Rozwiązywanie równań trygonometrycznych. Równania trygonometryczne Rozwiąż równanie trygonometryczne sinx 1 2

Kurs wideo „Get an A” zawiera wszystkie tematy niezbędne do pomyślnego zdania egzaminu z matematyki na 60-65 punktów. Ukończ wszystkie zadania 1-13 z jednolitego egzaminu państwowego profilu z matematyki. Nadaje się również do zdania egzaminu podstawowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać egzamin na 90-100 punktów, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowujący do egzaminu dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz do rozwiązania części 1 egzaminu z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadania 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie i ani stupunktowy student, ani student humanistyki nie może się bez nich obejść.

Cała teoria, której potrzebujesz. Szybkie rozwiązania, pułapki i tajemnice egzaminu. Zdemontował wszystkie istotne zadania części 1 z Banku zadań FIPI. Kurs w pełni spełnia wymagania egzaminu-2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów po 2,5 godziny każdy. Każdy temat podany jest od podstaw, prosty i bezpośredni.

Setki zadań USE. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiały referencyjne, analiza wszystkich typów zadań USE. Stereometria. Podchwytliwe rozwiązania, pomocne ściągawki, rozwijanie wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od zera do problemu 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Wizualne wyjaśnienie złożonych pojęć. Algebra. Pierwiastki, stopnie i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa rozwiązywania złożonych problemów II części egzaminu.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które mogą posłużyć do identyfikacji konkretnej osoby lub do skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy zostawiasz prośbę na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i zgłaszać wyjątkowe oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i wiadomości.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym wydarzeniu promocyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• Jeśli jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie próśb publicznych lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnić swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych ważnych społecznie powodów.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniej osobie trzeciej – następcy prawnemu.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i nadużyciem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szacunek dla Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby upewnić się, że Twoje dane osobowe są bezpieczne, przekazujemy naszym pracownikom zasady poufności i bezpieczeństwa oraz ściśle monitorujemy wdrażanie środków poufności.

Kiedyś byłem świadkiem rozmowy dwóch wnioskodawców:

- Kiedy należy dodać 2πn, a kiedy - πn? Po prostu nie pamiętam!

- I mam ten sam problem.

Więc chciałem im powiedzieć: „Nie trzeba zapamiętywać, ale rozumieć!”

Ten artykuł jest skierowany przede wszystkim do uczniów szkół średnich i mam nadzieję, że pomoże im „zrozumieć” rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych:

Koło liczbowe

Wraz z pojęciem osi liczbowej istnieje również pojęcie koła liczbowego. Jak wiemy, w prostokątnym układzie współrzędnych okrąg o środku w punkcie (0; 0) i promieniu 1 jest nazywany jednostką. Wyobraź sobie cyfrową linię prostą z cienką nitką i nawiń ją wokół tego okręgu: początek (punkt 0), przyczepiamy do „prawego” punktu okręgu jednostkowego, nawijamy dodatnią półoś przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a ujemną półoś w kierunku (rys. 1). To koło jednostkowe nazywa się kołem liczbowym.

Właściwości koła liczbowego

• Każda liczba rzeczywista znajduje się w jednym punkcie koła liczbowego.
• W każdym punkcie koła liczbowego jest nieskończenie wiele liczb rzeczywistych. Ponieważ długość okręgu jednostkowego wynosi 2π, różnica między dowolnymi dwiema liczbami w jednym punkcie okręgu jest równa jednej z liczb ± 2π; ± 4π; ± 6π; ...

Zakończmy: znając jedną z liczb punktu A, możemy znaleźć wszystkie liczby punktu A.

Narysujmy średnicę głośnika (rys. 2). Ponieważ x_0 jest jedną z liczb punktu A, liczby x_0 ± π; x_0 ± 3π; x_0 ± 5π; … I tylko będą to liczby punktu C. Wybierzmy jedną z tych liczb, powiedzmy x_0 + π, i zapiszmy nią wszystkie liczby punktu C: x_C = x_0 + π + 2πk, k∈Z. Zauważ, że liczby w punktach A i C można połączyć w jeden wzór: x_ (A; C) = x_0 + πk, k∈Z (dla k = 0; ± 2; ± 4; ... otrzymujemy liczby punkt A, a dla k = ± 1; ± 3; ± 5;… - numery punktu C).

Zakończmy: znając jedną z liczb w jednym z punktów A lub C średnicy AC, możemy znaleźć wszystkie liczby w tych punktach.

• Dwie przeciwne liczby znajdują się w punktach koła symetrycznego względem osi odciętej.

Narysujmy pionowy cięciw AB (rys. 2). Ponieważ punkty A i B są symetryczne względem osi Ox, liczba -x_0 znajduje się w punkcie B, a zatem wszystkie liczby punktu B są wyrażone wzorem: x_B = -x_0 + 2πk, k∈Z. Liczby w punktach A i B zapisujemy według tego samego wzoru: x_ (A; B) = ± x_0 + 2πk, k∈Z. Zakończmy: znając jedną z liczb w jednym z punktów A lub B cięciwy pionowej AB, możemy znaleźć wszystkie liczby w tych punktach. Rozważ poziomą cięciwę AD i znajdź numery punktu D (ryc. 2). Ponieważ BD jest średnicą, a liczba -x_0 należy do punktu B, to -x_0 + π jest jedną z liczb punktu D, a zatem wszystkie liczby tego punktu są podane wzorem x_D = -x_0 + π + 2πk , k∈Z. Liczby w punktach A i D można zapisać jednym wzorem: x_ (A; D) = (- 1) ^ k ∙ x_0 + πk, k∈Z. (dla k = 0; ± 2; ± 4;… otrzymujemy numery punktu A, a dla k = ± 1; ± 3; ± 5;… - numery punktu D).

Zakończmy: znając jedną z liczb w jednym z punktów A lub D cięciwy poziomej AD, możemy znaleźć wszystkie liczby w tych punktach.

Szesnaście głównych punktów koła liczbowego

W praktyce rozwiązanie większości najprostszych równań trygonometrycznych wiąże się z szesnastoma punktami koła (ryc. 3). Jakie są te punkty? Czerwone, niebieskie i zielone kropki dzielą okrąg na 12 równych części. Ponieważ długość półokręgu wynosi π, to długość łuku A1A2 wynosi π/2, długość łuku A1B1 wynosi π/6, a długość łuku A1C1 wynosi π/3.

Teraz możemy wskazać jedną liczbę w punktach:

π / 3 na C1 i

Wierzchołki pomarańczowego kwadratu są środkami łuków każdej ćwiartki, dlatego długość łuku A1D1 jest równa π/4, a zatem π/4 jest jedną z liczb punktu D1. Korzystając z właściwości koła liczbowego, możemy za pomocą wzorów wypisać wszystkie liczby we wszystkich zaznaczonych punktach naszego koła. Rysunek pokazuje również współrzędne tych punktów (pominiemy opis sposobu ich uzyskania).

Po opanowaniu powyższego mamy teraz wystarczające przygotowanie do rozwiązywania szczególnych przypadków (dla dziewięciu wartości liczby a) najprostsze równania.

Rozwiąż równania

1)sinx = 1⁄ (2).

- Czego się od nas wymaga?

– Znajdź wszystkie liczby x, których sinus wynosi 1/2.

Zapamiętajmy definicję sinusa: sinx - rzędna punktu koła liczbowego, na którym znajduje się liczba x... Mamy dwa punkty na okręgu, którego rzędna wynosi 1/2. Są to końce poziomego cięciwy B1B2. Oznacza to, że wymaganie „rozwiązać równanie sinx = 1⁄2” jest równoważne wymaganiu „znaleźć wszystkie liczby w punkcie B1 i wszystkie liczby w punkcie B2”.

2)sinx = -√3⁄2 .

Musimy znaleźć wszystkie liczby w punktach C4 i C3.

3) sinx = 1... Na okręgu mamy tylko jeden punkt o rzędnej 1 - punkt A2 i dlatego musimy znaleźć tylko wszystkie liczby tego punktu.

Odpowiedź: x = π / 2 + 2πk, k∈Z.

4)sinx = -1 .

Tylko punkt A_4 ma rzędną -1. Wszystkie liczby w tym punkcie będą rycerzami równania.

Odpowiedź: x = -π / 2 + 2πk, k∈Z.

5) sinx = 0 .

Na okręgu mamy dwa punkty o rzędnej 0 - punkty A1 i A3. Można podać liczby w każdym z punktów osobno, ale biorąc pod uwagę, że te punkty są diametralnie przeciwne, lepiej połączyć je w jeden wzór: x = πk, k∈Z.

Odpowiedź: x = πk, k∈Z .

6)cosx = √2⁄2 .

Zapamiętajmy definicję cosinusa: cosx - odcięta punktu koła liczbowego, na którym znajduje się liczba x. Na okręgu mamy dwa punkty z odciętymi √2⁄2 - końce poziomej cięciwy D1D4. Musimy znaleźć wszystkie liczby w tych punktach. Zapiszmy je, łącząc je w jedną formułę.

Odpowiedź: x = ± π / 4 + 2πk, k∈Z.

7) cosx = -1⁄2 .

Konieczne jest znalezienie liczb w punktach C_2 i C_3.

Odpowiedź: x = ± 2π / 3 + 2πk, k∈Z .

10) cosx = 0 .

Tylko punkty A2 i A4 mają odcięte 0, co oznacza, że ​​wszystkie liczby w każdym z tych punktów będą rozwiązaniami równania.
.

Rozwiązaniem równania układu są liczby w punktach B_3 i B_4.<0 удовлетворяют только числа b_3
Odpowiedź: x = -5π / 6 + 2πk, k∈Z.

Zauważ, że dla dowolnej dopuszczalnej wartości x drugi czynnik jest dodatni, a zatem równanie jest równoważne z układem

Rozwiązaniem równania układu jest liczba punktów D_2 i D_3. Liczby punktu D_2 nie spełniają nierówności sinx≤0,5, a liczby punktu D_3 spełniają.

blog, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Głównymi metodami rozwiązywania równań trygonometrycznych są: redukcja równań do najprostszych (przy użyciu wzorów trygonometrycznych), wprowadzanie nowych zmiennych, faktoryzacja. Rozważmy ich zastosowanie na przykładach. Zwróć uwagę na projekt zapisu rozwiązań równań trygonometrycznych.

Warunkiem pomyślnego rozwiązania równań trygonometrycznych jest znajomość wzorów trygonometrycznych (temat 13 pracy 6).

Przykłady.

1. Równania sprowadzające się do najprostszych.

1) Rozwiąż równanie

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

2) Znajdź pierwiastki równania

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx należący do segmentu.

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

2. Równania redukujące do kwadratu.

1) Rozwiąż równanie 2 sin 2 x - cosx –1 = 0.

Rozwiązanie: Korzystając ze wzoru sin 2 x = 1 - cos 2 x, otrzymujemy

Odpowiedź:

2) Rozwiąż równanie cos 2x = 1 + 4 cosx.

Rozwiązanie: Korzystając ze wzoru cos 2x = 2 cos 2 x - 1, otrzymujemy

Odpowiedź:

3) Rozwiąż równanie tgx - 2ctgx + 1 = 0

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

3. Równania jednorodne

1) Rozwiąż równanie 2sinx - 3cosx = 0

Rozwiązanie: Niech cosx = 0, potem 2sinx = 0 i sinx = 0 - sprzeczność z tym, że sin 2 x + cos 2 x = 1. Czyli cosx ≠ 0 i równanie można podzielić przez cosx. dostajemy

Odpowiedź:

2) Rozwiąż równanie 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Rozwiązanie:

Używając wzorów 1 = sin 2 x + cos 2 x i sin 2x = 2 sinxcosx, otrzymujemy

grzech 2 x + cos 2 x + 7 cos 2 x = 6sinxcosx
grzech 2 x - 6sinxcosx + 8cos 2 x = 0

Niech cosx = 0, potem sin 2 x = 0 i sinx = 0 - sprzeczność z tym, że sin 2 x + cos 2 x = 1.
Stąd cosx ≠ 0 i równanie można podzielić przez cos 2 x . dostajemy

tg 2 x - 6 tgx + 8 = 0
Oznacz tgx = y
r 2 - 6 r + 8 = 0
y1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x = arctg4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctg2 + 2 k, k .

Odpowiedź: arctg4 + 2 k, arctg2 + 2 k, k

4. Równania postaci a sinx + b cosx = SS≠ 0.

1) Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

5. Równania rozwiązywane przez faktoryzację.

1) Rozwiąż równanie sin2x - sinx = 0.

Pierwiastek równania F (NS) = φ ( NS), może służyć tylko liczba 0. Sprawdźmy to:

cos 0 = 0 + 1 - równość jest prawdziwa.

Liczba 0 jest jedynym pierwiastkiem tego równania.

Odpowiedź: 0.