От чего зависит функция распределения больцмана. Барометрическая формула
При рассмотрении закона распределения Максвелла предполагалось, что молекулы равномерно распределяются по всему объему сосуда, что справедливо, если объем сосуда небольшой.
Для больших объемов равномерность распределения молекул по объему нарушается из-за действия силы тяжести, вследствие чего плотность, а следовательно, и число молекул в единице объема будут неодинаковым.
Рассмотрим молекулы газа, находящегося в поле тяготения Земли.
Выясним зависимость давления атмосферы от высоты над поверхностью Земли. Допустим, на поверхности Земли (h = 0) давление атмосферы P 0 . На высоте h оно равно P. При увеличении высоты на dh давление уменьшится на dP:
dP = - ρgdh (9.49)
[ρ - плотность воздуха на данной высоте, ρ = mn 0 , где m - масса молекулы, n 0 - концентрация молекул].
Используя соотношение P = n 0 kТ, получаем
Полагая, что на некоторой высоте h Т = соnst, g = соnst, разделяя переменные, интегрируем выражение (9.50):
,
Получаем
(9.51)
-
барометрическая
формула
.
Барометрическая формула показывает зависимость давления газа от высоты над поверхностью Земли.
Если учесть, что концентрация молекул воздуха в атмосфере определяет давление, то формулу (9.51) можно записать в виде
(9.52)
Из формулы (9.52) следует, что с понижением температуры число частиц на высоте, отличной от нуля, убывает и при Т = 0К обращается в нуль, т. е. при 0К все молекулы расположились бы на земной поверхности.
Так как потенциальная энергия молекул на различной высоте различна и на высоте h определяется по формуле где Е П = mgh, то [см.
(9.53)
- закон Больцмана , показывающий распределение участвующих в тепловом движении молекул в потенциальном поле сил, в частности в поле силы тяжести.
Методика решения задач
В задачах данного типа используют свойства распределения Максвелла и Больцмана.
Пример 3.3. Определите среднюю арифметическую скорость <υ˃ молекул идеального газа, плотность которого при давлении 35 кПа составляет 0,3 кг/м 3 .
Дано: Р=35кПа=35∙10 3 Па; ρ=0,3 кг/м 3 .
Найти : <υ˃ .
Решение: Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории идеальных газов,
,
(1)
где n – концентрация молекул; m 0 - масса одной молекулы; <υ кв ˃ .- средняя квадратичная скорость молекул.
Учитывая,
что
,
а
,
получаем
Так как плотность газа
,
где m – масса газа; V - его объём; N - число молекул газа, уравнение (1) можно записать в виде
или
.
Подставляя это выражение в формулу (2),
находим искомую среднюю арифметическую
скорость:
Ответ: <υ˃=545 м/с.
Пример 3.5. Найти относительное число газа, скорость которого отличается не более чем на δη = 1% значения средней квадратичной скорости.
Дано: δη = 1%.
Найти
:
Решение В распределении Максвелла
подставим значение
;
δυ = υ кв δη.
Относительное число молекул будет
Ответ
:
Пример 3.6. При какой температуре газа число молекул со скоростями в заданном интервале υ, υ + dυ будет максимальной? Масса каждой молекулы m.
Для
нахождения искомой температуры необходимо
исследовать функцию распределения
Максвелла на экстремум
.
.
Пример 3.7. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднюю квадратичную скорости молекул идеального газа, у которого при нормальном атмосферном давлении плотность ρ = 1кг/м 3 .
Умножив числитель и знаменатель в подкоренных выражениях (3.4) на число Авогадро N а, получим следующие формулы для скоростей:
.
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона, введя в него плотность
Определим отсюда величину
и, подставив её в выражения, определяющие
скорость молекул, получим:
Пример 3.4. Идеальный газ с молярной массой M находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором g. Найти давление газа как функцию высоты h, если при h = 0 давление Р = Р 0 , а температура меняется с высотой как T = T 0 (1 - α·h), где α – положительная постоянная.
При увеличении высоты на бесконечно малую величину давление получает приращение dP = - ρgdh, где ρ - плотность газа. Знак минус появился, так как с увеличением высоты давление уменьшилось.
Поскольку рассматривается идеальный газ, плотность ρ может быть найдена из уравнения Mенделеева-Клапейрона:
Подставим значение плотности ρ и температуры Т, получим разделяя переменные:
Интегрируя это выражение, находим зависимость давления газа от высоты h:
Так как при h = 0 Р = Р 0 получаем значение постоянной интегрирования С = Р 0 . Окончательно функция Р(h) имеет вид
Необходимо отметить, что, так
как давление является величиной
положительной, полученная формула
справедлива для высот
.
Пример. Французский физик Ж.Перрен, наблюдал под микроскопом изменение концентрации взвешенных в воде (ρ=1г/см 3 ) шариков гуммигута (ρ 1 =1,25г/см 3 ) с изменением высоты, экспериментально определил постоянную Авогадро. Определите это значение, если температура взвеси Т=298К, радиус шариков =0,21 мкм, а при расстоянии между двумя слоями Δ h =30мкм число шариков гуммигута в одном слое в два раза больше, чем в другом.
Дано:
ρ=1г/см
3
=1000кг/м
3
;
ρ=1,25 г/см
3
=1250кг/м
3
;
Т=280 К;
r
=0,21мкм=0,21∙10
-6
м; Δ
h
=30мкм=3∙10
-5
м;
.
Найти : N A .
Решение. Барометрическую формулу
,
Используя уравнение состояния P=nkT, можно преобразовать для высот h 1 и h 2 к виду
и
,
где n 0 , n 1 и n 2 - соответственно концентрация молекул на высоте h 0 , h 1 и h 2 ; М – молярная масса; g- ускорение свободного падения; R- молярная газовая постоянная.
.
(1)
Прологарифмировав выражение (1), получим
(2)
Масса
частицы
;
m=ρV=ρπr 3 .
Подставив эти формулы в (2) и учитывая
поправку на закон Архимеда, получим
Откуда искомое выражение для постоянной Авогадро
Ответ: N A =6,02∙10 23 моль -1 .
Пример. Какова температура Т азота, если средняя длина свободного пробега <ℓ˃ молекул азота при давлении Р=8кПа составляет 1мкм. Эффективный диаметр молекул азота d =0,38нм. .
Дано: <ℓ˃ =1мкм=1∙10 -6 м; Р=8кПа=8∙10 3 Па; d=0,38нм=0,38∙10 -9 м;
Найти : Т.
Решение. Согласно уравнению состояния идеального газа
где n – концентрация молекул; k - постоянная Больцмана.
,
откуда
.
Подставив эту формулу в выражение (1),
найдём искомую температуру азота
Ответ: Т=372 К.
Пример.
При
температуре Т=280 К и некотором давлении
средняя длина
<ℓ 1 ˃
свободного
пробега молекул равна 0,1 мкм. Определите
среднее число
Дано:
Т=280 К;
<ℓ 1 ˃
=0,1мкм=0,1∙10 -6
м;
М=32∙10 -3
кг/моль;
;
d=0,36нм=0,36∙10 -9 м;
Найти
:
Решение.
Среднее число
,
(1)
где средняя скорость молекул определяется по формуле
(2)
где R – молярная газовая постоянная; М – молярная масса вещества.
Из
формул
иP=nkT
следует, что средняя длина свободного
пробега молекул обратно пропорциональна
давлению:
,
откуда
.
Подставив это выражение в формулу (1) и
учитывая (2), получаем искомое среднее
число столкновений молекул в 1с:
Ответ:
Дано:
P
=100мкПа=10
-4
Па;
r
=15см=0,15
м;
T=273
К;
d=0,38нм=0,38∙10 -9 м.
Найти
:
Решение.
Вакуум
можно считать высоким, если средняя
длина свободного пробега молекул газа
гораздо больше линейных размеров сосуда,
т.е. должно выполняться условие
Средняя
длина свободного пробега молекул газа (учли
P=nkT). Вычисляя,
получаем
Ответ:
да, вакуум высокий. Атмосферное
давление на высоте h
обусловлено весом вышележащих слоев
газа. Пусть Р давление газа на высоте
h.
Тогда давление на высоте h+dh
будет P+dP,
а разность давлений dP
будет равна весу газа mg
в объеме V
с площадью основания S
= 1 м 2
и высотой dh
(V=Sdh),
отнесенному к S. Выразим
плотность газа ρ через давление P
из уравнения Менделеева-Клапейрона Тогда
Проинтегрируем
отдельно левую и правую части уравнения.
Считая температуру постоянной T=const,
получим lnP
= -
Это уравнение
носит название барометрической формулы
и показывает зависимость давления
газа от высоты. Видно, что чем
тяжелее молекулы и чем ниже температура,
тем быстрее уменьшается давление с
увеличением высоты. Заменим
в формуле давление, выразив его через
концентрацию молекул из уравнений
P
= nkT,
P 0
= n 0 kT
и
где
n 0
- концентрация молекул на высоте h=0; n
- концентрация молекул на высоте h≠0. Данная
формула описывает изменение концентрации
молекул от высоты h
в потенциальном поле земного тяготения
и от температуры Т. Можно отметить две
тенденции, определяющих распределение
молекул по высоте: 1.
Притяжение молекул к Земле (mg)
стремится расположить их на поверхности
Земли. 2.
Тепловое движение (kT)
стремится разбросать молекулы равномерно
по всем высотам от 0 до
В результате этих
конкурирующих процессов распределение
молекул газа по высоте имеет промежуточный
вид. Потенциальная
энергия молекулы Р =mgh.
Следовательно, полученная формула
представляет собой распределение
молекул по значениям потенциальной
энергии Это
формула функции распределения Больцмана.
Здесь n 0
концентрация моле-кул в том месте, где
Р
= 0, n
–концентрация молекул в той точке
простран-ства, где молекула обладает
потенциальной энергией p
≠ 0. Молекулы
стремятся расположиться с наибольшей
плотностью там, где у них минимальная
потенциальная энергия Закон Максвелла
дает распределение молекул по значениям
кинетической энергии, а закон Больцмана
- по значениям потенциальной энергии. Больцман
доказал, что формула распределения
справедлива не только в случае
потенциального поля земного тяготения,
но и в любом потенциальном поле сил для
совокупности любых одинаковых частиц,
находящихся в состоянии хаотического
теплового движения. Что такое степень
свободы молекул? Чему
равно число степеней свободы одно-,
двух- и трехатомной молекул? Сформулируйте
закон распределения энергии по степеням
свободы молекул. Приведите
выражение функции распределения молекул
по скоростям. По
каким формулам определяются
среднеарифметическая, наиболее вероятная
и среднеквадратичная скорости молекул? Каково
выражение для функции распределения
Больцмана по значениям потенциальной
энергии? Тесты
чему
равно число степеней свободы двухатомной
молекулы? а)
1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5. Сколько степеней
свободы приходится на вращательное
движение у двухатомной молекулы? а)
1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5. Какое
из приведенных выражений описывает
наиболее вероятную скорость? Предположим, что газ находится во внешнем потенциальном поле. В таком случае молекула газа массы $m_0\ ,$ движущаяся со скоростью $\overrightarrow{v}\ $имеет энергию ${\varepsilon }_p$, которая выражается формулой: Вероятность ($dw$) нахождения этой частицы в фазовом объеме $dxdydzdp_xdp_ydp_z$ равно: Плотности вероятности координат частицы и ее импульсов независимы, следовательно: Формула (5) дает распределение Максвелла для скоростей молекул. Рассмотрим внимательнее выражение (4), которое приводит к распределению Больцмана. $dw_1\left(x,y,z\right)$ -- плотность вероятности нахождения частицы в объеме $dxdydz$ вблизи точки с координатами $\left(x,y,z\right)$. Будем считать, что молекулы газа независимы и в выделенном объеме газа n частиц. Тогда по формуле сложения вероятностей получим: Коэффициент $A_1$ находится из условия нормировки, которое в имеющемся у нас случае значит, что в выделенном объеме n частиц: Распределением Больцмана называют выражение: Выражение (8) задает пространственное распределение концентрации частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Коэффициент $A_1$ не вычисляют, если необходимо знать только распределение концентрации частиц, а не их количество. Допустим, что в точке ($x_0,y_{0,}z_0$) задана концентрация $n_0$=$n_0$ $(x_0,y_{0,}z_0)=\frac{dn}{{dx}_0dy_0{dz}_0}$, потенциальная энергия в той же точке $U_0=U_0\left(x_0,y_{0,}z_0\right).$ Обозначим концентрацию частиц в точке (x,y,z) $n_0\ \left(x,y,z\right).\ $Подставим данные в формулу (8), получим для одной точки: для второй точки: Выразим $A_1$ из (9), подставим в (10): Чаще всего распределение Больцмана используют именно в виде (11). Особенно удобно подобрать нормировку, при которой $U_0\left(x,y,z\right)=0$. Распределение Больцмана в поле сил тяжести имеет можно записать в следующем виде:
\\ }dxdydz\ \left(12\right),\] где $U\left(x,y,z\right)=m_0gz$ -- потенциальная энергия молекулы массы $m_0$ в поле тяжести Земли, $g$ -- ускорение свободного падения, $z$ -- высота. Или для плотности газа распределение (12) запишется как:
\[\rho ={\rho }_0{exp \left[-\frac{m_0gz}{kT}\right]\ }\ \left(13\right).\]
Выражение (13) называют барометрической формулой. При выводе распределения Больцмана никаких ограничений для массы частицы не применялось. Следовательно, оно применимо и для тяжелых частиц. Если масса частицы велика, то показатель экспоненты быстро изменяется с высотой. Таким образом, сама экспонента быстро стремится к нулю. Для того, чтобы тяжелые частицы "не осели на дно", необходимо, чтобы их потенциальная энергия была малой. Это достигается в том случае, если частицы помещают, например, в плотную жидкость. Потенциальная энергия частицы U(h) на высоте h взвешенная в жидкости: где $V_0$- объем частиц, $\rho $- плотность частиц, ${\rho }_0$ -- плотность жидкости, h -- расстояние (высота) от дна сосуда. Следовательно, распределение концентрации частиц взвешенных в жидкости:
\\ }\ \left(15\right).\]
Для того, чтобы эффект был заметен, частицы должны быть малы. Визуально этот эффект наблюдают с помощью микроскопа. Пример 1
Задание: В поле силы тяжести находятся два вертикальных сосуда с разными газами (водород при $T_1=200K\ $ и гелий при $T_2=400K)$. Сравнить плотности этих газов на высоте h, если на уровне h=0 плотности газов были одинаковы. В качестве основы для решения задачи используем барометрическую формулу:
\[\rho ={\rho }_0{exp \left[-\frac{m_0gz}{kT}\right]\ }\left(1.1\right)\]
Запишем (1.1) для водорода:
\[{\rho }_1={\rho }_0{exp \left[-\frac{m_{H_2}gh}{kT_1}\right]\ }\left(1.2\right),\]
где $m_{H_2}=\frac{{\mu }_{H_2}}{N_A}$ , ${\mu }_{H_2}\ $- молярная масса водорода, $N_A$ -- постоянная Авогадро. Запишем (1.1) для гелия:
\[{\rho }_2={\rho }_0{exp \left[-\frac{m_{He}gh}{kT_2}\right]\ }\left(1.3\right),\]
где $m_{H_2}=\frac{{\mu }_{He}}{N_A}$ , ${\mu }_{He}\ $- молярная масса гелия. Найдем отношение плотностей:
\[\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}=\frac{{exp \left[-\frac{\frac{{\mu }_{H_2}}{N_A}\ gh}{kT_1}\right]\ }}{{exp \left[-\frac{\frac{{\mu }_{He}}{N_A}gh}{kT_2}\right]\ }}=exp\frac{gh}{kN_A}\left[-\frac{{\mu }_{H_2}}{T_1}+\frac{{\mu }_{He}}{T_2}\right]=exp\frac{gh\left({\mu }_{He}T_1-{\mu }_{H_2}T_2\right)}{kN_AT_1T_2}\ \left(1.4\right).\]
Подставим имеющиеся данные, вычислим отношения плотностей:
\[\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}=exp\frac{gh\left(4\cdot 200-2\cdot 400\right)}{kN_A200\cdot 400}=1\]
Ответ: Плотности газов одинаковы. Пример 2
Задание: Эксперименты с распределением взвешенных частиц в жидкости проводил, начиная с 1906 г., Ж.Б. Перрен. Он использовал распределение частиц гуммигута в воде для измерения постоянной Авогадро. При этом плотность частиц гуммигута составляла $\rho =1,2\cdot {10}^3\frac{кг}{м^3}$, их объем $V_0=1,03\cdot {10}^{-19}м^3.$ Температура, при которой проводился эксперимент, T=277K. Найдите высоту h, на которой плотность распределения гуммигута уменьшилась в два раза. Используем распределение концентрации частиц, взвешенных в жидкости:
\\ }\left(2.1\right).\]
Зная плотность воды ${\rho }_0=1000\frac{кг}{м^3},$ имеем: $V_0\left(\rho -{\rho }_0\right)=1,03 {10}^{-19}\left(1,2-1\right){\cdot 10}^3=0,22 {10}^{-16}\ (кг)$. Подставим полученный результат в (2.1):
\\ }\]
\\ }\]
\[\frac{n_0\left(h_1\right)}{n_0\left(h_2\right)}=exp{- \left[\frac{V_0\left(\rho -{\rho }_0\right)g}{kT}\right]\ }\cdot \left=2\ (2.2)\]
Прологарифмируем правую и левую части (2.2):
\[{ln \left(2\right)\ }={- \left[\frac{V_0\left(\rho -{\rho }_0\right)g}{kT}\right]\ }\cdot \triangle h\to \triangle h=\frac{{ln \left(2\right)\ }kT}{V_0\left(\rho -{\rho }_0\right)g}=\frac{{ln \left(2\right)\ }\cdot 1,38\cdot {10}^{-23}\cdot 277}{0,22\cdot {10}^{-16}\cdot 9,8}=\]
\[=1,23\ \cdot {10}^{-5}\left(м\right).\]
Ответ: Плотность распределения гуммигута уменьшится в два раза при изменении высоты на $1,23\ \cdot {10}^{-5}м$. Бо́льцмана распределение - распределение по энергиям частиц (атомов, молекул) идеального газа в условиях термодинамического равновесия, которое было открыто в 1868-1871 гг. австрийским физиком Л. Больцманом . Согласно ему, число частиц n i с полной энергией e i равно: ni = Aω i exp (-e i /kT) где ω i - статистический вес (число возможных состояний частицы с энергией e i). Постоянная А находится из условия, что сумма n i по всем возможным значениям i равна заданному полному числу частиц N в системе (условие нормировки): ∑n i = N. В случае, когда движение частиц подчиняется классической механике, энергию e i можно считать состоящей из кинетической энергии e i, кин частицы (молекулы или атома), ее внутренней энергии e i, вн (например, энергии возбуждения электронов) и потенциальной энергии e i, пот во внешнем поле, зависящей от положения частицы в пространстве: e i = e i, кин + e i, вн + e i, пот Распределение частиц по скоростям (распределение Максвелла) является частным случаем распределения Больцмана. Оно имеет место, когда можно пренебречь внутренней энергией возбуждения и влиянием внешних полей. В соответствии с ним формулу распределения Больцмана можно представить в виде произведения трех экспонент, каждая из которых дает распределение частиц по одному виду энергии. В постоянном поле тяжести, создающем ускорение g, для частиц атмосферных газов вблизи поверхности Земли (или других планет) потенциальная энергия пропорциональна их массе m и высоте H над поверхностью, т.е. e i, пот = mgH. После подстановки этого значения в распределение Больцмана и суммирования по всевозможным значениям кинетической и внутренней энергий частиц получается барометрическая формула , выражающая закон уменьшения плотности атмосферы с высотой. В астрофизике, особенно в теории звездных спектров, распределение Больцмана часто используется для определения относительной заселенности электронами различных уровней энергии атомов. Распределение Больцмана было получено в рамках классической статистики. В 1924-1926 гг. была создана квантовая статистика. Она привела к открытию распределений Бозе-Эйнштейна (для частиц с целым спином) и Ферми-Дирака (для частиц с полуцелым спином). Оба эти распределения переходят в распределение Больцмана, когда среднее число доступных для системы квантовых состояний значительно превышает число частиц в системе, то есть когда на одну частицу приходится много квантовых состояний или, другими словами, когда степень заполнения квантовых состояний мала. Условие применимости распределения Больцмана можно записать в виде неравенства: N/V . где N - число частиц, V - объем системы. Это неравенство выполняется при высокой температуре и малом числе частиц в единице объема (N/V). Из него следует, что чем больше масса частиц, тем для более широкого интервала изменений Т и N/V справедливо распределение Больцмана. Например, внутри белых карликов приведенное выше неравенство нарушается для электронного газа, и поэтому его свойства следует описывать с помощью распределения Ферми-Дирака. Однако оно, а вместе с ним и распределение Больцмана, остаются справедливыми для ионной составляющей вещества. В случае газа, состоящего из частиц с нулевой массой покоя (например, газа фотонов), неравенство не выполняется ни при каких значениях Т и N/V. Поэтому равновесное излучение описывается законом излучения Планка , который является частным случаем распределения Бозе-Эйнштейна. Рассмотрим систему, состоящую из одинаковых частиц и находящуюся в термодинамическом равновесии. Вследствие теплового движения и межмолекулярных взаимодействий энергия каждой из частиц (при неизменной общей энергии системы) с течением времени меняется, отдельные же акты изменения энергии молекул - случайные события. Для описания свойств системы предполагается, что энергия каждой из частиц через случайные взаимодействия может изменяться от до Для описания распределения частиц по энергиям рассмотрим ось координат, на которой будем откладывать значения энергии частиц, и разобьем ее на интервалы (рис. 3.7). Точки этой оси соответствуют различным возможным значениям энергии молекул. В пределах каждого интервала энергия меняется от до Мысленно зафиксируем для данного момента времени распределение всех частиц по энергиям. Фиксированное состояние системы будет характеризоваться определенным расположением точек на оси энергий. Пусть эти точки чем-либо выделяются, например свечением. Тогда совокупностью темных точек, а их будет большинство, на оси энергии определятся только возможные, но не реализовавшиеся энергетические состояния молекул. Вслед за фиксированным моментом времени энергия молекул из-за случайных взаимодействий будет меняться: число изображающих точек останется то же, но их положения на оси изменятся. В таком мысленном эксперименте изображающие точки скачками и очень часто будут менять свое место на оси энергии. Фиксируя их через определенные промежутки времени, наблюдатель пришел бы к следующему заключению: при термодинамическом равновесии число изображающих точек на каждом из выделенных участков энергии остается с достаточной точностью одинаковым. Числа же заполнений энергетических интервалов зависят от их положения на выбранной оси. Пусть все выделенные энергетические интервалы пронумерованы. Тогда на интервал с энергией от до придется среднее число частиц Число частиц системы и их общая (внутренняя) энергия определяются суммированием по всем энергетическим интервалам: Отношение есть вероятностная характеристика интервала энергии. Естественно предположить, что при данной температуре вероятность есть функция энергии молекул (зависит от положения интервала на оси энергии). В общем случае указанная вероятность зависит также от температуры. Отыскание зависимости является одной из основных задач статистической физики. Функция называется функцией распределения частиц по энергиям. Методами статистической физики с введением определенных предположений найдено: где А - постоянная величина, постоянная Больцмана универсальная газовая постоянная, число Авогадро), Согласно (29.2) для любой системы, находящейся в равновесии и подчиняющейся законам классической статистики, число молекул, обладающих энергией пропорционально экспоненциальному множителю Просуммировав правую и левую части равенства (29.2) по всем энергетическим интервалам, найдем: что позволяет переписать выражение (29.2) в ином виде: Величина называется статистической суммой. Как (29.2), так и (29.3) имеют фундаментальное значение для решения ряда физических задач методами статистической физики. Если выражением (29.2) определяются заполнения молекулами энергетических интервалов в условиях термодинамического равновесия системы при данной температуре, то (29.3) дает нам сведения о вероятности таких заполнений. Оба соотношения носят название формул Больцмана. Разделим (29.3) на Если есть выбранный интервал энергии, то - интервал энергии в единицах т. е. безразмерный интервал энергии. Как указывалось выше, есть вероятность, величину же следует трактовать как плотность вероятности - вероятность попадания молекул в единичный безразмерный энергетический интервал Перейдя к пределу (при Т = const), получим: Интеграл, входящий в последнее выражение, равен единице, поэтому где обозначение плотности вероятности В общем случае энергия частицы может иметь ряд слагаемых, при слагаемых Соответственно (29.5) принимает вид Таким образом, вероятность распределения частиц по их полной энергии определяется произведением величин каждое из которых согласно закону умножения вероятностей следует трактовать как вероятность распределения по одной из слагаемых энергии Вывод можно сформулировать так: при термодинамическом равновесии распределения частиц по слагаемым энергии являются статистически независимыми и выражаются формулами Больцмана. На основе сделанного вывода можно расчленить сложную картину движения и взаимодействия молекул и рассматривать ее по частям, выделяя отдельные составляющие энергии. Так, при наличии гравитационного поля можно рассматривать распределение частиц в этом поле независимо от их распределения по кинетической энергии. Точно так же можно независимо исследовать вращательное движение сложных молекул и колебательное движение их атомов. Формула Больцмана (29.2) является основой так называемой классической статистической физики, в которой считается, что энергия частиц может принимать непрерывный ряд значений. Оказывается, что поступательное движение молекул газов и жидкостей, за исключением молекул жидкого гелия, достаточно точно описывается классической статистикой вплоть до температур, близких к 1 К. Некоторые свойства твердых тел при достаточно высоких температурах также поддаются анализу с помощью формул Больцмана. Классические распределения являются частными случаями более общих квантовых статистических закономерностей. Применимость формул Больцмана в такой же мере ограничена квантовыми явлениями, как и применимость классической механики к явлениям микромира. В основе больцмановской статистики лежит предположение о том, что изменение энергии молекулы является случайным событием и что попадание молекулы в тот или иной энергетический интервал не зависит от заполнения интервала другими частицами. Соответственно формулы Больцмана можно применять только к решению таких задач, для которых выполняется указанное условие. В заключение используем выражение (29.5) для определения числа молекул, которые могут обладать энергией, равной или большей Для этого необходимо определить интеграл: Интегрирование приводит к соотношению Таким образом, по плотности вероятности можно определить число молекул с энергиями что важно для ряда приложений.
˃˃
2r
=58,8
м, т.е 58,8 м ˃˃0,3 м.
,
где С – постоянная интегрирования.
Выражение для давления будет
Постоянную интегрирования определяют
из граничного условия. Еслиh
= 0, то С = Р 0
и тогда
.
Контрольные вопросы
Что такое распределение Больцмана
Распределение Больцмана в поле сил тяжести
