jest ciągłą zmienną losową. Ciągła zmienna losowa

§ 3. WARTOŚCI LOSOWE

3. Ciągłe zmienne losowe.

Oprócz dyskretnych zmiennych losowych, których możliwe wartości tworzą skończony lub nieskończony ciąg liczb, które nie wypełniają całkowicie żadnego przedziału, często występują zmienne losowe, których możliwe wartości tworzą pewien przedział. Przykładem takiej zmiennej losowej jest odchylenie od wartości nominalnej określonej wielkości części przy prawidłowo ustalonym procesie technologicznym. Tego rodzaju zmiennych losowych nie można określić za pomocą prawa rozkładu prawdopodobieństwa p(x). Można je jednak określić za pomocą funkcji rozkładu prawdopodobieństwa F(x). Funkcja ta jest zdefiniowana dokładnie tak samo jak w przypadku dyskretnej zmiennej losowej:

Tak więc tutaj też funkcja F(x) zdefiniowana na osi liczb całkowitych, a jej wartość w punkcie X jest równe prawdopodobieństwu, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą niż X.
Wzór () i właściwości 1° i 2° obowiązują dla funkcji dystrybucji dowolnej zmiennej losowej. Dowód przeprowadza się podobnie jak w przypadku ilości dyskretnej.
Zmienna losowa nazywa się ciągły, jeśli dla niego istnieje nieujemna funkcja odcinkowo-ciągła* spełniająca dowolne wartości x równość
Opierając się na geometrycznym znaczeniu całki jako powierzchni, możemy powiedzieć, że prawdopodobieństwo spełnienia nierówności jest równe powierzchni trapezu krzywoliniowego o podstawie ograniczone powyżej krzywą (ryc. 6).
Ponieważ i na podstawie wzoru ()
, następnie
Należy zauważyć, że dla ciągłej zmiennej losowej funkcja rozkładu F(x) ciągły w dowolnym momencie X, gdzie funkcja jest ciągła. Wynika to z faktu, że F(x) jest różniczkowalny w tych punktach.
Na podstawie wzoru (), zakładając x 1 =x, , mamy

Ze względu na ciągłość funkcji F(x) rozumiemy to

w konsekwencji

W ten sposób, prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa może przyjąć dowolną pojedynczą wartość x wynosi zero.
Wynika z tego, że zdarzenia polegające na wypełnieniu się każdej z nierówności
, , ,
Mają takie samo prawdopodobieństwo, tj.

Rzeczywiście, na przykład

dlatego

Komentarz. Jak wiemy, jeśli zdarzenie jest niemożliwe, to prawdopodobieństwo jego wystąpienia wynosi zero. W klasycznej definicji prawdopodobieństwa, gdy liczba wyników testu jest skończona, zachodzi również odwrotne zdanie: jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia jest zerowe, to zdarzenie jest niemożliwe, ponieważ w tym przypadku żaden z wyników testu nie sprzyja temu. W przypadku zmiennej losowej ciągłej liczba jej możliwych wartości jest nieskończona. Prawdopodobieństwo, że ta wartość przyjmie jakąkolwiek konkretną wartość x 1 jak widzieliśmy, jest równy zero. Nie wynika jednak z tego, że zdarzenie to jest niemożliwe, gdyż w wyniku testu zmienna losowa może w szczególności przyjąć wartość x 1. Dlatego w przypadku zmiennej losowej ciągłej sensowne jest mówienie o prawdopodobieństwie, że zmienna losowa wpadnie do przedziału, a nie o prawdopodobieństwie, że przyjmie określoną wartość.
Tak więc np. przy produkcji walca nie interesuje nas prawdopodobieństwo, że jego średnica będzie równa wartości nominalnej. Dla nas ważne jest prawdopodobieństwo, że średnica rolki nie wyjdzie poza tolerancję.

Gęstość dystrybucji prawdopodobieństwa X wywołaj funkcję f(x) jest pierwszą pochodną funkcji dystrybucji F(x):

Pojęcie gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dla określonej ilości nie ma zastosowania.

Gęstości prawdopodobieństwa f(x) nazywana jest funkcją rozkładu różniczkowego:

Właściwość 1. Gęstość rozkładu jest wartością nieujemną:

Właściwość 2. Całka niewłaściwa gęstości rozkładu w zakresie od do jest równa jeden:

Przykład 1.25. Biorąc pod uwagę dystrybuantę ciągłej zmiennej losowej X:

f(x).

Rozwiązanie: Gęstość rozkładu jest równa pierwszej pochodnej funkcji rozkładu:

1. Mając rozkład zmiennej losowej ciągłej X:

Znajdź gęstość dystrybucji.

2. Podano dystrybuant zmiennej losowej ciągłej X:

Znajdź gęstość dystrybucji f(x).

1.3. Charakterystyki liczbowe ciągłego losowego

wielkie ilości

Wartość oczekiwana ciągła zmienna losowa X, których możliwe wartości należą do całej osi Oh, jest określona przez równość:

Zakłada się, że całka jest zbieżna bezwzględnie.

a, b), następnie:

f(x) jest gęstością rozkładu zmiennej losowej.

Dyspersja ciągła zmienna losowa X, których możliwe wartości należą do całej osi, określa równość:

Szczególny przypadek. Jeżeli wartości zmiennej losowej należą do przedziału ( a, b), następnie:

Prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartości należące do przedziału ( a, b), jest określona przez równość:

Przykład 1.26. Ciągła zmienna losowa X

Znajdź matematyczne oczekiwanie, wariancję i prawdopodobieństwo trafienia w zmienną losową X w przedziale (0; 0,7).

Rozwiązanie: Zmienna losowa jest rozłożona w przedziale (0,1). Zdefiniujmy gęstość rozkładu ciągłej zmiennej losowej X:

a) Oczekiwania matematyczne :

b) Dyspersja

Zadania do samodzielnej pracy:

1. Zmienna losowa X dana przez funkcję dystrybucji:

M(x);

b) dyspersja D(x);

X do przedziału (2,3).

2. Losowa wartość X

Znajdź: a) oczekiwanie matematyczne M(x);

b) dyspersja D(x);

c) określić prawdopodobieństwo trafienia w zmienną losową X w przedziale (1; 1,5).

3. Losowa wartość X jest dana przez funkcję rozkładu całkowego:

Znajdź: a) oczekiwanie matematyczne M(x);

b) dyspersja D(x);

c) określić prawdopodobieństwo trafienia w zmienną losową X w przedziale.

1.4. Prawa rozkładu ciągłej zmiennej losowej

1.4.1. Równomierna dystrybucja

Ciągła zmienna losowa X ma równomierny rozkład na przedziale [ a, b], jeżeli na tym odcinku gęstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest stała, a na zewnątrz równa zero, czyli:

Ryż. 4.

; ; .

Przykład 1.27. Autobus pewnej trasy porusza się równomiernie w odstępie 5 minut. Znajdź prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym X– czas oczekiwania na autobus wyniesie niecałe 3 minuty.

Rozwiązanie: Wartość losowa X- równomiernie rozłożone w przedziale.

Gęstości prawdopodobieństwa: .

Aby czas oczekiwania nie przekroczył 3 minut, pasażer musi przybyć na przystanek w ciągu 2 do 5 minut po odjeździe poprzedniego autobusu, tj. wartość losowa X musi mieścić się w przedziale (2;5). To. pożądane prawdopodobieństwo:

Zadania do samodzielnej pracy:

1. a) znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X rozłożone równomiernie w przedziale (2; 8);

b) znaleźć wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X, rozłożone równomiernie w przedziale (2;8).

2. Wskazówka minutowa zegara elektrycznego podskakuje pod koniec każdej minuty. Znajdź prawdopodobieństwo, że w danym momencie zegar wskaże czas różniący się od rzeczywistego czasu o nie więcej niż 20 sekund.

1.4.2. Rozkład wykładniczy (wykładniczy)

Ciągła zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy, jeśli jego gęstość prawdopodobieństwa ma postać:

gdzie jest parametrem rozkładu wykładniczego.

W ten sposób

Ryż. pięć.

Charakterystyka liczbowa:

Przykład 1.28. Wartość losowa X- czas działania żarówki - ma rozkład wykładniczy. Określ prawdopodobieństwo, że lampa wytrzyma co najmniej 600 godzin, jeśli średnia żywotność lampy wynosi 400 godzin.

Rozwiązanie: Zgodnie ze stanem problemu matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X to 400 godzin, czyli:

;

Pożądane prawdopodobieństwo , gdzie

Wreszcie:

Zadania do samodzielnej pracy:

1. Napisz funkcję gęstości i rozkładu prawa wykładniczego, jeżeli parametr .

2. Losowa wartość X

Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję ilości X.

3. Losowa wartość X dana przez funkcję rozkładu prawdopodobieństwa:

Znajdź oczekiwanie matematyczne i odchylenie standardowe zmiennej losowej.

1.4.3. Normalna dystrybucja

normalna nazywa się rozkładem prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X, którego gęstość ma postać:

gdzie ale– oczekiwanie matematyczne, – odchylenie standardowe X.

Prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość należącą do przedziału:

, gdzie

jest funkcją Laplace'a.

Dystrybucja, która ma ; , tj. z gęstością prawdopodobieństwa zwany standardem.

Ryż. 6.

Prawdopodobieństwo, że wartość bezwzględna odchylenia jest mniejsza niż liczba dodatnia:

W szczególności, kiedy a= 0 równość jest prawdziwa:

Przykład 1.29. Wartość losowa X dystrybuowane normalnie. Odchylenie standardowe . Znajdź prawdopodobieństwo, że odchylenie zmiennej losowej od jej matematycznych oczekiwań w wartości bezwzględnej będzie mniejsze niż 0,3.

Rozwiązanie: .

Zadania do samodzielnej pracy:

1. Napisz gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego zmiennej losowej X, wiedząc to M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Matematyczne oczekiwanie i odchylenie standardowe zmiennej losowej o rozkładzie normalnym X wynoszą odpowiednio 20 i 5. Znajdź prawdopodobieństwo, że w wyniku testu X przyjmie wartość zawartą w przedziale (15;20).

3. Przypadkowe błędy pomiaru podlegają normalnemu prawu z odchyleniem standardowym mm i oczekiwaniem matematycznym a= 0. Znajdź prawdopodobieństwo, że błąd co najmniej jednego z 3 niezależnych pomiarów nie przekracza 4 mm w wartości bezwzględnej.

4. Niektóre substancje są ważone bez błędów systematycznych. Błędy losowe ważenia podlegają prawu normalnemu z odchyleniem standardowym r. Określ prawdopodobieństwo, że ważenie zostanie przeprowadzone z błędem nieprzekraczającym 10 g w wartości bezwzględnej.

Funkcja rozkładu w tym przypadku, zgodnie z (5.7), przyjmie postać:

gdzie: m to oczekiwanie matematyczne, s to odchylenie standardowe.

Rozkład normalny jest również nazywany Gaussem od niemieckiego matematyka Gaussa. Fakt, że zmienna losowa ma rozkład normalny o parametrach: m,, oznaczamy następująco: N (m, s), gdzie: m =a =M ;

Dość często we wzorach oczekiwanie matematyczne jest oznaczane przez ale . Jeżeli zmienna losowa ma rozkład zgodnie z prawem N(0,1), to nazywa się ją zmienną normalną znormalizowaną lub standaryzowaną normalną. Funkcja rozkładu ma dla niego postać:

Wykres gęstości rozkładu normalnego, który nazywamy krzywą normalną lub krzywą Gaussa, pokazano na ryc. 5.4.

Ryż. 5.4. Gęstość rozkładu normalnego

Na przykładzie rozpatrzono wyznaczenie liczbowej charakterystyki zmiennej losowej na podstawie jej gęstości.

Przykład 6.

Ciągłą zmienną losową określa gęstość rozkładu: .

Określ rodzaj rozkładu, znajdź oczekiwanie matematyczne M(X) i wariancję D(X).

Porównując podaną gęstość rozkładu z (5.16), możemy wnioskować, że dane jest prawo rozkładu normalnego z m =4. Zatem oczekiwanie matematyczne M(X)=4, wariancja D(X)=9.

Odchylenie standardowe s=3.

Funkcja Laplace'a, która ma postać:

jest powiązany z rozkładem normalnym (5.17), zależnością:

F 0 (x) \u003d F (x) + 0,5.

Funkcja Laplace'a jest nieparzysta.

Ф(-x)=-Ф(x).

Wartości funkcji Laplace'a Ф(х) są zestawiane i pobierane z tabeli zgodnie z wartością x (patrz Załącznik 1).

Rozkład normalny ciągłej zmiennej losowej odgrywa ważną rolę w teorii prawdopodobieństwa iw opisie rzeczywistości, jest bardzo rozpowszechniony w przypadkowych zjawiskach przyrodniczych. W praktyce bardzo często zdarzają się zmienne losowe, które powstają właśnie w wyniku sumowania wielu losowych terminów. W szczególności analiza błędów pomiarowych pokazuje, że są one sumą różnego rodzaju błędów. Praktyka pokazuje, że rozkład prawdopodobieństw błędów pomiarowych jest zbliżony do normalnego prawa.

Za pomocą funkcji Laplace'a można rozwiązać zadania obliczania prawdopodobieństwa wpadnięcia w zadany przedział i zadanego odchylenia normalnej zmiennej losowej.

WARTOŚCI LOSOWE

Przykład 2.1. Wartość losowa X podana przez funkcję dystrybucji

Znajdź prawdopodobieństwo, że w wyniku testu X przyjmie wartości pomiędzy (2,5; 3,6).

Rozwiązanie: X w przedziale (2,5; 3,6) można wyznaczyć na dwa sposoby:

Przykład 2.2. Przy jakich wartościach parametrów ALE oraz W funkcjonować F(x) = A + Be - x może być dystrybuantą dla nieujemnych wartości zmiennej losowej X.

Rozwiązanie: Ponieważ wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej X należą do przedziału , to aby funkcja była dystrybuantą dla X nieruchomość powinna posiadać:

Odpowiedź: .

Przykład 2.3. Zmienna losowa X jest dana przez dystrybuantę

Znajdź prawdopodobieństwo, że w wyniku czterech niezależnych prób wartość X dokładnie 3 razy przyjmie wartość należącą do przedziału (0,25; 0,75).

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo trafienia wartości X w przedziale (0,25; 0,75) znajdujemy według wzoru:

Przykład 2.4. Prawdopodobieństwo uderzenia piłki w kosz w jednym rzucie wynosi 0,3. Opracuj prawo rozkładu liczby trafień w trzech rzutach.

Rozwiązanie: Wartość losowa X- ilość trafień w kosz przy trzech rzutach - może przyjmować wartości: 0, 1, 2, 3. Prawdopodobieństwo, że X

Przykład 2.5. Dwóch strzelców oddaje jeden strzał do tarczy. Prawdopodobieństwo trafienia go przez pierwszego strzelca wynosi 0,5, drugiego - 0,4. Zapisz prawo rozkładu liczby trafień w cel.

Rozwiązanie: Znajdź prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X- liczba trafień w cel. Niech zdarzeniem będzie trafienie w tarczę pierwszego strzelca i - trafienie drugiego strzelca i - odpowiednio ich pudło.

Skomponujmy prawo rozkładu prawdopodobieństwa SV X:

Przykład 2.6. Testowane są 3 elementy, działające niezależnie od siebie. Czasy (w godzinach) bezawaryjnej pracy elementów mają funkcje gęstości rozkładu: dla pierwszego: F 1 (t) =1-mi- 0,1 t, dla drugiego: F 2 (t) = 1-mi- 0,2 t, dla trzeciego: F 3 (t) =1-mi- 0,3 t. Znajdź prawdopodobieństwo, że w przedziale czasu od 0 do 5 godzin: tylko jeden element ulegnie awarii; tylko dwa elementy zawiodą; wszystkie trzy elementy zawodzą.

Rozwiązanie: Wykorzystajmy definicję funkcji generującej prawdopodobieństwa:

Prawdopodobieństwo, że w niezależnych próbach, w pierwszym z nich prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia ALE równa się , w drugim itd., zdarzeniu ALE pojawia się dokładnie raz, jest równy współczynnikowi w rozwinięciu funkcji tworzącej w potęgach . Znajdźmy prawdopodobieństwa awarii i bezawaryjnej odpowiednio pierwszego, drugiego i trzeciego elementu w przedziale czasowym od 0 do 5 godzin:

Stwórzmy funkcję generującą:

Współczynnik w jest równy prawdopodobieństwu, że zdarzenie ALE pojawi się dokładnie trzy razy, czyli prawdopodobieństwo awarii wszystkich trzech elementów; współczynnik w jest równy prawdopodobieństwu, że dokładnie dwa elementy zawiodą; współczynnik at jest równy prawdopodobieństwu uszkodzenia tylko jednego elementu.

Przykład 2.7. Biorąc pod uwagę gęstość prawdopodobieństwa f(x) zmienna losowa X:

Znajdź funkcję dystrybucji F(x).

Rozwiązanie: Używamy formuły:

Zatem funkcja rozkładu ma postać:

Przykład 2.8. Urządzenie składa się z trzech niezależnie działających elementów. Prawdopodobieństwo uszkodzenia każdego elementu w jednym eksperymencie wynosi 0,1. Opracuj prawo rozkładu liczby uszkodzonych elementów w jednym eksperymencie.

Rozwiązanie: Wartość losowa X- liczba elementów, które nie powiodły się w jednym eksperymencie - może przyjmować wartości: 0, 1, 2, 3. Prawdopodobieństwo, że X przyjmuje te wartości, znajdujemy według wzoru Bernoulliego:

W ten sposób otrzymujemy następujące prawo rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej: X:

Przykład 2.9. Istnieją 4 standardowe części w wielu 6 częściach. Losowo wybrano 3 pozycje. Opracuj prawo podziału liczby części znormalizowanych na wybrane.

Rozwiązanie: Wartość losowa X- ilość części znormalizowanych spośród wybranych - może przyjmować wartości: 1, 2, 3 i ma rozkład hipergeometryczny. Prawdopodobieństwo, że… X

gdzie -- liczba części w partii;

-- liczba części znormalizowanych w partii;

– liczba wybranych części;

-- liczba standardowych części spośród wybranych.

Przykład 2.10. Zmienna losowa ma gęstość rozkładu

gdzie i nie są znane, ale , a i . Znajdź i .

Rozwiązanie: W tym przypadku zmienna losowa X ma rozkład trójkątny (rozkład Simpsona) na przedziale [ a, b]. Charakterystyki liczbowe X:

W konsekwencji, . Rozwiązując ten system, otrzymujemy dwie pary wartości: . Ponieważ, zgodnie ze stanem problemu, w końcu mamy: .

Odpowiedź: .

Przykład 2.11.Średnio za 10% umów zakład ubezpieczeń płaci sumy ubezpieczenia w związku z zajściem zdarzenia ubezpieczeniowego. Oblicz matematyczne oczekiwanie i wariancję liczby takich kontraktów spośród czterech losowo wybranych.

Rozwiązanie: Matematyczne oczekiwanie i wariancję można znaleźć za pomocą wzorów:

Możliwe wartości SV (liczba umów (z czterech) z wystąpieniem zdarzenia ubezpieczeniowego): 0, 1, 2, 3, 4.

Wykorzystujemy wzór Bernoulliego do obliczenia prawdopodobieństw różnej liczby umów (spośród czterech), za które wypłacone zostały sumy ubezpieczenia:

Seria dystrybucyjna CV (liczba umów z wystąpieniem zdarzenia ubezpieczeniowego) ma postać:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Odpowiedź: , .

Przykład 2.12. Z pięciu róż dwie są białe. Napisz prawo rozkładu dla zmiennej losowej wyrażającej liczbę białych róż wśród dwóch pobranych w tym samym czasie.

Rozwiązanie: W próbce dwóch róż może nie być białej róży lub może być jedna lub dwie białe róże. Dlatego zmienna losowa X może przyjmować wartości: 0, 1, 2. Prawdopodobieństwo, że X przyjmuje te wartości, znajdujemy według wzoru:

gdzie -- liczba róż;

-- liczba białych róż;

– liczba jednocześnie pobranych róż;

-- liczba białych róż wśród zebranych.

Wtedy prawo rozkładu zmiennej losowej będzie wyglądało następująco:

Przykład 2.13. Spośród 15 zmontowanych jednostek 6 wymaga dodatkowego smarowania. Sporządź prawo rozkładu liczby jednostek wymagających dodatkowego smarowania, spośród pięciu losowo wybranych z ogólnej liczby.

Rozwiązanie: Wartość losowa X- liczba jednostek wymagających dodatkowego smarowania spośród pięciu wybranych - może przyjmować wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5 i ma rozkład hipergeometryczny. Prawdopodobieństwo, że… X przyjmuje te wartości, znajdujemy według wzoru:

gdzie -- liczba zmontowanych jednostek;

-- liczba jednostek wymagających dodatkowego smarowania;

– liczba wybranych agregatów;

-- liczba jednostek, które wymagają dodatkowego smarowania spośród wybranych.

Wtedy prawo rozkładu zmiennej losowej będzie wyglądało następująco:

Przykład 2.14. Z 10 zegarków otrzymanych do naprawy 7 wymaga ogólnego czyszczenia mechanizmu. Zegarki nie są sortowane według rodzaju naprawy. Mistrz, chcąc znaleźć zegarek, który wymaga czyszczenia, ogląda je jeden po drugim i po znalezieniu takiego zegarka przestaje dalej oglądać. Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję liczby obserwowanych godzin.

Rozwiązanie: Wartość losowa X- liczba jednostek, które wymagają dodatkowego smarowania spośród pięciu wybranych - może przyjmować następujące wartości: 1, 2, 3, 4. Prawdopodobieństwo, że X przyjmuje te wartości, znajdujemy według wzoru:

Wtedy prawo rozkładu zmiennej losowej będzie wyglądało następująco:

Teraz obliczmy numeryczną charakterystykę ilości :

Odpowiedź: , .

Przykład 2.15. Abonent zapomniał ostatniej cyfry numeru telefonu, którego potrzebuje, ale pamięta, że jest to dziwne. Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję liczby wybierań, które wykonał przed naciśnięciem żądanej liczby, jeśli wybierze ostatnią cyfrę losowo i nie wybierze wybranej cyfry w przyszłości.

Rozwiązanie: Zmienna losowa może przyjmować wartości: . Ponieważ abonent nie wybierze wybranej cyfry w przyszłości, prawdopodobieństwa tych wartości są równe.

Skomponujmy szereg dystrybucyjny zmiennej losowej:


	0,2

Obliczmy matematyczne oczekiwanie i wariancję liczby prób wybierania numeru:

Odpowiedź: , .

Przykład 2.16. Prawdopodobieństwo awarii podczas testów niezawodnościowych dla każdego urządzenia z serii jest równe p. Określ matematyczne oczekiwanie liczby urządzeń, które uległy awarii, jeśli zostały przetestowane n urządzenia.

Rozwiązanie: Dyskretna zmienna losowa X to liczba uszkodzonych urządzeń w n niezależne testy, w każdym z których prawdopodobieństwo niepowodzenia jest równe P, dystrybuowane zgodnie z prawem dwumianowym. Matematyczne oczekiwanie rozkładu dwumianowego jest równe iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w jednej próbie:

Przykład 2.17. Dyskretna zmienna losowa X przyjmuje 3 możliwe wartości: z prawdopodobieństwem ; z prawdopodobieństwem iz prawdopodobieństwem . Znajdź i wiedząc, że M( X) = 8.

Rozwiązanie: Korzystamy z definicji oczekiwań matematycznych i prawa rozkładu dyskretnej zmiennej losowej:

Znaleźliśmy: .

Przykład 2.18. Dział kontroli technicznej sprawdza produkty pod kątem standaryzacji. Prawdopodobieństwo, że przedmiot jest standardowy wynosi 0,9. Każda partia zawiera 5 sztuk. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X- ilość partii, z których każda zawiera dokładnie 4 produkty standardowe, jeśli weryfikacji podlega 50 partii.

Rozwiązanie: W tym przypadku wszystkie przeprowadzone eksperymenty są niezależne, a prawdopodobieństwa, że każda partia zawiera dokładnie 4 standardowe produkty są takie same, dlatego matematyczne oczekiwanie można określić wzorem:

gdzie jest liczba partii;

Prawdopodobieństwo, że partia zawiera dokładnie 4 standardowe pozycje.

Obliczamy prawdopodobieństwo za pomocą wzoru Bernoulliego:

Odpowiedź: .

Przykład 2.19. Znajdź wariancję zmiennej losowej X– liczba wystąpień zdarzenia A w dwóch niezależnych próbach, jeżeli prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w tych próbach są takie same i wiadomo, że: M(X) = 0,9.

Rozwiązanie: Problem można rozwiązać na dwa sposoby.

1) Możliwe wartości CB X: 0, 1, 2. Korzystając ze wzoru Bernoulliego wyznaczamy prawdopodobieństwa tych zdarzeń:

, , .

Następnie prawo dystrybucji X wygląda jak:

Z definicji oczekiwań matematycznych określamy prawdopodobieństwo:

Znajdźmy wariancję SW X:

2) Możesz użyć wzoru:

Odpowiedź: .

Przykład 2.20. Oczekiwanie matematyczne i odchylenie standardowe zmiennej losowej o rozkładzie normalnym X wynoszą odpowiednio 20 i 5. Znajdź prawdopodobieństwo, że w wyniku testu X przyjmie wartość zawartą w przedziale (15; 25).

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo trafienia w normalną zmienną losową X na odcinku od do jest wyrażony w funkcji Laplace'a:

Przykład 2.21. Biorąc pod uwagę funkcję:

Przy jakiej wartości parametru C ta funkcja jest gęstością rozkładu pewnej ciągłej zmiennej losowej X? Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję zmiennej losowej X.

Rozwiązanie: Aby funkcja była gęstością rozkładu jakiejś zmiennej losowej , musi być nieujemna i musi spełniać własność:

W konsekwencji:

Oblicz oczekiwanie matematyczne za pomocą wzoru:

Oblicz wariancję za pomocą wzoru:

T jest p. Konieczne jest znalezienie matematycznego oczekiwania i wariancji tej zmiennej losowej.

Rozwiązanie: Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X - liczba wystąpień zdarzenia w niezależnych próbach, w których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia wynosi , nazywa się dwumianem. Matematyczne oczekiwanie rozkładu dwumianowego jest równe iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia A w jednej próbie:

Przykład 2.25. Do tarczy oddano trzy niezależne strzały. Prawdopodobieństwo trafienia każdego strzału wynosi 0,25. Określ odchylenie standardowe liczby trafień przy trzech strzałach.

Rozwiązanie: Ponieważ wykonywane są trzy niezależne próby, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A (trafienie) w każdej próbie jest takie samo, założymy, że dyskretna zmienna losowa X – liczba trafień w cel – jest rozłożona zgodnie z dwumianem prawo.

Wariancja rozkładu dwumianowego jest równa iloczynowi liczby prób oraz prawdopodobieństwa wystąpienia i niewystąpienia zdarzenia w jednej próbie:

Przykład 2.26.Średnia liczba klientów odwiedzających firmę ubezpieczeniową w ciągu 10 minut to trzy. Znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden klient dotrze w ciągu najbliższych 5 minut.

Średnia liczba klientów przybywających w ciągu 5 minut: . .

Przykład 2.29. Czas oczekiwania na aplikację w kolejce procesora jest zgodny z wykładniczym prawem dystrybucji o średniej wartości 20 sekund. Znajdź prawdopodobieństwo, że następne (arbitralne) żądanie będzie czekać na procesor dłużej niż 35 sekund.

Rozwiązanie: W tym przykładzie oczekiwanie , a wskaźnik niepowodzeń wynosi .

Wtedy pożądane prawdopodobieństwo to:

Przykład 2.30. Grupa 15 uczniów spotyka się w sali z 20 rzędami po 10 miejsc każdy. Każdy uczeń losowo zajmuje miejsce w sali. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie więcej niż trzy osoby znajdą się na siódmym miejscu z rzędu?

Rozwiązanie:

Przykład 2.31.

Następnie zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa:

gdzie -- liczba części w partii;

-- ilość części niestandardowych w partii;

– liczba wybranych części;

-- ilość części niestandardowych wśród wybranych.

Wtedy prawo rozkładu zmiennej losowej będzie następujące.

Ciągłe zmienne losowe mają nieskończoną liczbę możliwych wartości. Dlatego nie można dla nich wprowadzić serii dystrybucyjnej.

Zamiast prawdopodobieństwa, że zmienna losowa X przyjmie wartość równą x, tj. p(X = x), rozważ prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość mniejszą niż x, tj. P(X< х).

Wprowadzamy nową charakterystykę zmiennych losowych - funkcję dystrybucji i rozważamy jej własności.

Funkcja dystrybucji jest najbardziej uniwersalną cechą zmiennej losowej. Można go zdefiniować zarówno dla dyskretnych, jak i ciągłych zmiennych losowych:

F(x) = p(X< x).

Własności funkcji dystrybucji.

Funkcja dystrybucji jest nie malejącą funkcją jej argumentu, tj. jeśli:

Przy minus nieskończoności funkcja rozkładu wynosi zero:

W plus nieskończoności funkcja dystrybucji jest równa jeden:

Prawdopodobieństwo wpadnięcia zmiennej losowej do danego przedziału określa wzór:

Funkcję f(x), która jest równa pochodnej funkcji rozkładu, nazywamy gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X lub gęstością rozkładu:

Wyraźmy prawdopodobieństwo trafienia sekcji b do c jako f(x). Jest równa sumie elementów prawdopodobieństwa w tej sekcji, tj. całka:

Stąd możemy wyrazić dystrybuantę w postaci gęstości prawdopodobieństwa:

Właściwości gęstości prawdopodobieństwa.

Gęstość prawdopodobieństwa jest funkcją nieujemną (ponieważ funkcja rozkładu jest funkcją niemalejacą):

Gęstość prawdopodobnie

sti jest funkcją ciągłą.

Całka w nieskończonych granicach gęstości prawdopodobieństwa jest równa 1:

Gęstość prawdopodobieństwa ma wymiar zmiennej losowej.

Matematyczne oczekiwanie i rozproszenie ciągłej zmiennej losowej

Znaczenie matematycznego oczekiwania i wariancji pozostaje takie samo jak w przypadku dyskretnych zmiennych losowych. Forma formuł do ich wyszukiwania zmienia się poprzez zastąpienie:

Następnie otrzymujemy wzory na obliczenie matematycznego oczekiwania i rozrzutu ciągłej zmiennej losowej:

Przykład. Rozkład zmiennej losowej ciągłej dana jest wzorem:

Znajdź wartość a, gęstość prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo trafienia w witrynę (0,25-0,5), oczekiwanie matematyczne i wariancję.

Ponieważ funkcja rozkładu F(x) jest ciągła, to dla x = 1 ax2 = 1, stąd a = 1.

Gęstość prawdopodobieństwa jest wyznaczana jako pochodna funkcji rozkładu:

Obliczenie prawdopodobieństwa trafienia w dany obszar można wykonać na dwa sposoby: za pomocą funkcji rozkładu oraz za pomocą gęstości prawdopodobieństwa.

Pierwsza droga. Posługujemy się wzorem na znalezienie prawdopodobieństwa za pomocą funkcji rozkładu:
Drugi sposób. Używamy wzoru na znalezienie prawdopodobieństwa poprzez gęstość prawdopodobieństwa:

Znalezienie matematycznego oczekiwania:

Znajdowanie wariancji:

Równomierna dystrybucja

Rozważmy ciągłą zmienną losową X, której możliwe wartości leżą w pewnym przedziale i są równie prawdopodobne.

Gęstość prawdopodobieństwa takiej zmiennej losowej będzie wynosić:

gdzie c jest pewną stałą.

Wykres gęstości prawdopodobieństwa będzie wyświetlany w następujący sposób:

Wyrażamy parametr c w kategoriach b i c. Aby to zrobić, używamy faktu, że całka gęstości prawdopodobieństwa po całym regionie musi być równa 1:

Gęstość rozkładu zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym

Znajdź funkcję dystrybucji:

Rozkład funkcji zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym

Wykreślmy funkcję rozkładu:

Obliczmy matematyczne oczekiwanie i wariancję zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym.

Wtedy odchylenie standardowe będzie wyglądało następująco:

Rozkład normalny (Gaussowski)

Ciągłą zmienną losową X nazywamy rozkładem normalnym z parametrami a, y > 0, jeśli ma gęstość prawdopodobieństwa:

Krzywa rozkładu zmiennej losowej ma postać:

Test 2

Zadanie 1. Ułóż prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X, oblicz oczekiwanie matematyczne, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej.

opcja 1

QCD sprawdza produkty pod kątem standaryzacji. Prawdopodobieństwo, że przedmiot jest standardowy wynosi 0,7. Przetestowano 20 pozycji. Znajdź prawo rozkładu zmiennej losowej X - liczbę standardowych produktów wśród testowanych. Oblicz matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej.

Opcja 2

W urnie znajdują się 4 kule, na których zaznaczono punkty 2; 4; pięć; 5. Piłka jest losowana. Znajdź prawo rozkładu zmiennej losowej X - liczbę punktów na niej. Oblicz matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej.

Opcja 3

Łowca strzela do zwierzyny, dopóki nie trafi, ale może oddać nie więcej niż trzy strzały. Prawdopodobieństwo trafienia każdego strzału wynosi 0,6. Ułóż prawo rozkładu zmiennej losowej X - liczba strzałów oddanych przez strzelca. Oblicz matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej.

Opcja 4

Prawdopodobieństwo przekroczenia określonej dokładności pomiaru wynosi 0,4. Ułóż prawo rozkładu zmiennej losowej X - liczba błędów w 10 pomiarach. Oblicz matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej.

Opcja 5

Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,45. Oddano 20 strzałów. Ułóż prawo rozkładu zmiennej losowej X - liczba trafień. Oblicz matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej.

Opcja 6

Produkty pewnej fabryki zawierają 5% małżeństwa. Stwórz prawo dystrybucji dla zmiennej losowej X - liczba wadliwych produktów spośród pięciu wziętych na szczęście. Oblicz matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej.

Opcja 7

Części potrzebne monterowi znajdują się w trzech z pięciu pudełek. Monter otwiera pudła, dopóki nie znajdzie odpowiednich części. Ułóż prawo rozkładu zmiennej losowej X - liczba otwartych pudełek. Oblicz matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej.

Opcja 8

W urnie znajdują się 3 czarne i 2 białe kule. Sekwencyjne wydobywanie kulek bez powrotu jest przeprowadzane aż do pojawienia się czerni. Ułóż prawo rozkładu zmiennej losowej X - liczba wydobytych kulek. Oblicz matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej.

Opcja 9

Student zna 15 pytań z 20. W bilecie znajdują się 3 pytania. Skompiluj prawo rozkładu zmiennej losowej X - liczba pytań znanych uczniowi na bilecie. Oblicz matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej.

Opcja 10

Istnieją 3 żarówki, z których każda ma wadę z prawdopodobieństwem 0,4. Po włączeniu uszkodzona żarówka przepala się i jest zastępowana inną. Stwórz prawo rozkładu dla zmiennej losowej X - liczba testowanych lamp. Oblicz matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej.

Zadanie 2. Zmienna losowa X jest dana przez dystrybuantę F(X). Znajdź gęstość rozkładu, oczekiwanie matematyczne, wariancję, a także prawdopodobieństwo wpadnięcia zmiennej losowej do przedziału (b, c). Skonstruuj wykresy funkcji F(X) i f(X).

opcja 1