Jaki jest wierzchołek wielokąta. Wierzchołek wielokąta to

W Wikisłowniku znajduje się wpis określający „wierzchołek”. Wierzchołek to najwyższy punkt czegoś. Termin szczyt może również oznaczać: W topografii... Wikipedia

WIERZCHOŁEK- (1) V. stożka jest punktem przecięcia tworzących stożka; (2) V. wielościanu to punkt, w którym zbiegają się sąsiednie krawędzie wielościanu; (3) B. wielokąta to punkt, w którym spotykają się dwa sąsiednie boki wielokąta; (4) V. punkt paraboli... ... Wielka encyklopedia politechniczna

APEX w matematyce oznacza punkt, w którym spotykają się dwa boki trójkąta lub innego wielokąta albo przecinają się trzy lub więcej boków piramidy lub innego wielościanu. Najwyższy punkt stożka nazywany jest także wierzchołkiem... Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny

Konstrukcja kadłuba wypukłego wykorzystująca algorytm dziel i zwyciężaj do konstruowania kadłuba wypukłego. Spis treści 1 Opis 2 Definicje 3 Implementacja... Wikipedia

Konstrukcja kadłuba wypukłego wykorzystująca algorytm dziel i zwyciężaj do konstruowania kadłuba wypukłego. Spis treści 1 Opis 2 Definicje 3 Implementacja 4 Złożoność algorytmu... Wikipedia

Sprawdzanie, czy dany punkt należy do danego wielokąta. Wielokąt i punkt są dane na płaszczyźnie. Wielokąt może być wypukły lub niewypukły. Konieczne jest rozwiązanie problemu, czy punkt należy do wielokąta. Dzięki temu, że... ...Wikipedia

Część przestrzeni ograniczona zbiorem skończonej liczby wielokątów płaskich (patrz GEOMETRIA) połączonych w taki sposób, że każdy bok dowolnego wielokąta jest bokiem dokładnie jednego innego wielokąta (tzw.... ... Encyklopedia Colliera

Dyskretna grupa przekształceń holomorficznych (otwartego) koła na sferze Riemanna, tj. koła lub półpłaszczyzny na płaszczyźnie zespolonej. Najczęściej górną półpłaszczyznę lub okrąg jednostkowy przyjmuje się jako K. W pierwszym przypadku elementami grupy funkcyjnej są ... Encyklopedia matematyczna

Na pytanie, czym jest wielokąt, zadane przez autora europejski najlepsza odpowiedź brzmi

Płaska zamknięta linia przerywana;


Rodzaje wielokątów
Wielokąt z trzema wierzchołkami nazywa się trójkątem, z czterema - czworokątem, z pięcioma - pięciokątem itp.
Wielokąt mający n wierzchołków nazywa się n-gonem.
Wielokąt płaski to figura składająca się z wielokąta i skończonej części obszaru przez niego ograniczonego.
Wielokąt nazywa się wypukłym, jeśli spełniony jest jeden z następujących (równoważnych) warunków:
leży po jednej stronie dowolnej linii prostej łączącej sąsiednie wierzchołki. (to znaczy przedłużenia boków wielokąta nie przecinają się z innymi bokami);
jest to przecięcie (czyli część wspólna) kilku półpłaszczyzn;
Każda przekątna leży wewnątrz wielokąta;
każdy odcinek, którego końce znajdują się w punktach należących do wielokąta, należy całkowicie do niego.
Wielokąt wypukły nazywa się foremnym, jeśli wszystkie boki są równe i wszystkie kąty są równe, na przykład trójkąt równoboczny, kwadrat i pięciokąt foremny.
Regularny wielokąt z samoprzecięciami nazywany jest wielokątem gwiazdowym, na przykład zwykłymi gwiazdami pięcioramiennymi i ośmioramiennymi.
Mówi się, że wielokąt wypukły jest wpisany w okrąg, jeśli wszystkie jego wierzchołki leżą na tym samym okręgu.
Mówi się, że wielokąt wypukły jest opisany na okręgu, jeśli wszystkie jego boki stykają się z jakimś okręgiem.
Wierzchołki wielokąta nazywane są sąsiadującymi, jeśli są końcami jednego z jego boków.
Odcinki łączące nieprzylegające wierzchołki wielokąta nazywane są przekątnymi.
Kąt (lub kąt wewnętrzny) wielokąta w danym wierzchołku to kąt utworzony przez jego boki zbiegające się w tym wierzchołku i znajdujący się w wewnętrznym obszarze wielokąta. W szczególności kąt może przekraczać 180°, jeżeli wielokąt nie jest wypukły.
Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego w danym wierzchołku to kąt przylegający do kąta wewnętrznego wielokąta w tym wierzchołku. Ogólnie rzecz biorąc, kąt zewnętrzny jest różnicą między 180° a kątem wewnętrznym i może przyjmować wartości od -180° do 180°.

Odpowiedź od Mikroskop[guru]
Wielokąt to figura geometryczna, zwykle definiowana jako zamknięta linia przerywana.

Istnieją trzy różne opcje definiowania wielokąta:
Płaska zamknięta linia przerywana;
Płaska, zamknięta linia przerywana bez samoprzecięć;
Część płaszczyzny ograniczona zamkniętą polilinią.

W każdym razie wierzchołki wielokąta nazywane są wierzchołkami wielokąta, a odcinki nazywane są bokami wielokąta.

Odpowiedź od Władysław Borovik[Nowicjusz]
Wielokąt to figura, która ma kilka boków i kątów.

Odpowiedź od Małżeństwo[Nowicjusz]
wielokąt to miejsce, w którym istnieje wiele kątów

Odpowiedź od Sasza Safenrider[Nowicjusz]
wielokąt to taki, w którym istnieje wiele kątów

Pojęcie wielokąta. Co to jest wielokąt

Wielokąt jest figurą geometryczną będącą zamkniętą linią przerywaną.

Istnieją trzy możliwości definiowania wielokątów:

• Wielokąt to płaska, zamknięta linia przerywana;
• Wielokąt to płaska, zamknięta linia przerywana bez samoprzecięć;
• Wielokąt to część płaszczyzny ograniczona zamkniętą polilinią.

Nazywa się wierzchołki linii łamanej wierzchołki wielokąta, a segmenty - boki wielokąta.

Szczyty nazywane są wielokątami sąsiedni, jeśli są końcami jednego z jego boków.

Nazywa się odcinki linii łączące nieprzylegające wierzchołki wielokąta przekątne.

Kąt (lub kąt wewnętrzny) wielokąta w danym wierzchołku nazywa się kąt utworzony przez jego boki zbiegające się w tym wierzchołku i znajdujące się w obszarze wewnętrznym wielokąta.

Narożnik zewnętrzny wielokąta wypukłego w danym wierzchołku nazywa się kąt przylegający do kąta wewnętrznego wielokąta w tym wierzchołku. Ogólnie rzecz biorąc, kąt zewnętrzny jest różnicą między 180° a kątem wewnętrznym

Nazywa się wielokąt wypukły, pod warunkiem, że spełniony jest jeden z następujących warunków:

• Wielokąt wypukły leży po jednej stronie dowolnej linii łączącej sąsiednie wierzchołki;
• Wielokąt wypukły jest przecięciem kilku półpłaszczyzn;
• Każdy odcinek, którego końce znajdują się w punktach należących do wielokąta wypukłego, należy w całości do niego.

Nazywa się wielokątem wypukłym prawidłowy, jeśli wszystkie boki są równe i wszystkie kąty są równe, na przykład trójkąt równoboczny, kwadrat i pięciokąt foremny.

Mówi się, że wielokąt wypukły jest wpisany w okrąg, jeśli wszystkie jego wierzchołki leżą na tym samym okręgu.

Mówi się, że wielokąt wypukły jest opisany na okręgu, jeśli wszystkie jego boki stykają się z jakimś okręgiem.

Klasyfikacja (rodzaje) wielokątów

Klasyfikacja wielokątów według typu może opierać się na wielu właściwościach, z których najważniejsze to:

• liczba wierzchołków
• wypukły
• Prawidłowy
• umiejętność wpisania lub opisania koła

Wielokąt wypukły zawsze leży po jednej stronie linii zawierającej którykolwiek z jego boków. (patrz wyżej)

Wielokąt foremny ma wszystkie boki i kąty równe. Z tego powodu mają pewne specjalne właściwości (patrz kwadrat).

Samoprzecinające się wielokąty mogą być również regularne. Na przykład pentagram („pięcioramienna gwiazda”).

Wielokąty można wyróżnić także ze względu na możliwość wpasowania się w wielokąt lub opisania okręgu wokół wielokąta. Mogą istnieć wielokąty, wokół których nie da się opisać koła, a także go wpisać. Jednocześnie zawsze można opisać okrąg wokół dowolnego trójkąta.

Właściwości wielokąta

• Suma kątów wewnętrznych n-kąta wynosi (n - 2) π.
• Suma kątów wewnętrznych regularnego n-kąta wynosi 180 (n - 2).
• Liczba przekątnych dowolnego wielokąta wynosi n (n - 3) / 2, gdzie n to liczba boków.

Każda przekątna dzieli się na dwa wielokąty i. Dla i oznaczamy odpowiednio liczbę wierzchołków w i . Wielokąt jest -monotoniczny, jeśli nie ma podzielonych ani łączących wierzchołków.

PUNKT – w matematyce punkt, w którym spotykają się dwa boki trójkąta lub innego wielokąta albo przecinają się trzy lub więcej boków piramidy lub innego wielościanu. Algorytm dla punktu w wielokącie - Sprawdzanie, czy dany punkt należy do danego wielokąta. Wielokąt i punkt są dane na płaszczyźnie. Wielokąt może być wypukły lub niewypukły.

PRZEKĄTNA - (z greckiego, od średnicy do i kąta gonia). 1) linia prosta łącząca wierzchołki dwóch kątów w figurze prostoliniowej, które nie leżą na tej samej linii prostej. Definicja. Wielokąt to figura geometryczna ograniczona ze wszystkich stron zamkniętą linią przerywaną, składającą się z trzech lub więcej segmentów (ogniw). Odcinki (ogniwa) zamkniętej linii łamanej nazywane są bokami wielokąta, a punktami wspólnymi dwóch odcinków są jego wierzchołki.

Definicja. Czworokąt to płaska figura geometryczna składająca się z czterech punktów (wierzchołków czworoboku) i czterech kolejnych łączących je odcinków (boków czworoboku). Czworokąt nigdy nie ma trzech wierzchołków na tej samej prostej. Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste. Wielokąt może być zamkniętą linią przerywaną z przecięciami i regularnymi wielokątami gwiazdowymi.

Linie i wielokąty

1) β n-kąta o boku β lub γ, w zależności od tego, jaki kąt przylega do jego lewego końca (patrząc od wewnątrz). Jeżeli jest on zorientowany inaczej niż ABC, to jego górny bok, równy i równoległy do ​​AB, jest bokiem P, a wtedy n jest parzyste (w regularnym trójkącie nieparzystym nie ma boków równoległych).

Wielokąt zdefiniowany przez jedną polilinię

Udowodnijmy, że z każdego wierzchołka wielokąta wychodzą co najmniej dwie przekątne. Ale wtedy każdy bok n-gonu leży w trójkącie podziału zawierającym jeszcze jeden z jego boków. Dany jest wielokąt wypukły, którego żadne dwa boki nie są równoległe.

Zatem kąty odpowiadające różnym bokom nie nakładają się. Przesuniemy linię równoległą do m i przyjrzymy się długości odcinka wyciętego na niej przez wielokąt.

Kolor wypełnienia wielokąta

Triangulacja dowolnego wielokąta nie jest wyjątkowa. Można to zobaczyć na przykładzie na rysunku. Prosty wielokąt to figura ograniczona jedną zamkniętą polilinią, której boki się nie przecinają.

Ustaw styl wielokąta

Każdy prosty wielokąt z wierzchołkiem zawsze ma triangulację, a liczba znajdujących się w nim trójkątów jest niezależna od samej triangulacji. W ogólnym przypadku w dowolnym -gonie istnieją tylko możliwe opcje konstruowania przekątnych. W przypadku niektórych klas wielokątów poprzednie oszacowanie można poprawić. Na przykład, jeśli wielokąt jest wypukły, wystarczy wybrać jeden z jego wierzchołków i połączyć go ze wszystkimi pozostałymi z wyjątkiem sąsiadów.

Następnie udowadniamy, że zawiera on wierzchołki dzielenia i łączenia. Aby wielokąt był monotoniczny, musisz pozbyć się podziału i połączenia wierzchołków, rysując rozłączne cyfry z takich wierzchołków. Rozważmy poziomą linię przeciągnięcia i przesuńmy ją z góry na dół wzdłuż płaszczyzny, na której leży oryginalny wielokąt. Zatrzymamy go na każdym wierzchołku wielokąta.

Dodawanie wielokąta do mapy

Niech i będzie najbliższą lewą i prawą krawędzią względem podzielonego wierzchołka, który aktualnie przecina. Rodzaj przechowywanego wierzchołka nie ma znaczenia. Zatem, aby skonstruować przekątną dla podzielonego wierzchołka, należy odwołać się do wskaźnika jego lewej krawędzi, która aktualnie się przecina.

W podejściu opisanym powyżej wymagane jest znalezienie przecięć linii przeciągnięcia i lewych krawędzi wielokąta. Stwórzmy priorytetową kolejkę wierzchołków, w której priorytetem będzie -współrzędna wierzchołka. Jeśli dwa wierzchołki mają te same współrzędne, lewy ma wyższy priorytet. Wierzchołki zostaną dodane na „przystankach” linii przeciągnięcia.

Odtąd nie przecina żadnego z boków w obcych punktach. Ponieważ żadne wierzchołki nie mogą znajdować się wewnątrz, a oba końce dowolnej wcześniej dodanej przekątnej muszą znajdować się powyżej, przekątna nie może przecinać żadnej z wcześniej dodanych przekątnych.

Będziemy przechodzić od góry do dołu wzdłuż wierzchołków wielokąta, rysując przekątne tam, gdzie to możliwe. W konsekwencji nasz wielokąt leży w pasie o granicach b i c, z czego dowiadujemy się, że P jest wierzchołkiem wielokąta najbardziej oddalonego od prostej b zawierającej bok a.

Wielokąt. Wierzchołki, rogi, boki i przekątne
wielokąt. Obwód wielokąta.
Prosty wielokąt. Wielokąt wypukły.
Suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego.

Nazywa się płaską figurę utworzoną przez zamknięty łańcuch segmentów wielokąt. W zależności od liczby kątów wielokąt może być trójkątem, czworoboczny, pięciokąt, sześciokąt itp. Rysunek 17 przedstawia sześciokąt ABCDEF. Punkty A, B, C, D, E, F – wierzchołki

Wielokąt; kąty A, B, C, D, E, F – kąty wielokąta; segmenty AC, AD, BE itp. - przekątne; AB, BC, CD, DE, EF, FA – boki wielokąta; suma długości boków AB + BC + ... + FA nazywana jest obwodem i oznaczana p (czasami oznaczana - 2p, wtedy p jest półobwodem). W geometrii elementarnej uwzględniane są tylko proste wielokąty, których kontury nie mają samoprzecięć, jak pokazano na ryc. 18. Jeśli wszystkie przekątne leżą wewnątrz wielokąta, nazywa się go wypukłym. Sześciokąt na ryc. 17 jest wypukły; pięciokąt ABCDE na ryc. 19 nie jest wypukły, ponieważ jego przekątna AD leży na zewnątrz. Suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego wynosi 180° (n – 2), gdzie n to liczba kątów (lub boków) wielokąta.

Równoległobok. Właściwości i cechy równoległoboku.

Prostokąt. Podstawowe właściwości prostokąta. Romb.

Kwadrat . Trapez. Linie środkowe trapezu i trójkąta.

Równoległobok (ABCD, ryc. 32) to czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe parami.

Dowolne dwa przeciwległe boki równoległoboku nazywane są jego podstawami, a odległość między nimi nazywa się jego wysokością (BE, ryc. 32).

Właściwości równoległoboku.

1. Przeciwległe boki równoległoboku są równe(AB = CD, AD = BC).

2. Kąty przeciwne równoległoboku są równe(A=C, B=D).

3. Przekątne równoległoboku są podzielone na pół w punkcie przecięcia.(AO = OC, BO = OD).

4. Suma kwadratów przekątnych równoległoboku jest równa sumie kwadratówjego cztery strony:

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD².

Znaki równoległoboku.

Czworokąt jest równoległobokiem, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:

1. Przeciwne strony są równe w parach(AB = CD, AD = BC).

2. Kąty przeciwne są równe parami(A=C, B=D).

3. Dwie przeciwne strony są równe i równoległe(AB = CD, AB || CD).

4.Przekątne przecinają się w punkcie przecięcia(AO = OC, BO = OD).

Prostokąt.

Br />
Jeśli jeden z kątów równoległoboku jest prosty, to wszystkie pozostałe kąty również są proste (dlaczego?). Taki równoległobok nazywa się prostokątem (ryc. 33).

Podstawowe właściwości prostokąta.

Boki prostokąta są jednocześnie jego wysokościami.

Przekątne prostokąta są równe: AC = BD.

Kwadrat przekątnej prostokąta jest równy sumie kwadratów jego boków(patrz twierdzenie Pitagorasa powyżej):

AC 2 = AD 2 + ST 2.

Romb. Jeśli wszystkie boki równoległoboku są równe, wówczas nazywa się ten równoległobok diament (ryc. 34) .

Przekątne rombu są wzajemnie prostopadłe (AC BD) i przecinają swoje kąty na pół (DCA = BCA, ABD = CBD itp.).

Kwadrat jest równoległobok o kątach prostych i równych bokach (ryc. 35). Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta i jednocześnie rombu; dlatego ma wszystkie powyższe właściwości.

R />
Trapez jest czworokątem, którego przeciwne strony mają storodany są równoległe(ryc. 36).

Tutaj AD || PNE. Nazywa się boki równoległe powodów trapez, a pozostałe dwa (AB i CD) toboki.Odległość między podstawami (BM) wynosi wysokość. Odcinek EF łączący środki E i F

Boki boczne nazywane są linią środkową trapezu. Linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy podstaw:

i równolegle do nich: EF || AD i EF || PNE.

Trapez o równych bokach (AB = CD) nazywany jest równobokiem żadnego trapezu. W trapezie równobocznym kąty przy każdej podstawie są równe(A=D, B=C).

Równoległobok można uznać za szczególny przypadek trapezu.

Środkowa linia trójkąta- to jest odcinek łączące punkty środkowe boczne boki trójkąta. Środkowa linia trójkąta jest równa połowie podstawy i równolegle do niej. o właściwość wynika z poprzedniej

Punkt, gdyż trójkąt można uznać za przypadek degeneracji trapezu, gdy jedna z jego podstaw zamienia się w punkt.

Wielokąt wpisany w okrąg.

Wielokąt opisany na okręgu.

Opisano wokół wielokąta znajduje się okrąg.

Wpisany w okrąg wielokątny.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt.

Promień okręgu opisanego na trójkącie .
Regularny wielokąt.

Środek i apotem wielokąta foremnego.
Stosunki boków i promieni wielokątów foremnych.

Wpisany w okrąg zwany wielokątem których wierzchołki znajdują się na okręgu na ryc. 54). Opisane wokół okręgu zwany nogonemktórego boki są styczne do okręgu

(ryc. 55).

Odpowiednio, okrąg przechodzący przez wierzchołki wielokąta(ryc. 54), tzwopisano o wielokącie; koło, za w którym boki wielokąta są styczne (ryc. 55), na nazywa się wpisanym w wielokąt. Za dowolne nie da się zmieścić w nim wielokąta i narysować wokół niego okręgu. Do trójkąta Nick, to zawsze jest możliwe.

Promień r okręgu wpisanegowyrażone poprzez boki a, b, c trójkąt:

Promień R opisanego koło wyrażone wzorem:

W czworokąt można wpisać okrąg, jeżeli sumy jego przeciwległych boków są równe.W przypadku równoległoboków jest to możliwe tylko w przypadku rombu (kwadratu). Środek okręgu wpisanego znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych.Okrąg można opisać wokół czworoboku, jeśli jest to jego sumaprzeciwne kąty są równe 180 stopni. W przypadku równoległoboków jest to możliwe tylko w przypadku prostokąta (kwadratu). Środek okręgu opisanego leży w punkcie przecięcia przekątnych. Możesz opisać okrąg wokół trapezu, jeśli jest równoboczny.r />

Wielokąt foremny to wielokąt o równych bokach i kątach.

Ryc. 56 przedstawia sześciokąt foremny, a ryc. 57 przedstawia ośmiokąt foremny. Regularny czworobok jest kwadratem; trójkąt foremny to trójkąt równoboczny. Każdy kąt wielokąta foremnego jest równy 180° (n – 2) / n, gdzie n jest liczbą jego kątów. Wewnątrz wielokąta foremnego znajduje się punkt O (ryc. 56), w równej odległości od wszystkich jego wierzchołków (OA = OB = OC = ... = OF), który nazywany jest środkiem wielokąta foremnego. Środek wielokąta foremnego jest również w jednakowej odległości od wszystkich jego boków (OP = OQ = OR = ...). Segmenty OP, OQ, OR, ... nazywane są apotemami; odcinki OA, OB, OC, ... są promieniami wielokąta foremnego. W wielokąt foremny można wpisać okrąg i wokół niego opisać okrąg. Środki okręgów wpisanych i opisanych pokrywają się ze środkiem wielokąta foremnego. Promień okręgu opisanego jest promieniem wielokąta foremnego, a promień okręgu wpisanego jest jego apotemem. Stosunki boków i promieni wielokątów foremnych:

W przypadku większości wielokątów foremnych nie można wyrazić związku między ich bokami i promieniami za pomocą wzoru algebraicznego.

PRZYKŁAD Czy z koła można wyciąć kwadrat o boku 30 cm?

Średnica 40 cm?

Rozwiązanie: Wpisano największy kwadrat zamknięty w okręgu

Kwadrat. Zgodnie z powyższą formułą jest to

Strona jest równa:

Dlatego nie można wyciąć kwadratu o boku 30 cm

Z koła o średnicy 40 cm.