Funkcje irracjonalne. Graficzna metoda rozwiązywania równań niewymiernych

Niniejszy materiał dydaktyczny ma wyłącznie charakter informacyjny i dotyczy szerokiego zakresu tematów. W artykule dokonano przeglądu wykresów podstawowych funkcji elementarnych i poruszono najważniejsze zagadnienie – jak poprawnie i SZYBKO zbudować wykres. W trakcie studiowania matematyki wyższej bez znajomości wykresów podstawowych funkcji elementarnych będzie to trudne, dlatego bardzo ważne jest, aby pamiętać, jak wyglądają wykresy paraboli, hiperboli, sinusa, cosinusa itp. i zapamiętać kilka znaczenia funkcji. Porozmawiamy również o niektórych właściwościach głównych funkcji.

Nie twierdzę o kompletności i naukowej dokładności materiałów; nacisk zostanie położony przede wszystkim na praktykę – czyli na to, z czym spotykamy się dosłownie na każdym kroku, w każdym temacie wyższej matematyki. Wykresy dla manekinów? Można tak powiedzieć.

W związku z licznymi prośbami czytelników klikalny spis treści:

Ponadto znajduje się tam bardzo krótkie streszczenie tematu
– opanuj 16 typów wykresów, studiując SZEŚĆ stron!

Poważnie, sześć, nawet ja byłem zaskoczony. To podsumowanie zawiera ulepszoną grafikę i jest dostępne za symboliczną opłatą; można obejrzeć wersję demonstracyjną. Wygodnie jest wydrukować plik, aby wykresy były zawsze pod ręką. Dziękujemy za wsparcie projektu!

I zacznijmy od razu:

Jak poprawnie skonstruować osie współrzędnych?

W praktyce testy prawie zawsze studenci rozwiązują w osobnych zeszytach, wyłożonych w kwadrat. Dlaczego potrzebujesz oznaczeń w kratkę? Przecież pracę w zasadzie można wykonać na kartkach A4. A klatka jest niezbędna tylko do wysokiej jakości i dokładnego projektowania rysunków.

Każdy rysunek wykresu funkcji zaczyna się od osi współrzędnych.

Rysunki mogą być dwuwymiarowe lub trójwymiarowe.

Rozważmy najpierw przypadek dwuwymiarowy Kartezjański prostokątny układ współrzędnych:

1) Narysuj osie współrzędnych. Oś nazywa się oś x , a oś jest oś y . Zawsze staramy się je narysować schludne i nie krzywe. Strzałki nie powinny również przypominać brody Papy Carlo.

2) Osie podpisujemy dużymi literami „X” i „Y”. Nie zapomnij o oznakowaniu osi.

3) Ustaw skalę wzdłuż osi: narysuj zero i dwie jedynki. Podczas rysowania najwygodniejszą i najczęściej stosowaną skalą jest: 1 jednostka = 2 komórki (rysunek po lewej stronie) - jeśli to możliwe, trzymaj się jej. Czasem jednak zdarza się, że rysunek nie mieści się na kartce zeszytu – wówczas zmniejszamy skalę: 1 jednostka = 1 komórka (rysunek po prawej). Rzadko się to zdarza, ale zdarza się, że trzeba jeszcze bardziej zmniejszyć (lub zwiększyć) skalę rysunku

NIE MA POTRZEBY „karabinu maszynowego”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Bo układ współrzędnych nie jest pomnikiem Kartezjusza, a uczeń nie jest gołębicą. Kładziemy zero I dwie jednostki wzdłuż osi. Czasami zamiast jednostek, wygodnie jest „zaznaczyć” inne wartości, na przykład „dwa” na osi odciętych i „trzy” na osi rzędnych - a ten układ (0, 2 i 3) również jednoznacznie zdefiniuje siatkę współrzędnych.

Lepiej oszacować szacunkowe wymiary rysunku PRZED narysowaniem rysunku.. Jeśli więc np. zadanie wymaga narysowania trójkąta o wierzchołkach , , , to jest całkowicie jasne, że popularna skala 1 jednostka = 2 komórki nie sprawdzi się. Dlaczego? Spójrzmy na punkt - tutaj będziesz musiał zmierzyć piętnaście centymetrów w dół i oczywiście rysunek nie zmieści się (lub ledwo zmieści się) na kartce zeszytu. Dlatego od razu wybieramy mniejszą skalę: 1 jednostka = 1 komórka.

Nawiasem mówiąc, o centymetrach i komórkach notebooka. Czy to prawda, że ​​30 komórek notesu zawiera 15 centymetrów? Dla zabawy zmierz w zeszycie 15 centymetrów za pomocą linijki. W ZSRR mogło to być prawdą... Warto zauważyć, że jeśli zmierzysz te same centymetry w poziomie i w pionie, wyniki (w komórkach) będą inne! Ściśle mówiąc, nowoczesne notatniki nie są w kratkę, ale prostokątne. Może się to wydawać bzdurą, ale narysowanie np. koła za pomocą kompasu w takich sytuacjach jest bardzo niewygodne. Szczerze mówiąc, w takich momentach zaczyna się myśleć o słuszności towarzysza Stalina, którego zesłano do obozów za prace hakerskie na produkcji, nie mówiąc już o krajowym przemyśle samochodowym, spadających samolotach czy eksplodujących elektrowniach.

Skoro mowa o jakości, czyli krótka rekomendacja dotycząca artykułów piśmiennych. Dziś większość notebooków w sprzedaży to, delikatnie mówiąc, kompletna bzdura. Z tego powodu, że zamoczą się, i to nie tylko od długopisów żelowych, ale także od długopisów! Oszczędzają pieniądze na papierze. Do ukończenia testów polecam zeszyty z Zakładu Celulozowo-Papierniczego w Archangielsku (18 arkuszy, kwadrat) lub „Piaterochka”, chociaż jest droższy. Warto wybrać długopis żelowy, nawet najtańszy chiński wkład żelowy jest o wiele lepszy od długopisu, który rozmazuje lub podrze papier. Jedyny „konkurencyjny” długopis, jaki pamiętam, to Erich Krause. Pisze wyraźnie, pięknie i konsekwentnie – czy to z pełnym rdzeniem, czy z prawie pustym.

Dodatkowo: W artykule omówiono wizję prostokątnego układu współrzędnych oczami geometrii analitycznej Liniowa (nie)zależność wektorów. Baza wektorów, szczegółowe informacje na temat ćwiartek współrzędnych znajdziesz w drugim akapicie lekcji Nierówności liniowe.

Obudowa 3D

Tutaj jest prawie tak samo.

1) Narysuj osie współrzędnych. Standard: zastosowanie osi – skierowana w górę, oś – skierowana w prawo, oś – skierowana w dół w lewo rygorystycznie pod kątem 45 stopni.

2) Oznacz osie.

3) Ustaw skalę wzdłuż osi. Skala wzdłuż osi jest dwukrotnie mniejsza niż skala wzdłuż pozostałych osi. Zwróć też uwagę, że na prawym rysunku zastosowałem niestandardowe „wycięcie” wzdłuż osi (ta możliwość została już wspomniana powyżej). Z mojego punktu widzenia jest to dokładniejsze, szybsze i bardziej estetyczne - nie trzeba szukać środka komórki pod mikroskopem i „rzeźbić” jednostki blisko początku współrzędnych.

Podczas tworzenia rysunku 3D ponownie nadaj priorytet skali
1 jednostka = 2 komórki (rysunek po lewej).

Po co te wszystkie zasady? Zasady są po to, żeby je łamać. To właśnie teraz zrobię. Faktem jest, że kolejne rysunki artykułu będą wykonane przeze mnie w Excelu, a osie współrzędnych będą wyglądać niepoprawnie z punktu widzenia prawidłowego projektowania. Mógłbym narysować wszystkie wykresy ręcznie, ale tak naprawdę jest to przerażające, ponieważ Excel nie chce rysować ich znacznie dokładniej.

Wykresy i podstawowe własności funkcji elementarnych

Funkcja liniowa jest dana równaniem. Wykres funkcji liniowych to bezpośredni. Aby zbudować linię prostą wystarczy znać dwa punkty.

Przykład 1

Zbuduj wykres funkcji. Znajdźmy dwa punkty. Korzystne jest wybranie zera jako jednego z punktów.

Jeśli następnie

Weźmy inny punkt, na przykład 1.

Jeśli następnie

Podczas wykonywania zadań współrzędne punktów są zwykle podsumowywane w tabeli:

A same wartości są obliczane ustnie lub na szkicu, kalkulatorze.

Znaleziono dwa punkty, zróbmy rysunek:

Przygotowując rysunek zawsze podpisujemy grafikę.

Przydałoby się przypomnieć szczególne przypadki funkcji liniowej:

Zwróć uwagę, jak umieściłem podpisy, podpisy nie powinny dopuszczać rozbieżności podczas studiowania rysunku. W tym przypadku wyjątkowo niepożądane było umieszczenie podpisu obok punktu przecięcia linii lub w prawym dolnym rogu pomiędzy wykresami.

1) Liniową funkcję formy () nazywa się bezpośrednią proporcjonalnością. Na przykład, . Wykres bezpośredniej proporcjonalności zawsze przechodzi przez początek. W ten sposób upraszcza się konstruowanie linii prostej – wystarczy znaleźć tylko jeden punkt.

2) Równanie postaci określa linię prostą równoległą do osi, w szczególności samą oś wyznacza równanie. Wykres funkcji jest kreślony natychmiast, bez znajdowania punktów. Oznacza to, że zapis należy rozumieć w następujący sposób: „y jest zawsze równe –4, dla dowolnej wartości x”.

3) Równanie postaci określa linię prostą równoległą do osi, w szczególności samą oś wyznacza równanie. Wykres funkcji jest również natychmiast wykreślany. Zapis należy rozumieć w następujący sposób: „x jest zawsze, dla dowolnej wartości y, równe 1”.

Niektórzy zapytają, dlaczego pamiętasz 6 klasę?! Tak to jest, może i tak jest, ale przez lata praktyki spotkałem kilkunastu uczniów, którzy byli zaskoczeni zadaniem zbudowania wykresu typu lub.

Konstruowanie linii prostej jest najczęstszą czynnością podczas tworzenia rysunków.

Linię prostą omawiamy szczegółowo w trakcie geometrii analitycznej, a zainteresowanych odsyłam do artykułu Równanie prostej na płaszczyźnie.

Wykres funkcji kwadratowej, sześciennej, wykres wielomianu

Parabola. Wykres funkcji kwadratowej () oznacza parabolę. Rozważmy słynny przypadek:

Przypomnijmy niektóre właściwości funkcji.

A więc rozwiązanie naszego równania: – w tym miejscu znajduje się wierzchołek paraboli. Dlaczego tak jest, można dowiedzieć się z artykułu teoretycznego o pochodnej i lekcji o ekstremach funkcji. W międzyczasie obliczmy odpowiednią wartość „Y”:

Zatem wierzchołek znajduje się w punkcie

Teraz znajdujemy inne punkty, bezczelnie wykorzystując symetrię paraboli. Warto zaznaczyć, że funkcja – nie jest równa, ale mimo to nikt nie anulował symetrii paraboli.

Myślę, że w jakiej kolejności znaleźć pozostałe punkty, będzie jasne od stołu finałowego:

Ten algorytm konstrukcji można w przenośni nazwać „wahadłem” lub zasadą „tam i z powrotem” u Anfisy Czechowej.

Zróbmy rysunek:

Z zbadanych wykresów przychodzi na myśl kolejna przydatna funkcja:

Dla funkcji kwadratowej () prawdą jest, co następuje:

Jeśli , to gałęzie paraboli są skierowane w górę.

Jeśli , to ramiona paraboli są skierowane w dół.

Dogłębną wiedzę na temat krzywej można uzyskać na lekcji Hiperbola i parabola.

Parabola sześcienna jest dana funkcją. Oto rysunek znany ze szkoły:

Wymieńmy główne właściwości funkcji

Wykres funkcji

Reprezentuje jedną z gałęzi paraboli. Zróbmy rysunek:

Główne właściwości funkcji:

W tym przypadku oś jest pionowa asymptota dla wykresu hiperboli w .

Byłoby rażącym błędem, gdybyśmy podczas rysowania nieostrożnie pozwolili na przecięcie wykresu z asymptotą.

Również jednostronne granice mówią nam, że hiperbola nie ograniczone z góry I nie ograniczone od dołu.

Przeanalizujmy funkcję w nieskończoności: , czyli jeśli zaczniemy przesuwać się wzdłuż osi w lewo (lub w prawo) do nieskończoności, to „gry” będą miały uporządkowany krok nieskończenie blisko zbliżają się do zera i odpowiednio do gałęzi hiperboli nieskończenie blisko zbliżyć się do osi.

A więc jest oś asymptota pozioma dla wykresu funkcji, jeśli „x” dąży do plus lub minus nieskończoności.

Funkcja jest dziwne, a zatem hiperbola jest symetryczna względem początku. Fakt ten wynika z rysunku, dodatkowo można go łatwo zweryfikować analitycznie: .

Wykres funkcji postaci () przedstawia dwie gałęzie hiperboli.

Jeśli , to hiperbola znajduje się w pierwszej i trzeciej ćwiartce współrzędnych(patrz zdjęcie powyżej).

Jeśli , to hiperbola znajduje się w drugiej i czwartej ćwiartce współrzędnych.

Wskazany wzór rezydencji hiperboli jest łatwy do analizy z punktu widzenia przekształceń geometrycznych wykresów.

Przykład 3

Skonstruuj prawą gałąź hiperboli

Stosujemy metodę konstrukcji punktowej i korzystne jest dobranie wartości tak, aby były podzielne przez całość:

Zróbmy rysunek:

Skonstruowanie lewej gałęzi hiperboli nie będzie trudne; pomoże w tym osobliwość funkcji. Z grubsza mówiąc, w tabeli konstrukcji punktowej dodajemy w myślach minus do każdej liczby, umieszczamy odpowiednie punkty i rysujemy drugą gałąź.

Szczegółowe informacje geometryczne na temat rozpatrywanej linii można znaleźć w artykule Hiperbola i parabola.

Wykres funkcji wykładniczej

W tej sekcji od razu rozważę funkcję wykładniczą, ponieważ w problemach wyższej matematyki w 95% przypadków pojawia się funkcja wykładnicza.

Przypomnę, że jest to liczba niewymierna: , będzie to wymagane przy konstruowaniu wykresu, który tak naprawdę zbuduję bez ceremonii. Trzy punkty prawdopodobnie wystarczą:

Zostawmy na razie wykres funkcji w spokoju, więcej o tym później.

Główne właściwości funkcji:

Wykresy funkcji itp. wyglądają zasadniczo tak samo.

Muszę powiedzieć, że ten drugi przypadek w praktyce występuje rzadziej, ale jednak występuje, dlatego uznałem za konieczne uwzględnienie go w tym artykule.

Wykres funkcji logarytmicznej

Rozważmy funkcję z logarytmem naturalnym.
Zróbmy rysunek punkt po punkcie:

Jeśli zapomniałeś, czym jest logarytm, zajrzyj do podręczników szkolnych.

Główne właściwości funkcji:

Domena:

Zakres wartości: .

Funkcja nie jest ograniczona od góry: , choć powoli, ale gałąź logarytmu zmierza do nieskończoności.
Zbadajmy zachowanie funkcji w pobliżu zera po prawej stronie: . A więc jest oś pionowa asymptota dla wykresu funkcji, gdy „x” dąży do zera od prawej strony.

Konieczne jest poznanie i zapamiętanie typowej wartości logarytmu: .

W zasadzie wykres logarytmu o podstawie wygląda tak samo: , , (logarytm dziesiętny o podstawie 10) itd. Co więcej, im większa podstawa, tym bardziej płaski będzie wykres.

Nie będziemy się nad tym rozwodzić; nie pamiętam kiedy ostatni raz budowałem wykres na takiej podstawie. Logarytm wydaje się być bardzo rzadkim gościem w problemach wyższej matematyki.

Na koniec tego akapitu powiem jeszcze jeden fakt: Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna– są to dwie wzajemnie odwrotne funkcje. Jeśli przyjrzysz się uważnie wykresowi logarytmu, zobaczysz, że jest to ten sam wykładnik, tylko jest nieco inaczej położony.

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Gdzie w szkole zaczynają się męki trygonometryczne? Prawidłowy. Od sinusa

Narysujmy funkcję

Ta linia nazywa się sinusoida.

Przypomnę, że „pi” jest liczbą niewymierną: , a w trygonometrii sprawia, że ​​oczy olśniewają.

Główne właściwości funkcji:

Ta funkcja jest okresowy z okresem. Co to znaczy? Spójrzmy na segment. Po lewej i prawej stronie powtarza się w nieskończoność dokładnie ten sam fragment wykresu.

Domena: , czyli dla każdej wartości „x” istnieje wartość sinus.

Zakres wartości: . Funkcja jest ograniczony: , czyli wszystkie „gry” mieszczą się ściśle w segmencie .
To się nie zdarza: a ściślej dzieje się, ale te równania nie mają rozwiązania.

„Transformacja wykresów funkcyjnych” – Rozciąganie. Symetria. Utrwalić konstrukcję wykresów funkcji wykorzystując przekształcenia wykresów funkcji elementarnych. Rysowanie wykresów funkcji złożonych. Samodzielna praca Opcja 1 Opcja 2. Przeniesienie równoległe. Do każdego wykresu dopasuj funkcję. Transformacja wykresów funkcji. Przyjrzyjmy się przykładom transformacji i wyjaśnijmy każdy rodzaj transformacji.

„Równanie irracjonalne” - Algorytm rozwiązywania równań. Historia nieuzasadnionych liczb. Który etap rozwiązywania równania prowadzi do pojawienia się dodatkowych pierwiastków. „Lekcja-dyskusja”. Znajdź błąd. Wstęp. „Dzięki równaniom i twierdzeniom rozwiązałem wiele różnych problemów”. Podczas zajęć. W sporze obelgi, wyrzuty i wrogość wobec kolegów z klasy są niedopuszczalne.

„Wykres funkcji” - Jeżeli funkcję liniową podaje się wzorem w postaci y = khx, czyli b = 0, nazywa się to bezpośrednią proporcjonalnością. Jeżeli funkcję liniową dana jest wzorem y = b, czyli k = 0, to jej wykres przechodzi przez punkt o współrzędnych (b; 0) równoległych do osi OX. Funkcjonować. Funkcja liniowa to funkcja, którą można określić wzorem y = kx + b, gdzie x jest zmienną niezależną, a k i b to pewne liczby.

Jak wykreślić funkcję liniową? - Wartość y, przy której x=3. Wzmocnienie pokrywanego materiału. Temat metodologiczny. Skonstruuj wykres funkcji liniowej y=-3x+6. - Wyznacz własności tej funkcji. Sprawdź: Uczeń przy tablicy. Badanie funkcji. Pisemnie z weryfikacją. W ramach programu szkolnego.

„Wykres funkcji Y X” – Przykład 1. Zbudujmy wykres funkcji y=(x - 2)2 w oparciu o wykres funkcji y=x2 (kliknięcie myszką). Aby zobaczyć wykresy, kliknij myszką. Przykład 2. Zbudujmy wykres funkcji y = x2 + 1 na podstawie wykresu funkcji y=x2 (kliknięcie myszką). Wzór paraboli y = x2. Wykres funkcji y=(x - m)2 jest parabolą, której wierzchołek znajduje się w punkcie (m; 0).

„Równania i nierówności nieracjonalne” – Metody rozwiązywania. 3. Wprowadzenie zmiennych pomocniczych. 1. Potęgowanie. Równania niewymierne Metody rozwiązywania. Równania i nierówności irracjonalne. 2. Mnożenie przez wyrażenie sprzężone. 4. Wybór całego kwadratu pod znakiem pierwiastka. 6. Metoda graficzna. Nieracjonalne nierówności.

Wiedza podstawowe funkcje elementarne, ich własności i wykresy nie mniej ważne niż znajomość tabliczki mnożenia. Są jak fundament, wszystko na nich się opiera, wszystko jest z nich zbudowane i wszystko do nich sprowadza się.

W tym artykule wymienimy wszystkie główne funkcje elementarne, przedstawimy ich wykresy i podamy bez wniosków i dowodów własności podstawowych funkcji elementarnych zgodnie ze schematem:

• zachowanie funkcji na granicach dziedziny definicji, asymptoty pionowe (w razie potrzeby patrz artykuł Klasyfikacja punktów nieciągłości funkcji);
• parzyste i nieparzyste;
• przedziały wypukłości (wypukłość w górę) i wklęsłości (wypukłość w dół), punkty przegięcia (w razie potrzeby patrz artykuł wypukłość funkcji, kierunek wypukłości, punkty przegięcia, warunki wypukłości i przegięcia);
• asymptoty ukośne i poziome;
• punkty osobliwe funkcji;
• specjalne właściwości niektórych funkcji (na przykład najmniejszy dodatni okres funkcji trygonometrycznych).

Jeśli jesteś zainteresowany lub, możesz przejść do tych części teorii.

Podstawowe funkcje elementarne są to: funkcja stała (stała), n-ty pierwiastek, funkcja potęgi, funkcja wykładnicza, funkcja logarytmiczna, funkcje trygonometryczne i odwrotne funkcje trygonometryczne.

Nawigacja strony.

Funkcja stała.

Na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych funkcję stałą definiuje się wzorem , gdzie C jest pewną liczbą rzeczywistą. Funkcja stała wiąże każdą wartość rzeczywistą zmiennej niezależnej x z tą samą wartością zmiennej zależnej y - wartością C. Funkcja stała nazywana jest także stałą.

Wykres funkcji stałej jest prostą równoległą do osi x i przechodzącą przez punkt o współrzędnych (0,C). Dla przykładu pokażmy wykresy funkcji stałych y=5, y=-2 i, które na poniższym rysunku odpowiadają odpowiednio liniom czarnym, czerwonym i niebieskim.

Własności funkcji stałej.

• Dziedzina: cały zbiór liczb rzeczywistych.
• Funkcja stała jest parzysta.
• Zakres wartości: zbiór składający się z liczby pojedynczej C.
• Funkcja stała nie jest rosnąca ani malejąca (dlatego jest stała).
• Nie ma sensu mówić o wypukłości i wklęsłości stałej.
• Nie ma asymptot.
• Funkcja przechodzi przez punkt (0,C) płaszczyzny współrzędnych.

Pierwiastek n-tego stopnia.

Rozważmy podstawową funkcję elementarną, która jest dana wzorem , gdzie n jest liczbą naturalną większą niż jeden.

Pierwiastek n-tego stopnia, n jest liczbą parzystą.

Zacznijmy od n-tej funkcji pierwiastkowej dla parzystych wartości wykładnika pierwiastkowego n.

Jako przykład, oto zdjęcie z obrazami wykresów funkcji i , odpowiadają one liniom czarnym, czerwonym i niebieskim.

Wykresy funkcji pierwiastkowych stopnia parzystego mają podobny wygląd dla innych wartości wykładnika.

Własności n-tej funkcji pierwiastkowej dla parzystego n.

Pierwiastek n-tego stopnia, n jest liczbą nieparzystą.

N-ta funkcja pierwiastkowa z nieparzystym wykładnikiem pierwiastkowym n jest zdefiniowana na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Oto na przykład wykresy funkcji i odpowiadają krzywym czarnym, czerwonym i niebieskim.

Dla innych nieparzystych wartości wykładnika pierwiastkowego wykresy funkcji będą miały podobny wygląd.

Własności n-tej funkcji pierwiastkowej dla n nieparzystego.

Funkcja zasilania.

Funkcję potęgi podaje się wzorem w postaci .

Rozważmy postać wykresów funkcji potęgowej i właściwości funkcji potęgowej w zależności od wartości wykładnika.

Zacznijmy od funkcji potęgowej z wykładnikiem całkowitym a. W tym przypadku wygląd wykresów funkcji potęgowych i właściwości funkcji zależą od parzystości lub nieparzystości wykładnika, a także od jego znaku. Dlatego najpierw rozważymy funkcje potęgowe dla nieparzystych dodatnich wartości wykładnika a, następnie dla parzystych wykładników dodatnich, następnie dla nieparzystych wykładników ujemnych, a na koniec dla parzystych ujemnych a.

Własności funkcji potęgowych z wykładnikami ułamkowymi i niewymiernymi (oraz rodzaj wykresów takich funkcji potęgowych) zależą od wartości wykładnika a. Rozważymy je, po pierwsze, dla a od zera do jeden, po drugie, dla większej niż jeden, po trzecie, dla od minus jeden do zera, po czwarte, dla mniejszego niż minus jeden.

Na końcu tej sekcji, dla kompletności, opiszemy funkcję potęgową z wykładnikiem zerowym.

Funkcja potęgowa z nieparzystym wykładnikiem dodatnim.

Rozważmy funkcję potęgową z nieparzystym dodatnim wykładnikiem, to znaczy z a = 1,3,5,....

Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji mocy – linia czarna, – linia niebieska, – linia czerwona, – linia zielona. Dla a=1 mamy funkcja liniowa y=x.

Własności funkcji potęgowej z nieparzystym wykładnikiem dodatnim.

Funkcja potęgowa z wykładnikiem parzystym dodatnim.

Rozważmy funkcję potęgową z wykładnikiem parzystym dodatnim, to znaczy dla a = 2,4,6,....

Jako przykład podajemy wykresy funkcji potęgowych – linia czarna, – linia niebieska, – linia czerwona. Dla a=2 mamy funkcję kwadratową, której wykres to: parabola kwadratowa.

Własności funkcji potęgowej z wykładnikiem parzystym dodatnim.

Funkcja potęgowa z nieparzystym wykładnikiem ujemnym.

Spójrz na wykresy funkcji potęgi dla nieparzystych ujemnych wartości wykładnika, to znaczy dla a = -1, -3, -5,....

Na rysunku przedstawiono przykładowe wykresy funkcji potęgowych - linia czarna, - linia niebieska, - linia czerwona, - linia zielona. Dla a=-1 mamy odwrotna proporcjonalność, którego wykres jest hiperbola.

Własności funkcji potęgowej z nieparzystym wykładnikiem ujemnym.

Funkcja potęgowa z wykładnikiem parzystym ujemnym.

Przejdźmy do funkcji potęgowej w a=-2,-4,-6,….

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji potęgowych – linia czarna, – linia niebieska, – linia czerwona.

Własności funkcji potęgowej z wykładnikiem parzystym ujemnym.

Funkcja potęgowa z wykładnikiem wymiernym lub niewymiernym, którego wartość jest większa od zera i mniejsza od jedności.

Notatka! Jeżeli a jest ułamkiem dodatnim o nieparzystym mianowniku, to niektórzy autorzy za dziedzinę definicji funkcji potęgowej uważa się przedział. Zastrzega się, że wykładnik a jest ułamkiem nieredukowalnym. Teraz autorzy wielu podręczników algebry i zasad analizy NIE DEFINIUJĄ funkcji potęgowych z wykładnikiem w postaci ułamka o nieparzystym mianowniku dla wartości ujemnych argumentu. Będziemy trzymać się właśnie tego poglądu, to znaczy za zbiór będziemy uważać dziedziny definicji funkcji potęgowych o wykładnikach ułamkowych dodatnich. Zalecamy, aby uczniowie poznali opinię nauczyciela w tej subtelnej kwestii, aby uniknąć nieporozumień.

Rozważmy funkcję potęgową z wykładnikiem wymiernym lub niewymiernym a i .

Przedstawmy wykresy funkcji potęgowych dla a=11/12 (linia czarna), a=5/7 (linia czerwona), (linia niebieska), a=2/5 (linia zielona).

Funkcja potęgi z niecałkowitym wykładnikiem wymiernym lub niewymiernym większym niż jeden.

Rozważmy funkcję potęgową z niecałkowitym wymiernym lub niewymiernym wykładnikiem a i .

Przedstawiamy wykresy funkcji potęgowych podanych we wzorach (odpowiednio czarne, czerwone, niebieskie i zielone linie).

Dla innych wartości wykładnika a wykresy funkcji będą miały podobny wygląd.

Własności funkcji potęgowej w .

Funkcja potęgowa z wykładnikiem rzeczywistym większym od minus jeden i mniejszym od zera.

Notatka! Jeżeli a jest ułamkiem ujemnym o nieparzystym mianowniku, to niektórzy autorzy za dziedzinę definicji funkcji potęgowej uważa się przedział . Zastrzega się, że wykładnik a jest ułamkiem nieredukowalnym. Teraz autorzy wielu podręczników algebry i zasad analizy NIE DEFINIUJĄ funkcji potęgowych z wykładnikiem w postaci ułamka o nieparzystym mianowniku dla wartości ujemnych argumentu. Będziemy trzymać się właśnie tego poglądu, to znaczy dziedziny definicji funkcji potęgowych o ułamkowych wykładnikach ujemnych uznamy odpowiednio za zbiór. Zalecamy, aby uczniowie poznali opinię nauczyciela w tej subtelnej kwestii, aby uniknąć nieporozumień.

Przejdźmy do funkcji mocy, kgod.

Aby mieć dobre pojęcie o postaci wykresów funkcji potęgowych dla , podajemy przykłady wykresów funkcji (odpowiednio czarne, czerwone, niebieskie i zielone krzywe).

Własności funkcji potęgowej z wykładnikiem a, .

Funkcja potęgi z niecałkowitym wykładnikiem rzeczywistym mniejszym niż minus jeden.

Podajmy przykłady wykresów funkcji potęgowych dla , są one przedstawione odpowiednio przez czarne, czerwone, niebieskie i zielone linie.

Właściwości funkcji potęgowej z niecałkowitym wykładnikiem ujemnym mniejszym niż minus jeden.

Gdy a = 0 mamy funkcję - jest to prosta z której wykluczony jest punkt (0;1) (zgodzono się nie przywiązywać żadnego znaczenia do wyrażenia 0 0).

Funkcja wykładnicza.

Jedną z głównych funkcji elementarnych jest funkcja wykładnicza.

Wykres funkcji wykładniczej, gdzie i przybiera różne formy w zależności od wartości podstawy a. Rozwiążmy to.

Rozważmy najpierw przypadek, gdy podstawa funkcji wykładniczej przyjmuje wartość od zera do jednego, czyli .

Jako przykład przedstawiamy wykresy funkcji wykładniczej dla a = 1/2 – linia niebieska, a = 5/6 – linia czerwona. Wykresy funkcji wykładniczej mają podobny wygląd dla pozostałych wartości podstawy z przedziału.

Własności funkcji wykładniczej o podstawie mniejszej niż jeden.

Przejdźmy do przypadku, gdy podstawa funkcji wykładniczej jest większa od jedności, czyli .

Dla ilustracji przedstawiamy wykresy funkcji wykładniczych – linia niebieska i – linia czerwona. Dla pozostałych wartości podstawy większych od jedności wykresy funkcji wykładniczej będą miały podobny wygląd.

Właściwości funkcji wykładniczej o podstawie większej niż jeden.

Funkcja logarytmiczna.

Następną podstawową funkcją elementarną jest funkcja logarytmiczna, gdzie , . Funkcja logarytmiczna jest definiowana tylko dla dodatnich wartości argumentu, czyli dla .

Wykres funkcji logarytmicznej przybiera różne postacie w zależności od wartości podstawy a.

W tym artykule pokrótce podsumowujemy informacje związane z tak ważnym pojęciem matematycznym, jak funkcja. Porozmawiamy o tym, co to jest funkcja numeryczna i co trzeba wiedzieć i umieć szukać.

Co się stało funkcja numeryczna? Mamy dwa zbiory liczbowe: X i Y, pomiędzy tymi zbiorami istnieje pewna zależność. Oznacza to, że każdy element x ze zbioru X, zgodnie z pewną regułą, jest przypisany pojedynczy element y ze zbioru Y.

Ważne, że Każdemu elementowi x ze zbioru X odpowiada jeden i tylko jeden element y ze zbioru Y.

Reguła, według której kojarzymy każdy element ze zbioru X z pojedynczym elementem ze zbioru Y, nazywa się funkcją numeryczną.

Zbiór X nazywa się dziedzina definicji funkcji.

Zbiór Y nazywa się zbiór wartości funkcji.

Nazywa się równość równanie funkcji. W tym równaniu - zmienna niezależna lub argument funkcji. - zmienna zależna.

Jeśli weźmiemy wszystkie pary i przypiszemy im odpowiednie punkty na płaszczyźnie współrzędnych, otrzymamy wykres funkcji. Wykres funkcji to graficzne przedstawienie relacji pomiędzy zbiorami X i Y.

Właściwości funkcji możemy to ustalić, patrząc na wykres funkcji i odwrotnie, badając możemy to nakreślić.

Podstawowe własności funkcji.

1. Dziedzina funkcji.

Dziedzina funkcji D(y) to zbiór wszystkich dopuszczalnych wartości argumentu x (zmienna niezależna x), dla których wyrażenie po prawej stronie równania funkcji ma sens. Inaczej mówiąc, są to wyrażenia.

Do Korzystając z wykresu funkcji, znajdź jej dziedzinę definicji, n już, poruszam się z od lewej do prawej wzdłuż osi OX, zapisz wszystkie przedziały wartości x, na których istnieje wykres funkcji.

2. Zbiór wartości funkcji.

Zbiór wartości funkcji E(y) to zbiór wszystkich wartości, jakie może przyjąć zmienna zależna y.

Do zgodnie z wykresem funkcji aby znaleźć jego zbiór wartości, należy poruszać się od dołu do góry wzdłuż osi OY i zapisywać wszystkie przedziały wartości y, na których istnieje wykres funkcji.

3. Zera funkcji.

Funkcja zerowa - Są to wartości argumentu x, przy których wartość funkcji (y) jest równa zeru.

Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji, należy rozwiązać równanie. Pierwiastkami tego równania będą zera funkcji.

Aby znaleźć zera funkcji na jej wykresie, należy znaleźć punkty przecięcia wykresu z osią OX. Odcięte punktów przecięcia będą zerami funkcji.

4. Przedziały znaku stałego funkcji.

Przedziały stałego znaku funkcji to te przedziały wartości argumentów, w których funkcja zachowuje swój znak, czyli lub.

Znaleźć , musisz rozwiązać nierówności i .

Znaleźć przedziały stałego znaku funkcji zgodnie z jej harmonogramem jest to konieczne

5. Przedziały monotoniczności funkcji.

Przedziały monotoniczności funkcji to te przedziały wartości argumentu x, w których funkcja rośnie lub maleje.

Mówi się, że funkcja rośnie w przedziale I, jeśli dla dowolnych dwóch wartości argumentu należących do przedziału I zachodzi poniższa zależność: .

Innymi słowy, funkcja rośnie na przedziale I, jeśli większa wartość argumentu z tego przedziału odpowiada większej wartości funkcji.

Aby wyznaczyć przedziały rosnącej funkcji z wykresu funkcji, należy przesuwać się od lewej do prawej wzdłuż linii wykresu funkcji, aby zaznaczyć przedziały wartości argumentu x, w których wykres idzie w górę.

Mówi się, że funkcja maleje w przedziale I, jeśli dla dowolnych dwóch wartości argumentu należących do przedziału I tak, że zachodzi następująca zależność: .

Innymi słowy, funkcja maleje na przedziale I, jeśli większa wartość argumentu z tego przedziału odpowiada mniejszej wartości funkcji.

Aby wyznaczyć przedziały malejącej funkcji z wykresu funkcji, należy przesuwać się od lewej do prawej wzdłuż linii wykresu funkcji, aby podświetlić przedziały wartości argumentu x, w których wykres idzie w dół.

6. Punkty maksimum i minimum funkcji.

Punkt nazywa się punktem maksymalnym funkcji, jeśli istnieje takie otoczenie I punktu, że dla dowolnego punktu x z tego otoczenia zachodzi zależność:

.

Graficznie oznacza to, że punkt o odciętej x_0 leży nad innymi punktami z I otoczenia wykresu funkcji y=f(x).

Punkt nazywa się punktem minimalnym funkcji, jeżeli istnieje takie otoczenie I punktu, że dla dowolnego punktu x z tego otoczenia zachodzi zależność:

Graficznie oznacza to, że punkt z odciętą leży poniżej pozostałych punktów z sąsiedztwa wykresu I funkcji.

Zwykle znajdujemy maksimum i minimum punktów funkcji, badając funkcję za pomocą jej pochodnej.

7. Funkcja parzysta (nieparzysta).

Funkcja jest wywoływana nawet wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:

Innymi słowy, Dziedzina definicji funkcji parzystej jest symetryczna względem początku.

b) Dla dowolnej wartości argumentu x należącej do dziedziny definicji funkcji relacja jest spełniona .

Funkcję nazywamy nieparzystą, jeśli spełnione są dwa warunki:

a) Dla dowolnej wartości argumentu należącej do dziedziny funkcji, należy ona również do dziedziny funkcji.