Tworzenie modeli matematycznych. Model matematyczny w praktyce Jaki typ modeli matematycznych wykorzystuje algorytmy

Modelowanie matematyczne

1. Czym jest modelowanie matematyczne?

Od połowy XX wieku. Metody matematyczne i komputery zaczęły być szeroko stosowane w różnych dziedzinach działalności człowieka. Pojawiły się nowe dyscypliny, takie jak „ekonomia matematyczna”, „chemia matematyczna”, „lingwistyka matematyczna” itp., Badające modele matematyczne odpowiednich obiektów i zjawisk, a także metody badania tych modeli.

Model matematyczny to przybliżony opis dowolnej klasy zjawisk lub obiektów świata rzeczywistego w języku matematyki. Głównym celem modelowania jest eksploracja tych obiektów i przewidywanie wyników przyszłych obserwacji. Jednak modelowanie to także metoda rozumienia otaczającego nas świata, pozwalająca na jego kontrolę.

Modelowanie matematyczne i związany z nim eksperyment komputerowy są niezbędne w przypadkach, gdy eksperyment na pełną skalę jest z tego czy innego powodu niemożliwy lub trudny. Nie da się na przykład przeprowadzić w historii naturalnego eksperymentu, który sprawdzałby, „co by się stało, gdyby…”. Nie da się sprawdzić poprawności tej czy innej teorii kosmologicznej. Eksperymentowanie z rozprzestrzenianiem się choroby takiej jak dżuma lub przeprowadzenie eksplozji nuklearnej w celu zbadania jej konsekwencji jest możliwe, ale jest mało prawdopodobne. Wszystko to można jednak wykonać na komputerze, konstruując najpierw modele matematyczne badanych zjawisk.

2. Główne etapy modelowania matematycznego

1) Budowa modelu. Na tym etapie określa się jakiś obiekt „niematematyczny” - zjawisko naturalne, projekt, plan ekonomiczny, proces produkcyjny itp. W tym przypadku z reguły jasny opis sytuacji jest trudny. W pierwszej kolejności identyfikowane są główne cechy zjawiska oraz powiązania między nimi na poziomie jakościowym. Następnie znalezione zależności jakościowe formułuje się w języku matematyki, czyli budowany jest model matematyczny. To najtrudniejszy etap modelowania.

2) Rozwiązanie problemu matematycznego, do którego prowadzi model. Na tym etapie dużą wagę przywiązuje się do opracowania algorytmów i metod numerycznych rozwiązywania problemu na komputerze, za pomocą których można znaleźć wynik z wymaganą dokładnością i w akceptowalnym czasie.

3) Interpretacja uzyskanych konsekwencji z modelu matematycznego. Konsekwencje wyprowadzone z modelu w języku matematyki są interpretowane w języku przyjętym w tej dziedzinie.

4) Sprawdzenie adekwatności modelu. Na tym etapie określa się, czy wyniki eksperymentów zgadzają się z teoretycznymi konsekwencjami modelu w określonym zakresie dokładności.

5) Modyfikacja modelu. Na tym etapie albo model jest skomplikowany, aby był bardziej adekwatny do rzeczywistości, albo uproszczony, aby uzyskać rozwiązanie praktycznie akceptowalne.

3. Klasyfikacja modeli

Modele można klasyfikować według różnych kryteriów. Przykładowo, ze względu na charakter rozwiązywanych problemów, modele można podzielić na funkcjonalne i strukturalne. W pierwszym przypadku wszystkie wielkości charakteryzujące zjawisko lub obiekt wyrażane są ilościowo. W tym przypadku część z nich uważa się za zmienne niezależne, inne natomiast za funkcje tych wielkości. Model matematyczny to zwykle układ równań różnego typu (różniczkowych, algebraicznych itp.), które ustalają ilościowe zależności między rozważanymi wielkościami. W drugim przypadku model charakteryzuje strukturę złożonego obiektu składającego się z poszczególnych części, pomiędzy którymi zachodzą pewne powiązania. Zazwyczaj powiązań tych nie da się zmierzyć. Do konstruowania takich modeli wygodnie jest posłużyć się teorią grafów. Wykres to obiekt matematyczny reprezentujący zbiór punktów (wierzchołków) na płaszczyźnie lub w przestrzeni, z których część jest połączona liniami (krawędziami).

Ze względu na charakter danych wyjściowych i wyników modele predykcyjne można podzielić na deterministyczne i probabilistyczno-statystyczne. Modele pierwszego typu dokonują pewnych, jednoznacznych przewidywań. Modele drugiego typu opierają się na informacjach statystycznych, a uzyskane za ich pomocą przewidywania mają charakter probabilistyczny.

4. Przykłady modeli matematycznych

1) Zagadnienia dotyczące ruchu pocisku.

Rozważmy następujący problem mechaniczny.

Pocisk wystrzelono z Ziemi z prędkością początkową v 0 = 30 m/s pod kątem a = 45° do jej powierzchni; należy znaleźć trajektorię jego ruchu oraz odległość S pomiędzy punktem początkowym i końcowym tej trajektorii.

Wówczas, jak wiadomo ze szkolnych zajęć z fizyki, ruch pocisku opisuje się wzorami:

gdzie t to czas, g = 10 m/s 2 to przyspieszenie ziemskie. Wzory te stanowią matematyczny model problemu. Wyrażając od t do x z pierwszego równania i podstawiając je do drugiego, otrzymujemy równanie trajektorii pocisku:

Ta krzywa (parabola) przecina oś x w dwóch punktach: x 1 = 0 (początek trajektorii) i (miejsce, w którym spadł pocisk). Podstawiając podane wartości v0 i a do otrzymanych wzorów, otrzymujemy

odpowiedź: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Należy pamiętać, że przy konstruowaniu tego modelu przyjęto szereg założeń: przykładowo zakłada się, że Ziemia jest płaska, a powietrze i obrót Ziemi nie mają wpływu na ruch pocisku.

2) Problem dotyczący zbiornika o najmniejszej powierzchni.

Należy znaleźć wysokość h 0 i promień r 0 blaszanego zbiornika o pojemności V = 30 m 3, mającego kształt zamkniętego okrągłego cylindra, przy którym jego powierzchnia S jest minimalna (w tym przypadku najmniejsza ilość cyny zużyta do jej produkcji).

Napiszmy następujące wzory na objętość i pole powierzchni walca o wysokości h i promieniu r:

V = p r 2 godz., S = 2 p r(r + h).

Wyrażając h do r i V z pierwszego wzoru i podstawiając otrzymane wyrażenie do drugiego, otrzymujemy:

Zatem z matematycznego punktu widzenia problem sprowadza się do wyznaczenia wartości r, przy której funkcja S(r) osiąga minimum. Znajdźmy te wartości r 0, dla których pochodna

zmierza do zera: Możesz sprawdzić, że druga pochodna funkcji S(r) zmienia znak z minus na plus, gdy argument r przechodzi przez punkt r 0 . Zatem w punkcie r0 funkcja S(r) ma minimum. Odpowiednia wartość to h 0 = 2r 0 . Podstawiając podaną wartość V do wyrażenia na r 0 i h 0, otrzymujemy pożądany promień i wysokość

3) Problem z transportem.

Miasto posiada dwa składy mąki i dwie piekarnie. Codziennie z pierwszego magazynu transportuje się 50 ton mąki, z drugiego 70 ton do fabryk, z czego 40 ton do pierwszego i 80 ton do drugiego.

Oznaczmy przez A ij to koszt transportu 1 tony mąki z i-tego magazynu do j-tego zakładu (i, j = 1,2). Pozwalać

A 11 = 1,2 rubla, A 12 = 1,6 rubla, A 21 = 0,8 rub., A 22 = 1 pocierać.

Jak zaplanować transport, aby jego koszt był minimalny?

Nadajmy problemowi sformułowanie matematyczne. Oznaczmy przez x 1 i x 2 ilość mąki, którą należy przewieźć z pierwszego magazynu do pierwszej i drugiej fabryki, a przez x 3 i x 4 - odpowiednio z drugiego magazynu do pierwszej i drugiej fabryki. Następnie:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Całkowity koszt całego transportu określa wzór

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4.

Z matematycznego punktu widzenia problem polega na znalezieniu czterech liczb x 1, x 2, x 3 i x 4, które spełniają wszystkie podane warunki i dają minimum funkcji f. Rozwiążmy układ równań (1) dla xi (i = 1, 2, 3, 4) eliminując niewiadome. Rozumiemy to

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

i x 4 nie można określić jednoznacznie. Ponieważ x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), z równań (2) wynika, że ​​30Ј x 4 Ј 70. Podstawiając wyrażenie na x 1, x 2, x 3 do wzoru na f, otrzymujemy

f = 148 – 0,2x 4.

Łatwo zauważyć, że minimum tej funkcji osiąga się przy maksymalnej możliwej wartości x 4, czyli przy x 4 = 70. Odpowiednie wartości pozostałych niewiadomych wyznaczają wzory (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Problem rozpadu promieniotwórczego.

Niech N(0) będzie początkową liczbą atomów substancji radioaktywnej, a N(t) będzie liczbą nierozłożonych atomów w czasie t. Ustalono eksperymentalnie, że szybkość zmiany liczby tych atomów N”(t) jest proporcjonalna do N(t), czyli N”(t)=–l N(t), l >0 jest stała radioaktywności danej substancji. W szkolnym toku analizy matematycznej pokazano, że rozwiązanie tego równania różniczkowego ma postać N(t) = N(0)e –l t. Czas T, podczas którego liczba początkowych atomów zmniejsza się o połowę, nazywany jest okresem półtrwania i jest ważną cechą radioaktywności substancji. Aby wyznaczyć T, musimy wprowadzić wzór Następnie Przykładowo dla radonu l = 2,084 · 10 –6, a więc T = 3,15 dnia.

5) Problem komiwojażera.

Podróżujący sprzedawca mieszkający w mieście A 1 musi odwiedzić miasta A 2 , A 3 i A 4 , każde miasto dokładnie raz, a następnie wrócić do A 1 . Wiadomo, że wszystkie miasta są połączone parami drogami, a długości dróg b ij pomiędzy miastami A i i A j (i, j = 1, 2, 3, 4) są następujące:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Konieczne jest określenie kolejności zwiedzania miast, w których długość odpowiedniej ścieżki jest minimalna.

Przedstawmy każde miasto jako punkt na płaszczyźnie i oznaczmy je odpowiednią etykietą Ai (i = 1, 2, 3, 4). Połączmy te punkty liniami prostymi: będą one reprezentowały drogi pomiędzy miastami. Dla każdej „drogi” podajemy jej długość w kilometrach (ryc. 2). Rezultatem jest graf – obiekt matematyczny składający się z pewnego zbioru punktów na płaszczyźnie (zwanych wierzchołkami) oraz pewnego zbioru linii łączących te punkty (zwanych krawędziami). Co więcej, graf ten jest oznakowany, gdyż jego wierzchołkom i krawędziom przypisane są pewne etykiety - liczby (krawędzie) lub symbole (wierzchołki). Cykl na grafie to taki ciąg wierzchołków V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 taki, że wierzchołki V 1 , ..., V k są różne oraz dowolna para wierzchołków V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) i para V 1, V k są połączone krawędzią. Zatem rozważanym problemem jest znalezienie na grafie cyklu przechodzącego przez wszystkie cztery wierzchołki, dla którego suma wag wszystkich krawędzi jest minimalna. Przeszukajmy wszystkie różne cykle przechodzące przez cztery wierzchołki i zaczynając od A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) Za 1, Za 3, Za 4, Za 2, Za 1.

Znajdźmy teraz długości tych cykli (w km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Zatem pierwsza jest trasa o najkrótszej długości.

Należy zauważyć, że jeśli w grafie jest n wierzchołków i wszystkie wierzchołki są połączone parami krawędziami (taki graf nazywamy pełnym), to liczba cykli przechodzących przez wszystkie wierzchołki wynosi zatem w naszym przypadku dokładnie trzy cykle.

6) Problem znalezienia związku pomiędzy strukturą i właściwościami substancji.

Przyjrzyjmy się kilku związkom chemicznym zwanym normalnymi alkanami. Składają się z n atomów węgla i n + 2 atomów wodoru (n = 1, 2 ...), połączonych ze sobą, jak pokazano na rysunku 3 dla n = 3. Niech będą znane eksperymentalne wartości temperatur wrzenia tych związków:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Konieczne jest znalezienie przybliżonej zależności pomiędzy temperaturą wrzenia a liczbą n dla tych związków. Załóżmy, że zależność ta ma postać

y” A n+b,

Gdzie A, b - stałe do ustalenia. Znaleźć A i b podstawiamy do tego wzoru kolejno n = 3, 4, 5, 6 i odpowiednie wartości temperatur wrzenia. Mamy:

– 42 » 3 A+ b, 0 » 4 A+ b, 28 » 5 A+ b, 69 » 6 A+ b.

Aby określić najlepsze A oraz b istnieje wiele różnych metod. Użyjmy najprostszego z nich. Wyraźmy b poprzez A z tych równań:

b » – 42 – 3 A, b” – 4 A, b » 28 – 5 A, b » 69 – 6 A.

Przyjmijmy średnią arytmetyczną tych wartości jako pożądane b, czyli wstawmy b » 16 – 4,5 A. Podstawmy tę wartość b do pierwotnego układu równań i obliczmy A, dostajemy za A następujące wartości: A» 37, A» 28, A» 28, A 36. Weźmy jako wymagane A czyli średnia wartość tych liczb, powiedzmy A 34. Zatem wymagane równanie ma postać

y » 34n – 139.

Sprawdźmy dokładność modelu na czterech oryginalnych związkach, dla których obliczamy temperatury wrzenia korzystając z otrzymanego wzoru:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Zatem błąd w obliczeniu tej właściwości dla tych związków nie przekracza 5°. Z otrzymanego równania obliczamy temperaturę wrzenia związku o n = 7, którego nie ma w pierwotnym zbiorze, dla którego podstawiamy n = 7 do tego równania: y р (7) = 99°. Wynik był dość dokładny: wiadomo, że eksperymentalna wartość temperatury wrzenia y e (7) = 98°.

7) Problem określenia niezawodności obwodu elektrycznego.

Tutaj przyjrzymy się przykładowi modelu probabilistycznego. Najpierw przedstawiamy informacje z teorii prawdopodobieństwa – dyscypliny matematycznej badającej wzorce zjawisk losowych obserwowanych podczas wielokrotnego powtarzania eksperymentów. Nazwijmy zdarzenie losowe A możliwym wynikiem jakiegoś eksperymentu. Zdarzenia A 1, ..., A k tworzą kompletną grupę, jeśli jedno z nich koniecznie zajdzie w wyniku eksperymentu. Zdarzenia nazywane są niezgodnymi, jeśli nie mogą wystąpić jednocześnie w jednym doświadczeniu. Niech zdarzenie A wystąpi m razy podczas n-krotnego powtórzenia doświadczenia. Częstotliwość zdarzenia A jest liczbą W = . Oczywiście wartości W nie można dokładnie przewidzieć, dopóki nie przeprowadzi się serii n eksperymentów. Jednakże natura zdarzeń losowych jest taka, że ​​w praktyce czasami obserwuje się następujący efekt: wraz ze wzrostem liczby eksperymentów wartość praktycznie przestaje być losowa i stabilizuje się wokół pewnej nielosowej liczby P(A), zwanej prawdopodobieństwem zdarzenie A. Dla zdarzenia niemożliwego (które w eksperymencie nigdy nie występuje) P(A)=0, a dla zdarzenia wiarygodnego (które zawsze występuje w doświadczeniu) P(A)=1. Jeżeli zdarzenia A 1 , ..., A k tworzą kompletną grupę zdarzeń niezgodnych, to P(A 1)+...+P(A k)=1.

Niech np. doświadczenie polega na rzucie kostką i obserwacji liczby wyrzuconych punktów X. Wtedy możemy wprowadzić następujące zdarzenia losowe A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Oni tworzą kompletną grupę niezgodnych, równie prawdopodobnych zdarzeń, zatem P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Suma zdarzeń A i B to zdarzenie A + B, które polega na tym, że przynajmniej jedno z nich zachodzi w doświadczeniu. Iloczynem zdarzeń A i B jest zdarzenie AB, które polega na jednoczesnym wystąpieniu tych zdarzeń. Dla niezależnych zdarzeń A i B prawdziwe są następujące wzory:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Rozważmy teraz następującą kwestię zadanie. Załóżmy, że trzy elementy są połączone szeregowo w obwód elektryczny i działają niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo awarii 1., 2. i 3. elementu wynosi odpowiednio P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Obwód uznamy za niezawodny, jeśli prawdopodobieństwo, że w obwodzie nie będzie prądu, jest nie większe niż 0,4. Należy ustalić, czy dany obwód jest niezawodny.

Ponieważ elementy są połączone szeregowo, w obwodzie nie będzie prądu (zdarzenie A), jeśli przynajmniej jeden z elementów ulegnie awarii. Niech A i będzie zdarzeniem, w którym zadziała i-ty element (i = 1, 2, 3). Wtedy P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Oczywiście A 1 A 2 A 3 jest zdarzeniem, w którym wszystkie trzy elementy działają jednocześnie, i

P(A 1 ZA 2 ZA 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Wtedy P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, zatem P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Podsumowując, należy zauważyć, że podane przykłady modeli matematycznych (m.in. funkcjonalnych i strukturalnych, deterministycznych i probabilistycznych) mają charakter poglądowy i oczywiście nie wyczerpują różnorodności modeli matematycznych powstających w naukach przyrodniczych i humanistycznych.

Co to jest model matematyczny?

Pojęcie modelu matematycznego.

Model matematyczny to bardzo prosta koncepcja. I bardzo ważne. To modele matematyczne, które łączą matematykę z prawdziwym życiem.

W prostych słowach, model matematyczny to matematyczny opis dowolnej sytuacji. To wszystko. Model może być prymitywny lub bardzo złożony. Niezależnie od sytuacji, taki jest model.)

W każdym (powtarzam - w jakimkolwiek!) w przypadku, gdy trzeba coś policzyć i obliczyć - zajmujemy się modelowaniem matematycznym. Nawet jeśli tego nie podejrzewamy.)

P = 2 CB + 3 CM

Wpis ten będzie matematycznym modelem kosztów naszych zakupów. Model nie uwzględnia koloru opakowania, daty ważności, uprzejmości kasjerów itp. Dlatego ona Model, nie jest to faktyczny zakup. Ale wydatki, tj. Czego potrzebujemy– przekonamy się na pewno. Jeśli oczywiście model jest poprawny.

Warto wyobrazić sobie, czym jest model matematyczny, ale to nie wystarczy. Najważniejsze jest, aby móc budować te modele.

Opracowanie (budowa) modelu matematycznego problemu.

Stworzenie modelu matematycznego oznacza przełożenie warunków problemu na formę matematyczną. Te. zamień słowa na równanie, wzór, nierówność itp. Co więcej, przekształć go tak, aby ta matematyka ściśle odpowiadała tekstowi źródłowemu. W przeciwnym razie otrzymamy model matematyczny jakiegoś innego, nieznanego nam problemu.)

Mówiąc dokładniej, potrzebujesz

Na świecie istnieje nieskończona liczba zadań. Dlatego podaj jasne instrukcje krok po kroku dotyczące sporządzenia modelu matematycznego każdy zadania są niemożliwe.

Ale są trzy główne punkty, na które należy zwrócić uwagę.

1. Co dziwne, każdy problem zawiera tekst.) Ten tekst z reguły zawiera jasne, otwarte informacje. Liczby, wartości itp.

2. Każdy problem ma ukryte informacje. To tekst, który zakłada dodatkową wiedzę w Twojej głowie. Bez nich nie ma mowy. Poza tym informacje matematyczne często skrywają się za prostymi słowami i... umykają uwadze.

3. Należy zadać dowolne zadanie łączenie danych ze sobą. To połączenie można podać zwykłym tekstem (coś równa się coś) lub można je ukryć za prostymi słowami. Często jednak pomija się proste i jasne fakty. Model nie jest w żaden sposób skompilowany.

Od razu powiem: aby zastosować te trzy punkty, trzeba przeczytać problem (i to uważnie!) kilka razy. Zwykła rzecz.

A teraz - przykłady.

Zacznijmy od prostego problemu:

Pietrowicz wrócił z połowów i dumnie zaprezentował rodzinie swój połów. Po bliższym zbadaniu okazało się, że 8 ryb pochodziło z mórz północnych, 20% wszystkich ryb pochodziło z mórz południowych, a ani jedna nie pochodziła z lokalnej rzeki, w której łowił Pietrowicz. Ile ryb Pietrowicz kupił w sklepie z owocami morza?

Wszystkie te słowa należy przekształcić w jakieś równanie. Aby to zrobić, potrzebujesz, powtarzam, ustalić matematyczne powiązanie pomiędzy wszystkimi danymi w zadaniu.

Gdzie zacząć? Najpierw wyodrębnijmy wszystkie dane z zadania. Zacznijmy po kolei:

Zwróćmy uwagę na pierwszy punkt.

Który jest tutaj? wyraźny informacje matematyczne? 8 ryb i 20%. Niewiele, ale nie potrzebujemy dużo.)

Zwróćmy uwagę na drugi punkt.

Szuka ukryty Informacja. To tu. Oto słowa: „20% wszystkich ryb„. Tutaj musisz zrozumieć, jakie są procenty i jak są obliczane. W przeciwnym razie problemu nie można rozwiązać. To są dokładnie te dodatkowe informacje, które powinny znajdować się w twojej głowie.

Jest również matematyczny informacje, które są całkowicie niewidoczne. Ten pytanie zadaniowe: "Ile ryb kupiłem…” To także jest liczba. A bez tego nie powstanie żaden model. Dlatego oznaczmy tę liczbę literą "X". Nie wiemy jeszcze, ile x jest równe, ale to oznaczenie będzie dla nas bardzo przydatne. Więcej szczegółów na temat tego, co przyjąć za X i jak sobie z tym poradzić, opisano w lekcji Jak rozwiązywać problemy matematyczne? Zapiszmy to od razu:

x sztuk - całkowita ilość ryb.

W naszym zadaniu ryby południowe podane są w procentach. Musimy je przerobić na kawałki. Po co? A potem co w każdy należy opracować problem modelu w tego samego rodzaju ilościach. Kawałki - więc wszystko jest w kawałkach. Jeśli podano, powiedzmy, godziny i minuty, przekładamy wszystko na jedną rzecz – albo tylko godziny, albo tylko minuty. Nie ma znaczenia, co to jest. To jest ważne, by wszystkie wartości były tego samego typu.

Wróćmy do ujawniania informacji. Kto nie wie, co to jest procent, nigdy tego nie zdradzi, tak… Ale kto wie, od razu powie, że tutaj procenty odnoszą się do całkowitej liczby ryb. A my nie znamy tej liczby. Nic nie będzie działać!

Nie bez powodu podajemy całkowitą liczbę ryb (w sztukach!) "X" wyznaczony. Ryb południowych nie uda się policzyć na kawałki, ale czy uda się je zapisać? Lubię to:

0,2 x szt. - ilość ryb z mórz południowych.

Teraz pobraliśmy wszystkie informacje z zadania. Zarówno oczywiste, jak i ukryte.

Zwróćmy uwagę na punkt trzeci.

Szuka związek matematyczny pomiędzy danymi zadania. To połączenie jest tak proste, że wielu go nie zauważa... Często się to zdarza. Tutaj warto po prostu zapisać zebrane dane na stosie i zobaczyć, co jest co.

Co my mamy? Jeść 8 sztuk ryba północna, 0,2 szt- ryby południowe i x ryba- całkowita kwota. Czy da się jakoś połączyć te dane? Tak, łatwo! Całkowita liczba ryb równa się suma południa i północy! No cóż, kto by pomyślał...) Zapisujemy więc:

x = 8 + 0,2x

To jest równanie model matematyczny naszego problemu.

Proszę o tym pamiętać w tym problemie Nie jesteśmy proszeni o składanie czegokolwiek! To my sami, nieprzytomni, zdaliśmy sobie sprawę, że suma ryb południowych i północnych da nam całkowitą liczbę. Sprawa jest tak oczywista, że ​​pozostaje niezauważona. Ale bez tych dowodów nie można stworzyć modelu matematycznego. Lubię to.

Teraz możesz zastosować całą moc matematyki do rozwiązania tego równania). Właśnie po to opracowano model matematyczny. Rozwiązujemy to równanie liniowe i otrzymujemy odpowiedź.

Odpowiedź: x=10

Stwórzmy model matematyczny innego problemu:

Zapytali Pietrowicza: „Czy masz dużo pieniędzy?” Pietrowicz zaczął płakać i odpowiedział: „Tak, tylko trochę. Jeśli wydam połowę wszystkich pieniędzy, a resztę połowę, to zostanie mi tylko jeden worek pieniędzy…”. Ile pieniędzy ma Pietrowicz?

Znowu pracujemy punkt po punkcie.

1. Poszukujemy jednoznacznych informacji. Nie znajdziesz tego od razu! Wyraźna informacja jest jeden torba z pieniędzmi. Jest jeszcze kilka innych połówek... Cóż, przyjrzymy się temu w drugim akapicie.

2. Szukamy ukrytych informacji. To są połówki. Co? Niezbyt jasne. Patrzymy dalej. Jest jeszcze jedno pytanie zadaniowe: „Ile pieniędzy ma Pietrowicz?” Oznaczmy kwotę pieniędzy literą "X":

X- wszystkie pieniądze

I znowu czytamy o problemie. Już to wiem Pietrowicz X pieniądze. Tutaj sprawdzą się połówki! Zapisujemy:

0,5x- połowa wszystkich pieniędzy.

Pozostała część również będzie równa połowie, tj. 0,5x. A połowę połowy można zapisać w ten sposób:

0,5 0,5x = 0,25x- połowa reszty.

Teraz wszystkie ukryte informacje zostały ujawnione i zapisane.

3. Poszukujemy powiązania pomiędzy zarejestrowanymi danymi. Tutaj możesz po prostu przeczytać cierpienie Pietrowicza i zapisać je matematycznie):

Jeśli wydam połowę wszystkich pieniędzy...

Nagrajmy ten proces. Wszystkie pieniądze - X. Połowa - 0,5x. Wydawać znaczy zabierać. Fraza zamienia się w nagranie:

x - 0,5 x

tak, połowa reszty...

Odejmijmy drugą połowę reszty:

x - 0,5 x - 0,25x

wtedy zostanie mi tylko jeden worek pieniędzy...

I tutaj znaleźliśmy równość! Po wszystkich odjęciach pozostaje jeden worek pieniędzy:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Oto model matematyczny! To znowu równanie liniowe, rozwiązujemy je i otrzymujemy:

Pytanie do rozważenia. Co to jest cztery? Rubel, dolar, juan? A w jakich jednostkach w naszym modelu matematycznym zapisywane są pieniądze? W torbach! To znaczy cztery torba pieniądze od Pietrowicza. Też dobrze.)

Zadania są oczywiście elementarne. Ma to na celu w szczególności uchwycenie istoty tworzenia modelu matematycznego. Niektóre zadania mogą zawierać znacznie więcej danych, w których łatwo się zgubić. Często zdarza się to w tzw. zadania kompetencyjne. Sposób wyodrębnienia treści matematycznych ze stosu słów i liczb pokazano na przykładach

Jeszcze jedna uwaga. W klasycznych zadaniach szkolnych (rury wypełniające basen, pływające gdzieś łódki itp.) wszystkie dane z reguły są dobierane bardzo ostrożnie. Istnieją dwie zasady:
- w zadaniu jest wystarczająco dużo informacji, aby go rozwiązać,
- W problemie nie ma zbędnych informacji.

To jest wskazówka. Jeśli w modelu matematycznym pozostała jakaś wartość niewykorzystana, zastanów się, czy nie wystąpił błąd. Jeśli nie ma wystarczającej ilości danych, najprawdopodobniej nie wszystkie ukryte informacje zostały zidentyfikowane i zapisane.

W zadaniach kompetencyjnych i innych życiowych zasady te nie są ściśle przestrzegane. Bladego pojęcia. Ale takie problemy można również rozwiązać. Jeśli oczywiście ćwiczysz na klasycznych.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Według podręcznika Sowietowa i Jakowlewa: „model (łac. moduł – miara) jest obiektem zastępczym obiektu pierwotnego, co zapewnia badanie pewnych właściwości oryginału”. (s. 6) „Zastępowanie jednego obiektu drugim w celu uzyskania informacji o najważniejszych właściwościach obiektu pierwotnego za pomocą obiektu modelowego nazywa się modelowaniem”. (s. 6) „Przez modelowanie matematyczne rozumiemy proces ustalania zgodności danego obiektu rzeczywistego z pewnym obiektem matematycznym, zwany modelem matematycznym, oraz badanie tego modelu, które pozwala uzyskać charakterystykę obiektu rzeczywistego rozpatrywany obiekt. Rodzaj modelu matematycznego zależy zarówno od charakteru obiektu rzeczywistego, jak i zadań badania obiektu oraz wymaganej niezawodności i dokładności rozwiązania tego problemu.

Na koniec najbardziej zwięzła definicja modelu matematycznego: „Równanie wyrażające ideę."

Klasyfikacja modeli

Formalna klasyfikacja modeli

Formalna klasyfikacja modeli opiera się na klasyfikacji stosowanych narzędzi matematycznych. Często konstruowane w formie dychotomii. Na przykład jeden z popularnych zestawów dychotomii:

i tak dalej. Każdy skonstruowany model jest liniowy lub nieliniowy, deterministyczny lub stochastyczny,… Naturalnie możliwe są także typy mieszane: skoncentrowany pod jednym względem (pod względem parametrów), rozproszony pod innym itd.

Klasyfikacja ze względu na sposób przedstawienia obiektu

Oprócz klasyfikacji formalnej modele różnią się sposobem przedstawiania obiektu:

• Modele strukturalne lub funkcjonalne

Modele strukturalne przedstawiają obiekt jako system posiadający własną strukturę i mechanizm działania. Modele funkcjonalne nie wykorzystują takich reprezentacji i odzwierciedlają jedynie zewnętrznie postrzegane zachowanie (funkcjonowanie) obiektu. W swoim skrajnym wyrazie nazywane są również modelami „czarnej skrzynki”. Możliwe są również modele kombinowane, które czasami nazywane są modelami „szarej skrzynki”.

Modele treściowe i formalne

Prawie wszyscy autorzy opisujący proces modelowania matematycznego wskazują, że najpierw budowana jest specjalna idealna struktura, model treści. Nie ma tu ustalonej terminologii, a inni autorzy nazywają ten obiekt idealny model koncepcyjny , model spekulacyjny Lub premodel. W tym przypadku nazywana jest ostateczna konstrukcja matematyczna model formalny lub po prostu model matematyczny uzyskany w wyniku sformalizowania danego sensownego modelu (premodelu). Konstrukcję znaczącego modelu można przeprowadzić przy użyciu zestawu gotowych idealizacji, tak jak w mechanice, gdzie idealne sprężyny, ciała sztywne, idealne wahadła, ośrodki sprężyste itp. Zapewniają gotowe elementy konstrukcyjne do znaczącego modelowania. Jednakże w obszarach wiedzy, w których nie ma w pełni kompletnych, sformalizowanych teorii (nowoczesne fizyka, biologia, ekonomia, socjologia, psychologia i większość innych dziedzin), tworzenie znaczących modeli staje się dramatycznie trudniejsze.

Klasyfikacja treści modeli

Żadna hipoteza naukowa nie może zostać udowodniona raz na zawsze. Richard Feynman sformułował to bardzo jasno:

„Zawsze mamy możliwość obalenia teorii, ale pamiętaj, że nigdy nie możemy udowodnić, że jest ona poprawna. Załóżmy, że postawiłeś udaną hipotezę, obliczyłeś, dokąd ona prowadzi, i odkryłeś, że wszystkie jej konsekwencje zostały potwierdzone eksperymentalnie. Czy to oznacza, że ​​Twoja teoria jest słuszna? Nie, oznacza to po prostu, że nie udało ci się temu zaprzeczyć.

Jeśli zbuduje się model pierwszego typu, oznacza to, że tymczasowo zostaje on uznany za prawdziwy i można skoncentrować się na innych problemach. Nie może to jednak być punkt badawczy, a jedynie chwilowa przerwa: status modelu pierwszego typu może być jedynie tymczasowy.

Typ 2: Model fenomenologiczny (zachowujemy się jakby…)

Model fenomenologiczny zawiera mechanizm opisu zjawiska. Mechanizm ten nie jest jednak wystarczająco przekonujący, nie może być dostatecznie potwierdzony dostępnymi danymi lub nie wpisuje się dobrze w istniejące teorie i zgromadzoną wiedzę na temat obiektu. Dlatego modele fenomenologiczne mają status rozwiązań tymczasowych. Uważa się, że odpowiedź nie jest jeszcze znana i należy kontynuować poszukiwania „prawdziwych mechanizmów”. Do drugiego typu Peierls zalicza na przykład model kaloryczny i kwarkowy model cząstek elementarnych.

Rola modelu w badaniach może zmieniać się w czasie i może się zdarzyć, że nowe dane i teorie potwierdzają modele fenomenologiczne i awansują je do rangi hipotezy. Podobnie nowa wiedza może stopniowo wchodzić w konflikt z modelami-hipotezami pierwszego typu i można je przełożyć na drugi rodzaj. Tym samym model kwarkowy stopniowo przechodzi do kategorii hipotez; Atomizm w fizyce powstał jako rozwiązanie tymczasowe, ale z biegiem historii stał się pierwszym typem. Jednak modele eterowe przeszły z typu 1 do typu 2 i obecnie znajdują się poza nauką.

Idea uproszczeń jest bardzo popularna przy budowaniu modeli. Ale uproszczenia przybierają różne formy. Peierls wyróżnia trzy rodzaje uproszczeń w modelowaniu.

Typ 3: Przybliżenie (rozważamy coś bardzo dużego lub bardzo małego)

To, że można skonstruować równania opisujące badany układ, nie oznacza, że ​​da się je rozwiązać nawet przy pomocy komputera. Powszechną techniką w tym przypadku jest stosowanie przybliżeń (modele typu 3). Pomiędzy nimi liniowe modele odpowiedzi. Równania zastąpiono równaniami liniowymi. Typowym przykładem jest prawo Ohma.

Oto typ 8, który jest szeroko rozpowszechniony w modelach matematycznych układów biologicznych.

Typ 8: Demonstracja funkcji (najważniejsze jest pokazanie wewnętrznej spójności możliwości)

Świadczą o tym także eksperymenty myślowe z wyimaginowanymi bytami rzekome zjawisko spójne z podstawowymi zasadami i spójne wewnętrznie. Na tym polega główna różnica w porównaniu z modelami typu 7, które ujawniają ukryte sprzeczności.

Jednym z najbardziej znanych z tych eksperymentów jest geometria Łobaczewskiego (Łobaczewski nazwał to „geometrią wyimaginowaną”). Innym przykładem jest masowa produkcja formalnie kinetycznych modeli wibracji chemicznych i biologicznych, fal automatycznych itp. Paradoks Einsteina-Podolskiego-Rosena został pomyślany jako model typu 7 w celu wykazania niespójności mechaniki kwantowej. W zupełnie nieplanowany sposób ostatecznie przekształcił się w model typu 8 – demonstrację możliwości kwantowej teleportacji informacji.

Przykład

Rozważmy układ mechaniczny składający się ze sprężyny przymocowanej na jednym końcu i masy: M przymocowany do wolnego końca sprężyny. Zakładamy, że ładunek może poruszać się tylko w kierunku osi sprężyny (na przykład ruch następuje wzdłuż pręta). Zbudujmy model matematyczny tego układu. Stan układu będziemy opisywać odległością X od środka ładunku do położenia równowagi. Opiszmy oddziaływanie sprężyny i zastosowanego obciążenia Prawo Hooke’a (F = − kX ), a następnie użyj drugiego prawa Newtona, aby wyrazić to w postaci równania różniczkowego:

gdzie oznacza drugą pochodną X z czasem: .

Otrzymane równanie opisuje model matematyczny rozpatrywanego układu fizycznego. Model ten nazywany jest „oscylatorem harmonicznym”.

Zgodnie z klasyfikacją formalną model ten jest liniowy, deterministyczny, dynamiczny, skoncentrowany, ciągły. W procesie jego budowy przyjęliśmy wiele założeń (o braku sił zewnętrznych, braku tarcia, małej odchyłki itp.), które w rzeczywistości mogą nie zostać spełnione.

W odniesieniu do rzeczywistości jest to najczęściej model typu 4 uproszczenie(„dla przejrzystości pominiemy niektóre szczegóły”), ponieważ pominięto pewne istotne cechy uniwersalne (na przykład rozpraszanie). W pewnym przybliżeniu (powiedzmy, chociaż odchylenie obciążenia od równowagi jest małe, przy niskim tarciu, przez krótki czas i pod pewnymi innymi warunkami), taki model całkiem dobrze opisuje rzeczywisty układ mechaniczny, ponieważ odrzucone czynniki mają znikomy wpływ na jego zachowanie. Model można jednak udoskonalić, biorąc pod uwagę niektóre z tych czynników. Doprowadzi to do powstania nowego modelu o szerszym (choć ponownie ograniczonym) zakresie zastosowania.

Jednak podczas udoskonalania modelu złożoność jego badań matematycznych może znacznie wzrosnąć i sprawić, że model stanie się praktycznie bezużyteczny. Często prostszy model pozwala na lepszą i głębszą eksplorację rzeczywistego systemu niż bardziej złożony (i formalnie „bardziej poprawny”).

Jeśli zastosujemy model oscylatora harmonicznego do obiektów odległych od fizyki, jego status merytoryczny może być inny. Na przykład, stosując ten model do populacji biologicznych, najprawdopodobniej należy go zaklasyfikować do typu 6 analogia(„uwzględnijmy tylko niektóre cechy”).

Modele twarde i miękkie

Oscylator harmoniczny jest przykładem tzw. modelu „twardego”. Uzyskuje się go w wyniku silnej idealizacji rzeczywistego układu fizycznego. Aby rozwiązać kwestię jego stosowalności, należy zrozumieć, jak istotne są czynniki, które zaniedbaliśmy. Innymi słowy, konieczne jest zbadanie modelu „miękkiego”, który uzyskuje się poprzez niewielkie zaburzenie modelu „twardego”. Można to wyrazić na przykład za pomocą następującego równania:

Oto pewna funkcja, która może uwzględniać siłę tarcia lub zależność współczynnika sztywności sprężyny od stopnia jej rozciągnięcia - jakiś mały parametr. Jawna forma funkcji F W tej chwili nie jesteśmy zainteresowani. Jeśli udowodnimy, że zachowanie modelu miękkiego nie różni się zasadniczo od zachowania modelu twardego (niezależnie od jawnego rodzaju czynników zakłócających, jeśli są one wystarczająco małe), problem sprowadzi się do badania modelu twardego. W przeciwnym razie zastosowanie wyników uzyskanych z badania modelu sztywnego będzie wymagało dodatkowych badań. Przykładowo rozwiązaniem równania oscylatora harmonicznego są funkcje postaci , czyli oscylacje o stałej amplitudzie. Czy z tego wynika, że ​​prawdziwy oscylator będzie oscylował w nieskończoność ze stałą amplitudą? Nie, ponieważ rozważając układ o dowolnie małym tarciu (zawsze występującym w układzie rzeczywistym) otrzymujemy drgania tłumione. Zachowanie systemu zmieniło się jakościowo.

Jeśli system zachowuje swoje jakościowe zachowanie nawet przy małych zakłóceniach, mówi się, że jest strukturalnie stabilny. Oscylator harmoniczny jest przykładem układu niestabilnego strukturalnie (nieszorstkiego). Jednakże model ten można wykorzystać do badania procesów w ograniczonych okresach czasu.

Wszechstronność modeli

Najważniejsze modele matematyczne mają zwykle ważną właściwość wszechstronność: Zasadniczo różne zjawiska rzeczywiste można opisać tym samym modelem matematycznym. Na przykład oscylator harmoniczny opisuje nie tylko zachowanie obciążenia na sprężynie, ale także inne procesy oscylacyjne, często o zupełnie innym charakterze: małe oscylacje wahadła, wahania poziomu cieczy w U naczynie w kształcie lub zmiana natężenia prądu w obwodzie oscylacyjnym. Zatem badając jeden model matematyczny, od razu badamy całą klasę opisywanych przez niego zjawisk. To właśnie ten izomorfizm praw wyrażanych przez modele matematyczne w różnych segmentach wiedzy naukowej zainspirował Ludwiga von Bertalanffy'ego do stworzenia „Ogólnej teorii systemów”.

Zagadnienia bezpośrednie i odwrotne modelowania matematycznego

Istnieje wiele problemów związanych z modelowaniem matematycznym. Najpierw trzeba wymyślić podstawowy schemat modelowanego obiektu, odtworzyć go w ramach idealizacji tej nauki. W ten sposób wagon zamienia się w układ płyt i bardziej złożonych korpusów z różnych materiałów, każdy materiał jest określony jako jego standardowa idealizacja mechaniczna (gęstość, moduły sprężystości, standardowe charakterystyki wytrzymałościowe), po czym sporządzane są równania i po drodze niektóre szczegóły są odrzucane jako nieistotne, wykonywane są obliczenia, porównywane z pomiarami, model jest udoskonalany i tak dalej. Jednak w celu opracowania technologii modelowania matematycznego przydatne jest rozbicie tego procesu na jego główne elementy.

Tradycyjnie istnieją dwie główne klasy problemów związanych z modelami matematycznymi: bezpośrednie i odwrotne.

Zadanie bezpośrednie: strukturę modelu i wszystkie jego parametry uważa się za znane, głównym zadaniem jest przeprowadzenie badań modelu w celu wydobycia użytecznej wiedzy o obiekcie. Jakie obciążenie statyczne wytrzyma most? Jak zareaguje na obciążenie dynamiczne (np. na przemarsz kompanii żołnierzy, czy na przejazd pociągu z różną prędkością), jak samolot pokona barierę dźwięku, czy rozpadnie się od trzepotania – są to typowe przykłady bezpośredniego problemu. Postawienie właściwego, bezpośredniego problemu (zadanie właściwego pytania) wymaga specjalnych umiejętności. Jeśli nie zostaną zadane właściwe pytania, most może się zawalić, nawet jeśli zbudowano dobry model jego zachowania. Tak więc w 1879 roku w Anglii zawalił się metalowy most na rzece Tay, którego projektanci zbudowali model mostu, obliczyli, że ma on 20-krotny współczynnik bezpieczeństwa dla działania ładunku, ale ciągle zapominali o wiatrach dmuchanie w tych miejscach. A po półtora roku upadł.

W najprostszym przypadku (na przykład jedno równanie oscylatora) bezpośredni problem jest bardzo prosty i sprowadza się do jawnego rozwiązania tego równania.

Problem odwrotny: znanych jest wiele możliwych modeli, należy wybrać konkretny model na podstawie dodatkowych danych o obiekcie. Najczęściej znana jest struktura modelu i należy określić pewne nieznane parametry. Dodatkową informacją mogą być dodatkowe dane empiryczne lub wymagania wobec obiektu ( problem projektowy). Dodatkowe dane mogą pojawić się niezależnie od procesu rozwiązywania problemu odwrotnego ( bierna obserwacja) lub być wynikiem specjalnie zaplanowanego w trakcie rozwiązania eksperymentu ( aktywny nadzór).

Jednym z pierwszych przykładów mistrzowskiego rozwiązania problemu odwrotnego przy pełnym wykorzystaniu dostępnych danych była skonstruowana przez I. Newtona metoda rekonstrukcji sił tarcia na podstawie zaobserwowanych drgań tłumionych.

Dodatkowe przykłady

Gdzie X S- „równowagowa” wielkość populacji, przy której współczynnik urodzeń jest dokładnie kompensowany przez współczynnik zgonów. Liczebność populacji w takim modelu dąży do wartości równowagi X S, a to zachowanie jest strukturalnie stabilne.

Układ ten znajduje się w stanie równowagi, gdy liczba królików i lisów jest stała. Odchylenie od tego stanu powoduje wahania liczebności królików i lisów, podobne do wahań oscylatora harmonicznego. Podobnie jak w przypadku oscylatora harmonicznego, zachowanie to nie jest strukturalnie stabilne: niewielka zmiana w modelu (na przykład uwzględnienie ograniczonych zasobów wymaganych przez króliki) może prowadzić do jakościowej zmiany zachowania. Na przykład stan równowagi może się ustabilizować, a wahania liczb wygasną. Możliwa jest także sytuacja odwrotna, gdy każde niewielkie odchylenie od położenia równowagi doprowadzi do katastrofalnych skutków, aż do całkowitego wyginięcia jednego z gatunków. Model Volterry-Lotki nie odpowiada na pytanie, który z tych scenariuszy się realizuje: potrzebne są tu dodatkowe badania.

Notatki

1. „Matematyczna reprezentacja rzeczywistości” (Encyklopedia Britanica)
2. Nowik I.B., O filozoficznych zagadnieniach modelowania cybernetycznego. M., Wiedza, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelowanie systemów: Proc. dla uniwersytetów - wyd. 3, poprawione. i dodatkowe - M.: Wyżej. szkoła, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Michajłow A. P. Modelowanie matematyczne. Pomysły. Metody. Przykłady. . - wyd. 2, poprawione - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Elementy teorii modeli matematycznych. - wyd. 3, wyd. - M.: KomKniga, 2007. - 192 o numerze ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wikisłownik: model matematyczny
7. Fiszki
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-Nowy Jork, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4
9. „Teorię uważa się za liniową lub nieliniową w zależności od rodzaju aparatu matematycznego – liniowego lub nieliniowego – oraz jakiego rodzaju liniowych lub nieliniowych modeli matematycznych używa. ...nie zaprzeczając temu drugiemu. Współczesny fizyk, gdyby musiał odtworzyć definicję tak ważnej jednostki, jaką jest nieliniowość, najprawdopodobniej postąpiłby inaczej i preferując nieliniowość jako ważniejszą i bardziej rozpowszechnioną z dwóch przeciwieństw, zdefiniowałby liniowość jako „nie nieliniowość.” Daniłow Yu., Wykłady z dynamiki nieliniowej. Podstawowe wprowadzenie. Seria „Synergetyka: od przeszłości do przyszłości”. Wydanie 2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
10. „Układy dynamiczne modelowane za pomocą skończonej liczby równań różniczkowych zwyczajnych nazywane są układami skoncentrowanymi lub punktowymi. Opisane są one za pomocą skończonej wymiarowej przestrzeni fazowej i charakteryzują się skończoną liczbą stopni swobody. Ten sam system w różnych warunkach można uznać za skoncentrowany lub rozproszony. Modele matematyczne systemów rozproszonych to równania różniczkowe cząstkowe, równania całkowe lub zwykłe równania opóźnienia. Liczba stopni swobody systemu rozproszonego jest nieskończona, a do określenia jego stanu potrzeba nieskończonej liczby danych. Anishchenko V. S., Systemy dynamiczne, Czasopismo edukacyjne Sorosa, 1997, nr 11, s. 25. 77-84.
11. „W zależności od charakteru badanych procesów w systemie S wszystkie rodzaje modelowania można podzielić na deterministyczne i stochastyczne, statyczne i dynamiczne, dyskretne, ciągłe i dyskretno-ciągłe. Modelowanie deterministyczne odzwierciedla procesy deterministyczne, to znaczy procesy, w których zakłada się brak jakichkolwiek wpływów przypadkowych; modelowanie stochastyczne przedstawia procesy i zdarzenia probabilistyczne. ... Modelowanie statyczne służy do opisu zachowania obiektu w dowolnym momencie, a modelowanie dynamiczne odzwierciedla zachowanie obiektu w czasie. Modelowanie dyskretne stosuje się odpowiednio do opisu procesów, które z założenia są dyskretne, modelowanie ciągłe pozwala na odzwierciedlenie procesów ciągłych w systemach, a modelowanie dyskretno-ciągłe stosuje się w przypadkach, gdy chcemy podkreślić obecność zarówno procesów dyskretnych, jak i ciągłych. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelowanie systemów: Proc. dla uniwersytetów - wyd. 3, poprawione. i dodatkowe - M.: Wyżej. szkoła, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
12. Zazwyczaj model matematyczny odzwierciedla strukturę (urządzenie) modelowanego obiektu, właściwości i zależności elementów składowych tego obiektu, które są istotne dla celów badawczych; taki model nazywa się strukturalnym. Jeśli model odzwierciedla jedynie to, jak obiekt funkcjonuje – na przykład, jak reaguje na wpływy zewnętrzne – wówczas nazywa się go funkcjonalnym lub w przenośni czarną skrzynką. Możliwe są również modele łączone. Myshkis A. D., Elementy teorii modeli matematycznych. - wyd. 3, wyd. - M.: KomKniga, 2007. - 192 o numerze ISBN 978-5-484-00953-4
13. „Oczywistym, ale najważniejszym początkowym etapem konstruowania lub wyboru modelu matematycznego jest uzyskanie możliwie jasnego obrazu modelowanego obiektu i dopracowanie jego sensownego modelu w oparciu o nieformalne dyskusje. Na tym etapie nie należy tracić czasu i wysiłku; od tego w dużej mierze zależy powodzenie całego badania. Niejednokrotnie zdarzało się, że znaczna praca włożona w rozwiązanie problemu matematycznego okazywała się nieskuteczna lub wręcz zmarnowana z powodu niewystarczającego zainteresowania tą stroną zagadnienia.” Myshkis A. D., Elementy teorii modeli matematycznych. - wyd. 3, wyd. - M.: KomKniga, 2007. - 192 z ISBN 978-5-484-00953-4, s. 10-10. 35.
14. « Opis modelu koncepcyjnego systemu. Na tym podetapie budowy modelu systemu: a) model pojęciowy M jest opisany za pomocą abstrakcyjnych terminów i koncepcji; b) opis modelu podano przy użyciu standardowych schematów matematycznych; c) ostateczne przyjęcie hipotez i założeń; d) wybór procedury aproksymacji procesów rzeczywistych przy budowie modelu jest uzasadniony.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelowanie systemów: Proc. dla uniwersytetów - wyd. 3, poprawione. i dodatkowe - M.: Wyżej. szkoła, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 1 93.
15. Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Matematyka stosowana: Przedmiot, logika, cechy podejść. Z przykładami z mechaniki: Podręcznik. - wyd. 3, wyd. i dodatkowe - M.: URSS, 2006. - 376 s. ISBN 5-484-00163-3, rozdział 2.

Wykład 1.

METODOLOGICZNE PODSTAWY MODELOWANIA

Aktualny stan problemu modelowania systemów

Koncepcje modelowania i symulacji

Modelowanie można uznać za zastąpienie badanego obiektu (oryginału) jego konwencjonalnym obrazem, opisem lub innym obiektem tzw Model i zapewnienie zachowania zbliżonego do oryginału w ramach pewnych założeń i dopuszczalnych błędów. Modelowanie zwykle przeprowadza się w celu zrozumienia właściwości oryginału poprzez badanie jego modelu, a nie samego obiektu. Oczywiście modelowanie jest uzasadnione, gdy jest prostsze niż stworzenie samego oryginału, lub gdy z jakichś powodów lepiej nie tworzyć oryginału w ogóle.

Pod Model rozumie się obiekt fizyczny lub abstrakcyjny, którego właściwości są w pewnym sensie podobne do właściwości badanego obiektu. W tym przypadku wymagania dotyczące modelu są określone przez rozwiązywany problem i dostępne środki. Istnieje szereg ogólnych wymagań dotyczących modeli:

2) kompletność – zapewnienie odbiorcy wszystkich niezbędnych informacji

o przedmiocie;

3) elastyczność - umiejętność odtwarzania różnych sytuacji we wszystkim

zakres zmian warunków i parametrów;

4) złożoność zabudowy musi być akceptowalna dla istniejącej

czas i oprogramowanie.

Modelowanie to proces konstruowania modelu obiektu i badania jego właściwości poprzez badanie modelu.

Zatem modelowanie obejmuje 2 główne etapy:

1) opracowanie modelu;

2) badanie modelu i wyciąganie wniosków.

Jednocześnie na każdym etapie rozwiązywane są różne zadania i

zasadniczo różne metody i środki.

W praktyce stosuje się różne metody modelowania. W zależności od sposobu realizacji wszystkie modele można podzielić na dwie duże klasy: fizyczną i matematyczną.

Modelowanie matematyczne Zwykle uważa się je za sposób badania procesów lub zjawisk przy użyciu ich modeli matematycznych.

Pod modelowanie fizyczne odnosi się do badania obiektów i zjawisk na modelach fizycznych, gdy badany proces jest odtwarzany z zachowaniem jego natury fizycznej lub wykorzystuje się inne zjawisko fizyczne podobne do badanego. W której modele fizyczne Z reguły zakładają rzeczywiste ucieleśnienie tych właściwości fizycznych oryginału, które są istotne w konkretnej sytuacji. Na przykład podczas projektowania nowego samolotu tworzona jest makieta, która ma te same właściwości aerodynamiczne; Planując zabudowę, architekci wykonują makietę odzwierciedlającą przestrzenny układ jej elementów. W związku z tym nazywa się również modelowanie fizyczne prototypowanie.

Modelowanie półtrwania to badanie układów sterowalnych na kompleksach modelowych z uwzględnieniem w modelu rzeczywistego sprzętu. Oprócz sprzętu rzeczywistego model zamknięty obejmuje symulatory wpływów i zakłóceń, modele matematyczne środowiska zewnętrznego oraz procesy, dla których nie jest znany wystarczająco dokładny opis matematyczny. Włączenie rzeczywistych urządzeń lub rzeczywistych systemów do schematu modelowania złożonych procesów pozwala na redukcję niepewności apriorycznej i badanie procesów, dla których nie ma dokładnego opisu matematycznego. Stosując modelowanie półnaturalne, badania prowadzone są z uwzględnieniem małych stałych czasowych i liniowości właściwych dla rzeczywistego sprzętu. Podczas badania modeli przy użyciu prawdziwego sprzętu stosuje się tę koncepcję symulacja dynamiczna, podczas badania złożonych systemów i zjawisk - ewolucyjny, imitacja I modelowanie cybernetyczne.

Oczywiście rzeczywiste korzyści z modelowania można uzyskać tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:

1) model zapewnia prawidłowe (odpowiednie) wyświetlanie właściwości

oryginał, istotny z punktu widzenia badanej operacji;

2) model pozwala wyeliminować wymienione powyżej problemy nieodłącznie

prowadzenie badań na obiektach rzeczywistych.

2. Podstawowe pojęcia modelowania matematycznego

Rozwiązywanie problemów praktycznych metodami matematycznymi konsekwentnie realizuje się poprzez sformułowanie problemu (opracowanie modelu matematycznego), wybór metody badania powstałego modelu matematycznego i analizę uzyskanego wyniku matematycznego. Matematyczne sformułowanie problemu jest zwykle przedstawiane w postaci obrazów geometrycznych, funkcji, układów równań itp. Opis obiektu (zjawiska) można przedstawić za pomocą form ciągłych lub dyskretnych, deterministycznych lub stochastycznych i innych form matematycznych.

Teoria modelowania matematycznego zapewnia identyfikację wzorców występowania różnych zjawisk w otaczającym świecie lub działaniu systemów i urządzeń poprzez ich matematyczny opis i modelowanie bez przeprowadzania badań w pełnej skali. W tym przypadku stosuje się przepisy i prawa matematyki, które opisują symulowane zjawiska, systemy lub urządzenia na pewnym poziomie ich idealizacji.

Model matematyczny (MM) to sformalizowany opis systemu (lub operacji) w jakimś abstrakcyjnym języku, na przykład w postaci zbioru zależności matematycznych lub diagramu algorytmu, tj. czyli taki opis matematyczny, który zapewnia symulację działania systemów lub urządzeń na poziomie wystarczająco zbliżonym do ich rzeczywistego zachowania uzyskanego podczas pełnoskalowych testów systemów lub urządzeń.

Każdy MM opisuje rzeczywisty obiekt, zjawisko lub proces z pewnym stopniem zbliżenia do rzeczywistości. Rodzaj MM zależy zarówno od charakteru obiektu rzeczywistego, jak i od celów badań.

Modelowanie matematyczne zjawiska społeczne, ekonomiczne, biologiczne i fizyczne, obiekty, systemy i różne urządzenia jest jednym z najważniejszych sposobów zrozumienia przyrody i projektowania szerokiej gamy systemów i urządzeń. Znane są przykłady efektywnego wykorzystania modelowania w tworzeniu technologii nuklearnych, systemów lotniczych i kosmicznych, w prognozowaniu zjawisk atmosferycznych, oceanicznych, pogody itp.

Jednak tak poważne obszary modelowania często wymagają superkomputerów i lat pracy dużych zespołów naukowców w celu przygotowania danych do modelowania i ich debugowania. Jednak w tym przypadku modelowanie matematyczne złożonych systemów i urządzeń nie tylko pozwala zaoszczędzić pieniądze na badaniach i testach, ale może także wyeliminować katastrofy ekologiczne - pozwala na przykład porzucić testowanie broni nuklearnej i termojądrowej na rzecz jej modelowania matematycznego czyli testowanie systemów lotniczych przed ich faktycznym lotem. Dlatego obecnie stało się modelowanie matematyczne na poziomie rozwiązywania prostszych problemów, na przykład z zakresu mechaniki, elektrotechniki, elektroniki, radiotechniki i wielu innych dziedzin nauki i technologii. dostępne do działania na nowoczesnych komputerach PC. A korzystając z uogólnionych modeli, możliwa staje się symulacja dość złożonych systemów, na przykład systemów i sieci telekomunikacyjnych, systemów radarowych lub radionawigacyjnych.

Cel modelowania matematycznego to analiza rzeczywistych procesów (w przyrodzie lub technologii) za pomocą metod matematycznych. To z kolei wymaga sformalizowania badanego procesu MM. Model może być wyrażeniem matematycznym zawierającym zmienne, których zachowanie jest podobne do zachowania układu rzeczywistego. Model może zawierać elementy losowości uwzględniające prawdopodobieństwa możliwe działania dwóch lub więcej „graczy”, jak na przykład w grach teoretycznych; lub może reprezentować rzeczywiste zmienne wzajemnie połączonych części systemu operacyjnego.

Modelowanie matematyczne do badania charakterystyk systemów można podzielić na analityczne, symulacyjne i łączone. Z kolei MM dzielą się na symulacyjne i analityczne.

Modelowanie analityczne

Dla modelowanie analityczne Charakterystyczne jest, że procesy funkcjonowania systemu zapisywane są w postaci pewnych zależności funkcjonalnych (równania algebraiczne, różniczkowe, całkowe). Model analityczny można badać następującymi metodami:

1) analityczne, gdy dążą do uzyskania w formie ogólnej jawnych zależności dla charakterystyk systemów;

2) numeryczne, gdy nie można znaleźć rozwiązania równań w postaci ogólnej i rozwiązuje się je dla określonych danych początkowych;

3) jakościowy, gdy w przypadku braku rozwiązania zostaną znalezione niektóre jego właściwości.

Modele analityczne można uzyskać jedynie dla stosunkowo prostych systemów. W przypadku złożonych systemów często pojawiają się duże problemy matematyczne. Aby zastosować metodę analityczną, idą do znacznego uproszczenia pierwotnego modelu. Badania z wykorzystaniem modelu uproszczonego pozwalają jednak uzyskać jedynie wyniki orientacyjne. Modele analityczne matematycznie poprawnie odzwierciedlają związek pomiędzy zmiennymi i parametrami wejściowymi i wyjściowymi. Jednak ich struktura nie odzwierciedla wewnętrznej struktury obiektu.

Podczas modelowania analitycznego jego wyniki prezentowane są w postaci wyrażeń analitycznych. Na przykład poprzez połączenie RC- podłączenie do źródła stałego napięcia mi(R, C I mi- elementy tego modelu) możemy stworzyć analityczne wyrażenie na zależność napięcia od czasu ty(T) na kondensatorze C:

To liniowe równanie różniczkowe (DE) jest modelem analitycznym tego prostego obwodu liniowego. Jego rozwiązanie analityczne, pod warunkiem początkowym ty(0) = 0, co oznacza rozładowany kondensator C na początku modelowania pozwala znaleźć pożądaną zależność - w postaci wzoru:

ty(T) = mi(1− byłyP(- T/RC)). (2)

Jednak nawet w tym najprostszym przykładzie rozwiązanie DE (1) lub zastosowanie wymaga pewnych wysiłków systemy matematyki komputerowej(SCM) z obliczeniami symbolicznymi – systemy algebry komputerowej. Do tego zupełnie banalny przypadek rozwiązuje problem modelowania liniowego RC-obwód daje wyrażenie analityczne (2) o dość ogólnej postaci - nadaje się do opisu działania obwodu dla dowolnych wartości znamionowych komponentów R, C I mi i opisuje wykładniczy ładunek kondensatora C poprzez rezystor R ze źródła stałego napięcia mi.

Oczywiście znalezienie rozwiązań analitycznych podczas modelowania analitycznego okazuje się niezwykle cenne dla identyfikacji ogólnych wzorców teoretycznych prostych obwodów liniowych, systemów i urządzeń, jednak jego złożoność gwałtownie wzrasta, gdy wpływy na model stają się coraz bardziej złożone, a kolejność i liczba równania stanu opisujące wzrost modelowanego obiektu. Można uzyskać mniej lub bardziej widoczne rezultaty modelując obiekty drugiego lub trzeciego rzędu, jednak przy wyższym rzędzie wyrażenia analityczne stają się zbyt kłopotliwe, złożone i trudne do zrozumienia. Na przykład nawet prosty wzmacniacz elektroniczny często składa się z kilkudziesięciu elementów. Jednak wiele współczesnych SCM to na przykład systemy matematyki symbolicznej Klon, Mathematica lub środowisko MATLAB, są w stanie w dużym stopniu zautomatyzować rozwiązywanie złożonych problemów związanych z modelowaniem analitycznym.

Jednym z rodzajów modelowania jest modelowanie numeryczne, która polega na uzyskaniu niezbędnych danych ilościowych o zachowaniu się systemów lub urządzeń dowolną odpowiednią metodą numeryczną, taką jak metoda Eulera lub Runge-Kutty. W praktyce modelowanie układów i urządzeń nieliniowych metodami numerycznymi okazuje się znacznie skuteczniejsze niż modelowanie analityczne poszczególnych prywatnych obwodów, układów czy urządzeń liniowych. Np. do rozwiązania układów DE (1) lub DE w bardziej złożonych przypadkach nie da się uzyskać rozwiązania w formie analitycznej, ale korzystając z numerycznych danych symulacyjnych można uzyskać w miarę kompletne dane o zachowaniu symulowanych układów i urządzeń, a także as skonstruuj wykresy zależności opisujące to zachowanie.

Modelowanie symulacyjne

Na imitacja 10i modelowaniu algorytm realizujący model odtwarza proces funkcjonowania systemu w czasie. Symulowane są elementarne zjawiska składające się na proces, z zachowaniem ich logicznej struktury i sekwencji zdarzeń w czasie.

Główną przewagą modeli symulacyjnych nad modelami analitycznymi jest możliwość rozwiązywania bardziej złożonych problemów.

Modele symulacyjne ułatwiają uwzględnienie obecności elementów dyskretnych lub ciągłych, charakterystyk nieliniowych, wpływów losowych itp. Dlatego metoda ta jest szeroko stosowana na etapie projektowania złożonych systemów. Głównym środkiem realizacji modelowania symulacyjnego jest komputer, który pozwala na cyfrowe modelowanie układów i sygnałów.

W tym kontekście zdefiniujmy wyrażenie „ modelowanie komputerowe”, co jest coraz częściej stosowane w literaturze. Załóżmy, że modelowanie komputerowe to modelowanie matematyczne z wykorzystaniem technologii komputerowej. W związku z tym technologia modelowania komputerowego obejmuje wykonanie następujących czynności:

1) określenie celu modelowania;

2) opracowanie modelu koncepcyjnego;

3) formalizacja modelu;

4) programowa implementacja modelu;

5) planowanie eksperymentów modelowych;

6) realizację planu doświadczenia;

7) analiza i interpretacja wyników modelowania.

Na modelowanie symulacyjne zastosowany MM odtwarza algorytm („logikę”) funkcjonowania badanego systemu w czasie dla różnych kombinacji wartości parametrów systemu i środowiska zewnętrznego.

Przykładem najprostszego modelu analitycznego jest równanie prostoliniowego ruchu jednostajnego. Badając taki proces za pomocą modelu symulacyjnego, należy oczywiście zastosować obserwację zmian przebytej ścieżki w czasie. Oczywiście w niektórych przypadkach bardziej preferowane jest modelowanie analityczne, w innych - symulacja (lub kombinacja obu). Aby dokonać pomyślnego wyboru, należy odpowiedzieć na dwa pytania.

Jaki jest cel modelowania?

Do jakiej klasy można zaliczyć modelowane zjawisko?

Odpowiedzi na oba te pytania można uzyskać już w trakcie dwóch pierwszych etapów modelowania.

Modele symulacyjne nie tylko właściwościami, ale także strukturą odpowiadają modelowanemu obiektowi. W tym przypadku istnieje jednoznaczna i oczywista zgodność pomiędzy procesami uzyskanymi na modelu a procesami zachodzącymi na obiekcie. Wadą symulacji jest to, że rozwiązanie problemu w celu uzyskania dobrej dokładności zajmuje dużo czasu.

Wynikiem modelowania symulacyjnego działania układu stochastycznego są realizacje zmiennych losowych lub procesów. Dlatego, aby znaleźć charakterystykę systemu, wymagane są wielokrotne powtórzenia i późniejsze przetwarzanie danych. Najczęściej w tym przypadku stosuje się rodzaj symulacji - statystyczny

modelowanie(lub metoda Monte Carlo), tj. reprodukcja czynników losowych, zdarzeń, wielkości, procesów, pól w modelach.

Na podstawie wyników modelowania statystycznego wyznaczane są szacunki probabilistycznych kryteriów jakości, ogólnych i szczegółowych, charakteryzujących funkcjonowanie i efektywność zarządzanego systemu. Modelowanie statystyczne jest szeroko stosowane do rozwiązywania problemów naukowych i stosowanych w różnych dziedzinach nauki i technologii. Metody modelowania statystycznego znajdują szerokie zastosowanie w badaniu złożonych układów dynamicznych, ocenie ich funkcjonowania i efektywności.

Ostatni etap modelowania statystycznego polega na matematycznym przetwarzaniu uzyskanych wyników. Wykorzystuje się tu metody statystyki matematycznej (estymacja parametryczna i nieparametryczna, testowanie hipotez). Przykładem estymatora parametrycznego jest średnia próbki miary wydajności. Wśród metod nieparametrycznych powszechne metoda histogramu.

Rozważany schemat opiera się na wielokrotnych testach statystycznych systemu i metodach statystyki niezależnych zmiennych losowych. Schemat ten nie zawsze jest naturalny w praktyce i optymalny pod względem kosztów. Skrócenie czasu testowania systemu można osiągnąć poprzez zastosowanie dokładniejszych metod oceny. Jak wiadomo ze statystyki matematycznej, szacunki efektywne mają największą dokładność dla danej liczebności próby. Filtrowanie optymalne i metoda największej wiarygodności zapewniają ogólną metodę uzyskiwania takich szacunków. W problemach modelowania statystycznego implementacje przetwarzania procesów losowych są konieczne nie tylko do analizy procesów wyjściowych.

Bardzo ważna jest także kontrola charakterystyki wejściowych wpływów losowych. Kontrola polega na sprawdzaniu zgodności rozkładów wygenerowanych procesów z zadanymi rozkładami. Problem ten jest często formułowany jako problem testowania hipotez.

Ogólnym trendem w modelowaniu komputerowym złożonych układów sterowanych jest chęć skrócenia czasu modelowania, a także prowadzenia badań w czasie rzeczywistym. Wygodne jest reprezentowanie algorytmów obliczeniowych w formie rekurencyjnej, co pozwala na ich realizację w tempie otrzymywania bieżących informacji.

ZASADY PODEJŚCIA SYSTEMOWEGO W MODELOWANIU

Podstawowe zasady teorii systemów

Podstawowe zasady teorii systemów powstały podczas badania układów dynamicznych i ich elementów funkcjonalnych. System rozumiany jest jako grupa wzajemnie powiązanych elementów, które współdziałają w celu wykonania z góry określonego zadania. Analiza systemów pozwala na określenie najbardziej realistycznych sposobów wykonania danego zadania, zapewniających maksymalne spełnienie postawionych wymagań.

Elementy stanowiące podstawę teorii systemów nie są tworzone na podstawie hipotez, ale odkrywane eksperymentalnie. Aby przystąpić do budowy systemu niezbędna jest ogólna charakterystyka procesów technologicznych. To samo dotyczy zasad tworzenia matematycznie sformułowanych kryteriów, jakie musi spełniać proces lub jego opis teoretyczny. Modelowanie jest jedną z najważniejszych metod badań naukowych i eksperymentów.

Przy konstruowaniu modeli obiektów stosuje się podejście systemowe, będące metodologią rozwiązywania złożonych problemów, polegającą na rozpatrywaniu obiektu jako systemu działającego w określonym środowisku. Podejście systematyczne polega na ujawnieniu integralności obiektu, identyfikacji i badaniu jego struktury wewnętrznej, a także powiązań ze środowiskiem zewnętrznym. W tym przypadku obiekt jest przedstawiany jako część świata rzeczywistego, która jest izolowana i badana w powiązaniu z problemem konstruowania modelu. Ponadto podejście systemowe zakłada konsekwentne przejście od ogółu do szczegółu, gdy podstawą rozważań jest cel projektowy, a obiekt rozpatrywany jest w odniesieniu do otoczenia.

Obiekt złożony można podzielić na podsystemy, będące częściami obiektu spełniającymi następujące wymagania:

1) podsystem jest funkcjonalnie niezależną częścią obiektu. Jest powiązany z innymi podsystemami, wymienia z nimi informacje i energię;

2) dla każdego podsystemu można określić funkcje lub właściwości, które nie pokrywają się z właściwościami całego systemu;

3) każdy z podsystemów może zostać poddany dalszemu podziałowi na poziom elementów.

Przez element rozumie się w tym przypadku podsystem niższego poziomu, którego dalszy podział jest niewłaściwy z punktu widzenia rozwiązywanego problemu.

Zatem system można zdefiniować jako reprezentację obiektu w postaci zestawu podsystemów, elementów i połączeń w celu jego tworzenia, badań lub udoskonalania. W tym przypadku powiększona reprezentacja systemu, obejmująca główne podsystemy i połączenia między nimi, nazywana jest makrostrukturą, a szczegółowe ujawnienie wewnętrznej struktury systemu aż do poziomu elementów nazywa się mikrostrukturą.

Wraz z systemem zwykle występuje nadsystem – system wyższego poziomu, w skład którego wchodzi dany obiekt, a funkcję dowolnego systemu można określić jedynie za pośrednictwem nadsystemu.

Należy podkreślić koncepcję środowiska jako zbioru obiektów świata zewnętrznego, które w istotny sposób wpływają na efektywność systemu, ale nie są częścią systemu i jego nadsystemu.

W związku z podejściem systemowym do budowania modeli stosuje się pojęcie infrastruktury, które opisuje relację systemu z jego otoczeniem (otoczeniem), w tym przypadku identyfikacja, opis i badanie właściwości obiektu, które są istotne w ramach określonego zadania nazywa się stratyfikację obiektu, a każdy model obiektu jest jego warstwowym opisem.

W podejściu systemowym ważne jest określenie struktury systemu, tj. zbiór powiązań pomiędzy elementami systemu, odzwierciedlający ich interakcję. Aby to zrobić, najpierw rozważymy strukturalne i funkcjonalne podejście do modelowania.

W podejściu strukturalnym ujawnia się skład wybranych elementów systemu i powiązania między nimi. Zestaw elementów i połączeń pozwala nam ocenić strukturę systemu. Najbardziej ogólnym opisem konstrukcji jest opis topologiczny. Pozwala określić elementy systemu i ich połączenia za pomocą wykresów. Mniej ogólny jest opis funkcjonalny, gdy uwzględnia się poszczególne funkcje, czyli algorytmy zachowania systemu. W tym przypadku wdrażane jest podejście funkcjonalne, które definiuje funkcje, jakie realizuje system.

W oparciu o podejście systemowe można zaproponować sekwencję rozwoju modelu, w której wyróżnia się dwa główne etapy projektowania: makroprojekt i mikroprojekt.

Na etapie makroprojektu budowany jest model środowiska zewnętrznego, identyfikowane są zasoby i ograniczenia, wybierany jest model systemu oraz kryteria oceny adekwatności.

Etap mikroprojektu zależy w dużej mierze od konkretnego rodzaju wybranego modelu. Ogólnie rzecz biorąc, polega ona na tworzeniu systemów modelowania informacyjnego, matematycznego, technicznego i programowego. Na tym etapie ustalane są główne parametry techniczne utworzonego modelu, szacuje się czas potrzebny na pracę z nim oraz koszt zasobów potrzebnych do uzyskania określonej jakości modelu.

Niezależnie od rodzaju modelu, przy jego konstruowaniu należy kierować się szeregiem zasad systematycznego podejścia:

1) konsekwentne przechodzenie przez kolejne etapy tworzenia modelu;

2) koordynacja informacji, zasobów, niezawodności i innych cech;

3) prawidłowe powiązanie pomiędzy różnymi poziomami konstrukcji modelu;

4) integralność poszczególnych etapów projektowania modelu.

W tym artykule oferujemy przykłady modeli matematycznych. Ponadto zwrócimy uwagę na etapy tworzenia modeli i przeanalizujemy niektóre problemy związane z modelowaniem matematycznym.

Kolejnym pytaniem, jakie mamy, są modele matematyczne w ekonomii, których przykładom przyjrzymy się definicji nieco później. Proponujemy rozpocząć naszą rozmowę od samego pojęcia „modelu”, krótko rozważyć ich klasyfikację i przejść do naszych głównych pytań.

Pojęcie „modelu”

Często słyszymy słowo „model”. Co to jest? Termin ten ma wiele definicji, oto tylko trzy z nich:

• konkretny przedmiot, który służy do przyjmowania i przechowywania informacji, odzwierciedlających pewne właściwości lub cechy itp. oryginału tego przedmiotu (ten konkretny przedmiot można wyrazić w różnych formach: mentalnej, opisu za pomocą znaków itp.);
• Model oznacza także przedstawienie konkretnej sytuacji, życia lub zarządzania;
• model może być pomniejszoną kopią obiektu (są tworzone w celu bardziej szczegółowych badań i analiz, ponieważ model odzwierciedla strukturę i zależności).

Na podstawie wszystkiego, co powiedziano wcześniej, możemy wyciągnąć mały wniosek: model pozwala szczegółowo zbadać złożony system lub obiekt.

Wszystkie modele można klasyfikować według szeregu cech:

• według obszaru zastosowania (edukacyjne, eksperymentalne, naukowo-techniczne, gry, symulacje);
• przez dynamikę (statyczną i dynamiczną);
• według gałęzi wiedzy (fizycznej, chemicznej, geograficznej, historycznej, socjologicznej, ekonomicznej, matematycznej);
• według sposobu prezentacji (materialnego i informacyjnego).

Modele informacyjne z kolei dzielą się na symboliczne i werbalne. I symboliczne - na komputerowe i niekomputerowe. Przejdźmy teraz do szczegółowego rozważenia przykładów modelu matematycznego.

Model matematyczny

Jak można się domyślić, model matematyczny odzwierciedla wszelkie cechy obiektu lub zjawiska za pomocą specjalnych symboli matematycznych. Matematyka jest potrzebna, aby modelować wzorce otaczającego świata w jego własnym, specyficznym języku.

Metoda modelowania matematycznego powstała dość dawno temu, tysiące lat temu, wraz z pojawieniem się tej nauki. Jednak impuls do rozwoju tej metody modelowania dało pojawienie się komputerów (komputerów elektronicznych).

Przejdźmy teraz do klasyfikacji. Można to również przeprowadzić zgodnie z pewnymi znakami. Zostały one zaprezentowane w poniższej tabeli.

Proponujemy zatrzymać się i przyjrzeć się bliżej najnowszej klasyfikacji, gdyż odzwierciedla ona ogólne wzorce modelowania i cele tworzonych modeli.

Modele opisowe

W tym rozdziale proponujemy bardziej szczegółowo przyjrzeć się opisowym modelom matematycznym. Aby wszystko było bardzo jasne, zostanie podany przykład.

Zacznijmy od tego, że ten typ można nazwać opisowym. Wynika to z faktu, że po prostu dokonujemy obliczeń i prognoz, ale nie możemy w żaden sposób wpłynąć na wynik wydarzenia.

Uderzającym przykładem opisowego modelu matematycznego jest obliczenie toru lotu, prędkości i odległości od Ziemi komety, która najechała obszary naszego Układu Słonecznego. Model ten ma charakter opisowy, ponieważ wszystkie uzyskane wyniki mogą nas jedynie ostrzec przed jakimkolwiek niebezpieczeństwem. Niestety nie mamy wpływu na przebieg wydarzenia. Jednak na podstawie uzyskanych obliczeń możliwe jest podjęcie wszelkich działań mających na celu zachowanie życia na Ziemi.

Modele optymalizacyjne

Teraz porozmawiamy trochę o modelach ekonomicznych i matematycznych, których przykłady mogą służyć jako różne bieżące sytuacje. W tym przypadku mówimy o modelach, które pomagają znaleźć poprawną odpowiedź pod pewnymi warunkami. Na pewno mają jakieś parametry. Aby było to całkowicie jasne, spójrzmy na przykład z sektora rolnego.

Mamy spichlerz, ale ziarno bardzo szybko się psuje. W tym przypadku musimy wybrać odpowiednie warunki temperaturowe i zoptymalizować proces przechowywania.

Można zatem zdefiniować pojęcie „modelu optymalizacji”. W sensie matematycznym jest to układ równań (zarówno liniowych, jak i nie), których rozwiązanie pomaga znaleźć rozwiązanie optymalne w konkretnej sytuacji gospodarczej. Przyjrzeliśmy się przykładowi modelu matematycznego (optymalizacji), ale chciałbym dodać: ten typ należy do klasy problemów ekstremalnych, pomagają opisać funkcjonowanie systemu gospodarczego.

Zwróćmy uwagę na jeszcze jeden niuans: modele mogą mieć różny charakter (patrz tabela poniżej).

Modele wielokryterialne

Teraz zapraszamy do krótkiej rozmowy na temat matematycznego modelu optymalizacji wielokryterialnej. Wcześniej podaliśmy przykład modelu matematycznego optymalizacji procesu według jednego kryterium, ale co, jeśli jest ich wiele?

Uderzającym przykładem zadania wielokryterialnego jest organizacja prawidłowego, zdrowego, a jednocześnie ekonomicznego żywienia dużych grup ludzi. Z takimi zadaniami często spotykamy się w wojsku, stołówkach szkolnych, obozach letnich, szpitalach i tak dalej.

Jakie kryteria są nam dane w tym zadaniu?

1. Odżywianie powinno być zdrowe.
2. Wydatki na żywność powinny być minimalne.

Jak widać cele te wcale się nie pokrywają. Oznacza to, że rozwiązując problem należy szukać rozwiązania optymalnego, równowagi pomiędzy dwoma kryteriami.

Modele gier

Mówiąc o modelach gier, konieczne jest zrozumienie pojęcia „teorii gier”. Mówiąc najprościej, modele te odzwierciedlają modele matematyczne rzeczywistych konfliktów. Musisz tylko zrozumieć, że w przeciwieństwie do prawdziwego konfliktu, model matematyczny gry rządzi się swoimi własnymi, specyficznymi zasadami.

Teraz podamy minimum informacji z teorii gier, które pomogą Ci zrozumieć, czym jest model gry. I tak model koniecznie zawiera strony (dwie lub więcej), które zwykle nazywane są graczami.

Wszystkie modele mają pewne cechy.

Model gry może być sparowany lub wielokrotny. Jeśli mamy dwa podmioty, to konflikt jest parzysty, jeśli jest ich więcej, jest wielokrotny. Można wyróżnić także grę antagonistyczną, zwaną także grą o sumie zerowej. Jest to model, w którym zysk jednego z uczestników jest równy stracie drugiego.

Modele symulacyjne

W tej części zwrócimy uwagę na symulacyjne modele matematyczne. Przykładowe zadania obejmują:

• model dynamiki populacji mikroorganizmów;
• model ruchu molekularnego i tak dalej.

W tym przypadku mówimy o modelach jak najbardziej zbliżonych do rzeczywistych procesów. Ogólnie rzecz biorąc, imitują pewne przejawy natury. W pierwszym przypadku możemy np. symulować dynamikę liczby mrówek w jednej kolonii. Jednocześnie możesz obserwować losy każdej indywidualnej osoby. W tym przypadku rzadko stosuje się opis matematyczny; częściej występują warunki pisemne:

• po pięciu dniach samica składa jaja;
• po dwudziestu dniach mrówka umiera i tak dalej.

Dlatego używa się ich do opisu dużego systemu. Konkluzją matematyczną jest przetwarzanie uzyskanych danych statystycznych.

Wymagania

Bardzo ważne jest, aby wiedzieć, że tego typu model ma pewne wymagania, między innymi te wymienione w poniższej tabeli.

Etapy modelowania

W sumie modelowanie matematyczne dzieli się zwykle na cztery etapy.

1. Formułowanie praw łączących części modelu.
2. Badanie problemów matematycznych.
3. Wyznaczanie zbieżności wyników praktycznych i teoretycznych.
4. Analiza i modernizacja modelu.

Model ekonomiczny i matematyczny

W tej sekcji pokrótce przedstawimy tę kwestię. Przykładowe zadania obejmują:

• utworzenie programu produkcyjnego do produkcji wyrobów mięsnych zapewniającego maksymalne zyski produkcyjne;
• maksymalizacja zysku organizacji poprzez obliczenie optymalnej ilości stołów i krzeseł wyprodukowanych w fabryce mebli i tak dalej.

Model ekonomiczno-matematyczny charakteryzuje się abstrakcją ekonomiczną, która wyraża się za pomocą terminów i symboli matematycznych.

Komputerowy model matematyczny

Przykładami komputerowego modelu matematycznego są:

• problemy hydrauliczne z wykorzystaniem schematów blokowych, diagramów, tabel itp.;
• problemy z mechaniką bryłową i tak dalej.

Model komputerowy to obraz obiektu lub systemu, przedstawiony w postaci:

• stoły;
• schematy blokowe;
• diagramy;
• grafika i tak dalej.

Ponadto model ten odzwierciedla strukturę i wzajemne powiązania systemu.

Budowa modelu ekonomiczno-matematycznego

Mówiliśmy już o tym, czym jest model ekonomiczno-matematyczny. Przykład rozwiązania problemu zostanie teraz rozważony. Musimy przeanalizować program produkcyjny, aby zidentyfikować rezerwę na zwiększenie zysków wraz ze zmianą asortymentu.

Nie będziemy w pełni rozważać problemu, a jedynie zbudujemy model ekonomiczny i matematyczny. Kryterium naszego zadania jest maksymalizacja zysku. Wtedy funkcja ma postać: А=р1*х1+р2*х2..., dążąc do maksimum. W tym modelu p to zysk na jednostkę, a x to liczba wyprodukowanych jednostek. Następnie na podstawie skonstruowanego modelu należy wykonać obliczenia i podsumować.

Przykład budowy prostego modelu matematycznego

Zadanie. Rybak wrócił z następującym połowem:

• 8 ryb - mieszkańcy mórz północnych;
• 20% połowów stanowią mieszkańcy mórz południowych;
• W miejscowej rzece nie znaleziono ani jednej ryby.

Ile ryb kupił w sklepie?

Przykład konstrukcji modelu matematycznego tego problemu jest więc następujący. Całkowitą liczbę ryb oznaczamy przez x. Zgodnie z warunkiem 0,2x to liczba ryb żyjących na południowych szerokościach geograficznych. Teraz łączymy wszystkie dostępne informacje i otrzymujemy matematyczny model problemu: x=0,2x+8. Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy odpowiedź na główne pytanie: kupił w sklepie 10 ryb.