Reszta z dzielenia przez 45. Dzielenie z resztą
Rozważ prosty przykład:
15:5=3
W tym przykładzie podzieliliśmy liczbę naturalną 15 całkowicie 3, bez reszty.
Czasami liczba naturalna nie może być całkowicie podzielona. Rozważmy na przykład problem:
W szafie było 16 zabawek. W grupie było pięcioro dzieci. Każde dziecko wzięło taką samą liczbę zabawek. Ile zabawek ma każde dziecko?
Rozwiązanie:
Podziel liczbę 16 przez 5 przez kolumnę i otrzymaj:
Wiemy, że 16 razy 5 nie jest podzielne. Najbliższa mniejsza liczba podzielna przez 5 to 15 z resztą 1. Liczbę 15 możemy zapisać jako 5⋅3. W rezultacie (16 - dywidenda, 5 - dzielnik, 3 - iloraz częściowy, 1 - reszta). Dostał formuła dzielenie z resztą co można zrobić weryfikacja rozwiązania.
A=
B⋅
C+
D
A - podzielne
B - rozdzielacz,
C - iloraz niepełny,
D - reszta.
Odpowiedź: Każde dziecko weźmie 3 zabawki i jedna pozostanie.
Pozostałość po dywizji
Reszta zawsze musi być mniejsza od dzielnika.
Jeśli reszta przy dzieleniu wynosi zero, to dywidenda jest podzielna. całkowicie lub brak reszty na dzielnik.
Jeśli podczas dzielenia reszta jest większa niż dzielnik, oznacza to, że znaleziona liczba nie jest największa. Istnieje większa liczba, która podzieli dywidendę, a reszta będzie mniejsza niż dzielnik.
Pytania na temat „Dzielenie z resztą”:
Czy reszta może być większa od dzielnika?
Odpowiedź: nie.
Czy reszta może być równa dzielnikowi?
Odpowiedź: nie.
Jak znaleźć dywidendę przez niepełny iloraz, dzielnik i resztę?
Odpowiedź: podstawiamy wartości niepełnego ilorazu, dzielnika i reszty do wzoru i znajdujemy dzielną. Formuła:
a=b⋅c+d
Przykład 1:
Wykonaj dzielenie z resztą i sprawdź: a) 258:7 b) 1873:8
Rozwiązanie:
a) Podziel w kolumnie: 
258 - podzielna,
7 - rozdzielacz,
36 - niepełny iloraz,
6 - reszta. Reszta mniejsza niż dzielnik 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Podziel w kolumnie: 
1873 - podzielna,
8 - rozdzielacz,
234 - niepełny iloraz,
1 to reszta. Reszta mniejsza niż dzielnik 1<8.
Podstawiamy we wzorze i sprawdzamy, czy poprawnie rozwiązaliśmy przykład:
8⋅234+1=1872+1=1873
Przykład nr 2:
Jakie reszty otrzymuje się podczas dzielenia liczb naturalnych: a) 3 b) 8?
Odpowiedź:
a) Reszta jest mniejsza niż dzielnik, a więc mniejsza niż 3. W naszym przypadku reszta może wynosić 0, 1 lub 2.
b) Reszta jest mniejsza niż dzielnik, a więc mniejsza niż 8. W naszym przypadku reszta może wynosić 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lub 7.
Przykład nr 3:
Jaka jest największa reszta, jaką można otrzymać z dzielenia liczb naturalnych: a) 9 b) 15?
Odpowiedź:
a) Reszta jest mniejsza od dzielnika, czyli mniejsza od 9. Ale musimy wskazać największą resztę. To jest liczba najbliższa dzielnikowi. Ta liczba to 8.
b) Reszta jest mniejsza od dzielnika, czyli mniejsza od 15. Ale musimy wskazać największą resztę. To jest liczba najbliższa dzielnikowi. Ta liczba to 14.
Przykład 4:
Znajdź dywidendę: a) a: 6 \u003d 3 (poz. 4) b) c: 24 \u003d 4 (poz. 11)
Rozwiązanie:
a) Rozwiąż korzystając ze wzoru:
a=b⋅c+d
(a to dywidenda, b to dzielnik, c to iloraz częściowy, d to reszta).
a:6=3(reszta 4)
(a to dzielna, 6 to dzielnik, 3 to niepełny iloraz, 4 to reszta). Zastąp liczby we wzorze:
a=6⋅3+4=22
Odpowiedź: a=22
b) Rozwiąż korzystając ze wzoru:
a=b⋅c+d
(a to dywidenda, b to dzielnik, c to iloraz częściowy, d to reszta).
s:24=4(odpoczynek.11)
(c to dzielna, 24 to dzielnik, 4 to iloraz częściowy, 11 to reszta). Zastąp liczby we wzorze:
c=24⋅4+11=107
Odpowiedź: s=107
Zadanie:
Przewód 4m. należy pokroić na kawałki o długości 13 cm. Ile będzie tych kawałków?
Rozwiązanie:
Najpierw musisz przekonwertować metry na centymetry.
4m = 400cm.
Możesz podzielić przez kolumnę lub w myślach otrzymamy:
400:13=30(reszta 10)
Sprawdźmy:
13⋅30+10=390+10=400
Odpowiedź: Wyjdzie 30 sztuk i pozostanie 10 cm drutu.
W tym artykule przeanalizujemy dzielenie całkowite z resztą. Zacznijmy od ogólnej zasady dzielenia liczb całkowitych z resztą, sformułuj i udowodnij twierdzenie o podzielności liczb całkowitych z resztą, prześledźmy związki między dzielną, dzielnikiem, ilorazem częściowym i resztą. Następnie ogłosimy zasady, według których przeprowadzany jest podział liczb całkowitych z resztą, i rozważymy zastosowanie tych zasad podczas rozwiązywania przykładów. Następnie nauczymy się, jak sprawdzić wynik dzielenia liczb całkowitych z resztą.
Nawigacja po stronie.
Ogólna idea dzielenia liczb całkowitych z resztą
Dzielenie liczb całkowitych z resztą będziemy traktować jako uogólnienie dzielenia z resztą liczb naturalnych. Wynika to z faktu, że liczby naturalne są składową liczb całkowitych.
Zacznijmy od terminów i notacji, które są używane w opisie.
Analogicznie do dzielenia liczb naturalnych z resztą zakładamy, że wynikiem dzielenia z resztą z dwóch liczb całkowitych a i b (b nie jest równe zeru) są dwie liczby całkowite c i d . Liczby a i b nazywamy podzielny I rozdzielacz odpowiednio, liczba d jest reszta z dzielenia a przez b i nazywamy liczbę całkowitą c niekompletny prywatny(lub po prostu prywatny jeśli reszta jest równa zeru).
Umówmy się, że reszta jest nieujemną liczbą całkowitą, a jej wartość nie przekracza b, czyli (z podobnymi łańcuchami nierówności spotkaliśmy się, gdy rozmawialiśmy o porównaniu trzech lub więcej liczb całkowitych).
Jeśli liczba c jest ilorazem częściowym, a liczba d jest resztą z dzielenia liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą b, to pokrótce zapiszemy ten fakt jako równość postaci a:b=c (reszta d) .
Zauważ, że gdy liczba całkowita a jest dzielona przez liczbę całkowitą b, reszta może wynosić zero. W tym przypadku mówimy, że a jest podzielne przez b bez śladu(Lub całkowicie). Zatem dzielenie liczb całkowitych bez reszty jest szczególnym przypadkiem dzielenia liczb całkowitych z resztą.
Warto też powiedzieć, że przy dzieleniu zera przez pewną liczbę całkowitą zawsze mamy do czynienia z dzieleniem bez reszty, gdyż w tym przypadku iloraz będzie równy zeru (patrz rozdział o teorii dzielenia zera przez liczbę całkowitą), oraz reszta również będzie równa zeru.
Zdecydowaliśmy się na terminologię i notację, teraz zastanówmy się, co oznacza dzielenie liczb całkowitych resztą.
Dzielenie ujemnej liczby całkowitej a przez dodatnią liczbę całkowitą b również może mieć sens. Aby to zrobić, rozważ ujemną liczbę całkowitą jako dług. Wyobraźmy sobie taką sytuację. Dług składający się na przedmioty musi zostać spłacony przez b osób, które wniosą ten sam wkład. Bezwzględna wartość niepełnego ilorazu c w tym przypadku określi wysokość zadłużenia każdej z tych osób, a reszta d pokaże, ile pozycji pozostanie po spłacie długu. Weźmy przykład. Powiedzmy, że 2 osoby są winne 7 jabłek. Jeżeli przyjmiemy, że każdy z nich jest winien 4 jabłka, to po spłacie długu zostanie im 1 jabłko. Ta sytuacja odpowiada równości (−7):2=−4 (reszta 1) .
Dzieląc resztę z dowolnej liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą ujemną, nie przypiszemy żadnego znaczenia, ale pozostawimy jej prawo do istnienia.
Twierdzenie o podzielności liczb całkowitych z resztą
Kiedy mówiliśmy o dzieleniu liczb naturalnych przez resztę, dowiedzieliśmy się, że dzielna a, dzielnik b, iloraz częściowy c i reszta d są powiązane równością a=b c+d. Liczby całkowite a , b , c i d mają ten sam związek. To połączenie jest potwierdzone w następujący sposób twierdzenie o podzielności z resztą.
Twierdzenie.
Dowolną liczbę całkowitą a można przedstawić w unikalny sposób za pomocą liczby całkowitej i liczby różnej od zera b w postaci a=b q+r , gdzie q i r są liczbami całkowitymi, a .
Dowód.
Najpierw udowodnijmy możliwość reprezentacji a=b·q+r .
Jeśli liczby całkowite aib są takie, że a jest podzielne przez b, to z definicji istnieje liczba całkowita q taka, że a=b q . W tym przypadku równość a=b q+r zachodzi dla r=0 .
Załóżmy teraz, że b jest dodatnią liczbą całkowitą. Wybieramy liczbę całkowitą q tak, aby iloczyn b·q nie przekraczał liczby a , a iloczyn b·(q+1) był już większy od a . To znaczy, bierzemy q takie, że nierówności b q Pozostaje udowodnić możliwość przedstawienia a=b q+r dla ujemnego b . Ponieważ moduł liczby b jest w tym przypadku liczbą dodatnią, to istnieje reprezentacja dla , gdzie q 1 jest liczbą całkowitą, a r jest liczbą całkowitą spełniającą warunki . Następnie, zakładając q=−q 1 , otrzymujemy wymaganą reprezentację a=b q+r dla ujemnego b . Przechodzimy do dowodu wyjątkowości. Załóżmy, że oprócz reprezentacji a=b q+r, q i r są liczbami całkowitymi i , istnieje inna reprezentacja a=b q 1 + r 1 , gdzie q 1 i r 1 są liczbami całkowitymi, a q 1 ≠ q i . Po odjęciu odpowiednio lewej i prawej części pierwszej równości, lewej i prawej części drugiej równości, otrzymujemy 0=b (q−q 1)+r−r 1 , co jest równoważne równości r− r 1 = b (q 1 - q) . Następnie równość formy Z warunków i możemy wywnioskować, że . Ponieważ q i q 1 są liczbami całkowitymi i q≠q 1 , to , skąd wnioskujemy, że Równość a=b c+d pozwala znaleźć nieznaną dywidendę a, jeśli znany jest dzielnik b, iloraz częściowy c i reszta d. Rozważ przykład. Przykład. Ile wynosi dywidenda, jeśli jej dzielenie przez liczbę całkowitą −21 daje niepełny iloraz 5 i resztę 12? Rozwiązanie. Musimy obliczyć dzielną a, gdy znamy dzielnik b=−21 , iloraz częściowy c=5 i resztę d=12 . Przechodząc do równości a=b c+d , otrzymujemy a=(−21) 5+12 . Obserwując , najpierw wykonujemy mnożenie liczb całkowitych −21 i 5 zgodnie z regułą mnożenia liczb całkowitych o różnych znakach , po czym wykonujemy dodawanie liczb całkowitych o różnych znakach : (−21) 5+12=−105+12 =−93 . Odpowiedź: −93
.
Relacje między dzielną, dzielnikiem, ilorazem częściowym i resztą wyrażamy również równościami postaci b=(a−d):c , c=(a−d):b i d=a−b·c . Te równości pozwalają nam obliczyć odpowiednio dzielnik, iloraz częściowy i resztę. Często musimy znaleźć resztę z dzielenia liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą b, gdy znana jest dzielna, dzielnik i iloraz częściowy, używając wzoru d=a−b·c . Aby uniknąć dalszych pytań, przeanalizujemy przykład obliczenia reszty. Przykład. Znajdź resztę z dzielenia liczby całkowitej −19 przez liczbę całkowitą 3, jeśli wiadomo, że iloraz częściowy wynosi −7. Rozwiązanie. Aby obliczyć resztę z dzielenia, używamy wzoru d=a−b·c . Z warunku mamy wszystkie potrzebne dane a=−19 , b=3 , c=−7 . Otrzymujemy d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (różnicę −19−(−21) obliczyliśmy korzystając z reguły odejmowania ujemnej liczba całkowita). Odpowiedź: Jak już wielokrotnie zauważyliśmy, dodatnie liczby całkowite są liczbami naturalnymi. Dlatego dzielenie z resztą dodatnich liczb całkowitych odbywa się zgodnie ze wszystkimi zasadami dzielenia z resztą liczb naturalnych. Bardzo ważna jest możliwość łatwego dzielenia resztą liczb naturalnych, ponieważ to ona leży u podstaw dzielenia nie tylko liczb całkowitych dodatnich, ale także podstawy wszelkich reguł dzielenia resztą dowolnych liczb całkowitych. Z naszego punktu widzenia najwygodniej jest wykonać dzielenie przez kolumnę, ta metoda pozwala uzyskać zarówno niepełny iloraz (lub tylko iloraz), jak i resztę. Rozważmy przykład dzielenia z resztą dodatnich liczb całkowitych. Przykład. Wykonaj dzielenie z resztą 14671 przez 54 . Rozwiązanie. Podzielmy te dodatnie liczby całkowite przez kolumnę: Niepełny iloraz okazał się równy 271, a reszta to 37. Odpowiedź: 14 671:54=271 (reszta 37) . Sformułujmy regułę, która pozwala wykonać dzielenie reszty z dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą. Częściowy iloraz dzielenia dodatniej liczby całkowitej a przez ujemną liczbę całkowitą b jest przeciwieństwem częściowego ilorazu dzielenia a przez moduł b, a reszta z dzielenia a przez b jest resztą z dzielenia przez . Z reguły tej wynika, że niepełny iloraz dzielenia dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą jest liczbą całkowitą nieujemną. Przekształćmy dźwięczną regułę w algorytm dzielenia przez resztę dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą: Podajmy przykład zastosowania algorytmu dzielenia liczby całkowitej dodatniej przez liczbę całkowitą ujemną. Przykład. Podziel przez resztę z dodatniej liczby całkowitej 17 przez ujemną liczbę całkowitą −5 . Rozwiązanie. Użyjmy algorytmu dzielenia z resztą z dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą. Działowy Przeciwna liczba 3 to -3. Zatem wymagany częściowy iloraz dzielenia 17 przez -5 wynosi -3, a reszta to 2. Odpowiedź: 17 :(−5)=−3 (reszta 2). Przykład. Dzielić 45 na -15 . Rozwiązanie. Moduły dzielnej i dzielnika to odpowiednio 45 i 15. Liczba 45 jest podzielna przez 15 bez reszty, podczas gdy iloraz wynosi 3. Zatem dodatnia liczba całkowita 45 jest podzielna przez ujemną liczbę całkowitą −15 bez reszty, podczas gdy iloraz jest równy liczbie przeciwnej do 3, czyli −3. Rzeczywiście, zgodnie z regułą dzielenia liczb całkowitych o różnych znakach, mamy . Odpowiedź: 45:(−15)=−3
.
Sformułujmy regułę dzielenia z resztą z ujemnej liczby całkowitej przez dodatnią liczbę całkowitą. Aby uzyskać niepełny iloraz c z dzielenia ujemnej liczby całkowitej a przez dodatnią liczbę całkowitą b, musisz wziąć liczbę przeciwną do niepełnego ilorazu z dzielenia modułów pierwotnych liczb i odjąć od niej jeden, po czym obliczana jest reszta d używając wzoru d=a−b c . Z tej zasady dzielenia z resztą wynika, że niezupełny iloraz dzielenia ujemnej liczby całkowitej przez dodatnią liczbę całkowitą jest liczbą całkowitą ujemną. Z reguły dźwięcznej wynika algorytm dzielenia z resztą z ujemnej liczby całkowitej a przez dodatnią liczbę całkowitą b: Przeanalizujmy rozwiązanie przykładu, w którym używamy zapisanego algorytmu dzielenia z resztą. Przykład. Znajdź iloraz częściowy i resztę z ujemnej liczby całkowitej −17 podzielonej przez dodatnią liczbę całkowitą 5 . Rozwiązanie. Moduł dzielnej -17 wynosi 17, a moduł dzielnika 5 wynosi 5. Działowy 17 na 5 , otrzymujemy niepełny iloraz 3 i resztę 2 . Przeciwieństwem 3 jest −3 . Odejmij jeden od −3: −3−1=−4 . Tak więc pożądany niepełny iloraz wynosi -4. Pozostało obliczyć resztę. W naszym przykładzie a=−17 , b=5 , c=−4 , wtedy d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . Zatem iloraz częściowy ujemnej liczby całkowitej -17 podzielonej przez dodatnią liczbę całkowitą 5 wynosi -4, a reszta to 3. Odpowiedź: (−17):5=−4 (reszta 3) . Przykład. Podziel ujemną liczbę całkowitą −1 404 przez dodatnią liczbę całkowitą 26 . Rozwiązanie. Moduł dywidendy wynosi 1404, moduł dzielnika wynosi 26. Podziel 1404 przez 26 w kolumnie: Ponieważ moduł dywidendy został podzielony przez moduł dzielnika bez reszty, pierwotne liczby całkowite są dzielone bez reszty, a pożądany iloraz jest równy liczbie przeciwnej do 54, czyli −54. Odpowiedź: (−1 404):26=−54
.
Sformułujmy regułę dzielenia z resztą ujemnych liczb całkowitych. Aby uzyskać niepełny iloraz c z dzielenia ujemnej liczby całkowitej a przez ujemną liczbę całkowitą b, musisz obliczyć niepełny iloraz z dzielenia modułów pierwotnych liczb i dodać do niego jeden, a następnie obliczyć resztę d za pomocą wzoru d =a-b do . Z reguły tej wynika, że niezupełny iloraz dzielenia liczb całkowitych ujemnych jest liczbą całkowitą dodatnią. Przepiszmy dźwięczną regułę w postaci algorytmu dzielenia ujemnych liczb całkowitych: Rozważ zastosowanie algorytmu dzielenia liczb całkowitych ujemnych podczas rozwiązywania przykładu. Przykład. Znajdź iloraz częściowy i resztę z ujemnej liczby całkowitej −17 podzielonej przez ujemną liczbę całkowitą −5. Rozwiązanie. Stosujemy odpowiedni algorytm dzielenia z resztą. Moduł dywidendy wynosi 17 , moduł dzielnika wynosi 5 . Dział 17 razy 5 daje niepełny iloraz 3, a resztę 2. Do niepełnego ilorazu 3 dodajemy jeden: 3+1=4. Dlatego pożądany niepełny iloraz dzielenia −17 przez −5 wynosi 4. Pozostało obliczyć resztę. W tym przykładzie a=−17 , b=−5 , c=4 , wtedy d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3 . Zatem iloraz częściowy ujemnej liczby całkowitej −17 podzielonej przez ujemną liczbę całkowitą −5 wynosi 4 , a reszta to 3 . Odpowiedź: (−17):(−5)=4 (reszta 3) . Po wykonaniu dzielenia liczb całkowitych z resztą warto sprawdzić wynik. Weryfikacja odbywa się w dwóch etapach. W pierwszym etapie sprawdzane jest, czy reszta d jest liczbą nieujemną, a także sprawdzany jest warunek. Jeśli spełnione są wszystkie warunki pierwszego etapu weryfikacji, możesz przejść do drugiego etapu weryfikacji, w przeciwnym razie można argumentować, że gdzieś popełniono błąd podczas dzielenia z resztą. W drugim etapie sprawdzana jest poprawność równości a=b·c+d. Jeśli ta równość jest prawdziwa, to podział z resztą został przeprowadzony poprawnie, w przeciwnym razie gdzieś popełniono błąd. Rozważmy rozwiązania przykładów, w których sprawdzany jest wynik dzielenia liczb całkowitych z resztą. Przykład. Podczas dzielenia liczby -521 przez -12 iloraz częściowy wynosił 44, a reszta 7 , sprawdź wynik. Rozwiązanie. −2 dla b=−3 , do=7 , re=1 . Mamy b c+d=−3 7+1=−21+1=−20. Zatem równość a=b c+d jest niepoprawna (w naszym przykładzie a=−19 ). Dlatego dzielenie z resztą zostało przeprowadzone nieprawidłowo. Artykuł analizuje koncepcję dzielenia liczb całkowitych z resztą. Udowodnimy twierdzenie o podzielności liczb całkowitych z resztą i przyjrzymy się powiązaniom między podzielnymi i dzielnikami, niezupełnymi ilorazami i resztami. Rozważ zasady dzielenia liczb całkowitych z resztami, po szczegółowym zbadaniu przykładów. Na końcu rozwiązania przeprowadzimy kontrolę. Dzielenie liczb całkowitych z resztą jest traktowane jako dzielenie uogólnione z resztą z liczb naturalnych. Dzieje się tak, ponieważ liczby naturalne są składnikiem liczb całkowitych. Dzielenie resztą dowolnej liczby mówi, że liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę b różną od zera. Jeśli b = 0, to dzielenie z resztą nie jest wykonywane. Oprócz dzielenia liczb naturalnych z resztą wykonuje się dzielenie liczb całkowitych a i b, gdzie b jest różne od zera, przez c i d. W tym przypadku a i b nazywane są dzielną i dzielnikiem, a d to reszta z dzielenia, c to liczba całkowita lub częściowy iloraz. Jeżeli przyjmiemy, że reszta jest nieujemną liczbą całkowitą, to jej wartość nie jest większa niż moduł liczby b. Zapiszmy to w ten sposób: 0 ≤ d ≤ b . Ten łańcuch nierówności jest używany przy porównywaniu 3 lub więcej liczb. Jeśli c jest niepełnym ilorazem, to d jest resztą z dzielenia liczby całkowitej a przez b, możesz krótko naprawić: a: b \u003d c (pozostało d). Reszta przy dzieleniu liczb a przez b jest możliwa do zera, wtedy mówią, że a jest podzielone przez b całkowicie, to znaczy bez reszty. Dzielenie bez reszty jest uważane za szczególny przypadek dzielenia. Jeśli podzielimy zero przez jakąś liczbę, w wyniku otrzymamy zero. Reszta z dzielenia również będzie równa zeru. Można to zobaczyć z teorii dzielenia zera przez liczbę całkowitą. Rozważmy teraz znaczenie dzielenia liczb całkowitych z resztą. Wiadomo, że dodatnie liczby całkowite są naturalne, to przy dzieleniu z resztą uzyskamy to samo znaczenie, co przy dzieleniu liczb naturalnych z resztą. Dzielenie ujemnej liczby całkowitej a przez dodatnią liczbę całkowitą b ma sens. Spójrzmy na przykład. Wyobraźmy sobie sytuację, w której mamy zadłużenie z przedmiotów w wysokości a, które musi spłacić b osób. Aby to zrobić, każdy musi wnieść równy wkład. Aby określić wysokość zadłużenia dla każdego, należy zwrócić uwagę na wartość prywatnego c. Reszta d wskazuje, że znana jest liczba pozycji po spłacie długów. Weźmy przykład z jabłkami. Jeśli 2 osoby potrzebują 7 jabłek. Jeśli obliczymy, że każdy musi zwrócić 4 jabłka, to po pełnym obliczeniu zostanie im 1 jabłko. Zapiszmy to jako równość: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) . Dzielenie dowolnej liczby a przez liczbę całkowitą nie ma sensu, ale jest możliwe jako opcja. Ustaliliśmy, że a jest dzielną, następnie b jest dzielnikiem, c jest ilorazem częściowym, a d jest resztą. Są ze sobą powiązane. Pokażemy tę zależność za pomocą równości a = b · c + d . Zależność między nimi charakteryzuje twierdzenie o podzielności z resztą. Twierdzenie Dowolną liczbę całkowitą można przedstawić tylko w postaci liczby całkowitej i liczby różnej od zera b w następujący sposób: a = b · q + r , gdzie q i r są liczbami całkowitymi. Tutaj mamy 0 ≤ r ≤ b . Udowodnijmy możliwość istnienia a = b · q + r . Dowód Jeżeli są dwie liczby a i b, a a jest podzielna przez b bez reszty, to z definicji wynika, że istnieje liczba q, że równość a = b · q będzie prawdziwa. Wtedy równość można uznać za prawdziwą: a = b q + r dla r = 0. Następnie należy przyjąć q takie, że dane przez nierówność b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b . Mamy, że wartość wyrażenia a − b · q jest większa od zera i nie większa od wartości liczby b, stąd wynika, że r = a − b · q . Otrzymujemy, że liczbę a można przedstawić jako a = b · q + r. Teraz musimy rozważyć możliwość reprezentacji a = b · q + r dla ujemnych wartości b . Moduł liczby okazuje się być dodatni, wtedy otrzymujemy a = b q 1 + r, gdzie wartość q 1 jest pewną liczbą całkowitą, r jest liczbą całkowitą spełniającą warunek 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b . Dowód wyjątkowości Załóżmy, że a = b q + r , q i r są liczbami całkowitymi z warunkiem 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 I r1 to niektóre liczby gdzie q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b . Gdy odejmiemy nierówność z lewej i prawej strony, to otrzymamy 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 , co jest równoważne r - r 1 = b · q 1 - q . Ponieważ moduł jest używany, otrzymujemy równość r - r 1 = b · q 1 - q. Podany warunek mówi, że 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что Q I q 1- całość i q ≠ q 1, wtedy q 1 - q ≥ 1 . Stąd mamy, że b · q 1 - q ≥ b . Wynikowe nierówności r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае. Wynika z tego, że liczba a nie może być przedstawiona w żaden inny sposób, jak tylko przez taki zapis a = b · q + r. Korzystając z równości a \u003d b c + d, możesz znaleźć nieznaną dywidendę a, gdy znany jest dzielnik b z niepełnym ilorazem c i resztą d. Przykład 1 Określ dywidendę, jeśli dzieląc otrzymamy - 21, niepełny iloraz 5 i resztę 12. Rozwiązanie
Konieczne jest obliczenie dywidendy a ze znanym dzielnikiem b = − 21, niepełnym ilorazem c = 5 i resztą d = 12. Musimy odwołać się do równości a = b c + d, stąd otrzymujemy a = (− 21) 5 + 12. Z zastrzeżeniem kolejności operacji mnożymy - 21 przez 5, po czym otrzymujemy (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93. Odpowiedź: - 93 . Zależność między dzielnikiem a ilorazem częściowym i resztą można wyrazić za pomocą równości: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b i d = a − b · c . Z ich pomocą możemy obliczyć dzielnik, iloraz częściowy i resztę. Sprowadza się to do ciągłego znajdowania reszty z dzielenia liczby całkowitej a przez b ze znaną dywidendą, dzielnikiem i ilorazem częściowym. Stosowany jest wzór d = a − b · c. Rozważmy szczegółowo rozwiązanie. Przykład 2 Znajdź resztę z dzielenia liczby całkowitej -19 przez liczbę całkowitą 3 ze znanym niezupełnym ilorazem równym -7 . Rozwiązanie
Aby obliczyć resztę z dzielenia, stosujemy wzór postaci d = a − b c . Warunkowo wszystkie dane a = − 19 , b = 3 , c = − 7 są dostępne. Stąd otrzymujemy d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (różnica - 19 - (- 21)... Ten przykład jest obliczany przez regułę odejmowania całej liczby ujemnej. Odpowiedź: 2 . Wszystkie liczby całkowite dodatnie są naturalne. Wynika z tego, że dzielenie odbywa się zgodnie ze wszystkimi zasadami dzielenia z resztą liczb naturalnych. Szybkość dzielenia z resztą liczb naturalnych jest ważna, ponieważ opiera się na niej nie tylko dzielenie liczb dodatnich, ale także zasady dzielenia dowolnych liczb całkowitych. Najwygodniejszą metodą dzielenia jest kolumna, ponieważ łatwiej i szybciej uzyskać niepełny lub tylko iloraz z resztą. Rozważmy rozwiązanie bardziej szczegółowo. Przykład 3 Podziel 14671 przez 54 . Rozwiązanie
Podział ten należy wykonać w kolumnie: Oznacza to, że niepełny iloraz jest równy 271, a reszta to 37. Odpowiedź: 14671: 54 = 271. (reszta 37) Aby wykonać dzielenie z resztą z liczby dodatniej przez ujemną liczbę całkowitą, konieczne jest sformułowanie reguły. Definicja 1 Niepełny iloraz dzielenia dodatniej liczby całkowitej a przez ujemną liczbę całkowitą b daje liczbę przeciwną do niepełnego ilorazu dzielenia modułów liczb a przez b. Wtedy reszta jest resztą z dzielenia a przez b. Stąd mamy, że niepełny iloraz dzielenia dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą jest uważany za niedodatnią liczbę całkowitą. Otrzymujemy algorytm: Rozważ przykład algorytmu dzielenia dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą. Przykład 4 Wykonaj dzielenie z resztą 17 na - 5 . Rozwiązanie
Zastosujmy algorytm dzielenia z resztą dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą. Konieczne jest podzielenie 17 przez - 5 modulo. Stąd otrzymujemy, że niepełny iloraz wynosi 3, a reszta to 2. Otrzymujemy tę pożądaną liczbę z dzielenia 17 przez - 5 \u003d - 3 z resztą równą 2. Odpowiedź: 17: (- 5) = - 3 (pozostałe 2). Przykład 5 Podziel 45 przez - 15 . Rozwiązanie
Konieczne jest dzielenie liczb modulo. Dzielimy liczbę 45 przez 15, otrzymujemy iloraz 3 bez reszty. Zatem liczba 45 jest podzielna przez 15 bez reszty. W odpowiedzi otrzymujemy - 3, ponieważ dzielenie zostało przeprowadzone modulo. 45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3 Odpowiedź: 45: (− 15) = − 3 . Sformułowanie reguły dzielenia z resztą jest następujące. Definicja 2 Aby otrzymać niepełny iloraz c przy dzieleniu ujemnej liczby całkowitej a przez dodatnią b, należy zastosować odwrotność tej liczby i odjąć od niej 1, wtedy reszta d zostanie obliczona według wzoru: d = a − b · C. Na podstawie reguły możemy stwierdzić, że dzieląc, otrzymujemy nieujemną liczbę całkowitą. Dla dokładności rozwiązania stosuje się algorytm dzielenia a przez b z resztą: Rozważ przykład rozwiązania, w którym zastosowano ten algorytm. Przykład 6 Znajdź niepełny iloraz i resztę z dzielenia - 17 na 5. Rozwiązanie
Podane liczby dzielimy modulo. Otrzymujemy, że przy dzieleniu iloraz wynosi 3, a reszta to 2. Ponieważ mamy 3 , przeciwieństwem jest 3 . Należy odjąć 1 . − 3 − 1 = − 4 . Żądana wartość jest równa -4 . Aby obliczyć resztę, potrzebujesz a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , następnie d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Oznacza to, że niepełnym ilorazem dzielenia jest liczba - 4 z resztą równą 3. Odpowiedź:(- 17) : 5 = - 4 (pozostałe 3). Przykład 7 Podziel ujemną liczbę całkowitą - 1404 przez liczbę dodatnią 26 . Rozwiązanie
Konieczne jest podzielenie przez kolumnę i moduł. Otrzymaliśmy podział modułów liczb bez reszty. Oznacza to, że dzielenie jest wykonywane bez reszty, a żądany iloraz = - 54. Odpowiedź: (− 1 404) : 26 = − 54 . Konieczne jest sformułowanie reguły dzielenia z resztą liczb całkowitych ujemnych. Definicja 3 Aby otrzymać niepełny iloraz z dzielenia ujemnej liczby całkowitej a przez ujemną liczbę całkowitą b, należy wykonać obliczenia modulo, po czym dodać 1, wtedy możemy obliczyć za pomocą wzoru d = a − b · c. Wynika z tego, że niepełny iloraz dzielenia ujemnych liczb całkowitych będzie liczbą dodatnią. Formułujemy tę regułę w postaci algorytmu: Rozważmy ten algorytm na przykładzie. Przykład 8 Znajdź częściowy iloraz i resztę z dzielenia - 17 przez - 5 . Rozwiązanie
Dla poprawności rozwiązania stosujemy algorytm dzielenia z resztą. Najpierw podziel liczby modulo. Stąd otrzymujemy, że niepełny iloraz \u003d 3, a reszta to 2. Zgodnie z regułą należy dodać niepełny iloraz i 1. Otrzymujemy, że 3 + 1 = 4 . Stąd otrzymujemy, że niepełny iloraz dzielenia danych liczb wynosi 4. Aby obliczyć resztę, zastosujemy wzór. Warunkowo mamy to a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, a następnie za pomocą wzoru otrzymujemy d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = - 17 + 20 = 3 . Pożądana odpowiedź, czyli reszta, to 3, a niepełny iloraz to 4. Odpowiedź:(− 17) : (− 5) = 4 (pozostałe 3). Po wykonaniu dzielenia liczb z resztą należy wykonać sprawdzenie. Ta kontrola obejmuje 2 etapy. Najpierw sprawdzana jest reszta d pod kątem nieujemności, warunek 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка. Spójrzmy na przykłady. Przykład 9 Wyprodukowano podział - 521 na - 12. Iloraz wynosi 44, reszta to 7. Przeprowadź kontrolę. Rozwiązanie
Ponieważ reszta jest liczbą dodatnią, jej wartość jest mniejsza niż moduł dzielnika. Dzielnik to -12, więc jego moduł to 12. Możesz przejść do kolejnego punktu kontrolnego. Warunkowo mamy, że a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . Stąd obliczamy b do + re , gdzie b do + re = - 12 44 + 7 = - 528 + 7 = - 521 . Wynika z tego, że równość jest prawdziwa. Sprawdź pomyślnie. Przykład 10 Sprawdź dzielenie (− 17): 5 = − 3 (pozostałe − 2). Czy równość jest prawdziwa? Rozwiązanie
Znaczenie pierwszego etapu jest takie, że konieczne jest sprawdzenie dzielenia liczb całkowitych z resztą. To pokazuje, że akcja została wykonana niepoprawnie, ponieważ podana jest reszta równa - 2. Reszta nie jest liczbą ujemną. Mamy, że drugi warunek jest spełniony, ale niewystarczający dla tego przypadku. Odpowiedź: NIE. Przykład 11 Liczba - 19 podzielona przez - 3 . Iloraz częściowy to 7, a reszta to 1. Sprawdź, czy to obliczenie jest prawidłowe. Rozwiązanie
Biorąc pod uwagę resztę 1. On jest pozytywny. Wartość jest mniejsza niż moduł dzielnika, co oznacza, że wykonywany jest pierwszy etap. Przejdźmy do drugiego etapu. Obliczmy wartość wyrażenia b · c + d . Warunkowo mamy to b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, dlatego zastępując wartości liczbowe, otrzymujemy b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Wynika z tego, że równość a = b · c + d nie jest spełniona, ponieważ warunek jest zadany a = - 19 . Oznacza to, że podział został dokonany z błędem. Odpowiedź: NIE. Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter Znaki podzielności liczb- są to reguły, które pozwalają, bez dzielenia, stosunkowo szybko dowiedzieć się, czy dana liczba jest podzielna przez daną jedynkę bez reszty. Jest to jeden z najprostszych znaków podzielności. Brzmi to tak: jeśli zapis liczby naturalnej kończy się cyfrą parzystą, to jest parzysta (dzielona bez reszty przez 2), a jeśli zapis liczby kończy się cyfrą nieparzystą, to ta liczba jest nieparzysta. Ten znak podzielności rządzi się zupełnie innymi prawami: jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 3, to liczba jest również podzielna przez 3; Jeśli suma cyfr liczby nie jest podzielna przez 3, to liczba nie jest podzielna przez 3. Ten test podzielności będzie bardziej skomplikowany. Jeśli dwie ostatnie cyfry liczby tworzą liczbę podzielną przez 4 lub jest to 00, to liczba ta jest podzielna przez 4, w przeciwnym razie liczba ta nie jest podzielna przez 4 bez reszty. I znowu mamy dość prosty znak podzielności: jeśli zapis liczby naturalnej kończy się na cyfrze 0 lub 5, to liczba ta jest podzielna bez reszty przez 5. Jeśli zapis liczby kończy się na innej cyfrze, to liczba bez reszty nie jest podzielna przez 5. Przed nami liczba złożona 6, która jest iloczynem liczb 2 i 3. Dlatego znak podzielności przez 6 jest również złożony: aby liczba była podzielna przez 6, musi odpowiadać dwóm znakom podzielności jednocześnie: znak podzielności przez 2 i znak podzielności przez 3. Jednocześnie zauważ, że taka liczba złożona jak 4 ma indywidualny znak podzielności, ponieważ sama jest iloczynem liczby 2 . Wróćmy jednak do testu na podzielność przez 6. To kryterium podzielności jest bardziej złożone: liczba jest podzielna przez 7, jeśli wynik odjęcia podwojonej ostatniej cyfry od liczby dziesiątek tej liczby jest podzielny przez 7 lub równy 0. Znak podzielności przez 8 brzmi następująco: jeśli ostatnie 3 cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8 lub jest to 000, to dana liczba jest podzielna przez 8. Ten znak podzielności jest podobny do znaku podzielności przez 3: jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 9, to liczba jest również podzielna przez 9; Jeżeli suma cyfr liczby nie jest podzielna przez 9, to liczba nie jest podzielna przez 9. Połączyłem te kryteria podzielności, ponieważ można je opisać w ten sam sposób: liczba jest podzielna przez jednostkę bitową, jeśli liczba zer na końcu liczby jest większa lub równa liczbie zer w danej jednostce bitowej. Aby dowiedzieć się, czy liczba jest podzielna przez 11, musisz uzyskać różnicę między sumami cyfr parzystych i nieparzystych tej liczby. Jeśli ta różnica jest równa 0 lub jest podzielna przez 11 bez reszty, to sama liczba jest podzielna przez 11 bez reszty. Liczba 12 jest złożona. Jego znak podzielności jest odpowiednikiem znaków podzielności przez 3 i przez 4 jednocześnie. Oznaką podzielności przez 13 jest to, że jeśli liczba dziesiątek liczby, dodana do jednostek tej liczby pomnożonych przez 4, jest wielokrotnością 13 lub równą 0, to sama liczba jest podzielna przez 13. Jak widać z powyższego, można przyjąć, że dowolnej liczbie naturalnej można przyporządkować swój indywidualny znak podzielności lub znak „złożony”, jeśli liczba jest wielokrotnością kilku różnych liczb. Ale jak pokazuje praktyka, w zasadzie im większa liczba, tym bardziej złożony jest jej atrybut. Być może czas poświęcony na sprawdzenie kryterium podzielności może być równy lub większy niż sam podział. Dlatego zwykle używamy najprostszych testów podzielności.
, a ze względu na właściwości modułu liczby - i równości 
.
. Z otrzymanych nierówności i wynika z tego równość formy niemożliwe przy naszym założeniu. Dlatego nie ma innej reprezentacji liczby a oprócz a=b·q+r .Relacje między dzielną, dzielnikiem, ilorazem częściowym i resztą
Dzielenie z resztą liczb całkowitych dodatnich, przykłady
Reguła dzielenia z resztą dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą, przykłady
Dzielenie z resztą z ujemnej liczby całkowitej przez dodatnią liczbę całkowitą, przykłady
Reguła dzielenia z resztą ujemnych liczb całkowitych, przykłady
Sprawdzanie wyniku dzielenia liczb całkowitych z resztą
Ogólne zrozumienie dzielenia liczb całkowitych z resztą
Twierdzenie o podzielności liczb całkowitych z resztą
Zależność między dzielną, dzielnikiem, ilorazem częściowym i resztą
Reguła dzielenia z resztą dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą, przykłady
Reguła dzielenia z resztą ujemnych liczb całkowitych, przykłady
Sprawdzanie wyniku dzielenia liczb całkowitych z resztą
Niektóre z znaki podzielności dość proste, niektóre trudniejsze. Na tej stronie znajdziesz zarówno znaki podzielności liczb pierwszych, jak np. 2, 3, 5, 7, 11, jak i znaki podzielności liczb złożonych, jak 6 czy 12.
Mam nadzieję, że te informacje będą dla Ciebie przydatne.
Miłej nauki! Znak podzielności przez 2
Innymi słowy, jeśli ostatnia cyfra liczby to 2
, 4
, 6
, 8
Lub 0
- liczba jest podzielna przez 2, jeśli nie, to nie jest podzielna
Na przykład liczby: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
są podzielne przez 2, ponieważ są parzyste.
Liczby: 23 5
, 137
, 2303
nie są podzielne przez 2, ponieważ są nieparzyste. Znak podzielności przez 3
Tak więc, aby zrozumieć, czy liczba jest podzielna przez 3, wystarczy dodać liczby, które ją tworzą.
Wygląda to tak: 3987 i 141 dzielimy przez 3, bo w pierwszym przypadku 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - podzielne bez reszty przez 3), a w drugiej 1+4+1= 6
(6:3=2 - również podzielne przez 3 bez reszty).
Ale liczby: 235 i 566 nie są podzielne przez 3, bo 2+3+5= 10
i 5+6+6= 17
(a wiemy, że ani 10, ani 17 nie można podzielić przez 3 bez reszty). Podzielność przez 4 znak
Na przykład: 1 00
i 3 64
są podzielne przez 4, ponieważ w pierwszym przypadku liczba kończy się na 00
, a w drugiej 64
, które z kolei jest podzielne przez 4 bez reszty (64:4=16)
Liczby 3 57
i 8 86
nie są podzielne przez 4, ponieważ żadna z nich nie jest podzielna przez 4 57
żaden 86
nie są podzielne przez 4, a zatem nie odpowiadają temu kryterium podzielności. Znak podzielności przez 5
Oznacza to, że wszystkie liczby kończące się cyframi 0
I 5
, na przykład 1235 5
i 43 0
, podlegają regule i są podzielne przez 5.
I na przykład 1549 3
i 56 4
nie kończą się na 5 lub 0, co oznacza, że nie mogą być podzielne przez 5 bez reszty. Znak podzielności przez 6
Liczby 138 i 474 są parzyste i odpowiadają znakom podzielności przez 3 (1+3+8=12, 12:3=4 i 4+7+4=15, 15:3=5), co oznacza, że są podzielne przez 6. Ale 123 i 447, chociaż są podzielne przez 3 (1+2+3=6, 6:3=2 i 4+4+7=15, 15:3=5), ale są nieparzyste, a zatem nie odpowiadają kryterium podzielności przez 2, a zatem nie odpowiadają kryterium podzielności przez 6. Znak podzielności przez 7
Brzmi to dość zawile, ale w praktyce jest proste. Przekonaj się sam: numer 95
9 jest podzielne przez 7, ponieważ 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 dzieli się przez 7 bez reszty). Ponadto, jeśli występują trudności z liczbą uzyskaną podczas przekształceń (ze względu na jej rozmiar trudno jest zrozumieć, czy jest ona podzielna przez 7, czy nie, wówczas tę procedurę można kontynuować tyle razy, ile uznasz za stosowne).
Na przykład, 45
5 i 4580
1 mają znaki podzielności przez 7. W pierwszym przypadku wszystko jest dość proste: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. W drugim przypadku zrobimy tak: 4580
-2*1=4580-2=4578. Trudno nam zrozumieć, czy 457
8 na 7, więc powtórzmy proces: 457
-2*8=457-16=441. I znowu użyjemy znaku podzielności, ponieważ wciąż mamy przed sobą trzycyfrową liczbę 44
1. Więc, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, tj. 42 jest podzielne przez 7 bez reszty, co oznacza, że 45801 jest również podzielne przez 7.
A oto liczby 11
1 i 34
5 nie jest podzielne przez 7, ponieważ 11
-2*1=11-2=9 (9 nie jest równo podzielne przez 7) i 34
-2*5=34-10=24 (24 nie jest równo podzielne przez 7). Znak podzielności przez 8
Liczby 1 000
lub 1 088
są podzielne przez 8: pierwsza kończy się na 000
, drugi 88
:8=11 (podzielne przez 8 bez reszty).
A oto liczby 1 100
lub 4 757
nie są podzielne przez 8, ponieważ liczby 100
I 757
nie dzielą się przez 8 bez reszty. Znak podzielności przez 9
Na przykład: 3987 i 144 są podzielne przez 9, ponieważ w pierwszym przypadku 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - podzielne bez reszty przez 9), a w drugim 1+4+4= 9
(9:9=1 - również podzielne bez reszty przez 9).
Ale liczby: 235 i 141 nie są podzielne przez 9, bo 2+3+5= 10
i 1+4+1= 6
(a wiemy, że ani 10, ani 6 nie można podzielić przez 9 bez reszty). Znaki podzielności przez 10, 100, 1000 i inne jednostki bitowe
Innymi słowy, na przykład mamy takie liczby: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. z których wszystkie są podzielne przez 1 0
; 46400
i 867 000
są również podzielne przez 1 00
; i tylko jeden z nich - 867 000
podzielne przez 1 000
.
Wszelkie liczby, które kończą się zerami mniejszymi niż jednostka bitowa, nie są podzielne przez tę jednostkę bitową, na przykład 600 30
i 7 93
nie udostępniaj 1 00
.Znak podzielności przez 11
Aby to wyjaśnić, proponuję rozważyć przykłady: 2
35
4 jest podzielne przez 11, ponieważ ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 jest również podzielne przez 11, ponieważ ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
A tu jest 1 1
1 lub 4
35
4 nie jest podzielne przez 11, ponieważ w pierwszym przypadku otrzymujemy (1 + 1) - 1
=1, a w drugim ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.Znak podzielności przez 12
Na przykład 300 i 636 odpowiadają zarówno znakom podzielności przez 4 (ostatnie 2 cyfry to zera lub podzielne przez 4), jak i znakom podzielności przez 3 (suma cyfr oraz pierwszej i drugiej liczby jest dzielona przez 3 ), a zatem są podzielne przez 12 bez reszty.
Ale 200 lub 630 nie są podzielne przez 12, ponieważ w pierwszym przypadku liczba odpowiada tylko znakowi podzielności przez 4, aw drugim tylko znakowi podzielności przez 3. Ale nie obu znakom jednocześnie. Znak podzielności przez 13
Weź na przykład 70
2. Tak 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 jest równo podzielne przez 13), więc 70
2 dzieli się przez 13 bez reszty. Innym przykładem jest liczba 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. Liczba 130 jest podzielna przez 13 bez reszty, co oznacza, że podana liczba odpowiada znakowi podzielności przez 13.
Jeśli weźmiemy liczby 12
5 lub 21
2, wtedy dostajemy 12
+4*5=32 i 21
odpowiednio +4*2=29, a ani 32, ani 29 nie dzielą się przez 13 bez reszty, co oznacza, że podane liczby nie dzielą się przez 13 bez reszty.Podzielność liczb
