Definicja piłki. Matematyka

Piłka to ciało składające się ze wszystkich punktów w przestrzeni, które znajdują się w odległości nie większej niż zadana od danego punktu. Punkt ten nazywany jest środkiem kuli, a odległość nazywana jest promieniem kuli. Granicę kuli nazywa się powierzchnią kulistą lub kulą. Punktami kuli są wszystkie punkty kuli oddalone od środka na odległość równą promieniowi. Każdy odcinek łączący środek kuli z punktem na powierzchni kuli nazywany jest również promieniem. Odcinek przechodzący przez środek kuli i łączący dwa punkty na powierzchni kuli nazywa się średnicą. Końce dowolnej średnicy nazywane są diametralnie przeciwległymi punktami kuli.

Kula jest ciałem wirującym, podobnie jak stożek i walec. Kulę uzyskuje się poprzez obrót półkola wokół jego średnicy jako osi.

Pole powierzchni kuli można znaleźć za pomocą wzorów:

gdzie r jest promieniem kuli, d jest średnicą kuli.

Objętość kuli oblicza się ze wzoru:

V = 4/3 πr 3,

gdzie r jest promieniem kuli.

Twierdzenie. Każdy przekrój kuli przez płaszczyznę jest okręgiem. Środek tego okręgu jest podstawą prostopadłej poprowadzonej ze środka kuli na płaszczyznę cięcia.

Na podstawie tego twierdzenia, jeśli kulę o środku O i promieniu R przecina płaszczyzna α, to w wyniku przekroju powstaje okrąg o promieniu r i środku K. Promień przekroju kuli przez płaszczyznę można obliczyć znaleźć według wzoru

Ze wzoru jasno wynika, że ​​płaszczyzny w równej odległości od środka przecinają piłkę po równych okręgach. Promień przekroju jest tym większy, im bliżej środka kuli znajduje się płaszczyzna cięcia, czyli im mniejsza jest odległość OK. Największy promień ma przekrój przez płaszczyznę przechodzącą przez środek kuli. Promień tego okręgu jest równy promieniowi kuli.

Płaszczyznę przechodzącą przez środek kuli nazywamy płaszczyzną środkową. Przekrój kuli przez płaszczyznę średnicy nazywa się kołem wielkim, przekrój kuli - kołem wielkim, a przekrój kuli - kołem wielkim.

Twierdzenie. Dowolna płaszczyzna średnicy kuli jest jej płaszczyzną symetrii. Środek kuli jest jej środkiem symetrii.

Płaszczyzna przechodząca przez punkt A powierzchni kuli i prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu A nazywana jest płaszczyzną styczną. Punkt A nazywany jest punktem stycznym.

Twierdzenie. Płaszczyzna styczna ma tylko jeden punkt wspólny z piłką – punkt styku.

Prostą przechodzącą przez punkt A powierzchni kuli prostopadłej do promienia poprowadzonego do tego punktu nazywamy styczną.

Twierdzenie. Przez dowolny punkt powierzchni kuli przechodzi nieskończona liczba stycznych i wszystkie leżą w płaszczyźnie stycznej kuli.

Odcinek kulisty to część kuli odcięta od niej przez płaszczyznę. Okrąg ABC jest podstawą odcinka kuli. Odcinek prostopadły MN poprowadzony od środka N okręgu ABC do przecięcia z powierzchnią kulistą jest wysokością odcinka kuli. Punkt M jest wierzchołkiem odcinka kuli.

Pole powierzchni odcinka kuli można obliczyć ze wzoru:

Objętość odcinka kuli można obliczyć ze wzoru:

V = πh 2 (R – 1/3h),

gdzie R jest promieniem koła wielkiego, h jest wysokością odcinka kuli.

Sektor kulisty uzyskuje się z odcinka kuli i stożka w następujący sposób. Jeżeli segment kulisty jest mniejszy od półkuli, wówczas segment kulisty uzupełnia stożek, którego wierzchołek znajduje się w środku kuli, a podstawa jest podstawą odcinka. Jeśli segment jest większy niż półkula, wówczas określony stożek jest z niego usuwany.

Sektor kulisty to część kuli ograniczona zakrzywioną powierzchnią segmentu kulistego (na naszym rysunku jest to AMCB) i powierzchnią stożkową (na naszym rysunku jest to OABC), której podstawa jest podstawą odcinek (ABC), a wierzchołek jest środkiem kuli O.

Objętość sektora kulistego oblicza się ze wzoru:

V = 2/3 πR 2 H.

Warstwa kulista to część kuli ujęta pomiędzy dwiema równoległymi płaszczyznami (na rysunku płaszczyznami ABC i DEF) przecinającymi powierzchnię kulistą. Zakrzywiona powierzchnia warstwy kulistej nazywana jest pasem sferycznym (strefą). Okręgi ABC i DEF są podstawami pasa kulistego. Odległość NK pomiędzy podstawami pasa kulistego jest jego wysokością.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Kula i kula to przede wszystkim figury geometryczne, a jeśli kula jest ciałem geometrycznym, to kula jest powierzchnią kuli. Liczby te były interesujące wiele tysięcy lat temu przed naszą erą.

Następnie, gdy odkryto, że Ziemia jest kulą, a niebo jest sferą niebieską, rozwinął się nowy fascynujący kierunek w geometrii - geometria na kuli lub geometria sferyczna. Aby mówić o wielkości i objętości piłki, należy ją najpierw zdefiniować.

Piłka

Kula o promieniu R ze środkiem w punkcie O w geometrii to ciało utworzone przez wszystkie punkty w przestrzeni, które mają wspólną właściwość. Punkty te znajdują się w odległości nieprzekraczającej promienia kuli, czyli wypełniają całą przestrzeń mniejszą niż promień kuli we wszystkich kierunkach od jej środka. Jeśli weźmiemy pod uwagę tylko te punkty, które są w równej odległości od środka piłki, rozważymy jej powierzchnię lub powłokę piłki.

Jak mogę zdobyć piłkę? Możemy wyciąć z papieru okrąg i zacząć go obracać wokół własnej średnicy. Oznacza to, że średnica koła będzie osią obrotu. Uformowana figura będzie piłką. Dlatego kulę nazywa się także ciałem rewolucji. Ponieważ można go uformować obracając płaską figurę - okrąg.

Weźmy jakiś samolot i przetnijmy nim piłkę. Tak jak kroimy pomarańczę nożem. Kawałek, który odcięliśmy od kuli, nazywa się segmentem kulistym.

W starożytnej Grecji umieli nie tylko pracować z piłką i kulą jako figurami geometrycznymi, na przykład wykorzystywać je w budownictwie, ale także umieli obliczać powierzchnię kuli i objętość piłki.

Kula to inna nazwa powierzchni kuli. Kula nie jest ciałem – jest to powierzchnia ciała obrotowego. Ponieważ jednak zarówno Ziemia, jak i wiele ciał ma kształt kulisty, na przykład kroplę wody, badanie zależności geometrycznych wewnątrz kuli stało się powszechne.

Na przykład, jeśli połączymy ze sobą dwa punkty kuli linią prostą, to tę linię prostą nazywamy cięciwą, a jeśli cięciwa ta przechodzi przez środek kuli, który pokrywa się ze środkiem kuli, to cięciwa nazywana jest średnicą kuli.

Jeśli narysujemy linię prostą, która dotyka kuli tylko w jednym punkcie, wówczas linię tę nazwiemy styczną. Ponadto ta styczna do kuli w tym punkcie będzie prostopadła do promienia kuli poprowadzonej do punktu styku.

Jeśli przedłużymy cięciwę do linii prostej w jednym lub drugim kierunku od kuli, wówczas cięciwę tę nazwiemy sieczną. Można też powiedzieć inaczej – sieczna kuli zawiera jej cięciwę.

Objętość piłki

Wzór na obliczenie objętości piłki to:

gdzie R jest promieniem kuli.

Jeśli chcesz znaleźć objętość odcinka kulistego, użyj wzoru:

V seg =πh 2 (R-h/3), h jest wysokością odcinka kuli.

Powierzchnia kuli lub kuli

Aby obliczyć pole kuli lub pole powierzchni kuli (to to samo):

gdzie R jest promieniem kuli.

Archimedes bardzo lubił kulę i kulę, poprosił nawet o pozostawienie na swoim grobowcu rysunku przedstawiającego kulę wpisaną w cylinder. Archimedes uważał, że objętość kuli i jej powierzchnia są równe dwóm trzecim objętości i powierzchni cylindra, w który wpisana jest kula.

Piłka (kula)

Powierzchnia kulista. Piłka (kula). Sekcje kulowe: koła.

Twierdzenie Archimedesa. Części piłki: segment kulisty,

warstwa kulista, pas sferyczny, sektor kulisty.

Powierzchnia kulista - Ten miejsce punktów(te. wieleilość wszystkich punktów)w przestrzeni, w jednakowej odległości od jednego punktu O , który nazywany jest środkiem powierzchni kulistej (ryc. 90). Promień AOi średnica AB wyznaczane są w taki sam sposób jak w okręgu.

Piłka (kula) - Ten ciało ograniczone powierzchnią kulistą. Móc zdobądź piłkę, obracając półkole ( lub okrąg ) wokół średnicy. Wszystkie płaskie sekcje piłki są koła ( Ryc. 90 ). Największy okrąg leży na odcinku przechodzącym przez środek kuli i nazywa się duże koło. Jego promień jest równy promieniowi kuli. Dowolne dwa duże okręgi przecinają się wzdłuż średnicy kuli ( AB, ryc. 91 ).Średnica ta jest także średnicą przecinających się wielkich okręgów. Przez dwa punkty powierzchni kulistej znajdujące się na końcach tej samej średnicy(A i B, ryc. 91 ), możesz narysować niezliczoną ilość dużych okręgów. Na przykład nieskończona liczba południków może zostać przeciągnięta przez bieguny Ziemi.

Objętość kuli jest półtora razy mniejsza od objętości opisanego wokół niej walca. (ryc. 92 ), A powierzchnia kuli jest półtora razy mniejsza niż całkowita powierzchnia tego samego cylindra ( Twierdzenie Archimedesa):

Tutaj S piłka I V piłka - odpowiednio powierzchnia i objętość piłki;

S cyl I V cyl - całkowita powierzchnia i objętość opisanego walca.

Części piłki. Część piłki (kuli) ), odcięty od niej przez jakąś płaszczyznę ( ABC, ryc. 93), zwany piłka(kulisty ) człon. Koło ABC zwany podstawa odcinek piłki. Odcinek MN prostopadła poprowadzona od środka N koło ABC dopóki nie przetnie się z powierzchnią kulistą, nazywa się wysokość odcinek piłki. Kropka M zwany szczyt odcinek piłki.

Część kuli zamknięta pomiędzy dwiema równoległymi płaszczyznami ABC i DEF przecinające powierzchnię kulistą (ryc. 93), zwany warstwa kulista; nazywa się zakrzywioną powierzchnię warstwy kulistej pasek z piłką(strefa). Kręgi ABC i DEF – fusy pasek z piłką. Dystans N.K. pomiędzy podstawami sferycznego pasa - jego wysokość. Część kuli ograniczona zakrzywioną powierzchnią segmentu kuli ( AMCB, Ryc. 93) i powierzchnię stożkową OABC , którego podstawa jest podstawą odcinka ( ABC ), a wierzchołek jest środkiem kuli O , zwany sektor kulisty.

Kiedy ludzie są pytani o różnicę między kulą a piłką, wielu po prostu wzrusza ramionami, myśląc, że tak naprawdę to to samo (analogia z kołem i kołem). Czy rzeczywiście każdy z nas zna dobrze geometrię ze szkolnego programu nauczania i potrafi od razu odpowiedzieć na to pytanie? Kula różni się od piłki, co muszą wiedzieć nie tylko uczniowie, aby uzyskać dobrą ocenę za wykazaną wiedzę, ale także wiele innych osób, których praca jest bezpośrednio związana z rysunkami.

Definicja

Piłka– zbiór wszystkich punktów w przestrzeni. Wszystkie te punkty znajdują się od środka bryły geometrycznej w odległości nie większej niż zadana. Sama odległość nazywa się promieniem. Kulę, jako ciało geometryczne, tworzy się w następujący sposób: półkole obraca się w pobliżu swojej średnicy. Jeśli chodzi o kulę, jest to powierzchnia kuli (na przykład zawiera ją zamknięta kula, otwarta nie). Obliczanie pola lub objętości kuli obejmuje całe wzory geometryczne, które są bardzo złożone, pomimo pozornej prostoty samej figury geometrycznej.

Kula, jak wspomniano powyżej, jest powierzchnią piłki, jej skorupą. Wszystkie punkty w przestrzeni są w jednakowej odległości od środka kuli. Jeśli chodzi o promień ciała geometrycznego, nazywa się go dowolnym odcinkiem, którego jeden punkt jest bezpośrednio środkiem kuli, a drugi może znajdować się w dowolnym punkcie powierzchni. Można powiedzieć, że kula to skorupa kuli pozbawiona jakiejkolwiek zawartości (bardziej szczegółowe przykłady zostaną podane poniżej). Podobnie jak piłka, kula jest ciałem wirującym. Nawiasem mówiąc, wielu zastanawia się również, jaka jest różnica między kołem a kołem od kuli i kuli. Tutaj wszystko jest proste: w pierwszym przypadku są to postacie na płaszczyźnie, w drugim - w przestrzeni.

Porównanie

Mówiono już, że kula jest powierzchnią kuli, co pozwala już mówić o jednej istotnej oznakie różnicy. Różnicę między dwoma ciałami geometrycznymi obserwuje się w kilku innych aspektach:

• Wszystkie punkty kuli znajdują się w tej samej odległości od środka, natomiast korpus jest ograniczony powierzchnią (kulą, która jest pusta w środku). Innymi słowy, kula jest pusta. Zwykle dla ułatwienia zrozumienia podaje się prosty przykład z balonem i kulą bilardową. Obydwa te obiekty nazywane są kulami, przy czym w pierwszym przypadku mamy do czynienia z kulą, a w drugim z pełnoprawną kulą z jej zawartością w środku.
• Kula ma swoją powierzchnię, ale nie ma objętości. Z kulą jest odwrotnie: można obliczyć jej objętość, choć nie ma ona pola powierzchni. Niektórzy mogą powiedzieć, że jest to główna oznaka różnicy, ale pojawia się ona tylko wtedy, gdy konieczne jest wykonanie pewnych obliczeń (skomplikowane wzory geometryczne). Dlatego główna różnica polega na tym, że kula jest pusta, a kula jest ciałem z zawartością w środku.
• Kolejna różnica polega na promieniu. Na przykład promień kuli to nie tylko odległość punktów od środka. Promień może być dowolnym odcinkiem łączącym punkt kuli z jej środkiem. Wszystkie te segmenty są sobie równe. Jeśli chodzi o piłkę, punkty leżące w jej wnętrzu są oddalone od środka o mniej niż promień (właśnie ze względu na otaczającą ją kulę).

Strona internetowa z wnioskami

1. Kula jest pusta, natomiast kula jest ciałem wypełnionym w środku. Na przykład balon na ogrzane powietrze jest kulą, kula bilardowa jest pełnoprawną piłką.
2. Kula ma powierzchnię i nie ma objętości, ale kula ma odwrotnie.
3. Trzecią różnicą jest pomiar promienia dwóch ciał geometrycznych.

Definicja.

Kulę można opisać jako trójwymiarową figurę utworzoną poprzez obrót koła wokół jego średnicy o 180° lub półkola wokół jego średnicy o 360°.

Definicja.

Kulę można opisać jako trójwymiarową figurę utworzoną poprzez obrót okręgu wokół jego średnicy o 180° lub półkola wokół jego średnicy o 360°.

Definicja. Promień kuli (kulki)(R) to odległość od środka kuli (kuli) O do dowolnego punktu kuli (powierzchni kuli).

Definicja. Średnica kuli (kulki).(D) to odcinek łączący dwa punkty kuli (powierzchnię kuli) i przechodzący przez jej środek.

Formuła. Objętość piłki:

Formuła. Powierzchnia kuli przez promień lub średnicę:

S = 4π R 2 = π re 2

Równanie kuli

1. Równanie kuli o promieniu R i środku w początku kartezjańskiego układu współrzędnych:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Równanie kuli o promieniu R i środku w punkcie o współrzędnych (x 0, y 0, z 0) w kartezjańskim układzie współrzędnych:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definicja. Diametralnie przeciwne punkty to dowolne dwa punkty na powierzchni kuli (kuli), które są połączone średnicą.

Podstawowe właściwości kuli i kuli

1. Wszystkie punkty kuli są jednakowo oddalone od środka.

2. Każdy przekrój kuli przez płaszczyznę jest okręgiem.

3. Każdy przekrój kuli przez płaszczyznę jest okręgiem.

4. Kula ma największą objętość spośród wszystkich figur przestrzennych o tej samej powierzchni.

5. Przez dowolne dwa diametralnie przeciwne punkty możesz narysować wiele wielkich okręgów dla kuli lub okręgów dla kuli.

6. Przez dowolne dwa punkty, z wyjątkiem punktów diametralnie przeciwnych, możesz narysować tylko jeden duży okrąg w przypadku kuli lub duży okrąg w przypadku kuli.

7. Dowolne dwa wielkie koła jednej kuli przecinają się wzdłuż linii prostej przechodzącej przez środek kuli, a okręgi przecinają się w dwóch diametralnie przeciwnych punktach.

8. Jeżeli odległość między środkami dowolnych dwóch kul jest mniejsza niż suma ich promieni i większa niż moduł różnicy ich promieni, to takie kule przecinać, a w płaszczyźnie przecięcia powstaje okrąg.

Sieczna, cięciwa, sieczna płaszczyzna kuli i ich właściwości

Definicja. Sieczna kuli jest linią prostą przecinającą kulę w dwóch punktach. Punkty przecięcia nazywane są punkty przekłuwania powierzchni lub punktów wejścia i wyjścia na powierzchni.

Definicja. Cięciwa kuli (kulki)- jest to odcinek łączący dwa punkty na kuli (powierzchni kuli).

Definicja. Płaszczyzna cięcia jest płaszczyzną przecinającą kulę.

Definicja. Płaszczyzna średnicowa- jest to sieczna płaszczyzna przechodząca przez środek kuli lub kuli, przekrój tworzy się odpowiednio duże koło I duże koło. Wielki okrąg i wielki okrąg mają środek pokrywający się ze środkiem kuli (kuli).

Każda cięciwa przechodząca przez środek kuli (kuli) jest średnicą.

Akord to odcinek siecznej.

Odległość d od środka kuli do siecznej jest zawsze mniejsza niż promień kuli:

D< R

Odległość m pomiędzy płaszczyzną cięcia a środkiem kuli jest zawsze mniejsza niż promień R:

M< R

Położenie przekroju płaszczyzny cięcia na kuli zawsze będzie małe kółko, a na piłce będzie sekcja małe kółko. Małe kółko i małe kółko mają własne środki, które nie pokrywają się ze środkiem kuli (kuli). Promień r takiego okręgu można obliczyć korzystając ze wzoru:

r = √R 2 - m 2,

Gdzie R jest promieniem kuli (kuli), m jest odległością od środka kuli do płaszczyzny cięcia.

Definicja. Półkula (półkula)- jest to połowa kuli (kuli), która powstaje w wyniku przecięcia płaszczyzną średnicy.

Styczna, płaszczyzna styczna do kuli i ich właściwości

Definicja. Styczna do kuli- Jest to linia prosta, która styka się z kulą tylko w jednym punkcie.

Definicja. Płaszczyzna styczna do kuli jest płaszczyzną, która dotyka kuli tylko w jednym punkcie.

Linia styczna (płaszczyzna) jest zawsze prostopadła do promienia kuli poprowadzonej do punktu styku

Odległość środka kuli od stycznej (płaszczyzny) jest równa promieniowi kuli.

Definicja. Odcinek kulkowy- jest to część piłki odcięta od piłki przez płaszczyznę tnącą. Podstawa segmentu zwany kołem, który utworzył się w przekroju. Wysokość segmentu h jest długością prostopadłej poprowadzonej od środka podstawy odcinka do powierzchni odcinka.

Formuła. Zewnętrzna powierzchnia segmentu kuli o wysokości h przechodzącej przez promień kuli R:

S = 2πRh