§13. Twierdzenie Steinera o momencie bezwładności względem dowolnej osi
Ciała M na kwadrat odległości D pomiędzy osiami:
jot = jot do + m re 2 , (\ displaystyle J = J_ (c) + md ^ (2),)Gdzie M- całkowita masa ciała.
Przykładowo moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego koniec jest równy:
jot = jot do + m re 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\ Displaystyle J = J_ (c) + md ^ (2) = (\ Frac (1) (12)) ml ^ (2) + m \ lewo ({\ Frac (l) (2)) \ prawo) ^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)Osiowe momenty bezwładności niektórych ciał
| Ciało | Opis | Pozycja osi A | Moment bezwładności Ja |
|---|---|---|---|
| Masa punktowa materiału M | Na odległość R z punktu, nieruchomo | ||
| Pusty cienkościenny cylinder lub pierścień promieniowy R i masy M | Oś cylindra | m r 2 (\ displaystyle mr ^ (2)) | |
| Pełny cylinder lub dysk promieniowy R i masy M | Oś cylindra | 1 2 m r 2 (\ Displaystyle (\ Frac (1) (2)) pan ^ (2)} | |
| Pusty, grubościenny cylinder masowy M z promieniem zewnętrznym R 2 i promień wewnętrzny R 1 | Oś cylindra | m r 2 2 + r 1 2 2 (\ Displaystyle m (\ Frac (r_ (2) ^ (2) + r_ (1) ^ (2)) (2))) | |
| Stała długość cylindra l, promień R i masy M | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\ Displaystyle (1 \ ponad 4) m \ cdot r ^ (2) + (1 \ ponad 12) m \ cdot l ^ (2)} | ||
| Długość pustego, cienkościennego cylindra (pierścienia). l, promień R i masy M | Oś jest prostopadła do cylindra i przechodzi przez jego środek masy | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\ Displaystyle (1 \ ponad 2) m \ cdot r ^ (2) + (1 \ ponad 12) m \ cdot l ^ (2)} | |
| Pręt prosty o cienkiej długości l i masy M | Oś jest prostopadła do pręta i przechodzi przez jego środek masy | 1 12 m l 2 (\ Displaystyle (\ Frac (1) (12)) ml ^ (2)} | |
| Pręt prosty o cienkiej długości l i masy M | Oś jest prostopadła do pręta i przechodzi przez jego koniec | 1 3 m l 2 (\ Displaystyle (\ Frac (1) (3)) ml ^ (2)} | |
| Kula o promieniu cienkościennym R i masy M | Oś przechodzi przez środek kuli | 2 3 m r 2 (\ Displaystyle (\ Frac (2) (3)) pan ^ (2)} | |
| Kula promieniowa R i masy M | Oś przechodzi przez środek kuli | 2 5 m r 2 (\ Displaystyle (\ Frac (2) (5)) pan ^ (2)} | |
| Stożek promieniowy R i masy M | Oś stożka | 3 10 m r 2 (\ Displaystyle (\ Frac (3) (10)) pan ^ (2)} | |
| Trójkąt równoramienny z wysokością H, podstawa A i masa M | Oś jest prostopadła do płaszczyzny trójkąta i przechodzi przez wierzchołek | 1 24 m (za 2 + 12 godz. 2) (\ Displaystyle (\ Frac (1) (24)) m (a ^ (2) + 12h ^ (2))} | |
| Regularny trójkąt z bokiem A i masa M | Oś jest prostopadła do płaszczyzny trójkąta i przechodzi przez środek masy | 1 12 m za 2 (\ Displaystyle (\ Frac (1) (12)) ma ^ (2)} | |
| Kwadrat z bokiem A i masa M | Oś jest prostopadła do płaszczyzny kwadratu i przechodzi przez środek masy | 1 6 m za 2 (\ Displaystyle (\ Frac (1) (6)) ma ^ (2)} | |
| Prostokąt z bokami A I B i masa M | Oś jest prostopadła do płaszczyzny prostokąta i przechodzi przez środek masy | 1 12 m (za 2 + b 2) (\ Displaystyle (\ Frac (1) (12)) m (a ^ (2) + b ^ (2)}) | |
| Regularny n-kąt promienia R i masa M | Oś jest prostopadła do płaszczyzny i przechodzi przez środek masy | m r 2 6 [ 1 + 2 sałata (π / n) 2 ] (\ Displaystyle (\ Frac (mr ^ (2)) (6)) \ lewo) | |
| Torus (pusty) z promieniem okręgu prowadzącego R, promień tworzącego koła R i masa M | Oś jest prostopadła do płaszczyzny okręgu prowadnicy torusa i przechodzi przez środek masy | ja = m (3 4 r 2 + R 2) (\ Displaystyle I = m \ lewo ({\ Frac (3) (4)) \, r ^ (2) + R ^ (2) \ prawo)} |
Wyprowadzanie formuł
Cylinder cienkościenny (pierścień, obręcz)
Wyprowadzenie wzoru
Moment bezwładności ciała jest równy sumie momentów bezwładności jego części składowych. Podzielmy cienkościenny walec na elementy posiadające masę dm i momenty bezwładności DJ I. Następnie
jot = ∑ re jot ja = ∑ R ja 2 re m . (1) . (\ Displaystyle J = \ suma dJ_ (i) = \ suma R_ (i) ^ (2) dm. \ qquad (1).)Ponieważ wszystkie elementy cienkościennego walca znajdują się w tej samej odległości od osi obrotu, wzór (1) przekształca się do postaci
jot = ∑ R 2 re m = R 2 ∑ re m = m R 2 . (\ Displaystyle J = \ suma R ^ (2) dm = R ^ (2) \ suma dm = mR ^ (2).)Cylinder grubościenny (pierścień, obręcz)
Wyprowadzenie wzoru
Niech będzie jednorodny pierścień o promieniu zewnętrznym R, promień wewnętrzny R 1, gruby H i gęstość ρ. Podzielmy go na cienkie, grube pierścienie dr. Masa i moment bezwładności pierścienia o cienkim promieniu R będzie
re m = ρ re V = ρ ⋅ 2 π r godz re r ; re jot = r 2 re m = 2 π ρ godz r 3 re r . (\ Displaystyle dm = \ rho dV = \ rho \ cdot 2 \ pi rhdr; \ qquad dJ = r ^ (2) dm = 2 \ pi \ rho hr ^ (3) dr.)Znajdźmy moment bezwładności grubego pierścienia jako całkę
jot = ∫ R 1 R re jot = 2 π ρ godz ∫ R 1 R r 3 re r = (\ Displaystyle J = \ int _ (R_ (1)) ^ (R) dJ = 2 \ pi \ rho h \ int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ godz r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ godz (R 4 - R 1 4) = 1 2 π ρ godz (R 2 - R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\ Displaystyle = 2 \ pi \ rho h \ lewo. (\ Frac (r ^ (4)) (4)) \ prawo | _ (R_ (1)) ^ (R) = (\ Frac (1) (2 ))\pi \rho h\lewo(R^(4)-R_(1)^(4)\prawo)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\lewo(R^(2) )-R_(1)^(2)\prawo)\lewo(R^(2)+R_(1)^(2)\prawo).)Ponieważ objętość i masa pierścienia są równe
V = π (R 2 - R 1 2) godz ; m = ρ V = π ρ (R 2 - R 1 2) godz , (\ Displaystyle V = \ pi \ lewo (R ^ (2) -R_ (1) ^ (2) \ prawo) h; \ qquad m = \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h,)otrzymujemy ostateczny wzór na moment bezwładności pierścienia
jot = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . (\ Displaystyle J = (\ Frac (1) (2)) m \ lewo (R ^ (2) + R_ (1) ^ (2) \ prawo).)Jednorodny dysk (pełny cylinder)
Wyprowadzenie wzoru
Rozważając cylinder (tarczę) jako pierścień o zerowym promieniu wewnętrznym ( R 1 = 0 ), otrzymujemy wzór na moment bezwładności cylindra (tarczy):
jot = 1 2 m R 2 . (\ Displaystyle J = (\ Frac (1) (2)) mR ^ (2).)Solidny stożek
Wyprowadzenie wzoru
Rozbijmy stożek na cienkie dyski o grubości dh, prostopadle do osi stożka. Promień takiego dysku jest równy
r = R godz H. , (\ Displaystyle r = (\ Frac (Rh) (H)),)Gdzie R– promień podstawy stożka, H– wysokość stożka, H– odległość wierzchołka stożka od krążka. Masa i moment bezwładności takiego dysku będą wynosić
re jot = 1 2 r 2 re m = 1 2 π ρ r 4 re godz = 1 2 π ρ (R godz H) 4 re godz ; (\ Displaystyle dJ = (\ Frac (1) (2)) r ^ (2) dm = (\ Frac (1) (2)) \ pi \ rho r ^ (4) dh = (\ Frac (1) ( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)Całkując, otrzymujemy
jot = ∫ 0 H re jot = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H godz 4 re godz = 1 2 π ρ (R H) 4 godz 5 5 | 0 H. == 1 10 π ρ R 4 H. = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H.) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\ Displaystyle (\ początek (wyrównane) J = \ int _ (0) ^ (H) dJ = (\ Frac (1) (2)) \ pi \ rho \ lewo ({\ Frac (R) (H)) \right)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\right)^(4)\left.(\frac (h^(5))(5))\right|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\lewo(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\prawo)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(wyrównane)))Solidna jednorodna kula
Wyprowadzenie wzoru
Rozbijmy piłkę na cienkie krążki o grubości dh, prostopadle do osi obrotu. Promień takiego dysku znajdującego się na wysokości H od środka kuli, znajdujemy go za pomocą wzoru
r = R 2 - godz 2 . (\ Displaystyle r = (\ sqrt (R ^ (2) -h ^ (2))).)Masa i moment bezwładności takiego dysku będą wynosić
re m = ρ re V = ρ ⋅ π r 2 re godz ; (\ Displaystyle dm = \ rho dV = \ rho \ cdot \ pi r ^ (2) dh;) re jot = 1 2 r 2 re m = 1 2 π ρ r 4 re godz = 1 2 π ρ (R 2 - godz 2) 2 re godz = 1 2 π ρ (R 4 - 2 R 2 godz 2 + godz 4) re godz . (\ Displaystyle dJ = (\ Frac (1) (2)) r ^ (2) dm = (\ Frac (1) (2)) \ pi \ rho r ^ (4) dh = (\ Frac (1) ( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh.)Moment bezwładności piłki wyznaczamy całkując:
jot = ∫ - R R re jot = 2 ∫ 0 R re jot = π ρ ∫ 0 R (R 4 - 2 R 2 godz 2 + godz 4) re godz = = π ρ (R 4 godz - 2 3 R 2 godz 3 + 1 5 godz. 5) | 0 R = π ρ (R 5 - 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\ Displaystyle (\ początek (wyrównane) J & = \ int _ (-R) ^ (R) dJ = 2 \ int _ (0) ^ (R) dJ = \ pi \ rho \ int _ (0) ^ (R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\right)\right|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\right) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(aligned)))Kula cienkościenna
Wyprowadzenie wzoru
Aby to wyprowadzić, używamy wzoru na moment bezwładności jednorodnej kuli o promieniu R :
jot 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\ Displaystyle J_ (0) = (\ Frac (2) (5)) MR ^ (2) = (\ Frac (8) (15)) \ pi \ rho R ^ (5).)Obliczmy, jak bardzo zmieni się moment bezwładności kuli, jeśli przy stałej gęstości ρ jej promień zwiększy się o nieskończenie małą wartość dr .
jot = re jot 0 re R re R = re re R (8 15 π ρ R 5) re R = = 8 3 π ρ R 4 re R = (ρ ⋅ 4 π R 2 re R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . (\ Displaystyle (\ początek (wyrównane) J & = (\ Frac (dJ_ (0)) (dR)) dR = (\ Frac (d) (dR)) \ lewo ({\ Frac (8) (15)) \ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\right)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(aligned)))Cienki pręt (oś przechodzi przez środek)
Wyprowadzenie wzoru
Podzielmy pręt na małe fragmenty długości dr. Masa i moment bezwładności takiego fragmentu są równe
re m = m re r l ; re jot = r 2 re m = m r 2 re r l . (\ Displaystyle dm = (\ Frac (mdr) (l)); \ qquad dJ = r ^ (2) dm = (\ Frac (mr ^ (2) dr) (l)).)Całkując, otrzymujemy
jot = ∫ − l / 2 l / 2 re jot = 2 ∫ 0 l / 2 re jot = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 re r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\ Displaystyle J = \ int _ (-l/2) ^ (l/2) dJ = 2 \ int _ (0) ^ (l/2) dJ = (\ Frac (2m) (l)) \ int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\lewo.(\frac (r^(3))(3))\prawo|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)Cienki pręt (oś przechodzi przez koniec)
Wyprowadzenie wzoru
Gdy oś obrotu przemieszcza się od środka pręta do jego końca, środek ciężkości pręta przesuwa się względem osi o odległość l ⁄ 2. Zgodnie z twierdzeniem Steinera nowy moment bezwładności będzie równy
jot = jot 0 + m r 2 = jot 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\ Displaystyle J = J_ (0) + mr ^ (2) = J_ (0) + m \ lewo ({\ Frac (l) (2)) \ prawo) ^ (2) = (\ Frac (1) ( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)Bezwymiarowe momenty bezwładności planet i satelitów
Ich bezwymiarowe momenty bezwładności mają ogromne znaczenie w badaniach wewnętrznej struktury planet i ich satelitów. Bezwymiarowy moment bezwładności ciała o promieniu R i masy M jest równy stosunkowi jego momentu bezwładności względem osi obrotu do momentu bezwładności punktu materialnego o tej samej masie względem ustalonej osi obrotu położonej w pewnej odległości R(równy Pan 2). Wartość ta odzwierciedla rozkład masy na głębokości. Jedną z metod jego pomiaru w pobliżu planet i satelitów jest określenie przesunięcia Dopplera sygnału radiowego transmitowanego przez AMS lecący w pobliżu danej planety lub satelity. Dla cienkościennej kuli bezwymiarowy moment bezwładności wynosi 2/3 (~0,67), dla jednorodnej kuli wynosi 0,4 i ogólnie rzecz biorąc, im mniejszy, tym większa masa ciała skupiona jest w jego środku. Przykładowo Księżyc ma bezwymiarowy moment bezwładności bliski 0,4 (równy 0,391), zatem przyjmuje się, że jest on stosunkowo jednorodny, a jego gęstość niewiele zmienia się wraz z głębokością. Bezwymiarowy moment bezwładności Ziemi jest mniejszy niż jednorodnej kuli (równy 0,335), co jest argumentem za istnieniem gęstego jądra.
Odśrodkowy moment bezwładności
Odśrodkowe momenty bezwładności ciała względem osi prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych są wielkościami:
jot x y = ∫ (m) x y re m = ∫ (V) x y ρ re V , (\ Displaystyle J_ (xy) = \ int \ limity _ ((m)) xydm = \ int \ limity _ ((V)) xy \ rho dV,) jot x z = ∫ (m) x z re m = ∫ (V) x z ρ re V , (\ Displaystyle J_ (xz) = \ int \ limity _ ((m)) xzdm = \ int \ limity _ ((V)) xz \ rho dV,) jot y z = ∫ (m) y z re m = ∫ (V) y z ρ re V , (\ Displaystyle J_ (yz) = \ int \ limity _ ((m)) yzdm = \ int \ limity _ ((V)) yz \ rho dV,)Gdzie X , y I z- współrzędne małego elementu ciała z objętością dV, gęstość ρ i masa dm .
Nazywa się oś OX główna oś bezwładności ciała, jeśli odśrodkowe momenty bezwładności Jxy I J xz są jednocześnie równe zeru. Przez każdy punkt ciała można poprowadzić trzy główne osie bezwładności. Osie te są względem siebie prostopadłe. Momenty bezwładności ciała względem trzech głównych osi bezwładności narysowanych w dowolnym punkcie O nazywają się ciała główne momenty bezwładności tego ciała.
Nazywa się główne osie bezwładności przechodzące przez środek masy ciała główne środkowe osie bezwładności ciała, a momenty bezwładności względem tych osi są jego główne centralne momenty bezwładności. Oś symetrii ciała jednorodnego jest zawsze jedną z jego głównych środkowych osi bezwładności.
Geometryczne momenty bezwładności
Geometryczny moment bezwładności objętości
jot V za = ∫ (V) r 2 re V , (\ Displaystyle J_ (Va) = \ int \ limity _ ((V)) r ^ (2) dV,)gdzie, jak poprzednio R- odległość od elementu dV do osi A .
Geometryczny moment bezwładności powierzchni względem osi – cecha geometryczna ciała, wyrażona wzorem:
jot S za = ∫ (S) r 2 re S, (\ Displaystyle J_ (Sa) = \ int \ limity _ ((S)) r ^ (2) dS,)gdzie całkowanie odbywa się po powierzchni S, A dS- element tej powierzchni.
Wymiar JSa- długość do potęgi czwartej ( re ja m jot S za = L 4 (\ Displaystyle \ operatorname (ciemny) J_ (Sa) = \ operatorname (L ^ (4)) )), odpowiednio, jednostką miary SI jest 4. W obliczeniach konstrukcyjnych, literaturze i asortymentach metali walcowanych często podaje się go w cm 4.
Moment oporu przekroju wyraża się poprzez geometryczny moment bezwładności powierzchni:
W = jot S za r m za x . (\ Displaystyle W = (\ Frac (J_ (Sa)) (r_ (max))).)Tutaj r maks- maksymalna odległość od powierzchni do osi.
| Geometryczne momenty bezwładności obszaru niektórych figur | |
|---|---|
| Wysokość prostokąta h (\ displaystyle h) i szerokość b (\ displaystyle b): | jot y = b godz 3 12 (\ Displaystyle J_ (y) = (\ Frac (bh ^ (3)) (12))}
jot z = godz b 3 12 (\ Displaystyle J_ (z) = (\ Frac (hb ^ (3)) (12))} |
| Przekrój prostokątny o wysokości i szerokości wzdłuż konturów zewnętrznych H. (\ displaystyle H) I B (\ displaystyle B) i do użytku wewnętrznego h (\ displaystyle h) I b (\ displaystyle b) odpowiednio | jot z = b H. 3 12 - b godz 3 12 = 1 12 (B H. 3 - b godz 3) (\ Displaystyle J_ (z) = (\ Frac (BH ^ (3)) (12)) - (\ Frac (bh ^ ( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3)))
jot y = H. b 3 12 - godz b 3 12 = 1 12 (H. b 3 - godz b 3) (\ Displaystyle J_ (y) = (\ Frac (HB ^ (3)) (12)) - (\ Frac (hb ^ ( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3))) |
| Średnica koła re (\ displaystyle d) | jot y = jot z = π re 4 64 (\ Displaystyle J_ (y) = J_ (z) = (\ Frac (\ pi d ^ (4)) (64))} |
Moment bezwładności względem płaszczyzny
Moment bezwładności ciała sztywnego względem pewnej płaszczyzny jest wielkością skalarną równą sumie iloczynów masy każdego punktu ciała przez kwadrat odległości tego punktu od danej płaszczyzny.
Jeśli przez dowolny punkt O (\ displaystyle O) narysuj osie współrzędnych x , y , z (\ displaystyle x, y, z), a następnie momenty bezwładności względem płaszczyzn współrzędnych x O y (\ displaystyle xOy), y O z (\ Displaystyle yOz) I z O x (\ displaystyle zOx) zostanie wyrażona wzorami:
jot x O y = ∑ ja = 1 n m ja z ja 2 , (\ Displaystyle J_ (xOy) = \ suma _ (i = 1) ^ (n) m_ (i) z_ (i) ^ (2) \,) jot y O z = ∑ ja = 1 n m ja x ja 2 , (\ Displaystyle J_ (yOz) = \ suma _ (i = 1) ^ (n) m_ (i) x_ (i) ^ (2) \,) jot z O x = ∑ ja = 1 n m ja y ja 2 . (\ Displaystyle J_ (zOx) = \ suma _ (i = 1) ^ (n) m_ (i) y_ (i) ^ (2) \.)W przypadku ciała stałego sumowanie zastępuje się całkowaniem.
Centralny moment bezwładności
Centralny moment bezwładności (moment bezwładności względem punktu O, moment bezwładności względem bieguna, biegunowy moment bezwładności) jot O (\ displaystyle J_ (O)) jest wielkością określoną wyrażeniem:
ja za = ∫ (m) r 2 re m = ∫ (V) ρ r 2 re V , (\ Displaystyle J_ (a) = \ int \ limity _ ((m)) r ^ (2) dm = \ int \ limity _((V))\rho r^(2)dV,)Centralny moment bezwładności można wyrazić w postaci głównych osiowych momentów bezwładności, a także w postaci momentów bezwładności względem płaszczyzn:
jot O = 1 2 (J x + jot y + jot z) , (\ Displaystyle J_ (O) = (\ Frac (1) (2)) \ lewo (J_ (x) + J_ (y) + J_ (z) \Prawidłowy),) jot O = jot x O y + jot y O z + jot x O z . (\ Displaystyle J_ (O) = J_ (xOy) + J_ (yOz) + J_ (xOz).)Tensor bezwładności i elipsoida bezwładności
Moment bezwładności ciała względem dowolnej osi przechodzącej przez środek masy i mającej kierunek określony przez wektor jednostkowy s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\ Displaystyle (\ vec (s)) = \ lewo \ pion s_ (x), s_ (y), s_ (z) \ prawo \ pion ^ (T), \ lewo \ pion (\ vec (s) )\prawo\pion =1), można przedstawić w postaci kwadratowej (dwuliniowej):
ja s = s → T ⋅ jot ^ ⋅ s → , (\ Displaystyle I_ (s) = (\ vec (s)) ^ (T) \ cdot (\ kapelusz (J)) \ cdot (\ vec (s)) ,\qquad) (1)gdzie jest tensor bezwładności. Macierz tensora bezwładności jest symetryczna i ma wymiary 3 × 3 (\ Displaystyle 3 \ razy 3) i składa się ze składowych momentów odśrodkowych:
Wybierając odpowiedni układ współrzędnych, macierz tensora bezwładności można sprowadzić do postaci diagonalnej. Aby to zrobić, należy rozwiązać problem wartości własnej macierzy tensorowej jot ^ (\ displaystyle (\ kapelusz (J))):
Gdzie Q ^ (\ Displaystyle (\ kapelusz (Q)))- ortogonalna macierz przejścia na bazę własną tensora bezwładności. W odpowiedniej podstawie osie współrzędnych są skierowane wzdłuż głównych osi tensora bezwładności, a także pokrywają się z głównymi półosiami elipsoidy tensora bezwładności. Wielkie ilości J X , J Y , J Z (\ displaystyle J_ (X), J_ (Y), J_ (Z))- główne momenty bezwładności. Wyrażenie (1) we własnym układzie współrzędnych ma postać:
z którego otrzymujemy równanie elipsoidy we własnych współrzędnych. Dzielenie obu stron równania przez Ja s (\ displaystyle I_ (s))
i dokonanie zamienników:
ξ = s x ja s , η = s y ja s , ζ = s z ja s , (\ Displaystyle \ xi = (s_ (x) \ ponad (\ sqrt (I_ (s))))) \ eta = (s_ (y ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)otrzymujemy postać kanoniczną równania elipsoidy we współrzędnych ξ η ζ (\ Displaystyle \ xi \ eta \ zeta):
ξ 2 ⋅ jot X + η 2 ⋅ jot Y + ζ 2 ⋅ jot Z = 1. (\ Displaystyle \ xi ^ (2) \ cdot J_ (X) + \ eta ^ (2) \ cdot J_ (Y) + \ zeta ^ ( 2)\cdot J_(Z)=1.)Odległość od środka elipsoidy do określonego punktu związana jest z wartością momentu bezwładności ciała wzdłuż linii prostej przechodzącej przez środek elipsoidy i ten punkt.
Niech będzie solidne ciało. Wybierzmy jakąś linię prostą OO (ryc. 6.1), którą nazwiemy osią (prosta OO może przebiegać na zewnątrz ciała). Podzielmy ciało na elementarne części (punkty materialne) z masami 
znajduje się w pewnej odległości od osi 
odpowiednio.
Moment bezwładności punktu materialnego względem osi (OO) jest iloczynem masy punktu materialnego przez kwadrat jego odległości od tej osi:
. (6.1)
Moment bezwładności (MI) ciała względem osi (OO) jest sumą iloczynów mas elementarnych przekrojów ciała przez kwadrat ich odległości od osi:
. (6.2)
Jak widać moment bezwładności ciała jest wielkością addytywną – moment bezwładności całego ciała względem określonej osi jest równy sumie momentów bezwładności poszczególnych jego części względem tej samej osi.
W tym przypadku
.
Moment bezwładności mierzony jest w kgm 2. Ponieważ
, (6.3)
gdzie
– gęstość substancji, 
- tom I- w takim razie sekcja
,
lub przechodząc do nieskończenie małych elementów,
. (6.4)
Wzór (6.4) jest wygodny w użyciu do obliczenia MI ciał jednorodnych o regularnym kształcie względem osi symetrii przechodzącej przez środek masy ciała. Na przykład dla MI cylindra względem osi przechodzącej przez środek masy równoległej do tworzącej wzór ten daje
,
Gdzie T- waga; R- promień cylindra.
Twierdzenie Steinera zapewnia dużą pomoc w obliczaniu MI ciał względem określonych osi: MI ciał I względem dowolnej osi jest równa sumie MI tego ciała I C względem osi przechodzącej przez środek masy ciała i równoległej do danej oraz iloczynu masy ciała przez kwadrat odległości D pomiędzy wskazanymi osiami:
. (6.5)
Moment siły względem osi
Niech siła działa na ciało F. Załóżmy dla uproszczenia, że siła F leży w płaszczyźnie prostopadłej do pewnej prostej OO (ryc. 6.2, A), którą nazwiemy osią (na przykład jest to oś obrotu ciała). Na ryc. 6.2, A
A- punkt przyłożenia siły F,
- punkt przecięcia osi z płaszczyzną, w której leży siła; R- wektor promienia określający położenie punktu A względem punktu O";
O"B
= B
-
ramię siły. Ramię siły względem osi to najmniejsza odległość osi od prostej, na której leży wektor siły F(długość prostopadłej poprowadzonej od punktu 
do tej linii).
Moment siły względem osi jest wielkością wektorową określoną przez równość
. (6.6)
Moduł tego wektora wynosi . Dlatego czasami mówią, że moment siły względem osi jest iloczynem siły i jej ramienia.
Jeśli siła F jest skierowany dowolnie, wówczas można go rozłożyć na dwie składowe; 
I 
(Rys. 6.2, B), tj. 
+
, Gdzie 
- komponent skierowany równolegle do osi OO, oraz 
leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi. W tym przypadku pod momentem siły F względem osi OO rozumiem wektor
. (6.7)
Zgodnie z wyrażeniami (6.6) i (6.7) wektor M skierowane wzdłuż osi (patrz ryc. 6.2, A,B).
Pęd ciała względem osi obrotu
P 
Niech ciało obraca się wokół określonej osi OO z prędkością kątową 
. Rozbijmy mentalnie to ciało na elementarne części z masami 
, które znajdują się odpowiednio od osi, w odległościach 
i obracać się po okręgach, mając prędkości liniowe 
Wiadomo, że wartość jest równa 
- jest impuls I-działka. moment impulsu I-przekrój (punkt materialny) względem osi obrotu nazywany jest wektorem (dokładniej pseudowektorem)
, (6.8)
Gdzie R I– wektor promienia określający położenie I- obszar względem osi.
Moment pędu całego ciała względem osi obrotu nazywa się wektorem
(6.9)
czyj moduł 
.
Zgodnie z wyrażeniami (6.8) i (6.9) wektory
I 
skierowany wzdłuż osi obrotu (ryc. 6.3). Łatwo wykazać, że moment pędu ciała L względem osi obrotu i momentu bezwładności I tego ciała względem tej samej osi są powiązane zależnością
. (6.10)
Moment bezwładności ciała (układu) względem danej osi Oz (lub osiowy moment bezwładności) jest wielkością skalarną różną od sumy iloczynów mas wszystkich punktów ciała (układu) przez kwadraty ich odległości od tej osi:
Z definicji wynika, że moment bezwładności ciała (układu) względem dowolnej osi jest wielkością dodatnią i nie jest równy zero.
W przyszłości zostanie wykazane, że osiowy moment bezwładności podczas ruchu obrotowego ciała pełni tę samą rolę, co masa podczas ruchu postępowego, czyli że osiowy moment bezwładności jest miarą bezwładności ciała podczas ruchu obrotowego ruch.
Zgodnie ze wzorem (2) moment bezwładności ciała jest równy sumie momentów bezwładności wszystkich jego części względem tej samej osi. Dla jednego punktu materialnego znajdującego się w odległości h od osi, . Jednostką miary momentu bezwładności w SI będzie 1 kg (w układzie MKGSS -).
Aby obliczyć osiowe momenty bezwładności, odległości punktów od osi można wyrazić za pomocą współrzędnych tych punktów (na przykład będzie to kwadrat odległości od osi Wółu itp.).
Następnie momenty bezwładności względem osi zostaną określone ze wzorów:
Często podczas obliczeń wykorzystuje się pojęcie promienia bezwładności. Promień bezwładności ciała względem osi jest wielkością liniową określoną przez równość
gdzie M jest masą ciała. Z definicji wynika, że promień bezwładności jest geometrycznie równy odległości od osi punktu, w którym musi być skupiona masa całego ciała, aby moment bezwładności tego jednego punktu był równy momentowi bezwładności całego ciała.
Znając promień bezwładności, można skorzystać ze wzoru (4) w celu wyznaczenia momentu bezwładności ciała i odwrotnie.
Wzory (2) i (3) obowiązują zarówno dla ciała sztywnego, jak i dla dowolnego układu punktów materialnych. W przypadku ciała stałego, rozbijając je na części elementarne, stwierdzamy, że w granicy suma w równości (2) zamieni się w całkę. W rezultacie, biorąc pod uwagę, że gdzie jest gęstość, a V jest objętością, otrzymujemy
Całka rozciąga się tutaj na całą objętość V ciała, a gęstość i odległość h zależą od współrzędnych punktów ciała. Podobnie formuły (3) na ciała stałe przyjmują postać
Wzory (5) i (5) są wygodne w użyciu przy obliczaniu momentów bezwładności ciał jednorodnych o regularnym kształcie. W tym przypadku gęstość będzie stała i wypadnie poza znak całki.
Znajdźmy momenty bezwładności niektórych ciał jednorodnych.
1. Cienki, jednorodny pręt o długości l i masie M. Obliczmy jego moment bezwładności względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego koniec A (ryc. 275). Skierujmy oś współrzędnych wzdłuż AB, wtedy dla dowolnego elementarnego odcinka o długości d wartość wynosi , a masa wynosi , gdzie jest masą jednostkowej długości pręta. W rezultacie wzór (5) daje
Zastępując tutaj jego wartość, w końcu znajdujemy
2. Cienki okrągły jednorodny pierścień o promieniu R i masie M. Znajdźmy jego moment bezwładności względem osi prostopadłej do płaszczyzny pierścienia i przechodzącej przez jego środek C (ryc. 276).
Ponieważ wszystkie punkty pierścienia znajdują się w pewnej odległości od osi, podaje wzór (2).
Dlatego na pierścionek
Oczywiście ten sam wynik otrzymamy dla momentu bezwładności cienkiej cylindrycznej powłoki o masie M i promieniu R względem jej osi.
3. Okrągła jednorodna płyta lub walec o promieniu R i masie M. Obliczmy moment bezwładności okrągłej płyty względem osi prostopadłej do płyty i przechodzącej przez jej środek (patrz rys. 276). Aby to zrobić, wybieramy podstawowy pierścień o promieniu i szerokości (ryc. 277, a). Pole tego pierścienia wynosi , a masa to masa na jednostkę powierzchni płytki. Następnie zgodnie ze wzorem (7) dla wybranego pierścienia elementarnego będzie i dla całej płytki
Jak wspomniano powyżej, proste figury płaskie obejmują trzy figury: prostokąt, trójkąt i okrąg. Liczby te uważa się za proste, ponieważ położenie środka ciężkości tych figur jest znane z góry. Wszystkie inne figury mogą składać się z tych prostych figur i są uważane za złożone. Obliczmy osiowe momenty bezwładności prostych figur względem ich osi środkowych.
1. Prostokąt. Rozważmy przekrój profilu prostokątnego z wymiarami (ryc. 4.6). Wybierzmy element przekroju z dwoma nieskończenie bliskimi przekrojami oddalonymi od siebie 
od osi centralnej 
.
Obliczmy moment bezwładności przekroju prostokątnego względem osi:
.
(4.10)
Moment bezwładności przekroju prostokątnego względem osi 
znajdziemy podobnie. Konkluzja nie jest tutaj podana.
.
(4.11)
I 
jest równa zeru, ponieważ osie 
I 
są osiami symetrii, a zatem osiami głównymi.
2. Trójkąt równoramienny. Rozważmy przekrój profilu trójkątnego z wymiarami 
(Rys.4.7). Wybierzmy element przekroju z dwoma nieskończenie bliskimi przekrojami oddalonymi od siebie 
od osi centralnej 
. Środek ciężkości trójkąta znajduje się w pewnej odległości 
z podstawy. Zakłada się, że trójkąt jest równoramienny, a więc oś 
przekrój jest osią symetrii.
Obliczmy moment bezwładności przekroju względem osi 
:
.
(4.12)
Rozmiar 
z podobieństwa trójkątów wyznaczamy:
; Gdzie 
.
Zastępowanie wyrażeń 
w (4.12) i całkując, otrzymujemy:
.
(4.13)
Moment bezwładności trójkąta równoramiennego względem osi 
znajduje się w podobny sposób i jest równe:
(4.14)
Odśrodkowy moment bezwładności względem osi 
I 
jest równa zeru, ponieważ oś 
jest osią symetrii przekroju.
3. Koło. Rozważ przekrój profilu okrągłego o średnicy 
(Rys. 4.8). Zaznaczmy element przekroju za pomocą dwóch nieskończenie bliskich koncentrycznych okręgów znajdujących się w pewnej odległości 
od środka ciężkości okręgu 
.
Obliczmy biegunowy moment bezwładności okręgu korzystając ze wzoru (4.5):
.
(4.15)
Korzystając z warunku niezmienności dla sumy osiowych momentów bezwładności względem dwóch wzajemnie prostopadłych osi (4.6) i biorąc pod uwagę warunek niezmienności dla okręgu, ze względu na symetrię 
, wyznaczamy wartość osiowych momentów bezwładności:
.
(4.16)
.
(4.17)
Odśrodkowy moment bezwładności względem osi 
I 
jest równa zeru, ponieważ osie 
I 
są osiami symetrii przekroju.
4.4. Zależności momentów bezwładności względem osi równoległych
Przy obliczaniu momentów bezwładności dla figur złożonych należy pamiętać o jednej zasadzie: wartości momentów bezwładności można dodawać, jeśli są obliczane względem tej samej osi. W przypadku figur skomplikowanych najczęściej środki ciężkości poszczególnych prostych figur i całej figury nie pokrywają się. W związku z tym osie środkowe poszczególnych prostych figur i całej figury nie pokrywają się. W związku z tym istnieją techniki przenoszenia momentów bezwładności na jedną oś, na przykład środkową oś całej figury. Może to wynikać z równoległego przesunięcia osi bezwładności i dodatkowych obliczeń.
Rozważmy wyznaczenie momentów bezwładności względem równoległych osi bezwładności pokazanych na rys. 4.9.
Niech osiowe i odśrodkowe momenty bezwładności pokazane na ryc. 4.9. figury względem dowolnie wybranych osi 
I 
z początkiem w punkcie 
znany. Wymagane jest obliczenie osiowych i odśrodkowych momentów bezwładności figury względem dowolnych równoległych osi 
I 
z początkiem w punkcie 
. Osie 
I 
przeprowadzane na odległość 
I 
odpowiednio od osi 
I 
.
Skorzystajmy ze wzorów na osiowy moment bezwładności (4.4) i odśrodkowy moment bezwładności (4.7). Podstawmy te wyrażenia zamiast bieżących współrzędnych 
I 
element o nieskończenie małym obszarze współrzędnych 
I 
w nowym układzie współrzędnych. Otrzymujemy:
Analizując otrzymane wyrażenia dochodzimy do wniosku, że przy obliczaniu momentów bezwładności względem osi równoległych do momentów bezwładności obliczonych względem pierwotnych osi bezwładności należy dodać dodatki w postaci wyrazów dodatkowych, które mogą być znacznie większe niż wartości momentów bezwładności względem pierwotnych osi. Dlatego w żadnym wypadku nie należy lekceważyć tych dodatkowych warunków.
Rozpatrywany przypadek jest najbardziej ogólnym przypadkiem równoległego przeniesienia osi, gdy za początkowe przyjęto dowolne osie bezwładności. W większości obliczeń występują szczególne przypadki wyznaczania momentów bezwładności.
Pierwszy przypadek specjalny. Osie początkowe są środkowymi osiami bezwładności figury. Następnie, korzystając z głównej właściwości statycznego momentu pola, możemy wykluczyć z równań (4.18)–(4.20) wyrazy równań, które obejmują statyczny moment pola powierzchni figury. W rezultacie otrzymujemy:
.
(4.21)
.
(4.22)
.
(4.23)
Oto osie 
I 
-centralne osie bezwładności.
Drugi przypadek specjalny. Osie odniesienia są głównymi osiami bezwładności. Następnie biorąc pod uwagę, że względem głównych osi bezwładności odśrodkowy moment bezwładności jest równy zeru, otrzymujemy:
.
(4.24)
.
(4.25)
.
(4.26)
Oto osie 
I 
główne osie bezwładności.
Skorzystajmy z uzyskanych wyrażeń i rozważmy kilka przykładów obliczania momentów bezwładności dla figur płaskich.
Przykład 4.2. Wyznacz osiowe momenty bezwładności figury pokazanej na ryc. 4.10, względem osi środkowych 
I 
.
W poprzednim przykładzie 4.1 dla rysunku pokazanego na rys. 4.10 wyznaczono położenie środka ciężkości C. Współrzędna środka ciężkości została wykreślona z osi 
i skompilowane 
. Obliczmy odległości 
I 
pomiędzy osiami 
I 
i osie 
I 
. Odległości te były odpowiednio 
I 
. Od oryginalnych osi 
I 
są osiami środkowymi prostych figur w kształcie prostokątów, w celu określenia momentu bezwładności figury względem osi 
Skorzystajmy z wniosków dla pierwszego konkretnego przypadku, w szczególności ze wzoru (4.21).
Moment bezwładności względem osi 
uzyskujemy dodając momenty bezwładności prostych figur względem tej samej osi, od osi 
jest wspólną osią środkową prostych figur i całej figury.
cm 4.
Odśrodkowy moment bezwładności względem osi 
I 
jest równa zeru, ponieważ oś bezwładności 
jest osią główną (osią symetrii figury).
Przykład 4.3. Jaki jest rozmiar? B(w cm)
rysunek pokazany na ryc. 4.11, jeśli moment bezwładności figury względem osi 
równa 1000 cm 4?
Wyraźmy moment bezwładności względem osi 
przez nieznany rozmiar sekcji 
, korzystając ze wzoru (4.21), biorąc pod uwagę odległość między osiami 
I 
równa się 7 cm:
cm 4. (A)
Rozwiązywanie wyrażenia (a) w zależności od rozmiaru przekroju 
, otrzymujemy:
cm.
Przykład 4.4. Która z figur pokazanych na ryc. 4.12 ma większy moment bezwładności względem osi 
jeśli obie figury mają to samo pole 
cm2?
1. Wyraźmy obszary figur pod względem ich rozmiarów i określmy:
a) średnica przekroju dla przekroju okrągłego:
cm2; Gdzie 
cm.
b) rozmiar boku kwadratu:
; Gdzie 
cm.
2. Oblicz moment bezwładności dla przekroju kołowego:
cm 4.
3. Oblicz moment bezwładności przekroju kwadratowego:
cm 4.
Porównując otrzymane wyniki dochodzimy do wniosku, że największy moment bezwładności będzie miał przekrój kwadratowy w porównaniu do przekroju kołowego o tej samej powierzchni.
Przykład 4.5. Określ biegunowy moment bezwładności (w cm 4) przekroju prostokątnego względem jego środka ciężkości, jeżeli szerokość przekroju 
cm, wysokość przekroju 
cm.
1. Znajdź momenty bezwładności przekroju względem poziomu 
i pionowe 
centralne osie bezwładności:
cm4; 
cm 4.
2. Biegunowy moment bezwładności przekroju wyznaczamy jako sumę osiowych momentów bezwładności:
cm 4.
Przykład 4.6. Określ moment bezwładności figury trójkątnej pokazanej na ryc. 4.13 względem osi środkowej 
, jeżeli moment bezwładności figury względem osi 
równa 2400 cm 4.
Moment bezwładności przekroju trójkątnego względem głównej osi bezwładności 
będzie mniejszy w porównaniu z momentem bezwładności względem osi 
według kwoty 
. Dlatego kiedy 
cm moment bezwładności przekroju względem osi 
znajdujemy to w następujący sposób.
DEFINICJA
Miarą bezwładności obracającego się ciała jest moment bezwładności(J) względem osi, wokół której następuje obrót.
Jest to skalarna (ogólnie tensorowa) wielkość fizyczna, która jest równa iloczynowi mas punktów materialnych (), na które należy podzielić dane ciało na kwadraty odległości () od nich do osi obrotu:
gdzie r jest funkcją położenia materialnego punktu w przestrzeni; - gęstość ciała; - objętość elementu korpusu.
Dla ciała jednorodnego wyrażenie (2) można przedstawić jako:
Moment bezwładności w międzynarodowym układzie jednostek mierzy się w:
Wielkość J zawarta jest w podstawowych prawach opisu obrotu ciała sztywnego.
W ogólnym przypadku wielkość momentu bezwładności zależy od kierunku osi obrotu, a ponieważ podczas ruchu wektor zwykle zmienia swój kierunek względem ciała, moment bezwładności należy rozpatrywać w funkcji czasu. Wyjątkiem jest moment bezwładności ciała obracającego się wokół ustalonej osi. W tym przypadku moment bezwładności pozostaje stały.
Twierdzenie Steinera
Twierdzenie Steinera pozwala obliczyć moment bezwładności ciała względem dowolnej osi obrotu, gdy znany jest moment bezwładności danego ciała względem osi przechodzącej przez środek masy tego ciała i osie te są równoległy. W formie matematycznej twierdzenie Steinera jest reprezentowane jako:
gdzie jest moment bezwładności ciała względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy ciała; m jest masą danego ciała; a jest odległością między osiami. Pamiętaj, że osie muszą być równoległe. Z wyrażenia (4) wynika, że:
Niektóre wyrażenia do obliczania momentów bezwładności ciała
Podczas obrotu wokół osi punkt materialny ma moment bezwładności równy:
gdzie m jest masą punktu; r jest odległością od punktu do osi obrotu.
Dla jednorodnego cienkiego pręta o masie m i długości l J względem osi przechodzącej przez jego środek masy (oś jest prostopadła do pręta) jest równa:
Cienki pierścień, którego masa obraca się wokół osi przechodzącej przez jego środek, prostopadłej do płaszczyzny pierścienia, wówczas moment bezwładności oblicza się ze wzoru:
gdzie R jest promieniem pierścienia.
Okrągły jednorodny dysk o promieniu R i masie m ma J względem osi przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do płaszczyzny dysku, równe:
Dla jednorodnej piłki
gdzie m jest masą kuli; R jest promieniem kuli. Piłka obraca się wokół osi przechodzącej przez jej środek.
Jeżeli osie obrotu są osiami prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych, to dla ciała ciągłego momenty bezwładności można obliczyć następująco:
gdzie są współrzędne nieskończenie małego elementu ciała.
Przykłady rozwiązywania problemów
PRZYKŁAD 1
| Ćwiczenia | Dwie kule, które można uznać za kule punktowe, są trzymane razem za pomocą cienkiego, nieważkiego pręta. Długość pręta l. Jaki jest moment bezwładności tego układu względem osi przechodzącej prostopadle do pręta przez środek masy? Masy punktów są takie same i równe m. |
| Rozwiązanie | Znajdźmy moment bezwładności jednej kuli () względem osi znajdującej się w pewnej odległości od niej:
Moment bezwładności drugiej kuli będzie równy: Całkowity moment bezwładności układu jest równy sumie:
|
| Odpowiedź |
PRZYKŁAD 2
| Ćwiczenia | Jaki jest moment bezwładności wahadła fizycznego względem osi przechodzącej przez punkt O (rys. 1)? Oś jest prostopadła do płaszczyzny rysunku. Rozważmy, że wahadło fizyczne składa się z cienkiego pręta o długości l i masy m oraz krążka o masie . Dysk jest przymocowany do dolnego końca pręta i ma promień równy |
| Rozwiązanie | Moment bezwładności naszego wahadła (J) będzie równy sumie momentów bezwładności pręta () obracającego się wokół osi przechodzącej przez punkt O i krążka () obracającego się wokół tej samej osi: |
