Jak często nazywa się liczbę pi. Co kryje Pi?

Dziś urodziny Pi, które z inicjatywy amerykańskich matematyków obchodzone są 14 marca o godzinie 1 godziny i 59 minut po południu. Wiąże się to z dokładniejszą wartością Pi: wszyscy jesteśmy przyzwyczajeni uważać tę stałą za 3,14, ale liczbę można kontynuować w następujący sposób: 3, 14159... Przekładając to na datę kalendarzową, otrzymujemy 03,14, 1: 59.

Foto: AiF/Nadezhda Uvarova

Profesor Katedry Analizy Matematycznej i Funkcjonalnej Uniwersytetu Państwowego Uralu Południowego Władimir Zalyapin twierdzi, że 22 lipca nadal należy uważać za „dzień Pi”, ponieważ w europejskim formacie daty dzień ten zapisywany jest jako 22/7, a wartość tego ułamka jest w przybliżeniu równa wartości Pi.

„Historia liczby określającej stosunek obwodu do średnicy koła sięga czasów starożytnych” – mówi Zalyapin. - Już Sumerowie i Babilończycy wiedzieli, że stosunek ten nie zależy od średnicy koła i jest stały. Jedna z pierwszych wzmianek o liczbie Pi znajduje się w tekstach Egipski pisarz Ahmes(około 1650 r. p.n.e.). Do opracowania tej tajemniczej ilości przyczynili się starożytni Grecy, którzy wiele zapożyczyli od Egipcjan. Według legendy, Archimedes był tak pochłonięty obliczeniami, że nie zauważył, jak rzymscy żołnierze zajęli jego rodzinne miasto Syrakuzy. Kiedy rzymski żołnierz podszedł do niego, Archimedes krzyknął po grecku: „Nie dotykaj moich kręgów!” W odpowiedzi żołnierz dźgnął go mieczem.

Platon otrzymał dość dokładną wartość Pi jak na swój czas - 3,146. Ludolfa van Zeilena spędził większość swojego życia obliczając pierwsze 36 miejsc po przecinku liczby Pi i zostały one wyryte na jego nagrobku po jego śmierci.

Irracjonalne i nienormalne

Zdaniem profesora dążenie do obliczania nowych miejsc po przecinku zawsze wynikało z chęci uzyskania dokładnej wartości tej liczby. Założono, że liczba Pi jest wymierna i dlatego można ją wyrazić w postaci ułamka prostego. I to jest zasadniczo błędne!

Liczba Pi jest również popularna, ponieważ jest mistyczna. Od czasów starożytnych istniała religia wyznawców stałej. Oprócz tradycyjnej wartości Pi – stałej matematycznej (3,1415...), wyrażającej stosunek obwodu koła do jego średnicy, istnieje wiele innych znaczeń tej liczby. Takie fakty są ciekawe. Podczas pomiaru wymiarów Wielkiej Piramidy w Gizie okazało się, że ma ona taki sam stosunek wysokości do obwodu podstawy, jak promień koła do jego długości, czyli ½ Pi.

Jeżeli długość równika Ziemi obliczymy za pomocą liczby Pi z dokładnością do dziewiątego miejsca po przecinku, błąd w obliczeniach wyniesie tylko około 6 mm. Trzydzieści dziewięć miejsc po przecinku w liczbie Pi wystarczy, aby obliczyć obwód koła otaczającego znane obiekty kosmiczne we Wszechświecie, z błędem nie większym niż promień atomu wodoru!

Badanie liczby Pi obejmuje również analizę matematyczną. Foto: AiF/Nadezhda Uvarova

Chaos w liczbach

Według profesora matematyki, w 1767 r Lamberta ustalił irracjonalność liczby Pi, to znaczy niemożność przedstawienia jej jako stosunku dwóch liczb całkowitych. Oznacza to, że ciąg miejsc dziesiętnych liczby Pi to chaos ucieleśniony w liczbach. Innymi słowy, „ogon” miejsc dziesiętnych zawiera dowolną liczbę, dowolny ciąg liczb, dowolne teksty, które były, są i będą, ale wydobycie tej informacji jest po prostu niemożliwe!

„Nie można poznać dokładnej wartości Pi” – kontynuuje Władimir Iljicz. - Ale te próby nie są zaniechane. W 1991 r Chudnowski osiągnął nowe 2260000000 miejsc po przecinku stałej, a w 1994 r. - 4044000000. Potem liczba poprawnych cyfr Pi rosła jak lawina.

Chińczycy są rekordzistami świata w zapamiętywaniu liczby Pi Liu Chao, który bezbłędnie zapamiętał 67 890 miejsc po przecinku i odtworzył je w ciągu 24 godzin i 4 minut.

O „złotym podziale”

Nawiasem mówiąc, nigdy nie udowodniono związku między „pi” a inną niesamowitą wielkością – złotym podziałem. Ludzie już dawno zauważyli, że „złota” proporcja – zwana także liczbą Phi – i liczba Pi podzielona przez dwa różnią się od siebie o niecałe 3% (1,61803398... i 1,57079632...). Jednak w przypadku matematyki te trzy procent to zbyt znacząca różnica, aby uznać te wartości za identyczne. W ten sam sposób możemy powiedzieć, że liczba Pi i liczba Phi są krewnymi innej dobrze znanej stałej - liczby Eulera, ponieważ jej pierwiastek jest bliski połowie liczby Pi. Połowa Pi wynosi 1,5708, Phi wynosi 1,6180, a pierwiastek E wynosi 1,6487.

To tylko część wartości Pi. Zdjęcie: Zrzut ekranu

urodziny Pi

Na Uniwersytecie Stanowym South Ural urodziny stałej obchodzą wszyscy nauczyciele i studenci matematyki. Tak było zawsze – nie można powiedzieć, że zainteresowanie pojawiło się dopiero w ostatnich latach. Numer 3.14 powitany zostanie nawet specjalnym świątecznym koncertem!

W liczbach po przecinku nie ma cykliczności ani układu, to znaczy w dziesiętnym rozwinięciu liczby Pi występuje dowolny ciąg liczb, jaki można sobie wyobrazić (w tym bardzo rzadka w matematyce sekwencja miliona nietrywialnych zer, przewidywanych przez niemieckiego matematyka Bernhardta Riemanna w 1859 r.).

Oznacza to, że Pi w zakodowanej formie zawiera wszystkie napisane i niepisane księgi oraz w ogóle wszelkie istniejące informacje (dlatego też obliczenia japońskiego profesora Yasumasy Kanady, który niedawno określił liczbę Pi na 12411 bilionów miejsc po przecinku, zostały natychmiast tajne - przy takiej ilości danych nietrudno odtworzyć treść jakiegokolwiek tajnego dokumentu wydrukowanego przed 1956 rokiem, chociaż dane te nie wystarczą do ustalenia miejsca pobytu jakiejkolwiek osoby, wymaga to co najmniej 236 734 bilionów miejsc po przecinku - przyjmuje się że takie prace są obecnie prowadzone w Pentagonie (z wykorzystaniem komputerów kwantowych, których taktowanie zbliża się już do prędkości dźwięku).

Za pomocą liczby Pi można zdefiniować dowolną inną stałą, w tym stałą struktury subtelnej (alfa), stałą złotej proporcji (f=1,618...), nie mówiąc już o liczbie e - dlatego liczbę pi można znaleźć nie tylko w geometrii, ale także w teorii względności, mechanice kwantowej, fizyce jądrowej itp. Co więcej, naukowcy odkryli niedawno, że to właśnie za pomocą Pi można określić położenie cząstek elementarnych w Tabeli Cząstek Elementarnych (wcześniej próbowali tego dokonać poprzez Tablicę Woody’ego) i przekaz, że w niedawno rozszyfrowanym ludzkim DNA , liczba Pi odpowiedzialna za strukturę samego DNA (należy zauważyć, że jest dość złożona), wywołała efekt eksplozji bomby!

Według dr Charlesa Cantora, pod którego przewodnictwem odszyfrowano DNA: „Wygląda na to, że znaleźliśmy rozwiązanie jakiegoś fundamentalnego problemu, który rzucił przed nami wszechświat. Liczba Pi jest wszędzie, kontroluje wszystkie znane nam procesy, pozostając niezmieniona! Kto kontroluje samą liczbę Pi? Brak odpowiedzi." Tak naprawdę Cantor jest nieszczery, jest odpowiedź, jest to po prostu tak niewiarygodne, że naukowcy wolą nie upubliczniać tego w obawie o własne życie (więcej o tym później): liczba Pi kontroluje się sama, jest to rozsądne! Nonsens? Nie spiesz się.

W końcu Fonvizin powiedział również, że „w ludzkiej niewiedzy bardzo pocieszające jest uważanie wszystkiego za nonsens, którego się nie zna.

Po pierwsze, wielu znanych matematyków naszych czasów od dawna odwiedza hipotezy dotyczące racjonalności liczb w ogóle. Norweski matematyk Niels Henrik Abel napisał do swojej matki w lutym 1829 roku: „Otrzymałem potwierdzenie, że jedna z liczb jest rozsądna. Rozmawiałam z nim! Ale przeraża mnie to, że nie mogę ustalić, co to za liczba. Ale może tak będzie lepiej. Liczba ostrzegła mnie, że zostanę ukarany, jeśli zostanie ujawniona. Kto wie, Nils zdradziłby znaczenie liczby, która do niego przemówiła, ale 6 marca 1829 roku zmarł.

1955 Japończyk Yutaka Taniyama wysuwa hipotezę, że „każda krzywa eliptyczna odpowiada pewnej formie modułowej” (jak wiadomo, na podstawie tej hipotezy udowodniono twierdzenie Fermata). 15 września 1955 roku na międzynarodowym sympozjum matematycznym w Tokio, gdzie Taniyama ogłosił swoją hipotezę, w odpowiedzi na pytanie dziennikarza: „Jak na to wpadłeś?” - Taniyama odpowiada: „Nie pomyślałem o tym, numer powiedział mi o tym przez telefon”.

Dziennikarka, myśląc, że to żart, postanowiła ją „wspomóc”: „Podawała numer telefonu?” Na co Taniyama poważnie odpowiedział: „Wydaje się, że ten numer jest mi znany od dawna, ale teraz mogę go zgłosić dopiero po trzech latach, 51 dniach, 15 godzinach i 30 minutach”. W listopadzie 1958 roku Taniyama popełnił samobójstwo. Trzy lata, 51 dni, 15 godzin i 30 minut to 3,1415. Zbieg okoliczności? Może. Ale oto inny, jeszcze dziwniejszy. Włoska matematyk Sella Quitino również spędziła kilka lat, jak to niejasno ujął, „utrzymując kontakt z jedną uroczą liczbą”. Według Quitino, który wówczas przebywał już w szpitalu psychiatrycznym, ta osoba „obiecała, że ​​wypowie jego imię w dniu swoich urodzin”. Czy Quitino mógł postradać zmysły na tyle, by nazwać liczbę Pi liczbą, czy też celowo wprowadził lekarzy w błąd? Nie jest jasne, ale 14 marca 1827 roku Quitino zmarł.

A najbardziej tajemnicza historia związana jest z „wielkim Hardym” (jak wszyscy wiecie, tak współcześni nazywali wielkiego angielskiego matematyka Godfreya Harolda Hardy’ego), który wraz ze swoim przyjacielem Johnem Littlewoodem zasłynął z pracy nad teorią liczb (zwłaszcza w zakresie przybliżeń diofantycznych) i teorii funkcji (gdzie przyjaciele zasłynęli z badania nierówności). Jak wiecie, Hardy był oficjalnie kawalerem, choć wielokrotnie zapewniał, że jest „zaręczony z królową naszego świata”. Koledzy naukowcy nieraz słyszeli, jak rozmawia z kimś w swoim biurze; nikt nigdy nie widział jego rozmówcy, choć jego głos – metaliczny i lekko skrzypiący – od dawna był tematem rozmów miasta na Uniwersytecie Oksfordzkim, gdzie pracował w ostatnich latach. W listopadzie 1947 roku te rozmowy ustają, a 1 grudnia 1947 roku Hardy zostaje znaleziony na miejskim wysypisku śmieci z kulą w brzuchu. Wersję samobójstwa potwierdza także notatka, w której ręka Hardy’ego napisała: „Janie, ukradłeś mi królową, nie winię cię, ale nie mogę już bez niej żyć”.

Czy ta historia ma związek z liczbą Pi? Nadal nie jest to jasne, ale czy nie jest to interesujące? +

Czy ta historia ma związek z liczbą Pi? Nadal nie jest to jasne, ale czy nie jest to interesujące?
Ogólnie rzecz biorąc, podobnych historii można zebrać wiele i oczywiście nie wszystkie są tragiczne.
Przejdźmy jednak do „po drugie”: jak liczba może być w ogóle rozsądna? Tak, bardzo proste. Mózg człowieka zawiera 100 miliardów neuronów, liczba miejsc po przecinku Pi dąży do nieskończoności, generalnie według kryteriów formalnych może to być rozsądne. Ale jeśli wierzyć pracy amerykańskiego fizyka Davida Baileya i kanadyjskich matematyków Petera

Borwina i Simona Ploofe’a ciąg miejsc dziesiętnych liczby Pi podlega teorii chaosu; z grubsza rzecz biorąc, liczba Pi jest chaosem w swojej pierwotnej formie. Czy chaos może być inteligentny? Z pewnością! Podobnie jak próżnia, mimo swojej pozornej pustki, jak wiadomo, wcale nie jest pusta.

Co więcej, jeśli chcesz, możesz przedstawić ten chaos graficznie - aby upewnić się, że jest to rozsądne. W 1965 roku amerykański matematyk polskiego pochodzenia Stanisław M. Ulam (to on wpadł na kluczowy pomysł konstrukcji bomby termojądrowej), uczestnicząc w jednym bardzo długim i bardzo nudnym (jego zdaniem) spotkaniu, w aby jakoś się zabawić, zaczął pisać liczby na papierze w kratkę, zawarte w liczbie Pi.

Umieszczając 3 na środku i poruszając się po spirali w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, zapisał 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 i inne liczby po przecinku. Bez chwili namysłu jednocześnie zakreślił czarnymi kółkami wszystkie liczby pierwsze. Wkrótce, ku jego zaskoczeniu, koła z niesamowitą wytrzymałością zaczęły układać się w linie proste - to, co się stało, było bardzo podobne do czegoś rozsądnego. Zwłaszcza po tym, jak Ulam wygenerował kolorowy obraz na podstawie tego rysunku za pomocą specjalnego algorytmu.

W rzeczywistości ten obraz, który można porównać zarówno z mózgiem, jak i mgławicą gwiezdną, można śmiało nazwać „mózgiem Pi”. W przybliżeniu za pomocą takiej struktury liczba ta (jedyna rozsądna liczba we wszechświecie) kontroluje nasz świat. Ale w jaki sposób odbywa się ta kontrola? Z reguły za pomocą niepisanych praw fizyki, chemii, fizjologii, astronomii, które są kontrolowane i regulowane przez rozsądną liczbę. Powyższe przykłady pokazują, że inteligentna liczba także jest celowo personifikowana, komunikując się z naukowcami jako swego rodzaju superosobowość. Ale jeśli tak, czy liczba Pi pojawiła się w naszym świecie pod postacią zwykłego człowieka?

Skomplikowany problem. Może przyszło, może nie, nie ma wiarygodnej metody na określenie tego i nie może być, ale jeśli ta liczba jest w każdym przypadku określona sama przez się, to możemy przyjąć, że przyszła do naszego świata jako osoba na dzień odpowiadający jego znaczeniu. Oczywiście idealną datą urodzin Pi jest 14 marca 1592 r. (3,141592), jednak niestety nie ma wiarygodnych statystyk na ten rok – wiemy jedynie, że to właśnie w tym roku, 14 marca, George Villiers Buckingham, książę Buckingham z „Trzech muszkieterów”. Był znakomitym szermierzem, wiedział dużo o koniach i sokolnictwie – ale czy był Pi? Ledwie. Duncan MacLeod, urodzony 14 marca 1592 roku w górach Szkocji, mógłby idealnie rościć sobie prawo do roli ludzkiego ucieleśnienia liczby Pi – gdyby był prawdziwą osobą.

Ale rok (1592) można wyznaczyć według własnego, bardziej logicznego kalendarza Pi. Jeśli przyjmiemy to założenie, to kandydatów do roli Pi.+ jest znacznie więcej

Najbardziej oczywistym z nich jest Albert Einstein, urodzony 14 marca 1879 roku. Ale rok 1879 to rok 1592 w porównaniu z rokiem 287 p.n.e.! Dlaczego dokładnie 287? Tak, bo to właśnie w tym roku urodził się Archimedes, który po raz pierwszy na świecie obliczył liczbę Pi jako stosunek obwodu do średnicy i udowodnił, że jest ona taka sama dla każdego koła!

Zbieg okoliczności? Ale czy nie ma tu zbyt wielu zbiegów okoliczności, nie sądzisz?

Nie jest jasne, w jakiej osobowości Pi jest dziś uosobione, ale aby zobaczyć znaczenie tej liczby dla naszego świata, nie trzeba być matematykiem: Pi objawia się we wszystkim, co nas otacza. A to, nawiasem mówiąc, jest bardzo typowe dla każdej inteligentnej istoty, którą bez wątpienia jest Pi!

NUMER P – stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą i niezależną od wielkości okręgu. Liczbę wyrażającą tę zależność oznacza się zazwyczaj grecką literą 241 (od „perijereia” – okrąg, peryferia). Zapis ten wszedł do użytku wraz z pracą Leonharda Eulera w 1736 r., ale po raz pierwszy został użyty przez Williama Jonesa (1675–1749) w 1706 r. Jak każda liczba niewymierna, jest ona reprezentowana przez nieskończony nieokresowy ułamek dziesiętny:

P= 3,141592653589793238462643... Potrzeby praktycznych obliczeń związanych z okręgami i ciałami okrągłymi zmusiły nas już w starożytności do poszukiwania 241 przybliżeń wykorzystujących liczby wymierne. Informację, że okrąg jest dokładnie trzy razy dłuższy od średnicy, można znaleźć na tabliczkach klinowych starożytnej Mezopotamii. Ta sama wartość liczbowa P znajduje się również w tekście Biblii: „I sporządził morze odlane z miedzi, mające dziesięć łokci od jednego końca do drugiego, całkowicie okrągłe, a wysokie na pięć łokci, a otaczało je sznur trzydziestu łokci” (1 Królów 7:23). ). Starożytni Chińczycy wierzyli w to samo. Ale już w 2 tysiącach pne. starożytni Egipcjanie używali bardziej precyzyjnej wartości liczby 241, którą uzyskuje się ze wzoru na pole średnicy koła D:

Reguła ta z 50. problemu papirusu Rhinda odpowiada wartości 4(8/9) 2 » 3,1605. Papirus Rhinda, odnaleziony w 1858 roku, nosi imię swojego pierwszego właściciela, został przepisany przez skrybę Ahmesa około 1650 roku p.n.e., autor oryginału nieznany, ustalono jedynie, że tekst powstał w drugiej połowie w. 19 wiek. PNE. Chociaż z kontekstu nie jest jasne, w jaki sposób Egipcjanie otrzymali samą formułę. W tak zwanym papirusie moskiewskim, który został skopiowany przez pewnego ucznia między 1800 a 1600 rokiem p.n.e. ze starszego tekstu, około 1900 roku p.n.e., pojawia się kolejny ciekawy problem dotyczący obliczania powierzchni kosza „z otworem 4½”. Nie wiadomo, jaki kształt miał kosz, ale wszyscy badacze są zgodni, że tutaj chodzi o liczbę P przyjmuje się tę samą przybliżoną wartość 4(8/9) 2.

Aby zrozumieć, w jaki sposób starożytni naukowcy uzyskali ten lub inny wynik, musisz spróbować rozwiązać problem, korzystając wyłącznie z wiedzy i technik obliczeniowych tamtych czasów. Tak właśnie postępują badacze tekstów starożytnych, jednak rozwiązania, które udaje im się znaleźć, niekoniecznie są „takie same”. Bardzo często dla jednego problemu proponowanych jest kilka opcji rozwiązania, każdy może wybrać według własnego uznania, ale nikt nie może twierdzić, że było to rozwiązanie stosowane w starożytności. Jeśli chodzi o pole koła, hipoteza A.E. Raika, autora licznych książek z historii matematyki, wydaje się wiarygodna: pole koła to średnica D porównuje się z obszarem opisanego wokół niego kwadratu, z którego usuwane są kolejno małe kwadraty o bokach i (ryc. 1). W naszym zapisie obliczenia będą wyglądać następująco: w pierwszym przybliżeniu pole koła S równa różnicy między polem kwadratu a jego bokiem D i łączna powierzchnia czterech małych kwadratów A z boku D:

Hipotezę tę potwierdzają podobne obliczenia w jednym z problemów papirusu moskiewskiego, w którym proponuje się liczyć

Od VI wieku PNE. matematyka rozwinęła się szybko w starożytnej Grecji. To starożytni greccy geometrzy ściśle udowodnili, że obwód koła jest proporcjonalny do jego średnicy ( l = 2P R; R– promień okręgu, ja – jego długość), a pole koła jest równe połowie iloczynu obwodu i promienia:

S = ½ l R = P R 2 .

Dowody te przypisuje się Eudoksosowi z Knidos i Archimedesowi.

W III wieku. PNE. Archimedes w swoim eseju O mierzeniu koła obliczył obwody wielokątów foremnych wpisanych w okrąg i opisanych na nim (ryc. 2) - od 6- do 96-kąta. W ten sposób ustalił, że liczba P wynosi od 3 10/71 do 3 1/7, tj. 3.14084< P < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (P„3.14166) odkrył słynny astronom, twórca trygonometrii Klaudiusz Ptolemeusz (II wiek), ale nie wszedł do użytku.

Wierzyli w to Hindusi i Arabowie P= . Znaczenie to nadaje także indyjski matematyk Brahmagupta (598 - ok. 660). W Chinach naukowcy w III wieku. zastosował wartość 3 7/50, czyli gorszą od przybliżenia Archimedesa, ale w drugiej połowie V wieku. Zu Chun Zhi (ok. 430 – ok. 501) otrzymał za P przybliżenie 355/113 ( P„3.1415927). Pozostało nieznane Europejczykom i zostało ponownie odkryte przez holenderskiego matematyka Adriana Antonisa dopiero w 1585 roku. Przybliżenie to powoduje błąd wynoszący tylko siódme miejsce po przecinku.

Poszukiwanie dokładniejszego przybliżenia P kontynuowane w przyszłości. Na przykład al-Kashi (pierwsza połowa XV wieku) w Traktat o Kręgu(1427) obliczył 17 miejsc po przecinku P. W Europie to samo znaczenie znaleziono w 1597 r. Aby to zrobić, musiał obliczyć bok zwykłego 800 335 168-kątów. Holenderski naukowiec Ludolf Van Zeijlen (1540–1610) znalazł dla niej 32 prawidłowe miejsca po przecinku (opublikowane pośmiertnie w 1615 r.), co jest przybliżeniem zwanym liczbą Ludolfa.

Numer P pojawia się nie tylko przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych. Od czasów F. Viety (1540–1603) poszukiwanie granic pewnych ciągów arytmetycznych zestawianych według prostych praw doprowadziło do tej samej liczby P. W związku z tym przy ustalaniu liczby P Wzięli w nim udział prawie wszyscy znani matematycy: F. Viet, H. Huygens, J. Wallis, G. W. Leibniz, L. Euler. Otrzymali różne wyrażenia na 241 w postaci iloczynu nieskończonego, sumy szeregu, ułamka nieskończonego.

Na przykład w 1593 r. F. Viet (1540–1603) wyprowadził wzór

W 1658 r. Anglik William Brounker (1620–1684) znalazł przedstawienie liczby P jako nieskończony ułamek ciągły

nie wiadomo jednak, w jaki sposób doszedł do tego wyniku.

Udowodnił to w 1665 roku John Wallis (1616–1703).

Ta formuła nosi jego imię. Jest mało przydatny do praktycznego wyznaczania liczby 241, ale jest przydatny w różnych dyskusjach teoretycznych. Przeszedł do historii nauki jako jeden z pierwszych przykładów niekończących się dzieł.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) w 1673 r. ustalił następującą formułę:

wyrażanie liczby P/4 jako suma szeregu. Jednakże szereg ten zbiega się bardzo powoli. Liczyć P z dokładnością do dziesięciu cyfr, należałoby, jak pokazał Izaak Newton, znaleźć sumę 5 miliardów liczb i spędzić nad tym około tysiąca lat ciągłej pracy.

Londyński matematyk John Machin (1680–1751) w 1706 r., stosując wzór

mam wyrażenie

który nadal jest uważany za jeden z najlepszych do obliczeń przybliżonych P. Aby znaleźć dokładnie te same dziesięć miejsc po przecinku, wystarczy kilka godzin ręcznego liczenia. Obliczył to sam John Machin P ze 100 poprawnymi znakami.

Używanie tej samej serii dla arctg X i formuły

wartość liczbowa P uzyskano na komputerze z dokładnością do stu tysięcy miejsc po przecinku. Ten rodzaj obliczeń jest interesujący w związku z koncepcją liczb losowych i pseudolosowych. Przetwarzanie statystyczne uporządkowanego zbioru określonej liczby znaków P pokazuje, że ma wiele cech sekwencji losowej.

Istnieje kilka zabawnych sposobów zapamiętywania liczb P dokładniejszy niż tylko 3.14. Na przykład, poznawszy następujący czterowiersz, możesz z łatwością wymienić siedem miejsc po przecinku P:

Musisz po prostu spróbować

I pamiętaj wszystko tak, jak jest:

Trzy, czternaście, piętnaście,

Dziewięćdziesiąt dwa i sześć.

(S. Bobrow Magiczny dwurożec)

Zliczenie liczby liter w każdym słowie poniższych wyrażeń również daje wartość liczby P:

„Co wiem o kręgach?” ( P„3.1416). To powiedzenie zaproponował Ya.I. Perelman.

„Więc znam liczbę zwaną Pi. - Dobrze zrobiony!" ( P„3.1415927).

„Naucz się i poznaj liczbę kryjącą się za liczbą, jak zauważyć szczęście” ( P„3.14159265359).

Nauczyciel w jednej z moskiewskich szkół wymyślił zdanie: „Wiem to i doskonale pamiętam”, a jego uczeń ułożył zabawną kontynuację: „I wiele znaków jest mi niepotrzebnych, na próżno”. Ten dwuwiersz umożliwia zdefiniowanie 12 cyfr.

Tak wygląda liczba 101 P bez zaokrągleń

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

W dzisiejszych czasach za pomocą komputera znaczenie liczby P obliczane z milionów poprawnych cyfr, ale taka precyzja nie jest potrzebna w żadnych obliczeniach. Ale możliwość analitycznego określenia liczby ,

W ostatnim wzorze licznik zawiera wszystkie liczby pierwsze, a mianowniki różnią się od nich o jeden, a mianownik jest większy od licznika, jeśli ma postać 4 N+ 1 i mniej w przeciwnym razie.

Choć od końca XVI w., tj. Odkąd powstały pojęcia liczb wymiernych i niewymiernych, wielu naukowców było o tym przekonanych P- liczba niewymierna, ale dopiero w 1766 r. niemiecki matematyk Johann Heinrich Lambert (1728–1777), opierając się na odkrytej przez Eulera relacji między funkcjami wykładniczymi i trygonometrycznymi, ściśle to udowodnił. Numer P nie można przedstawić w postaci ułamka prostego, niezależnie od tego, jak duży jest licznik i mianownik.

W 1882 roku profesor uniwersytetu monachijskiego Carl Louise Ferdinand Lindemann (1852–1939), korzystając z wyników uzyskanych przez francuskiego matematyka C. Hermite’a, udowodnił, że P– liczba przestępna, tj. nie jest pierwiastkiem żadnego równania algebraicznego za n x n + za n– 1 xn– 1 + … + za 1 x+a 0 = 0 ze współczynnikami całkowitymi. Dowód ten położył kres historii starożytnego matematycznego problemu kwadratury koła. Przez tysiąclecia problem ten opierał się wysiłkom matematyków, a wyrażenie „kwadrat koła” stało się synonimem problemu nierozwiązywalnego. I cała sprawa okazała się transcendentalna natura liczby P.

Na pamiątkę tego odkrycia w sali przed audytorium matematycznym Uniwersytetu w Monachium ustawiono popiersie Lindemanna. Na cokole pod jego imieniem znajduje się okrąg przecięty kwadratem o równej powierzchni, wewnątrz którego wpisana jest litera P.

Marina Fedosowa

Liczba Pi" jest liczbą przestępną, czyli mówiąc najprościej, nie może być pierwiastkiem jakiegoś wielomianu o współczynnikach całkowitych. Można ją oznaczyć jako liczbę rzeczywistą lub liczbę pośrednią, która nie jest algebraiczna.

Liczba „Pi” to 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510...

Liczba Pi" można skorelować z liczbą ułamkową 22/7, tzw. symbolem „potrójnej oktawy”. Starożytni greccy kapłani znali tę liczbę. Ponadto nawet zwykli mieszkańcy mogliby go używać do rozwiązywania wszelkich codziennych problemów, a także wykorzystywać go do projektowania tak skomplikowanych konstrukcji, jak grobowce.
Według naukowca i badacza Hayensa podobną liczbę można prześledzić wśród ruin Stonehenge, a także znaleźć w meksykańskich piramidach.

Liczba Pi" Ahmes, znany wówczas inżynier, o którym wspominał w swoich pismach. Próbował to obliczyć jak najdokładniej, mierząc średnicę koła za pomocą narysowanych w nim kwadratów. Prawdopodobnie w pewnym sensie liczba ta miała dla starożytnych jakieś mistyczne, święte znaczenie.

Liczba Pi" jest zasadniczo najbardziej tajemniczym symbolem matematycznym. Można go sklasyfikować jako delta, omega itp. Reprezentuje relację, która okaże się dokładnie taka sama, niezależnie od tego, gdzie obserwator będzie się znajdował we wszechświecie. Ponadto nie ulegnie zmianie w stosunku do obiektu pomiaru.

Najprawdopodobniej pierwszą osobą, która zdecydowała się obliczyć liczbę „Pi” metodą matematyczną, jest Archimedes. Postanowił narysować regularne wielokąty w okręgu. Przyjmując, że średnica koła wynosi jeden, uczony wyznaczył obwód wielokąta narysowanego na okręgu, traktując obwód wielokąta wpisanego jako górny szacunek, a dolny szacunek obwodu

Jaka jest liczba „Pi”

***

Co mają wspólnego koło Łada Priora, obrączka i spodek Twojego kota? Oczywiście powiesz piękno i styl, ale ośmielam się z tobą kłócić. Liczba Pi! To liczba, która jednoczy wszystkie koła, koła i okrągłości, do których w szczególności należy pierścionek mojej mamy, koło od ulubionego samochodu mojego ojca, a nawet spodek mojego ulubionego kota Murzika. Mogę się założyć, że w rankingu najpopularniejszych stałych fizycznych i matematycznych Pi niewątpliwie zajmie pierwsze miejsce. Ale co się za tym kryje? Może jakieś straszne przekleństwa rzucone przez matematyków? Spróbujmy zrozumieć to zagadnienie.

Co to jest liczba „Pi” i skąd się wzięła?

Nowoczesne oznaczenie numeru π (Liczba Pi) pojawił się dzięki angielskiemu matematykowi Johnsonowi w 1706 roku. To jest pierwsza litera greckiego słowa περιφέρεια (obwód lub okrąg). Tym, którzy dawno temu zajmowali się matematyką, zresztą wcale nie przypominamy, że liczba Pi to stosunek obwodu koła do jego średnicy. Wartość jest stała, to znaczy stała dla każdego okręgu, niezależnie od jego promienia. Ludzie wiedzieli o tym już w starożytności. I tak w starożytnym Egipcie liczbę Pi przyjmowano jako równą stosunkowi 256/81, a w tekstach wedyjskich wartość tę podaje się jako 339/108, zaś Archimedes proponował stosunek 22/7. Ale ani te, ani wiele innych sposobów wyrażania liczby Pi nie dało dokładnego wyniku.

Okazało się, że liczba Pi jest transcendentalna i odpowiednio irracjonalna. Oznacza to, że nie można go przedstawić w postaci ułamka prostego. Jeśli wyrazimy to w postaci dziesiętnej, wówczas ciąg cyfr po przecinku będzie pędził do nieskończoności, a ponadto nie będzie się okresowo powtarzał. Co to wszystko znaczy? Bardzo prosta. Chcesz poznać numer telefonu dziewczyny, która Ci się podoba? Prawdopodobnie można go znaleźć w ciągu cyfr po przecinku liczby Pi.

Numer telefonu możesz zobaczyć tutaj ↓

Liczba Pi z dokładnością do 10 000 cyfr.

π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Nie znalazłeś? Potem spójrz.

Generalnie może to być nie tylko numer telefonu, ale dowolna informacja zakodowana za pomocą cyfr. Na przykład, jeśli wyobrazisz sobie wszystkie dzieła Aleksandra Siergiejewicza Puszkina w formie cyfrowej, wówczas zostały one zapisane w liczbie Pi jeszcze zanim je napisał, jeszcze zanim się urodził. W zasadzie nadal są tam przechowywane. Nawiasem mówiąc, przekleństwa matematyków w π są także obecni, i to nie tylko matematycy. Jednym słowem liczba Pi zawiera wszystko, nawet myśli, które odwiedzą Twoją bystrą głowę jutro, pojutrze, za rok, a może za dwa. Bardzo trudno w to uwierzyć, ale nawet jeśli sobie wyobrazimy, że w to wierzymy, jeszcze trudniej będzie wydobyć z tego informacje i je rozszyfrować. Więc zamiast zagłębiać się w te liczby, może łatwiej będzie podejść do dziewczyny, którą lubisz i zapytać ją o numer?.. Ale dla tych, którzy nie szukają łatwych sposobów, lub po prostu interesują się liczbą Pi, proponuję kilka sposobów obliczenia. Uznaj to za zdrowe.

Ile wynosi Pi? Metody jego obliczania:

1. Metoda eksperymentalna. Jeśli liczba Pi jest stosunkiem obwodu koła do jego średnicy, to pierwszym, być może najbardziej oczywistym sposobem znalezienia naszej tajemniczej stałej będzie ręczne wykonanie wszystkich pomiarów i obliczenie liczby Pi ze wzoru π=l /D. Gdzie l jest obwodem koła, a d jest jego średnicą. Wszystko jest bardzo proste, wystarczy uzbroić się w nić do określenia obwodu, linijkę do obliczenia średnicy, a właściwie długość samej nitki i kalkulator, jeśli masz problemy z długim dzieleniem. Rolą mierzonej próbki może być rondel lub słoik ogórków, nie ma to znaczenia, najważniejsze jest? tak aby u podstawy powstał okrąg.

Rozważana metoda obliczeń jest najprostsza, ale niestety ma dwie istotne wady, które wpływają na dokładność wynikowej liczby Pi. Po pierwsze, błąd przyrządów pomiarowych (w naszym przypadku linijki z gwintem), po drugie, nie ma gwarancji, że mierzone przez nas koło będzie miało prawidłowy kształt. Nic więc dziwnego, że matematyka udostępniła nam wiele innych metod obliczania π, gdzie nie ma potrzeby dokonywania precyzyjnych pomiarów.

2. Szereg Leibniza. Istnieje kilka nieskończonych szeregów, które pozwalają dokładnie obliczyć Pi z dużą liczbą miejsc po przecinku. Jednym z najprostszych szeregów jest szereg Leibniza. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
To proste: bierzemy ułamki zwykłe mające w liczniku 4 (to jest na górze) i jedną liczbę z ciągu liczb nieparzystych w mianowniku (to jest poniżej), kolejno je dodajemy i odejmujemy i otrzymujemy liczbę Pi . Im więcej iteracji lub powtórzeń naszych prostych działań, tym dokładniejszy wynik. Proste, ale nieskuteczne; nawiasem mówiąc, uzyskanie dokładnej wartości Pi z dokładnością do dziesięciu miejsc po przecinku wymaga 500 000 iteracji. Oznacza to, że będziemy musieli podzielić nieszczęsną czwórkę aż 500 000 razy, a dodatkowo otrzymane wyniki będziemy musieli odjąć i dodać 500 000 razy. Chcieć spróbować?

3. Szereg Nilakanty. Nie masz czasu majstrować przy serii Leibniza? Istnieje alternatywa. Seria Nilakanta, choć jest nieco bardziej skomplikowana, pozwala nam szybko uzyskać pożądany efekt. π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14) ... Myślę, że jeśli uważnie przyjrzeć się podanemu początkowemu fragmentowi serii, wszystko staje się jasne i niepotrzebne są komentarze. Przejdźmy z tym dalej.

4. Metoda Monte Carlo Dość interesującą metodą obliczania Pi jest metoda Monte Carlo. Otrzymał tak ekstrawagancką nazwę na cześć miasta o tej samej nazwie w królestwie Monako. A powodem tego jest zbieg okoliczności. Nie, nazwa nie została nadana przypadkowo, metoda opiera się po prostu na liczbach losowych, a co może być bardziej losowego niż liczby pojawiające się na stołach do ruletki w kasynie Monte Carlo? Obliczanie liczby Pi nie jest jedynym zastosowaniem tej metody, w latach pięćdziesiątych zaczęto ją stosować w obliczeniach bomby wodorowej. Ale nie dajmy się rozpraszać.

Weź kwadrat o boku równym 2r i wpisz okrąg o promieniu R. Teraz, jeśli losowo umieścisz kropki w kwadracie, to prawdopodobieństwo P To, że punkt wpada w okrąg, jest stosunkiem pól koła i kwadratu. P=S kr /S kv =2πr 2 /(2r) 2 =π/4.

Teraz wyrażmy stąd liczbę Pi π=4P. Pozostaje tylko uzyskać dane eksperymentalne i znaleźć prawdopodobieństwo P jako stosunek trafień w okręgu N kr do uderzenia w kwadrat N kw.. Ogólnie wzór obliczeniowy będzie wyglądał następująco: π=4N cr / N kwadrat.

Pragnę zauważyć, że aby wdrożyć tę metodę, nie trzeba iść do kasyna, wystarczy posługiwać się jakimkolwiek mniej lub bardziej przyzwoitym językiem programowania. Cóż, dokładność uzyskanych wyników będzie zależeć od liczby umieszczonych punktów, odpowiednio im więcej, tym dokładniej. Życzę powodzenia 😉

Liczba Tau (Zamiast podsumowania).

Osoby dalekie od matematyki najprawdopodobniej nie wiedzą, ale tak się składa, że ​​liczba Pi ma brata, który jest dwukrotnie większy. Jest to liczba Tau(τ), a jeśli Pi jest stosunkiem obwodu do średnicy, to Tau jest stosunkiem tej długości do promienia. A dziś niektórzy matematycy proponują porzucenie liczby Pi i zastąpienie jej liczbą Tau, ponieważ jest to pod wieloma względami wygodniejsze. Ale na razie to tylko propozycje i jak powiedział Lew Dawidowicz Landau: „Nowa teoria zaczyna dominować, gdy wymrą zwolennicy starej”.