Dwusieczna prostopadła w trójkącie prostokątnym. Okrąg opisany na trójkącie. Trójkąt wpisany w okrąg

Dowody twierdzeń o własnościach okręgu opisanego na trójkącie

Dwusieczna prostopadła do odcinka linii

Definicja 1. Dwusieczna prostopadła do odcinka nazywaną linią prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez jego środek (ryc. 1).

Twierdzenie 1. Znajduje się każdy punkt dwusiecznej prostopadłej do odcinka w tej samej odległości od końcówek ten segment.

Dowód . Rozważmy dowolny punkt D leżący na dwusiecznej odcinka AB (rys. 2) i udowodnijmy, że trójkąty ADC i BDC są równe.

Rzeczywiście, te trójkąty są trójkątami prostokątnymi, w których nogi AC i BC są równe, a noga DC jest wspólna. Z równości trójkątów ADC i BDC wynika równość odcinków AD i DB. Twierdzenie 1 zostało udowodnione.

Twierdzenie 2 (odwrotne do twierdzenia 1). Jeżeli punkt znajduje się w tej samej odległości od końców odcinka, to leży na dwusiecznej prostopadłej do tego odcinka.

Dowód . Udowodnimy Twierdzenie 2 przez sprzeczność. Załóżmy w tym celu, że jakiś punkt E leży w tej samej odległości od końców odcinka, ale nie leży na dwusiecznej prostopadłej do tego odcinka. Doprowadźmy to założenie do sprzeczności. Rozważmy najpierw przypadek, gdy punkty E i A leżą po przeciwnych stronach dwusiecznej prostopadłej (rys. 3). W tym przypadku odcinek EA przecina w pewnym punkcie dwusieczną, co będziemy oznaczać literą D.

Udowodnijmy, że odcinek AE jest dłuższy od odcinka EB. Naprawdę,

Zatem w przypadku, gdy punkty E i A leżą po przeciwnych stronach dwusiecznej prostopadłej, mamy sprzeczność.

Rozważmy teraz przypadek, gdy punkty E i A leżą po tej samej stronie dwusiecznej prostopadłej (ryc. 4). Udowodnijmy, że odcinek EB jest dłuższy od odcinka AE. Naprawdę,

Powstała sprzeczność kończy dowód Twierdzenia 2

Okrąg opisany na trójkącie

Definicja 2. Okrąg opisany na trójkącie, nazywa się okręgiem przechodzącym przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta (ryc. 5). W tym przypadku nazywa się trójkąt trójkąt wpisany w okrąg Lub wpisany trójkąt.

Własności okręgu opisanego na trójkącie. Twierdzenie o sinusach

Postać	Rysunek	Nieruchomość
Dwusieczne prostopadłe do boków trójkąta		przecinają się w jednym punkcie .

Centrum okrąg opisany na ostrym trójkącie		Centrum opisane o ostry kąt wewnątrz trójkąt.
Centrum okrąg opisany na trójkącie prostokątnym		Centrum opisane o prostokątny środek przeciwprostokątnej .
Centrum okrąg opisany na trójkącie rozwartym		Centrum opisane o rozwartokątny koło trójkąta leży poza trójkąt.
		,
Kwadrat trójkąt		S= 2R 2 grzech A grzech B grzech C ,
Promień okrężny		Dla dowolnego trójkąta prawdziwa jest równość:

Dwusieczne prostopadłe do boków trójkąta

Wszystkie prostopadłe dwusieczne , pociągnięty do boków dowolnego trójkąta, przecinają się w jednym punkcie .

Okrąg opisany na trójkącie

Każdy trójkąt może być otoczony okręgiem . Środek okręgu opisanego na trójkącie to punkt, w którym przecinają się wszystkie dwusieczne prostopadłe poprowadzone do boków trójkąta.

Środek okręgu opisanego na ostrym trójkącie

Centrum opisane o ostry kąt koło trójkąta leży wewnątrz trójkąt.

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym

Centrum opisane o prostokątny koło trójkąta jest środek przeciwprostokątnej .

Środek okręgu opisanego na trójkącie rozwartym

Centrum opisane o rozwartokątny koło trójkąta leży poza trójkąt.

Dla dowolnego trójkąta prawdziwe są następujące równości (twierdzenie sinus):

gdzie a, b, c to boki trójkąta, A, B, C to kąty trójkąta, R to promień opisanego koła.

Pole trójkąta

Dla dowolnego trójkąta prawdziwa jest równość:

S= 2R 2 grzech A grzech B grzech C ,

gdzie A, B, C to kąty trójkąta, S to powierzchnia trójkąta, R to promień opisanego koła.

Promień okrężny

Dla dowolnego trójkąta prawdziwa jest równość:

gdzie a, b, c to boki trójkąta, S to powierzchnia trójkąta, R to promień opisanego koła.

Dowody twierdzeń o własnościach okręgu opisanego na trójkącie

Twierdzenie 3. Wszystkie prostopadłe dwusieczne poprowadzone do boków dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Dowód . Rozważmy dwie prostopadłe dwusieczne poprowadzone do boków AC i AB trójkąta ABC i oznaczmy ich punkt przecięcia literą O (rys. 6).

Ponieważ punkt O leży na dwusiecznej odcinka AC, to na mocy Twierdzenia 1 równość jest prawdziwa.

Dwusieczna prostopadła (mediana prostopadła Lub pośredniczka) - linia prosta prostopadła do danego odcinka i przechodząca przez jego środek.

Nieruchomości

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

gdzie indeks dolny oznacza bok, do którego narysowana jest prostopadła,

S

jest polem trójkąta i zakłada się również, że boki są powiązane nierównościami

a\geqslant b\geqslant c.

p_a\geq p_b

p_c\geq p_b.

Inaczej mówiąc, najmniejsza dwusieczna prostopadła trójkąta należy do odcinka środkowego.

Napisz recenzję o artykule "Symetralna prostopadła"

Notatki

Fragment charakteryzujący dwusieczną prostopadłą

Kutuzow, zatrzymując się, żeby przeżuć, patrzył ze zdziwieniem na Wolzogena, jakby nie rozumiał, co się do niego mówi. Wolzogen, widząc podekscytowanie des alten Herrn, [starszy pan (Niemiec)] powiedział z uśmiechem:
– Nie uważałem się za uprawnionego do ukrywania przed Waszą Lordowską Mością tego, co widziałem... W wojsku panuje całkowity chaos...
- Widziałeś? Widziałeś?.. – krzyknął Kutuzow marszcząc brwi, szybko wstając i ruszając na Wolzogen. „Jak ty… jak śmiecie!…” – krzyknął, wykonując groźne gesty drżącymi rękami i dusząc się. - Jak śmiecie, drogi panie, mówić mi to? Nic nie wiesz. Przekaż ode mnie generałowi Barclayowi, że jego informacje są błędne i że prawdziwy przebieg bitwy znany jest mi, naczelnemu dowódcy, lepiej niż jemu.
Wolzogen chciał sprzeciwić się, ale Kutuzow mu przerwał.
- Wróg zostaje odparty z lewej strony i pokonany na prawym skrzydle. Jeśli nie widziałeś dobrze, drogi panie, nie pozwól sobie powiedzieć tego, czego nie wiesz. Proszę udać się do generała Barclaya i następnego dnia przekazać mu mój absolutny zamiar zaatakowania wroga” – powiedział surowo Kutuzow. Wszyscy milczeli i słychać było tylko ciężki oddech zdyszanego starego generała. „Wszędzie zostali odparci, za co dziękuję Bogu i naszej dzielnej armii”. Wróg został pokonany i jutro wypędzimy go ze świętej ziemi rosyjskiej” – powiedział Kutuzow, żegnając się; i nagle zapłakał od łez, które popłynęły. Wolzogen, wzruszając ramionami i zaciskając usta, w milczeniu odszedł na bok, zastanawiając się nad uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [na tę tyranię starego pana. (Niemiecki)]
„Tak, oto on, mój bohaterze” – powiedział Kutuzow do pulchnego, przystojnego, czarnowłosego generała, który w tym czasie wchodził na kopiec. To był Raevsky, który cały dzień spędził w głównym punkcie pola Borodino.
Raevsky poinformował, że wojska są mocno na swoich miejscach i że Francuzi nie mają już odwagi atakować. Po wysłuchaniu go Kutuzow powiedział po francusku:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Nie sądzisz zatem, podobnie jak inni, że powinniśmy się wycofać?]

Aby dać wyobrażenie o nowej klasie problemów - konstruowaniu figur geometrycznych za pomocą kompasu i linijki bez podziałek skali.

Przedstaw pojęcie GMT.

Podaj definicję dwusiecznej prostopadłej, naucz, jak ją zbudować i udowodnij twierdzenie o dwusiecznej prostopadłej i jej odwrotności.

Korzystając z komputerowego systemu rysunkowego „Kompas-3D”, wykonaj konstrukcje geometryczne, które zaleca się wykonać na kursie geometrii z wykorzystaniem kompasu i linijki.

Ulotki (załącznik nr 1)

Zadania polegające na budowie z kompasami i linijką bez podziałek najczęściej rozwiązuje się według pewnego schematu:

I. Analiza: Narysuj schematycznie żądaną figurę i ustal powiązania między danymi zadania a wymaganymi elementami.

II. Budowa: Zgodnie z planem budowę prowadzi się za pomocą kompasu i linijki.

III. Dowód: Udowodnić, że zbudowana figura spełnia warunki zadania.

IV. Badanie: Przeprowadź badanie, aby sprawdzić, czy problem ma rozwiązanie dla dowolnych danych, a jeśli tak, ile jest rozwiązań (nie przeprowadzono tego w przypadku wszystkich problemów).

Oto kilka przykładów elementarnych zadań budowlanych, które rozważymy:

1. Odłóż segment równy podanemu (badanemu wcześniej).

2. Konstrukcja dwusiecznej prostopadłej do odcinka:

skonstruować środek danego odcinka;
skonstruować linię przechodzącą przez dany punkt i prostopadłą do danej prostej (punkt może leżeć na danej prostej lub nie).

3. Konstrukcja dwusiecznej kąta.

4. Konstruowanie kąta równego danemu.

Dwusieczna prostopadła odcinka.

Definicja: Dwusieczna prostopadła do odcinka to prosta przechodząca przez środek odcinka i prostopadła do niego.

Zadanie: „Skonstruuj dwusieczną odcinka”. Prezentacja

O - środkowy AB

Opis konstrukcji ( slajd numer 4):

Belka; A – początek belki

Obwód (A; r =m)

Okrąg a = B; AB = m

Okrąg 1 (A; r 1 > m/2)

Okrąg 2 (B; r 1)

Okrąg 1 Okrąg 2 =

MN; MN AB =0, (MN = L)

gdzie MN AB, O – środek AB

III. Dowód(slajd nr 5, 6)

1. Rozważ AMN i BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2, zatem AM = BN, AN = BM MN – strona wspólna

(Rysunek 3)

Dlatego AMN = BNM (z 3 stron),

Stąd

1= 2 (z definicji równe)

3= 4 (z definicji równe)

2. MAN i NBM są równoramienne (z definicji) ->

1 = 4 i 3 = 2 (według własności równoramiennej)

3. Z punktów 1 i 2 -> 1 = 3 zatem MO jest dwusieczną równoramiennej AMB

4. W ten sposób udowodniliśmy, że MN jest dwusieczną prostopadłą do odcinka AB

IV. Badanie

Ten problem ma unikalne rozwiązanie, ponieważ każdy odcinek ma tylko jeden punkt środkowy i przez dany punkt można poprowadzić pojedynczą linię prostą prostopadłą do danej.

Definicja: Geometryczny zbiór punktów (GMT) to zbiór punktów, które mają pewną właściwość. (Załącznik nr 2)

GMT, które znasz:

Dwusieczna prostopadła odcinka to zbiór punktów w jednakowej odległości od końców odcinka.
Dwusieczna kąta - zbiór punktów w równej odległości od boków kąta

Udowodnijmy zatem twierdzenie:

Twierdzenie: „Każdy punkt dwusiecznej prostopadłej do odcinka jest w jednakowej odległości od końców tego odcinka.”

(Rysunek 4)

Biorąc pod uwagę: AB; MO – dwusieczna prostopadła

Udowodnij: AM = VM

Dowód:

1. MO – dwusieczna prostopadła (według warunku) -> O – środek odcinka AB, MOAB

2. Rozważ AMO i VMO - prostokątne

MO – noga ogólna

AO = VO (O – środek AB) -> AMO = VMO (na 2 nogach) -> AM = VM (z definicji równych trójkątów, jako odpowiednich boków)

CO BYŁO DO OKAZANIA

Zadanie domowe: „Udowodnij twierdzenie odwrotne do tego”

Twierdzenie: „Każdy punkt w równej odległości od końców odcinka leży na dwusiecznej prostopadłej do tego odcinka”.

(Rysunek 5)

Biorąc pod uwagę: AB; MA=MV

Udowodnić: Punkt M leży na dwusiecznej prostopadłej

Dowód:

To. MO jest dwusieczną prostopadłą zawierającą wszystkie punkty w jednakowej odległości od końców odcinka.

Własność dwusiecznych prostopadłych do boków trójkąta

Przecinają się w jednym punkcie i ten punkt jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie, którego będziemy się uczyć w ósmej klasie.

Warsztat

Materiał i wyposażenie techniczne:

Dystrybucja: 29 574 KB

System operacyjny: Windows 9x/2000/XP

Strona internetowa: http://www.ascon.ru

Przenieśmy teraz konstrukcję do środowiska graficznego komputera (slajd nr 7)

Zdobytą wcześniej wiedzę i umiejętności należy zastosować w konkretnym zadaniu. Zobaczysz, że zbudowanie zajmie Ci nie więcej czasu niż zbudowanie w notesie. Interesujące jest między innymi zobaczenie, w jaki sposób środowisko komputerowe realizuje polecenia człowieka dotyczące konstruowania figur płaskich. Oto Załącznik nr 3, który szczegółowo opisuje etapy budowy. Załaduj program i otwórz nowy rysunek ( slajd numer 8, 9).

Narysuj obiekty geometryczne określone w opisie problemu: promień A zaczynając od punktu A a odcinek jest równy M– dowolna długość ( slajd numer 10).

Wprowadź oznaczenie półprostej, odcinka, początku półprostej na rysunku za pomocą zakładki "Narzędzia"tekst.

Skonstruuj okrąg o promieniu równym segmentowi M wyśrodkowany w wierzchołku w danym punkcie A (slajd numer 11).

M ze środkiem w wierzchołku danego punktu A ( slajd nr 12, 13).

Skonstruuj okrąg o promieniu równym segmentowi większemu niż 1/2 M Aby to zrobić, wybierz pozycję „ w menu kontekstowym RMB Między 2 punktami” (slajd nr 14, 15, 16).

Przez punkty przecięcia okręgów M i N narysuj linię prostą ( slajd nr 17,18).

Używane książki:

Ugrinovich N.D. „Informatyka. Kurs podstawowy” 7 klasa. - M.: BINOM – 2008 – 175 s.
Ugrinovich N.D. „Warsztaty z informatyki i technologii informatycznych”. Instruktaż. – M.: BINOM, 2004-2006. -
Ugrinovich N.D. „Nauczanie kursu „Informatyka i ICT” w klasach szkół podstawowych i średnich 8-11 M.: Laboratorium Wiedzy BINOM, 2008. - 180 s.
Ugrinovich N.D. Warsztaty komputerowe na płycie CD-ROM. – M.: BINOM, 2004-2006.
Bogusławski A.A., Tretyak T.M. Farafonow A.A. „Kompas – 3D v 5.11-8.0 Warsztaty dla początkujących” – M.: SOLON – PRESS, 2006 – 272 s.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. i in. „Geometria 7-9. Podręcznik dla szkół średnich” – M: Edukacja 2006 – 384 s.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. i in. „Studiowanie geometrii 7-9 klas. Zalecenia metodyczne do podręcznika” – M: Edukacja 1997 – 255 s.
Afanasyeva T.L., Tapilina L.A. „Scenariusze zajęć na podstawie podręcznika Atanasyana L.S.” - Wołgograd „Nauczyciel” 2010, 166 s.

Załącznik nr 1

Plan rozwiązywania problemów konstrukcyjnych za pomocą kompasu i linijki.

Analiza.
Budowa.
Dowód.
Badanie.

Wyjaśnienie

Podczas analizy żądana figura jest rysowana schematycznie i ustanawiane jest połączenie między danymi zadania a wymaganymi elementami.
Zgodnie z planem budowa odbywa się za pomocą kompasów i linijki.
Dowodzą, że zbudowana figura spełnia warunki zadania.
Prowadzą badanie: czy problem ma rozwiązanie dla dowolnych danych, a jeśli tak, to ile rozwiązań?

Przykłady elementarnych problemów konstrukcyjnych

Odłóż odcinek równy podanemu.
Skonstruuj dwusieczną prostopadłą do odcinka.
Skonstruuj środek odcinka.
Skonstruuj linię przechodzącą przez dany punkt, prostopadłą do danej linii (punkt może leżeć na danej prostej lub nie).
Skonstruuj dwusieczną kąta.
Skonstruuj kąt równy danemu.

Załącznik nr 2

Geometryczne miejsce punktów (GLP) to zbiór punktów, które mają określoną właściwość.

Przykłady czasu GMT:

Dwusieczna prostopadła odcinka to zbiór punktów w jednakowej odległości od końców odcinka.
Okrąg to zbiór punktów w jednakowej odległości od danego punktu – środka okręgu.
Dwusieczna kąta to zbiór punktów w jednakowej odległości od boków kąta.

Każdy punkt dwusiecznej prostopadłej odcinka jest w jednakowej odległości od końców tego odcinka.

Na poprzedniej lekcji przyjrzeliśmy się właściwościom dwusiecznej kąta, zarówno zawartego w trójkącie, jak i swobodnego. Trójkąt zawiera trzy kąty i dla każdego z nich zachowane są rozważane właściwości dwusiecznej.

Twierdzenie:

Dwusieczne AA 1, BB 1, СС 1 trójkąta przecinają się w jednym punkcie O (ryc. 1).

Ryż. 1. Ilustracja do twierdzenia

Dowód:

Rozważmy najpierw dwie dwusieczne BB 1 i CC 1. Przecinają się, punkt przecięcia O istnieje. Aby to udowodnić, załóżmy coś przeciwnego: niech dane dwusieczne nie przecinają się, w takim przypadku są równoległe. Wtedy prosta BC jest sieczną i sumą kątów , jest to sprzeczne z faktem, że w całym trójkącie suma kątów wynosi .

Zatem istnieje punkt O przecięcia dwóch dwusiecznych. Przyjrzyjmy się jego właściwościom:

Punkt O leży na dwusiecznej kąta, czyli jest w równej odległości od jego boków BA i BC. Jeżeli OK jest prostopadłe do BC, OL jest prostopadłe do BA, to długości tych prostopadłych są równe - . Ponadto punkt O leży na dwusiecznej kąta i jest w równej odległości od jego boków CB i CA, prostopadłe OM i OK są sobie równe.

Otrzymaliśmy następujące równości:

, czyli wszystkie trzy prostopadłe spuszczone z punktu O na boki trójkąta są sobie równe.

Interesuje nas równość prostopadłych OL i OM. Równość ta mówi, że punkt O jest w równej odległości od boków kąta, wynika z tego, że leży na jego dwusiecznej AA 1.

W ten sposób udowodniliśmy, że wszystkie trzy dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Ponadto trójkąt składa się z trzech odcinków, co oznacza, że należy wziąć pod uwagę właściwości pojedynczego odcinka.

Dany jest odcinek AB. Każdy odcinek ma środek i można przez niego poprowadzić prostopadłą - oznaczmy to jako p. Zatem p jest dwusieczną prostopadłą.

Ryż. 2. Ilustracja do twierdzenia

Dowolny punkt leżący na dwusiecznej prostopadłej jest w jednakowej odległości od końców odcinka.

Udowodnij to (ryc. 2).

Dowód:

Rozważmy trójkąty i . Są prostokątne i równe, bo mają wspólną nogę OM oraz nogi AO i OB są równe pod względem warunku, zatem mamy dwa trójkąty prostokątne, równe w dwóch nogach. Wynika z tego, że przeciwprostokątne trójkątów są również równe, to znaczy to, co należało udowodnić.

Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe.

Każdy punkt w równej odległości od końców odcinka leży na dwusiecznej prostopadłej do tego odcinka.

Dany odcinek AB, jego dwusieczna prostopadła p i punkt M w jednakowej odległości od końców odcinka. Udowodnić, że punkt M leży na dwusiecznej odcinka (rys. 3).

Ryż. 3. Ilustracja do twierdzenia

Dowód:

Rozważmy trójkąt. Jest to równoramienny, zgodnie z warunkiem. Rozważmy środkową trójkąta: punkt O jest środkiem podstawy AB, OM jest środkową. Zgodnie z właściwością trójkąta równoramiennego, środkowa narysowana do jego podstawy jest zarówno wysokością, jak i dwusieczną. Wynika, że . Ale prosta p jest również prostopadła do AB. Wiemy, że w punkcie O można narysować jedną prostopadłą do odcinka AB, co oznacza, że proste OM i p pokrywają się, wynika z tego, że punkt M należy do prostej p, co musieliśmy udowodnić.

Twierdzenia bezpośrednie i odwrotne można uogólnić.

Punkt leży na dwusiecznej prostopadłej odcinka wtedy i tylko wtedy, gdy jest w równej odległości od końców tego odcinka.

Powtórzmy więc, że w trójkącie są trzy odcinki i własność dwusiecznej prostopadłej dotyczy każdego z nich.

Twierdzenie:

Dwusieczne prostopadłe trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Podano trójkąt. Prostopadłe do jego boków: P 1 do boku BC, P 2 do boku AC, P 3 do boku AB.

Udowodnić, że prostopadłe P 1, P 2 i P 3 przecinają się w punkcie O (rys. 4).

Ryż. 4. Ilustracja do twierdzenia

Dowód:

Rozważmy dwie prostopadłe dwusieczne P 2 i P 3, przecinają się, punkt przecięcia O istnieje. Udowodnijmy ten fakt przez sprzeczność - niech prostopadłe P 2 i P 3 będą równoległe. Następnie kąt zostaje odwrócony, co przeczy faktowi, że suma trzech kątów trójkąta wynosi . Zatem istnieje punkt O przecięcia dwóch z trzech prostopadłych dwusiecznych. Własności punktu O: leży on na dwusiecznej prostopadłej do boku AB, czyli jest w jednakowej odległości od końców odcinka AB: . Leży także na dwusiecznej prostopadłej do boku AC, co oznacza . Otrzymaliśmy następujące równości.