Jak obliczyć wzór na postęp arytmetyczny. Postęp arytmetyczny: co to jest? Różnica w postępie: definicja

Lub arytmetyka to rodzaj uporządkowanej sekwencji liczbowej, której właściwości są badane na szkolnym kursie algebry. W artykule szczegółowo omówiono kwestię znalezienia sumy postępu arytmetycznego.

Co to za postęp?

Zanim przejdziemy do pytania (jak znaleźć sumę ciągu arytmetycznego) warto zrozumieć, o czym mówimy.

Dowolny ciąg liczb rzeczywistych uzyskany przez dodanie (odjęcie) pewnej wartości od każdej poprzedniej liczby nazywany jest postępem algebraicznym (arytmetycznym). Definicja ta, przetłumaczona na język matematyczny, przyjmuje postać:

Tutaj i jest numerem seryjnym elementu rzędu a i. Zatem znając tylko jeden numer początkowy, możesz łatwo przywrócić całą serię. Parametr d we wzorze nazywany jest różnicą progresji.

Można łatwo wykazać, że dla rozpatrywanego szeregu liczb zachodzi równość:

za n = za 1 + re * (n - 1).

Oznacza to, że aby znaleźć wartość n-tego elementu w kolejności, należy dodać różnicę d do pierwszego elementu a 1 n-1 razy.

Jaka jest suma postępu arytmetycznego: wzór

Przed podaniem wzoru na wskazaną kwotę warto rozważyć prosty przypadek szczególny. Biorąc pod uwagę ciąg liczb naturalnych od 1 do 10, musisz znaleźć ich sumę. Ponieważ w ciągu (10) wyrazów jest niewiele, możliwe jest rozwiązanie problemu od razu, czyli zsumowanie wszystkich elementów po kolei.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Warto rozważyć jedną ciekawą rzecz: ponieważ każdy wyraz różni się od następnego tą samą wartością d = 1, to sumowanie parami pierwszego z dziesiątym, drugiego z dziewiątym i tak dalej da ten sam wynik. Naprawdę:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Jak widać tych sum jest tylko 5, czyli dokładnie dwa razy mniej niż liczba elementów szeregu. Następnie mnożąc liczbę sum (5) przez wynik każdej sumy (11), otrzymasz wynik uzyskany w pierwszym przykładzie.

Jeśli uogólnimy te argumenty, możemy zapisać następujące wyrażenie:

S n = n * (za 1 + za n) / 2.

Wyrażenie to pokazuje, że wcale nie jest konieczne sumowanie wszystkich elementów w rzędzie, wystarczy znać wartość pierwszego a 1 i ostatniego a n oraz całkowitą liczbę wyrazów n.

Uważa się, że Gauss po raz pierwszy pomyślał o tej równości, gdy szukał rozwiązania problemu zadanego przez swojego nauczyciela: zsumuj pierwsze 100 liczb całkowitych.

Suma elementów od m do n: wzór

Wzór podany w poprzednim akapicie odpowiada na pytanie, jak znaleźć sumę ciągu arytmetycznego (pierwszych elementów), jednak często w problemach konieczne jest zsumowanie ciągu liczb w środku ciągu. Jak to zrobić?

Najłatwiej odpowiedzieć na to pytanie, rozważając następujący przykład: niech będzie konieczne znalezienie sumy wyrazów od m-tego do n-tego. Aby rozwiązać zadanie należy przedstawić zadany odcinek od m do n postępu w postaci nowego ciągu liczbowego. W tej reprezentacji m-ty wyraz a m będzie pierwszym, a n będzie ponumerowane n-(m-1). W takim przypadku, stosując standardowy wzór na sumę, otrzymamy następujące wyrażenie:

S m n = (n - m + 1) * (za m + za n) / 2.

Przykład użycia formuł

Wiedząc, jak znaleźć sumę ciągu arytmetycznego, warto rozważyć prosty przykład wykorzystania powyższych wzorów.

Poniżej znajduje się ciąg liczbowy, powinieneś znaleźć sumę jego wyrazów, zaczynając od 5 i kończąc na 12:

Podane liczby wskazują, że różnica d jest równa 3. Korzystając z wyrażenia na n-ty element, możesz znaleźć wartości 5. i 12. wyrazu progresji. Okazało się:

za 5 = za 1 + re * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
za 12 = za 1 + re * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Znając wartości liczb na końcach rozważanego ciągu algebraicznego, a także wiedząc, jakie liczby w szeregu zajmują, możesz skorzystać ze wzoru na sumę uzyskaną w poprzednim akapicie. Okaże się:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Warto zauważyć, że wartość tę można uzyskać inaczej: najpierw znajdź sumę pierwszych 12 elementów, korzystając ze standardowego wzoru, następnie oblicz sumę pierwszych 4 elementów, korzystając z tego samego wzoru, a następnie odejmij drugą od pierwszej sumy.

Usiądźmy więc i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:
Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz (w naszym przypadku są). Nieważne, ile liczb zapiszemy, zawsze możemy powiedzieć, która jest pierwsza, która druga i tak dalej, aż do ostatniej, czyli możemy je policzyć. Oto przykład ciągu liczbowego:

Sekwencja numerów
Na przykład dla naszej sekwencji:

Przypisany numer jest specyficzny tylko dla jednego numeru w sekwencji. Innymi słowy, w sekwencji nie ma trzech sekund. Druga liczba (podobnie jak ta) jest zawsze taka sama.
Liczbę zawierającą liczbę nazywamy th wyrazem ciągu.

Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .

W naszym przypadku:

Załóżmy, że mamy ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.
Na przykład:

itp.
Ten ciąg liczb nazywany jest postępem arytmetycznym.
Termin „postęp” został wprowadzony przez rzymskiego autora Boecjusza już w VI wieku i był rozumiany szerzej jako nieskończony ciąg liczbowy. Nazwa „arytmetyka” została przeniesiona z teorii proporcji ciągłych, którą studiowali starożytni Grecy.

Jest to ciąg liczb, którego każdy element jest równy poprzedniemu dodanemu do tej samej liczby. Liczba ta nazywana jest różnicą postępu arytmetycznego i jest oznaczona.

Spróbuj określić, które ciągi liczbowe są ciągiem arytmetycznym, a które nie:

A)
B)
C)
D)

Rozumiem? Porównajmy nasze odpowiedzi:
Jest postęp arytmetyczny - b, c.
Nie jest postęp arytmetyczny - a, d.

Wróćmy do zadanego ciągu () i spróbujmy znaleźć wartość jego dziesiątego wyrazu. Istnieje dwa sposób, aby to znaleźć.

1. Metoda

Numer progresji możemy dodawać do poprzedniej wartości, aż dotrzemy do V wyrazu progresji. Dobrze, że nie mamy zbyt wiele do podsumowania – tylko trzy wartości:

Zatem termin opisywanego postępu arytmetycznego jest równy.

2. Metoda

Co by było, gdybyśmy musieli znaleźć wartość th wyrazu progresji? Sumowanie zajęłoby nam ponad godzinę i nie jest faktem, że przy dodawaniu liczb nie popełnialibyśmy błędów.
Oczywiście matematycy wymyślili sposób, dzięki któremu nie jest konieczne dodawanie różnicy postępu arytmetycznego do poprzedniej wartości. Przyjrzyj się bliżej narysowanemu obrazkowi... Z pewnością zauważyłeś już pewien wzór, a mianowicie:

Zobaczmy na przykład, z czego składa się wartość V wyrazu tego ciągu arytmetycznego:

Innymi słowy:

Spróbuj w ten sposób samodzielnie znaleźć wartość członka danego ciągu arytmetycznego.

Czy obliczyłeś? Porównaj swoje notatki z odpowiedzią:

Zauważ, że otrzymałeś dokładnie tę samą liczbę, co w poprzedniej metodzie, gdy do poprzedniej wartości dodaliśmy po kolei wyrazy ciągu arytmetycznego.
Spróbujmy „odpersonalizować” tę formułę - sformułujmy ją ogólnie i otrzymamy:

Równanie postępu arytmetycznego.

Postęp arytmetyczny może być rosnący lub malejący.

Wzrastający- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest większa od poprzedniej.
Na przykład:

Malejąco- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest mniejsza od poprzedniej.
Na przykład:

Wyprowadzony wzór jest używany do obliczania wyrazów zarówno rosnących, jak i malejących ciągu arytmetycznego.
Sprawdźmy to w praktyce.
Dany jest postęp arytmetyczny składający się z następujących liczb: Sprawdźmy, jaka będzie liczba th tego ciągu arytmetycznego, jeśli do jej obliczenia skorzystamy z naszego wzoru:

Od tego czasu:

Jesteśmy zatem przekonani, że wzór działa zarówno w malejącym, jak i rosnącym postępie arytmetycznym.
Spróbuj samodzielnie znaleźć th i th wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Porównajmy wyniki:

Właściwość postępu arytmetycznego

Skomplikujmy problem - wyprowadzimy własność postępu arytmetycznego.
Powiedzmy, że mamy następujący warunek:
- postęp arytmetyczny, znajdź wartość.
Spokojnie, mówisz i zaczynasz liczyć według znanego już wzoru:

Niech więc:

Całkowita racja. Okazuje się, że najpierw znajdujemy, potem dodajemy do pierwszej liczby i otrzymujemy to, czego szukamy. Jeśli postęp jest reprezentowany przez małe wartości, to nie ma w tym nic skomplikowanego, ale co jeśli w warunku podane zostaną liczby? Zgadzam się, istnieje możliwość popełnienia błędu w obliczeniach.
Zastanów się teraz, czy można rozwiązać to zadanie w jednym kroku, stosując dowolną formułę? Oczywiście, że tak i właśnie to postaramy się teraz przedstawić.

Oznaczmy wymagany wyraz ciągu arytmetycznego, gdyż wzór na jego znalezienie jest nam znany - jest to ten sam wzór, który wyprowadziliśmy na początku:
, Następnie:

poprzedni termin progresji to:
kolejny wyraz progresji to:

Podsumujmy poprzednie i kolejne terminy progresji:

Okazuje się, że sumą poprzednich i kolejnych wyrazów progresji jest podwójna wartość członu progresji znajdującego się pomiędzy nimi. Innymi słowy, aby znaleźć wartość składnika progresji ze znanymi wartościami poprzednimi i kolejnymi, należy je dodać i podzielić przez.

Zgadza się, mamy ten sam numer. Zabezpieczmy materiał. Oblicz wartość progresji samodzielnie, nie jest to wcale trudne.

Dobrze zrobiony! O progresji wiesz prawie wszystko! Pozostaje znaleźć tylko jedną formułę, którą według legendy z łatwością wydedukował jeden z największych matematyków wszechczasów, „król matematyków” - Karl Gauss...

Kiedy Carl Gauss miał 9 lat, nauczyciel, zajęty sprawdzaniem prac uczniów w innych klasach, postawił na zajęciach następujące zadanie: „Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od do (według innych źródeł do) włącznie”. Wyobraźcie sobie zdziwienie nauczyciela, gdy jeden z jego uczniów (był to Karl Gauss) minutę później podał poprawną odpowiedź na zadanie, podczas gdy większość kolegów śmiałka po długich obliczeniach otrzymała błędny wynik…

Młody Carl Gauss zauważył pewną prawidłowość, którą i Ty możesz łatwo zauważyć.
Załóżmy, że mamy postęp arytmetyczny składający się z -tych wyrazów: Musimy znaleźć sumę tych wyrazów postępu arytmetycznego. Oczywiście możemy ręcznie zsumować wszystkie wartości, ale co jeśli zadanie wymaga znalezienia sumy jej wyrazów, tak jak szukał Gauss?

Przedstawmy dany nam postęp. Przyjrzyj się bliżej wyróżnionym liczbom i spróbuj wykonać na nich różne operacje matematyczne.

Próbowałeś tego? Co zauważyłeś? Prawidłowy! Ich sumy są równe

A teraz powiedz mi, ile takich par jest w sumie w podanej nam progresji? Oczywiście dokładnie połowa wszystkich liczb.
Z faktu, że suma dwóch wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa i pary podobne są równe, otrzymujemy, że suma całkowita jest równa:
.
Zatem wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:

W niektórych problemach nie znamy terminu „th”, ale znamy różnicę w postępie. Spróbuj zastąpić wzór tego wyrazu wzorem na sumę.
Co dostałeś?

Dobrze zrobiony! Wróćmy teraz do problemu, który został zadany Carlowi Gaussowi: obliczcie sami, jaka jest suma liczb zaczynających się od th, a suma liczb zaczynających się od th.

Ile dostałeś?
Gauss stwierdził, że suma wyrazów jest równa i suma wyrazów. Czy tak zdecydowałeś?

W rzeczywistości wzór na sumę wyrazów postępu arytmetycznego został udowodniony przez starożytnego greckiego naukowca Diofantusa już w III wieku i przez cały ten czas dowcipni ludzie w pełni korzystali z właściwości postępu arytmetycznego.
Wyobraźmy sobie na przykład starożytny Egipt i największy projekt budowlany tamtych czasów - budowę piramidy... Zdjęcie przedstawia jedną jej stronę.

Gdzie tu jest postęp, mówisz? Przyjrzyj się uważnie i znajdź wzór w liczbie bloków piasku w każdym rzędzie ściany piramidy.

Dlaczego nie postęp arytmetyczny? Oblicz, ile bloków potrzeba do zbudowania jednej ściany, jeśli u podstawy ułożone zostaną cegły blokowe. Mam nadzieję, że nie będziesz liczyć, przesuwając palcem po monitorze, pamiętasz ostatnią formułę i wszystko, co mówiliśmy o postępie arytmetycznym?

W tym przypadku progresja wygląda następująco: .
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba wyrazów postępu arytmetycznego.
Podstawmy nasze dane do ostatnich wzorów (obliczmy liczbę bloków na 2 sposoby).

Metoda 1.

Metoda 2.

A teraz możesz obliczyć na monitorze: porównaj uzyskane wartości z liczbą bloków znajdujących się w naszej piramidzie. Rozumiem? Dobra robota, opanowałeś sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Oczywiście nie można zbudować piramidy z klocków u podstawy, ale z? Spróbuj obliczyć, ile cegieł piaskowych potrzeba do zbudowania ściany w tym stanie.
Czy udało Ci się?
Prawidłowa odpowiedź to bloki:

Szkolenie

Zadania:

Masza robi formę na lato. Z każdym dniem zwiększa liczbę przysiadów o. Ile razy Masza będzie robić przysiady w ciągu tygodnia, jeśli robiła przysiady na pierwszej sesji treningowej?
Jaka jest suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w.
Podczas przechowywania kłód loggery układają je w taki sposób, że każda górna warstwa zawiera o jedną kłodę mniej niż poprzednia. Ile kłód znajduje się w jednym murze, jeśli fundamentem muru są kłody?

Odpowiedzi:

Zdefiniujmy parametry postępu arytmetycznego. W tym przypadku
(tygodnie = dni).
Odpowiedź: Za dwa tygodnie Masza powinna robić przysiady raz dziennie.
Pierwsza liczba nieparzysta, ostatnia liczba.
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba liczb nieparzystych jest równa połowie, sprawdźmy jednak ten fakt korzystając ze wzoru na znalezienie VII wyrazu ciągu arytmetycznego:
Liczby zawierają liczby nieparzyste.
Podstawmy dostępne dane do wzoru:
Odpowiedź: Suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w jest równa.
Przypomnijmy sobie problem z piramidami. W naszym przypadku a , ponieważ każda górna warstwa jest zmniejszona o jeden log, to w sumie mamy kilka warstw.
Podstawiamy dane do wzoru:
Odpowiedź: W murze znajdują się kłody.

Podsumujmy to

- ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa. Może rosnąć lub maleć.
Znalezienie formuły Piąty wyraz ciągu arytmetycznego zapisuje się wzorem - , gdzie jest liczba liczb w ciągu.
Własność członków ciągu arytmetycznego- - gdzie jest liczbą numerów w toku.
Suma wyrazów postępu arytmetycznego można znaleźć na dwa sposoby:

, gdzie jest liczbą wartości.

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. ŚREDNI POZIOM

Sekwencja numerów

Usiądźmy i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:

Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz. Ale zawsze możemy powiedzieć, który jest pierwszy, który drugi i tak dalej, to znaczy możemy je policzyć. To jest przykład ciągu liczbowego.

Sekwencja numerów to zbiór liczb, z których każdej można przypisać unikalny numer.

Innymi słowy, każdą liczbę można powiązać z pewną liczbą naturalną i to niepowtarzalną. I nie przypiszemy tego numeru żadnemu innemu numerowi z tego zestawu.

Liczbę z liczbą nazywamy th członkiem ciągu.

Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .

Jest to bardzo wygodne, jeśli th-ty wyraz ciągu można określić za pomocą jakiegoś wzoru. Na przykład formuła

ustawia kolejność:

A formuła jest następującą sekwencją:

Na przykład postęp arytmetyczny jest ciągiem (pierwszy wyraz jest tutaj równy, a różnica jest). Lub (, różnica).

formuła n-tego terminu

Nazywamy formułą rekurencyjną, w której aby znaleźć th wyraz, trzeba znać poprzednie lub kilka poprzednich:

Aby znaleźć na przykład dziewiąty wyraz progresji za pomocą tego wzoru, będziemy musieli obliczyć poprzednie dziewięć. Na przykład pozwól. Następnie:

Czy teraz jest jasne, jaka jest formuła?

W każdym wierszu dodajemy, pomnożyliśmy przez jakąś liczbę. Który? Bardzo proste: jest to numer bieżącego członka minus:

Teraz jest o wiele wygodniej, prawda? Sprawdzamy:

Zdecyduj sam:

W postępie arytmetycznym znajdź wzór na n-ty wyraz i znajdź setny wyraz.

Rozwiązanie:

Pierwszy wyraz jest równy. Jaka jest różnica? Oto co:

(Dlatego nazywa się to różnicą, bo jest równe różnicy kolejnych wyrazów postępu).

Zatem formuła:

Wtedy setny wyraz jest równy:

Jaka jest suma wszystkich liczb naturalnych od do?

Według legendy wielki matematyk Carl Gauss już jako 9-letni chłopiec obliczył tę kwotę w kilka minut. Zauważył, że suma pierwszej i ostatniej liczby jest równa, suma drugiej i przedostatniej jest taka sama, suma trzeciej i trzeciej od końca jest taka sama i tak dalej. Ile jest w sumie takich par? Zgadza się, to znaczy dokładnie połowa liczby wszystkich liczb. Więc,

Ogólny wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:

Przykład:
Znajdź sumę wszystkich dwucyfrowych wielokrotności.

Rozwiązanie:

Pierwsza taka liczba to ta. Każdą kolejną liczbę uzyskujemy poprzez dodanie do poprzedniej liczby. Zatem interesujące nas liczby tworzą ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem i różnicą.

Formuła wyrazu VII dla tej progresji:

Ile wyrazów jest w progresji, jeśli wszystkie muszą być dwucyfrowe?

Bardzo łatwe: .

Ostatni termin progresji będzie równy. Następnie suma:

Odpowiedź: .

Teraz zdecyduj sam:

Każdego dnia sportowiec przebiega więcej metrów niż poprzedniego dnia. Ile kilometrów przebiegnie w ciągu tygodnia, jeśli pierwszego dnia przebiegł km?
Rowerzysta pokonuje każdego dnia więcej kilometrów niż poprzedniego dnia. Pierwszego dnia przejechał km. Ile dni musi podróżować, aby pokonać kilometr? Ile kilometrów przejedzie ostatniego dnia swojej podróży?
Cena lodówki w sklepie spada co roku o tę samą kwotę. Oblicz, o ile cena lodówki spadała każdego roku, jeśli wystawiona na sprzedaż za ruble, sześć lat później została sprzedana za ruble.

Odpowiedzi:

Najważniejsze jest tu rozpoznanie postępu arytmetycznego i określenie jego parametrów. W tym przypadku (tygodnie = dni). Musisz określić sumę pierwszych wyrazów tej progresji:
.
Odpowiedź:
Tutaj jest podane: , należy znaleźć.
Oczywiście musisz użyć tego samego wzoru na sumę, co w poprzednim zadaniu:
.
Zastąp wartości:
Katalog główny najwyraźniej nie pasuje, więc odpowiedź brzmi.
Obliczmy drogę przebytą w ciągu ostatniego dnia, korzystając ze wzoru na wyraz:
(km).
Odpowiedź:
Dany: . Znajdować: .
To nie może być prostsze:
(pocierać).
Odpowiedź:

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Jest to ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.

Postęp arytmetyczny może być rosnący () i malejący ().

Na przykład:

Wzór na znalezienie n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego

jest zapisywany wzorem, gdzie jest liczbą numerów w toku.

Własność członków ciągu arytmetycznego

Pozwala łatwo znaleźć wyraz ciągu, jeśli znane są wyrazy sąsiadujące z nim - gdzie jest liczba liczb w ciągu.

Suma wyrazów postępu arytmetycznego

Istnieją dwa sposoby znalezienia kwoty:

Gdzie jest liczba wartości.

POZOSTAŁE 2/3 ARTYKUŁÓW DOSTĘPNE JEST TYLKO DLA MĄDRYCH STUDENTÓW!

Zostań uczniem YouClever,

Przygotuj się do Unified State Exam lub Unified State Exam z matematyki w cenie „filiżanki kawy miesięcznie”,

A także zyskaj nieograniczony dostęp do podręcznika „YouClever”, programu przygotowawczego „100gia” (książka Solver), nieograniczonej wersji próbnej Unified State Exam i Unified State Exam, 6000 problemów z analizą rozwiązań oraz innych usług YouClever i 100gia.

W matematyce każdy zbiór liczb następujących po sobie, zorganizowany w jakiś sposób, nazywany jest sekwencją. Spośród wszystkich istniejących ciągów liczb wyróżnia się dwa interesujące przypadki: postęp algebraiczny i geometryczny.

Co to jest postęp arytmetyczny?

Należy od razu powiedzieć, że postęp algebraiczny często nazywany jest arytmetyką, ponieważ jego właściwości bada dział matematyki - arytmetyka.

Postęp ten jest ciągiem liczb, w którym każdy kolejny element różni się od poprzedniego o pewną stałą liczbę. Nazywa się to różnicą postępu algebraicznego. Dla pewności oznaczamy to łacińską literą d.

Przykładem takiej sekwencji może być: 3, 5, 7, 9, 11..., tutaj widać, że liczba 5 jest większa od liczby 3 o 2, 7 jest większa od 5 o 2, oraz Wkrótce. Zatem w przedstawionym przykładzie d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Jakie są rodzaje postępów arytmetycznych?

Charakter tych uporządkowanych ciągów liczb jest w dużej mierze zdeterminowany znakiem liczby d. Wyróżnia się następujące typy postępów algebraicznych:

wzrasta, gdy d jest dodatnie (d>0);
stała, gdy d = 0;
maleje, gdy d jest ujemne (d<0).

Przykład podany w poprzednim akapicie pokazuje rosnący postęp. Przykładem ciągu malejącego jest następujący ciąg liczb: 10, 5, 0, -5, -10, -15... Postęp stały, jak wynika z definicji, jest zbiorem liczb identycznych.

n-ty okres progresji

Dzięki temu, że każda kolejna liczba w rozpatrywanym ciągu różni się o stałą d od poprzedniej, łatwo jest wyznaczyć jej n-ty wyraz. Aby to zrobić, musisz znać nie tylko d, ale także 1 - pierwszy wyraz progresji. Stosując podejście rekurencyjne, można uzyskać wzór na progresję algebraiczną w celu znalezienia n-tego wyrazu. Wygląda to tak: a n = a 1 + (n-1)*d. Formuła ta jest dość prosta i można ją zrozumieć intuicyjnie.

Korzystanie z niego również nie jest trudne. Przykładowo w podanym powyżej postępie (d=2, a 1=3) definiujemy jego 35-ty wyraz. Według wzoru będzie to równe: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.

Wzór na kwotę

W przypadku postępu arytmetycznego często spotykanym problemem jest suma jego pierwszych n wyrazów, podobnie jak określenie wartości n-tego wyrazu. Wzór na sumę ciągu algebraicznego zapisuje się w postaci: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, tutaj symbol ∑ n 1 oznacza, że sumowane są wyrazy od 1 do n-tego.

Powyższe wyrażenie można uzyskać, odwołując się do właściwości tej samej rekurencji, ale istnieje łatwiejszy sposób udowodnienia jego ważności. Zapiszmy 2 pierwsze i 2 ostatnie wyrazy tej sumy, wyrażając je liczbami a 1, a n i d i otrzymamy: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Zauważmy teraz, że jeśli dodamy pierwszy wyraz do ostatniego, będzie on dokładnie równy sumie drugiego i przedostatniego wyrazu, czyli a 1 +a n. W podobny sposób można wykazać, że tę samą sumę można otrzymać, dodając trzeci i przedostatni wyraz i tak dalej. W przypadku pary liczb w ciągu otrzymujemy sumy n/2, z których każda jest równa 1 +a n. Oznacza to, że otrzymujemy powyższy wzór na postęp algebraiczny dla sumy: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

Dla niesparowanej liczby terminów n podobny wzór otrzymuje się, jeśli zastosuje się opisane rozumowanie. Pamiętaj tylko o dodaniu pozostałego terminu, który znajduje się w centrum progresji.

Pokażmy, jak wykorzystać powyższy wzór na przykładzie prostej progresji, która została wprowadzona powyżej (3, 5, 7, 9, 11…). Na przykład konieczne jest określenie sumy pierwszych 15 wyrazów. Najpierw zdefiniujmy 15. Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz (patrz poprzedni akapit) otrzymujemy: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Teraz możemy zastosować wzór na suma postępu algebraicznego: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

Warto przytoczyć interesujący fakt historyczny. Wzór na sumę postępu arytmetycznego po raz pierwszy uzyskał Carl Gauss (słynny niemiecki matematyk XVIII wieku). Kiedy miał zaledwie 10 lat, nauczyciel poprosił go, aby obliczył sumę liczb od 1 do 100. Mówią, że mały Gauss rozwiązał to zadanie w kilka sekund, zauważając, że sumując liczby z początku i końca ciągu parami zawsze można uzyskać 101, a że takich sum jest 50, szybko dał odpowiedź: 50*101 = 5050.

Przykład rozwiązania problemu

Aby uzupełnić temat progresji algebraicznej, podamy przykład rozwiązania innego interesującego problemu, wzmacniając w ten sposób zrozumienie rozważanego tematu. Podajmy pewien postęp, dla którego znana jest różnica d = -3 oraz jej 35-ty wyraz a 35 = -114. Należy znaleźć siódmy wyraz progresji a 7 .

Jak widać z warunków zadania, wartość 1 jest nieznana, dlatego nie będzie możliwe bezpośrednie zastosowanie wzoru na n-ty wyraz. Niewygodna jest także metoda rekursyjna, którą trudno wdrożyć ręcznie, a istnieje duże prawdopodobieństwo popełnienia błędu. Postępujmy następująco: wypiszmy wzory na 7 i 35, mamy: a 7 = a 1 + 6*d i a 35 = a 1 + 34*d. Odejmij drugą część od pierwszego wyrażenia i otrzymaj: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Wynika stąd: a 7 = a 35 - 28*d. Pozostaje zastąpić znane dane ze sformułowania problemu i zapisać odpowiedź: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

Postęp geometryczny

Aby pełniej przybliżyć temat artykułu, podajemy krótki opis innego rodzaju progresji – geometrycznej. W matematyce przez tę nazwę rozumie się ciąg liczb, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego pewnym czynnikiem. Oznaczmy ten czynnik literą r. Nazywa się to mianownikiem rozważanego rodzaju progresji. Przykładem tej sekwencji liczb może być: 1, 5, 25, 125, ...

Jak widać z powyższej definicji, postępy algebraiczne i geometryczne mają podobną ideę. Różnica między nimi polega na tym, że pierwsza zmienia się wolniej niż druga.

Postęp geometryczny może być również rosnący, stały lub malejący. Jego rodzaj zależy od wartości mianownika r: jeśli r>1, to następuje progresja rosnąca, jeśli r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Formuły progresji geometrycznej

Podobnie jak w przypadku algebraiki, wzory ciągu geometrycznego sprowadzają się do określenia jego n-tego wyrazu i sumy n wyrazów. Poniżej znajdują się te wyrażenia:

a n = a 1 *r (n-1) - wzór ten wynika z definicji postępu geometrycznego.
∑ n 1 = za 1 *(r n -1)/(r-1). Należy pamiętać, że jeśli r = 1, to powyższy wzór daje niepewność, więc nie można go zastosować. W tym przypadku suma n wyrazów będzie równa iloczynowi prostemu a 1 *n.

Na przykład znajdźmy sumę tylko 10 wyrazów ciągu 1, 5, 25, 125, ... Wiedząc, że a 1 = 1 i r = 5, otrzymamy: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Otrzymana wartość jest wyraźnym przykładem tego, jak szybko rośnie postęp geometryczny.

Być może pierwszą wzmianką o tym postępie w historii jest legenda o szachownicy, kiedy przyjaciel pewnego sułtana, ucząc go gry w szachy, poprosił o zboże za jego służbę. Ponadto ilość ziaren powinna być następująca: na pierwszym polu szachownicy należy położyć jedno ziarno, na drugim dwa razy więcej niż na pierwszym, na trzecim dwa razy więcej niż na drugim i tak dalej . Sułtan chętnie zgodził się spełnić tę prośbę, nie wiedział jednak, że aby dotrzymać słowa, będzie musiał opróżnić wszystkie kosze w swoim kraju.