Równania fal płaskich i sferycznych. Równanie fali płaskiej Fragment charakteryzujący falę płaską

Proces oscylacyjny rozchodzący się w ośrodku w postaci fali, której przód jest samolot, zwany płaska fala dźwiękowa. W praktyce falę płaską może utworzyć źródło, którego wymiary liniowe są duże w porównaniu z emitowaną przez nie dużą długością fali, a strefa pola falowego znajduje się w odpowiednio dużej odległości od niego. Dzieje się tak jednak w nieograniczonym środowisku. Jeśli źródło ogrodzony jakąkolwiek przeszkodą, to klasycznym przykładem fali płaskiej są drgania wzbudzane przez sztywny, nieugięty tłok w długiej rurze (falowodzie) o sztywnych ściankach, jeśli średnica tłoka jest znacznie mniejsza niż długość emitowanych fal. Dzięki sztywnym ściankom powierzchnia czołowa rury nie zmienia się w miarę rozchodzenia się fali wzdłuż falowodu (patrz rys. 3.3). Pomijamy straty energii akustycznej spowodowane absorpcją i rozpraszaniem w powietrzu.

Jeśli emiter (tłok) oscyluje zgodnie z prawem harmonicznym z częstotliwością
, a wymiary tłoka (średnica falowodu) są znacznie mniejsze od długości fali dźwięku, wówczas ciśnienie wytworzone w pobliżu jego powierzchni
. Jasne, że z daleka X ciśnienie będzie
, Gdzie
– czas podróży fali od emitera do punktux. Wygodniej jest zapisać to wyrażenie jako:
, Gdzie
- liczba falowa propagacji fali. Praca
- wyznaczone przesunięcie fazowe procesu oscylacyjnego w oddalonym o odległość punkcie X od emitera.

Podstawiając otrzymane wyrażenie do równania ruchu (3.1), całkujemy je ze względu na prędkość oscylacyjną:

(3.8)

Generalnie dla dowolnego momentu okazuje się, że:

. (3.9)

Prawa strona wyrażenia (3.9) to charakterystyczny, falowy lub specyficzny opór akustyczny ośrodka (impedancja). Samo równanie (3.) nazywane jest czasem akustycznym „prawem Ohma”. Jak wynika z rozwiązania, otrzymane równanie obowiązuje w polu fali płaskiej. Ciśnienie i prędkość wibracji w fazie, co jest konsekwencją czysto czynnego oporu ośrodka.

Przykład: Maksymalne ciśnienie w fali płaskiej
Rocznie. Wyznaczać amplitudę przemieszczenia cząstek powietrza według częstotliwości?

Rozwiązanie: Ponieważ , to:

Z wyrażenia (3.10) wynika, że ​​amplituda fal dźwiękowych jest bardzo mała, przynajmniej w porównaniu z wielkością samych źródeł dźwięku.

Oprócz potencjału skalarnego, ciśnienia i prędkości drgań, pole dźwiękowe charakteryzuje się także charakterystyką energetyczną, z których najważniejszą jest natężenie – wektor gęstości strumienia energii przenoszonej przez falę w jednostce czasu. A-przeorat
- jest wynikiem iloczynu ciśnienia akustycznego i prędkości drgań.

W przypadku braku strat w ośrodku fala płaska teoretycznie może rozchodzić się bez tłumienia na dowolnie duże odległości, ponieważ zachowanie płaskiego kształtu czoła wskazuje na brak „rozbieżności” fali, a tym samym brak tłumienia. Sytuacja jest inna, jeśli fala ma zakrzywiony przód. Do fal takich zaliczają się przede wszystkim fale kuliste i cylindryczne.

3.1.3. Modele fal o froncie niepłaskim

W przypadku fali sferycznej powierzchnia równych faz jest kulą. Źródłem takiej fali jest również kula, której wszystkie punkty oscylują z tymi samymi amplitudami i fazami, a środek pozostaje nieruchomy (patrz ryc. 3.4, a).

Falę sferyczną opisuje funkcja będąca rozwiązaniem równania falowego w sferycznym układzie współrzędnych dla potencjału fali rozchodzącej się ze źródła:

. (3.11)

Działając analogicznie do fali płaskiej, można wykazać, że w odległościach od źródła dźwięku długość badanych fal jest znacznie większa:
. Oznacza to, że i w tym przypadku akustyczne „prawo Ohma” jest spełnione. W praktyce fale sferyczne wzbudzane są głównie przez źródła zwarte o dowolnym kształcie, których wymiary są znacznie mniejsze od długości wzbudzanego dźwięku lub fal ultradźwiękowych. Innymi słowy, źródło „punktowe” emituje głównie fale kuliste. W dużych odległościach od źródła, czyli jak mówią, w strefie „dalekiej”, fala sferyczna w stosunku do ograniczonych rozmiarów odcinków czoła fali zachowuje się jak fala płaska, czyli, jak mówią: „degeneruje się” w falę płaską.” Wymagania dotyczące małego obszaru zależą nie tylko od częstotliwości, ale
- różnica odległości pomiędzy porównywanymi punktami. Należy pamiętać, że ta funkcja
ma funkcję:
Na
. Powoduje to pewne trudności w rygorystycznym rozwiązywaniu problemów dyfrakcyjnych związanych z promieniowaniem i rozpraszaniem dźwięku.

Z kolei fale cylindryczne (powierzchnia czoła fali jest cylindrem) emitowane są przez nieskończenie długi, pulsujący cylinder (patrz rys. 3.4).

W strefie dalekiej wyrażenie na potencjalną funkcję takiego źródła asymptotycznie zmierza do wyrażenia:


. (3.12)

Można wykazać, że w tym przypadku zależność również zachodzi
. Fale cylindryczne, podobne do sferycznych, w strefie odległej zdegenerowany w fale płaskie.

Osłabienie fal sprężystych podczas propagacji wiąże się nie tylko ze zmianą krzywizny czoła fali („rozbieżność” fali), ale także z występowaniem „tłumienia”, tj. osłabienie dźwięku. Formalnie obecność tłumienia w ośrodku można opisać, przedstawiając liczbę falową jako zespoloną
. Wtedy np. dla płaskiej fali ciśnienia można otrzymać: R(X, T) = P Maks
=
.

Można zauważyć, że część rzeczywista zespolonej liczby falowej opisuje przestrzenną falę biegnącą, a część urojona charakteryzuje tłumienie fali pod względem amplitudy. Dlatego wartość  nazywana jest współczynnikiem tłumienia (tłumienia),  jest wartością wymiarową (Neper/m). Jeden „Naper” odpowiada zmianie amplitudy fali o „e” razy, gdy czoło fali przemieszcza się na jednostkę długości. W ogólnym przypadku tłumienie określa się na podstawie absorpcji i rozpraszania w ośrodku:  =  absorbuj +  diss. Skutki te wynikają z różnych przyczyn i można je rozpatrywać oddzielnie.

Ogólnie rzecz biorąc, absorpcja wiąże się z nieodwracalną utratą energii akustycznej podczas jej przekształcania w ciepło.

Rozpraszanie wiąże się z reorientacją części energii fali padającej na inne kierunki, które nie pokrywają się z falą padającą.

Funkcja ta musi być okresowa zarówno co do czasu, jak i współrzędnych (fala jest drganiem rozchodzącym się, a więc ruchem okresowo powtarzającym się). Dodatkowo punkty znajdujące się w odległości l od siebie drgają w ten sam sposób.

Równanie fali płaskiej

Znajdźmy postać funkcji x w przypadku fali płaskiej, zakładając, że drgania mają charakter harmoniczny.

Skierujmy osie współrzędnych tak, aby oś X pokrywał się z kierunkiem rozchodzenia się fali. Wtedy powierzchnia fali będzie prostopadła do osi X. Ponieważ wszystkie punkty powierzchni fali oscylują jednakowo, przemieszczenie x będzie zależeć tylko od X I T: . Niech drgania punktów leżących na płaszczyźnie mają postać (w fazie początkowej)

Znajdźmy rodzaj drgań cząstek w płaszczyźnie odpowiadający dowolnej wartości X. Iść swoją drogą X, to wymaga czasu.

Stąd, drgania cząstek w płaszczyźnieXbędzie spóźniony doTod drgań cząstek w płaszczyźnie, tj.

,

(5.2.3)

- Ten równanie fali płaskiej.

Więc x Jest stronniczość dowolny z punktów o współrzędnychXw pewnym momencieT. W wyprowadzeniu założyliśmy, że amplituda oscylacji wynosi . Stanie się tak, jeśli energia fali nie zostanie pochłonięta przez ośrodek.

Równanie (5.2.3) będzie miało tę samą postać, jeżeli drgania rozchodzą się wzdłuż osi y Lub z.

Ogólnie równanie fali płaskiej jest napisane tak:

Wyrażenia (5.2.3) i (5.2.4) są równania fali bieżącej .

Równanie (5.2.3) opisuje falę rozchodzącą się w kierunku narastającym X. Fala rozchodząca się w przeciwnym kierunku ma postać:

.

Równanie falowe można zapisać w innej formie.

Przedstawmy numer fali lub w formie wektorowej:

gdzie jest wektorem falowym i jest normalną do powierzchni fali.

Od tego czasu . Stąd. Następnie równanie fali płaskiej zostanie napisane w ten sposób:

.

(5.2.6)

Równanie fali sferycznej

Fale w zależności od jednej współrzędnej przestrzennej

Animacja

Opis

W fali płaskiej wszystkie punkty ośrodka leżące w dowolnej płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali odpowiadają w każdej chwili tym samym przemieszczeniom i prędkościom cząstek ośrodka. Zatem wszystkie wielkości charakteryzujące falę płaską są funkcjami czasu i tylko jedną współrzędną, na przykład x, jeśli oś Ox pokrywa się z kierunkiem propagacji fali.

Równanie falowe dla fali płaskiej podłużnej ma postać:

re 2 jot /dx 2 = (1/c 2 ) re 2 jot /dt 2 . (1)

Jego ogólne rozwiązanie wyraża się następująco:

jot = fa 1 (ct - x) + f 2 (ct + x) , (2)

gdzie j jest potencjałem lub inną wielkością charakteryzującą ruch falowy ośrodka (przemieszczenie, prędkość przemieszczania się itp.);

c jest prędkością propagacji fali;

f 1 i f 2 są funkcjami dowolnymi, przy czym pierwszy człon (2) opisuje falę płaską rozchodzącą się w kierunku dodatnim osi Ox, a drugi w kierunku przeciwnym.

Powierzchnie fal, czyli geometryczne położenie punktów ośrodka, w których w danym momencie faza fali ma tę samą wartość, dla PV reprezentują układ równoległych płaszczyzn (rys. 1).

Powierzchnie falowe fali płaskiej

Ryż. 1

W jednorodnym ośrodku izotropowym powierzchnie fali płaskiej są prostopadłe do kierunku propagacji fali (kierunku przenoszenia energii), zwanego promieniem.

Charakterystyka czasowa

Czas inicjacji (log do -10 do 1);

Czas życia (log tc od -10 do 3);

Czas degradacji (log td od -10 do 1);

Czas optymalnego rozwoju (log tk od -3 do 1).

Diagram:

Techniczne wdrożenia efektu

Techniczna realizacja efektu

Ściśle mówiąc, żadna prawdziwa fala nie jest falą płaską, ponieważ Fala płaska rozchodząca się wzdłuż osi x musi pokryć cały obszar przestrzeni wzdłuż współrzędnych y i z od - `` do + ``. Jednak w wielu przypadkach możliwe jest wskazanie odcinka fali ograniczonego w y, z, gdzie praktycznie pokrywa się ona z falą płaską. Przede wszystkim jest to możliwe w jednorodnym ośrodku izotropowym w wystarczająco dużych odległościach R od źródła. Zatem dla harmonicznej fali płaskiej faza we wszystkich punktach płaszczyzny prostopadłej do kierunku jej propagacji jest taka sama. Można wykazać, że dowolną falę harmoniczną można uznać za falę płaską na odcinku o szerokości r<< (2R l )1/2 .

Stosowanie efektu

Niektóre technologie falowe są najskuteczniejsze w przybliżaniu fal płaskich. W szczególności wykazano, że podczas oddziaływań sejsmoakustycznych (w celu zwiększenia wydobycia ropy i gazu) na formacje naftowe i gazowe reprezentowane przez warstwowe struktury geologiczne, oddziaływanie frontów fal bezpośrednich i płaskich odbitych od granic warstw prowadzi do pojawienia się fale stojące, inicjujące stopniowy ruch i koncentrację płynów węglowodorowych na antywęzłach fali stojącej (patrz opis FE „Fale stojące”).

PŁYTA FALA

PŁYTA FALA

Fala, której kierunek rozchodzenia się jest taki sam we wszystkich punktach przestrzeni. Najprostszym przykładem jest jednorodny monochromatyczny. nietłumiona P.v.:

u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

gdzie A to amplituda, j= wt±kz - , w=2p/T - częstotliwość kołowa, T - okres oscylacji, k - . Powierzchnie fazy stałej (fronty fazy) j=const P.v. są samoloty.

W przypadku braku dyspersji, gdy vph i vgr są identyczne i stałe (vgr = vph = v), występują stacjonarne (tj. poruszające się jako całość) biegnące ruchy liniowe, które pozwalają na ogólne przedstawienie postaci:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

gdzie f jest dowolną funkcją. W mediach nieliniowych z dyspersją możliwe są również stacjonarne fotowoltaiki. typu (2), ale ich kształt nie jest już dowolny, lecz zależy zarówno od parametrów układu, jak i od charakteru ruchu. W ośrodkach absorbujących (rozpraszających) P. v. zmniejszać ich amplitudę w miarę rozprzestrzeniania się; przy tłumieniu liniowym można to uwzględnić, zastępując k w (1) zespoloną liczbą falową kd ± ikм, gdzie km jest współczynnikiem. osłabienie P. v.

Jednorodna wartość PV zajmująca całą nieskończoność jest idealizacją, ale każdą falę skoncentrowaną w skończonym obszarze (na przykład kierowaną przez linie przesyłowe lub falowody) można przedstawić jako superpozycję PV. z taką czy inną spacją. widmo k. W tym przypadku fala może nadal mieć płaski front fazowy, ale niejednolitą amplitudę. Taki P. v. zwany fale płaskie niejednorodne. Niektóre obszary są kuliste. i cylindryczny fale małe w porównaniu z promieniem krzywizny frontu fazowego zachowują się w przybliżeniu jak fala fazowa.

Fizyczny słownik encyklopedyczny. - M .: Encyklopedia radziecka. . 1983 .

PŁYTA FALA

- fala, kierunek propagacji jest taki sam we wszystkich punktach przestrzeni.

Gdzie A - amplituda, - faza, - częstotliwość kołowa, T - okres oscylacji k- numer fali. = const P.v. są samoloty.
W przypadku braku dyspersji, gdy prędkość fazowa w f i grupa w gr są identyczne i stałe ( w gr = w f = w) istnieją stacjonarne (tj. poruszające się jako całość) biegnące P. c., które można przedstawić w ogólnej formie

Gdzie F- dowolna funkcja. W mediach nieliniowych z dyspersją możliwe są również stacjonarne fotowoltaiki. typu (2), ale ich kształt nie jest już dowolny, lecz zależy zarówno od parametrów układu, jak i od charakteru ruchu falowego. W ośrodkach absorbujących (rozpraszających) P. k na zespolonej liczbie falowej k D ja m., gdzie k m - współczynnik osłabienie P. v. Jednorodne pole falowe zajmujące całą nieskończoność jest idealizacją, ale każde pole falowe skupione w skończonym obszarze (na przykład skierowane linie przesyłowe Lub falowody), można przedstawić jako superpozycję P. V. z takim czy innym widmem przestrzennym k. W takim przypadku fala może nadal mieć płaski front fazowy z nierównomiernym rozkładem amplitud. Taki P. v. zwany fale płaskie niejednorodne. Dział obszarykuliste lub cylindryczny fale małe w porównaniu z promieniem krzywizny czoła fazy zachowują się w przybliżeniu jak PT.

Oświetlony. patrz art. Fale.

MA Miller, LA Ostrovsky.

Encyklopedia fizyczna. W 5 tomach. - M .: Encyklopedia radziecka. Redaktor naczelny A. M. Prochorow. 1988 .

: taka fala nie istnieje w przyrodzie, ponieważ przód fali płaskiej zaczyna się o $-\backslash mathcal(1)$ i kończy się o godz $+\backslash mathcal(1)$ co oczywiście nie może mieć miejsca. Ponadto fala płaska miałaby nieskończoną moc, a wytworzenie fali płaskiej wymagałoby nieskończonej energii. Falę o złożonym (rzeczywistym) froncie można przedstawić jako widmo fal płaskich za pomocą transformaty Fouriera w zmiennych przestrzennych.

Fala quasi-płaska- fala, której przód jest prawie płaski na ograniczonym obszarze. Jeśli wymiary obszaru są wystarczająco duże dla rozważanego problemu, wówczas falę quasi-płaską można w przybliżeniu uznać za płaską. Falę o złożonym froncie można aproksymować za pomocą zbioru lokalnych fal quasi-płaszczyznowych, których wektory prędkości fazowych są normalne do frontu rzeczywistego w każdym z jego punktów. Przykładowymi źródłami quasi-płaskich fal elektromagnetycznych są anteny laserowe, zwierciadlane i soczewkowe: rozkład fazy pola elektromagnetycznego w płaszczyźnie równoległej do apertury (dziury emitującej) jest zbliżony do równomiernego. W miarę oddalania się od apertury czoło fali przyjmuje złożony kształt.

Definicja

Równanie dowolnej fali jest rozwiązaniem równania różniczkowego zwanego fala. Równanie falowe dla funkcji $A$ napisane w formularzu

$\backslash Delta\; A(\backslash vec(r),t)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (v^2)\; \backslash ,\; \backslash frac\; (\backslash partial^2\; A(\backslash vec(r),t))\; (\backslash partial\; t^2)$ Gdzie

• $\backslash Delta$- operator Laplace'a;
• $A(\backslash vec(r),t)$- wymagana funkcja;
• $R$- wektor promienia żądanego punktu;
• $w$- prędkość fali;
• $T$- czas.

Sprawa jednowymiarowa

Całkowita energia jest

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash częściowe\; A)\; (\backslash częściowe\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash \; cfrac(\backslash częściowe\; A)(\backslash częściowe\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; .$

Gęstość energii jest odpowiednio równa

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; (W)\; (\backslash Delta\; V)\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash częściowe\; A)\; (\backslash częściowe\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash częściowe\; A)\; (\backslash częściowe\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash Prawidłowy)\; .$

Polaryzacja

Napisz recenzję o artykule "Fala płaska"

Literatura

• Savelyev I.V.[Część 2. Fale. Fale sprężyste.] // Kurs fizyki ogólnej / Pod redakcją Gladnev L.I., Mikhalin N.A., Mirtov D.A.. - wyd. 3. - M.: Nauka, 1988. - T. 2. - s. 274-315. - 496 s. - 220 000 egzemplarzy.

Notatki

Zobacz też

Fragment charakteryzujący falę płaską

Na placu, do którego szedł władca, po prawej stronie twarzą w twarz stał batalion żołnierzy Preobrażeńskiego, a po lewej stronie batalion Gwardii Francuskiej w kapeluszach z niedźwiedziej skóry.
Gdy władca zbliżał się do jednej flanki batalionów pełniących wartę, na przeciwną flankę wskoczył kolejny tłum jeźdźców, a przed nimi Rostów rozpoznał Napoleona. To nie mógł być nikt inny. Jechał galopem w małym kapeluszu, z andrzejkową wstążką na ramieniu, w niebieskim mundurze rozpiętym pod białą kamizelką, na niezwykle rasowym siwym koniu arabskim, na szkarłatnym, haftowanym złotem siodło. Zbliżając się do Aleksandra, podniósł kapelusz i tym ruchem kawaleryjskie oko Rostowa nie mogło nie zauważyć, że Napoleon siedział słabo i niepewnie na koniu. Bataliony krzyczały: Hurra i Vive l "Empereur! [Niech żyje cesarz!] Napoleon powiedział coś do Aleksandra. Obaj cesarze zsiedli z koni i złapali się za ręce. Na twarzy Napoleona pojawił się nieprzyjemnie udawany uśmiech. Aleksander powiedział coś do go z czułym wyrazem twarzy.
Rostów, nie spuszczając wzroku, mimo deptania koni przez oblegających tłum francuskich żandarmów, śledził każdy ruch cesarza Aleksandra i Bonapartego. Zaskoczyło go to, że Aleksander zachowywał się na równi z Bonapartem i że Bonaparte był całkowicie wolny, jakby ta bliskość z władcą była dla niego naturalna i znajoma, jako równy traktował cara rosyjskiego.
Aleksander i Napoleon z długim ogonem swojej świty zbliżyli się na prawą flankę batalionu Preobrażeńskiego, bezpośrednio w stronę stojącego tam tłumu. Tłum znalazł się nagle tak blisko cesarzy, że stojący w pierwszych rzędach Rostow przestraszył się, że nie zostanie rozpoznany.
„Panie, je vous requeste la pozwolenie de donner la legion d” honneur au plus braw de vos solutats, [Panie, proszę o pozwolenie na nadanie Orderu Legii Honorowej najodważniejszemu z waszych żołnierzy], powiedział ostry, precyzyjny głos, kończąc każdą literę. Przemówił niski Bonaparte, patrząc prosto w oczy Aleksandra, Aleksander słuchał uważnie, co mówiono, i pochylał głowę, uśmiechając się miło.
„A celui qui s”est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Temu, który okazał się najodważniejszy podczas wojny]” – dodał Napoleon, podkreślając każdą sylabę, ze spokojem i pewnością siebie oburzającą Rostowa, rozglądając się po szeregach Rosjan rozciągniętych przed nimi stoją żołnierze, wszyscy w straży i nieruchomi, wpatrujący się w twarz swego cesarza.
„Votre majeste me permettra t elle de requester l"avis du pułkownik? [Wasza Wysokość pozwoli mi zapytać o opinię pułkownika?] - powiedział Aleksander i zrobił kilka pospiesznych kroków w stronę księcia Kozłowskiego, dowódcy batalionu. Tymczasem Bonaparte zaczął brać zdjął białą rękawiczkę małą dłonią i rozdarł ją na kawałki, adiutant rzucił ją, pospiesznie pędząc od tyłu i podniósł.
- Komu mam to dać? – cesarz Aleksander zapytał Kozłowskiego niezbyt głośno, po rosyjsku.
- Komu rozkazujesz, Wasza Wysokość? „Cesarz skrzywił się z niezadowolenia i rozglądając się, powiedział:
- Ale musisz mu odpowiedzieć.
Kozłowski zdecydowanym spojrzeniem spojrzał na szeregi i tym spojrzeniem schwytał także Rostów.
„Czy to nie ja?” pomyślał Rostów.
- Łazariew! – rozkazał pułkownik z grymasem; a pierwszy rangą żołnierz, Łazariew, sprytnie wystąpił do przodu.
-Gdzie idziesz? Zatrzymaj się tutaj! - głosy szeptały do ​​Łazariewa, który nie wiedział, dokąd iść. Łazariew zatrzymał się, ze strachem spojrzał w bok na pułkownika, a twarz mu drżała, jak to bywa u żołnierzy wezwanych na front.
Napoleon lekko odwrócił głowę do tyłu i cofnął swoją małą pulchną rączkę, jakby chciał coś wziąć. Twarze jego świty, odgadnąwszy w tej chwili, co się dzieje, zaczęły się awanturować, szeptać, przekazując sobie coś, a paź, ten sam, którego Rostow widział wczoraj u Borysa, podbiegł i z szacunkiem pochylił się wyciągniętą rękę i nie kazał jej czekać ani sekundy, włożył w nią rozkaz na czerwonej wstążce. Napoleon, nie patrząc, zacisnął dwa palce. Zakon znalazł się pomiędzy nimi. Napoleon podszedł do Łazariewa, który przewracając oczami, uparcie w dalszym ciągu patrzył tylko na swojego władcę, a z powrotem spoglądał na cesarza Aleksandra, pokazując w ten sposób, że to, co teraz robił, robił dla swojego sojusznika. Mała biała dłoń z rozkazem dotknęła przycisku żołnierza Łazariewa. To było tak, jakby Napoleon wiedział, że aby ten żołnierz był szczęśliwy, nagrodzony i wyróżniał się na zawsze od wszystkich na świecie, wystarczyło, aby on, ręka Napoleona, była godna dotknięcia piersi żołnierza. Napoleon po prostu przyłożył krzyż do piersi Łazariewa i puszczając jego rękę, zwrócił się do Aleksandra, jakby wiedział, że krzyż powinien przylgnąć do piersi Łazariewa. Krzyż naprawdę utknął.