Znajdź niezawodne i niemożliwe zdarzenia wśród wydarzeń AI. Temat lekcji: „Zdarzenia wiarygodne, niemożliwe i losowe”

Tylko nie w tłumaczu internetowym.

Złota Brama to symbol Kijowa, jeden z najstarszych zachowanych do dziś przykładów architektury. Złota Brama Kijowa została zbudowana za czasów słynnego księcia kijowskiego Jarosława Mądrego w 1164 roku. Początkowo nosiły nazwę Południową i wchodziły w skład systemu fortyfikacji obronnych miasta, praktycznie nie różniącego się od pozostałych bram wartowniczych miasta. To właśnie Bramę Południową pierwszy rosyjski metropolita Hilarion nazwał „Wielką” w swoim „Kazaniu o prawie i łasce”. Po wybudowaniu majestatycznego kościoła Hagia Sophia „Wielka” Brama stała się głównym wjazdem lądowym do Kijowa od strony południowo-zachodniej. Zdając sobie sprawę z ich znaczenia, Jarosław Mądry nakazał budowę nad bramami małego kościoła Zwiastowania, aby oddać hołd dominującej w mieście i na Rusi religii chrześcijańskiej. Od tego czasu wszystkie rosyjskie źródła kronikarskie zaczęto nazywać Południową Bramę Kijowa Złotą Bramą. Szerokość bramy wynosiła 7,5 m, wysokość przejazdu 12 m, a długość około 25 m.

le sport ce n"est pas seulement des cours de siłownia. C"est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport développé ton corps et aussi ton cerveau. Quand tu prends l"escalier et non pas l"ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frere tu fais du sport. Quand tu cours, parce que tu es en opóźnienie a l'ecole, tu fais du sport.

Zdarzenie jest wynikiem testu. Co to jest wydarzenie? Z urny losujemy jedną kulę. Wydobycie kuli z urny jest sprawdzianem. Pojawienie się kulki określonego koloru jest wydarzeniem. W teorii prawdopodobieństwa zdarzenie jest rozumiane jako coś, o czym po pewnym czasie można powiedzieć jedną i tylko jedną z dwóch rzeczy. Tak, to się stało. Nie, to się nie wydarzyło. Możliwy wynik eksperymentu nazywa się zdarzeniem elementarnym, a zbiór takich wyników po prostu nazywa się zdarzeniem.

Zdarzenia nieprzewidywalne nazywane są losowymi. Zdarzenie nazywa się losowym, jeśli w tych samych warunkach może nastąpić lub nie. Podczas rzucania kostką wynikiem będzie szóstka. Mam los na loterię. Po opublikowaniu wyników loterii interesujące mnie wydarzenie - wygrana tysiąca rubli - albo się zdarza, albo nie. Przykład.

Dwa zdarzenia, które w danych warunkach mogą wystąpić jednocześnie, nazywane są wspólnymi, a te, które nie mogą wystąpić jednocześnie, nazywane są niezgodnymi. Rzucana jest moneta. Pojawienie się „herbu” wyklucza pojawienie się napisu. Zdarzenia „pojawił się herb” i „pojawił się napis” są nie do pogodzenia. Przykład.

Zdarzenie, które zawsze występuje, nazywa się niezawodnym. Zdarzenie, które nie może się wydarzyć, nazywa się niemożliwym. Załóżmy na przykład, że z urny zawierającej wyłącznie czarne kule wylosowano kulę. Wtedy pojawienie się czarnej kuli jest wydarzeniem niezawodnym; pojawienie się białej kuli jest wydarzeniem niemożliwym. Przykłady. W przyszłym roku nie będzie śniegu. Podczas rzucania kostką wynikiem będzie siódemka. To są zdarzenia niemożliwe. W przyszłym roku będzie śnieg. Kiedy rzucisz kostką, otrzymasz liczbę mniejszą niż siedem. Codzienny wschód słońca. Są to zdarzenia wiarygodne.

Rozwiązywanie problemu Dla każdego z opisanych zdarzeń określ, co jest: niemożliwe, wiarygodne czy losowe. 1. Spośród 25 uczniów w klasie dwoje obchodzi urodziny a) 30 stycznia; b) 30 lutego. 2. Podręcznik literatury otwiera się losowo, a drugie słowo znajduje się na lewej stronie. Słowo to zaczyna się: a) na literę „K”; b) zaczynając od litery „Ъ”.

3. Dzisiaj w Soczi barometr pokazuje normalne ciśnienie atmosferyczne. W tym przypadku: a) woda w garnku zagotowała się w temperaturze 80°C; b) gdy temperatura spadła do -5°C, woda w kałuży zamarzła. 4. Rzucamy dwiema kostkami: a) pierwsza kostka daje 3 punkty, a druga 5 punktów; b) suma punktów uzyskanych na obu kostkach wynosi 1; c) suma punktów wyrzuconych na obu kostkach wynosi 13; d) obie kostki uzyskały 3 punkty; e) suma punktów na dwóch kostkach jest mniejsza niż 15. Rozwiązywanie problemów

5. Otworzyłeś książkę na dowolnej stronie i przeczytałeś pierwszy rzeczownik, na który trafiłeś. Okazało się, że: a) pisownia wybranego słowa zawiera samogłoskę; b) pisownia wybranego słowa zawiera literę „O”; c) w pisowni wybranego słowa nie ma samogłosek; d) w pisowni wybranego słowa występuje miękki znak. Rozwiązywanie problemów

5 klasa. Wprowadzenie do prawdopodobieństwa (4 godziny)

(opracowanie 4 lekcji na ten temat)

Cele nauki : - wprowadzić definicję zdarzenia losowego, pewnego i niemożliwego;

Podaj pierwsze pomysły na rozwiązanie problemów kombinatorycznych: użycie drzewa opcji i zastosowanie reguły mnożenia.

Cel edukacyjny: rozwój światopoglądu uczniów.

Cel rozwojowy : rozwój wyobraźni przestrzennej, doskonalenie umiejętności pracy z linijką.

Zdarzenia niezawodne, niemożliwe i losowe (2 godz.)

Problemy kombinatoryczne (2 godz.)

Zdarzenia niezawodne, niemożliwe i losowe.

Pierwsza lekcja

Wyposażenie lekcji: kostka do gry, moneta, backgammon.

Nasze życie w dużej mierze składa się z wypadków. Istnieje taka nauka jak „teoria prawdopodobieństwa”. Jego językiem można opisać wiele zjawisk i sytuacji.

Nawet prymitywny przywódca rozumiał, że kilkunastu myśliwych miało większe „prawdopodobieństwo” trafienia żubra włócznią niż jeden. Dlatego wtedy polowano zbiorowo.

Tacy starożytni dowódcy, jak Aleksander Wielki czy Dmitrij Donskoj, przygotowując się do bitwy, polegali nie tylko na waleczności i sztuce wojowników, ale także na przypadku.

Wiele osób kocha matematykę ze względu na odwieczne prawdy: dwa razy dwa równa się zawsze cztery, suma liczb parzystych jest parzysta, pole prostokąta jest równe iloczynowi sąsiednich boków itp. W każdym rozwiązanym problemie wszyscy otrzymuje tę samą odpowiedź - wystarczy nie popełnić błędu w decyzji.

Prawdziwe życie nie jest takie proste i jednoznaczne. Wyniku wielu wydarzeń nie da się przewidzieć z góry. Nie da się na przykład powiedzieć z całą pewnością, która strona spadnie podrzucona w górę moneta, kiedy w przyszłym roku spadnie pierwszy śnieg ani ile osób w mieście będzie chciało w ciągu najbliższej godziny wykonać telefon. Takie nieprzewidywalne zdarzenia nazywane są losowy .

Jednak przypadek ma również swoje własne prawa, które zaczynają się ujawniać, gdy losowe zjawiska powtarzają się wielokrotnie. Jeśli rzucisz monetą 1000 razy, w mniej więcej połowie przypadków wypadnie reszka, co nie ma miejsca w przypadku dwóch lub nawet dziesięciu rzutów. „W przybliżeniu” nie oznacza połowy. Generalnie może tak być lub nie. Prawo nie mówi niczego pewnego, ale daje pewien stopień pewności, że nastąpi jakieś zdarzenie losowe. Takie wzorce bada specjalna gałąź matematyki - Teoria prawdopodobieństwa . Za jego pomocą można z większą pewnością (choć wciąż nie do końca pewnym) przewidzieć zarówno datę pierwszych opadów śniegu, jak i liczbę rozmów telefonicznych.

Teoria prawdopodobieństwa jest nierozerwalnie związana z naszym codziennym życiem. Daje nam to wspaniałą możliwość eksperymentalnego ustalenia wielu praw probabilistycznych, wielokrotnie powtarzając losowe eksperymenty. Materiałem do tych eksperymentów będzie najczęściej zwykła moneta, kostka do gry, zestaw domino, backgammon, ruletka, a nawet talia kart. Każdy z tych przedmiotów jest w taki czy inny sposób powiązany z grami. Faktem jest, że sprawa pojawia się tutaj w najczęstszej postaci. A pierwsze zadania probabilistyczne dotyczyły oceny szans graczy na wygraną.

Współczesna teoria prawdopodobieństwa odeszła od hazardu, ale jej rekwizyty nadal pozostają najprostszym i najbardziej niezawodnym źródłem szans. Po ćwiczeniach z ruletką i kostką nauczysz się obliczać prawdopodobieństwo zdarzeń losowych w rzeczywistych sytuacjach, co pozwoli ci ocenić swoje szanse na sukces, przetestować hipotezy i podjąć optymalne decyzje nie tylko w grach i loteriach.

Rozwiązując problemy probabilistyczne, bądź bardzo ostrożny, staraj się uzasadnić każdy swój krok, ponieważ żadna inna dziedzina matematyki nie zawiera tylu paradoksów. Podobnie jak teoria prawdopodobieństwa. Być może głównym wyjaśnieniem tego jest jego związek z prawdziwym światem, w którym żyjemy.

W wielu grach używana jest kostka z różną liczbą kropek na każdej stronie od 1 do 6. Gracz rzuca kostką, patrzy, ile kropek wypadło (po tej stronie, która znajduje się na górze) i wykonuje odpowiednią liczbę ruchów : 1,2,3,4,5 lub 6. Rzut kostką można uznać za przeżycie, eksperyment, sprawdzian, a uzyskany wynik za wydarzenie. Ludzie są zwykle bardzo zainteresowani odgadnięciem wystąpienia tego lub innego zdarzenia i przewidzeniem jego wyniku. Jakie przewidywania można uzyskać, rzucając kostką? Pierwsza prognoza: pojawi się jedna z cyfr 1,2,3,4,5 lub 6. Czy uważasz, że przewidywane wydarzenie nastąpi, czy nie? Oczywiście, że na pewno przyjdzie. Zdarzenie, które z pewnością wystąpi w danym doświadczeniu, nazywa się wiarygodne wydarzenie.

Druga prognoza : pojawi się liczba 7. Czy myślisz, że przewidywane wydarzenie nastąpi, czy nie? Oczywiście, że tak się nie stanie, jest to po prostu niemożliwe. Zdarzenie, które nie może wystąpić w danym doświadczeniu, nazywa się niemożliwe wydarzenie.

Trzecia prognoza : pojawi się cyfra 1. Czy uważasz, że przewidywane wydarzenie miało miejsce, czy nie? Nie jesteśmy w stanie odpowiedzieć na to pytanie z całkowitą pewnością, ponieważ przewidywane wydarzenie może nastąpić lub nie. Zdarzenie, które może, ale nie musi wystąpić w danym doświadczeniu, nazywa się przypadkowe wydarzenie.

Ćwiczenia : Opisz zdarzenia omówione w poniższych zadaniach. Jak pewne, niemożliwe lub losowe.

Rzućmy monetą. Pojawił się herb. (losowy)

Myśliwy strzelił do wilka i uderzył go. (losowy)

Uczeń każdego wieczoru idzie na spacer. Podczas poniedziałkowego spaceru spotkał trzech znajomych. (losowy)

Przeprowadźmy w myślach następujący eksperyment: odwróćmy szklankę wody do góry nogami. Jeśli ten eksperyment zostanie przeprowadzony nie w kosmosie, ale w domu lub w klasie, wówczas woda się rozleje. (niezawodny)

Do tarczy oddano trzy strzały.” Było pięć trafień” (niemożliwe)

Rzuć kamień w górę. Kamień pozostaje wiszący w powietrzu. (niemożliwe)

Losowo zmieniamy kolejność liter słowa „antagonizm”. Rezultatem jest słowo „anachroizm”. (niemożliwe)

№959. Petya pomyślał o liczbie naturalnej. Wydarzenie wygląda następująco:

a) zamierzona jest liczba parzysta; (losowo) b) zamierzona jest liczba nieparzysta; (losowy)

c) powstaje liczba, która nie jest ani parzysta, ani nieparzysta; (niemożliwe)

d) przyjmuje się, że liczba jest parzysta lub nieparzysta. (niezawodny)

№ 961. Petya i Tolya porównują swoje urodziny. Wydarzenie wygląda następująco:

a) ich urodziny nie pokrywają się; (losowo) b) mają tę samą datę urodzenia; (losowy)

d) obydwoje ich urodziny przypadają w święta - Nowy Rok (1 stycznia) i Dzień Niepodległości Rosji (12 czerwca). (losowy)

№ 962. Podczas gry w backgammona używa się dwóch kości. Liczbę ruchów, które wykonuje uczestnik gry, ustala się dodając liczby po obu stronach sześcianu, które wypadną, a jeśli wyrzuci „dublet” (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6 ), wówczas liczba ruchów podwaja się. Rzucasz kostką i obliczasz, ile ruchów musisz wykonać. Wydarzenie wygląda następująco:

a) musisz wykonać jeden ruch; b) musisz wykonać 7 ruchów;

c) musisz wykonać 24 ruchy; d) musisz wykonać 13 ruchów.

a) – niemożliwe (można wykonać 1 ruch, jeśli wypadnie kombinacja 1 + 0, ale na kostce nie ma cyfry 0).

b) – losowe (jeśli wyrzucono 1 + 6 lub 2 + 5).

c) – losowe (jeśli pojawi się kombinacja 6 +6).

d) – niemożliwe (nie ma kombinacji liczb od 1 do 6, których suma wynosi 13; liczby tej nie można uzyskać nawet przy wyrzuceniu „podwójności”, ponieważ jest ona nieparzysta).

Sprawdź się. (dyktando matematyczne)

1) Wskaż, które z poniższych zdarzeń są niemożliwe, które są wiarygodne, a które losowe:

Mecz piłkarski „Spartak” - „Dynamo” zakończy się remisem. (losowy)

Wygrasz, biorąc udział w loterii, w której wygrywają obie strony (niezawodnie)

Śnieg spadnie o północy, a słońce zaświeci 24 godziny później. (niemożliwe)

Jutro będzie sprawdzian z matematyki. (losowy)

Zostaniesz wybrany na Prezydenta Stanów Zjednoczonych. (niemożliwe)

Zostaniesz wybrany na prezydenta Rosji. (losowy)

2) Kupiłeś w sklepie telewizor, na który producent udziela dwuletniej gwarancji. Które z poniższych zdarzeń są niemożliwe, które są losowe, które są wiarygodne:

Telewizor nie zepsuje się przez rok. (losowy)

Telewizor nie będzie się psuł przez dwa lata. (losowy)

Nie będziesz musiał płacić za naprawę telewizora przez dwa lata. (niezawodny)

Telewizor zepsuje się w trzecim roku. (losowy)

3) Autobus przewożący 15 pasażerów musi zatrzymać się na 10 przystankach. Które z poniższych zdarzeń są niemożliwe, które są losowe, które są wiarygodne:

Wszyscy pasażerowie będą wysiadać z autobusu na różnych przystankach. (niemożliwe)

Wszyscy pasażerowie wysiądą na tym samym przystanku. (losowy)

Na każdym przystanku przynajmniej ktoś wysiądzie. (losowy)

Będzie przystanek, na którym nikt nie wysiądzie. (losowy)

Na wszystkich przystankach wysiądzie parzysta liczba pasażerów. (niemożliwe)

Na wszystkich przystankach wysiądzie nieparzysta liczba pasażerów. (niemożliwe)

Praca domowa : s. 53 nr 960, 963, 965 (sam wymyśl dwa pewne, losowe i niemożliwe zdarzenia).

Druga lekcja.

Sprawdzanie pracy domowej. (doustnie)

a) Wyjaśnij, czym są zdarzenia pewne, losowe i niemożliwe.

b) Wskaż, które z poniższych zdarzeń jest wiarygodne, które niemożliwe, a które losowe:

Nie będzie wakacji letnich. (niemożliwe)

Kanapka opadnie masłem na dół. (losowy)

Rok szkolny kiedyś się skończy. (niezawodny)

Zapytają mnie jutro na zajęciach. (losowy)

Dzisiaj spotkam czarnego kota. (losowy)

№ 960. Otworzyłeś ten podręcznik na dowolnej stronie i wybrałeś pierwszy rzeczownik, który się pojawił. Wydarzenie wygląda następująco:

a) w pisowni wybranego słowa występuje samogłoska. ((niezawodny)

b) pisownia wybranego słowa zawiera literę „o”. (losowy)

c) w pisowni wybranego słowa nie ma samogłosek. (niemożliwe)

d) w pisowni wybranego słowa występuje miękki znak. (losowy)

№ 963. Znowu grasz w backgammona. Opisz następujące wydarzenie:

a) gracz nie może wykonać więcej niż dwa ruchy. (niemożliwe - kombinacją najmniejszych liczb 1 + 1 gracz wykonuje 4 ruchy; kombinacja 1 + 2 daje 3 ruchy; wszystkie inne kombinacje dają więcej niż 3 ruchy)

b) gracz musi wykonać więcej niż dwa ruchy. (niezawodne - dowolna kombinacja daje 3 lub więcej ruchów)

c) gracz nie może wykonać więcej niż 24 ruchy. (pewne - kombinacja największych liczb 6 + 6 daje 24 ruchy, a wszystkie pozostałe dają mniej niż 24 ruchy)

d) gracz musi wykonać dwucyfrową liczbę ruchów. (losowo – np. kombinacja 2+3 daje jednocyfrową liczbę ruchów: 5, a wyrzucenie dwóch czwórek daje dwucyfrową liczbę ruchów)

2. Rozwiązywanie problemów.

№ 964. W worku znajduje się 10 kulek: 3 niebieskie, 3 białe i 4 czerwone. Opisz następujące wydarzenie:

a) z worka wyjęto 4 kule i wszystkie są niebieskie; (niemożliwe)

b) z worka wyjęto 4 kule i wszystkie są czerwone; (losowy)

c) z worka wyjęto 4 kule i wszystkie okazały się być w różnych kolorach; (niemożliwe)

d) Z worka wyjęto 4 kule, a wśród nich nie było kuli czarnej. (niezawodny)

Zadanie 1. Pudełko zawiera 10 długopisów czerwonych, 1 zielony i 2 niebieskie. Z pudełka losujemy dwa przedmioty. Które z poniższych zdarzeń jest niemożliwe, które jest losowe, a które pewne:

a) wyjęto dwa czerwone długopisy (losowo)

b) wyjęto dwa zielone uchwyty; (niemożliwe)

c) wyjęto dwa niebieskie długopisy; (losowy)

d) wyjęto uchwyty w dwóch różnych kolorach; (losowy)

e) usunięto dwa uchwyty; (niezawodny)

f) wyjęto dwa ołówki. (niemożliwe)

Zadanie 2. Kubuś Puchatek, Prosiaczek i wszyscy – wszyscy – wszyscy siadają przy okrągłym stole, aby świętować swoje urodziny. Przy jakiej liczbie wszystkich - wszystkich - wszystkich zdarzenie „Kubuś Puchatek i Prosiaczek siedzą obok siebie” jest wiarygodne, a przy jakiej liczbie jest losowe?

(jeśli ze wszystkich jest tylko 1 - wszystkie - wszystkie, to zdarzenie jest wiarygodne, jeśli jest ich więcej niż 1, to jest losowe).

Zadanie 3. Spośród 100 losów na loterię charytatywną wygrywa 20. Ile losów trzeba kupić, aby wydarzenie „nic nie wygrasz” było niemożliwe?

Zadanie 4. W klasie jest 10 chłopców i 20 dziewcząt. Które z poniższych zdarzeń są niemożliwe dla tej klasy, które są losowe, które są wiarygodne

W klasie są dwie osoby urodzone w różnych miesiącach. (losowy)

W klasie są dwie osoby urodzone w tym samym miesiącu. (niezawodny)

W klasie jest dwóch chłopców urodzonych w tym samym miesiącu. (losowy)

W klasie są dwie dziewczynki, które urodziły się w tym samym miesiącu. (niezawodny)

Wszyscy chłopcy urodzili się w różnych miesiącach. (niezawodny)

Wszystkie dziewczynki urodziły się w różnych miesiącach. (losowy)

W tym samym miesiącu urodzili się chłopiec i dziewczynka. (losowy)

Jest chłopiec i dziewczynka urodzeni w różnych miesiącach. (losowy)

Zadanie 5. W pudełku znajdują się 3 kule czerwone, 3 żółte i 3 zielone. Wyciągamy losowo 4 kule. Rozważ wydarzenie „Wśród wylosowanych kulek będą kule dokładnie M kolorów”. Dla każdego M od 1 do 4 określ, jakiego rodzaju jest to zdarzenie - niemożliwe, wiarygodne lub losowe, i wypełnij tabelę:

Niezależna praca.

Iopcja

a) liczba urodzin Twojego znajomego jest mniejsza niż 32;

c) jutro odbędzie się sprawdzian z matematyki;

d) W przyszłym roku w niedzielę w Moskwie spadnie pierwszy śnieg.

Rzucanie kostką. Opisz wydarzenie:

a) sześcian po upadku stanie na krawędzi;

b) pojawi się jedna z cyfr: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

c) pojawi się cyfra 6;

d) wyrzucona zostanie liczba będąca wielokrotnością 7.

W pudełku znajdują się 3 kule czerwone, 3 żółte i 3 zielone. Opisz wydarzenie:

a) wszystkie wylosowane kule są tego samego koloru;

b) wszystkie wylosowane kule są w różnych kolorach;

c) wśród wylosowanych kul znajdują się kule w różnych kolorach;

c) wśród wylosowanych kul znajduje się kula czerwona, żółta i zielona.

IIopcja

Opisz dane zdarzenie jako wiarygodne, niemożliwe lub przypadkowe:

a) kanapka, która spadnie ze stołu, spadnie twarzą w dół na podłogę;

b) o północy w Moskwie spadnie śnieg, a po 24 godzinach zaświeci słońce;

c) wygrasz, biorąc udział w loterii, w której wygrywają obie strony;

d) w przyszłym roku w maju zabrzmi pierwszy grzmot wiosny.

Wszystkie dwucyfrowe liczby są zapisane na kartach. Jedna karta jest wybierana losowo. Opisz wydarzenie:

a) na karcie było zero;

b) na karcie znajdowała się liczba będąca wielokrotnością 5;

c) na karcie znajdowała się liczba będąca wielokrotnością 100;

d) na karcie znajdowała się liczba większa od 9 i mniejsza od 100.

Pudełko zawiera 10 długopisów czerwonych, 1 zielony i 2 niebieskie. Z pudełka losujemy dwa przedmioty. Opisz wydarzenie:

a) wyjmuje się dwa niebieskie długopisy;

b) wyjęto dwa czerwone długopisy;

c) wyjęto dwa zielone uchwyty;

d) wyjęto zielone i czarne uchwyty.

Praca domowa: 1). Wymyśl dwa wiarygodne, losowe i niemożliwe zdarzenia.

2). Zadanie . W pudełku znajdują się 3 kule czerwone, 3 żółte i 3 zielone. Losujemy N kulek. Rozważ wydarzenie „wśród wylosowanych kulek będą kule dokładnie trzech kolorów”. Dla każdego N od 1 do 9 określ, jakiego rodzaju jest to zdarzenie - niemożliwe, wiarygodne lub losowe, i wypełnij tabelę:

Problemy kombinatoryczne.

Pierwsza lekcja

Sprawdzanie pracy domowej. (doustnie)

a) sprawdzamy problemy, które wymyślili uczniowie.

b) dodatkowe zadanie.

Czytam fragment książki V. Levshina „Trzy dni w Karlikani”.

„Najpierw przy dźwiękach gładkiego walca cyfry utworzyły grupę: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. Potem młodzi łyżwiarze zaczęli zmieniać miejsca, tworząc coraz to nowe grupy: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10 itd.

Trwało to do czasu, aż łyżwiarze powrócili do pozycji wyjściowej.

Ile razy zmieniali miejsca?

Dzisiaj na zajęciach będziemy uczyć się jak rozwiązywać takie problemy. Nazywają się kombinatoryczny.

3. Studiowanie nowego materiału.

Zadanie 1. Ile liczb dwucyfrowych można utworzyć z liczb 1, 2, 3?

Rozwiązanie: 11, 12, 13

31, 32, 33. W sumie 9 liczb.

Rozwiązując ten problem, przeszukaliśmy wszystkie możliwe opcje lub, jak zwykle mówią w takich przypadkach. Wszystkie możliwe kombinacje. Dlatego takie problemy nazywane są kombinatoryczny. W życiu dość często trzeba obliczać możliwe (lub niemożliwe) opcje, dlatego warto zapoznać się z problemami kombinatorycznymi.

№ 967. Kilka krajów zdecydowało się na użycie symboli swojej flagi narodowej w postaci trzech poziomych pasów o tej samej szerokości w różnych kolorach - białym, niebieskim, czerwonym. Ile krajów może używać takich symboli, pod warunkiem, że każdy kraj ma własną flagę?

Rozwiązanie. Załóżmy, że pierwszy pasek jest biały. Następnie drugi pasek może być niebieski lub czerwony, a trzeci pasek odpowiednio czerwony lub niebieski. Do wyboru mamy dwie opcje: biały, niebieski, czerwony lub biały, czerwony, niebieski.

Niech teraz pierwszy pasek będzie niebieski, wtedy znowu otrzymamy dwie opcje: biały, czerwony, niebieski lub niebieski, czerwony, biały.

Niech pierwszy pasek będzie czerwony, potem będą jeszcze dwie opcje: czerwony, biały, niebieski lub czerwony, niebieski, biały.

W sumie możliwych było 6 opcji. Flaga ta może być używana przez 6 krajów.

Rozwiązując więc ten problem, szukaliśmy sposobu na wyliczenie możliwych opcji. W wielu przypadkach przydatne okazuje się skonstruowanie obrazu – diagramu wyliczania opcji. To po pierwsze jest jasne, po drugie pozwala wziąć wszystko pod uwagę i niczego nie przeoczyć.

Diagram ten nazywany jest także drzewem możliwych opcji.

Pierwsza strona

Drugi pasek

Trzeci pas

Powstała kombinacja

№ 968. Ile liczb dwucyfrowych można utworzyć z liczb 1, 2, 4, 6, 8?

Rozwiązanie. Dla interesujących nas liczb dwucyfrowych na pierwszym miejscu może znajdować się dowolna z podanych cyfr z wyjątkiem 0. Jeśli na pierwszym miejscu umieścimy liczbę 2, to na drugim miejscu może znaleźć się dowolna z podanych cyfr. Otrzymasz pięć liczb dwucyfrowych: 2,22, 24, 26, 28. Podobnie będzie pięć liczb dwucyfrowych z pierwszą cyfrą 4, pięć liczb dwucyfrowych z pierwszą cyfrą 6 i pięć dwucyfrowych cyfry z pierwszą cyfrą 8.

Odpowiedź: W sumie będzie 20 liczb.

Zbudujmy drzewo możliwych opcji rozwiązania tego problemu.

Podwójne liczby

Pierwsza cyfra

Druga cyfra

Otrzymane numery

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

Rozwiąż następujące problemy, konstruując drzewo możliwych opcji.

№ 971. Przywódcy pewnego kraju postanowili, aby jego flaga narodowa wyglądała tak: na jednokolorowym prostokątnym tle w jednym z rogów umieszczone jest koło innego koloru. Zdecydowano się wybrać kolory spośród trzech możliwych: czerwony, żółty, zielony. Ile wariantów tej flagi?

istnieje? Rysunek pokazuje niektóre z możliwych opcji.

Odpowiedź: 24 opcje.

№ 973. a) Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z liczb 1,3, 5,? (27 numerów)

b) Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z liczb 1,3,5, pod warunkiem, że liczby te nie będą się powtarzać? (6 cyfr)

№ 979. Współcześni pięcioboiści przez dwa dni rywalizują w pięciu dyscyplinach sportowych: skokach przez przeszkody, szermierce, pływaniu, strzelectwie i bieganiu.

a) Ile jest opcji kolejności zaliczania typów zawodów? (120 opcji)

b) Ile jest możliwości ustalenia kolejności wydarzeń w ramach zawodów, jeśli wiadomo, że powinna odbyć się ostatnia konkurencja? (24 opcje)

c) Ile jest możliwości ustalenia kolejności konkurencji, jeśli wiadomo, że ostatnią konkurencją ma być bieg, a pierwszą skoki przez przeszkody? (6 opcji)

№ 981. Dwie urny zawierają po pięć kul, każda w pięciu różnych kolorach: białym, niebieskim, czerwonym, żółtym i zielonym. Z każdej urny losujemy po jednej kuli.

a) ile jest różnych kombinacji wylosowanych kul (kombinacje takie jak „biały - czerwony” i „czerwony - biały” są uważane za takie same)?

(15 kombinacji)

b) W ilu kombinacjach są wylosowane kule tego samego koloru?

(5 kombinacji)

c) w ilu kombinacjach są wylosowane kule różnych kolorów?

(15 – 5 = 10 kombinacji)

Praca domowa: s. 54, nr 969, 972, sam wymyśl problem kombinatoryczny.

№ 969. Kilka krajów zdecydowało się na użycie symboli swojej flagi narodowej w postaci trzech pionowych pasów o tej samej szerokości, w różnych kolorach: zielonym, czarnym, żółtym. Ile krajów może używać takich symboli, pod warunkiem, że każdy kraj ma własną flagę?

№ 972. a) Ile liczb dwucyfrowych można utworzyć z liczb 1, 3, 5, 7, 9?

b) Ile liczb dwucyfrowych można utworzyć z liczb 1, 3, 5, 7, 9, pod warunkiem, że liczby te nie będą się powtarzać?

Druga lekcja

Sprawdzanie pracy domowej. a) nr 969 i nr 972a) i nr 972b) - zbuduj na planszy drzewo możliwych opcji.

b) sprawdzamy wykonane zadania ustnie.

Rozwiązywanie problemów.

Wcześniej nauczyliśmy się więc rozwiązywać problemy kombinatoryczne za pomocą drzewa opcji. Czy to dobry sposób? Pewnie tak, ale bardzo kłopotliwe. Spróbujmy rozwiązać zadanie domowe nr 972 inaczej. Kto zgadnie, jak można to zrobić?

Odpowiedź: Do każdego z pięciu kolorów T-shirtów przypadają 4 kolory majtek. Razem: 4 * 5 = 20 opcji.

№ 980. W urnach znajduje się pięć kul, każda w pięciu różnych kolorach: białym, niebieskim, czerwonym, żółtym i zielonym. Z każdej urny losujemy po jednej kuli. Opisz następujące zdarzenie jako pewne, losowe lub niemożliwe:

a) wyjęte kulki w różnych kolorach; (losowy)

b) wyjęte kule tego samego koloru; (losowy)

c) losowane są kule czarne i białe; (niemożliwe)

d) losujemy dwie kule i obie pokolorujemy jednym z kolorów: białą, niebieską, czerwoną, żółtą, zieloną. (niezawodny)

№ 982. Grupa turystów planuje wędrówkę trasą Antonovo – Borysowo – Własowo – Gribovo. Z Antonowa do Borysowa można spłynąć tratwą po rzece lub przejść się pieszo. Z Borisowa do Własowa można chodzić lub jeździć na rowerze. Od Własowa do Gribowa można pływać wzdłuż rzeki, jeździć na rowerach lub spacerować. Z ilu opcji trekkingu mogą wybierać turyści? Ile wariantów pieszych wędrówek mogą wybierać turyści, pod warunkiem, że przynajmniej na jednym odcinku trasy muszą skorzystać z roweru?

(12 opcji tras, w tym 8 na rowerach)

Niezależna praca.

1 opcja

a) Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z cyfr: 0, 1, 3, 5, 7?

b) Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z cyfr: 0, 1, 3, 5, 7, pod warunkiem, że liczby te nie będą się powtarzać?

Athos, Portos i Aramis mają tylko miecz, sztylet i pistolet.

a) Na ile sposobów można uzbroić muszkieterów?

b) Ile jest opcji broni, jeśli Aramis musi władać mieczem?

c) Ile jest opcji broni, jeśli Aramis musi władać mieczem, a Portos pistoletem?

Gdzieś Bóg zesłał Ravenowi kawałek sera, a także ser feta, kiełbasę, biały i czarny chleb. Wrona, siedząc na świerku, była już prawie gotowa do śniadania, ale zaczęła się zastanawiać: na ile sposobów można zrobić kanapki z tych produktów?

Opcja 2

a) Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z cyfr: 0, 2, 4, 6, 8?

b) Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z cyfr: 0, 2, 4, 6, 8, pod warunkiem, że cyfry się nie powtarzają?

Hrabia Monte Christo postanowił podarować księżniczce Hayde kolczyki, naszyjnik i bransoletkę. Każda biżuteria musi zawierać jeden z następujących rodzajów kamieni szlachetnych: diamenty, rubiny lub granaty.

a) Ile jest możliwości łączenia biżuterii z kamieni szlachetnych?

b) Ile jest opcji biżuterii, jeśli kolczyki powinny być diamentowe?

c) Ile jest opcji biżuterii, jeśli kolczyki mają być diamentowe, a bransoletka granatowa?

Na śniadanie można wybrać bułkę, kanapkę lub piernik z kawą lub kefirem. Ile opcji śniadaniowych możesz stworzyć?

Praca domowa : nr 974, 975. (poprzez zestawienie drzewa opcji i zastosowanie zasady mnożenia)

№ 974 . a) Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z liczb 0, 2, 4?

b) Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z liczb 0, 2, 4, pod warunkiem, że liczby te nie będą się powtarzać?

№ 975 . a) Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z liczb 1,3, 5,7?

b) Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z liczb 1,3, 5,7 pod warunkiem. Jakich liczb nie należy powtarzać?

Numery zadań zaczerpnięte z podręcznika

„Matematyka-5”, I.I. Zubarewa, A.G. Mordkowicz, 2004.

1.1. Trochę informacji z kombinatoryki

1.1.1. Miejsca docelowe

Rozważmy najprostsze koncepcje związane z wyborem i rozmieszczeniem określonego zestawu obiektów.
Przy rozwiązywaniu problemów probabilistycznych często przeprowadza się liczenie sposobów wykonania tych działań.
Definicja. Zakwaterowanie od N elementy wg k (k ≤N) jest dowolnym uporządkowanym podzbiorem k elementy zestawu składającego się z N różne elementy.
Przykład. Następujące ciągi liczb są położeniami 2 elementów z 3 elementów zbioru (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Należy pamiętać, że rozmieszczenia różnią się kolejnością zawartych w nich elementów oraz ich składem. Miejsca docelowe 12 i 21 zawierają te same numery, ale ich kolejność jest inna. Dlatego te miejsca docelowe są uważane za różne.
Liczba różnych miejsc docelowych z N elementy wg k wyznacza się i oblicza według wzoru:
,
Gdzie N! = 1∙2∙...∙(N - 1)∙N(czyta „ N- silnia").
Liczba liczb dwucyfrowych, które można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, pod warunkiem, że żadna cyfra się nie powtarza, równa: .

1.1.2. Przegrupowania

Definicja. Permutacje z N elementy nazywane są takimi rozmieszczeniami N elementy, które różnią się jedynie położeniem elementów.
Liczba permutacji z N elementy Pn obliczane według wzoru: Pn=N!
Przykład. Na ile sposobów może ustawić się w kolejce 5 osób? Liczba sposobów jest równa liczbie permutacji 5 elementów, tj.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definicja. Jeśli wśród N elementy k identyczne, a następnie ich przegrupowanie N elementów nazywa się permutacją z powtórzeniami.
Przykład. Niech 2 z 6 ksiąg będą identyczne. Każde ułożenie wszystkich książek na półce jest przestawianiem z powtórzeniami.
Liczba różnych permutacji z powtórzeniami (od N elementy m.in k identyczne) oblicza się ze wzoru: .
W naszym przykładzie liczba sposobów ułożenia książek na półce wynosi: .

1.1.3. Kombinacje

Definicja. Kombinacje N elementy wg k takie miejsca docelowe nazywane są N elementy wg k, które różnią się między sobą co najmniej jednym elementem.
Liczba różnych kombinacji N elementy wg k wyznacza się i oblicza według wzoru: .
Z definicji 0!=1.
Poniższe właściwości dotyczą kombinacji:
1.
2.
3.
4.
Przykład. Jest 5 kwiatów w różnych kolorach. Do bukietu wybiera się 3 kwiaty. Liczba różnych bukietów 3 kwiatów z 5 jest równa: .

1.2. Losowe zdarzenia

1.2.1. Wydarzenia

Znajomość rzeczywistości w naukach przyrodniczych następuje w wyniku testów (eksperymentu, obserwacji, doświadczenia).
Test lub doświadczenie to wdrożenie określonego zestawu warunków, które można odtworzyć dowolnie dużą liczbę razy.
Losowy to zdarzenie, które może, ale nie musi, nastąpić w wyniku jakiegoś testu (doświadczenia).
Zatem zdarzenie uważa się za wynik testu.
Przykład. Rzut monetą to test. Pojawienie się orła podczas rzutu jest wydarzeniem.
Obserwowane przez nas zdarzenia różnią się stopniem możliwości wystąpienia oraz charakterem ich wzajemnych powiązań.
Wydarzenie nazywa się niezawodny , jeżeli jest pewne, że wystąpi w wyniku tego badania.
Przykład. Uzyskanie przez studenta pozytywnej lub negatywnej oceny z egzaminu jest wydarzeniem wiarygodnym, jeżeli egzamin przebiega według powszechnie przyjętych zasad.
Wydarzenie nazywa się niemożliwe , jeżeli nie może to nastąpić w wyniku tego badania.
Przykład. Wyjęcie białej kuli z urny zawierającej wyłącznie kule kolorowe (inne niż białe) jest zdarzeniem niemożliwym. Należy zauważyć, że w innych warunkach eksperymentalnych nie wyklucza się pojawienia się białej kuli; zatem zdarzenie to jest niemożliwe jedynie w warunkach naszego doświadczenia.
W dalszej części zdarzenia losowe będziemy oznaczać dużymi literami łacińskimi A, B, C... Zdarzenie wiarygodne będziemy oznaczać literą Ω, a zdarzenie niemożliwe - Ø.
Wywoływane są dwa lub więcej zdarzeń równie możliwe w danym teście, jeśli istnieją podstawy, aby sądzić, że żadne z tych zdarzeń nie jest mniej lub bardziej prawdopodobne niż pozostałe.
Przykład. Przy jednym rzucie kostką pojawienie się 1, 2, 3, 4, 5 i 6 punktów jest równie możliwymi zdarzeniami. Zakłada się oczywiście, że kostki są wykonane z jednorodnego materiału i mają prawidłowy kształt.
Obydwa zdarzenia nazywane są niekompatybilny w danym teście, jeżeli wystąpienie jednego z nich wyklucza wystąpienie drugiego, oraz wspólny W przeciwnym razie.
Przykład. Pudełko zawiera części standardowe i niestandardowe. Weźmy na szczęście jeden szczegół. Wygląd części standardowej eliminuje pojawienie się części niestandardowej. Te zdarzenia są niezgodne.
Tworzy się kilka wydarzeń pełen zespół wydarzeń w danym teście, jeżeli przynajmniej jedno z nich z pewnością wystąpi w wyniku tego testu.
Przykład. Zdarzenia z przykładu tworzą kompletną grupę zdarzeń równie możliwych i parami niezgodnych.
Nazywa się dwa niezgodne ze sobą zdarzenia, które tworzą kompletną grupę zdarzeń w danej próbie przeciwne wydarzenia.
Jeżeli jeden z nich jest wyznaczony przez A, wtedy drugi jest zwykle oznaczany przez (czytaj „nie A»).
Przykład. Trafienie i chybienie jednym strzałem w cel to zdarzenia przeciwne.

1.2.2. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo zdarzenia – numeryczna miara możliwości jego wystąpienia.
Wydarzenie A zwany korzystny wydarzenie W jeśli kiedykolwiek nastąpi jakieś zdarzenie A, nadchodzi wydarzenie W.
Wydarzenia A 1 , A 2 , ..., AN formularz schemat przypadku , Jeśli oni:
1) równie możliwe;
2) niezgodne parami;
3) tworzą kompletną grupę.
W schemacie przypadków (i tylko w tym schemacie) ma miejsce klasyczna definicja prawdopodobieństwa P(A) wydarzenia A. Przypadkiem jest tu każde ze zdarzeń należących do wybranej pełnej grupy zdarzeń równie możliwych i parami niezgodnych.
Jeśli N jest liczbą wszystkich przypadków w schemacie, oraz M– liczba przypadków sprzyjających zdarzeniu A, To prawdopodobieństwo zdarzenia A jest określona przez równość:

Z definicji prawdopodobieństwa wynikają następujące własności:
1. Prawdopodobieństwo wiarygodnego zdarzenia jest równe jeden.
Rzeczywiście, jeśli zdarzenie jest pewne, to każdy przypadek w schemacie przypadków sprzyja temu zdarzeniu. W tym przypadku M = N i dlatego

2. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero.
Rzeczywiście, jeśli zdarzenie jest niemożliwe, to żaden przypadek w układzie przypadków nie sprzyja temu zdarzeniu. Dlatego M=0 i dlatego

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego jest liczbą dodatnią z zakresu od zera do jeden.
Rzeczywiście, tylko ułamek całkowitej liczby przypadków we wzorcu przypadków jest faworyzowany przez zdarzenie losowe. Dlatego 0<M<N, co oznacza 0<M/N<1 и, следовательно, 0 < ROCZNIE) < 1.
Zatem prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia spełnia nierówności
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Obecnie własności prawdopodobieństwa definiowane są w formie aksjomatów sformułowanych przez A.N. Kołmogorow.
Jedną z głównych zalet klasycznej definicji prawdopodobieństwa jest możliwość bezpośredniego obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia, tj. bez uciekania się do eksperymentów, które zastępuje się logicznym rozumowaniem.

Zagadnienia bezpośredniego obliczania prawdopodobieństw

Problem 1.1. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania parzystej liczby punktów (zdarzenie A) w rzucie kostką?
Rozwiązanie. Rozważ wydarzenia AI- odpadło I okulary, I= 1, 2, …, 6. Jest oczywiste, że zdarzenia te tworzą pewien wzór przypadków. Następnie liczba wszystkich przypadków N= 6. Przypadki sprzyjają wyrzuceniu parzystej liczby punktów A 2 , A 4 , A 6, tj. M= 3. Następnie .
Problem 1.2. W urnie znajduje się 5 kul białych i 10 czarnych. Kulki dokładnie miesza się, a następnie losuje 1 kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana kula będzie biała?
Rozwiązanie. W sumie istnieje 15 przypadków tworzących wzór przypadku. Co więcej, oczekiwane wydarzenie A– zatem wyglądowi białej bili sprzyja 5 z nich .
Problem 1.3. Dziecko bawi się sześcioma literami alfabetu: A, A, E, K, R, T. Znajdź prawdopodobieństwo, że uda mu się losowo ułożyć słowo PRZEWÓZ (zdarzenie A).
Rozwiązanie. Rozwiązanie komplikuje fakt, że wśród liter znajdują się identyczne - dwie litery „A”. Zatem liczba wszystkich możliwych przypadków w danym teście jest równa liczbie permutacji z powtórzeniami 6 liter:
.
Przypadki te są jednakowo możliwe, parami niespójne i tworzą kompletną grupę zdarzeń, tj. utwórz diagram przypadków. Tylko jedna szansa sprzyja wydarzeniu A. Dlatego
.
Zadanie 1.4. Tanya i Wania zgodziły się świętować Nowy Rok w towarzystwie 10 osób. Oboje bardzo chcieli usiąść obok siebie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich życzenie się spełni, jeśli panuje zwyczaj losowania miejsc wśród znajomych?
Rozwiązanie. Oznaczmy przez A wydarzenie „spełnienie życzeń Tanyi i Wani”. Przy 10-osobowym stole może zasiąść 10 osób! różne sposoby. Ile takich N= 10! równie możliwe sposoby są korzystne dla Tanyi i Wanyi? Tanya i Wania, siedząc obok siebie, mogą zająć 20 różnych pozycji. W tym samym czasie przy 8-osobowym stole może usiąść ośmiu ich znajomych! na różne sposoby, tzw M= 20∙8!. Stąd,
.
Zadanie 1.5. Grupa składająca się z 5 kobiet i 20 mężczyzn wybiera trzech delegatów. Zakładając, że każdą z obecnych osób można wybrać z równym prawdopodobieństwem, oblicz prawdopodobieństwo, że zostaną wybrane dwie kobiety i jeden mężczyzna.
Rozwiązanie. Całkowita liczba jednakowo możliwych wyników testu jest równa liczbie sposobów, na jakie można wybrać trzech delegatów spośród 25 osób, tj. . Policzmy teraz liczbę korzystnych przypadków, tj. liczba przypadków, w których zachodzi interesujące nas zdarzenie. Delegata płci męskiej można wybrać na dwadzieścia sposobów. Jednocześnie pozostali dwaj delegaci muszą być kobietami i możesz wybrać dwie kobiety z pięciu. Stąd, . Dlatego
.
Zadanie 1.6. Cztery kule są losowo rozrzucone po czterech dołkach, każda z nich wpada do tego lub innego dołka z równym prawdopodobieństwem i niezależnie od pozostałych (nie ma przeszkód, aby kilka piłek wpadło do tego samego dołka). Znajdź prawdopodobieństwo, że w jednym z dołków będą trzy kule, jedna w drugim, a w pozostałych dwóch dołkach nie będzie żadnych kul.
Rozwiązanie. Łączna liczba przypadków N=4 4 . Liczba sposobów, na jakie można wybrać jeden dołek, w którym będą trzy kule, . Liczba sposobów wyboru dołka, w którym będzie znajdować się jedna kula, . Liczba sposobów, na jakie można wybrać trzy z czterech piłek i umieścić je w pierwszym dołku, wynosi . Łączna liczba korzystnych spraw. Prawdopodobieństwo zdarzenia:
Zadanie 1.7. W pudełku znajduje się 10 identycznych kul, oznaczonych cyframi 1, 2, ..., 10. Losujemy sześć kul na szczęście. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród wydobytych kul znajdzie się: a) kula nr 1; b) kule nr 1 i nr 2.
Rozwiązanie. a) Całkowita liczba możliwych elementarnych wyników testu jest równa liczbie sposobów, na jakie można wydobyć sześć kul z dziesięciu, tj.
Znajdźmy liczbę wyników sprzyjających interesującemu nas zdarzeniu: wśród wybranych sześciu kul znajduje się kula nr 1, w związku z czym pozostałe pięć kul ma różne numery. Liczba takich wyników jest oczywiście równa liczbie sposobów, na jakie można wybrać pięć kul z pozostałych dziewięciu, tj.
Wymagane prawdopodobieństwo jest równe stosunkowi liczby wyników korzystnych dla danego zdarzenia do całkowitej liczby możliwych wyników elementarnych:
b) Liczba wyników sprzyjających interesującemu nas zdarzeniu (wśród wybranych piłek znajdują się kule nr 1 i nr 2, zatem cztery kule mają różne numery) jest równa liczbie sposobów, na jakie cztery kule mogą zostać wyodrębnione z pozostałych ośmiu, tj. Wymagane prawdopodobieństwo

1.2.3. Prawdopodobieństwo statystyczne

Statystyczną definicję prawdopodobieństwa stosuje się, gdy wyniki eksperymentu nie są jednakowo możliwe.
Względna częstotliwość zdarzeń A jest określona przez równość:
,
Gdzie M– liczba prób, w których wystąpiło zdarzenie A dotarło N– łączna liczba wykonanych badań.
J. Bernoulli udowodnił, że przy nieograniczonym wzroście liczby eksperymentów względna częstotliwość występowania zdarzenia będzie się różnić prawie tak mało, jak to pożądane, od pewnej stałej liczby. Okazało się, że ta stała liczba to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia. Dlatego naturalne jest, aby względną częstość występowania zdarzenia przy odpowiednio dużej liczbie prób nazwać prawdopodobieństwem statystycznym, w przeciwieństwie do wcześniej wprowadzonego prawdopodobieństwa.
Przykład 1.8. Jak w przybliżeniu określić liczbę ryb w jeziorze?
Wpuść do jeziora X ryba Zarzucamy sieć i, powiedzmy, znajdujemy w niej N ryba Zaznaczamy każdego z nich i wypuszczamy z powrotem. Kilka dni później, przy tej samej pogodzie i w tym samym miejscu, zarzuciliśmy tę samą sieć. Załóżmy, że znajdziemy w nim m. ryby m.in k oznaczone. Niech wydarzenie A- „złowiona ryba jest znakowana”. Następnie z definicji częstotliwości względnej.
Ale jeśli w jeziorze X rybę i wpuściliśmy ją do niej N oznaczone, a następnie .
Ponieważ R * (A) » R(A), To .

1.2.4. Operacje na zdarzeniach. Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństwa

Kwota lub splot kilku zdarzeń, to zdarzenie polegające na wystąpieniu co najmniej jednego z tych zdarzeń (w tej samej rozprawie).
Suma A 1 + A 2 + … + AN oznaczone w następujący sposób:
Lub .
Przykład. Rzucamy dwiema kostkami. Niech wydarzenie A składa się z rzutu 4 punktami na 1 kostce i zdarzenia W– gdy na innej kostce wyrzucono 5 punktów. Wydarzenia A I W wspólny. Dlatego wydarzenie A +W polega na wyrzuceniu 4 punktów na pierwszej kości lub 5 punktów na drugiej kości lub 4 punktów na pierwszej kości i 5 punktów na drugiej kości w tym samym czasie.
Przykład. Wydarzenie A– wygrana za 1 pożyczkę, wydarzenie W– wygrana z drugiej pożyczki. Potem wydarzenie A+B– wygranie przynajmniej jednej pożyczki (ewentualnie dwóch na raz).
Praca lub splot kilku zdarzeń to zdarzenie polegające na łącznym wystąpieniu wszystkich tych zdarzeń (w tej samej rozprawie).
Praca W wydarzenia A 1 , A 2 , …, AN oznaczone w następujący sposób:
.
Przykład. Wydarzenia A I W polegają na pomyślnym przejściu odpowiednio pierwszej i drugiej rundy po przyjęciu do instytutu. Potem wydarzenie A×B polega na pomyślnym ukończeniu obu rund.
Pojęcia sumy i iloczynu zdarzeń mają jasną interpretację geometryczną. Niech wydarzenie A istnieje sens wjazdu na ten obszar A i wydarzenie W– punkt wjazdu na obszar W. Potem wydarzenie A+B istnieje punkt wejścia w związek tych obszarów (ryc. 2.1) i wydarzenie AW istnieje punkt, który uderza w przecięcie tych obszarów (ryc. 2.2).

Ryż. 2.1 Ryc. 2.2
Twierdzenie. Jeśli wydarzenia A ja(I = 1, 2, …, N) są parami niespójne, to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:
.
Pozwalać A I Ā – zdarzenia przeciwne, tj. A + Ā= Ω, gdzie Ω jest zdarzeniem wiarygodnym. Z twierdzenia o dodawaniu wynika, że
Р(Ω) = R(A) + R(Ā ) = 1,  zatem
R(Ā ) = 1 – R(A).
Jeśli wydarzenia A 1 i A 2 są zgodne, to prawdopodobieństwo sumy dwóch jednoczesnych zdarzeń jest równe:
R(A 1 + A 2) = R(A 1) + R(A 2) – P( A 1× A 2).
Twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństwa pozwalają nam przejść od bezpośredniego obliczania prawdopodobieństw do określania prawdopodobieństw wystąpienia zdarzeń złożonych.
Zadanie 1.8. Strzelec oddaje jeden strzał do celu. Prawdopodobieństwo zdobycia 10 punktów (zdarzenie A), 9 punktów (wyd W) i 8 punktów (wyd Z) wynoszą odpowiednio 0,11; 0,23; 0,17. Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec jednym strzałem zdobędzie mniej niż 8 punktów (zdarzenie D).
Rozwiązanie. Przejdźmy do zdarzenia odwrotnego – jednym strzałem strzelec zdobędzie co najmniej 8 punktów. Zdarzenie ma miejsce, jeśli się wydarzy A Lub W, Lub Z, tj. . Od wydarzeń A, B, Z są niespójne parami, to zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu
, Gdzie .
Zadanie 1.9. Z zespołu brygady, który składa się z 6 mężczyzn i 4 kobiet, wybierane są dwie osoby na konferencję związkową. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wybranych znajdzie się przynajmniej jedna kobieta (zdarzenie A).
Rozwiązanie. Jeśli wystąpi zdarzenie A, to na pewno nastąpi jedno z następujących niezgodnych zdarzeń: W– „mężczyzna i kobieta są wybrani”; Z- „wybrano dwie kobiety”. Dlatego możemy napisać: A=B+C. Znajdźmy prawdopodobieństwo zdarzeń W I Z. Dwie osoby na 10 można wybrać na różne sposoby. Dwie kobiety z czterech można wybrać na różne sposoby. Można wybrać mężczyznę i kobietę na 6×4 sposoby. Następnie . Od wydarzeń W I Z są niespójne, to zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Zadanie 1.10. Na półce bibliotecznej znajduje się 15 podręczników ułożonych losowo, pięć z nich jest oprawionych. Bibliotekarz bierze losowo trzy podręczniki. Znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden z zabranych podręczników zostanie oprawiony (zdarzenie A).
Rozwiązanie. Pierwszy sposób. Wymóg – co najmniej jeden z trzech przyjętych podręczników oprawionych – zostanie spełniony w przypadku wystąpienia któregokolwiek z trzech niezgodnych zdarzeń: W– jeden podręcznik oprawiony, Z– dwa oprawione podręczniki, D– trzy oprawione podręczniki.
Wydarzenie, które nas interesuje A można przedstawić jako sumę zdarzeń: A=B+C+D. Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Znajdźmy prawdopodobieństwo zdarzeń PNE I D(patrz schematy kombinatoryczne):

Reprezentując te prawdopodobieństwa w równości (2.1), ostatecznie otrzymujemy
ROCZNIE)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Drugi sposób. Wydarzenie A(przynajmniej jeden z trzech zabranych podręczników jest oprawiony) i Ā (żaden z zabranych podręczników nie jest oprawiony) – zatem odwrotnie P(A) + P(Ā) = 1 (suma prawdopodobieństw dwóch przeciwnych zdarzeń jest równa 1). Stąd ROCZNIE) = 1 – ROCZNIE). Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia Ā (żaden z zabranych podręczników nie jest oprawiony)
Wymagane prawdopodobieństwo
ROCZNIE) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Warunkowe prawdopodobieństwo. Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa

Warunkowe prawdopodobieństwo P(B/A) to prawdopodobieństwo zdarzenia B, obliczone przy założeniu, że zdarzenie A już nastąpiło.
Twierdzenie. Prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia dwóch zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw jednego z nich i prawdopodobieństwa warunkowego drugiego, obliczonego przy założeniu, że pierwsze zdarzenie już nastąpiło:
ROCZNIE∙B) = P(A)∙P( W/A). (2.2)
Dwa zdarzenia nazywamy niezależnymi, jeśli wystąpienie któregokolwiek z nich nie zmienia prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego, tj.
P(A) = P(A/B) Lub P(B) = P(B/A). (2.3)
Jeśli wydarzenia A I W są niezależne, to ze wzorów (2.2) i (2.3) wynika
ROCZNIE∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Prawdziwe jest także stwierdzenie przeciwne, tj. jeśli równość (2.4) zachodzi dla dwóch zdarzeń, to zdarzenia te są niezależne. Rzeczywiście, ze wzorów (2.4) i (2.2) wynika
ROCZNIE∙B) = P(A)∙P(B) = ROCZNIE) × P(B/A), Gdzie ROCZNIE) = P(B/A).
Wzór (2.2) można uogólnić na przypadek skończonej liczby zdarzeń A 1 , A 2 ,…,Jakiś:
ROCZNIE 1 ∙A 2 ∙…∙Jakiś)=ROCZNIE 1)∙ROCZNIE 2 /A 1)∙ROCZNIE 3 /A 1 A 2)∙…∙Patelnia/A 1 A 2 …Jakiś -1).
Zadanie 1.11. Z urny zawierającej 5 kul białych i 10 czarnych losujemy dwie kule w rzędzie. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe (event A).
Rozwiązanie. Rozważmy wydarzenia: W– pierwsza wylosowana kula jest biała; Z– druga wylosowana kula jest biała. Następnie A = BC.
Eksperyment można przeprowadzić na dwa sposoby:
1) ze zwrotem: usuniętą kulę, po ustaleniu koloru, zwraca się z powrotem do urny. W tym przypadku wydarzenia W I Z niezależny:
P(A) = P(B)∙R(S) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) bez powrotu: usuniętą piłkę odkłada się na bok. W tym przypadku wydarzenia W I Z zależny:
P(A) = P(B)∙R(S/W).
Na wydarzenie W warunki są takie same i dla Z sytuacja się zmieniła. Stało się W, czyli w urnie pozostało 14 kul, w tym 4 białe.
Więc, .
Zadanie 1.12. Spośród 50 żarówek 3 są niestandardowe. Znajdź prawdopodobieństwo, że dwie żarówki pobrane jednocześnie będą niestandardowe.
Rozwiązanie. Rozważmy wydarzenia: A– pierwsza żarówka jest niestandardowa, W– druga żarówka jest niestandardowa, Z– obie żarówki są niestandardowe. Jest oczywiste, że C = A∙W. Wydarzenie A 3 przypadki na 50 możliwych są korzystne, tj. ROCZNIE) = 3/50. Jeśli wydarzenie A już nadeszło, potem wydarzenie W dwa przypadki z 49 możliwych są korzystne, tj. P(B/A) = 2/49. Stąd,
.
Zadanie 1.13. Dwóch zawodników strzela do tego samego celu niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że pierwszy zawodnik trafi w cel, wynosi 0,7, a drugiego 0,8. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony?
Rozwiązanie. Cel zostanie trafiony, jeśli trafi go pierwszy strzelec, drugi lub obaj, tj. wydarzy się wydarzenie A+B, gdzie jest wydarzenie A składa się z pierwszego zawodnika trafiającego w cel i wydarzenia W- drugi. Następnie
ROCZNIE+W)=ROCZNIE)+P(B)–ROCZNIE∙W)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Zadanie 1.14. W czytelni znajduje się sześć podręczników z teorii prawdopodobieństwa, w tym trzy w oprawie. Bibliotekarz wziął losowo dwa podręczniki. Znajdź prawdopodobieństwo, że dwa podręczniki będą oprawione.
Rozwiązanie. Wprowadźmy oznaczenia zdarzeń : A– pierwszy zabrany podręcznik jest oprawiony, W– drugi podręcznik jest oprawiony. Prawdopodobieństwo, że pierwszy podręcznik jest oprawiony, wynosi
ROCZNIE) = 3/6 = 1/2.
Prawdopodobieństwo, że drugi podręcznik będzie oprawiony, pod warunkiem, że pierwszy zabrany podręcznik był oprawiony, tj. prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia W, jest jak to: P(B/A) = 2/5.
Pożądane prawdopodobieństwo, że oba podręczniki są powiązane, zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń, wynosi
P(AB) = ROCZNIE) ∙ P(B/A)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Zadanie 1.15. W warsztacie pracuje 7 mężczyzn i 3 kobiety. Trzy osoby zostały wybrane losowo na podstawie ich numerów personalnych. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane osoby będą mężczyznami.
Rozwiązanie. Wprowadźmy oznaczenia wydarzeń: A– w pierwszej kolejności wybierany jest mężczyzna, W– drugi wybrany to mężczyzna, Z - Trzecim wybranym był mężczyzna. Prawdopodobieństwo, że jako pierwszy zostanie wybrany mężczyzna, wynosi ROCZNIE) = 7/10.
Prawdopodobieństwo, że mężczyzna zostanie wybrany jako drugi, pod warunkiem, że mężczyzna został już wybrany jako pierwszy, tj. prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia W Następny : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Prawdopodobieństwo, że mężczyzna zostanie wybrany jako trzeci, przy założeniu, że zostało już wybranych dwóch mężczyzn, tj. prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia Z czy to jest: P(C/AB) = 5/8.
Pożądane prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy wybrane osoby będą mężczyznami, wynosi P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.

1.2.6. Wzór na całkowite prawdopodobieństwo i wzór Bayesa

Pozwalać B 1 , B 2 ,…, Bn– zdarzenia niezgodne parami (hipotezy) oraz A– wydarzenie, które może nastąpić tylko wspólnie z jednym z nich.
Daj nam również znać P(B i) I ROCZNIE/B ja) (I = 1, 2, …, N).
W tych warunkach obowiązują wzory:
(2.5)
(2.6)
Nazywa się wzór (2.5). wzór na prawdopodobieństwo całkowite . Oblicza prawdopodobieństwo zdarzenia A(całkowite prawdopodobieństwo).
Nazywa się wzór (2.6). Formuła Bayesa . Pozwala na ponowne obliczenie prawdopodobieństwa hipotez w przypadku zdarzenia A stało się.
Zestawiając przykłady, wygodnie jest założyć, że hipotezy tworzą kompletną grupę.
Zadanie 1.16. W koszyku znajdują się jabłka z czterech drzew tej samej odmiany. Od pierwszego - 15% wszystkich jabłek, od drugiego - 35%, od trzeciego - 20%, od czwartego - 30%. Dojrzałe jabłka stanowią odpowiednio 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrane jabłko będzie dojrzałe (zdarzenie A).
b) Zakładając, że losowo wybrane jabłko okazuje się dojrzałe, oblicz prawdopodobieństwo, że pochodzi ono z pierwszego drzewa.
Rozwiązanie. a) Mamy 4 hipotezy:
B 1 – losowo wybrane jabłko jest pobierane z pierwszego drzewa;
B 2 – losowo wybrane jabłko jest pobierane z drugiego drzewa;
B 3 – losowo wybrane jabłko jest pobierane z trzeciego drzewa;
B 4 – losowo wybrane jabłko jest pobierane z czwartego drzewa.
Ich prawdopodobieństwa zgodnie z warunkiem: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia A:
ROCZNIE/B 1) = 0,99; ROCZNIE/B 2) = 0,97; ROCZNIE/B 3) = 0,98; ROCZNIE/B 4) = 0,95.
Prawdopodobieństwo, że losowo wybrane jabłko będzie dojrzałe, oblicza się, korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:
ROCZNIE)=P(B 1)∙ROCZNIE/B 1)+P(B 2)∙ROCZNIE/B 2)+P(B 3)∙ROCZNIE/B 3)+P(B 4)∙ROCZNIE/B 4)=0,969.
b) Wzór Bayesa dla naszego przypadku wygląda następująco:
.
Zadanie 1.17. Do urny zawierającej dwie kule wrzucono białą kulę, po czym losowano jedną kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że wydobyta kula będzie biała, jeśli wszystkie możliwe założenia dotyczące początkowego składu kulek (ze względu na kolor) są jednakowo możliwe.
Rozwiązanie. Oznaczmy przez A wydarzenie – losowana jest biała kula. Możliwe są następujące założenia (hipotezy) dotyczące początkowego składu kulek: B 1– nie ma białych kulek, O 2– jedna kula biała, O 3- dwie białe kule.
Ponieważ w sumie są trzy hipotezy, a suma prawdopodobieństw hipotez wynosi 1 (ponieważ tworzą one kompletną grupę zdarzeń), to prawdopodobieństwo każdej z hipotez wynosi 1/3, tj.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Prawdopodobieństwo warunkowe, że wylosowana zostanie kula biała, przy założeniu, że w urnie początkowo nie było kul białych, ROCZNIE/B 1)=1/3. Prawdopodobieństwo warunkowe, że zostanie wylosowana kula biała, przy założeniu, że w urnie była początkowo jedna kula biała, ROCZNIE/B 2)=2/3. Prawdopodobieństwo warunkowe, że wylosowana zostanie kula biała, przy założeniu, że w urnie znajdowały się początkowo dwie kule białe ROCZNIE/B 3)=3/ 3=1.
Wymagane prawdopodobieństwo, że zostanie wylosowana kula biała, obliczamy korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:
R(A)=P(B 1)∙ROCZNIE/B 1)+P(B 2)∙ROCZNIE/B 2)+P(B 3)∙ROCZNIE/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Zadanie 1.18. Dwie maszyny wytwarzają identyczne części, które trafiają na wspólny przenośnik. Wydajność pierwszej maszyny jest dwukrotnie większa niż drugiej. Pierwsza maszyna produkuje średnio 60% części doskonałej jakości, a druga 84%. Część pobrana losowo z linii montażowej okazała się doskonałej jakości. Znajdź prawdopodobieństwo, że ta część została wyprodukowana przez pierwszą maszynę.
Rozwiązanie. Oznaczmy przez A wydarzenie - detal doskonałej jakości. Można przyjąć dwa założenia: B 1– część została wyprodukowana przez pierwszą maszynę oraz (ponieważ pierwsza maszyna produkuje dwa razy więcej części niż druga) ROCZNIE/B 1) = 2/3; B 2 – część została wyprodukowana na drugiej maszynie, oraz P(B 2) = 1/3.
Prawdopodobieństwo warunkowe, że część będzie doskonałej jakości, jeżeli zostanie wyprodukowana na pierwszej maszynie, ROCZNIE/B 1)=0,6.
Prawdopodobieństwo warunkowe, że część będzie doskonałej jakości, jeśli zostanie wyprodukowana przez drugą maszynę, wynosi ROCZNIE/B 1)=0,84.
Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana część będzie doskonałej jakości, zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite, jest równe
ROCZNIE)=P(B 1) ∙ROCZNIE/B 1)+P(B 2) ∙ROCZNIE/B 2)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
Wymagane prawdopodobieństwo, że wybrana doskonała część została wyprodukowana przez pierwszą maszynę, zgodnie ze wzorem Bayesa, jest równe

Zadanie 1.19. Istnieją trzy partie części, każda zawierająca 20 części. Liczba części standardowych w partii pierwszej, drugiej i trzeciej wynosi odpowiednio 20, 15, 10. Część, która okazała się standardowa, została losowo usunięta z wybranej partii. Części wracają do partii, a część jest losowo usuwana z tej samej partii, co również okazuje się być standardem. Znajdź prawdopodobieństwo, że części zostały usunięte z trzeciej partii.
Rozwiązanie. Oznaczmy przez A zdarzenie - w każdej z dwóch prób (ze zwrotem) pobrano część wzorcową. Można przyjąć trzy założenia (hipotezy): B 1 – części są usuwane z pierwszej partii, W 2 – części są usuwane z drugiej partii, W 3 – części są usuwane z trzeciej partii.
Części zostały wybrane losowo z danej partii, więc prawdopodobieństwa hipotez są takie same: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Znajdźmy prawdopodobieństwo warunkowe ROCZNIE/B 1), tj. prawdopodobieństwo, że z pierwszej partii zostaną kolejno usunięte dwie części standardowe. To wydarzenie jest wiarygodne, ponieważ w pierwszej partii wszystkie części są standardowe, tzw ROCZNIE/B 1) = 1.
Znajdźmy prawdopodobieństwo warunkowe ROCZNIE/B 2), tj. prawdopodobieństwo, że dwie części standardowe zostaną kolejno usunięte (i zwrócone) z drugiej partii: ROCZNIE/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Znajdźmy prawdopodobieństwo warunkowe ROCZNIE/B 3), tj. prawdopodobieństwo, że dwie części standardowe zostaną kolejno usunięte (i zwrócone) z trzeciej partii: ROCZNIE/B 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
Pożądane prawdopodobieństwo, że obie wyodrębnione części wzorcowe zostaną pobrane z trzeciej partii, zgodnie ze wzorem Bayesa, jest równe

1.2.7. Powtarzane testy

Jeśli zostanie wykonanych kilka testów, i prawdopodobieństwo zdarzenia A w każdym teście nie zależy od wyników innych testów, wtedy takie testy nazywa się niezależny względem zdarzenia A. W różnych niezależnych badaniach wydarzenie A mogą mieć różne prawdopodobieństwa lub takie samo prawdopodobieństwo. Będziemy dalej rozważać tylko takie niezależne testy, w których zdarzenie A ma takie samo prawdopodobieństwo.
Niech się wyprodukuje P niezależne badania, w każdym z nich zdarzenie A może się pojawić lub nie. Przyjmijmy, że prawdopodobieństwo zdarzenia A w każdej próbie jest taki sam, a mianowicie równy R. Zatem prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi A w każdej próbie jest również stała i równa 1– R. Ten schemat probabilistyczny nazywa się Schemat Bernoulliego. Postawmy sobie zadanie obliczenia prawdopodobieństwa, że ​​kiedy P Wydarzenie testowe Bernoulliego A się spełni k raz ( k– liczba sukcesów) i w związku z tym nie spełni się P- raz. Należy podkreślić, że nie jest wymagane to wydarzenie A dokładnie powtórzyć k razy w określonej kolejności. Oznaczamy pożądane prawdopodobieństwo Rp (ok). Na przykład symbol R 5 ust. 3 oznacza prawdopodobieństwo, że w pięciu próbach zdarzenie wystąpi dokładnie 3 razy, a zatem nie wystąpi 2 razy.
Postawiony problem można rozwiązać stosując tzw wzory Bernoulliego, który wygląda jak:
.
Zadanie 1.20. Prawdopodobieństwo, że zużycie energii elektrycznej w ciągu jednego dnia nie przekroczy ustalonej normy, jest równe R=0,75. Znajdź prawdopodobieństwo, że w ciągu najbliższych 6 dni zużycie energii elektrycznej przez 4 dni nie przekroczy normy.
Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo normalnego zużycia energii w ciągu każdego z 6 dni jest stałe i równe R=0,75. W związku z tym prawdopodobieństwo nadmiernego zużycia energii każdego dnia jest również stałe i równe q= 1–R=1–0,75=0,25.
Wymagane prawdopodobieństwo zgodnie ze wzorem Bernoulliego jest równe
.
Zadanie 1.21. Dwóch równych sobie szachistów gra w szachy. Co jest bardziej prawdopodobne: wygranie dwóch meczów z czterech czy trzech meczów z sześciu (remisy nie są brane pod uwagę)?
Rozwiązanie. Grają równi szachiści, więc prawdopodobieństwo wygranej R= 1/2, zatem prawdopodobieństwo przegranej Q jest również równa 1/2. Ponieważ we wszystkich grach prawdopodobieństwo wygranej jest stałe i nie ma znaczenia, w jakiej kolejności zostaną wygrane partie, wówczas obowiązuje wzór Bernoulliego.
Obliczmy prawdopodobieństwo, że dwie z czterech partii zostaną wygrane:

Obliczmy prawdopodobieństwo, że trzy z sześciu partii zostaną wygrane:

Ponieważ P 4 (2) > P 6 (3), wówczas bardziej prawdopodobne jest wygranie dwóch meczów z czterech niż trzech z sześciu.
Można jednak zauważyć, że stosując wzór Bernoulliego dla dużych wartości N dość trudne, ponieważ formuła wymaga operacji na ogromnych liczbach i dlatego podczas obliczeń kumulują się błędy; W rezultacie wynik końcowy może znacznie różnić się od rzeczywistego.
Aby rozwiązać ten problem, istnieje kilka twierdzeń granicznych używanych w przypadku dużej liczby testów.
1. Twierdzenie Poissona
Podczas przeprowadzania dużej liczby testów przy użyciu schematu Bernoulliego (z N=> ∞) i z niewielką liczbą korzystnych wyników k(zakłada się, że prawdopodobieństwo sukcesu P small), wzór Bernoulliego zbliża się do wzoru Poissona
.
Przykład 1.22. Prawdopodobieństwo wad, gdy przedsiębiorstwo wytwarza jednostkę produktu, jest równe P=0,001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy wyprodukowaniu 5000 sztuk produktu mniej niż 4 z nich będą wadliwe (zdarzenie A Rozwiązanie. Ponieważ N jest duża, korzystamy z lokalnego twierdzenia Laplace’a:

Obliczmy X:
Funkcjonować – parzysty, więc φ(–1,67) = φ(1,67).
Korzystając z tabeli w dodatku A.1, znajdujemy φ(1,67) = 0,0989.
Wymagane prawdopodobieństwo P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Twierdzenie całkowe Laplace'a
Jeśli prawdopodobieństwo R wystąpienie zdarzenia A w każdej próbie według schematu Bernoulliego jest stała i różna od zera i jedynki, to przy dużej liczbie prób N, prawdopodobieństwo Rp (ok 1 , k 2) zaistnienie zdarzenia A w tych testach od k 1 do k 2 razy w przybliżeniu równe
R str(k 1 , k 2) = Φ ( X"") – Φ ( X"), Gdzie
– funkcja Laplace’a,

Całki oznaczonej w funkcji Laplace'a nie można obliczyć na klasie funkcji analitycznych, dlatego do jej obliczenia wykorzystuje się tabelę. Ustęp 2 podany w załączniku.
Przykład 1.24. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w każdym ze stu niezależnych prób jest stałe i równe P= 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo, że zdarzenie wystąpi: a) co najmniej 75 razy i nie więcej niż 90 razy; b) co najmniej 75 razy; c) nie więcej niż 74 razy.
Rozwiązanie. Skorzystajmy z twierdzenia całkowego Laplace'a:
R str(k 1 , k 2) = Φ ( X"") – Φ( X"), gdzie Ф( X) – funkcja Laplace’a,

a) Zgodnie z warunkiem, N = 100, P = 0,8, Q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Obliczmy X"" I X" :


Biorąc pod uwagę, że funkcja Laplace'a jest nieparzysta, tj. F(- X) = – Ф( X), otrzymujemy
P 100 (75;90) = Ф (2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
Według tabeli P.2. znajdziemy zastosowania:
F(2,5) = 0,4938; F(1,25) = 0,3944.
Wymagane prawdopodobieństwo
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Wymóg wystąpienia zdarzenia co najmniej 75 razy oznacza, że ​​liczba wystąpień zdarzenia może wynosić 75, 76, ... lub 100. Zatem w rozpatrywanym przypadku należy przyjąć k 1 = 75, k 2 = 100. Zatem

.
Według tabeli P.2. w zastosowaniu znajdujemy Ф(1,25) = 0,3944; Ф(5) = 0,5.
Wymagane prawdopodobieństwo
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Wydarzenie – „ A pojawił się co najmniej 75 razy” i „ A wystąpiły nie więcej niż 74 razy” są przeciwne, więc suma prawdopodobieństw tych zdarzeń jest równa 1. Zatem pożądane prawdopodobieństwo
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Teoria prawdopodobieństwa, jak każda dziedzina matematyki, operuje pewnym zakresem pojęć. Większość pojęć teorii prawdopodobieństwa ma definicję, ale niektóre są traktowane jako podstawowe, niezdefiniowane, jak punkt, linia prosta czy płaszczyzna w geometrii. Podstawową koncepcją teorii prawdopodobieństwa jest zdarzenie. Przez wydarzenie rozumie się coś, o czym po pewnym czasie można powiedzieć jedną i tylko jedną z dwóch rzeczy:

• · Tak, zdarzyło się.
• · Nie, to się nie wydarzyło.

Na przykład mam los na loterię. Po opublikowaniu wyników loterii interesujące mnie wydarzenie - wygrana tysiąca rubli - albo się zdarza, albo nie. Każde zdarzenie ma miejsce w wyniku testu (lub doświadczenia). Test (lub doświadczenie) odnosi się do warunków, w wyniku których następuje zdarzenie. Na przykład rzucenie monetą jest sprawdzianem, a pojawienie się na niej „herbu” jest wydarzeniem. Wydarzenie jest zwykle oznaczane dużymi literami łacińskimi: A, B, C,…. Wydarzenia w świecie materialnym można podzielić na trzy kategorie - niezawodne, niemożliwe i losowe.

Określone zdarzenie to zdarzenie, o którym wiadomo z góry, że nastąpi. Jest to oznaczone literą W. Zatem wiarygodne jest, że podczas rzucania zwykłą kostką pojawi się nie więcej niż sześć punktów, pojawienie się białej kuli po wyjęciu z urny zawierającej tylko białe kule itp.

Zdarzenie niemożliwe to zdarzenie, o którym wiadomo z góry, że nie nastąpi. Oznacza się je literą E. Przykładami zdarzeń niemożliwych jest wylosowanie więcej niż czterech asów ze zwykłej talii kart, wyciągnięcie czerwonej bili z urny zawierającej wyłącznie kule białe i czarne itp.

Zdarzenie losowe to zdarzenie, które może wystąpić lub nie w wyniku testu. Zdarzenia A i B nazywamy niezgodnymi, jeśli wystąpienie jednego z nich wyklucza możliwość wystąpienia drugiego. Tym samym pojawienie się jakiejkolwiek możliwej liczby punktów przy rzucie kostką (zdarzenie A) jest niezgodne z pojawieniem się innej liczby (zdarzenie B). Wyrzucenie parzystej liczby punktów jest niezgodne z wyrzuceniem nieparzystej liczby. I odwrotnie, wyrzucenie parzystej liczby punktów (zdarzenie A) i liczby punktów będącej wielokrotnością trzech (zdarzenie B) nie będzie niezgodne, ponieważ wyrzucenie sześciu punktów oznacza zajście zarówno zdarzenia A, jak i zdarzenia B, więc wystąpienie jednego z nich nie wyklucza wystąpienia drugiego. Można wykonywać operacje na zdarzeniach. Suma dwóch zdarzeń C=AUB jest zdarzeniem C, które zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi co najmniej jedno z tych zdarzeń A i B. Przecięcie dwóch zdarzeń D=A?? B jest zdarzeniem, które ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą jednocześnie zdarzenia A i B.