Jaka jest linia środkowa trapezu? Właściwości trapezu

W rozwiązywaniu problemów planimetrycznych oprócz boków i kątów figury często biorą udział inne wielkości - środkowe, wysokości, przekątne, dwusieczne i inne. Należą do nich linia środkowa.
Jeśli pierwotny wielokąt jest trapezem, jaka jest jego linia środkowa? Odcinek ten jest częścią linii prostej, która przecina boki figury w środku i jest umieszczona równolegle do pozostałych dwóch boków - podstaw.

Jak znaleźć linię środkową trapezu poprzez linię środka i podstawy

Jeśli znane są wartości górnej i dolnej podstawy, wyrażenie pomoże obliczyć niewiadomą:

a, b – podstawy, l – linia środkowa.

Jak znaleźć linię środkową trapezu przechodzącego przez obszar

Jeśli dane źródłowe zawierają obszar figury, to za pomocą tej wartości można również obliczyć długość linii pośrodku trapezu. Skorzystajmy ze wzoru S = (a+b)/2*h,
S – powierzchnia,
h – wysokość,
a, b – zasady.
Ale ponieważ l = (a+b)/2, to S = l*h, co oznacza l=S/h.

Jak znaleźć linię środkową trapezu poprzez podstawę i jej kąty

Biorąc pod uwagę długość większej podstawy figury, jej wysokość, a także znane miary stopnia kątów na niej, wyrażenie na znalezienie linii środka trapezu będzie miało następującą postać:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, podczas gdy
l jest pożądaną wartością,
a – większa podstawa,
α, β to kąty przy nim,
h – wysokość figury.

Jeśli znana jest wartość mniejszej podstawy (biorąc pod uwagę te same inne dane), w wyznaczeniu linii środkowej pomoże poniższa zależność:

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

l jest pożądaną wartością,
b – mniejsza podstawa,
α, β to kąty przy nim,
h – wysokość figury.

Znajdź linię środkową trapezu, korzystając z wysokości, przekątnych i kątów

Rozważmy sytuację, w której warunki problemowe obejmują wartości przekątnych figury, kąty, jakie tworzą przy przecinaniu się, a także wysokość. Linię środkową można obliczyć za pomocą następujących wyrażeń:

l=(d1*d2)/2h*sinγ lub l=(d1*d2)/2h*sinφ,

l – linia środkowa,
d1, d2 – przekątne,
φ, γ – kąty między nimi,
h – wysokość figury.

Jak znaleźć linię środkową trapezu Dla figury równoramiennej

Jeżeli figurą podstawową jest trapez równoramienny, powyższe wzory będą miały następującą postać.

• Jeśli obecne są wartości podstaw trapezu, w wyrażeniu nie nastąpią żadne zmiany.

l = (a+b)/2, a, b – podstawy, l – linia środkowa.

• Jeżeli znana jest wysokość, podstawa i sąsiadujące z nią kąty, to:

l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,

l – linia środkowa,
a, b – zasady (b< a),
α to kąty przy nim,
h – wysokość figury.

• Jeśli znany jest boczny bok trapezu i jedna z podstaw, to żądaną wartość można określić, odwołując się do wyrażenia:

l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
l – linia środkowa,
a, b – zasady (b< a),
h – wysokość figury.

• Przy znanych wartościach wysokości, przekątnych (a są one sobie równe) i kątów powstałych w wyniku ich przecięcia, linię środkową można znaleźć w następujący sposób:

l=(d*d)/2h*sinγ lub l=(d*d)/2h*sinφ,

l – linia środkowa,
d – przekątne,
φ, γ – kąty między nimi,
h – wysokość figury.

• Znane jest pole i wysokość figury, wówczas:

l=S/h,
S – powierzchnia,
h – wysokość.

• Jeżeli wysokość prostopadła nie jest znana, można ją wyznaczyć korzystając z definicji funkcji trygonometrycznej.

h=c*sinα, zatem
l=S/c*sinα,
l – linia środkowa,
S – powierzchnia,
c – bok,
α jest kątem przy podstawie.

Linia środkowa trapezu, a zwłaszcza jego właściwości, są bardzo często wykorzystywane w geometrii do rozwiązywania problemów i dowodzenia niektórych twierdzeń.

jest czworokątem, który ma tylko 2 boki równoległe do siebie. Równoległe boki nazywane są podstawami (na rysunku 1 - OGŁOSZENIE I PNE.), pozostałe dwa są boczne (na rysunku AB I płyta CD).

Linia środkowa trapezu jest odcinkiem łączącym środki jego boków (na rysunku 1 - KL).

Właściwości linii środkowej trapezu

Dowód twierdzenia o linii środkowej trapezu

Udowodnićże linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy jego podstaw i jest do nich równoległa.

Biorąc pod uwagę trapez ABCD z linią środkową KL. Aby udowodnić rozważane właściwości, konieczne jest narysowanie linii prostej przez punkty B I L. Na rysunku 2 jest to linia prosta BQ. A także kontynuuj fundament OGŁOSZENIE do przecięcia z linią BQ.

Rozważ powstałe trójkąty L.B.C. I LQD:

1. Z definicji linii środkowej KL kropka L jest środkiem odcinka płyta CD. Wynika z tego, że segmenty C.L. I LD są równe.
2. ∠BLC = ∠QLD, ponieważ te kąty są pionowe.
3. ∠BCL = ∠LDQ, ponieważ kąty te leżą poprzecznie na liniach równoległych OGŁOSZENIE I PNE. i sieczna płyta CD.

Z tych 3 równości wynika, że ​​rozważane wcześniej trójkąty L.B.C. I LQD równe z 1 strony i dwóch sąsiednich kątów (patrz ryc. 3). Stąd, ∠LBC = ∠ LQD, BC=DQ i najważniejsze - BL=LQ => KL, czyli linia środkowa trapezu ABCD, jest także linią środkową trójkąta ABQ. Zgodnie z właściwością linii środkowej trójkąta ABQ dostajemy.

Pojęcie linii środkowej trapezu

Najpierw pamiętajmy, jaki rodzaj figury nazywa się trapezem.

Definicja 1

Trapez to czworokąt, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa nie są równoległe.

W tym przypadku boki równoległe nazywane są podstawami trapezu, a boki nierównoległe nazywane są bocznymi bokami trapezu.

Definicja 2

Linia środkowa trapezu to odcinek łączący środki boków trapezu.

Twierdzenie o linii środkowej trapezu

Teraz wprowadzimy twierdzenie o linii środkowej trapezu i udowodnimy je metodą wektorową.

Twierdzenie 1

Linia środkowa trapezu jest równoległa do podstaw i równa ich połowie.

Dowód.

Weźmy trapez $ABCD$ o podstawach $AD\ i\ BC$. I niech $MN$ będzie linią środkową tego trapezu (ryc. 1).

Rysunek 1. Linia środkowa trapezu

Udowodnimy, że $MN||AD\ i\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Rozważmy wektor $\overrightarrow(MN)$. Następnie używamy reguły wielokąta, aby dodać wektory. Z jednej strony to rozumiemy

Z drugiej strony

Dodajmy dwie ostatnie równości i otrzymamy

Ponieważ $M$ i $N$ są środkami bocznych boków trapezu, będziemy mieli

Otrzymujemy:

Stąd

Z tej samej równości (ponieważ $\overrightarrow(BC)$ i $\overrightarrow(AD)$ są współkierunkowe, a zatem współliniowe) otrzymujemy $MN||AD$.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykłady problemów z pojęciem linii środkowej trapezu

Przykład 1

Boki boczne trapezu wynoszą odpowiednio 15 $ cm $ i 17 $ cm $. Obwód trapezu wynosi 52 $\cm$. Znajdź długość linii środkowej trapezu.

Rozwiązanie.

Oznaczmy linię środkową trapezu przez $n$.

Suma boków jest równa

Zatem, ponieważ obwód wynosi 52 $ cm $, suma podstaw jest równa

Zatem z Twierdzenia 1 otrzymujemy

Odpowiedź: 10 $\cm$.

Przykład 2

Końce średnicy okręgu znajdują się odpowiednio 9 $ cm i 5 $ cm od jego stycznej. Znajdź średnicę tego okręgu.

Rozwiązanie.

Otrzymamy okrąg o środku w punkcie $O$ i średnicy $AB$. Narysujmy tangens $l$ i skonstruujmy odległości $AD=9\ cm$ i $BC=5\ cm$. Narysujmy promień $OH$ (ryc. 2).

Rysunek 2.

Ponieważ $AD$ i $BC$ to odległości do stycznej, to $AD\bot l$ i $BC\bot l$, a ponieważ $OH$ to promień, to $OH\bot l$, zatem $OH |\lewy|AD\prawy||BC$. Z tego wszystkiego wynika, że ​​$ABCD$ jest trapezem, a $OH$ jest jego linią środkową. Z twierdzenia 1 otrzymujemy

Trapez jest szczególnym przypadkiem czworokąta, w którym jedna para boków jest równoległa. Określenie „trapez” pochodzi od greckiego słowa τράπεζα, oznaczającego „stół”, „stół”. W tym artykule przyjrzymy się rodzajom trapezu i jego właściwościom. Dodatkowo dowiemy się jak obliczyć poszczególne elementy tego np. przekątną trapezu równoramiennego, linię środkową, pole itp. Materiał przedstawiony jest w stylu elementarnej popularnej geometrii, czyli w łatwo dostępnej formie .

Informacje ogólne

Najpierw dowiedzmy się, czym jest czworokąt. Ta figura jest szczególnym przypadkiem wielokąta zawierającego cztery boki i cztery wierzchołki. Dwa wierzchołki czworokąta, które nie sąsiadują ze sobą, nazywane są przeciwległymi. To samo można powiedzieć o dwóch niesąsiadujących ze sobą stronach. Główne typy czworokątów to równoległobok, prostokąt, romb, kwadrat, trapez i naramienny.

Wróćmy więc do trapezów. Jak już powiedzieliśmy, liczba ta ma dwa równoległe boki. Nazywa się je bazami. Pozostałe dwa (nierównoległe) to boki boczne. W materiałach egzaminacyjnych i różnorodnych sprawdzianów często można znaleźć zadania związane z trapezami, których rozwiązanie często wymaga od ucznia posiadania wiedzy nie przewidzianej w programie. Szkolny kurs geometrii zapoznaje uczniów z właściwościami kątów i przekątnych oraz linią środkową trapezu równoramiennego. Ale oprócz tego wspomniana figura geometryczna ma inne cechy. Ale o nich trochę później...

Rodzaje trapezu

Istnieje wiele rodzajów tej figury. Jednak najczęściej zwyczajowo rozważa się dwa z nich - równoramienne i prostokątne.

1. Trapez prostokątny to figura, w której jeden z boków jest prostopadły do ​​podstaw. Jej dwa kąty są zawsze równe dziewięćdziesięciu stopniom.

2. Trapez równoramienny to figura geometryczna, której boki są sobie równe. Oznacza to, że kąty przy podstawach są również równe parami.

Główne zasady metodologii badania właściwości trapezu

Główną zasadą jest stosowanie tzw. podejścia zadaniowego. Właściwie nie ma potrzeby wprowadzania nowych własności tej figury do teoretycznego przebiegu geometrii. Można je odkrywać i formułować w procesie rozwiązywania różnorodnych problemów (najlepiej systemowych). Jednocześnie bardzo ważne jest, aby nauczyciel wiedział, jakie zadania należy przypisać uczniom w danym momencie procesu edukacyjnego. Co więcej, każdą właściwość trapezu można przedstawić jako kluczowe zadanie w systemie zadań.

Drugą zasadą jest tak zwana spiralna organizacja badania „niezwykłych” właściwości trapezu. Oznacza to powrót w procesie uczenia się do indywidualnych cech danej figury geometrycznej. Dzięki temu uczniowie łatwiej je zapamiętają. Na przykład właściwość czterech punktów. Można to udowodnić zarówno badając podobieństwo, jak i później używając wektorów. Natomiast równoważność trójkątów przylegających do boków figury można udowodnić, stosując nie tylko właściwości trójkątów o jednakowych wysokościach narysowanych do boków leżących na tej samej prostej, ale także korzystając ze wzoru S = 1/2( ab*sinα). Ponadto możesz pracować na trapezie wpisanym lub trójkącie prostokątnym na trapezie wpisanym itp.

Wykorzystanie „pozaszkolnych” cech figury geometrycznej w treści zajęć szkolnych jest technologią zadaniową do ich nauczania. Ciągłe odwoływanie się do badanych właściwości podczas przechodzenia przez inne tematy pozwala studentom na głębsze poznanie trapezu i gwarantuje sukces w rozwiązywaniu postawionych problemów. Zacznijmy więc studiować tę cudowną postać.

Elementy i właściwości trapezu równoramiennego

Jak już zauważyliśmy, ta figura geometryczna ma równe boki. Znany jest również jako prawidłowy trapez. Dlaczego jest tak niezwykły i dlaczego otrzymał taką nazwę? Osobliwością tej figury jest to, że nie tylko boki i kąty u podstaw są równe, ale także przekątne. Ponadto suma kątów trapezu równoramiennego wynosi 360 stopni. Ale to nie wszystko! Ze wszystkich znanych trapezów tylko trapez równoramienny można opisać jako okrąg. Wynika to z faktu, że suma przeciwnych kątów tej figury wynosi 180 stopni i tylko pod tym warunkiem można opisać okrąg wokół czworoboku. Kolejną właściwością rozważanej figury geometrycznej jest to, że odległość od wierzchołka podstawy do rzutu przeciwległego wierzchołka na prostą zawierającą tę podstawę będzie równa linii środkowej.

Teraz zastanówmy się, jak znaleźć kąty trapezu równoramiennego. Rozważmy rozwiązanie tego problemu, pod warunkiem, że znane są wymiary boków figury.

Rozwiązanie

Zazwyczaj czworokąt jest zwykle oznaczany literami A, B, C, D, gdzie BS i AD są podstawami. W trapezie równoramiennym boki są równe. Założymy, że ich rozmiar jest równy X, a rozmiary podstaw są równe Y i Z (odpowiednio mniejsze i większe). Aby przeprowadzić obliczenia, należy narysować wysokość H z kąta B. W rezultacie powstaje trójkąt prostokątny ABN, gdzie AB jest przeciwprostokątną, a BN i AN są przyprostokątnymi. Obliczamy rozmiar nogi AN: od większej podstawy odejmujemy mniejszą i dzielimy wynik przez 2. Zapisujemy to w postaci wzoru: (Z-Y)/2 = F. Teraz obliczamy ostrość kąt trójkąta, korzystamy z funkcji cos. Otrzymujemy następujący wpis: cos(β) = X/F. Teraz obliczamy kąt: β=arcos (X/F). Ponadto, znając jeden kąt, możemy określić drugi, w tym celu wykonujemy elementarną operację arytmetyczną: 180 - β. Wszystkie kąty są zdefiniowane.

Istnieje drugie rozwiązanie tego problemu. Najpierw obniżamy go od rogu do wysokości H. Obliczamy wartość nogi BN. Wiemy, że kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów nóg. Otrzymujemy: BN = √(X2-F2). Następnie używamy funkcji trygonometrycznej tg. W rezultacie mamy: β = arctan (BN/F). Znaleziono kąt ostry. Następnie definiujemy to podobnie jak w przypadku pierwszej metody.

Własność przekątnych trapezu równoramiennego

Najpierw napiszmy cztery zasady. Jeżeli przekątne w trapezie równoramiennym są prostopadłe, to:

Wysokość figury będzie równa sumie podstaw podzielonej przez dwa;

Jego wysokość i linia środkowa są równe;

Środek okręgu to punkt, w którym ;

Jeśli bok boczny zostanie podzielony przez punkt styczności na odcinki H i M, wówczas jest on równy pierwiastkowi kwadratowemu iloczynu tych odcinków;

Czworokąt utworzony przez punkty styczne, wierzchołek trapezu i środek okręgu wpisanego jest kwadratem, którego bok jest równy promieniowi;

Pole figury jest równe iloczynowi podstaw i iloczynu połowy sumy podstaw i jej wysokości.

Podobne trapezy

Ten temat jest bardzo wygodny do badania właściwości tego. Na przykład przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty, a te sąsiadujące z podstawami są podobne, a te sąsiadujące z bokami są równej wielkości. Stwierdzenie to można nazwać właściwością trójkątów, na które trapez jest podzielony przez jego przekątne. Pierwszą część tego stwierdzenia można udowodnić za pomocą znaku podobieństwa pod dwoma kątami. Aby udowodnić drugą część, lepiej zastosować metodę podaną poniżej.

Dowód twierdzenia

Przyjmujemy, że figura ABSD (AD i BS są podstawami trapezu) jest podzielona przez przekątne VD i AC. Punkt ich przecięcia to O. Otrzymujemy cztery trójkąty: AOS - u dolnej podstawy, BOS - u górnej podstawy, ABO i SOD po bokach. Trójkąty SOD i BOS mają wspólną wysokość, jeśli odcinki BO i OD są ich podstawami. Stwierdzamy, że różnica między ich obszarami (P) jest równa różnicy między tymi segmentami: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Zatem PSOD = PBOS/K. Podobnie trójkąty BOS i AOB mają wspólną wysokość. Za ich podstawy przyjmujemy segmenty CO i OA. Otrzymujemy PBOS/PAOB = CO/OA = K i PAOB = PBOS/K. Wynika z tego, że PSOD = PAOB.

Aby utrwalić materiał, zaleca się uczniom znalezienie połączenia między obszarami powstałych trójkątów, na które trapez jest podzielony przez jego przekątne, rozwiązując następujący problem. Wiadomo, że trójkąty BOS i AOD mają równe pola, konieczne jest znalezienie pola trapezu. Ponieważ PSOD = PAOB, oznacza to PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Z podobieństwa trójkątów BOS i AOD wynika, że ​​BO/OD = √(PBOS/PAOD). Zatem PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Otrzymujemy PSOD = √(PBOS*PAOD). Wtedy PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Właściwości podobieństwa

Kontynuując rozwój tego tematu, możemy wykazać inne interesujące cechy trapezów. Zatem korzystając z podobieństwa można wykazać własność odcinka przechodzącego przez punkt utworzony przez przecięcie przekątnych tej figury geometrycznej, równoległych do podstaw. W tym celu rozwiążmy następujące zadanie: musimy znaleźć długość odcinka RK przechodzącego przez punkt O. Z podobieństwa trójkątów AOD i BOS wynika, że ​​AO/OS = AD/BS. Z podobieństwa trójkątów AOP i ASB wynika, że ​​AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Stąd otrzymujemy RO=BS*BP/(BS+BP). Podobnie z podobieństwa trójkątów DOC i DBS wynika, że ​​OK = BS*AD/(BS+AD). Stąd otrzymujemy RO=OK i RK=2*BS*AD/(BS+AD). Odcinek przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych, równoległy do ​​podstaw i łączący dwa boki boczne, dzieli się na pół przez punkt przecięcia. Jego długość jest średnią harmoniczną podstaw figury.

Rozważmy następującą właściwość trapezu, zwaną własnością czterech punktów. Punkty przecięcia przekątnych (O), przecięcie kontynuacji boków (E), a także środki podstaw (T i F) zawsze leżą na tej samej prostej. Można to łatwo udowodnić metodą podobieństwa. Powstałe trójkąty BES i AED są podobne i w każdym z nich środkowe ET i EJ dzielą kąt wierzchołkowy E na równe części. Zatem punkty E, T i F leżą na tej samej prostej. Podobnie punkty T, O, Zh leżą na tej samej prostej, co wynika z podobieństwa trójkątów BOS i AOD. Stąd wnioskujemy, że wszystkie cztery punkty – E, T, O i F – będą leżeć na tej samej linii prostej.

Korzystając z podobnych trapezów, możesz poprosić uczniów o znalezienie długości odcinka (LS), który dzieli figurę na dwie podobne. Odcinek ten musi być równoległy do ​​podstaw. Ponieważ powstałe trapezy ALFD i LBSF są podobne, to BS/LF = LF/AD. Wynika z tego, że LF=√(BS*AD). Stwierdzamy, że odcinek dzielący trapez na dwa podobne ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw figury.

Rozważ następującą właściwość podobieństwa. Opiera się na odcinku dzielącym trapez na dwie równe figury. Zakładamy, że trapez ABSD jest podzielony odcinkiem EH na dwa podobne. Z wierzchołka B pominięto wysokość, którą odcinkiem EN dzielimy na dwie części – B1 i B2. Otrzymujemy: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 i PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Następnie tworzymy układ, którego pierwsze równanie to (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, a drugie (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Wynika z tego, że B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) i BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Stwierdzamy, że długość odcinka dzielącego trapez na dwie równe części jest równa pierwiastkowi kwadratowemu długości podstaw: √((BS2+AD2)/2).

Ustalenia dotyczące podobieństwa

W ten sposób udowodniliśmy, że:

1. Odcinek łączący środki boków trapezu jest równoległy do ​​AD i BS i równy średniej arytmetycznej BS i AD (długość podstawy trapezu).

2. Prosta przechodząca przez punkt O przecięcia przekątnych równoległych do AD i BS będzie równa średniej harmonicznej liczb AD i BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Odcinek dzielący trapez na podobne ma długość średniej geometrycznej podstaw BS i AD.

4. Element dzielący figurę na dwie równe części ma długość średniego kwadratu liczb AD i BS.

Aby utrwalić materiał i zrozumieć powiązania pomiędzy rozważanymi segmentami, uczeń musi je skonstruować dla konkretnego trapezu. Z łatwością potrafi wskazać linię środkową oraz odcinek przechodzący przez punkt O – przecięcie przekątnych figury – równoległy do ​​podstaw. Ale gdzie będzie zlokalizowany trzeci i czwarty? Odpowiedź ta doprowadzi ucznia do odkrycia pożądanej zależności pomiędzy wartościami średnimi.

Odcinek łączący środki przekątnych trapezu

Rozważ następującą właściwość tej figury. Zakładamy, że odcinek MH jest równoległy do ​​podstaw i dzieli przekątne na pół. Nazwijmy punkty przecięcia Ш i Ш.Odcinek ten będzie równy połowie różnicy podstaw. Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo. MS to środkowa linia trójkąta ABS, równa się BS/2. MSH jest środkową linią trójkąta ABD i jest równa AD/2. Następnie otrzymujemy, że ShShch = MSh-MSh, zatem ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Środek ciężkości

Przyjrzyjmy się, jak wyznacza się ten element dla danej figury geometrycznej. Aby to zrobić, konieczne jest przedłużenie podstaw w przeciwnych kierunkach. Co to znaczy? Musisz dodać dolną podstawę do górnej podstawy - w dowolnym kierunku, na przykład w prawo. I przedłużamy dolny o długość górnego w lewo. Następnie łączymy je po przekątnej. Punkt przecięcia tego odcinka z linią środkową figury jest środkiem ciężkości trapezu.

Trapezy wpisane i opisane

Wymieńmy cechy takich liczb:

1. Trapez można wpisać w okrąg tylko wtedy, gdy jest równoramienny.

2. Trapez można opisać wokół okręgu pod warunkiem, że suma długości ich podstaw jest równa sumie długości boków.

Następstwa okręgu:

1. Wysokość opisanego trapezu jest zawsze równa dwóm promieniom.

2. Bok opisywanego trapezu obserwujemy od środka okręgu pod kątem prostym.

Pierwszy wniosek jest oczywisty, ale aby udowodnić drugi, należy ustalić, że kąt SOD jest prosty, co w rzeczywistości również nie jest trudne. Ale znajomość tej właściwości pozwoli ci używać trójkąta prostokątnego przy rozwiązywaniu problemów.

Określmy teraz te konsekwencje dla trapezu równoramiennego wpisanego w okrąg. Okazuje się, że wysokość jest średnią geometryczną podstaw figury: H=2R=√(BS*AD). Ćwicząc podstawową technikę rozwiązywania problemów trapezowych (zasada rysowania dwóch wysokości), student musi rozwiązać następujące zadanie. Zakładamy, że BT jest wysokością figury równoramiennej ABSD. Konieczne jest znalezienie odcinków AT i TD. Korzystając ze wzoru opisanego powyżej, nie będzie to trudne.

Teraz zastanówmy się, jak określić promień koła za pomocą obszaru opisanego trapezu. Obniżamy wysokość od wierzchołka B do podstawy AD. Ponieważ okrąg jest wpisany w trapez, to BS+AD = 2AB lub AB = (BS+AD)/2. Z trójkąta ABN znajdujemy sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Otrzymujemy PABSD = (BS+BP)*R, z czego wynika, że ​​R = PABSD/(BS+BP).

Wszystkie wzory na linię środkową trapezu

Teraz czas przejść do ostatniego elementu tej figury geometrycznej. Zastanówmy się, jaka jest środkowa linia trapezu (M):

1. Przez podstawy: M = (A+B)/2.

2. Przez wysokość, podstawę i narożniki:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Poprzez wysokość, przekątne i kąt między nimi. Na przykład D1 i D2 to przekątne trapezu; α, β - kąty między nimi:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Powierzchnia przelotowa i wysokość: M = P/N.

W tym artykule postaramy się jak najpełniej odzwierciedlić właściwości trapezu. W szczególności omówimy ogólne cechy i właściwości trapezu, a także właściwości trapezu wpisanego i okręgu wpisanego w trapez. Dotkniemy także właściwości trapezu równoramiennego i prostokątnego.

Przykład rozwiązania problemu z wykorzystaniem omawianych właściwości pomoże Ci uporządkować go w miejsca w głowie i lepiej zapamiętać materiał.

Trapez i wszystko-wszystko

Na początek przypomnijmy sobie krótko, czym jest trapez i jakie inne pojęcia są z nim związane.

Zatem trapez jest figurą czworoboczną, której dwa boki są do siebie równoległe (są to podstawy). I te dwa nie są równoległe - to są boki.

W trapezie wysokość można obniżyć - prostopadle do podstaw. Rysowana jest linia środkowa i przekątne. Możliwe jest również narysowanie dwusiecznej z dowolnego kąta trapezu.

Porozmawiamy teraz o różnych właściwościach związanych ze wszystkimi tymi elementami i ich kombinacjami.

Własności przekątnych trapezowych

Aby było to jaśniejsze, podczas czytania naszkicuj trapez ACME na kartce papieru i narysuj w nim przekątne.

1. Jeśli znajdziesz środki każdej z przekątnych (nazwijmy te punkty X i T) i połącz je, otrzymasz odcinek. Jedną z właściwości przekątnych trapezu jest to, że odcinek HT leży na linii środkowej. A jego długość można uzyskać, dzieląc różnicę podstaw przez dwa: ХТ = (a – b)/2.
2. Przed nami ten sam trapez ACME. Przekątne przecinają się w punkcie O. Przyjrzyjmy się trójkątom AOE i MOK utworzonym z odcinków przekątnych wraz z podstawami trapezu. Te trójkąty są podobne. Współczynnik podobieństwa k trójkątów wyraża się stosunkiem podstaw trapezu: k = AE/KM.
   Stosunek pól trójkątów AOE i MOK opisuje współczynnik k 2 .
3. Ten sam trapez, te same przekątne przecinające się w punkcie O. Tylko tym razem rozważymy trójkąty, które utworzyły odcinki przekątnych razem z bokami trapezu. Pola trójkątów AKO i EMO są równej wielkości - ich pola są takie same.
4. Inną właściwością trapezu jest konstrukcja przekątnych. Tak więc, jeśli będziesz kontynuować boki AK i ME w kierunku mniejszej podstawy, to prędzej czy później przetną się w pewnym punkcie. Następnie narysuj linię prostą przez środek podstaw trapezu. Przecina podstawy w punktach X i T.
   Jeśli teraz przedłużymy linię XT, to połączy ona ze sobą punkt przecięcia przekątnych trapezu O, punkt, w którym przecinają się przedłużenia boków i środki podstaw X i T.
5. Przez punkt przecięcia przekątnych narysujemy odcinek, który połączy podstawy trapezu (T leży na mniejszej podstawie KM, X na większej AE). Punkt przecięcia przekątnych dzieli ten odcinek w następującym stosunku: TO/OX = KM/AE.
6. Teraz przez punkt przecięcia przekątnych narysujemy odcinek równoległy do ​​podstaw trapezu (a i b). Punkt przecięcia podzieli go na dwie równe części. Długość odcinka można znaleźć za pomocą wzoru 2ab/(a + b).

Właściwości linii środkowej trapezu

Narysuj linię środkową trapezu równolegle do jego podstaw.

1. Długość linii środkowej trapezu można obliczyć, dodając długości podstaw i dzieląc je na pół: m = (a + b)/2.
2. Jeśli przeciągniesz dowolny odcinek (na przykład wysokość) przez obie podstawy trapezu, środkowa linia podzieli go na dwie równe części.

Właściwość dwusiecznej trapezu

Wybierz dowolny kąt trapezu i narysuj dwusieczną. Weźmy na przykład kąt KAE naszego trapezu ACME. Po samodzielnym wykonaniu konstrukcji łatwo sprawdzić, czy dwusieczna odcina od podstawy (lub jej kontynuacji na linii prostej poza samą figurą) odcinek o tej samej długości co bok.

Właściwości kątów trapezowych

1. Niezależnie od tego, którą z dwóch par kątów przylegających do boku wybierzesz, suma kątów w parze wynosi zawsze 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0.
2. Połączmy środki podstaw trapezu z odcinkiem TX. Przyjrzyjmy się teraz kątom u podstaw trapezu. Jeżeli suma kątów któregokolwiek z nich wynosi 90 0, długość odcinka TX można łatwo obliczyć na podstawie różnicy długości podstaw podzielonej na pół: TX = (AE – KM)/2.
3. Jeśli przez boki kąta trapezowego poprowadzono równoległe linie, podzielą one boki kąta na proporcjonalne odcinki.

Właściwości trapezu równobocznego

1. W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są równe.
2. Teraz zbuduj ponownie trapez, aby łatwiej było sobie wyobrazić, o czym mówimy. Przyjrzyj się uważnie bazie AE - wierzchołek przeciwnej podstawy M jest rzutowany do pewnego punktu na linii zawierającej AE. Odległość wierzchołka A od punktu rzutu wierzchołka M i linii środkowej trapezu równoramiennego są równe.
3. Kilka słów o własności przekątnych trapezu równoramiennego - ich długości są równe. A także kąty nachylenia tych przekątnych do podstawy trapezu są takie same.
4. Okrąg można opisać tylko wokół trapezu równoramiennego, ponieważ suma przeciwnych kątów czworoboku wynosi 180 0 - jest to warunek wstępny.
5. Właściwość trapezu równoramiennego wynika z poprzedniego akapitu - jeśli w pobliżu trapezu można opisać okrąg, jest to równoramienny.
6. Z cech trapezu równoramiennego wynika właściwość wysokości trapezu: jeśli jego przekątne przecinają się pod kątem prostym, wówczas długość wysokości jest równa połowie sumy podstaw: h = (a + b)/2.
7. Ponownie narysuj odcinek TX przez środki podstaw trapezu - w trapezie równoramiennym jest on prostopadły do ​​podstaw. Jednocześnie TX jest osią symetrii trapezu równoramiennego.
8. Tym razem obniż wysokość z przeciwnego wierzchołka trapezu na większą podstawę (nazwijmy to a). Otrzymasz dwa segmenty. Długość jednego można obliczyć, dodając długości podstaw i dzieląc je na pół: (a + b)/2. Drugą otrzymamy, gdy od większej podstawy odejmiemy mniejszą i uzyskaną różnicę podzielimy przez dwa: (a – b)/2.

Właściwości trapezu wpisanego w okrąg

Ponieważ mówimy już o trapezie wpisanym w okrąg, zastanówmy się nad tym zagadnieniem bardziej szczegółowo. W szczególności, gdzie środek okręgu znajduje się w stosunku do trapezu. Tutaj również zaleca się poświęcenie czasu na chwycenie ołówka i narysowanie tego, co zostanie omówione poniżej. W ten sposób szybciej zrozumiesz i lepiej zapamiętasz.

1. Położenie środka okręgu wyznacza kąt nachylenia przekątnej trapezu na jego bok. Na przykład przekątna może rozciągać się od góry trapezu pod kątem prostym do boku. W tym przypadku większa podstawa przecina środek okręgu opisanego dokładnie w środku (R = ½AE).
2. Przekątna i bok mogą również spotykać się pod kątem ostrym - wtedy środek okręgu znajduje się wewnątrz trapezu.
3. Środek okręgu opisanego może znajdować się na zewnątrz trapezu, poza jego większą podstawą, jeśli między przekątną trapezu a jego bokiem istnieje kąt rozwarty.
4. Kąt utworzony przez przekątną i dużą podstawę trapezu ACME (kąt wpisany) jest połową odpowiadającego mu kąta środkowego: MAE = ½MOE.
5. Krótko o dwóch sposobach wyznaczania promienia opisanego okręgu. Metoda pierwsza: przyjrzyj się uważnie swojemu rysunkowi – co widzisz? Łatwo zauważyć, że przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty. Promień można obliczyć ze stosunku boku trójkąta do sinusa przeciwnego kąta pomnożonego przez dwa. Na przykład, R = AE/2*sinAME. W podobny sposób wzór można zapisać dla dowolnego boku obu trójkątów.
6. Metoda druga: znajdź promień opisanego koła przez obszar trójkąta utworzonego przez przekątną, bok i podstawę trapezu: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Właściwości trapezu opisanego na okręgu

Można zmieścić okrąg w trapezie, jeśli spełniony jest jeden warunek. Przeczytaj więcej na ten temat poniżej. Razem ta kombinacja liczb ma wiele interesujących właściwości.

1. Jeśli w trapez wpisano okrąg, długość jego linii środkowej można łatwo obliczyć, dodając długości boków i dzieląc otrzymaną sumę na pół: m = (c + d)/2.
2. Dla trapezu ACME opisanego na okręgu suma długości podstaw jest równa sumie długości boków: AK + ME = KM + AE.
3. Z tej własności podstaw trapezu wynika stwierdzenie odwrotne: w trapezoid, którego suma podstaw jest równa sumie jego boków, można wpisać okrąg.
4. Punkt styczny okręgu o promieniu r wpisanego w trapez dzieli bok na dwa odcinki, nazwijmy je a i b. Promień okręgu można obliczyć korzystając ze wzoru: r = √ab.
5. I jeszcze jedna nieruchomość. Aby uniknąć nieporozumień, sam również narysuj ten przykład. Mamy stary, dobry trapez ACME opisany wokół okręgu. Zawiera przekątne przecinające się w punkcie O. Trójkąty AOK i EOM utworzone przez odcinki przekątnych i boki boczne są prostokątne.
   Wysokości tych trójkątów, obniżone do przeciwprostokątnych (tj. bocznych boków trapezu), pokrywają się z promieniami okręgu wpisanego. A wysokość trapezu pokrywa się ze średnicą wpisanego koła.

Właściwości trapezu prostokątnego

Trapez nazywa się prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów jest prosty. I z tej okoliczności wynikają jego właściwości.

1. Trapez prostokątny ma jeden bok prostopadły do ​​podstawy.
2. Wysokość i bok trapezu sąsiadującego z kątem prostym są równe. Pozwala to obliczyć pole prostokątnego trapezu (wzór ogólny S = (a + b) * godz/2) nie tylko przez wysokość, ale także przez bok przylegający do kąta prostego.
3. W przypadku trapezu prostokątnego istotne są ogólne właściwości przekątnych trapezu opisane już powyżej.

Dowody na niektóre właściwości trapezu

Równość kątów u podstawy trapezu równoramiennego:

• Prawdopodobnie już zgadłeś, że tutaj znów będziemy potrzebować trapezu AKME - narysuj trapez równoramienny. Narysuj linię prostą MT z wierzchołka M, równoległą do boku AK (MT || AK).

Powstały czworobok AKMT jest równoległobokiem (AK || MT, KM || AT). Ponieważ ME = KA = MT, ∆ MTE jest równoramienne, a MET = MTE.

AK || MT, zatem MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdzie AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

co było do okazania

Teraz, bazując na własności trapezu równoramiennego (równość przekątnych), udowodnimy to trapez ACME jest równoramienny:

• Najpierw narysujmy linię prostą MX – MX || KE. Otrzymujemy równoległobok KMHE (podstawa – MX || KE i KM || EX).

∆AMX jest równoramienne, ponieważ AM = KE = MX i MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, zatem MAE = MXE.

Okazało się, że trójkąty AKE i EMA są sobie równe, ponieważ AM = KE i AE są wspólnymi bokami obu trójkątów. A także MAE = MXE. Możemy stwierdzić, że AK = ME i z tego wynika, że ​​trapez AKME jest równoramienny.

Przejrzyj zadanie

Podstawy trapezu ACME mają długości 9 cm i 21 cm, bok KA równy 8 cm tworzy z mniejszą podstawą kąt 150 0. Musisz znaleźć obszar trapezu.

Rozwiązanie: Z wierzchołka K obniżamy wysokość do większej podstawy trapezu. Zacznijmy patrzeć na kąty trapezu.

Kąty AEM i KAN są jednostronne. Oznacza to, że w sumie dają 180 0. Zatem KAN = 30 0 (na podstawie właściwości kątów trapezowych).

Rozważmy teraz prostokątną ∆ANC (uważam, że ten punkt jest oczywisty dla czytelników bez dodatkowych dowodów). Z niego znajdziemy wysokość trapezu KH - w trójkącie jest to noga leżąca naprzeciw kąta 30 0. Dlatego KH = ½AB = 4 cm.

Pole trapezu obliczamy ze wzoru: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Posłowie

Jeśli dokładnie i starannie przestudiowałeś ten artykuł, nie byłeś zbyt leniwy, aby narysować trapezy dla wszystkich podanych właściwości ołówkiem w dłoniach i przeanalizować je w praktyce, powinieneś dobrze opanować materiał.

Oczywiście jest tu mnóstwo informacji, różnorodnych, a czasem nawet zagmatwanych: nie tak trudno pomylić właściwości opisywanego trapezu z właściwościami wpisanego. Ale sam widziałeś, że różnica jest ogromna.

Teraz masz szczegółowy zarys wszystkich ogólnych właściwości trapezu. A także specyficzne właściwości i cechy trapezów równoramiennych i prostokątnych. Jest bardzo wygodny w użyciu w celu przygotowania się do sprawdzianów i egzaminów. Wypróbuj sam i udostępnij link swoim znajomym!

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.