Uogólnione współrzędne i uogólnione siły. Współrzędne uogólnione i siły uogólnione Jak wygląda działanie sił we współrzędnych uogólnionych

Mechanika analityczna. Klasyfikacja połączeń. Przykłady. Możliwe ruchy.

Połączenie– jest to zależność pomiędzy współrzędnymi i prędkościami punktów układu, przedstawiona w postaci równości lub nierówności.

Klasyfikacja:

Geometryczny– nakłada ograniczenia tylko na współrzędne punktów układu (prędkości nie są uwzględniane)

Kinematyczny– prędkości wchodzą do równań. Jeśli możesz pozbyć się prędkości, połączenie jest zintegrowane.

Połączenia holonomiczne– geometryczne i całkowalne połączenia różnicowe.

Połączenie nazywa się trzymać(nałożone lub ograniczenia pozostają w dowolnej pozycji systemu) oraz niepohamowany, które nie posiadają tej właściwości (z takich połączeń, jak mówią, system można „uwolnić”

Możliwa relokacja

Jakikolwiek mentalny

Nieskończenie mały

Dozwolone jest przesuwanie punktów systemowych

W tym momencie

Połączenia narzucone systemowi.

Rzeczywisty ruch– zależy od sił, czasu, połączeń, warunków początkowych.

Możliwy ruch zależy wyłącznie od połączeń.

W przypadku połączeń stacjonarnych jednym z możliwych jest ruch rzeczywisty.

Idealne połączenia. Zasada możliwych ruchów.

Ideał nazywane są połączeniami, dla których suma prac elementarnych wszystkich ich reakcji na dowolne możliwe przemieszczenie jest równa 0.

Zasada możliwych ruchów.

Dla równowagi układu mechanicznego o idealnych połączeniach stacjonarnych konieczne i wystarczające jest, aby suma pracy elementarnej wszystkich sił czynnych przy dowolnym możliwym przemieszczeniu była równa 0. W tym przypadku dla wystarczalności prędkość początkowa musi być równa do zera. Niezbędna równowaga => Wystarczająca => równowaga.

Uogólnione współrzędne. Liczba stopni swobody układu. Siły uogólnione, metody ich obliczania. Warunki równowagi dla układu z więzami holonomicznymi, wyrażone w postaci sił uogólnionych.

Uogólnione współrzędne– niezależny parametr całkowicie określający położenie układu, za pomocą którego można wyrazić wszystkie współrzędne kartezjańskie punktów w układzie.

Liczbę stopni swobody określa liczba uogólnionych współrzędnych

Liczba wzajemnie niezależnych wielkości skalarnych, które jednoznacznie określają położenie układu mechanicznego w przestrzeni, nazywana jest liczbą stopni swobody.

Uogólnione współrzędne układu mechanicznego to dowolne niezależne od siebie wielkości geometryczne, które w jednoznaczny sposób określają położenie układu w przestrzeni.

Q ja = δA jot /δq jot lub δA jot = Q ja ⋅ δq jot .

Uogólniona siła- jest to siła, która przy możliwym przemieszczeniu wzdłuż swojej uogólnionej współrzędnej wykonuje taką samą pracę, jak wszystkie siły przyłożone do układu przy odpowiednim przemieszczeniu punktów ich przyłożenia.

Aby znaleźć uogólnioną siłę, podajemy możliwe przemieszczenie wzdłuż jej uogólnionej współrzędnej, pozostawiając pozostałe współrzędne bez zmian. Następnie znajdujemy pracę wykonaną przez wszystkie siły przyłożone do układu i dzielimy przez możliwe przemieszczenie.

Zasada możliwych przemieszczeń w zakresie sił uogólnionych.

Ponieważ w równowadze suma pracy elementarnej nad dowolnym możliwym przemieszczeniem ( bA=BQ J , które nie są od siebie zależne, to w tym przypadku musi być spełnione: Q 1 =0; Q2 =0; Q K = 0

Definicja sił uogólnionych

Dla układu o jednym stopniu swobody uogólniona siła odpowiadająca uogólnionej współrzędnej Q, nazywa się wielkością określoną wzorem

gdzie d Q– mały przyrost współrzędnej uogólnionej; – suma prac elementarnych sił układu podczas jego możliwego ruchu.

Przypomnijmy, że możliwy ruch układu definiuje się jako ruch układu do nieskończenie bliskiego położenia, na które pozwalają połączenia w danym momencie (więcej szczegółów w Załączniku 1).

Wiadomo, że suma pracy sił reakcji wiązań idealnych przy dowolnym możliwym przemieszczeniu układu jest równa zeru. Dlatego dla układu o połączeniach idealnych w wyrażeniu należy uwzględnić jedynie pracę sił czynnych układu. Jeśli połączenia nie są idealne, wówczas siły reakcji, na przykład siły tarcia, są umownie uważane za siły aktywne (patrz poniżej instrukcje dotyczące diagramu na rys. 1.5). Obejmuje to elementarną pracę sił czynnych i elementarną pracę momentów aktywnych par sił. Zapiszmy wzory na określenie tych prac. Powiedzmy, że siła ( F kx, F k, F kz) zastosowany w tym punkcie DO, którego wektor promienia wynosi ( x k, y k, z k), a ewentualne przemieszczenie – (zm xk, D tak, D z k). Elementarna praca siły na możliwe przemieszczenie jest równa iloczynowi skalarnemu, co w formie analitycznej odpowiada wyrażeniu

D A( ) = F do D r do cos(), (1.3a)

oraz w formie współrzędnych – wyrażenie

D A( ) = Fkx D x k + F k D y k + F kz D z k. (1.3b)

Jeśli kilka sił z chwilą M przyłożony do obracającego się ciała, którego współrzędna kątowa wynosi j, a możliwe przemieszczenie dj, wówczas elementarna praca momentu M o możliwym przemieszczeniu dj określa się ze wzoru

D JESTEM) = ± M D J. (1,3 V)

Tutaj znak (+) odpowiada przypadkowi, gdy moment M i możliwy ruch dj pokrywa się w kierunku; znak (–), gdy są skierowane w przeciwną stronę.

Aby móc wyznaczyć siłę uogólnioną za pomocą wzoru (1.3), należy wyrazić możliwe ruchy ciał i punktów poprzez niewielki przyrost uogólnionej współrzędnej d Q, korzystając z zależności (1)…(7) przym. 1.

Definicja siły uogólnionej Q, odpowiadający wybranej współrzędnej uogólnionej Q, zaleca się zrobić to w następującej kolejności.

· Narysuj na schemacie konstrukcyjnym wszystkie siły czynne układu.

· Podaj mały przyrost uogólnionej współrzędnej d q> 0; pokazać na diagramie obliczeniowym odpowiednie możliwe przemieszczenia wszystkich punktów, w których przykładane są siły, oraz możliwe przemieszczenia kątowe wszystkich ciał, do których przykładane są momenty par sił.

· Ułóż wyrażenie na elementarną pracę wszystkich sił czynnych układu na te ruchy, wyraź możliwe ruchy do d Q.

· Wyznaczyć siłę uogólnioną korzystając ze wzoru (1.3).

Przykład 1.4 (patrz warunek na rys. 1.1).

Zdefiniujmy uogólnioną siłę odpowiadającą uogólnionej współrzędnej S(ryc. 1.4).

Na układ działają siły czynne: P- masa ładunku; G– masa bębna i moment obrotowy M.

Chropowata, nachylona płaszczyzna służy do obciążenia A niedoskonałe połączenie. Przesuwająca się siła tarcia F tr, działając na obciążenie A z tego połączenia jest równe fa tr = fa N.

Aby określić siłę N normalnego nacisku ładunku na płaszczyznę podczas ruchu, korzystamy z zasady D'Alemberta: jeśli do każdego punktu układu, oprócz aktywnych sił czynnych i sił reakcji połączeń, przyłożona zostanie warunkowa siła bezwładności, to otrzymany zbiór siły zostaną zrównoważone, a równania dynamiczne można zapisać w postaci równań równowagi statycznej. Kierując się dobrze znaną metodą stosowania tej zasady, przedstawimy wszystkie siły działające na ładunek A(Rys. 1.5), – i , gdzie jest siłą naciągu liny.

Ryż. 1.4 Ryc. 1,5

Dodajmy siłę bezwładności, gdzie jest przyspieszenie obciążenia. Równanie zasady d'Alemberta w rzucie na oś y wygląda jak N – PCOS A = 0.

Stąd N = szt A. Siłę tarcia ślizgowego można teraz wyznaczyć ze wzoru F tr = f P sałata A.

Podajmy uogólnioną współrzędną S mały przyrost d s> 0. W tym przypadku obciążenie (ryc. 1.4) przesunie się w górę pochyłej płaszczyzny na odległość d S, a bęben obróci się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o kąt dj.

Korzystając ze wzorów (1.3a) i (1.3c) ułóżmy wyrażenie na sumę elementarnych prac momentu obrotowego M, wytrzymałość P I F tr:

Wyraźmy dj w tym równaniu poprzez d S: , Następnie

definiujemy siłę uogólnioną za pomocą wzoru (1.3)

Weźmy pod uwagę wcześniej napisany wzór na F tr i w końcu dostaniemy

Jeśli w tym samym przykładzie przyjmiemy kąt j jako uogólnioną współrzędną, to uogólniona siła Qj wyrażone wzorem

1.4.2. Wyznaczanie uogólnionych sił układu
z dwoma stopniami swobody

Jeśli system ma N stopni swobody, wyznaczane jest jego położenie N uogólnione współrzędne. Każda współrzędna q ja(ja = 1,2,…,N) odpowiada jego uogólnionej sile Q, co jest określone przez wzór

gdzie jest sumą elementarnych prac sił czynnych I-ty możliwy ruch układu, gdy d q ja > 0, a pozostałe uogólnione współrzędne pozostają niezmienione.

Przy określaniu należy wziąć pod uwagę instrukcje dotyczące wyznaczania sił uogólnionych zgodnie ze wzorem (1.3).

Zaleca się wyznaczanie sił uogólnionych układu o dwóch stopniach swobody w następującej kolejności.

· Pokaż na schemacie projektowym wszystkie siły czynne układu.

· Wyznacz pierwszą siłę uogólnioną Pytanie 1. Aby to zrobić, wykonaj pierwszy możliwy ruch systemu, gdy d q 1 > 0 i D q 2 =q 1 możliwe ruchy wszystkich ciał i punktów układu; komponować - wyraz elementarnej pracy sił układu przy pierwszym możliwym przemieszczeniu; możliwe ruchy wyrażone poprzez d q 1; znajdować Pytanie 1 zgodnie ze wzorem (1.4), biorąc ja = 1.

· Wyznacz drugą siłę uogólnioną Pytanie 2. Aby to zrobić, daj systemowi drugi możliwy ruch, gdy d q 2 > 0 i D q 1 = 0; pokaż odpowiednie d na schemacie projektowym q 2 możliwe ruchy wszystkich ciał i punktów układu; komponować - wyraz elementarnej pracy sił układu na drugie możliwe przemieszczenie; możliwe ruchy wyrażone poprzez d q 2; znajdować Pytanie 2 zgodnie ze wzorem (1.4), biorąc ja = 2.

Przykład 1.5 (patrz warunek na rys. 1.2)

Zdefiniujmy Pytanie 1 I Pytanie 2, odpowiadające uogólnionym współrzędnym xD I x A(ryc. 1.6, A).

Na układ działają trzy aktywne siły: PA = 2P, P. B = P. D = P.

Definicja Pytanie 1. Dajmy układowi pierwszy możliwy ruch, gdy d xD> 0, zm xA = 0 (ryc. 1.6, A). Jednocześnie obciążenie D xD, blok B obróci się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o kąt dj B, oś cylindra A pozostanie nieruchomy, cylinder A będzie się obracać wokół osi A pod kątem dj A zgodnie ze wskazówkami zegara. Zestawmy sumę pracy nad wskazanymi ruchami:

zdefiniujmy

Zdefiniujmy Pytanie 2. Dajmy systemowi drugi możliwy ruch, gdy d x D = 0, zm xA> 0 (ryc. 1.6, B). W tym przypadku oś cylindra A przesunie się pionowo w dół o odległość d x A, cylinder A będzie się obracać wokół osi A zgodnie z ruchem wskazówek zegara do kąta dj A, blok B i ładunek D pozostanie bez ruchu. Zestawmy sumę pracy nad wskazanymi ruchami:

zdefiniujmy

Przykład 1.6 (patrz warunek na rys. 1.3)

Zdefiniujmy Pytanie 1 I Pytanie 2, odpowiadające uogólnionym współrzędnym j, S(ryc. 1.7, A). Na układ działają cztery aktywne siły: ciężar pręta P, ciężar piłki, siła sprężystości sprężyny i .

Weźmy to pod uwagę. Moduł sił sprężystych określa wzór (a).

Należy pamiętać, że punkt przyłożenia siły F 2 jest nieruchomy, zatem praca tej siły przy dowolnym możliwym przemieszczeniu układu wynosi zero, w wyrażeniu sił uogólnionych siła F 2 nie wejdę.

Definicja Pytanie 1. Dajmy systemowi pierwszy możliwy ruch, gdy dj > 0, zm s = 0 (ryc. 1.7, A). W tym przypadku pręt AB będzie się obracać wokół osi z przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o kąt dj, możliwe ruchy piłki D i centrum mi pręty są skierowane prostopadle do segmentu OGŁOSZENIE, długość sprężyny nie ulegnie zmianie. Zapiszmy to w formie współrzędnych [patrz. wzór (1.3b)]:

(Proszę zauważyć, że praca wykonana przez tę siłę przy pierwszym możliwym przemieszczeniu wynosi zero).

Wyraźmy przemieszczenia d x E i d xD za pośrednictwem DJ-a. Aby to zrobić, najpierw piszemy

Następnie zgodnie ze wzorem (7) przym. 1 znajdziemy

Podstawiając znalezione wartości do , otrzymujemy

Korzystając ze wzoru (1.4) uwzględniając, że , wyznaczamy

Definicja Pytanie 2. Dajmy systemowi drugi możliwy ruch, gdy dj = 0, zm s> 0 (ryc. 1.7, B). W tym przypadku pręt AB pozostanie w bezruchu, a piłka M przesunie się wzdłuż pręta o odległość d S. Zestawmy sumę pracy nad wskazanymi ruchami:

zdefiniujmy

zastępując wartość siły F 1 ze wzoru (a) otrzymujemy

1,5. Wyrażanie energii kinetycznej układu
we współrzędnych uogólnionych

Energia kinetyczna układu jest równa sumie energii kinetycznych jego ciał i punktów (Załącznik 2). Aby zdobyć T Wyrażenie (1.2) powinno wyrażać prędkości wszystkich ciał i punktów układu poprzez prędkości uogólnione metodami kinematyki. W tym przypadku uważa się, że układ znajduje się w dowolnym położeniu, wszystkie jego uogólnione prędkości są uważane za dodatnie, tj. Zwrócone w stronę zwiększania uogólnionych współrzędnych.

Przykład 1. 7 (patrz warunek na rys. 1.1)

Wyznaczmy energię kinetyczną układu (rys. 1.8), przyjmując odległość jako uogólnioną współrzędną S,

T = T ZA + T B.

Według wzorów (2) i (3) przym. 2 mamy: .

Podstawiając te dane do T i biorąc to pod uwagę, otrzymujemy

Przykład 1.8(patrz warunek na rys. 1.2)

Wyznaczmy energię kinetyczną układu z rys. 1.9, przyjmując jako uogólnione współrzędne ilości xD I x A,

T = T ZA + T B + T D.

Według wzorów (2), (3), (4) przym. 2 zapiszemy

Wyraźmy V A , V D , w B i w A Poprzez :

Przy ustalaniu w A bierze się pod uwagę, że pkt O(Rys. 1.9) – chwilowy środek prędkości obrotowej cylindrów A I Vk = VD(patrz odpowiednie wyjaśnienia, na przykład 2 załącznik 2).

Podstawiając otrzymane wyniki do T i biorąc to pod uwagę

zdefiniujmy

Przykład 1.9(patrz warunek na rys. 1.3)

Wyznaczmy energię kinetyczną układu z rys. 1.10, przyjmując j i jako współrzędne uogólnione S,

T = T AB + T D.

Według wzorów (1) i (3) przym. 2 mamy

Wyraźmy W AB I V D przez i:

gdzie jest prędkość przenoszenia piłki D, jego moduł jest określony przez wzór

Skierowany prostopadle do odcinka OGŁOSZENIE w kierunku rosnącego kąta j; – prędkość względna piłki, jej moduł wyznacza wzór, skierowany w kierunku rosnących współrzędnych S. Zauważ, że jest zatem prostopadły

Podstawiając te wyniki do T i biorąc to pod uwagę

1.6. Tworzenie równań różniczkowych
ruch układów mechanicznych

Aby uzyskać wymagane równania, należy podstawić do równań Lagrange'a (1.1) znalezione wcześniej wyrażenie na energię kinetyczną układu we współrzędnych uogólnionych i siłach uogólnionych Q 1 , Q 2 , … , Qn.

Podczas znajdowania pochodnych cząstkowych T stosując uogólnione współrzędne i uogólnione prędkości, należy wziąć pod uwagę, że zmienne Q 1 , Q 2 , … , q rz; są uważane za niezależne od siebie. Oznacza to, że przy definiowaniu pochodnej cząstkowej T dla jednej z tych zmiennych wszystkie pozostałe zmienne w wyrażeniu for T należy traktować jako stałe.

Podczas wykonywania operacji wszystkie zmienne zawarte w zmiennej muszą zostać zróżnicowane w czasie.

Podkreślamy, że równania Lagrange'a są zapisywane dla każdej uogólnionej współrzędnej q ja (ja = 1, 2,…N) systemy.

W mechanice analitycznej wraz z pojęciem siły jako wielkości wektorowej charakteryzującej oddziaływanie na dane ciało innych ciał materialnych posługują się pojęciem uogólniona siła. Do ustalenia uogólniona władza Rozważmy wirtualną pracę sił przyłożonych do punktów układu.

Jeśli jest to układ mechaniczny z nałożonymi na niego holonomicznymi siłami ograniczającymi H ma powiązania s = 3n-h stopnie swobody , następnie określa się położenie tego układu ( ja = s)

współrzędne uogólnione i (2.11) : Zgodnie z (2.13), (2.14) przemieszczeniem wirtualnym k – punktów

(2.13)

(2.14)

Podstawiając (2.14): do wzoru na wirtualną pracę sił

(2.24) otrzymujemy

Ilość skalarna = (2.26)

zwany uogólniona siła, odpowiedni I uogólniona współrzędna.

Uogólniona siłaodpowiadający I-uogólniona współrzędna jest wielkością równą mnożnikowi zmiany danej uogólnionej współrzędnej w wyrażeniu wirtualnej pracy sił działających na układ mechaniczny.

Wirtualna praca ustalone od

¾ określone siły czynne niezależne od ograniczeń i

¾ reakcje sprzęgania (jeżeli sprzężenia nie są idealne, to aby rozwiązać problem należy dodatkowo ustawić zależność fizyczną T j z N J , ( T j ¾ są to z reguły siły tarcia lub momenty oporu tarcia tocznego, które możemy wyznaczyć).

Ogólnie uogólniona siła jest funkcją uogólnionych współrzędnych, prędkości punktów układu i czasu. Z definicji wynika, że uogólniona siła¾ jest wielkością skalarną zależną od uogólnionych współrzędnych wybranych dla danego układu mechanicznego. Oznacza to, że gdy zmienia się zbiór uogólnionych współrzędnych wyznaczających położenie danego układu, siły uogólnione.

Przykład 2.10. Dla dysku o promieniu R i masa M, który toczy się bez ślizgania po pochyłej płaszczyźnie (ryc. 2.9), można przyjąć jako uogólnioną współrzędną:

¾ lub q = s¾ ruch środka masy dysku,

¾ albo Q= j ¾ kąt obrotu dysku. Jeśli pominiemy opór toczenia, to:

¾ w pierwszym przypadku uogólniona siła będzie

Ryż. 2.9 Q s = mg sina, a

¾ w drugim przypadku ¾ Q j = mg r cosa.

Uogólniona współrzędna określa również jednostkę miary odpowiedniej uogólniona władza. Z wyrażenia (2.25)

(2.27)

wynika z tego, że jednostka miary uogólniona władza równa jednostce pracy podzielonej przez jednostkę uogólnionej współrzędnej.

Jeśli jako uogólniona współrzędna Q zaakceptować q = s¾ ruchu dowolnego punktu, a następnie jednostka miary uogólniona władza Q s ¾ będzie [niuton] ,

Jeżeli jako Q= j ¾ zostanie przyjęty kąt obrotu (w radianach) ciała, a następnie jednostka miary uogólniona władza Q j 2 będzie [ Newton metr].

Zapiszmy sumę prac elementarnych sił działających na punkty układu na możliwe przemieszczenie układu:

Niech system holonomiczny ma stopnie swobody, a co za tym idzie, określa się jego położenie w przestrzeni uogólnione współrzędne
.

Podstawienie (225) do (226) i zmiana kolejności sumowania według indeksów I , otrzymujemy

. (226")

gdzie jest wielkość skalarna

zwany uogólniona siła związana z uogólnioną współrzędną . Używając dobrze znanego wyrażenia na iloczyn skalarny dwóch wektorów, przekazaną siłę można również przedstawić jako

– rzuty sił na osie współrzędnych;
– współrzędne punktu przyłożenia siły.

Wymiar siły uogólnionej zgodnie z (226") zależy od wymiaru w następujący sposób , zgodny z wymiarem :

, (228)

czyli wymiar uogólnionej siły jest równy wymiarowi pracy siły (energii) lub momentowi siły podzielonemu przez wymiar uogólnionej współrzędnej, do której przypisana jest uogólniona siła. Wynika z tego, że siła uogólniona może mieć wymiar siły lub momentu siły.

Obliczanie siły uogólnionej

1. Siłę uogólnioną można obliczyć korzystając ze wzoru (227), który ją definiuje, tj.

2. Siły uogólnione można obliczyć jako współczynniki odpowiednich zmian współrzędnych uogólnionych w wyrażeniu na pracę elementarną (226"), tj.

3. Najbardziej odpowiednią metodą obliczania sił uogólnionych, którą uzyskuje się z (226 „”), jest zapewnienie systemowi takiego możliwego ruchu, że zmienia się tylko jedna uogólniona współrzędna, podczas gdy inne się nie zmieniają. Więc jeśli
, i reszta
, to z (179") mamy

.

Indeks wskazuje, że suma prac elementarnych jest obliczana na podstawie możliwego przemieszczenia, podczas którego zmienia się (zmienia się) tylko współrzędna . Jeśli zmienna współrzędna to , To

. (227")

Warunki równowagi układu sił w ujęciu sił uogólnionych

Warunki równowagi układu wywodzą się z zasady możliwych ruchów. Dotyczą one systemów, dla których obowiązuje ta zasada: dla równowagi układu mechanicznego poddanego warunkom holonomicznym, stacjonarnym, idealnym i nierozłącznym, w chwili, gdy prędkości wszystkich punktów układu są równe zeru, konieczne i wystarczające jest, aby wszystkie siły uogólnione były równe zeru

. (228")

3.6.7. Ogólne równanie dynamiki

Ogólne równanie dynamiki układu o dowolnych połączeniach (połączona zasada d'Alemberta-Lagrange'a Lub ogólne równanie mechaniki):

, (229)

Gdzie – przyłożona siła czynna -ty punkt układu; – siła reakcji wiązań;
– punktowa siła bezwładności; – możliwy ruch.

W przypadku równowagi układu, gdy zanikają wszystkie siły bezwładności punktów układu, przechodzi to w zasadę możliwych przemieszczeń. Zwykle stosuje się go w przypadku układów o idealnych połączeniach, dla których warunek jest spełniony

W tym przypadku (229) przyjmuje jedną z postaci:

,

,

. (230)

Zatem, zgodnie z ogólnym równaniem dynamiki, w dowolnym momencie ruchu układu o połączeniach idealnych suma prac elementarnych wszystkich sił czynnych i sił bezwładności punktów układu jest równa zeru przy każdym możliwym ruchu układu przez połączenia.

Ogólne równanie dynamiki można nadać innym, równoważnym formom. Rozwijając iloczyn skalarny wektorów, można go wyrazić jako

Gdzie
– współrzędne -ty punkt układu. Biorąc pod uwagę, że rzuty sił bezwładności na osie współrzędnych poprzez rzuty przyspieszeń na te osie wyrażają się zależnościami

,

ogólne równanie dynamiki można nadać w postaci

W tej formie jest to tzw ogólne równanie dynamiki w formie analitycznej.

Korzystając z ogólnego równania dynamiki, należy umieć obliczyć elementarną pracę sił bezwładności układu na możliwych przemieszczeniach. Aby to zrobić, zastosuj odpowiednie wzory na pracę elementarną uzyskane dla sił zwykłych. Rozważmy ich zastosowanie do sił bezwładności ciała sztywnego w poszczególnych przypadkach jego ruchu.

Podczas ruchu do przodu. W tym przypadku ciało posiada trzy stopnie swobody i ze względu na nałożone ograniczenia może wykonywać jedynie ruch postępowy. Możliwe ruchy ciała, które umożliwiają połączenia, są również translacyjne.

Siły bezwładności podczas ruchu postępowego są redukowane do wartości wypadkowej
. Dla sumy elementarnych prac sił bezwładności na możliwy ruch postępowy ciała otrzymujemy

Gdzie
– możliwy ruch środka masy i dowolnego punktu ciała, gdyż możliwy ruch translacyjny wszystkich punktów ciała jest taki sam: przyspieszenia są również takie same, tj.
.

Gdy ciało sztywne obraca się wokół ustalonej osi. Ciało w tym przypadku ma jeden stopień swobody. Może obracać się wokół stałej osi
. Możliwy ruch, na który pozwalają nałożone na siebie połączenia, jest jednocześnie obrotem ciała o kąt elementarny
wokół stałej osi.

Siły bezwładności zredukowane do punktu na osi obrotu są zredukowane do wektora głównego i główny punkt
. Główny wektor sił bezwładności przyłożony jest do stałego punktu, a jego elementarna praca na możliwe przemieszczenie wynosi zero. Dla głównego momentu sił bezwładności niezerowa praca elementarna będzie wykonywana jedynie poprzez jej rzut na oś obrotu
. Zatem dla sumy pracy sił bezwładności na rozważanym możliwym przemieszczeniu mamy

,

jeśli kąt
zgłoś w kierunku strzałki łuku przyspieszenia kątowego .

W płaskim ruchu. W tym przypadku wiązania nałożone na sztywny korpus pozwalają jedynie na możliwy ruch płaski. W ogólnym przypadku polega on na możliwym ruchu translacyjnym wraz z biegunem, dla którego wybieramy środek masy, oraz na obrocie o elementarny kąt
wokół osi
, przechodzący przez środek masy i prostopadły do ​​płaszczyzny równoległej, względem której ciało może wykonywać ruch płaski.

Ponieważ siły bezwładności w ruchu płaskim ciała sztywnego można sprowadzić do wektora głównego i główny punkt
(jeśli jako środek redukcji wybierzemy środek masy), to suma pracy elementarnej sił bezwładności na płaszczyźnie ewentualnego przemieszczenia sprowadzi się do elementarnej pracy wektora siły bezwładności
o możliwym ruchu środka masy i elementarnym działaniu głównego momentu sił bezwładności na elementarny ruch obrotowy wokół osi
, przechodząc przez środek masy. W tym przypadku niezerową pracę elementarną można wykonać jedynie poprzez rzut głównego momentu sił bezwładności na oś
, tj.
. Zatem w rozpatrywanym przypadku mamy

jeżeli obrót następuje o kąt elementarny
kieruj się łukową strzałką do .

Oczywiście przy obliczaniu tej uogólnionej siły należy określić energię potencjalną jako funkcję uogólnionych współrzędnych

P = P( Q 1 , Q 2 , Q 3 ,…,pytanie).

Notatki.

Pierwszy. Przy obliczaniu uogólnionych sił reakcji nie uwzględnia się połączeń idealnych.

Drugi. Wymiar uogólnionej siły zależy od wymiaru uogólnionej współrzędnej. Jeśli więc wymiar [ Q] – metr, następnie wymiar

[Q]= Nm/m = Newton, jeżeli [ Q] – radian, wówczas [Q] = Nm; Jeśli [ Q] = m 2, następnie [Q] = H/m itd.

Przykład 4. Pierścień ślizga się po pręcie wahającym się w płaszczyźnie pionowej. M waga R(ryc. 10). Uważamy, że pręt jest nieważki. Zdefiniujmy siły uogólnione.

Ryc.10

Rozwiązanie. Układ ma dwa stopnie swobody. Przypisujemy dwie uogólnione współrzędne S I .

Znajdźmy uogólnioną siłę odpowiadającą współrzędnej S. Podajemy przyrost tej współrzędnej, pozostawiając współrzędną bez zmian i obliczając pracę jedynej siły czynnej R, otrzymujemy uogólnioną siłę

Następnie zwiększamy współrzędną, zakładając S= stała Kiedy pręt jest obracany o kąt, punkt przyłożenia siły R, pierścień M, przeniosę się do . Uogólniona siła będzie

Ponieważ system jest konserwatywny, uogólnione siły można również znaleźć na podstawie energii potencjalnej. Dostajemy I . Okazuje się, że jest to znacznie prostsze.

Równania równowagi Lagrange'a

Z definicji (7) siły uogólnione , k = 1,2,3,…,S, Gdzie S– liczba stopni swobody.

Jeśli układ jest w równowadze, to zgodnie z zasadą możliwych przemieszczeń (1) . Oto ruchy, na które pozwalają połączenia, możliwe ruchy. Dlatego, gdy układ materialny jest w równowadze, wszystkie jego uogólnione siły są równe zeru:

Q k= 0, (k=1,2,3,…, S). (10)

Te równania równania równowagi we współrzędnych uogólnionych Lub Równania równowagi Lagrange'a , pozwalają na jeszcze jedną metodę rozwiązywania problemów ze statyką.

Jeśli system jest konserwatywny, to . Oznacza to, że znajduje się w położeniu równowagi. Oznacza to, że w pozycji równowagi takiego układu materialnego jego energia potencjalna jest albo maksymalna, albo minimalna, tj. funkcja П(q) ma ekstremum.

Widać to wyraźnie na podstawie analizy najprostszego przykładu (rys. 11). Energia potencjalna piłki w miejscu M 1 ma minimum na pozycji M 2 – maksymalnie. Można zauważyć, że na stanowisku M 1 równowaga będzie stabilna; w ciąży M 2 – niestabilny.

Ryc.11

Równowagę uważa się za stabilną, jeśli ciału w tej pozycji nadano małą prędkość lub przesunięto na niewielką odległość i odchylenia te nie zwiększają się w przyszłości.

Można udowodnić (twierdzenie Lagrange'a-Dirichleta), że jeśli w położeniu równowagi układu konserwatywnego jego energia potencjalna ma minimum, to to położenie równowagi jest stabilne.

Dla układu konserwatywnego o jednym stopniu swobody warunek minimalnej energii potencjalnej, a co za tym idzie stabilności położenia równowagi, wyznacza druga pochodna, czyli jej wartość w położeniu równowagi,

Przykład 5. Jądro OA waga R może obracać się w płaszczyźnie pionowej wokół osi O(ryc. 12). Znajdźmy i zbadajmy stabilność pozycji równowagi.

Ryc.12

Rozwiązanie. Pręt ma jeden stopień swobody. Uogólniona współrzędna – kąt.

W stosunku do dolnej, zerowej pozycji, energia potencjalna P = Doktorat Lub

W pozycji równowagi powinno być . Stąd mamy dwie pozycje równowagi odpowiadające kątom i (pozycjom OA 1 i OA 2). Zbadajmy ich stabilność. Znalezienie drugiej pochodnej. Oczywiście z , . Położenie równowagi jest stabilne. Na , . Drugie położenie równowagi jest niestabilne. Wyniki są oczywiste.

Uogólnione siły bezwładności.

Stosując tę ​​samą metodę (8), według której obliczono siły uogólnione Q k, odpowiadające aktywnym, określonym siłom, określane są również siły uogólnione Sk, odpowiadające siłom bezwładności punktów układu:

A ponieważ To

Kilka przekształceń matematycznych.

Oczywiście,

Ponieważ a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), to

Oznacza to, że pochodna cząstkowa prędkości względem

Dodatkowo w ostatnim wyrazie (14) można zmienić kolejność różniczkowania:

Podstawiając (15) i (16) do (14), a następnie (14) do (13), otrzymujemy

Dzieląc ostatnią sumę przez dwa i pamiętając, że suma pochodnych jest równa pochodnej sumy, otrzymujemy

gdzie jest energią kinetyczną układu i jest uogólnioną prędkością.

Równania Lagrange'a.

Z definicji (7) i (12) siły uogólnione

Ale bazując na ogólnym równaniu dynamiki (3), prawa strona równości jest równa zeru. A ponieważ wszystko ( k = 1,2,3,…,S) są różne od zera, to . Podstawiając wartość uogólnionej siły bezwładności (17) otrzymujemy równanie

Te równania nazywane są równaniami różniczkowymi ruchu we współrzędnych uogólnionych, równaniami Lagrange'a drugiego rodzaju lub po prostu – Równania Lagrange'a.

Liczba tych równań jest równa liczbie stopni swobody układu materialnego.

Jeśli układ jest zachowawczy i porusza się pod wpływem potencjalnych sił pola, gdy siły uogólnione wynoszą , równania Lagrange'a można zapisać w postaci

Gdzie L = T– nazywa się P Funkcja Lagrange'a (zakłada się, że energia potencjalna P nie zależy od prędkości uogólnionych).

Często podczas badania ruchu układów materialnych okazuje się, że istnieją pewne uogólnione współrzędne q j nie są uwzględnione jawnie w funkcji Lagrange'a (lub w T i p). Takie współrzędne nazywane są cykliczny. Równania Lagrange'a odpowiadające tym współrzędnym uzyskuje się prościej.

Pierwszą całkę takich równań można znaleźć natychmiast. Nazywa się to całką cykliczną:

Dalsze badania i przekształcenia równań Lagrange'a stanowią przedmiot specjalnego działu mechaniki teoretycznej - „Mechanika analityczna”.

Równania Lagrange'a mają szereg zalet w porównaniu z innymi metodami badania ruchu układów. Główne zalety: sposób układania równań jest taki sam we wszystkich zadaniach, reakcje idealnych połączeń nie są brane pod uwagę przy rozwiązywaniu problemów.

I jeszcze jedno - równania te można wykorzystać do badania nie tylko układów mechanicznych, ale także innych układów fizycznych (elektrycznych, elektromagnetycznych, optycznych itp.).

Przykład 6. Kontynuujmy badanie ruchu pierścienia M na drążku wahadłowym (przykład 4).

Przypisuje się współrzędne uogólnione – i s (ryc. 13). Zdefiniowano siły uogólnione: i .

Ryc.13

Rozwiązanie. Energia kinetyczna pierścienia Gdzie a i .

Tworzymy dwa równania Lagrange'a

wówczas równania wyglądają następująco:

Otrzymaliśmy dwa nieliniowe równania różniczkowe drugiego rzędu, których rozwiązanie wymaga specjalnych metod.

Przykład 7. Utwórzmy różniczkowe równanie ruchu belki AB, który toczy się bez ślizgania po cylindrycznej powierzchni (ryc. 14). Długość belki AB = l, waga - R.

W położeniu równowagi belka znajdowała się poziomo, a środek ciężkości był ustawiony poziomo Z znajdował się w górnym punkcie cylindra. Belka ma jeden stopień swobody. Jego położenie wyznacza uogólniona współrzędna – kąt (ryc. 76).

Ryc.14

Rozwiązanie. System jest konserwatywny. Dlatego równanie Lagrange'a ułożymy wykorzystując energię potencjalną P=mgh, obliczoną względem położenia poziomego. W punkcie styku znajduje się chwilowy środek prędkości i (równy długości łuku kołowego z kątem).

Dlatego (patrz rys. 76) i .

Energia kinetyczna (belka porusza się płasko-równolegle)

Znajdujemy niezbędne pochodne równania i

Zróbmy równanie

lub w końcu

Pytania autotestowe

Jak nazywa się możliwy ruch ograniczonego układu mechanicznego?

Jak powiązane są możliwe i rzeczywiste ruchy układu?

Jakie połączenia nazywane są: a) stacjonarne; b) idealny?

Sformułuj zasadę możliwych ruchów. Zapisz jego formułę.

Czy można zastosować zasadę ruchów wirtualnych do systemów z nieidealnymi połączeniami?

Jakie są uogólnione współrzędne układu mechanicznego?

Jaka jest liczba stopni swobody układu mechanicznego?

W jakim przypadku współrzędne kartezjańskie punktów układu zależą nie tylko od współrzędnych uogólnionych, ale także od czasu?

Jak nazywają się możliwe ruchy układu mechanicznego?

Czy możliwe ruchy zależą od sił działających na układ?

Jakie połączenia układu mechanicznego nazywamy idealnymi?

Dlaczego wiązanie powstałe w wyniku tarcia nie jest wiązaniem idealnym?

Jak sformułowana jest zasada możliwych ruchów?

Jakie typy może mieć równanie pracy?

Dlaczego zasada możliwych przemieszczeń upraszcza wyprowadzenie warunków równowagi dla sił przyłożonych do układów ograniczonych składających się z dużej liczby ciał?

Jak konstruuje się równania pracy dla sił działających na układ mechaniczny o kilku stopniach swobody?

Jaki jest związek pomiędzy siłą napędową i siłą oporu w prostych maszynach?

Jak sformułowana jest złota zasada mechaniki?

Jak wyznacza się reakcje połączeń wykorzystując zasadę możliwych ruchów?

Jakie połączenia nazywamy holonomicznymi?

Jaka jest liczba stopni swobody układu mechanicznego?

Jakie są uogólnione współrzędne układu?

Ile uogólnionych współrzędnych ma nieswobodny układ mechaniczny?

Ile stopni swobody ma kierownica samochodu?

Co to jest siła uogólniona?

Zapisz wzór wyrażający całkowitą pracę elementarną wszystkich sił przyłożonych do układu we współrzędnych uogólnionych.

Jak określa się wymiar siły uogólnionej?

Jak obliczane są siły uogólnione w układach konserwatywnych?

Zapisz jeden ze wzorów wyrażających ogólne równanie dynamiki układu o połączeniach idealnych. Jakie jest fizyczne znaczenie tego równania?

Jaka jest uogólniona siła sił czynnych przyłożonych do układu?

Jaka jest uogólniona siła bezwładności?

Sformułuj zasadę d'Alemberta w zakresie sił uogólnionych.

Jakie jest ogólne równanie dynamiki?

Jak nazywa się uogólniona siła odpowiadająca jakiejś uogólnionej współrzędnej układu i jaki ma ona wymiar?

Jakie są uogólnione reakcje wiązań idealnych?

Wyprowadź ogólne równanie dynamiki sił uogólnionych.

Jaką postać mają warunki równowagi dla sił przyłożonych do układu mechanicznego, otrzymane z ogólnego równania dynamiki w siłach uogólnionych?

Jakie wzory wyrażają uogólnione siły poprzez rzuty sił na stałe osie współrzędnych kartezjańskich?

Jak wyznacza się siły uogólnione w przypadku sił zachowawczych i niezachowawczych?

Jakie połączenia nazywamy geometrycznymi?

Podaj wektorową reprezentację zasady możliwych przemieszczeń.

Podaj warunek konieczny i wystarczający równowagi układu mechanicznego z idealnymi stacjonarnymi połączeniami geometrycznymi.

Jaką właściwość ma funkcja siły układu konserwatywnego w stanie równowagi?

Zapisz układ równań różniczkowych Lagrange'a drugiego rodzaju.

Ile równań Lagrange'a drugiego rodzaju można skonstruować dla ograniczonego układu mechanicznego?

Czy liczba równań Lagrange'a układu mechanicznego zależy od liczby ciał wchodzących w skład układu?

Jaki jest potencjał kinetyczny układu?

Dla jakich układów mechanicznych istnieje funkcja Lagrange'a?

Jakimi argumentami jest funkcja wektora prędkości punktu należącego do układu mechanicznego S stopnie swobody?

Jaka jest pochodna cząstkowa wektora prędkości punktu układu względem pewnej uogólnionej prędkości?

Funkcją jakich argumentów jest energia kinetyczna układu podlegającego holonomicznym więzom niestacjonarnym?

Jaką postać mają równania Lagrange'a drugiego rodzaju? Jaka jest liczba tych równań dla każdego układu mechanicznego?

Jaką postać przyjmują równania Lagrange'a drugiego rodzaju w przypadku, gdy na układ działają jednocześnie siły zachowawcze i niezachowawcze?

Co to jest funkcja Lagrange'a, czyli potencjał kinetyczny?

Jaką postać mają równania Lagrange'a drugiego rodzaju dla układu konserwatywnego?

W zależności od jakich zmiennych należy wyrazić energię kinetyczną układu mechanicznego podczas układania równań Lagrange'a?

Jak wyznacza się energię potencjalną układu mechanicznego pod wpływem sił sprężystych?

Problemy do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1. Korzystając z zasady możliwych przemieszczeń, określić reakcje połączeń konstrukcji zespolonych. Schematy strukturalne pokazano na ryc. 15, a dane niezbędne do rozwiązania podano w tabeli. 1. Na zdjęciach wszystkie wymiary podane są w metrach.

Tabela 1

Opcja 1 Opcja 2

Opcja 3 Opcja 4

Opcja 5 Opcja 6

Opcja 7 Opcja 8

Ryc.16 Ryc.17

Rozwiązanie.Łatwo sprawdzić, że w tym zadaniu są spełnione wszystkie warunki zastosowania zasady Lagrange'a (układ jest w równowadze, połączenia są stacjonarne, holonomiczne, ograniczające i idealne).

Uwolnijmy się od związku odpowiadającego reakcji X A (ryc. 17). W tym celu należy w punkcie A zastąpić zawias stały np. wspornikiem prętowym i wtedy układ otrzyma jeden stopień swobody. Jak już wspomniano, możliwy ruch układu jest określony przez nałożone na niego ograniczenia i nie zależy od przyłożonych sił. Dlatego określenie możliwych przemieszczeń jest problemem kinematycznym. Ponieważ w tym przykładzie rama może poruszać się tylko w płaszczyźnie obrazu, jej możliwe ruchy są również planarne. W ruchu płaskim ruch ciała można uznać za obrót wokół chwilowego środka prędkości. Jeżeli chwilowy środek prędkości leży w nieskończoności, to odpowiada to przypadkowi chwilowego ruchu postępowego, gdy przemieszczenia wszystkich punktów ciała są takie same.

Aby znaleźć chwilowy środek prędkości, należy znać kierunki prędkości dowolnych dwóch punktów ciała. Dlatego określenie możliwych przemieszczeń konstrukcji zespolonej należy rozpocząć od znalezienia możliwych przemieszczeń elementu, dla którego znane są takie prędkości. W takim przypadku należy zacząć od ramki CDB, od jego punktu W jest nieruchoma i dlatego możliwy ruch tej ramy polega na jej obrocie o kąt wokół osi przechodzącej przez zawias B. Teraz znając możliwy ruch punktu Z(należy jednocześnie do obu ram układu) i możliwym ruchem punktu A(możliwym ruchem punktu A jest jego ruch wzdłuż osi X), znajdź środek prędkości chwilowej C 1 ramy AES. Zatem możliwy ruch ramy AES jest jego obrotem wokół punktu C 1 o kąt . Połączenie pomiędzy kątami i jest wyznaczane poprzez ruch punktu C (patrz rys. 17)

Z podobieństwa trójkątów EC 1 C i BCD mamy

W rezultacie otrzymujemy zależności:

Zgodnie z zasadą możliwych ruchów

Obliczmy sekwencyjnie możliwe stanowiska uwzględnione tutaj:

Q=2q – wypadkowa obciążenia rozłożonego, którego miejsce przyłożenia pokazano na rys. 79; możliwa praca wykonana przez niego jest równa.