2 znajdź obszar równoległoboku. Jak znaleźć obszar równoległoboku? Wzory na znalezienie obszaru równoległoboku
Wyprowadzenie wzoru na pole równoległoboku sprowadza się do zbudowania prostokąta o polu równym danemu równoległobokowi. Przyjmijmy jedną stronę równoległoboku za podstawę, a prostopadła poprowadzona z dowolnego punktu po przeciwnej stronie do prostej zawierającej podstawę będzie nazywana wysokością równoległoboku. Następnie powierzchnia równoległoboku będzie równa iloczynowi jego podstawy i wysokości.
Twierdzenie.Pole równoległoboku jest równe iloczynowi jego podstawy i wysokości.
Dowód. Rozważmy równoległobok z polem. Przyjmijmy bok jako podstawę i narysujmy wysokości (rysunek 2.3.1). Trzeba to udowodnić.
Rysunek 2.3.1
Najpierw udowodnijmy, że pole prostokąta jest również równe. Trapez składa się z równoległoboku i trójkąta. Z drugiej strony składa się z prostokąta NVSC i trójkąta. Ale trójkąty prostokątne są równe pod względem przeciwprostokątnej i kąta ostrego (ich przeciwprostokątne są równe przeciwległym bokom równoległoboku, a kąty 1 i 2 są równe jak odpowiednie kąty na przecięciu prostych równoległych i poprzecznych), więc ich pola są równe. Dlatego obszary równoległoboku i prostokąta są również równe, to znaczy pole prostokąta jest równe. Zgodnie z twierdzeniem o polu prostokąta, ale od tego czasu.
Twierdzenie zostało udowodnione.
Przykład 2.3.1.
W romb wpisano okrąg o boku i kącie ostrym. Wyznacz pole czworoboku, którego wierzchołki są punktami styku okręgu z bokami rombu.
Rozwiązanie:
Promień okręgu wpisanego w romb (rysunek 2.3.2), ponieważ czworokąt jest prostokątem, ponieważ jego kąty opierają się na średnicy okręgu. Jego obszar to gdzie (strona przeciwna do kąta). 
Rysunek 2.3.2
Więc, 
Odpowiedź:
Przykład 2.3.2.
Biorąc pod uwagę romb, którego przekątne wynoszą 3 cm i 4 cm, z wierzchołka kąta rozwartego rysowane są wysokości i obliczane pole czworoboku
Rozwiązanie:
Powierzchnia rombu (rysunek 2.3.3).
Więc, 
Odpowiedź:
Przykład 2.3.3.
Pole czworoboku to Znajdź obszar równoległoboku, którego boki są równe i równoległe do przekątnych czworoboku.
Rozwiązanie:
Ponieważ i (rysunek 2.3.4), to jest równoległobokiem, a zatem.
Rysunek 2.3.4
Podobnie dostajemy, z czego to wynika.
Odpowiedź:.
2.4 Pole trójkąta
Istnieje kilka wzorów obliczania pola trójkąta. Spójrzmy na te, których uczy się w szkole.
Pierwsza formuła wynika ze wzoru na pole równoległoboku i jest oferowana studentom w formie twierdzenia.
Twierdzenie.Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu jego podstawy i wysokości.
Dowód. Niech będzie obszarem trójkąta. Weź bok u podstawy trójkąta i narysuj wysokość. Udowodnijmy, że:
Rysunek 2.4.1
Zbudujmy trójkąt w równoległobok, jak pokazano na rysunku. Trójkąty są równe z trzech stron (ich wspólny bok i przeciwne strony równoległoboku), więc ich pola są równe. W konsekwencji pole S trójkąta ABC jest równe połowie pola równoległoboku, tj. 
Twierdzenie zostało udowodnione.
Ważne jest, aby zwrócić uwagę uczniów na dwa wnioski wynikające z tego twierdzenia. Mianowicie:
Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu jego nóg.
Jeśli wysokości dwóch trójkątów są równe, wówczas ich pola są powiązane jako podstawy.
Te dwie konsekwencje odgrywają ważną rolę w rozwiązywaniu różnego rodzaju problemów. Na tej podstawie udowodniono kolejne twierdzenie, które ma szerokie zastosowanie w rozwiązywaniu problemów.
Twierdzenie. Jeżeli kąt jednego trójkąta jest równy kątowi drugiego trójkąta, to ich pola są powiązane jako iloczyn boków obejmujących równe kąty.
Dowód. Niech i będą obszarami trójkątów, których kąty są równe.
Rysunek 2.4.2
Udowodnijmy, że: 
.
Zastosujmy trójkąt. na trójkąt tak, aby wierzchołek zrównał się z wierzchołkiem, a boki odpowiednio zachodziły na promienie.
Rysunek 2.4.3
Trójkąty mają wspólną wysokość, więc... Trójkąty również mają wspólną wysokość – zatem. Mnożąc powstałe równości, otrzymujemy 
.
Twierdzenie zostało udowodnione.
Druga formuła.Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu jego dwóch boków i sinusa kąta między nimi. Istnieje kilka sposobów udowodnienia tej formuły, a ja skorzystam z jednego z nich.
Dowód. Z geometrii znane jest twierdzenie, że pole trójkąta jest równe połowie iloczynu podstawy i wysokości obniżonej o tę podstawę:
W przypadku ostrego trójkąta. W przypadku kąta rozwartego. Ho i dlatego 
. Zatem w obu przypadkach. Zastępując wzór geometryczny na pole trójkąta, otrzymujemy wzór trygonometryczny na pole trójkąta:
Twierdzenie zostało udowodnione.
Trzecia formuła na pole trójkąta - wzór Herona, nazwany na cześć starożytnego greckiego naukowca Herona z Aleksandrii, który żył w I wieku naszej ery. Ta formuła pozwala znaleźć obszar trójkąta, znając jego boki. Jest to wygodne, ponieważ pozwala uniknąć wykonywania dodatkowych konstrukcji i mierzenia kątów. Jego wniosek opiera się na drugim z rozważanych przez nas wzorów na pole trójkąta oraz na twierdzeniu cosinus: i .
Zanim przystąpisz do realizacji tego planu, zwróć na to uwagę
Dokładnie w ten sam sposób mamy:
Wyraźmy teraz cosinus za pomocą i:
Ponieważ każdy kąt w trójkącie jest większy i mniejszy, zatem. Oznacza, 
.
Teraz osobno przekształcamy każdy z czynników w wyrażeniu radykalnym. Mamy:
Podstawiając to wyrażenie do wzoru na pole, otrzymujemy:
Temat „Obszar trójkąta” ma ogromne znaczenie w szkolnym kursie matematyki. Trójkąt to najprostszy z geometrycznych kształtów. Jest to „element konstrukcyjny” geometrii szkolnej. Zdecydowana większość problemów geometrycznych sprowadza się do rozwiązywania trójkątów. Problem znalezienia obszaru regularnego i dowolnego n-gonu nie jest wyjątkiem.
Przykład 2.4.1.
Jakie jest pole trójkąta równoramiennego, jeśli jego podstawa wynosi i jego bok?
Rozwiązanie:
-równoramienny,
Rysunek 2.4.4
Skorzystajmy z właściwości trójkąta równoramiennego - mediany i wysokości. Następnie 
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:
Znalezienie obszaru trójkąta:
Odpowiedź:
Przykład 2.4.2.
W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta ostrego dzieli przeciwną nogę na odcinki o długości 4 i 5 cm.Wyznacz obszar trójkąta.
Rozwiązanie:
Niech (rysunek 2.4.5). Następnie (ponieważ BD jest dwusieczną). Stąd mamy 
, to jest. Oznacza,
Rysunek 2.4.5
Odpowiedź: 
Przykład 2.4.3.
Znajdź pole trójkąta równoramiennego, jeśli jego podstawa jest równa , a długość wysokości poprowadzonej do podstawy jest równa długości odcinka łączącego środki podstawy i boku.
Rozwiązanie:
Zgodnie z warunkiem – linia środkowa (rysunek 2.4.6). Ponieważ mamy:
Lub 
, stąd, 
Podczas rozwiązywania problemów na ten temat, z wyjątkiem podstawowe właściwości równoległobok i odpowiednie formuły, możesz zapamiętać i zastosować następujące zasady:
- Dwusieczna kąta wewnętrznego równoległoboku odcina od niego trójkąt równoramienny
- Dwusieczne kątów wewnętrznych przylegających do jednego z boków równoległoboku są wzajemnie prostopadłe
- Dwusieczne wychodzące z przeciwległych narożników wewnętrznych równoległoboku są do siebie równoległe lub leżą na tej samej linii prostej
- Suma kwadratów przekątnych równoległoboku jest równa sumie kwadratów jego boków
- Pole równoległoboku jest równe połowie iloczynu przekątnych i sinusa kąta między nimi
Rozważmy problemy, w których te właściwości są wykorzystywane.
Zadanie 1.
Dwusieczna kąta C równoległoboku ABCD przecina bok AD w punkcie M i kontynuację boku AB poza punktem A w punkcie E. Znajdź obwód równoległoboku, jeśli AE = 4, DM = 3.
Rozwiązanie.
1. Trójkąt CMD jest równoramienny. (Właściwość 1). Dlatego CD = MD = 3 cm.
2. Trójkąt EAM jest równoramienny.
Dlatego AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Obwód ABCD = 20 cm.
Odpowiedź. 20 cm.
Zadanie 2.
W wypukłym czworoboku ABCD narysowano przekątne. Wiadomo, że pola trójkątów ABD, ACD, BCD są równe. Udowodnić, że ten czworokąt jest równoległobokiem.
Rozwiązanie.
1. Niech BE będzie wysokością trójkąta ABD, CF będzie wysokością trójkąta ACD. Ponieważ zgodnie z warunkami zadania pola trójkątów są równe i mają wspólną podstawę AD, to wysokości tych trójkątów są równe. BE = CF.
2. BE, CF są prostopadłe do AD. Punkty B i C leżą po tej samej stronie względem prostej AD. BE = CF. Dlatego prosta BC || OGŁOSZENIE. (*)
3. Niech AL będzie wysokością trójkąta ACD, BK wysokością trójkąta BCD. Ponieważ zgodnie z warunkami zadania pola trójkątów są równe i mają wspólną podstawę CD, to wysokości tych trójkątów są równe. AL = BK.
4. AL i BK są prostopadłe do CD. Punkty B i A leżą po tej samej stronie względem prostej CD. AL = BK. Dlatego prosta AB || PŁYTA CD (**)
5. Z warunków (*), (**) wynika, że ABCD jest równoległobokiem.
Odpowiedź. Udowodniony. ABCD jest równoległobokiem.
Zadanie 3.
Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zaznaczono odpowiednio punkty M i H, tak aby odcinki BM i HD przecinały się w punkcie O;<ВМD = 95 о,
Rozwiązanie.
1. W trójkącie DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. W trójkącie prostokątnym DHC Następnie<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Ale CD = AB. Wtedy AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Odpowiedź: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Zadanie 4. Jedna z przekątnych równoległoboku o długości 4√6 tworzy z podstawą kąt 60°, a druga przekątna tworzy z tą samą podstawą kąt 45°. Znajdź drugą przekątną. Rozwiązanie.
1. AO = 2√6. 2. Stosujemy twierdzenie sinusoidalne do trójkąta AOD. AO/grzech D = OD/grzech A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Odpowiedź: 12.
Zadanie 5. W przypadku równoległoboku o bokach 5√2 i 7√2 mniejszy kąt między przekątnymi jest równy mniejszemu kątowi równoległoboku. Znajdź sumę długości przekątnych. Rozwiązanie.
Niech d 1, d 2 będą przekątnymi równoległoboku, a kąt między przekątnymi a mniejszym kątem równoległoboku jest równy φ. 1. Policzmy dwa różne S ABCD = AB AD grzech A = 5√2 7√2 grzech f, S ABCD = 1/2 AC ─ D sin AOB = 1/2 d 1 d 2 grzech f. Otrzymujemy równość 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f lub 2 · 5√2 · 7√2 = re 1 re 2 ; 2. Korzystając z zależności między bokami i przekątnymi równoległoboku, piszemy równość (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = re 1 2 + re 2 2. re 1 2 + re 2 2 = 296. 3. Stwórzmy system: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Pomnóżmy drugie równanie układu przez 2 i dodajmy je do pierwszego. Otrzymujemy (d 1 + d 2) 2 = 576. Stąd Id 1 + d 2 I = 24. Ponieważ d 1, d 2 są długościami przekątnych równoległoboku, wówczas d 1 + d 2 = 24. Odpowiedź: 24.
Zadanie 6. Boki równoległoboku mają długość 4 i 6. Kąt ostry między przekątnymi wynosi 45 stopni. Znajdź obszar równoległoboku. Rozwiązanie.
1. Z trójkąta AOB, korzystając z twierdzenia o cosinusie, zapisujemy związek między bokiem równoległoboku a przekątnymi. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; re 1 2 /4 + re 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. re 1 2 + re 2 2 – re 1 · re 2 √2 = 64. 2. Podobnie zapisujemy relację dla trójkąta AOD. Weźmy to pod uwagę<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Otrzymujemy równanie d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Mamy system Odejmując pierwsze od drugiego równania, otrzymujemy 2d 1 · d 2 √2 = 80 lub re 1 re 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ÂD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Notatka: W tym i poprzednim problemie nie ma potrzeby całkowitego rozwiązywania układu, zakładając, że w tym zadaniu potrzebny będzie iloczyn przekątnych do obliczenia pola. Odpowiedź: 10. Zadanie 7. Pole równoległoboku wynosi 96, a jego boki to 8 i 15. Znajdź kwadrat mniejszej przekątnej. Rozwiązanie.
1. S ABCD = AB · AD · grzech · AD. Dokonajmy podstawienia we wzorze. Otrzymujemy 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Stąd grzech ─AD = 4/5. 2. Znajdźmy cos VAD. grzech 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. Zgodnie z warunkami zadania znajdujemy długość mniejszej przekątnej. Przekątna ВD będzie mniejsza, jeśli kąt ВАD jest ostry. Wtedy cos VAD = 3/5. 3. Z trójkąta ABD, korzystając z twierdzenia cosinus, znajdujemy kwadrat przekątnej BD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ─ 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. Odpowiedź: 145.
Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązać zadanie z geometrii? stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła. Zanim nauczymy się, jak znaleźć obszar równoległoboku, musimy pamiętać, czym jest równoległobok i jak nazywa się jego wysokość. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są parami równoległe (leżą na liniach równoległych). Prostopadłość poprowadzona z dowolnego punktu po przeciwnej stronie do linii zawierającej ten bok nazywana jest wysokością równoległoboku. Kwadrat, prostokąt i romb to szczególne przypadki równoległoboku. Obszar równoległoboku jest oznaczony jako (S). S=a*h, gdzie a to podstawa, h to wysokość narysowana do podstawy. S=a*b*sinα, gdzie aib to podstawy, a α to kąt pomiędzy podstawami aib. S =p*r, gdzie p jest półobwodem, r jest promieniem okręgu wpisanego na równoległobok. Pole równoległoboku utworzone przez wektory aib jest równe modułowi iloczynu danych wektorów, a mianowicie: Rozważmy przykład nr 1: Biorąc pod uwagę równoległobok, którego bok wynosi 7 cm, a wysokość 3 cm.Jak znaleźć obszar równoległoboku, potrzebujemy wzoru na rozwiązanie. Zatem S= 7x3. S=21. Odpowiedź: 21 cm 2. Rozważmy przykład nr 2: Dane podstawy wynoszą 6 i 7 cm, a także kąt między podstawami wynoszący 60 stopni. Jak znaleźć obszar równoległoboku? Wzór użyty do rozwiązania: Zatem najpierw znajdujemy sinus kąta. Sinus 60 = 0,5, odpowiednio S = 6*7*0,5=21 Odpowiedź: 21 cm 2. Mam nadzieję, że te przykłady pomogą Ci w rozwiązaniu problemów. I pamiętaj, najważniejsza jest znajomość formuł i uważność Co to jest równoległobok? Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równoległe parami. 1. Pole równoległoboku oblicza się według wzoru: \[ \DUŻE S = a \cdot h_(a)\] Gdzie: 2. Jeżeli znane są długości dwóch sąsiednich boków równoległoboku i kąt między nimi, wówczas pole równoległoboku oblicza się według wzoru: \[ \DUŻE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \] 3. Jeżeli podane są przekątne równoległoboku i znany jest kąt między nimi, wówczas pole równoległoboku oblicza się według wzoru: \[ \DUŻE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \] W równoległoboku przeciwległe boki są równe: \(AB = CD\), \(BC = AD\) W równoległoboku przeciwległe kąty są równe: \(\kąt A = \kąt C\), \(\kąt B = \kąt D\) Przekątne równoległoboku w punkcie przecięcia są podzielone na pół \(AO = OC\) , \(BO = OD\) Przekątna równoległoboku dzieli go na dwa równe trójkąty. Suma kątów równoległoboku sąsiadującego z jednym bokiem wynosi 180 o: \(\kąt A + \kąt B = 180^(o)\), \(\kąt B + \kąt C = 180^(o)\) \(\kąt C + \kąt D = 180^(o)\), \(\kąt D + \kąt A = 180^(o)\) Przekątne i boki równoległoboku są powiązane następującą zależnością: \(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \) W równoległoboku kąt między wysokościami jest równy jego kątowi ostremu: \(\kąt K B H =\kąt A\) . Dwusieczne kątów sąsiadujących z jednym bokiem równoległoboku są wzajemnie prostopadłe. Dwusieczne dwóch przeciwległych kątów równoległoboku są równoległe. Czworokąt będzie równoległobokiem, jeśli: \(AB = CD\) i \(AB || CD\) \(AB = CD\) i \(BC = AD\) \(AO = OC\) i \(BO = OD\) \(\kąt A = \kąt C\) i \(\kąt B = \kąt D\) Wzór na pole równoległoboku Pole równoległoboku jest równe iloczynowi jego boku i wysokości tego boku. Dowód Jeśli równoległobok jest prostokątem, wówczas równość jest spełniona przez twierdzenie o powierzchni prostokąta. Następnie zakładamy, że kąty równoległoboku nie są proste. Niech $\angle BAD$ będzie kątem ostrym w równoległoboku $ABCD$ i $AD > AB$. W przeciwnym razie zmienimy nazwy wierzchołków. Wtedy wysokość $BH$ od wierzchołka $B$ do prostej $AD$ przypada na bok $AD$, gdyż odnoga $AH$ jest krótsza od przeciwprostokątnej $AB$ i $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны. Porównajmy pole równoległoboku $ABCD$ i pole prostokąta $HBCK$. Pole równoległoboku jest większe o pole $\trójkąt ABH$, ale mniejsze o pole $\trójkąt DCK$. Ponieważ te trójkąty są równe, ich pola są równe. Oznacza to, że pole równoległoboku jest równe polu prostokąta o długości boków do boku i wysokości równoległoboku. Wzór na pole równoległoboku wykorzystujący boki i sinus Pole równoległoboku jest równe iloczynowi sąsiednich boków i sinusowi kąta między nimi. Dowód Wysokość równoległoboku $ABCD$ opuszczonego na bok $AB$ jest równa iloczynowi odcinka $BC$ i sinusa kąta $\kąt ABC$. Pozostaje zastosować się do poprzedniego stwierdzenia. Wzór na pole równoległoboku za pomocą przekątnych Pole równoległoboku jest równe połowie iloczynu przekątnych i sinusa kąta między nimi. Dowód Niech przekątne równoległoboku $ABCD$ przecinają się w punkcie $O$ pod kątem $\alpha$. Następnie $AO=OC$ i $BO=OD$ według właściwości równoległoboku. Sinusy kątów, których suma wynosi 180^\circ$, są równe, $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Oznacza to, że sinusy kątów na przecięciu przekątnych są równe $\sin \alpha$. $S_(ABCD)=S_(\trójkąt AOB) + S_(\trójkąt BOC) + S_(\trójkąt COD) + S_(\trójkąt AOD)$ zgodnie z aksjomatem pomiaru powierzchni. Stosujemy wzór na pole trójkąta $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ dla tych trójkątów i kątów, gdy przekątne się przecinają. Boki każdego z nich są równe połowie przekątnych, a sinusy również są równe. Dlatego pola wszystkich czterech trójkątów są równe $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Podsumowując wszystkie powyższe, otrzymujemy $S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$
(
(Ponieważ w trójkącie prostokątnym noga leżąca naprzeciw kąta 30° jest równa połowie przeciwprostokątnej).
sposoby na jego obszar.
(d 1 + re 2 = 140.
(d 1 2 + re 2 2 – re 1 · re 2 √2 = 64,
(d 1 2 + re 2 2 + re 1 · re 2 √2 = 144.
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!
Wzory na znalezienie obszaru równoległoboku
a jest bokiem równoległoboku,
h a – wysokość wyciągnięta w tę stronę.Właściwości równoległoboku
Znaki równoległoboku
Aby wykonać obliczenia, musisz włączyć kontrolki ActiveX!
