Konwersja wyrażeń zawierających potęgi. Konwersja wyrażeń

Operacja arytmetyczna wykonywana jako ostatnia przy obliczaniu wartości wyrażenia jest operacją „główną”.

Oznacza to, że jeśli zamiast liter podstawimy jakieś (dowolne) liczby i spróbujemy obliczyć wartość wyrażenia, to jeśli ostatnią akcją będzie mnożenie, to otrzymamy iloczyn (wyrażenie jest rozkładane na czynniki).

Jeśli ostatnią czynnością jest dodawanie lub odejmowanie, oznacza to, że wyrażenie nie jest rozkładane na czynniki (i dlatego nie można go zmniejszyć).

Aby to wzmocnić, rozwiąż samodzielnie kilka przykładów:

Przykłady:

Rozwiązania:

1. Mam nadzieję, że nie od razu spieszyłeś się z cięciem i? Nadal nie wystarczyło „zmniejszenie” jednostek w ten sposób:

Pierwszym krokiem powinna być faktoryzacja:

4. Dodawanie i odejmowanie ułamków. Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych jest znaną operacją: szukamy wspólnego mianownika, mnożymy każdy ułamek przez brakujący czynnik i dodajemy/odejmujemy liczniki.

Zapamiętajmy:

Odpowiedzi:

1. Mianowniki i są względnie pierwsze, to znaczy nie mają wspólnych czynników. Dlatego LCM tych liczb jest równy ich iloczynowi. To będzie wspólny mianownik:

2. Tutaj wspólnym mianownikiem jest:

3. Tutaj najpierw zamieniamy ułamki mieszane na niewłaściwe, a następnie według zwykłego schematu:

Zupełnie inna sprawa, jeśli ułamki zawierają litery, np.:

Zacznijmy od czegoś prostego:

a) Mianowniki nie zawierają liter

Tutaj wszystko jest tak samo, jak w przypadku zwykłych ułamków liczbowych: znajdujemy wspólny mianownik, mnożymy każdy ułamek przez brakujący czynnik i dodajemy/odejmujemy liczniki:

Teraz w liczniku możesz podać podobne, jeśli takie istnieją, i rozłożyć je na czynniki:

Spróbuj sam:

Odpowiedzi:

b) Mianowniki zawierają litery

Pamiętajmy o zasadzie znajdowania wspólnego mianownika bez liter:

· przede wszystkim określamy czynniki wspólne;

· następnie zapisujemy po kolei wszystkie wspólne czynniki;

· i pomnóż je przez wszystkie inne, nietypowe czynniki.

Aby określić wspólne czynniki mianowników, najpierw rozkładamy je na czynniki pierwsze:

Podkreślmy wspólne czynniki:

Wypiszmy teraz po kolei wspólne czynniki i dodajmy do nich wszystkie czynniki nietypowe (niepodkreślone):

To jest wspólny mianownik.

Wróćmy do liter. Mianowniki podaje się dokładnie w ten sam sposób:

· uwzględnij mianowniki;

· określić wspólne (identyczne) czynniki;

· wypisz raz wszystkie wspólne czynniki;

· pomnóż je przez wszystkie inne, nietypowe czynniki.

Zatem w kolejności:

1) rozłóż mianowniki na czynniki:

2) określić wspólne (identyczne) czynniki:

3) wypisz raz wszystkie wspólne czynniki i pomnóż je przez wszystkie pozostałe (niepodkreślone) czynniki:

Mamy więc tutaj wspólny mianownik. Pierwszy ułamek należy pomnożyć przez, drugi - przez:

Nawiasem mówiąc, jest jeden trik:

Na przykład: .

W mianownikach widzimy te same czynniki, tylko wszystkie z różnymi wskaźnikami. Wspólnym mianownikiem będzie:

do pewnego stopnia

do pewnego stopnia

do pewnego stopnia

do pewnego stopnia.

Skomplikujmy zadanie:

Jak sprawić, by ułamki miały ten sam mianownik?

Przypomnijmy sobie podstawową własność ułamka:

Nigdzie nie jest napisane, że tę samą liczbę można odjąć (lub dodać) od licznika i mianownika ułamka. Bo to nieprawda!

Przekonaj się: weź na przykład dowolny ułamek i dodaj do licznika i mianownika jakąś liczbę, na przykład . Czego się nauczyłeś?

Zatem kolejna niezachwiana zasada:

Sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika, używaj tylko operacji mnożenia!

Ale przez co trzeba pomnożyć, żeby otrzymać?

Więc pomnóż przez. I pomnóż przez:

Wyrażenia, których nie można rozłożyć na czynniki, będziemy nazywać „czynnikami elementarnymi”.

Na przykład - jest to czynnik elementarny. - To samo. Ale nie: można to rozłożyć na czynniki.

A co z wyrażeniem? Czy to elementarne?

Nie, ponieważ można to rozłożyć na czynniki:

(o faktoryzacji czytałeś już w temacie „”).

Zatem elementarne czynniki, na które rozkłada się wyrażenie zawierające litery, są analogią prostych czynników, na które rozkłada się liczby. I poradzimy sobie z nimi w ten sam sposób.

Widzimy, że oba mianowniki mają mnożnik. W stopniu trafi to do wspólnego mianownika (pamiętasz dlaczego?).

Czynnik jest elementarny i nie mają wspólnego czynnika, co oznacza, że ​​​​pierwszy ułamek będzie musiał po prostu zostać przez niego pomnożony:

Inny przykład:

Rozwiązanie:

Zanim w panice pomnożysz te mianowniki, musisz pomyśleć o tym, jak je rozłożyć na czynniki? Obaj reprezentują:

Świetnie! Następnie:

Inny przykład:

Rozwiązanie:

Jak zwykle, rozłóżmy mianowniki na czynniki. W pierwszym mianowniku po prostu usuwamy go z nawiasów; w drugim - różnica kwadratów:

Wydawać by się mogło, że nie ma wspólnych czynników. Ale jeśli przyjrzysz się uważnie, są podobne... I to prawda:

Napiszmy więc:

Oznacza to, że wyglądało to tak: w nawiasie zamieniliśmy terminy, a jednocześnie znak przed ułamkiem zmienił się na przeciwny. Pamiętaj, że będziesz musiał to robić często.

A teraz sprowadźmy to do wspólnego mianownika:

Rozumiem? Sprawdźmy to teraz.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Odpowiedzi:

Tutaj musimy pamiętać o jeszcze jednej rzeczy - różnicy kostek:

Należy pamiętać, że w mianowniku drugiego ułamka nie znajduje się wzór „kwadrat sumy”! Kwadrat sumy będzie wyglądał następująco: .

A jest tak zwanym niepełnym kwadratem sumy: drugi człon jest iloczynem pierwszego i ostatniego, a nie ich podwójnym iloczynem. Częściowy kwadrat sumy jest jednym z czynników zwiększających różnicę kostek:

Co zrobić, jeśli są już trzy ułamki?

Tak, to samo! Przede wszystkim upewnijmy się, że maksymalna liczba czynników w mianownikach jest taka sama:

Uwaga: jeśli zmienisz znaki w jednym nawiasie, znak przed ułamkiem zmieni się na przeciwny. Kiedy zmienimy znaki w drugim nawiasie, znak przed ułamkiem ponownie zmieni się na przeciwny. W rezultacie on (znak przed ułamkiem) się nie zmienił.

Cały pierwszy mianownik zapisujemy do wspólnego mianownika, a następnie dodajemy do niego wszystkie jeszcze nie zapisane czynniki, od drugiego, a potem od trzeciego (i tak dalej, jeśli ułamków jest więcej). Oznacza to, że wygląda to tak:

Hmm... Jasne jest, co zrobić z ułamkami zwykłymi. Ale co z tą dwójką?

To proste: wiesz, jak dodawać ułamki zwykłe, prawda? Musimy więc sprawić, że dwa staną się ułamkiem! Pamiętajmy: ułamek zwykły to operacja dzielenia (licznik dzieli się przez mianownik, jeśli zapomniałeś). A nie ma nic prostszego niż dzielenie liczby przez. W takim przypadku sama liczba nie ulegnie zmianie, ale zamieni się w ułamek:

Dokładnie to, czego potrzeba!

5. Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych.

Cóż, najtrudniejsza część już za nami. A przed nami najprostsze, ale jednocześnie najważniejsze:

Procedura

Jaka jest procedura obliczania wyrażenia liczbowego? Pamiętaj, obliczając znaczenie tego wyrażenia:

Czy policzyłeś?

Powinno działać.

Więc pozwól, że ci przypomnę.

Pierwszym krokiem jest obliczenie stopnia.

Po drugie, mnożenie i dzielenie. Jeżeli jednocześnie wykonywanych jest kilka mnożeń i dzieleń, można je wykonać w dowolnej kolejności.

Na koniec wykonujemy dodawanie i odejmowanie. Jeszcze raz, w dowolnej kolejności.

Ale: wyrażenie w nawiasach jest oceniane poza kolejnością!

Jeśli kilka nawiasów jest mnożonych lub dzielonych przez siebie, najpierw obliczamy wyrażenie w każdym z nawiasów, a następnie je mnożymy lub dzielimy.

A co jeśli w nawiasach jest więcej nawiasów? Cóż, pomyślmy: w nawiasach zapisane jest jakieś wyrażenie. Co należy zrobić najpierw, obliczając wyrażenie? Zgadza się, oblicz nawiasy. Cóż, rozpracowaliśmy to: najpierw obliczamy nawiasy wewnętrzne, potem wszystko inne.

Zatem procedura dla powyższego wyrażenia jest następująca (bieżąca akcja jest podświetlona na czerwono, to znaczy akcja, którą właśnie wykonuję):

OK, wszystko jest proste.

Ale to nie jest to samo, co wyrażenie z literami?

Nie, to jest to samo! Tylko zamiast operacji arytmetycznych musisz wykonywać operacje algebraiczne, czyli czynności opisane w poprzedniej sekcji: przynosząc podobne, dodawanie ułamków, zmniejszanie ułamków i tak dalej. Jedyną różnicą będzie działanie rozkładu wielomianów na czynniki (często używamy tego podczas pracy z ułamkami). Najczęściej, aby dokonać rozkładu na czynniki, należy użyć I lub po prostu wyjąć wspólny czynnik z nawiasów.

Zwykle naszym celem jest przedstawienie wyrażenia jako iloczynu lub ilorazu.

Na przykład:

Uprośćmy wyrażenie.

1) Najpierw upraszczamy wyrażenie w nawiasach. Tam mamy różnicę ułamków i naszym celem jest przedstawienie jej jako iloczynu lub ilorazu. Sprowadzamy więc ułamki do wspólnego mianownika i dodajemy:

Nie da się już tego wyrażenia uprościć; wszystkie czynniki są tu elementarne (pamiętasz jeszcze, co to oznacza?).

2) Otrzymujemy:

Mnożenie ułamków zwykłych: co może być prostszego.

3) Teraz możesz skrócić:

OK, już wszystko skończone. Nic skomplikowanego, prawda?

Inny przykład:

Uprość wyrażenie.

Najpierw spróbuj rozwiązać problem samodzielnie, a dopiero potem spójrz na rozwiązanie.

Rozwiązanie:

Przede wszystkim ustalmy kolejność działań.

Najpierw dodajmy ułamki w nawiasach, aby zamiast dwóch ułamków otrzymać jeden.

Następnie zajmiemy się dzieleniem ułamków. Cóż, dodajmy wynik z ostatniego ułamka.

Ponumeruję kroki schematycznie:

Teraz pokażę ci proces, zabarwiając bieżącą akcję na czerwono:

1. Jeżeli są podobne, należy je natychmiast sprowadzić. Kiedykolwiek w naszym kraju pojawią się podobne, warto je natychmiast poruszyć.

2. To samo dotyczy redukcji ułamków: gdy tylko pojawi się możliwość redukcji, należy z niej skorzystać. Wyjątkiem są ułamki, które dodajesz lub odejmujesz: jeśli mają teraz te same mianowniki, to redukcję należy odłożyć na później.

Oto kilka zadań, które możesz rozwiązać samodzielnie:

I to co obiecano na samym początku:

Odpowiedzi:

Rozwiązania (krótkie):

Jeśli poradziłeś sobie przynajmniej z trzema pierwszymi przykładami, to temat opanowałeś.

Teraz do nauki!

KONWERSJA WYRAŻEŃ. PODSUMOWANIE I PODSTAWOWE FORMUŁY

Podstawowe operacje upraszczające:

• Przynosząc podobne: aby dodać (skrócić) podobne terminy, należy dodać ich współczynniki i przypisać część literową.
• Faktoryzacja: wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów, zastosowanie go itp.
• Zmniejszanie ułamka: Licznik i mianownik ułamka można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę niezerową, co nie zmienia wartości ułamka.
  1) licznik i mianownik rozkładać na czynniki
  2) jeżeli licznik i mianownik mają wspólne dzielniki, można je przekreślić.

  WAŻNE: zmniejszać można tylko mnożniki!

• Dodawanie i odejmowanie ułamków:
  ;
• Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych:
  ;

Wyrażenia, konwersja wyrażeń

Wyrażenia potęgowe (wyrażenia z potęgami) i ich transformacja

W tym artykule porozmawiamy o konwersji wyrażeń na potęgi. Najpierw skupimy się na przekształceniach, które są wykonywane przy użyciu dowolnego rodzaju wyrażeń, w tym wyrażeń potęgowych, takich jak nawiasy otwierające i wprowadzające podobne terminy. Następnie przeanalizujemy przekształcenia właściwe wyrażeniom ze stopniami: praca z podstawą i wykładnikiem, wykorzystanie właściwości stopni itp.

Nawigacja strony.

Co to są wyrażenia mocy?

Termin „wyrażenia potęgowe” praktycznie nie pojawia się w szkolnych podręcznikach do matematyki, natomiast dość często pojawia się w zbiorach zadań, zwłaszcza tych przeznaczonych na przykład do przygotowania do egzaminu Unified State Exam i Unified State Exam. Po przeanalizowaniu zadań, w których konieczne jest wykonanie jakichkolwiek czynności z wyrażeniami potęgowymi, staje się jasne, że przez wyrażenia potęgowe rozumie się wyrażenia zawierające w swoich zapisach potęgi. Dlatego możesz przyjąć dla siebie następującą definicję:

Definicja.

Wyrażenia mocy są wyrażeniami zawierającymi stopnie.

Dajmy przykłady wyrażeń mocy. Ponadto przedstawimy je według tego, jak następuje rozwój poglądów na temat stopnia z wykładnikiem naturalnym do stopnia z wykładnikiem rzeczywistym.

Jak wiadomo, najpierw zapoznajemy się z potęgą liczby z wykładnikiem naturalnym, na tym etapie pierwsze najprostsze wyrażenia potęgowe typu 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 pojawia się −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Nieco później badana jest potęga liczby o wykładniku całkowitym, co prowadzi do pojawienia się wyrażeń potęgowych o ujemnych potęgach całkowitych, takich jak: 3 −2, , za -2 +2 b -3 +c 2 .

W szkole średniej wracają do stopni. Wprowadza się stopień z wykładnikiem wymiernym, co pociąga za sobą pojawienie się odpowiednich wyrażeń potęgowych: , , i tak dalej. Na koniec rozważane są stopnie z niewymiernymi wykładnikami i wyrażeniami je zawierającymi: , .

Sprawa nie ogranicza się do wymienionych wyrażeń potęgowych: dalej zmienna wnika w wykładnik i powstają np. wyrażenia: 2 x 2 +1 lub . A po zapoznaniu się z , zaczynają pojawiać się wyrażenia z potęgami i logarytmami, np. x 2·lgx −5·x lgx.

Zajęliśmy się więc pytaniem, co reprezentują wyrażenia potęgowe. Następnie nauczymy się je przekształcać.

Główne typy transformacji wyrażeń potęgowych

Za pomocą wyrażeń potęgowych można wykonać dowolne podstawowe przekształcenie tożsamości wyrażeń. Możesz na przykład otwierać nawiasy, zastępować wyrażenia liczbowe ich wartościami, dodawać podobne terminy itp. Oczywiście w tym przypadku konieczne jest przestrzeganie przyjętej procedury wykonywania działań. Podajmy przykłady.

Przykład.

Oblicz wartość wyrażenia na potęgę 2 3 ·(4 2 −12) .

Rozwiązanie.

Zgodnie z kolejnością działań, w pierwszej kolejności wykonujemy czynności podane w nawiasach. Tam po pierwsze zastępujemy potęgę 4 2 jej wartością 16 (jeśli to konieczne, patrz), a po drugie obliczamy różnicę 16−12=4. Mamy 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

W otrzymanym wyrażeniu zastępujemy potęgę 2 3 jej wartością 8, po czym obliczamy iloczyn 8,4=32. To jest pożądana wartość.

Więc, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Odpowiedź:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Przykład.

Uprość wyrażenia za pomocą potęg 3 za 4 b -7 -1+2 za 4 b -7.

Rozwiązanie.

Oczywiście w wyrażeniu tym występują podobne terminy 3·a 4 ·b −7 i 2·a 4 ·b −7 i możemy je przedstawić: .

Odpowiedź:

3 za 4 b −7 −1+2 za 4 b −7 =5 za 4 b −7 −1.

Przykład.

Wyraź wyrażenie za pomocą mocy jako iloczynu.

Rozwiązanie.

Można sobie poradzić z zadaniem przedstawiając liczbę 9 jako potęgę 3 2, a następnie korzystając ze wzoru na skrócone mnożenie – różnicę kwadratów:

Odpowiedź:

Istnieje również wiele identycznych transformacji właściwych dla wyrażeń mocy. Przeanalizujemy je dalej.

Praca z bazą i wykładnikiem

Istnieją potęgi, których podstawa i/lub wykładnik to nie tylko liczby lub zmienne, ale niektóre wyrażenia. Jako przykład podajemy wpisy (2+0,3·7) 5−3,7 i (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Pracując z takimi wyrażeniami, można zastąpić zarówno wyrażenie w podstawie stopnia, jak i wyrażenie w wykładniku, identycznym wyrażeniem w ODZ jego zmiennych. Innymi słowy, zgodnie ze znanymi nam zasadami, możemy osobno przekształcić podstawę stopnia i osobno wykładnik. Oczywiste jest, że w wyniku tej transformacji otrzymane zostanie wyrażenie identycznie równe pierwotnemu.

Takie przekształcenia pozwalają nam uprościć wyrażenia za pomocą potęg lub osiągnąć inne potrzebne nam cele. Na przykład we wspomnianym powyżej wyrażeniu potęgowym (2+0,3 7) 5−3,7 można wykonać operacje na liczbach w podstawie i wykładniku, co pozwoli przejść do potęgi 4,1 1,3. A po otwarciu nawiasów i sprowadzeniu podobnych wyrazów do podstawy stopnia (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) otrzymujemy wyrażenie potęgowe prostszej formy a 2·(x+ 1) .

Korzystanie z właściwości stopnia

Jednym z głównych narzędzi przekształcania wyrażeń za pomocą potęg są równości odzwierciedlające . Przypomnijmy te główne. Dla dowolnych liczb dodatnich aib oraz dowolnych liczb rzeczywistych r i s prawdziwe są następujące właściwości potęg:

• za r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Należy zauważyć, że w przypadku wykładników naturalnych, całkowitych i dodatnich ograniczenia dotyczące liczb aib mogą nie być tak rygorystyczne. Na przykład dla liczb naturalnych m i n równość a m ·a n =a m+n jest prawdziwa nie tylko dla dodatniego a, ale także dla ujemnego a i dla a=0.

W szkole przy przekształcaniu wyrażeń mocy główny nacisk kładzie się na umiejętność wyboru odpowiedniej właściwości i prawidłowego jej zastosowania. W tym przypadku podstawy stopni są zwykle dodatnie, co pozwala na nieograniczone korzystanie z właściwości stopni. To samo dotyczy transformacji wyrażeń zawierających zmienne w podstawach potęg - zakres dopuszczalnych wartości zmiennych jest zwykle taki, że podstawy przyjmują na nim tylko wartości dodatnie, co pozwala na swobodne korzystanie z właściwości potęg . Ogólnie rzecz biorąc, należy stale zadawać sobie pytanie, czy w tym przypadku można wykorzystać jakąkolwiek właściwość stopni, ponieważ nieprawidłowe użycie właściwości może prowadzić do zawężenia wartości edukacyjnej i innych problemów. Punkty te zostały szczegółowo omówione wraz z przykładami w artykule Transformacja wyrażeń z wykorzystaniem właściwości stopni. Tutaj ograniczymy się do rozważenia kilku prostych przykładów.

Przykład.

Wyraź wyrażenie a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 jako potęgę o podstawie a.

Rozwiązanie.

Najpierw przekształcamy drugi czynnik (a 2) −3, korzystając z właściwości podnoszenia potęgi do potęgi: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Oryginalne wyrażenie potęgi będzie miało postać a 2,5 ·a −6:a −5,5. Oczywiście pozostaje skorzystać z właściwości mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie, które mamy
a 2,5 ·a –6:a –5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Odpowiedź:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Właściwości potęg przy przekształcaniu wyrażeń potęgowych stosuje się zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia potęgowego.

Rozwiązanie.

Równość (a·b) r =a r ·br r, zastosowana od prawej do lewej, pozwala nam przejść od pierwotnego wyrażenia do iloczynu formy i dalej. A przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki sumują się: .

Pierwotne wyrażenie można było przekształcić w inny sposób:

Odpowiedź:

.

Przykład.

Mając wyrażenie na potęgę a 1,5 −a 0,5 −6, wprowadź nową zmienną t=a 0,5.

Rozwiązanie.

Stopień a 1,5 można przedstawić jako a 0,5 3 i następnie, bazując na własności stopnia do stopnia (a r) s = a r s, zastosowanego od prawej do lewej, przekształcić go do postaci (a 0,5) 3. Zatem, za 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Teraz łatwo jest wprowadzić nową zmienną t=a 0,5, otrzymujemy t 3 −t−6.

Odpowiedź:

t 3 −t−6 .

Zamiana ułamków zawierających potęgi

Wyrażenia potęgowe mogą zawierać lub reprezentować ułamki z potęgami. Wszelkie podstawowe przekształcenia ułamków, które są nieodłączne od ułamków dowolnego rodzaju, mają pełne zastosowanie do takich ułamków. Oznacza to, że ułamki zawierające potęgi można zredukować, zredukować do nowego mianownika, oddzielnie pracować z ich licznikiem i osobno z mianownikiem itp. Aby zilustrować te słowa, rozważ rozwiązania kilku przykładów.

Przykład.

Uprość wyrażanie mocy .

Rozwiązanie.

To wyrażenie potęgi jest ułamkiem. Popracujmy z jego licznikiem i mianownikiem. W liczniku otwieramy nawiasy i upraszczamy powstałe wyrażenie wykorzystując właściwości potęg, a w mianowniku przedstawiamy podobne wyrazy:

Zmieńmy także znak mianownika, umieszczając minus przed ułamkiem: .

Odpowiedź:

.

Redukcja ułamków zawierających potęgi do nowego mianownika odbywa się analogicznie do redukcji ułamków wymiernych do nowego mianownika. W tym przypadku znajduje się również dodatkowy współczynnik i mnoży się przez niego licznik i mianownik ułamka. Wykonując tę ​​czynność warto pamiętać, że redukcja do nowego mianownika może prowadzić do zawężenia ODZ. Aby temu zapobiec, konieczne jest, aby dodatkowy współczynnik nie osiągnął zera dla żadnej wartości zmiennych ze zmiennych ODZ dla pierwotnego wyrażenia.

Przykład.

Skróć ułamki do nowego mianownika: a) do mianownika a, b) do mianownika.

Rozwiązanie.

a) W tym przypadku dość łatwo jest ustalić, który dodatkowy mnożnik pomaga osiągnąć pożądany rezultat. Jest to mnożnik 0,3, ponieważ a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Zauważmy, że w zakresie dopuszczalnych wartości zmiennej a (jest to zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych) potęga 0,3 nie zanika, zatem mamy prawo pomnożyć licznik i mianownik danej ułamek przez ten dodatkowy współczynnik:

b) Przyglądając się bliżej mianownikowi, przekonasz się, że

i pomnożenie tego wyrażenia przez da sumę kostek i , to znaczy . I to jest nowy mianownik, do którego musimy sprowadzić ułamek pierwotny.

W ten sposób znaleźliśmy dodatkowy czynnik. W zakresie dopuszczalnych wartości zmiennych x i y wyrażenie nie zanika, dlatego możemy pomnożyć przez niego licznik i mianownik ułamka:

Odpowiedź:

A) , B) .

Nie ma też nic nowego w redukcji ułamków zawierających potęgi: licznik i mianownik są reprezentowane jako liczba czynników, a te same współczynniki licznika i mianownika są redukowane.

Przykład.

Skróć ułamek: a) , B) .

Rozwiązanie.

a) Po pierwsze, licznik i mianownik można zmniejszyć o liczby 30 i 45, co równa się 15. Oczywiście możliwe jest również wykonanie redukcji o x 0,5 +1 i o . Oto co mamy:

b) W tym przypadku identyczne współczynniki w liczniku i mianowniku nie są od razu widoczne. Aby je uzyskać, będziesz musiał wykonać wstępne przekształcenia. W tym przypadku polegają one na rozłożeniu mianownika na czynniki ze wzoru na różnicę kwadratów:

Odpowiedź:

A)

B) .

Zamiana ułamków na nowy mianownik i ułamki redukujące są używane głównie do wykonywania czynności z ułamkami zwykłymi. Akcje wykonywane są według znanych zasad. Podczas dodawania (odejmowania) ułamków są one redukowane do wspólnego mianownika, po czym liczniki są dodawane (odejmowane), ale mianownik pozostaje taki sam. Wynikiem jest ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.

Przykład.

Wykonaj kroki .

Rozwiązanie.

Najpierw odejmujemy ułamki w nawiasach. Aby to zrobić, sprowadzamy je do wspólnego mianownika, czyli , po czym odejmujemy liczniki:

Teraz mnożymy ułamki:

Oczywiście możliwe jest zmniejszenie o potęgę x 1/2, po czym mamy .

Możesz także uprościć wyrażenie potęgi w mianowniku, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów: .

Odpowiedź:

Przykład.

Uprość wyrażenie mocy .

Rozwiązanie.

Oczywiście ułamek ten można zmniejszyć o (x 2,7 +1) 2, co daje ułamek . Jest oczywiste, że trzeba zrobić coś innego z potęgami X. Aby to zrobić, przekształcamy powstałą frakcję w produkt. Daje nam to możliwość skorzystania z własności dzielenia potęg o tych samych podstawach: . A na koniec procesu przechodzimy od ostatniego produktu do frakcji.

Odpowiedź:

.

Dodajmy jeszcze, że jest możliwe, a w wielu przypadkach pożądane, przeniesienie czynników o wykładnikach ujemnych z licznika do mianownika lub z mianownika do licznika, zmieniając znak wykładnika. Takie przekształcenia często ułatwiają dalsze działania. Na przykład wyrażenie potęgi można zastąpić przez .

Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami

Często w wyrażeniach, w których wymagane są pewne przekształcenia, wraz z potęgami występują także pierwiastki z wykładnikami ułamkowymi. Aby przekształcić takie wyrażenie do pożądanej postaci, w większości przypadków wystarczy sięgnąć tylko do pierwiastków lub tylko do potęg. Ponieważ jednak wygodniej jest pracować z mocami, zwykle przechodzą od korzeni do mocy. Wskazane jest jednak wykonanie takiego przejścia w sytuacji, gdy ODZ zmiennych dla pierwotnego wyrażenia pozwala na zastąpienie pierwiastków potęgami bez konieczności odwoływania się do modułu lub dzielenia ODZ na kilka przedziałów (omawialiśmy to szczegółowo w przejście przedimka od pierwiastka do potęgi i z powrotem Po zapoznaniu się ze stopniem z wykładnikiem wymiernym wprowadza się stopień z wykładnikiem niewymiernym, co pozwala nam mówić o stopniu z dowolnym wykładnikiem rzeczywistym. Na tym etapie zaczyna się uczył się w szkole. funkcja wykładnicza, który analitycznie jest podawany przez potęgę, której podstawą jest liczba, a wykładnikiem jest zmienna. Mamy więc do czynienia z wyrażeniami potęgowymi zawierającymi liczby w podstawie potęgi, a w wykładniku - wyrażeniami ze zmiennymi i naturalnie pojawia się potrzeba przeprowadzenia przekształceń takich wyrażeń.

Należy powiedzieć, że przy rozwiązywaniu zwykle trzeba przeprowadzić transformację wyrażeń wskazanego typu równania wykładnicze I nierówności wykładnicze, a te konwersje są dość proste. W zdecydowanej większości przypadków opierają się one na właściwościach stopnia i w większości mają na celu wprowadzenie w przyszłości nowej zmiennej. Równanie pozwoli nam je wykazać 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Po pierwsze, potęgi, których wykładnikami jest suma określonej zmiennej (lub wyrażenia ze zmiennymi) i liczby, są zastępowane iloczynami. Dotyczy to pierwszego i ostatniego wyrazu wyrażenia po lewej stronie:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Następnie obie strony równości dzieli się przez wyrażenie 7 2 x, które na ODZ zmiennej x dla pierwotnego równania przyjmuje tylko wartości dodatnie (jest to standardowa technika rozwiązywania równań tego typu, nie jesteśmy teraz o tym mowa, więc skupmy się na kolejnych przekształceniach wyrażeń z potęgami):

Teraz możemy anulować ułamki z potęgami, co daje .

Na koniec stosunek potęg o tych samych wykładnikach zastępuje się potęgami relacji, w wyniku czego powstaje równanie , co jest równoważne . Dokonane przekształcenia pozwalają na wprowadzenie nowej zmiennej, która sprowadza rozwiązanie pierwotnego równania wykładniczego do rozwiązania równania kwadratowego

Miejska państwowa placówka oświatowa

Gimnazjum Podstawowe nr 25

Lekcja algebry

Temat:

« Konwersja wyrażeń zawierających potęgi z wykładnikami ułamkowymi”

Opracowany przez:

,

nauczyciel matematyki

wyżej dokategoria kwalifikacji

Węzłowy

2013

Temat lekcji: Konwersja wyrażeń zawierających wykładniki na wykładniki ułamkowe

Cel lekcji:

1. Dalszy rozwój umiejętności, wiedzy i umiejętności w zakresie konwersji wyrażeń zawierających stopnie z wykładnikami ułamkowymi

2. Rozwój umiejętności wyszukiwania błędów, rozwój myślenia, kreatywności, mowy, umiejętności liczenia

3. Kształtowanie niezależności, zainteresowania tematem, uważności, dokładności.

Całkowity koszt posiadania: tablica magnetyczna, karty testowe, tabele, karty indywidualne, uczniowie mają na stole czyste, podpisane arkusze do pracy indywidualnej, krzyżówkę, stoły do ​​rozgrzewki matematycznej, projektor multimedialny.

Typ lekcji: zabezpieczenie ZUNa.

Plan lekcji rozłożony w czasie

1. Aspekty organizacyjne (2 min)

2. Sprawdzanie pracy domowej (5 min)

3. Krzyżówka (3 min)

4. Rozgrzewka matematyczna (5 min)

5. Rozwiązywanie ćwiczeń wzmacniających czołowo (7 min)

6. Praca indywidualna (10 min)

7. Rozwiązanie ćwiczeń powtórkowych (5 min)

8. Podsumowanie lekcji (2 min)

9. Zadanie domowe (1 min)

Podczas zajęć

1) Sprawdzanie pracy domowej w formie recenzji koleżeńskiej . Dobrzy uczniowie sprawdzają zeszyty słabych dzieci. A słabi sprawdzają z mocnymi, korzystając z przykładowej karty kontrolnej. Zadania domowe zadawane są w dwóch wersjach.

I opcja zadanie nie jest trudne

II opcja, zadanie jest trudne

W wyniku kontroli chłopaki podkreślają błędy prostym ołówkiem i wystawiają ocenę. Ostatecznie sprawdzam pracę, gdy dzieci oddają zeszyty po zajęciach. Pytam chłopaków o wyniki testu i umieszczam oceny za tego typu pracę w mojej tabeli zbiorczej.

2) Aby przetestować materiał teoretyczny, oferowana jest krzyżówka.

Pionowo:

1. Właściwość mnożenia używana przy mnożeniu jednomianu przez wielomian?

2. Wpływ wykładników na podnoszenie potęgi do potęgi?

3. Dyplom z zerowym indeksem?

4. Produkt składający się z identycznych czynników?

Poziomo:

5. Korzeń nr – o stopień liczby nieujemnej?

6. Działanie wykładników przy mnożeniu potęg?

7. Wpływ wykładników na dzielenie potęg?

8. Liczba wszystkich identycznych czynników?

3) Rozgrzewka matematyczna

a) wykonaj obliczenia i za pomocą szyfru odczytaj słowo ukryte w zadaniu.

Przed tobą na tablicy znajduje się stół. Tabela w kolumnie 1 zawiera przykłady, które należy obliczyć.

Klucz do stołu

I wpisz odpowiedź w kolumnie II i w kolumnie III wstaw literę odpowiadającą tej odpowiedzi.

Nauczyciel: Zatem zaszyfrowane słowo to „stopień”. W kolejnym zadaniu pracujemy z II i III stopniem

b) Gra „Upewnij się, że się nie pomylisz”

Zamiast kropek wstaw liczbę

a) x=(x...)2; b) a3/2 = (a1/2)…; c) a=(a1/3)…; d) 5... = (51/4)2; e) 34/3=(34/9)…; e) 74/5 = (7...)2; g) x1/2=(x...)2; h) y1/2=(y...)2

Znajdźmy błąd:

А1/4 – 2а1/2 + 1 = (а1/

A więc, chłopaki, czego trzeba było użyć, aby wykonać to zadanie:

Własność stopni: podnosząc stopień do potęgi, wykładniki mnoży się;

4) Zacznijmy teraz od pracy pisemnej z zakresu front-endu. , korzystając z wyników wcześniejszych prac. Otwórz zeszyty i zapisz datę oraz temat lekcji.

№ 000

a) a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2 = (a1/2 – b1/2)*(a1/2 + b1/2)

b) a – c = (a1/3)3 – (b1/3)3 = (a1/3 – c1/3)*(a2/3 + a1/3 b1/3 + b2/3)

Nr 000 (a, c, d, e)

A ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)

c) a3 – 4 = (a3/2)2 – 22 = (a3/2 – 2)*(a3/2 +2)

d) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)

e) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)

Nr 000 (a, d, f)

a) x3 – 2 = x3 – (21/3)3 = (x – 21/3)*(x2 + 21/3 x + 22/3)

d) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 – 3 a2/5 + 9)

e) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)

Stopień

5) Pracuj nad indywidualnymi kartami, korzystając z czterech opcji na oddzielnych arkuszach

Zadania o różnym stopniu trudności rozwiązuje się bez podpowiedzi ze strony nauczyciela.

Natychmiast sprawdzam pracę i zapisuję oceny w swojej tabeli oraz w dokumentach chłopaków.

Nr 000 (a, c, d, h)

a) 4*31/2/(31/2 – 3) = 4*31/2 /31/2*(1 – 31/2) = 4 / (1 – 31/2)

c) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2

e) (a2/3 – b2/3)/(a1/3 +b1/3) = (a1/3)2 – (b1/3)2/(a1/3 +b1/3) = (a1/3 + b1/3)*(a1/3 – b1/3)/(a1/3 + b1/3) = a1/3 – b1/3

h) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 +(y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 +(y1/3)2)/(x1/3 +y1/3)*((x1 /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)

7) Praca na pojedynczych kartach o różnym stopniu złożoności. W niektórych ćwiczeniach znajdują się zalecenia nauczyciela, ponieważ materiał jest skomplikowany i słabym dzieciom trudno jest poradzić sobie z pracą

Dostępne są także cztery opcje. Ocena następuje natychmiast. Wszystkie oceny umieściłem w arkuszu kalkulacyjnym.

Problem nr z kolekcji

Nauczyciel zadaje pytania:

1. Co powinno znaleźć się w problemie?

2. Co musisz w tym celu wiedzieć?

3. Jak wyrazić czas 1 pieszego i 2 pieszych?

4. Porównaj czasy pieszych 1 i 2 zgodnie z warunkami zadania i utwórz równanie.

Rozwiązanie problemu:

Niech x (km/h) będzie prędkością 1 pieszego

X +1 (km/h) – prędkość 2 pieszych

4/х (h) – czas przejścia dla pieszych

4/(x +1) (h) – czas drugiego pieszego

Zgodnie z warunkami zadania 4/x >4/ (x +1) przez 12 minut

12 min = 12 /60 godz. = 1/5 godz

Zróbmy równanie

X/4 – 4/ (x +1) = 1/5

NOZ: 5x(x +1) ≠ 0

5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)

20x + 20 – 20x – x2 – x = 0

X2 +x –20 = 0

D=1 – 4*(-20) = 81, 81>0, 2 tys

x1 = (-1 -√81)/(-2) = 5 km/h – prędkość 1 pieszego

x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 – nie pasuje do znaczenia problemu, gdyż x>0

Odpowiedź: 5 km/h – prędkość 2 pieszych

9) Podsumowanie lekcji: A więc, chłopaki, dzisiaj na lekcji skonsolidowaliśmy wiedzę, umiejętności i umiejętności przekształcania wyrażeń zawierających stopnie, zastosowaliśmy skrócone wzory na mnożenie, usunęliśmy wspólny czynnik z nawiasów i powtórzyliśmy przerobiony materiał. Wskazuję zalety i wady.

Podsumowanie lekcji w tabeli.

10) Ogłaszam oceny. Praca domowa

Poszczególne karty K – 1 i K – 2

Zmieniam B – 1 i B – 2; B – 3 i B – 4, ponieważ są one równoważne

Zgłoszenia na lekcję.

1) Karty do odrabiania zadań domowych

1. uprościć

a) (x1/2 – y1/2)2 + 2x1/2 y1/2

b) (a3/2 + 5a1\2)2 – 10a2

2. występuje jako suma

a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)

b) (a1/2 – b1/2)*(a + a1/2 b1\2 + c)

3. usuń ogólny mnożnik

c) 151/3 +201/3

1. uprościć

a) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1\8 – b1/8)

2. występuje jako suma

a) x0,5 y0,5*(x-0,5 – y1,5)

b) (x1/3 +y1/3)*(x2\3 – x1/3 y1\3 +y2/3)

3. Usuń wspólny czynnik z nawiasów

b) c1\3 – c

c) (2a)1/3 – (5a)1\3

2) karta kontrolna dla B – 2

a) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2)2) = m 1/2 + n 1/2 – m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 – n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1/8 – b1/8) = (a1/4 + b1/4)*(a1/8)2 – ( в1/8)2 = (а1/4 + в1/4)*(а1/4 – в1/4) = (а1/4)2 – (в1/4)2 = а1/2 – в1/2

a) x0,5 y0,5* (x-0,5-y1,5) = x0,5 y0,5 x-0,5 – x0,5 y0,5y1,5 = x0 y0,5 – x0,5 y2 = y0. 5 – x0,5 y2

b) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 – x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 – x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y

a) 3 – 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)

b) v1/3 – v = v1/3 *(1 – v2/3)

c) (2a)1/3 – (5a)1/3 = a1/3*(21/3 – 51/3)

3) Karty do pierwszej pracy indywidualnej

a) a – y, x ≥ 0, y ≥ 0

b) a – i, a ≥ 0

1. Rozłóż na czynniki różnicę kwadratów

a) a1/2 – b1/2

2. Rozłóż na czynniki różnicę lub sumę kostek

a) c1/3 + d1/3

1. Rozłóż na czynniki różnicę kwadratów

a) X1/2 + Y1/2

b) X1/4 – U1/4

2. Rozłóż na czynniki różnicę lub sumę kostek

4) karty do drugiej pracy indywidualnej

a) (x – x1/2)/ (x1/2 – 1)

Instrukcja: x1/2, usuń liczniki z nawiasów

b) (a - c)/(a1/2 – b1/2)

Uwaga: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Zmniejsz ułamek

a) (21/4 – 2)/ 5*21/4

Instrukcja: usuń 21/4 z nawiasów

b) (a – c)/(5а1/2 – 5в1/2)

Uwaga: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Opcja 3

1. Zmniejsz ułamek

a) (x1/2 – x1/4)/x3/4

Instrukcja: usuń x1/4 z nawiasów

b) (a1/2 – b1/2)/(4a1/4 – 4b1/4)

Opcja 4

Zmniejsz ułamek

a) 10/ (10 – 101/2)

b) (a - c)/(a2/3 + a1\3b1/3+ B 1/3)

Temat: " Konwersja wyrażeń zawierających potęgi z wykładnikiem ułamkowym”

„Niech ktoś spróbuje wyeliminować stopnie naukowe z matematyki, a zobaczy, że bez nich daleko nie zajdzie”. (M.V. Łomonosow)

Cele Lekcji:

edukacyjny: podsumowywać i usystematyzować wiedzę uczniów na temat „Stopień z racjonalnym wskaźnikiem” monitorować poziom opanowania materiału; eliminować luki w wiedzy i umiejętnościach uczniów;

rozwijanie: rozwijać umiejętności samokontroli uczniów, tworzyć atmosferę zainteresowania pracą każdego ucznia, rozwijać aktywność poznawczą uczniów;

edukacyjny: kultywować zainteresowanie przedmiotem, historią matematyki.

Typ lekcji: lekcja uogólniania i systematyzacji wiedzy

Wyposażenie: arkusze ocen, karty z zadaniami, dekodery, krzyżówki dla każdego ucznia.

Przygotowanie wstępne: klasa zostaje podzielona na grupy, w każdej grupie liderem jest konsultant.

PODCZAS ZAJĘĆ

I. Moment organizacyjny.

Nauczyciel: Zakończyliśmy studiowanie tematu „Potęga o wykładniku wymiernym i jej własności”. Twoim zadaniem w tej lekcji jest pokazanie, jak opanowałeś przestudiowany materiał i jak możesz zastosować zdobytą wiedzę do rozwiązania konkretnych problemów. Każdy z Was ma na biurku arkusz wyników. Wpiszesz w nim swoją ocenę z każdego etapu lekcji. Na koniec lekcji podasz średnią ocenę za lekcję.

Dokument ewaluacyjny

II. Sprawdzanie pracy domowej.

Sprawdzanie wzajemne z ołówkiem w dłoni, odpowiedzi odczytują uczniowie.

III. Aktualizowanie wiedzy uczniów.

Nauczyciel: Słynny francuski pisarz Anatole France powiedział kiedyś: „Nauka musi być zabawą... Aby przyswoić wiedzę, należy ją chłonąć z apetytem”.

Powtórzmy niezbędne informacje teoretyczne podczas rozwiązywania krzyżówki.

Poziomo:

1. Czynność, za pomocą której obliczana jest wartość stopnia (budowa).

2. Produkt składający się z identycznych czynników (stopień).

3. Działanie wykładników przy podnoszeniu potęgi do potęgi (praca).

4. Działanie stopni, przy którym odejmuje się wykładniki stopni (dział).

Pionowo:

5. Liczba wszystkich identycznych czynników (indeks).

6. Stopień z zerowym indeksem (jednostka).

7. Powtarzający się mnożnik (baza).

8. Wartość 10 5: (2 3 5 5) (cztery).

9. Wykładnik, który zwykle nie jest zapisywany (jednostka).

IV. Rozgrzewka matematyczna.

Nauczyciel. Powtórzmy definicję stopnia z wykładnikiem wymiernym i jego właściwościami i wykonaj następujące zadania.

1. Przedstaw wyrażenie x 22 jako iloczyn dwóch potęg o podstawie x, jeśli jeden z czynników jest równy: x 2, x 5,5, x 1\3, x 17,5, x 0

2. Uprość:

b) y 5\8 y 1\4: y 1\8 = y

c) od 1,4 od -0,3 od 2,9

3. Oblicz i skomponuj słowo za pomocą dekodera.

Po wykonaniu tego zadania poznacie nazwisko niemieckiego matematyka, który wprowadził termin „wykładnik”.

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

Słowo: 1234567 (Stifel)

V. Praca pisemna w zeszytach (odpowiedzi otwierane są na tablicy) .

Zadania:

1. Uprość wyrażenie:

(x-2): (x 1\2 -2 1\2) (y-3): (y 1\2 – 3 1\2) (x-1): (x 2\3 - x 1\3 +1)

2. Znajdź wartość wyrażenia:

(x 3\8 x 1\4:) 4 przy x=81

VI. Praca w grupach.

Ćwiczenia. Rozwiązuj równania i twórz słowa za pomocą dekodera.

Karta nr 1

Słowo: 1234567 (Diofant)

Karta nr 2

Karta nr 3

Słowo: 123451 (Newton)

Dekoder

Nauczyciel. Wszyscy ci naukowcy przyczynili się do rozwoju pojęcia „stopnia”.

VII. Informacje historyczne o rozwoju pojęcia stopnia (przekazu studenckiego).

Koncepcja stopnia z naturalnym wskaźnikiem powstała wśród starożytnych ludów. Do obliczania pól i objętości używano liczb kwadratowych i sześciennych. Potęgi niektórych liczb były wykorzystywane do rozwiązywania pewnych problemów przez naukowców starożytnego Egiptu i Babilonu.

W III wieku opublikowano książkę greckiego naukowca Diofantusa „Arytmetyka”, która położyła podwaliny pod wprowadzenie symboli literowych. Diofant wprowadza symbole pierwszych sześciu potęg nieznanego i ich odwrotności. W tej książce kwadrat jest oznaczony znakiem z indeksem dolnym r; sześcian – znak k z indeksem r itd.

Z praktyki rozwiązywania bardziej złożonych problemów algebraicznych i operowania stopniami pojawiła się potrzeba uogólnienia pojęcia stopnia i rozszerzenia go poprzez wprowadzenie jako wykładnika liczb zerowych, ujemnych i ułamkowych. Matematycy wpadli na pomysł stopniowego uogólniania pojęcia stopnia do stopnia z wykładnikiem nienaturalnym.

Wykładniki ułamkowe i najprostsze zasady działania potęg z wykładnikami ułamkowymi można znaleźć u francuskiego matematyka Nicholasa Oresme (1323–1382) w jego pracy „Algorithm of Proportions”.

Równość a 0 = 1 (dla i nie równa 0) zastosował w swoich pracach na początku XV wieku samarkandyjski naukowiec Giyasaddin Kashi Dzhemshid. Niezależnie wskaźnik zerowy wprowadził Mikołaj Schuke w XV wieku. Wiadomo, że Nicholas Shuquet (1445–1500) rozważał stopnie z wykładnikami ujemnymi i zerowymi.

Później wykładniki ułamkowe i ujemne można znaleźć w „Complete Arithmetic” (1544) niemieckiego matematyka M. Stiefela oraz u Simona Stevina. Simon Stevin zasugerował, że 1/n ma być pierwiastkiem.

Niemiecki matematyk M. Stiefel (1487–1567) podał definicję 0 = 1 at i wprowadził nazwę wykładnik (jest to dosłowne tłumaczenie z niemieckiego wykładnik). Niemieckie potenzieren oznacza podniesienie do potęgi.

Pod koniec XVI wieku François Viète wprowadził litery służące do oznaczania nie tylko zmiennych, ale także ich współczynników. Używał skrótów: N, Q, C - dla pierwszego, drugiego i trzeciego stopnia. Jednak nowoczesne oznaczenia (takie jak 4, 5) zostały wprowadzone w XVII wieku przez Rene Descartes.

Współczesne definicje i oznaczenia potęg z wykładnikami zerowymi, ujemnymi i ułamkowymi wywodzą się z prac angielskich matematyków Johna Wallisa (1616–1703) i Izaaka Newtona (1643–1727).

Celowość wprowadzenia wykładników zerowych, ujemnych i ułamkowych oraz współczesnych symboli została po raz pierwszy szczegółowo opisana w 1665 roku przez angielskiego matematyka Johna Wallisa. Jego dzieło ukończył Izaak Newton, który zaczął systematycznie stosować nowe symbole, po czym weszły one do powszechnego użytku.

Wprowadzenie stopnia z wykładnikiem wymiernym jest jednym z wielu przykładów uogólnienia koncepcji działania matematycznego. Stopień o wykładniku zerowym, ujemnym i ułamkowym definiuje się w ten sposób, że obowiązują wobec niego takie same zasady postępowania jak dla stopnia z wykładnikiem naturalnym, tj. tak, aby zostały zachowane podstawowe właściwości pierwotnie zdefiniowanego pojęcia stopnia.

Nowa definicja stopnia z wykładnikiem wymiernym nie jest sprzeczna ze starą definicją stopnia z wykładnikiem naturalnym, to znaczy znaczenie nowej definicji stopnia z wykładnikiem wymiernym pozostaje takie samo dla szczególnego przypadku stopnia z wykładnikiem naturalnym. Zasada ta, przestrzegana przy uogólnianiu pojęć matematycznych, nazywana jest zasadą trwałości (zachowania stałości). W niedoskonałej formie wyraził ją w 1830 r. angielski matematyk J. Peacock, a w pełni i wyraźnie ustalił ją niemiecki matematyk G. Hankel w 1867 r.

VIII. Sprawdź się.

Samodzielna praca z wykorzystaniem kart (odpowiedzi odkrywane są na tablicy) .

opcja 1

1. Oblicz: (1 punkt)

(za + 3a 1\2): (za 1\2 +3)

Opcja 2

1. Oblicz: (1 punkt)

2. Uprość wyrażenie: po 1 punkcie

a) x 1,6 x 0,4 b)(x 3\8) -5\6

3. Rozwiąż równanie: (2 punkty)

4. Uprość wyrażenie: (2 punkty)

5. Znajdź wartość wyrażenia: (3 punkty)

IX. Podsumowanie lekcji.

Jakie formuły i zasady zapamiętałeś na zajęciach?

Przeanalizuj swoją pracę na zajęciach.

Oceniana jest praca uczniów na zajęciach.

X. Praca domowa. K: R IV (powtórz) art. 156-157 nr 4 (a-c), nr 7 (a-c),

Dodatkowo: nr 16

Aplikacja

Dokument ewaluacyjny

Imię/imię/uczeń_______________________________________________

Karta nr 1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Karta nr 2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Karta nr 3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) i 1\2 = 2\3

Dekoder

Karta nr 1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Karta nr 2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Karta nr 3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) i 1\2 = 2\3

Dekoder

Karta nr 1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Karta nr 2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Karta nr 3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) i 1\2 = 2\3

Dekoder

Sekcje: Matematyka

Klasa: 9

CEL: Utrwalenie i doskonalenie umiejętności stosowania właściwości stopnia z wykładnikiem racjonalnym; kształcić umiejętności wykonywania prostych przekształceń wyrażeń zawierających potęgi z wykładnikiem ułamkowym.

RODZAJ LEKCJI: lekcja utrwalania i stosowania wiedzy na ten temat.

PODRĘCZNIK: Algebra 9 wyd. SA Telyakovsky.

PODCZAS ZAJĘĆ

Mowa inauguracyjna nauczyciela

„Ludzie niezaznajomieni z algebrą nie są w stanie wyobrazić sobie niesamowitych rzeczy, które można osiągnąć… przy pomocy tej nauki”. G.V. Leibniza

Algebra otwiera przed nami drzwi do kompleksu laboratoryjnego „Stopień z wykładnikiem racjonalnym”.

1. Badanie czołowe

1) Podaj definicję stopnia z wykładnikiem ułamkowym.

2) Dla jakiego wykładnika ułamkowego definiuje się stopień o podstawie równej zero?

3) Czy stopień będzie wyznaczany za pomocą wykładnika ułamkowego dla podstawy ujemnej?

Zadanie: Wyobraź sobie liczbę 64 jako potęgę o podstawie - 2; 2; 8.

Sześcian jakiej liczby wynosi 64?

Czy istnieje inny sposób przedstawienia liczby 64 jako potęgi z wymiernym wykładnikiem?

2. Pracuj w grupach

1 grupa. Udowodnić, że wyrażenia (-2) 3/4 ; 0-2 nie ma sensu.

2. grupa. Wyobraź sobie potęgę z wykładnikiem ułamkowym w postaci pierwiastka: 2 2/3; 3 -1|3 ; -w 1,5; 5a 1/2; (x-y) 2/3 .

3. grupa. Przedstawione jako potęga z wykładnikiem ułamkowym: v3; 8 do 4; 3v2 -2 ; v(x+y) 2/3 ; ww.

3. Przejdźmy do laboratorium „Działanie na mocach”

Częstymi gośćmi laboratorium są astronomowie. Przynoszą swoje „liczby astronomiczne”, poddają je przetwarzaniu algebraicznemu i uzyskują przydatne wyniki

Na przykład odległość od Ziemi do mgławicy Andromedy wyraża się liczbą

95000000000000000000 = 95 10 18 km;

to jest nazwane kwintylion.

Masę słońca w gramach wyraża się liczbą 1983 10 30 g - nienalion.

Poza tym laboratorium stoi przed innymi poważnymi zadaniami. Na przykład problem obliczania wyrażeń takich jak:

A) ; B) ; V) .

Pracownicy laboratorium wykonują takie obliczenia w najwygodniejszy sposób.

Możesz połączyć się z pracą. W tym celu powtórzmy własności potęg o wykładnikach wymiernych:

Teraz oblicz lub uprość wyrażenie, korzystając z właściwości potęg o wykładnikach wymiernych:

1. grupa:

Grupa 2:

Grupa 3:

Sprawdź: jedna osoba z grupy przy tablicy.

4. Zadanie porównawcze

Jak możemy porównać wyrażenia 2 100 i 10 30, korzystając z właściwości potęg?

Odpowiedź:

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. A teraz zapraszam do laboratorium „Badania Stopni”.

Jakie przekształcenia możemy wykonać na potęgach?

1) Wyobraź sobie liczbę 3 jako potęgę z wykładnikiem 2; 3; -1.

2) Jak można rozłożyć na czynniki wyrażenia a-c? w+w 1/2; a-2a 1/2; 2 to 2?

3) Zmniejsz ułamek, a następnie wzajemną weryfikację:

4) Wyjaśnij dokonane przekształcenia i znajdź znaczenie wyrażenia:

6. Praca z podręcznikiem. Nr 611(g, d, f).

Grupa 1: (d).

Grupa 2: (e).

Grupa 3: (f).

Nr 629 (a, b).

Recenzja partnerska.

7. Prowadzimy warsztat (praca samodzielna).

Dane wyrażenia:

Kiedy redukujesz, które ułamki są skróconymi wzorami na mnożenie i umieszczasz wspólny czynnik w nawiasach?

Grupa 1: Nr 1, 2, 3.

Grupa 2: nr 4, 5, 6.

Grupa 3: nr 7, 8, 9.

Wykonując zadanie, możesz skorzystać z rekomendacji.

1. Jeżeli przykładowy zapis zawiera obie potęgi o wykładniku wymiernym i pierwiastki n-tego stopnia, to pierwiastki n-tego stopnia zapisz w postaci potęg o wykładniku wymiernym.
2. Spróbuj uprościć wyrażenie, na którym wykonywane są czynności: otwierając nawiasy, stosując skróconą formułę mnożenia, przechodząc od potęgi o wykładniku ujemnym do wyrażenia zawierającego potęgi o wykładniku dodatnim.
3. Ustal kolejność, w jakiej należy wykonać czynności.
4. Wykonaj kroki w kolejności, w jakiej są wykonywane.

Nauczyciel ocenia po zebraniu zeszytów.

8. Praca domowa: nr 624, 623.