Lekcja wideo „Krąg. Konstrukcje z kompasem i linijką

Okrąg to zamknięta zakrzywiona linia, której każdy punkt znajduje się w tej samej odległości od jednego punktu O, zwanego środkiem.

Proste linie łączące dowolny punkt koła z jego środkiem nazywa się promienie R.

Prostą AB łączącą dwa punkty koła i przechodzącą przez jego środek O nazywamy średnica D.

Części kół nazywają się łuki.

Linia CD łącząca dwa punkty na okręgu nazywa się akord.

Prostą MN, która ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem, nazywamy tangens.

Część koła ograniczona akordem CD i łukiem nazywa się człon.

Część koła ograniczona dwoma promieniami i łukiem nazywa się sektor.

Nazywa się dwie prostopadłe do siebie poziome i pionowe linie przecinające się w środku okręgu osie okręgu.

Nazywa się kąt utworzony przez dwa promienie KOA centralny róg.

Dwa wzajemnie prostopadły promień zrób kąt 90 0 i ogranicz 1/4 okręgu.

Rysujemy okrąg o osiach poziomych i pionowych, które dzielą go na 4 równe części. Narysowane za pomocą cyrkla lub kwadratu pod kątem 45 0 dwie wzajemnie prostopadłe linie dzielą okrąg na 8 równych części.

Podział koła na 3 i 6 równych części (wielokrotności 3 przez trzy)

Aby podzielić okrąg na 3, 6 i ich wielokrotność, rysujemy okrąg o danym promieniu i odpowiadających mu osiach. Podział można rozpocząć od punktu przecięcia osi poziomej lub pionowej z okręgiem. Podany promień okręgu jest sukcesywnie odraczany 6 razy. Następnie uzyskane punkty na okręgu są kolejno połączone liniami prostymi i tworzą regularny sześciokąt wpisany. Połączenie punktów przez jeden daje trójkąt równoboczny i podzielenie koła na trzy równe części.

Konstrukcję pięciokąta foremnego wykonuje się w następujący sposób. Rysujemy dwie wzajemnie prostopadłe osie koła równe średnicy koła. Podziel prawą połowę średnicy poziomej na pół używając łuku R1. Z otrzymanego punktu „a” w środku tego odcinka o promieniu R2 rysujemy łuk koła, aż przetnie się on z poziomą średnicą w punkcie „b”. Promień R3 z punktu „1” narysuj łuk koła do przecięcia z danym okręgiem (punkt 5) i uzyskaj bok pięciokąta foremnego. Odległość "b-O" daje bok regularnego dziesięciokąta.

Dzielenie okręgu na N-tą liczbę identycznych części (budowanie wielokąta foremnego o N bokach)

Wykonuje się to w następujący sposób. Rysujemy poziome i pionowe wzajemnie prostopadłe osie koła. Narysuj linię prostą od górnego punktu „1” okręgu pod dowolnym kątem do osi pionowej. Na nim odkładamy równe odcinki o dowolnej długości, których liczba jest równa liczbie części, na które dzielimy dany okrąg, na przykład 9. Koniec ostatniego odcinka łączymy z dolnym punktem średnicy pionowej . Linie równoległe do otrzymanej wykreślamy od końców odłożonych na bok odcinków do przecięcia z pionową średnicą, dzieląc w ten sposób pionową średnicę danego okręgu na określoną liczbę części. O promieniu równym średnicy koła od dolnego punktu osi pionowej rysujemy łuk MN, aż przetnie się z kontynuacją poziomej osi koła. Z punktów M i N rysujemy promienie przez parzyste (lub nieparzyste) punkty podziału średnicy pionowej, aż przetną się z okręgiem. Powstałe segmenty koła będą pożądanymi, ponieważ punkty 1, 2, …. 9 podziel okrąg na 9 (N) równych części.

Zdanie, które wyjaśnia znaczenie określonego wyrażenia lub nazwy, nazywa się definicja. Spotkaliśmy się już z definicjami, na przykład z definicją kąta, kątów sąsiednich, trójkąta równoramiennego itp. Podajmy definicję innej figury geometrycznej - koła.

Definicja

Ten punkt nazywa się środek okręgu, a odcinek łączący środek z dowolnym punktem okręgu to promień okręgu(ryc. 77). Z definicji koła wynika, że ​​wszystkie promienie mają tę samą długość.

Ryż. 77

Odcinek łączący dwa punkty na okręgu nazywany jest jego cięciwą. Akord przechodzący przez środek koła nazywa się its średnica.

Na rysunku 78 odcinki AB i EF są cięciwami okręgu, odcinek CD jest średnicą okręgu. Oczywiście średnica koła to dwukrotność jego promienia. Środek okręgu jest punktem środkowym dowolnej średnicy.

Ryż. 78

Dowolne dwa punkty na kole dzielą go na dwie części. Każda z tych części nazywana jest łukiem koła. Na rysunku 79 ALB i AMB są łukami ograniczonymi punktami A i B.

Ryż. 79

Aby przedstawić okrąg na rysunku, użyj kompas(Rys. 80).

Ryż. 80

Aby narysować okrąg na ziemi, możesz użyć liny (ryc. 81).

Ryż. 81

Część płaszczyzny ograniczona kołem nazywa się kołem (ryc. 82).

Ryż. 82

Konstrukcje z kompasem i linijką

Zajmowaliśmy się już konstrukcjami geometrycznymi: rysowaliśmy linie proste, odkładaliśmy równe odcinki, rysowaliśmy kąty, trójkąty i inne figury. Używaliśmy przy tym linijki podziałki, cyrkla, kątomierza, kwadratu rysunkowego.

Okazuje się, że wiele konstrukcji można wykonać tylko za pomocą cyrkla i linijki bez podziałek podziałki. Dlatego w geometrii wyróżnia się te zadania konstrukcyjne, które są rozwiązywane za pomocą tylko tych dwóch narzędzi.

Co można z nimi zrobić? Jasne jest, że linijka pozwala na narysowanie dowolnej linii, a także na skonstruowanie linii przechodzącej przez dwa zadane punkty. Za pomocą kompasu możesz narysować okrąg o dowolnym promieniu, a także okrąg ze środkiem w danym punkcie i promieniem równym danemu segmentowi. Wykonując te proste operacje, możemy rozwiązać wiele interesujących problemów budowlanych:

skonstruować kąt równy danemu;
przez dany punkt narysuj linię prostopadłą do danej linii;
podziel ten segment na pół i inne zadania.

Zacznijmy od prostego zadania.

Zadanie

Na danym promieniu od początku odłóż segment równy danemu.

Decyzja

Przedstawmy liczby podane w stanie problemu: promień OS i segment AB (ryc. 83, a). Następnie za pomocą kompasu konstruujemy okrąg o promieniu AB ze środkiem O (ryc. 83, b). Ten okrąg przetnie promień OS w pewnym punkcie D. Segment OD jest wymagany.

Ryż. 83

Przykłady zadań budowlanych

Konstruowanie kąta równego zadanemu

Zadanie

Odsuń od podanego promienia kąt równy danemu.

Decyzja

Ten kąt z wierzchołkiem A i promieniem OM pokazano na rysunku 84. Wymagane jest skonstruowanie kąta równego kątowi A, tak aby jeden z jego boków pokrywał się z promieniem OM.

Ryż. 84

Narysujmy okrąg o dowolnym promieniu ze środkiem w wierzchołku A o danym kącie. Ten okrąg przecina boki narożnika w punktach B i C (ryc. 85, a). Następnie rysujemy okrąg o tym samym promieniu, którego środek znajduje się na początku danego promienia OM. Przecina belkę w punkcie D (ryc. 85, b). Następnie konstruujemy okrąg o środku D, którego promień jest równy BC. Okręgi o środkach O i D przecinają się w dwóch punktach. Oznaczmy jeden z tych punktów literą E. Udowodnijmy, że wymagany jest kąt MOE.

Ryż. 85

Rozważ trójkąty ABC i ODE. Segmenty AB i AC są promieniami koła o środku A, a segmenty OD i OE są promieniami koła o środku O (patrz ryc. 85, b). Ponieważ z założenia te okręgi mają równe promienie, to AB = OD, AC = OE. Również z konstrukcji BC = DE.

Dlatego Δ ABC = Δ ODE z trzech stron. Zatem ∠DOE = ∠BAC, czyli skonstruowany kąt MOE jest równy danemu kątowi A.

Taką samą konstrukcję możemy wykonać na ziemi, jeśli zamiast cyrkla użyjemy liny.

Konstruowanie dwusiecznej kąta

Zadanie

Skonstruuj dwusieczną danego kąta.

Decyzja

Ten kąt BAC pokazano na rysunku 86. Narysujmy okrąg o dowolnym promieniu ze środkiem w wierzchołku A. Przetnie on boki kąta w punktach B i C.

Ryż. 86

Następnie rysujemy dwa okręgi o tym samym promieniu BC ze środkami w punktach B i C (na rysunku pokazano tylko części tych okręgów). Przecinają się w dwóch punktach, z których przynajmniej jeden leży w rogu. Oznaczamy go literą E. Udowodnijmy, że promień AE jest dwusieczną danego kąta BAC.

Rozważ trójkąty ACE i ABE. Są równe z trzech stron. Rzeczywiście, AE jest wspólną stroną; AC i AB są równe promieniom tego samego okręgu; CE = BE według konstrukcji.

Z równości trójkątów ACE i ABE wynika, że ​​∠CAE = ∠BAE, czyli promień AE jest dwusieczną danego kąta BAC.

Komentarz

Czy dany kąt można podzielić na dwa równe kąty za pomocą cyrkla i linijki? Oczywiste jest, że jest to możliwe - w tym celu musisz narysować dwusieczną tego kąta.

Ten kąt można również podzielić na cztery równe kąty. Aby to zrobić, musisz podzielić go na pół, a następnie ponownie podzielić każdą połowę na pół.

Czy za pomocą cyrkla i linijki można podzielić dany kąt na trzy równe kąty? To zadanie, zwane problemy z trisekcją kątów, od wieków przyciąga uwagę matematyków. Dopiero w XIX wieku udowodniono, że taka konstrukcja jest niemożliwa pod dowolnym kątem.

Budowa linii prostopadłych

Zadanie

Dana linia i punkt na niej. Skonstruuj prostą przechodzącą przez dany punkt i prostopadłą do danej prostej.

Decyzja

Dana prosta a i dany punkt M należący do tej linii pokazano na rysunku 87.

Ryż. 87

Na promieniach prostej a wychodzącej z punktu M odkładamy równe odcinki MA i MB. Następnie konstruujemy dwa okręgi o środkach A i B o promieniu AB. Przecinają się w dwóch punktach: P i Q.

Narysujmy linię przechodzącą przez punkt M i jeden z tych punktów, na przykład prostą MP (patrz ryc. 87) i udowodnijmy, że ta linia jest pożądana, to znaczy, że jest prostopadła do danej prostej a .

Rzeczywiście, ponieważ mediana PM trójkąta równoramiennego PAB jest również wysokością, to PM ⊥ a.

Budowa środka segmentu

Zadanie

Skonstruuj środek tego segmentu.

Decyzja

Niech AB będzie danym odcinkiem. Konstruujemy dwa okręgi o środkach A i B o promieniu AB. Przecinają się w punktach P i Q. Narysuj prostą PQ. Punkt O przecięcia tej prostej z odcinkiem AB jest pożądanym punktem środkowym odcinka AB.

Rzeczywiście, trójkąty APQ i BPQ są równe z trzech stron, więc ∠1 = ∠2 (ryc. 89).

Ryż. 89

W konsekwencji odcinek RO jest dwusieczną trójkąta równoramiennego ARV, a więc medianą, czyli punktem O jest środkiem odcinka AB.

Zadania

143. Które z odcinków pokazanych na rysunku 90 to: a) cięciwy koła; b) średnice koła; c) promienie koła?

Ryż. 90

144. Odcinki AB i CD są średnicami koła. Udowodnij, że: a) akordy BD i AC są równe; b) akordy AD i BC są równe; c) ZŁY = BCD.

145. Odcinek MK jest średnicą okręgu o środku O, a MR i RK są równymi cięciwami tego okręgu. Znajdź ∠POM.

146. Odcinki AB i CD to średnice koła o środku O. Znajdź obwód trójkąta AOD, jeśli wiadomo, że CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Punkty A i B zaznaczono na okręgu o środku O tak, aby kąt AOB był prawy. Segment BC to średnica okręgu. Udowodnij, że akordy AB i AC są sobie równe.

148. Na linii prostej podano dwa punkty A i B. Na kontynuacji belki BA odłóż segment BC tak, aby BC \u003d 2AB.

149. Mając prostą a, punkt B nie leżący na niej i odcinek PQ. Skonstruuj punkt M na prostej a tak, że BM = PQ. Czy problem zawsze ma rozwiązanie?

150. Mając okrąg, punkt A nie leżący na nim i odcinek PQ. Skonstruuj punkt M na okręgu tak, aby AM = PQ. Czy problem zawsze ma rozwiązanie?

151. Podano kąt ostry BAC i promień XY. Skonstruuj kąt YXZ tak, że ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Podano kąt rozwarty AOB. Skonstruuj promień OX tak, aby kąty XOA i XOB były równymi kątami rozwartymi.

153. Mając prostą a i punkt M nie leżący na niej. Skonstruuj linię przechodzącą przez punkt M i prostopadłą do linii a.

Decyzja

Skonstruujmy okrąg o środku w danym punkcie M, przecinający daną prostą a w dwóch punktach, które oznaczymy literami A i B (ryc. 91). Następnie konstruujemy dwa okręgi o środkach A i B przechodzące przez punkt M. Okręgi te przecinają się w punkcie M iw jeszcze jednym punkcie, który oznaczymy literą N. Narysujmy prostą MN i udowodnijmy, że ta linia jest pożądana jeden, tj. jest prostopadły do ​​linii prostej a.

Ryż. 91

Rzeczywiście, trójkąty AMN i BMN są równe z trzech stron, więc ∠1 = ∠2. Wynika z tego, że odcinek MC (C jest punktem przecięcia prostych a i MN) jest dwusieczną trójkąta równoramiennego AMB, a więc i wysokości. Zatem MN ⊥ AB, czyli MN ⊥ a.

154. Dany jest trójkąt ABC. Zbuduj: a) dwusieczną AK; b) mediana VM; c) wysokość CH trójkąta. 155. Za pomocą cyrkla i linijki skonstruuj kąt równy: a) 45°; b) 22°30".

Odpowiedzi na zadania

152. Instrukcja. Najpierw skonstruuj dwusieczną kąta AOB.

§ 1 Koło. Podstawowe koncepcje

W matematyce istnieją zdania, które wyjaśniają znaczenie określonej nazwy lub wyrażenia. Takie zdania nazywamy definicjami.

Zdefiniujmy pojęcie koła. Okrąg to figura geometryczna składająca się ze wszystkich punktów płaszczyzny znajdującej się w określonej odległości od danego punktu.

Ten punkt, nazwijmy go punktem O, nazywamy środkiem okręgu.

Odcinek łączący środek z dowolnym punktem okręgu nazywany jest promieniem okręgu. Istnieje wiele takich segmentów, na przykład OA, OB, OS. Wszystkie będą miały tę samą długość.

Odcinek łączący dwa punkty na okręgu nazywany jest cięciwą. MN to akord koła.

Cięciwa przechodząca przez środek koła nazywana jest średnicą. AB to średnica koła. Średnica składa się z dwóch promieni, co oznacza, że ​​długość średnicy jest dwukrotnością promienia. Środek okręgu jest punktem środkowym dowolnej średnicy.

Dowolne dwa punkty na kole dzielą go na dwie części. Te części nazywane są łukami koła.

ANB i AMB to łuki kołowe.

Część płaszczyzny ograniczona okręgiem nazywana jest okręgiem.

Kompas służy do przedstawiania koła na rysunku. Okrąg można również narysować na ziemi. Aby to zrobić, po prostu użyj liny. Przymocuj jeden koniec liny do kołka wbitego w ziemię i zakreśl okrąg drugim końcem.

§ 2 Konstrukcje z cyrklem i linijką

W geometrii wiele konstrukcji można wykonać tylko za pomocą cyrkla i linijki bez podziałek skali.

Używając tylko linijki, możesz narysować dowolną linię, a także dowolną linię przechodzącą przez dany punkt lub linię przechodzącą przez dwa podane punkty.

Kompas pozwala narysować okrąg o dowolnym promieniu, również okrąg o środku w danym punkcie i promieniu równym danemu segmentowi.

Oddzielnie każde z tych narzędzi umożliwia wykonanie najprostszych konstrukcji, ale za pomocą tych dwóch narzędzi można już wykonywać bardziej złożone operacje, na przykład

rozwiązywać problemy budowlane, takie jak:

Skonstruuj kąt równy zadanemu,

Skonstruuj trójkąt o podanych bokach,

Podziel segment na pół

Przez dany punkt narysuj linię prostopadłą do podanej linii i tak dalej.

Rozważmy problem.

Zadanie: Na danym promieniu od początku odłóż segment równy danemu.

Biorąc pod uwagę system operacyjny promienia i segment AB. Niezbędne jest zbudowanie odcinka OD, równego odcinkowi AB.

Za pomocą kompasu konstruujemy okrąg o promieniu równym długości odcinka AB, wyśrodkowany w punkcie O. Okrąg ten przetnie dany promień OS w pewnym punkcie D. Odcinkiem OD jest pożądanym odcinkiem.

Lista wykorzystanej literatury:

1. Geometria. Klasy 7-9: podręcznik. dla kształcenia ogólnego organizacje / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzow, S.B. Kadomtsev i inni - M .: Edukacja, 2013. - 383 s.: chory.
2. Gavrilova N.F. Rozwój Pourochnye w geometrii klasy 7. - M.: "WAKO", 2004r. - 288s. - (Aby pomóc nauczycielowi w szkole).
3. Belitskaja O.V. Geometria. 7 klasa. Część 1. Testy. - Saratów: Liceum, 2014. - 64 s.

W produkcji lub obróbce części drewnianych w niektórych przypadkach wymagane jest określenie, gdzie znajduje się ich środek geometryczny. Jeśli część ma kształt kwadratu lub prostokąta, nie jest to trudne. Wystarczy połączyć przeciwległe rogi przekątnymi, które jednocześnie przecinają się dokładnie w środku naszej sylwetki.
W przypadku produktów, które mają kształt koła to rozwiązanie nie sprawdzi się, ponieważ nie mają narożników, a co za tym idzie przekątnych. W takim przypadku potrzebne jest inne podejście oparte na innych zasadach.

I istnieją, i to w wielu odmianach. Niektóre z nich są dość złożone i wymagają kilku narzędzi, inne są łatwe do wdrożenia i nie wymagają do ich realizacji całego zestawu urządzeń.
Teraz przyjrzymy się jednemu z najłatwiejszych sposobów na znalezienie środka koła za pomocą zwykłej linijki i ołówka.

Sekwencja znajdowania środka koła: