Wykres i właściwości Arcsina. Odwrotne funkcje trygonometryczne, ich wykresy i wzory

Odwrotne funkcje trygonometryczne(funkcje kołowe, funkcje łukowe) - funkcje matematyczne odwrotne do funkcji trygonometrycznych.

arcsinus(oznaczone jako Arcsin x; Arcsin x- to jest kąt grzech jego rówieśnicy X).

arcsinus (y = arcsin x) - odwrotna funkcja trygonometryczna do grzech (x = grzech y), który ma dziedzinę definicji i zbiór wartości . Innymi słowy, zwraca kąt według jego wartości grzech.

Funkcjonować y=grzech x jest ciągła i ograniczona wzdłuż całej osi liczbowej. Funkcjonować y=arcsin x- ściśle wzrasta.

Własności funkcji arcsin.

Fabuła Arcsine'a.

Uzyskanie funkcji arcsin.

Jest funkcja y = grzech x. W całej swojej dziedzinie definicji jest fragmentarycznie monotoniczna, stąd odwrotna zgodność y = arcsin x nie jest funkcją. Dlatego rozważamy segment, w którym tylko wzrasta i przyjmuje każdą wartość z zakresu wartości - . Ponieważ dla funkcji y = grzech x na przedziale wszystkie wartości funkcji otrzymuje się tylko z jedną wartością argumentu, co oznacza, że ​​na tym przedziale istnieje funkcja odwrotna y = arcsin x, którego wykres jest symetryczny do wykresu funkcji y = grzech x na odcinku stosunkowo prostym y = x.

Zadania z odwrotnych funkcji trygonometrycznych często pojawiają się na egzaminach końcowych i egzaminach wstępnych na niektórych uczelniach. Szczegółowe przestudiowanie tego tematu można osiągnąć jedynie na zajęciach fakultatywnych lub kursach fakultatywnych. Proponowany kurs ma na celu jak najpełniejsze rozwinięcie zdolności każdego ucznia i doskonalenie jego przygotowania matematycznego.

Kurs trwa 10 godzin:

1. Funkcje arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 godziny).

2.Działania na odwrotnych funkcjach trygonometrycznych (4 godz.).

3. Odwrotne działania trygonometryczne na funkcjach trygonometrycznych (2 godz.).

Lekcja 1 (2 godziny) Temat: Funkcje y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Cel: pełne omówienie tego problemu.

1. Funkcja y = arcsin x.

a) Dla funkcji y = sin x na odcinku istnieje funkcja odwrotna (jednowartościowa), którą zgodziliśmy się nazwać arcsine i oznaczyć ją następująco: y = arcsin x. Wykres funkcji odwrotnej jest symetryczny z wykresem funkcji głównej względem dwusiecznej kątów współrzędnych I - III.

Własności funkcji y = arcsin x.

1) Dziedzina definicji: odcinek [-1; 1];

2)Obszar zmian: segment;

3)Funkcja y = arcsin x nieparzysta: arcsin (-x) = - arcsin x;

4)Funkcja y = arcsin x rośnie monotonicznie;

5) Wykres przecina osie Ox, Oy w punkcie początkowym.

Przykład 1. Znajdź a = arcsin. Przykład ten można szczegółowo sformułować w następujący sposób: znajdź argument a, leżący w przedziale od do, którego sinus jest równy.

Rozwiązanie. Istnieje niezliczona ilość argumentów, których sinus jest równy , na przykład: itp. Ale nas interesuje tylko argument, który znajduje się w segmencie. To byłby argument. Więc, .

Przykład 2. Znajdź .Rozwiązanie. Argumentując w taki sam sposób jak w przykładzie 1, otrzymujemy .

b) ćwiczenia ustne. Znajdź: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Przykładowa odpowiedź: , ponieważ . Czy wyrażenia mają sens: ; arcsin 1,5; ?

c) Ułóż w kolejności rosnącej: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Funkcje y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (podobne).

Lekcja 2 (2 godziny) Temat: Odwrotne funkcje trygonometryczne, ich wykresy.

Cel: na tej lekcji konieczne jest rozwinięcie umiejętności wyznaczania wartości funkcji trygonometrycznych, konstruowania wykresów odwrotnych funkcji trygonometrycznych za pomocą D (y), E (y) i niezbędnych przekształceń.

Na tej lekcji wykonaj ćwiczenia obejmujące znalezienie dziedziny definicji, dziedziny wartości funkcji typu: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Należy skonstruować wykresy funkcji: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;

d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Przykład. Wykreślmy y = arccos

Możesz uwzględnić w swojej pracy domowej następujące ćwiczenia: Zbuduj wykresy funkcji: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Wykresy funkcji odwrotnych

Cel: poszerzenie wiedzy matematycznej (jest to ważne dla osób rozpoczynających studia na kierunkach o podwyższonych wymaganiach wobec kształcenia matematycznego) poprzez wprowadzenie podstawowych zależności dla odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

Materiał na lekcję.

Kilka prostych operacji trygonometrycznych na odwrotnych funkcjach trygonometrycznych: sin (arcsin x) = x, i xi? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Ćwiczenia.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Niech arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; grzech (arccos x) = .

Uwaga: stawiamy znak „+” przed pierwiastkiem, ponieważ a = arcsin x spełnia .

c) grzech (1,5 + arcsin). Odpowiedź: ;

d) ctg ( + arctg 3). Odpowiedź: ;

e) tg ( – arcctg 4). Odpowiedź: .

e) cos (0,5 + arccos). Odpowiedź: .

Oblicz:

a) grzech (2 arctan 5) .

Niech arctan 5 = a, następnie sin 2 a = lub grzech (2 arctan 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0,8). Odpowiedź: 0,28.

c) arctg + arctg.

Niech a = arctan, b = arctan,

wtedy tg(a + b) = .

d) grzech(arcsin + arcsin).

e) Udowodnij, że dla wszystkich x I [-1; 1] prawdziwy arcsin x + arccos x = .

Dowód:

arcsin x = – arccos x

grzech (arcsin x) = grzech ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

Aby rozwiązać ten problem samodzielnie: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Dla rozwiązania domowego: 1) grzech (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) grzech (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

Cel: Podczas tej lekcji zademonstruj użycie współczynników w przekształcaniu bardziej złożonych wyrażeń.

Materiał na lekcję.

DOUSTNIE:

a) grzech (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

W PIŚMIE:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Niezależna praca pomoże określić poziom opanowania materiału.

Jako zadanie domowe możesz zaproponować:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) grzech (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) grzech(2 arctan); 5) tg ( (arcsin))

Cel: ukształtowanie wiedzy uczniów na temat odwrotnych operacji trygonometrycznych na funkcjach trygonometrycznych, ze szczególnym uwzględnieniem zwiększenia zrozumienia badanej teorii.

Studiując ten temat, zakłada się, że ilość materiału teoretycznego do zapamiętania jest ograniczona.

Materiał do lekcji:

Możesz rozpocząć naukę nowego materiału od przestudiowania funkcji y = arcsin (sin x) i wykreślenia jej wykresu.

3. Każde x I R jest powiązane z y I, tj.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Funkcja jest nieparzysta: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Wykres y = arcsin (sin x) na:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

B)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

grzech y = grzech ( – x) = grzech x , 0<= - x <= .

Więc,

Po skonstruowaniu y = arcsin (sin x) na , kontynuujemy symetrycznie względem początku na [- ; 0], biorąc pod uwagę dziwność tej funkcji. Używając okresowości, kontynuujemy wzdłuż całej osi liczbowej.

Następnie zapisz kilka zależności: arcsin (sin a) = a jeśli<= a <= ; arccos (cos A ) = a jeśli 0<= a <= ; arctg (tg a) = a jeśli< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

I wykonaj następujące ćwiczenia: a) arccos(sin 2).Odpowiedź: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6). Odpowiedź: - 0,1; c) arctg (tg 2). Odpowiedź: 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6). Odpowiedź: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)). Odpowiedź: 2 - ; e) arcsin (sin ( - 0,6)). Odpowiedź: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Odpowiedź: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Odpowiedź: - 0,6; - arctan x; e) arccos + arccos

Definicja i notacja

Arcsine jest czasami oznaczany w następujący sposób:
.

Wykres funkcji arcsine

Wykres funkcji y = Arcsin x

Wykres arcus sinus uzyskuje się z wykresu sinusoidalnego, jeśli zamienione zostaną osie odciętych i rzędnych. Aby wyeliminować niejednoznaczność, zakres wartości ogranicza się do przedziału, w którym funkcja jest monotoniczna. Definicja ta nazywana jest główną wartością arcsine.

Arcosinus, arccos

Definicja i notacja

Arccosine jest czasami oznaczany w następujący sposób:
.

Wykres funkcji arc cosinus

Wykres funkcji y = Arcos x

Wykres łuku cosinus jest uzyskiwany z wykresu cosinus, jeśli zamienione zostaną osie odciętych i rzędnych. Aby wyeliminować niejednoznaczność, zakres wartości ogranicza się do przedziału, w którym funkcja jest monotoniczna. Definicja ta nazywana jest wartością główną łuku cosinus.

Parytet

Funkcja arcsine jest nieparzysta:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Funkcja arc cosinus nie jest parzysta ani nieparzysta:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Właściwości - ekstrema, wzrost, spadek

Funkcje arcsine i arccosine są ciągłe w swojej dziedzinie definicji (patrz dowód ciągłości). Główne właściwości arcsine i arccosine przedstawiono w tabeli.

Tabela arcusinusów i arcusinusów

Ta tabela przedstawia wartości arcsinusów i arccosinusów, w stopniach i radianach, dla określonych wartości argumentu.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formuły

Wzory na sumę i różnicę

w lub

w i

w i

w lub

w i

w i

Na

Na

Na

Na

Wyrażenia poprzez logarytmy, liczby zespolone

Wyrażenia poprzez funkcje hiperboliczne

Pochodne

;
.
Zobacz Wyprowadzanie pochodnych arcsinusa i arccosinusa > > >

Instrumenty pochodne wyższego rzędu:
,
gdzie jest wielomianem stopnia . Określają to wzory:
;
;
.

Zobacz Wyprowadzanie pochodnych wyższego rzędu arcsinusa i arccosinusa > > >

Całki

Dokonujemy podstawienia x = grzech. Całkujemy przez części, biorąc pod uwagę, że -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Wyraźmy arc cosinus poprzez arc sinus:
.

Rozszerzenie serii

Kiedy |x|< 1 następuje następujący rozkład:
;
.

Funkcje odwrotne

Odwrotnościami arcsinus i arccosinus są odpowiednio sinus i cosinus.

W całej dziedzinie definicji obowiązują następujące wzory:
grzech(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Poniższe wzory obowiązują tylko na zbiorze wartości arcsinus i arcus cosinus:
arcsin(sin x) = x Na
arccos(cos x) = x Na .

Bibliografia:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów, „Lan”, 2009.