Całki wielokrotne (zadania i ćwiczenia). Całki wielokrotne Współrzędne środka masy figury płaskiej

def . Pozwalać ,
,

.

Zbiór nazywany jest zamkniętym przedziałem lub zamkniętym słupkiem .

Zbiór nazywa się przedziałem otwartym

lub otwarta belka .

def . Miara interwałów I ilość nazywa się:

(Dokładniej
).

def . Jeśli
takie, że
potem przerwa nazywa się zdegenerowanym i
.

Właściwości miary przerwy:

A). Pozytywność:
, I
wtedy i tylko kiedy – zdegenerowany.

B).

Pozytywna jednorodność: .

V).
Addytywność:
;

* Dla
I

.

takie, że

def . * Dla

G). Monotoniczność miary: .
I
Średnica belki (szczeliny) to wartość: Zauważ to
– to nie to samo. Na przykład, jeśli
– zatem zdegenerowany

,A

* ;*
.

def . (ogólnie rzecz biorąc).
W której: * ; Całość podrozpiętości przedziału

*
; *
; *
; *
.

zwany podziałem interwałowym
, Jeśli: *; Ogrom nazywany parametrem partycji
).

def . P (w której Rozdzielać zwane udoskonalaniem partycji .

, jeśli wszystkie elementy partycji
uzyskane poprzez podzielenie elementów przegrody Wskazany przez: . czyta: mniejszy .

Lub

większy
;

*.


; *.

|
.

Dla stosunku „większy – mniejszy” obowiązuje:

*. przechodniość – ; *.
§. Definicja całki wielokrotnej ,
Pozwalać – drewno (szczelina) w– podział luki I
.

. W każdym przedziale partycji
zaznacz punkt
.

zwany podziałem interwałowym
Dostajemy przegroda z zaznaczonymi punktami dla (nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji F – drewno (szczelina) w X
.

def :
=
=
.

) w przerwie przez podział z zaznaczonymi punktami – drewno (szczelina) w Wyznaczanie

def : ε > 0 δ>0<.

– wiele funkcji zintegrowanych w belce przegroda z zaznaczonymi punktami dla(nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji napiszmy: – drewno (szczelina) w Jeśli dla funkcji
) NA
i partycje przegroda z zaznaczonymi punktami dla(nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji napiszmy: – drewno (szczelina) w - oznaczyć przez– największa i najmniejsza wartość funkcji
=
I
=
k

§. następnie wartości.

nazywane są dolną i górną sumą Darboux. 0 . Kryterium Darboux na istnienie całki wielokrotnej
T Funkcjonować
został zintegrowany z belką

. Δ▲.

(te.

) jest konieczne i wystarczające, aby przegroda z zaznaczonymi punktami dla Zdefiniowano całkowanie funkcji po belce w przestrzeni euklidesowej. Jak można zintegrować funkcję na dowolnym ograniczonym zbiorze z przestrzeni euklidesowej?
.

def : Zdefiniujmy całkę funkcji
I
przez wielu
Pozwalać
– ograniczone, tj. . Funkcjonować.

nazywamy funkcją charakterystyczną zbioru
≡
.

M Następnie: Definicja całki zbiorczej nie zależy od tego, która belka zawiera

.

M

wybrany, tj. Oznacza to, że definicja całki po zbiorze jest poprawna. przegroda z zaznaczonymi punktami dla(nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji napiszmy: Następnie: Warunek konieczny całkowalności. przegroda z zaznaczonymi punktami dla(nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji Funkcjonować Następnie:. Δ▲.

być całkowalne, jest to konieczne

1  . ) ograniczało się do §. Własności całek wielokrotnych. . Funkcjonować funkcje integrowalne w zestawie M - liniowy

przestrzeń i
– funkcjonał liniowy.

2  . Warunek normalizacji:
. Inna forma wpisu
zasadniczo określa miarę dowolnego zbioru z przestrzeni euklidesowej.

3  . Jeśli istnieje całka po zbiorze miary Lebesgue’a zero, to tak jest

równy zeru.

Notatka: Pęczek Następnie: nazywa się zbiorem miary Lebesgue’a zero,

Jeśli

takie, że
I
.

4  . A.;B.;

V. Jeśli
I – oddzielone od zera przez Następnie:, To

5  .
I przegroda z zaznaczonymi punktami dla=G p.w. (prawie wszędzie) na Następnie:, To
.

6  . Addytywność: Jeśli
I
To

,

Ogólnie:
.

Δ. Z równości wynika: ▲

7  . Monotonia:
I
To
.

8  . Całkowanie nierówności: jeśli
ja do

.

9  . Zdefiniujmy całkę funkcji


. W celu
, jest konieczne i wystarczające, aby istniał punkt wewnętrzny zbioru Następnie:, w której przegroda z zaznaczonymi punktami dla (nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji) > 0 i ciągły.

10  . Integrowalność zintegrowanego modułu funkcyjnego:
.

11  . Twierdzenie o wartości średniej:
,
NA Następnie: zachowuje znak i
, To

.

Jeśli zestaw Następnie:– spójne i przegroda z zaznaczonymi punktami dla(nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji) – świeci ciągle
To
takie, że
.

12  . Aby całka funkcji nieujemnej była równa 0

konieczne i wystarczające przegroda z zaznaczonymi punktami dla(nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji) = 0 prawie wszędzie Następnie:.

13  . Twierdzenie Fubiniego. Dla całki podwójnej:

Niech teren
- prostokąt:. Następnie, o ile istnieją całki wewnętrzne pojedyncze, aby znaleźć całkę podwójną, można przystąpić do ponownego całkowania (patrz rys. a):

, Lub

mi

Notatka: Zewnętrzne granice całkowania muszą być stałe; wewnętrzne granice całkowania mogą zależeć od zmiennej, względem której całkowanie nie zostało jeszcze przeprowadzone.

Wzór (*) można uzyskać korzystając z zadanej funkcji charakterystycznej D.

Dla całki wielokrotnej:

Pozwolić i niektóre podzbiory przestrzeni euklidesowych I . Zdefiniujmy iloczyn kartezjański tych zbiorów, będący podzbiorem przestrzeni euklidesowej
:.

Następnie twierdzenie Fubiniego dla
ma postać:
.

Twierdzenie obowiązuje również dla belek X I Y oraz w przypadku bardziej złożonych konfiguracji.

Przykłady:

1 0 . Oblicz
, jeżeli granica obszaru
dane równaniami:

A).
;

2

–

.

Przepis: Przy ustalaniu granic całkowania w całce podwójnej zaleca się rozpoczęcie od zewnętrznych granic całkowania.

3

Przejście do całek iterowanych daje:
.

Jednocześnie w całce potrójnej umieszczanie granic należy rozpocząć od wewnętrznych granic całkowania. Następnie zaprojektuj obszar V do samolotu xOj

ustalanie granic w danym obszarze D– leżenie w samolocie xOj.

4 0 . Zmień kolejność całkowania w iterowanej całce:
.

Całka wielokrotna

całka funkcji określonej w jakimś obszarze na płaszczyźnie, w trzech wymiarach lub N-przestrzeń wymiarowa. Wśród K. i. rozróżniać całki podwójne, potrójne itp. N-wiele całek.

Niech funkcja przegroda z zaznaczonymi punktami dla(x, y) jest podane w pewnym obszarze D samolot xOj. Podzielmy obszar D NA N obszary częściowe czy ja, których pola są równe czy ja wybierać w każdym obszarze ja punkt ( ξi, ηi) (cm. Ryż. ) i tworzą sumę całkowitą

Jeżeli z nieograniczoną redukcją maksymalnej średnicy obszarów częściowych ja kwoty S mają limit niezależnie od wyboru punktów ( ξi, ηi), wówczas granica ta nazywana jest całką podwójną funkcji przegroda z zaznaczonymi punktami dla(x, y) Przez region D i oznaczać

Całkę potrójną definiuje się podobnie i ogólnie N-całka wielokrotna.

Do istnienia całki podwójnej wystarczy np. region D był zamkniętym obszarem kwadratowym (patrz obszar kwadratowy ) i funkcją przegroda z zaznaczonymi punktami dla(x, y) był ciągły D. K. i. mają wiele właściwości podobnych do właściwości prostych całek . Aby obliczyć K. i. zwykle prowadzą do iterowanej całki (patrz całka iterowana). W szczególnych przypadkach do wiadomości K. i. Wzór Greena i wzór Ostrogradskiego mogą służyć jako całki dolnego wymiaru. K. i. mają szerokie zastosowanie: służą do wyrażania objętości ciał, ich mas, momentów statycznych, momentów bezwładności itp.

Wielka encyklopedia radziecka. - M .: Encyklopedia radziecka. 1969-1978 .

Zobacz, co oznacza „całka wielokrotna” w innych słownikach:

Całka funkcji kilku zmiennych. Wyznacza się go za pomocą sum całkowitych, podobnie jak całka oznaczona funkcji jednej zmiennej (patrz Rachunek całkowy). W zależności od liczby zmiennych są podwójne, potrójne, n... ... Wielki słownik encyklopedyczny

Całka oznaczona funkcji kilku zmiennych. Istnieją różne koncepcje K. i. (Całka Riemanna, całka Lebesgue'a, całka Lebesgue'a Stieltjesa itp.). Całkę wielokrotną Riemanna wprowadza się na podstawie miary Jordana. Niech E będzie mierzalne według Jordana... ... Encyklopedia matematyczna

W analizie matematycznej całka wielokrotna lub wielokrotna to zbiór całek wziętych ze zmiennych. Na przykład: Uwaga: całka wielokrotna jest całką oznaczoną; jej obliczenie zawsze daje liczbę. Spis treści 1... ...Wikipedia

Całka funkcji kilku zmiennych. Wyznacza się go za pomocą sum całkowitych, podobnie jak całka oznaczona funkcji jednej zmiennej (patrz Rachunek całkowy). W zależności od liczby zmiennych są podwójne, potrójne, n... ... słownik encyklopedyczny

Całka funkcji kilku zmiennych. Wyznaczane za pomocą sum całkowitych, podobnie zdefiniowanych. całka funkcji jednej zmiennej (patrz rachunek całkowy). W zależności od liczby zmiennych występują podwójne, potrójne, i... ... Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny

Uwaga: wszędzie w tym artykule, gdzie używany jest znak, chodzi o (wielokrotną) całkę Riemanna, chyba że zaznaczono inaczej; Wszędzie w tym artykule, gdzie mówimy o wymierności zbioru, mamy na myśli jordańską wymierność, jeśli nie... ... Wikipedia

Całka wielokrotna postaci gdzie, która jest średnią wartością stopnia 2k modułu sumy trygonometrycznej. Twierdzenie Winogradowa o wartości tej całki, twierdzenie o wartości średniej, leży u podstaw szacunków sum Weyla. Literatura Vinogradova inte... Wikipedia

Całka oznaczona jako obszar figury Ten termin ma inne znaczenia, patrz Całka (znaczenia). Całka funkcji... Wikipedia

Całka, w której następuje sekwencyjnie całkowanie po różnych zmiennych, czyli całka postaci (1) Funkcja f(x, y) jest określona na zbiorze A leżącym w iloczynie bezpośrednim XX Y przestrzeni X i Y, w którym s mają skończone miary mx i my,… … Encyklopedia matematyczna

Całka wzdłuż dowolnej krzywej na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Są K. i. Typ 1 i 2. K. i. Typ 1 pojawia się np. przy rozważaniu problemu obliczania masy krzywej zmiennej gęstości; jest wyznaczony... ... Wielka encyklopedia radziecka

Uwaga: Przy obliczaniu całek niewłaściwych z punktami osobliwymi wewnątrz przedziału całkowania nie można mechanicznie zastosować wzoru Newtona – Leibniza, ponieważ może to prowadzić do błędów.

Główna zasada: Wzór Newtona – Leibniza jest poprawny, jeśli funkcja pierwotna jest pierwotna k(x) w punkcie osobliwym tego ostatniego jest ciągła.

Przykład 2.11.

Rozważmy całkę niewłaściwą z punktem osobliwym x = 0. Zastosowany formalnie wzór Newtona-Leibniza daje

Jednak ogólna zasada nie ma tutaj zastosowania; dla f(x) = 1/x funkcja pierwotna ln |x| nie jest zdefiniowany w x = 0 i jest nieskończenie duży w tym punkcie, tj. w tym momencie nie jest ciągły. Łatwo jest sprawdzić poprzez bezpośrednią weryfikację, że całka jest rozbieżna. Naprawdę,

Wynikową niepewność można ujawnić na różne sposoby, ponieważ e i d niezależnie dążą do zera. W szczególności, ustawiając e = d, otrzymujemy wartość główną całki niewłaściwej równą 0. Jeżeli e = 1/n i d =1/n 2, tj. d dąży do 0 szybciej niż e, wtedy otrzymujemy

kiedy i odwrotnie,

te. całka jest rozbieżna.n

Przykład 2.12.

Rozważmy całkę niewłaściwą z punktem osobliwym x = 0. Funkcja pierwotna funkcji ma postać i jest ciągła w punkcie x = 0. Można zatem zastosować wzór Newtona – Leibniza:

Naturalnym uogólnieniem pojęcia całki Riemanna oznaczonej na przypadek funkcji kilku zmiennych jest koncepcja całki wielokrotnej. W przypadku dwóch zmiennych nazywa się takie całki podwójnie.

Rozważmy w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej R'R, tj. na płaszczyźnie o kartezjańskim układzie współrzędnych, zbiór mi końcowy obszar S.

Oznaczmy przez ( I = 1, …, - oznaczyć przez) ustaw partycję mi, tj. taki układ jego podzbiorów mi ja, ja = 1,. . ., - oznaczyć przez, że Ø dla i ¹ j i (ryc. 2.5). Tutaj oznaczamy podzbiór mi i bez jego granicy, tj. punkty wewnętrzne podzbioru E i , które wraz z jego brzegiem GR E tworzę zamknięty podzbiór mi I, . Oczywiste jest, że obszar S(mi i) podzbiory mi i pokrywa się z obszarem jego wnętrza, ponieważ obszar granicy GRE i jest równe zeru.

Niech d(E i) oznacza ustawiona średnica E ja, tj. maksymalna odległość między dwoma jego punktami. Zostanie wywołana wielkość l(t) = d(E i). dokładność podziału T. Jeśli funkcja f(x),x = (x, y) jest zdefiniowana na E jako funkcja dwóch argumentów, to dowolna suma postaci

X ja О mi ja , ja = 1, . . . , k, x ja = (x ja, y ja),

w zależności zarówno od funkcji f, jak i podziału t oraz od wyboru punktów x i О E i М t, nazywa się suma całkowa funkcji f .

Jeżeli dla funkcji f istnieje wartość niezależna ani od podziałów t, ani od wyboru punktów (i = 1, ..., k), to granicę tę nazywamy podwójna całka Riemanna z f(x,y) i jest oznaczone

W tym przypadku wywoływana jest sama funkcja f Całkowalne Riemanna.

Przypomnijmy to w przypadku funkcji z jednym argumentem jako zbiorem mi po którym przeprowadzana jest integracja, zwykle przyjmuje się segment , a jego podział t uważany jest za podział składający się z segmentów. Pod innymi względami, jak łatwo zauważyć, definicja podwójnej całki Riemanna powtarza definicję całki oznaczonej Riemanna dla funkcji jednego argumentu.

Podwójna całka Riemanna z ograniczonych funkcji dwóch zmiennych ma zwykłe właściwości całki oznaczonej dla funkcji jednego argumentu – liniowość, addytywność w odniesieniu do zbiorów, po których dokonuje się całkowania, ochrona podczas integracji nierówności nieścisłe, integrowalność produktu zintegrowane funkcje itp.

Obliczenie wielokrotnych całek Riemanna sprowadza się do obliczeń iterowane całki. Rozważmy przypadek podwójnej całki Riemanna. Niech funkcja f(x, y) jest zdefiniowany na zbiorze E leżącym w iloczynie kartezjańskim zbiorów X ` Y, E Ü X ` Y.

Przez powtarzaną całkę funkcji f(x, y) nazywa się całką, w której całkowanie odbywa się sekwencyjnie po różnych zmiennych, tj. całka formy

Zbiór E(y) = (x: О E) М X jest wywoływane Przekrój zbiory E odpowiadające danemu y, y О E y ; zbiór E y nazywa się – występ ustaw E na osi Y.

W przypadku całki iterowanej stosuje się również następującą notację:

co, podobnie jak poprzednie, oznacza, że ​​najpierw, dla ustalonego y, y О E y, funkcja jest zintegrowana f(x, y) Przez X wzdłuż odcinka mi(y), który jest częścią zestawu mi odpowiadające temu y. W rezultacie całka wewnętrzna definiuje jakąś funkcję jednej zmiennej - y. Funkcja ta jest następnie całkowana jako funkcja jednej zmiennej, jak wskazuje zewnętrzny symbol całki.

Zmieniając porządek całkowania, otrzymujemy powtarzającą się całkę postaci

gdzie przeprowadzana jest integracja wewnętrzna y, i zewnętrzne - wg X. Jak ta iterowana całka ma się do iterowanej całki zdefiniowanej powyżej?

Jeśli istnieje całka podwójna funkcji przegroda z zaznaczonymi punktami dla, tj.

wówczas istnieją obie całki powtarzające się i są one identyczne pod względem wielkości i równe podwójnemu, tj.

Podkreślamy, że sformułowany w tym stwierdzeniu warunek możliwości zmiany porządku całkowania w całkach iterowanych ma charakter jedynie wystarczający, ale nie jest to konieczne.

Inne wystarczające warunki możliwości zmiany porządku całkowania w całkach iterowanych formułuje się następująco:

jeśli istnieje co najmniej jedna z całek

następnie funkcja f(x, y) Możliwość integracji Riemanna na zestawie mi, istnieją obie jego całki powtarzalne i są równe całce podwójnej. N

Określmy zapis rzutów i przekrojów w zapisie całek iterowanych.

Jeśli zbiór E jest prostokątem

To E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); w której E(y) = Ex dla dowolnego y, y О E y . , A E(x) = Ey dla dowolnego x , x О Ex ..

Wpis formalny: „ y О E yÞ E(y) = przykłÙ" x x О NpÞ E(x) = Ey

Jeśli zbiór E ma zakrzywiona granica i umożliwia reprezentację

W tym przypadku powtarzające się całki zapisuje się w następujący sposób:

Przykład 2.13.

Oblicz całkę podwójną po obszarze prostokątnym, redukując ją do metody iteracyjnej.

Ponieważ warunek sin 2 (x+ y) =| grzech 2 (x + y)|, następnie sprawdzenie spełnialności warunków wystarczających na istnienie całki podwójnej I w postaci istnienia którejkolwiek z całek powtarzalnych

nie ma potrzeby wykonywania tego specjalnie i można od razu przystąpić do obliczania powtarzanej całki

Jeśli istnieje, to istnieje również całka podwójna i I = I 1 . Ponieważ

Zatem ja = .n

Przykład 2.14.

Oblicz całkę podwójną po obszarze trójkąta (patrz ryc. 2.6), redukując ją do powtórzenia

Gr(E) = ( : x = 0, y = 0, x + y = 2).

Najpierw zweryfikujmy istnienie całki podwójnej I. W tym celu wystarczy sprawdzić istnienie całki powtarzanej

te. całki są ciągłe w przedziałach całkowania, ponieważ wszystkie są funkcjami potęgowymi. Zatem całka I 1 istnieje. W tym przypadku całka podwójna również istnieje i jest równa dowolnej powtarzanej, tj.

Przykład 2.15.

Aby lepiej zrozumieć związek pomiędzy pojęciami całki podwójnej i iterowanej, rozważmy następujący przykład, który można pominąć przy pierwszym czytaniu. Podana jest funkcja dwóch zmiennych f(x, y).

Zauważ, że dla ustalonego x ta funkcja jest nieparzysta w y, a dla ustalonego y jest nieparzysta w x. Jako zbiór E, po którym funkcja ta jest całkowana, bierzemy kwadrat E = ( : -1 £ x 1 £, -1 £ y 1 £).

Najpierw rozważamy całkę iterowaną

Całka wewnętrzna

przyjmuje się dla ustalonego y, -1 £ y £ 1. Ponieważ całka dla ustalonego y jest nieparzysta w x, a całkowanie po tej zmiennej odbywa się po odcinku [-1, 1], symetrycznym względem punktu 0, to całka wewnętrzna jest równa 0. Oczywiście całka zewnętrzna po zmiennej y funkcji zerowej jest również równa 0, tj.

Podobne rozumowanie dla drugiej iterowanej całki prowadzi do tego samego wyniku:

Zatem dla rozważanej funkcji f(x, y) całki powtarzające się istnieją i są sobie równe. Nie ma jednak całki podwójnej funkcji f(x, y). Aby to zobaczyć, przejdźmy do geometrycznego znaczenia obliczania powtarzających się całek.

Aby obliczyć iterowaną całkę

stosuje się specjalny rodzaj podziału kwadratu E, a także specjalne obliczanie sum całkowitych. Mianowicie kwadrat E jest podzielony na poziome paski (patrz ryc. 2.7), a każdy pasek na małe prostokąty. Każdy pasek odpowiada określonej wartości zmiennej y; może to być na przykład współrzędna poziomej osi paska.

Obliczanie sum całkowitych przeprowadza się w następujący sposób: w pierwszej kolejności sumy oblicza się dla każdego pasma osobno, tj. przy ustalonym y dla różnych x, a następnie te sumy pośrednie sumuje się dla różnych pasm, tj. dla różnych y. Jeśli dokładność podziału dąży do zera, to w granicy otrzymujemy wspomnianą powyżej całkę powtarzaną.

Jest oczywiste, że dla drugiej całki iterowanej

zbiór E jest podzielony na pionowe paski odpowiadające różnym x. Sumy pośrednie obliczane są w obrębie każdego pasma w małych prostokątach, tj. wzdłuż y, a następnie sumuje się je dla różnych pasm, tj. przez x. W granicy, gdy stopień rozdrobnienia dąży do zera, otrzymujemy odpowiednią iterowaną całkę.

Aby udowodnić, że całka podwójna nie istnieje, wystarczy podać jeden przykład podziału, którego obliczenie sum całkowitych, dla którego w granicy, gdy stopień rozdrobnienia dąży do zera, daje wynik różny od wartości powtarzających się całek. Podajmy przykład takiego podziału odpowiadającego biegunowemu układowi współrzędnych (r, j) (patrz ryc. 2.8).

W układzie współrzędnych biegunowych położenie dowolnego punktu na płaszczyźnie M 0 (x 0 , y 0), gdzie x 0 , y 0 są współrzędnymi kartezjańskimi punktu M 0, jest określone przez długość r 0 promienia łącząc go z początkiem i kątem j 0 utworzonym przez ten promień z dodatnim kierunkiem osi x (kąt jest liczony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara). Związek między współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi jest oczywisty:

y 0 = r 0 × sinj 0 .

Przegroda jest zbudowana w następujący sposób. Najpierw kwadrat E dzieli się na sektory o promieniach wychodzących ze środka współrzędnych, a następnie każdy sektor dzieli się na małe trapezy liniami prostopadłymi do osi sektora. Obliczanie sum całkowitych przeprowadza się w następujący sposób: najpierw wzdłuż małych trapezów wewnątrz każdego sektora wzdłuż jego osi (wzdłuż r), a następnie po wszystkich sektorach (wzdłuż j). Położenie każdego sektora charakteryzuje kąt jego osi j, a długość jego osi r(j) zależy od tego kąta:

jeśli lub , to ;

Jeśli następnie ;

Jeśli następnie

Jeśli następnie .

Przechodząc do granicy sum całkowitych podziału biegunowego, gdy stopień rozdrobnienia dąży do zera, otrzymujemy reprezentację całki podwójnej we współrzędnych biegunowych. Zapis taki można uzyskać w sposób czysto formalny, zastępując współrzędne kartezjańskie (x, y) współrzędnymi biegunowymi (r, j).

Zgodnie z regułami przejścia całek ze współrzędnych kartezjańskich na biegunowe należy z definicji napisać:

We współrzędnych biegunowych funkcję f(x, y) zapiszemy następująco:

Wreszcie mamy

Całka wewnętrzna (niewłaściwa) w ostatnim wzorze

gdzie funkcja r(j) jest wskazana powyżej, 0 £ j £ 2p , jest równe +¥ dla dowolnego j, ponieważ

Dlatego całka zewnętrzna oceniana po j nie jest zdefiniowana dla żadnego j. Ale wtedy sama całka zewnętrzna nie jest zdefiniowana, tj. pierwotna całka podwójna nie jest zdefiniowana.

Zauważmy, że funkcja f(x, y) nie spełnia warunku wystarczającego na istnienie całki podwójnej po zbiorze E. Pokażmy, że całka

nie istnieje. Naprawdę,

Podobnie ten sam wynik ustala się dla całki

Pobierz z plików depozytowych

Wykłady 5-6

Temat2. Całki wielokrotne.

Całka podwójna.

Pytania kontrolne.

1. Całka podwójna, jej znaczenie geometryczne i fizyczne

2. Własności całki podwójnej.

3. Obliczanie całki podwójnej we współrzędnych kartezjańskich.

4. Zmiana zmiennych w całce podwójnej. Obliczanie całki podwójnej we współrzędnych biegunowych.

Niech funkcja z = przegroda z zaznaczonymi punktami dla (nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji , y) zdefiniowany w ograniczonym zamkniętym obszarze D samolot. Podzielmy obszar D losowo włączone N elementarne obszary zamknięte  1 , … , N, mający obszary   1 , …,   N i średnice D 1 , …, D N odpowiednio. Oznaczmy D największa ze średnic obszaru  1 , … ,  N. W każdym obszarze  - oznaczyć przez wybierz dowolny punkt Ogrom - oznaczyć przez (nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji - oznaczyć przez , j - oznaczyć przez) i komponuj suma całkowa Funkcje przegroda z zaznaczonymi punktami dla(x, y)

S =
(1)

Definicja. Całka podwójna Funkcje przegroda z zaznaczonymi punktami dla(x, y) Przez region D nazywana granicą sumy całkowej

, (2)

jeśli istnieje.

Komentarz. Suma skumulowana S zależy od sposobu podziału obszaru D i zaznaczanie punktów Ogrom - oznaczyć przez (- oznaczyć przez=1, …, N). Jednak granica
, jeśli istnieje, nie zależy od sposobu podziału obszaru D i zaznaczanie punktów Ogrom - oznaczyć przez .

Warunek wystarczający na istnienie całki podwójnej. Całka podwójna (1) istnieje, jeśli funkcja przegroda z zaznaczonymi punktami dla(x, y) ciągły w D z wyjątkiem skończonej liczby fragmentarycznie gładkich krzywych i jest ograniczona D. W dalszej części założymy, że istnieją wszystkie rozważane całki podwójne.

Znaczenie geometryczne całki podwójnej.

Jeśli przegroda z zaznaczonymi punktami dla(x, y) ≥0 w obszarze D, wówczas całka podwójna (1) jest równa objętości „cylindrycznego” ciała pokazanego na rysunku:

V =
(3)

Cylindryczny korpus jest ograniczony od dołu obszarem D, z góry - część powierzchni z = przegroda z zaznaczonymi punktami dla (nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji , y), z boków - pionowymi prostymi odcinkami łączącymi granice tej powierzchni i obszaru D.

Znaczenie fizyczne całki podwójnej. Masa płaskiej płyty.

Niech zostanie podany płaski talerz D ze znaną funkcją gęstości γ( X,Na), a następnie rozbicie płyty D na części D I i wybieranie dowolnych punktów
, otrzymujemy dla masy płyty
lub, porównując ze wzorem (2):

(4)

4. Niektóre własności całki podwójnej.

Liniowość. Jeśli Z jest zatem stałą liczbową

Addytywność. Jeśli obszar D „podzielonych” na obszary D 1 I D 2, zatem

3) Obszar ograniczonego obszaru D równy

(5)

Obliczanie całki podwójnej we współrzędnych kartezjańskich.

Niech zostanie dany obszar

Obrazek 1

D= { (nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji , y ): za ≤ x ≤ b , φ 1 (nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji ) ≤ y≤ φ 2 (nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji ) } (6)

Region D ujęte w pasie pomiędzy liniami prostymi nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji = A , y = B, ograniczone odpowiednio od dołu i od góry krzywymi y = φ 1 (nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji ) I y = φ 2 (nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji ) .

Całka podwójna (1) po obszarze D(4) oblicza się przechodząc do iterowanej całki:

(7)

Tę iterowaną całkę oblicza się w następujący sposób. Najpierw obliczana jest całka wewnętrzna

według zmiennej y, w której nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji uważane za stałe. Wynik będzie funkcją zmiennej nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji, a następnie obliczana jest całka „zewnętrzna” tej funkcji po zmiennej nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji .

Komentarz. Proces przejścia do całki powtarzanej według wzoru (7) nazywany jest często umieszczaniem granic całkowania w całce podwójnej. Ustalając limity integracji, należy pamiętać o dwóch punktach. Po pierwsze, dolna granica całkowania nie powinna przekraczać górnej, po drugie, granice całki zewnętrznej powinny być stałe, a wewnętrzne powinny w ogólnym przypadku zależeć od zmiennej całkującej całki zewnętrznej.

Niech teraz obszar D wygląda jak

D= { (nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji , y ) : do ≤ y ≤ re , ψ 1 (y ) ≤ x ≤ ψ 2 (y ) } . (8)

Następnie

. (9)

Załóżmy, że obszar D można przedstawić jednocześnie jako (6) i (8). Wtedy zachodzi równość

(10)

Nazywa się przejście od jednej iterowanej całki do drugiej w równości (10). zmiana kolejności całkowania w całce podwójnej.

Przykłady.

1) Zmień kolejność całkowania w całce

Rozwiązanie. Korzystając z postaci iterowanej całki, znajdujemy obszar

D= { (nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji , y ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤ 2 } .

Przedstawmy obszar D. Z rysunku widzimy, że obszar ten znajduje się w poziomym pasie pomiędzy liniami prostymi y =0, y=2 i między wierszami nazywa się sumą całkową Riemanna dla tej funkcji =0 I X=D

Czasami, aby uprościć obliczenia, dokonują zmiany zmiennych:

,
(11)

Jeżeli funkcje (11) są różniczkowalne w sposób ciągły i wyznacznik (Jakob) jest różny od zera w rozpatrywanej dziedzinie:

(12)

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej

Praca na kursie

Dyscyplina: Matematyka wyższa

(Podstawy programowania liniowego)

Na temat: WIELE CAŁEK

Ukończony przez: ______________

Nauczyciel:___________

Data ___________________

Stopień _________________

Podpis ________________

WORONEŻ 2008

1 Całki wielokrotne

1.1 Całka podwójna

1.2 Całka potrójna

1.3 Całki wielokrotne we współrzędnych krzywoliniowych

1.4 Geometryczne i fizyczne zastosowania całek wielokrotnych

2 Całki krzywoliniowe i powierzchniowe

2.1 Całki krzywoliniowe

2.2 Całki powierzchniowe

2.3 Zastosowania geometryczne i fizyczne

Bibliografia

1 Całki wielokrotne

1.1 Całka podwójna

Rozważmy zamknięty obszar D w płaszczyźnie Oxy, ograniczony linią L. Podzielmy ten obszar na n części pewnymi liniami

Niech funkcja z = f(x, y) będzie dana w dziedzinie D. Oznaczmy przez f(P 1), f(P 2),…, f(P n) wartości tej funkcji w wybranych punktach i ułóżmy sumę iloczynów postaci f(P i)ΔS i:

nazywana sumą całkowitą funkcji f(x, y) w dziedzinie D.

Jeśli istnieje ten sam limit sum całkowitych (1) dla

Obliczenie całki podwójnej po obszarze D ograniczonym liniami

1.2 Całka potrójna

Pojęcie całki potrójnej wprowadza się analogicznie do całki podwójnej.

Niech w przestrzeni będzie dany pewien obszar V, ograniczony zamkniętą powierzchnią S. Zdefiniujmy w tym zamkniętym obszarze funkcję ciągłą f(x, y, z). Następnie dzielimy obszar V na dowolne części Δv i, biorąc pod uwagę objętość każdej części równą Δv i i tworzymy sumę całkowitą postaci

Ogranicz o godz

Całka potrójna funkcji f(x,y,z) po obszarze V jest równa całce potrójnej po tym samym obszarze:

1.3 Całki wielokrotne we współrzędnych krzywoliniowych

Wprowadźmy na płaszczyźnie współrzędne krzywoliniowe, zwane biegunowymi. Wybierzmy punkt O (biegun) i wychodzący z niego promień (oś biegunowa).

Ryż. 2 rys. 3

Współrzędnymi punktu M (rys. 2) będzie długość odcinka MO – promień biegunowy ρ oraz kąt φ pomiędzy MO a osią biegunową: M(ρ,φ). Należy zauważyć, że dla wszystkich punktów płaszczyzny, z wyjątkiem bieguna, ρ > 0 i kąta biegunowego φ, będą uznawane za dodatnie, gdy mierzone będą w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, i ujemne, gdy mierzone będą w przeciwnym kierunku.

Zależność pomiędzy współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi punktu M można wyznaczyć poprzez zrównanie początku kartezjańskiego układu współrzędnych z biegunem, a dodatniej półosi Ox z osią biegunową (rys. 3). Wtedy x=ρcosφ, y=ρsinφ. Stąd

Zdefiniujmy w obszarze D ograniczonym krzywymi ρ=Φ 1 (φ) i ρ=Φ 2 (φ), gdzie φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

W przestrzeni trójwymiarowej wprowadza się współrzędne cylindryczne i sferyczne.

Współrzędne cylindryczne punktu P(ρ,φ,z) są współrzędnymi biegunowymi ρ, φ rzutu tego punktu na płaszczyznę Oxy i aplikacją tego punktu z (rys. 5).

Ryc.5 Ryc.6

Wzory na przejście od współrzędnych cylindrycznych do kartezjańskich można określić w następujący sposób:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)

We współrzędnych sferycznych położenie punktu w przestrzeni określa współrzędna liniowa r - odległość punktu od początku kartezjańskiego układu współrzędnych (lub bieguna układu sferycznego), φ - kąt biegunowy między dodatnim półosi Ox i rzut punktu na płaszczyznę Oxy, a θ - kąt pomiędzy dodatnią półosią osi Oz a odcinkiem OP (rys. 6). W której

Ustalmy wzory na przejście ze współrzędnych sferycznych na kartezjańskie:

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)

Wtedy wzory na przejście do współrzędnych cylindrycznych lub sferycznych w całce potrójnej będą wyglądać następująco:

gdzie F 1 i F 2 są funkcjami otrzymanymi przez podstawienie ich wyrażeń poprzez współrzędne cylindryczne (8) lub sferyczne (9) do funkcji f zamiast x, y, z.

1.4 Geometryczne i fizyczne zastosowania całek wielokrotnych

1) Powierzchnia obszaru płaskiego S:

Przykład 1.

Znajdź obszar figury D ograniczony liniami

Wygodnie jest obliczyć tę powierzchnię, licząc y jako zmienną zewnętrzną. Następnie granice regionu wyznaczają równania