Funkcja y=sinx, jej główne własności i wykres. Funkcje y = sin x, y = cos x, ich własności i wykresy - Hipermarket Wiedzy Wykres funkcji y jest równy sinus x

„Wyższa Szkoła Technologii Usługowych Yoshkar-Ola”

Budowa i badanie wykresu funkcji trygonometrycznej y=sinx w arkuszu kalkulacyjnymSM Przewyższać

/rozwój metodologiczny/

Joszkar – Ola

Temat. Budowa i badanie wykresu funkcji trygonometrycznejy = grzech w arkuszu kalkulacyjnym MS Excel

Typ lekcji– zintegrowane (zdobywanie nowej wiedzy)

Cele:

Cel dydaktyczny - zbadać zachowanie wykresów funkcji trygonometrycznychy= grzechw zależności od szans na użycie komputera

Edukacyjny:

1. Znajdź zmianę na wykresie funkcji trygonometrycznej y= grzech X w zależności od szans

2. Wykazać zastosowanie technologii komputerowej w nauczaniu matematyki, integrację dwóch przedmiotów: algebry i informatyki.

3. Rozwijanie umiejętności wykorzystania technologii komputerowej na lekcjach matematyki

4. Udoskonalić umiejętność badania funkcji i konstruowania ich wykresów

Edukacyjny:

1. Rozwijanie zainteresowań poznawczych uczniów dyscyplinami akademickimi i umiejętności zastosowania wiedzy w sytuacjach praktycznych

2. Rozwijaj umiejętność analizowania, porównywania, podkreślania najważniejszych rzeczy

3. Przyczyniać się do poprawy ogólnego poziomu rozwoju uczniów

Edukacja :

1. Wspieraj niezależność, dokładność i ciężką pracę

2. Pielęgnuj kulturę dialogu

Formy pracy na lekcji -łączny

Zaplecze i sprzęt dydaktyczny:

1. Komputery

2. Projektor multimedialny

4. Ulotki

5. Slajdy prezentacyjne

Podczas zajęć

I. Organizacja rozpoczęcia lekcji

· Powitanie uczniów i gości

· Nastrój na lekcję

II. Wyznaczanie celów i aktualizacja tematu

Badanie funkcji i zbudowanie jej wykresu zajmuje dużo czasu, trzeba wykonać wiele uciążliwych obliczeń, nie jest to wygodne, na ratunek przychodzi technologia komputerowa.

Dzisiaj dowiemy się jak budować wykresy funkcji trygonometrycznych w środowisku arkusza kalkulacyjnego MS Excel 2007.

Temat naszej lekcji brzmi: „Budowa i badanie wykresu funkcji trygonometrycznej y= grzech w procesorze stołowym”

Z kursu algebry znamy schemat badania funkcji i konstruowania jej wykresu. Pamiętajmy, jak to zrobić.

Slajd 2

Schemat badania funkcji

1. Dziedzina funkcji (D(f))

2. Zakres funkcji E(f)

3. Wyznaczanie parytetu

4. Częstotliwość

5. Zera funkcji (y=0)

6. Przedziały znaku stałego (y>0, y<0)

7. Okresy monotonii

8. Ekstrema funkcji

III. Podstawowa asymilacja nowego materiału edukacyjnego

Otwórz MS Excel 2007.

Narysujmy funkcję y=sin X

Tworzenie wykresów w procesorze arkuszy kalkulacyjnychSM Przewyższać 2007

Narysujemy wykres tej funkcji na odcinku XЄ [-2π; 2π]

Wartości argumentu będziemy przyjmować etapami , aby wykres był dokładniejszy.

Ponieważ edytor pracuje z liczbami, przeliczmy radiany na liczby, wiedząc o tym P ≈ 3,14 . (tabela tłumaczeń w ulotce).

1. Znajdź wartość funkcji w punkcie x=-2P. W pozostałej części edytor automatycznie oblicza odpowiednie wartości funkcji.

2. Teraz mamy tabelę z wartościami argumentu i funkcji. Mając te dane, musimy wykreślić tę funkcję za pomocą Kreatora wykresów.

3. Aby zbudować wykres należy wybrać wymagany zakres danych, linie z wartościami argumentów i funkcji

4..jpg" szerokość="667" wysokość="236 src=">

Wnioski zapisujemy w zeszycie (slajd 5)

Wniosek. Wykres funkcji w postaci y=sinx+k otrzymuje się z wykresu funkcji y=sinx stosując równoległe przesunięcie wzdłuż osi wzmacniacza operacyjnego o k jednostek

Jeżeli k > 0, wówczas wykres przesuwa się w górę o k jednostek

Jeśli k<0, то график смещается вниз на k единиц

Budowa i badanie funkcji formyy=k*sinx,k- konst

Zadanie 2. W pracy Arkusz 2 rysować wykresy funkcji w jednym układzie współrzędnych y= grzech y=2* grzech, y= * grzech, na przedziale (-2π; 2π) i obserwuj, jak zmienia się wygląd wykresu.

(Aby nie ustawiać na nowo wartości argumentu, skopiujmy istniejące wartości. Teraz należy ustawić formułę i zbudować wykres korzystając z wynikowej tabeli.)

Porównujemy powstałe wykresy. Wspólnie ze studentami analizujemy zachowanie wykresu funkcji trygonometrycznej w zależności od współczynników. (slajd 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" szerokość="16" wysokość="41 src=">x , na przedziale (-2π; 2π) i obserwuj, jak zmienia się wygląd wykresu.

Porównujemy powstałe wykresy. Wspólnie ze studentami analizujemy zachowanie wykresu funkcji trygonometrycznej w zależności od współczynników. (slajd 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" szerokość="649" wysokość="281 src=">

Wnioski zapisujemy w zeszycie (slajd 11)

Wniosek. Wykres funkcji w postaci y=sin(x+k) otrzymujemy z wykresu funkcji y=sinx stosując równoległe przesunięcie wzdłuż osi OX o k jednostek

Jeżeli k >1, to wykres przesuwa się w prawo wzdłuż osi OX

Jeśli 0

IV. Pierwotne utrwalenie zdobytej wiedzy

Zróżnicowane karty z zadaniem skonstruowania i zbadania funkcji za pomocą wykresu

V. Organizacja pracy domowej

Narysuj wykres funkcji y=-2*sinх+1, sprawdź i sprawdź poprawność konstrukcji w środowisku arkusza kalkulacyjnego Microsoft Excel. (slajd 12)

VI. Odbicie

W tej lekcji przyjrzymy się szczegółowo funkcji y = sin x, jej podstawowym własnościom i wykresowi. Na początku lekcji podamy definicję funkcji trygonometrycznej y = sin t na okręgu współrzędnych i rozważymy wykres funkcji na okręgu i prostej. Pokażmy na wykresie okresowość tej funkcji i rozważmy główne właściwości tej funkcji. Na koniec lekcji rozwiążemy kilka prostych problemów wykorzystując wykres funkcji i jej własności.

Temat: Funkcje trygonometryczne

Lekcja: Funkcja y=sinx, jej podstawowe własności i wykres

Rozważając funkcję, ważne jest, aby powiązać każdą wartość argumentu z pojedynczą wartością funkcji. Ten prawo korespondencji i nazywa się funkcją.

Zdefiniujmy prawo korespondencyjne dla .

Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada pojedynczy punkt na okręgu jednostkowym. Punkt ma jedną rzędną, którą nazywamy sinusem liczby (ryc. 1).

Każda wartość argumentu jest powiązana z pojedynczą wartością funkcji.

Oczywiste właściwości wynikają z definicji sinusa.

Rysunek to pokazuje ponieważ jest rzędną punktu na okręgu jednostkowym.

Rozważmy wykres funkcji. Przypomnijmy geometryczną interpretację argumentu. Argumentem jest kąt środkowy mierzony w radianach. Wzdłuż osi nakreślimy liczby rzeczywiste lub kąty w radianach, wzdłuż osi odpowiednie wartości funkcji.

Np. kąt na okręgu jednostkowym odpowiada punktowi na wykresie (ryc. 2)

Otrzymaliśmy wykres funkcji w obszarze. Znając jednak okres sinusa, możemy przedstawić wykres funkcji w całym obszarze definicji (ryc. 3).

Główny okres funkcji to Oznacza to, że wykres można otrzymać na odcinku, a następnie kontynuować go w całym obszarze definicji.

Rozważ właściwości funkcji:

1) Zakres definicji:

2) Zakres wartości:

3) Funkcja nieparzysta:

4) Najmniejszy okres dodatni:

5) Współrzędne punktów przecięcia wykresu z osią odciętych:

6) Współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią rzędnych:

7) Przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

8) Przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne:

9) Zwiększanie interwałów:

10) Zmniejszające się odstępy:

11) Minimalna liczba punktów:

12) Funkcje minimalne:

13) Maksymalna liczba punktów:

14) Maksymalne funkcje:

Przyjrzeliśmy się właściwościom funkcji i jej wykresowi. Właściwości będą wielokrotnie wykorzystywane przy rozwiązywaniu problemów.

Bibliografia

1. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Podręcznik dla szkół ogólnokształcących (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i analiza matematyczna dla klasy 10 (podręcznik dla uczniów szkół i klas z pogłębioną nauką matematyki).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Pogłębione studium algebry i analizy matematycznej.-M.: Edukacja, 1997.

5. Zbiór problemów matematycznych dla kandydatów do szkół wyższych (pod red. M.I. Skanavi – M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Symulator algebraiczny.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Zagadnienia algebry i zasady analizy (podręcznik dla uczniów klas 10-11 szkół ogólnokształcących) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Zbiór problemów algebry i zasad analizy: podręcznik. dodatek dla klas 10-11. z głębią badane Matematyka.-M.: Edukacja, 2006.

Praca domowa

Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatkowe zasoby internetowe

3. Portal edukacyjny przygotowujący do egzaminów ().

Jak wykreślić funkcję y=sin x? Najpierw spójrzmy na wykres sinusa na przedziale.

W notatniku bierzemy pojedynczy segment o długości 2 komórek. Na osi Oy zaznaczamy jeden.

Dla wygody zaokrąglamy liczbę π/2 do 1,5 (a nie do 1,6, jak wymagają tego zasady zaokrąglania). W tym przypadku odcinek o długości π/2 odpowiada 3 komórkom.

Na osi Ox zaznaczamy nie pojedyncze odcinki, ale odcinki o długości π/2 (co 3 komórki). Odpowiednio odcinek o długości π odpowiada 6 komórkom, a odcinek o długości π/6 odpowiada 1 komórce.

Przy takim wyborze segmentu jednostkowego wykres przedstawiony na kartce zeszytu w pudełku odpowiada w miarę możliwości wykresowi funkcji y=sin x.

Zróbmy tabelę wartości sinusów na przedziale:

Wynikowe punkty zaznaczamy na płaszczyźnie współrzędnych:

Ponieważ y=sin x jest funkcją nieparzystą, wykres sinusa jest symetryczny względem początku - punktu O(0;0). Biorąc ten fakt pod uwagę kontynuujmy rysowanie wykresu w lewo, a następnie punktów -π:

Funkcja y=sin x jest okresowa o okresie T=2π. Dlatego wykres funkcji przyjętej na przedziale [-π;π] powtarza się nieskończoną liczbę razy w prawo i w lewo.

W tej lekcji przyjrzymy się szczegółowo funkcji y = sin x, jej podstawowym własnościom i wykresowi. Na początku lekcji podamy definicję funkcji trygonometrycznej y = sin t na okręgu współrzędnych i rozważymy wykres funkcji na okręgu i prostej. Pokażmy na wykresie okresowość tej funkcji i rozważmy główne właściwości tej funkcji. Na koniec lekcji rozwiążemy kilka prostych problemów wykorzystując wykres funkcji i jej własności.

Temat: Funkcje trygonometryczne

Lekcja: Funkcja y=sinx, jej podstawowe własności i wykres

Rozważając funkcję, ważne jest, aby powiązać każdą wartość argumentu z pojedynczą wartością funkcji. Ten prawo korespondencji i nazywa się funkcją.

Zdefiniujmy prawo korespondencyjne dla .

Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada pojedynczy punkt na okręgu jednostkowym. Punkt ma jedną rzędną, którą nazywamy sinusem liczby (ryc. 1).

Każda wartość argumentu jest powiązana z pojedynczą wartością funkcji.

Oczywiste właściwości wynikają z definicji sinusa.

Rysunek to pokazuje ponieważ jest rzędną punktu na okręgu jednostkowym.

Rozważmy wykres funkcji. Przypomnijmy geometryczną interpretację argumentu. Argumentem jest kąt środkowy mierzony w radianach. Wzdłuż osi nakreślimy liczby rzeczywiste lub kąty w radianach, wzdłuż osi odpowiednie wartości funkcji.

Np. kąt na okręgu jednostkowym odpowiada punktowi na wykresie (ryc. 2)

Otrzymaliśmy wykres funkcji w obszarze. Znając jednak okres sinusa, możemy przedstawić wykres funkcji w całym obszarze definicji (ryc. 3).

Główny okres funkcji to Oznacza to, że wykres można otrzymać na odcinku, a następnie kontynuować go w całym obszarze definicji.

Rozważ właściwości funkcji:

1) Zakres definicji:

2) Zakres wartości:

3) Funkcja nieparzysta:

4) Najmniejszy okres dodatni:

5) Współrzędne punktów przecięcia wykresu z osią odciętych:

6) Współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią rzędnych:

7) Przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

8) Przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne:

9) Zwiększanie interwałów:

10) Zmniejszające się odstępy:

11) Minimalna liczba punktów:

12) Funkcje minimalne:

13) Maksymalna liczba punktów:

14) Maksymalne funkcje:

Przyjrzeliśmy się właściwościom funkcji i jej wykresowi. Właściwości będą wielokrotnie wykorzystywane przy rozwiązywaniu problemów.

Bibliografia

1. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Podręcznik dla szkół ogólnokształcących (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i analiza matematyczna dla klasy 10 (podręcznik dla uczniów szkół i klas z pogłębioną nauką matematyki).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Pogłębione studium algebry i analizy matematycznej.-M.: Edukacja, 1997.

5. Zbiór problemów matematycznych dla kandydatów do szkół wyższych (pod red. M.I. Skanavi – M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Symulator algebraiczny.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Zagadnienia algebry i zasady analizy (podręcznik dla uczniów klas 10-11 szkół ogólnokształcących) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Zbiór problemów algebry i zasad analizy: podręcznik. dodatek dla klas 10-11. z głębią badane Matematyka.-M.: Edukacja, 2006.

Praca domowa

Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatkowe zasoby internetowe

3. Portal edukacyjny przygotowujący do egzaminów ().

Dowiedzieliśmy się, że zachowanie funkcji trygonometrycznych i funkcji y = grzech x w szczególności, na całej osi liczbowej (lub dla wszystkich wartości argumentu X) jest całkowicie zdeterminowany jego zachowaniem w przedziale 0 < X < π / 2 .

Dlatego najpierw wykreślimy funkcję y = grzech x dokładnie w tym przedziale.

Zróbmy następującą tabelę wartości naszej funkcji;

Zaznaczając odpowiednie punkty na płaszczyźnie współrzędnych i łącząc je gładką linią, otrzymujemy krzywą pokazaną na rysunku

Powstałą krzywą można również skonstruować geometrycznie, bez konieczności tworzenia tabeli wartości funkcji y = grzech x .

1. Podziel pierwszą ćwiartkę koła o promieniu 1 na 8 równych części. Współrzędnymi punktów podziału koła są sinusy odpowiednich kątów.

2. Pierwsza ćwiartka koła odpowiada kątom od 0 do π / 2 . Dlatego na osi X Weźmy odcinek i podzielmy go na 8 równych części.

3. Narysujmy linie proste równoległe do osi X, a z punktów podziału konstruujemy prostopadłe, aż przetną się z liniami poziomymi.

4. Połącz punkty przecięcia gładką linią.

Teraz spójrzmy na interwał π / 2 < X < π .
Każda wartość argumentu X z tego przedziału można przedstawić jako

X = π / 2 + φ

Gdzie 0 < φ < π / 2 . Według wzorów redukcyjnych

grzech( π / 2 + φ ) = sałata φ = grzech ( π / 2 - φ ).

Punkty osi X z odciętymi π / 2 + φ I π / 2 - φ symetrycznie względem siebie względem punktu osi X z odciętą π / 2 , a sinusy w tych punktach są takie same. Dzięki temu możemy otrzymać wykres funkcji y = grzech x w przedziale [ π / 2 , π ] po prostu symetrycznie wyświetlając wykres tej funkcji w przedziale względem linii prostej X = π / 2 .

Teraz korzystam z nieruchomości nieparzysta funkcja parzystości y = grzech x,

grzech(- X) = - grzech X,

łatwo jest wykreślić tę funkcję w przedziale [- π , 0].

Funkcja y = sin x jest okresowa z okresem 2π ;. Aby zatem skonstruować cały wykres tej funkcji, wystarczy kontynuować krzywą pokazaną na rysunku w lewo i w prawo okresowo z kropką 2π .

Powstała krzywa nazywa się sinusoida . To jest wykres funkcji y = grzech x.

Rysunek dobrze ilustruje wszystkie własności funkcji y = grzech x , co już wcześniej udowodniliśmy. Przypomnijmy te właściwości.

1) Funkcja y = grzech x zdefiniowane dla wszystkich wartości X , więc jego dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

2) Funkcja y = grzech x ograniczony. Wszystkie wartości, które akceptuje, mieszczą się w przedziale od -1 do 1, łącznie z tymi dwiema liczbami. W konsekwencji zakres zmienności tej funkcji wyznacza nierówność -1 < Na < 1. Kiedy X = π / 2 + 2 tys π funkcja przyjmuje największe wartości równe 1, a dla x = - π / 2 + 2 tys π - najmniejsze wartości równe - 1.

3) Funkcja y = grzech x jest nieparzysta (sinusoida jest symetryczna względem początku).

4) Funkcja y = grzech x okresowe z okresem 2 π .

5) W odstępach 2n π < X < π + 2n π (n jest dowolną liczbą całkowitą) jest dodatnia i w przedziałach π + 2 tys π < X < 2π + 2 tys π (k jest dowolną liczbą całkowitą) jest ujemna. Przy x = k π funkcja dąży do zera. Dlatego te wartości argumentu x (0; ± π ; ±2 π ; ...) nazywane są zerami funkcji y = grzech x

6) W przerwach - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funkcjonować y = grzech X rośnie monotonicznie i w odstępach czasu π / 2 + 2 tys π < X < 3π / 2 + 2 tys π maleje monotonicznie.

Należy zwrócić szczególną uwagę na zachowanie funkcji y = grzech x blisko punktu X = 0 .

Na przykład grzech 0,012 ≈ 0,012; grzech (-0,05) ≈ -0,05;

grzech 2° = grzech π 2 / 180 = grzech π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Jednocześnie należy zauważyć, że dla dowolnych wartości x

| grzech X| < | x | . (1)

Rzeczywiście, niech promień okręgu pokazanego na rysunku będzie równy 1,
A / AOB = X.

Potem grzech X= AC. Ale AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Długość tego łuku jest oczywiście równa X, ponieważ promień okręgu wynosi 1. Zatem przy 0< X < π / 2

grzech x< х.

Stąd wynika nieparzystość funkcji y = grzech x łatwo to pokazać, gdy - π / 2 < X < 0

| grzech X| < | x | .

Wreszcie kiedy X = 0

| grzech x | = | x |.

Zatem dla | X | < π / 2 nierówność (1) została udowodniona. W rzeczywistości ta nierówność jest prawdziwa również dla | X | > π / 2 z uwagi na fakt, że | grzech X | < 1, za π / 2 > 1

Ćwiczenia

1.Zgodnie z wykresem funkcji y = grzech x określić: a) grzech 2; b) grzech 4; c) grzech (-3).

2.Zgodnie z wykresem funkcji y = grzech x określić, która liczba z przedziału
[ - π / 2 , π / 2 ] ma sinus równy: a) 0,6; b) -0,8.

3. Zgodnie z wykresem funkcji y = grzech x określić, które liczby mają sinus,
równa 1/2.

4. Znajdź w przybliżeniu (bez korzystania z tabel): a) sin 1°; b) grzech 0,03;
c) grzech (-0,015); d) grzech (-2°30").