;
3. wpisz kwotę otrzymaną z ust. 2 w liczniku ułamka i pozostaw mianownik części ułamkowej bez zmian.

Przykład. Reprezentujmy liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy.

§ 1 Oddzielenie całej części od ułamka niewłaściwego

W tej lekcji dowiesz się, jak zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną, podświetlając część całkowitą, a także jak uzyskać ułamek niewłaściwy z liczby mieszanej.

Najpierw pamiętajmy, czym jest liczba mieszana i ułamek niewłaściwy.

Liczba mieszana to specjalna forma liczby, która zawiera część całkowitą i część ułamkową.

Ułamek niewłaściwy to ułamek, którego licznik jest większy lub równy mianownikowi.

Rozważ problem:

Pomiędzy trójkę dzieci podzielimy 8 słodyczy. Ile każdy dostanie?

Aby dowiedzieć się, ile słodyczy dostanie każde dziecko, musisz

Ale nie jest zwyczajem pisanie w odpowiedzi ułamka niewłaściwego. Zastępuje się ją wstępnie albo liczbą naturalną równą jej (gdy licznik jest dzielony w całości przez mianownik), albo przeprowadza się tzw. oddzielenie części całkowitej od ułamka niewłaściwego (gdy licznik nie jest dzielony przez mianownik).

Wyodrębnienie części całkowitej z ułamka niewłaściwego polega na zastąpieniu ułamka liczbą mieszaną równą jej.

Aby wyodrębnić część całkowitą z ułamka niewłaściwego, musisz podzielić licznik przez mianownik z resztą. W tym przypadku ilorazem niepełnym będzie część całkowita, reszta będzie licznikiem, a dzielnik mianownikiem.

Wróćmy do zadania.

Więc dzielimy 8 przez 3 z resztą, otrzymujemy 2 w niepełnym ilorazu i 2 w reszcie.

§ 2 Przedstawienie liczby mieszanej jako ułamka niewłaściwego

Zróbmy następujące zadanie:

Dzielimy 49 przez 13, otrzymujemy 3 w niepełnym ilorazu (to będzie część całkowita) i 10 w reszcie (zapiszemy to w liczniku części ułamkowej).

Do wykonywania różnych działań na liczbach mieszanych przydatna jest umiejętność przedstawiania liczb mieszanych jako ułamków niewłaściwych. Czas zastanowić się, jak przebiega takie tłumaczenie.

Aby przedstawić liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy, należy pomnożyć mianownik ułamka przez część całkowitą i dodać licznik do otrzymanego iloczynu. W efekcie otrzymujemy liczbę, która będzie licznikiem nowego ułamka, a mianownik pozostaje bez zmian.

Pierwszym krokiem jest pomnożenie części całkowitej liczby 5 przez mianownik 7, otrzymujemy 35.

Drugim krokiem jest dodanie licznika 4 do otrzymanego produktu 35, będzie to 39.

Teraz wpisujemy 39 w liczniku i zostawiamy 7 w mianowniku.

Tak więc w tej lekcji nauczyłeś się, jak zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną, w tym celu musisz podzielić licznik przez mianownik z resztą. Wtedy iloraz niepełny będzie częścią całkowitą, reszta będzie licznikiem, a dzielnik będzie mianownikiem części ułamkowej liczby mieszanej.

Zapoznałeś się również z przedstawieniem liczby mieszanej jako ułamka niewłaściwego. Aby przedstawić liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy, należy pomnożyć mianownik części ułamkowej liczby mieszanej przez część całkowitą i dodać licznik do otrzymanego iloczynu.

Lista wykorzystanej literatury:

1. Matematyka 5 klasa. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. i inni 31 wyd., ster. - M: 2013.
2. Materiały dydaktyczne z matematyki Klasa 5. Autor - Popov M.A. - rok 2013
3. Obliczamy bez błędów. Praca z samooceną w klasach 5-6 z matematyki. Autor - Minaeva S.S. - rok 2014
4. Materiały dydaktyczne z matematyki Klasa 5. Autorzy: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. -2010
5. Kontrola i samodzielna praca w matematyce Klasa 5. Autorzy - Mgr Popow - rok 2012
6. Matematyka. Klasa 5: podręcznik. dla uczniów szkół ogólnokształcących. instytucje / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - wyd. IX, Sr. - M.: Mnemosyne, 2009

Podsumowanie lekcji w klasie 5

„Liczby mieszane. Oddzielenie całej części od ułamka niewłaściwego

Podczas zajęć

Organizowanie czasu. Pozdrowienia.

Przeprowadzimy mentalne liczenie i pobijemy wszystkie rekordy

Liczenie słowne.

Znajdź błędy

Prawidłowe ułamki.

b)

Napiszmy na tablicy, czego jeszcze nie możemy porównać.

2. Wykonaj podział:

45: 9=5 ; 0: 67=0; 234: 1=234;

567: 567=1; 34:17=2; a:a=1;

3. Wykonaj dzielenie z resztą:

6 = 2 (odpoczynek 2)

3 = 8 (odpoczynek 1)

48: 9 = 5 (odpoczynek 3)

Wykonaj następujące kroki:

Nie możemy rozwiązać ostatniego przykładu, piszemy go.

Wyjaśnienie nowego materiału

Co widać na obrazku? Na ile części jest podzielony tort? Ile części wziąłeś? Prezentuj jako ułamek.

Co jest na tym obrazku? Widać, że ciasto jest na różnych tackach. Ile sztuk znajduje się na pierwszej tacy? Druga?

Może być wyrażony jako liczba w następujący sposób:

1 - część całkowita, - część ułamkowa.

Suma części całkowitych i ułamkowych nazywa siępomieszane numery .

Ustal z obrazka, która liczba mieszana jest równa ułamkowi?

Oznacza to, że widzieliśmy związek między ułamkiem niewłaściwym a liczbą mieszaną.

Wyciągnijmy wnioski: możemy zamienić ułamek niewłaściwy w liczbę mieszaną, tj. jak mówią w matematyce, wydobyć całą część z ułamka niewłaściwego.

Zasada wyodrębniania części całkowitej z ułamka niewłaściwego:

Podziel licznik przez mianownik z resztą

Niepełny iloraz będzie częścią całkowitą

Reszta daje licznik, a dzielnik daje mianownik części ułamkowej

Pracuj nad tematem lekcji.

Znajdź część całkowitą ułamka niewłaściwego (wraz z klasą):

Wybierz całą część z ułamka niewłaściwego (przy tablicy)

Porównywać

Informacje historyczne.

W dawnych czasach w Rosji używano monet o nominale poniżej jednej kopiejki:

grosz - k. Ipołowa - tys.

Inne monety również miały nazwy:

3 k. - altyn, 5 k. - nikiel, 15 k. - pięcioaltyn,

10 tys. - hrywien, 20 tys. 2 hrywien,

25 tys. - kwartał, 50 tys. - pięćdziesiąt dolarów.

Niezależna praca

Jak możesz sobie wyobrazić

1 hrywna, 1 altyn, trzy grosze .

Odbicie

W jakim jesteś nastroju?

Napisz ułamek, który najlepiej pasuje do Twojej wiedzy:

2 (nie jest jasne)

2 (to było ciekawe, ale niejasne)

3 (trudne, temat nie jest ciekawy)

3 (było to trudne, ale na pewno postaram się przestudiować temat)

4 (kilka przykładów spowodowała trudności)

4 (Rozumiem, ale nie mogę pomóc)

5 (wszystko jasne, mogę pomóc innym)

Mam nadzieję, że z każdą lekcją Twój wynik będzie rósł! Aby otrzymać ocenę 5, musisz pracować nie tylko w klasie, ale także w domu.

Praca domowa.