Определение евклидова пространства примеры. Определение евклидова пространства

Определение евклидова пространства

Определение 1. Вещественное линейное пространство называется евклидовым , если в нём определена операция, ставящая в соответствие любым двум векторам x и y из этого пространства число, называемое скалярным произведением векторов x и y и обозначаемое (x,y) , для которого выполнены условия:

1. (x,y) = (y,x);

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) , где z - любой вектор, принадлежащий данному линейному пространству;

3. (?x,y) = ? (x,y) , где ? - любое число;

4. (x,x) ? 0 , причём (x,x) = 0 x = 0.

Например, в линейном пространстве одностолбцовых матриц скалярное произведение векторов

можно определить формулой

Евклидово пространство размерности n обозначают En . Заметим, что существуют как конечномерные, так и бесконечномерные евклидовы пространства.

Определение 2 . Длиной (модулем) вектора x в евклидовом пространстве En называют (x,x) и обозначают её так: |x| = (x,x) . У всякого вектора евклидова пространства существует длина, причём у нулевого вектора она равна нулю.

Умножая ненулевой вектор x на число , мы получим вектор , длина которого равна единице. Эта операция называется нормированием вектора x .

Например, в пространстве одностолбцовых матриц длину вектора можно определить формулой:

Неравенство Коши-Буняковского

Пусть x? En и y ? En – любые два вектора. Докажем, что для них имеет место неравенство:

(Неравенство Коши-Буняковского)

Доказательство. Пусть? - любое вещественное число. Очевидно, что (?x ? y,?x ? y) ? 0. С другой стороны, в силу свойств скалярного произведения можем написать

Получили, что

Дискриминант этого квадратного трёхчлена не может быть положительным, т.е. , откуда вытекает:

Неравенство доказано.

Неравенство треугольника

Пусть x и y - произвольные векторы евклидова пространства En , т.е. x ? En и y ? En .

Докажем, что . (Неравенство треугольника).

Доказательство. Очевидно, что С другой стороны, . Принимая во внимание неравенство Коши-Буняковского, получим

Неравенство треугольника доказано.

Норма евклидова пространства

Определение 1 . Линейное пространство ? называется метрическим , если любым двум элементам этого пространства x и y поставлено в соответствие неотрицательное число? (x,y) , называемое расстоянием между x и y , (? (x,y) ? 0) , причём выполняются условия (аксиомы):

1) ? (x,y) = 0 x = y

2) ? (x,y) = ? (y,x) (симметрия);

3) для любых трёх векторов x , y и z этого пространства? (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y) .

Замечание. Элементы метрического пространства обычно называют точками.

Евклидово пространство En – метрическое, причём в качестве расстояния между векторами x? En и y? En можно взять x ? y .

Так, например, в пространстве одностолбцовых матриц, где

следовательно

Определение 2 . Линейное пространство ? называется нормированным , если каждому вектору x из этого пространства поставлено в соответствие неотрицательное число, называемое его нормой x . При этом выполняются аксиомы:

Нетрудно видеть, что нормированное пространство является метрическим пространством. В самом деле, в качестве расстояния между x и y можно взять . В евклидовом пространстве En в качестве нормы любого вектора x? En принимается его длина, т.е. .

Итак, евклидово пространство En является метрическим пространством и более того, евклидово пространство En является нормированным пространством.

Угол между векторами

Определение 1 . Углом между ненулевыми векторами a и b евклидова простран ства En называют число для которого

Определение 2 . Векторы x и y евклидова пространства En называются ортогона льными , если для них выполняется равенство (x,y) = 0.

Если x и y - ненулевые, то из определения следует, что угол между ними равен

Заметим, что нулевой вектор по определению считается ортогональным любому вектору.

Пример . В геометрическом (координатном) пространстве?3, которое является частным случаем евклидова пространства, орты i , j и k взаимно-ортогональны.

Ортонормированный базис

Определение 1 . Базис e1 ,e2 ,...,en евклидова пространства En называется ортогона льным , если векторы этого базиса попарно ортогональны, т.е. если

Определение 2 . Если все векторы ортогонального базиса e1 , e2 ,...,en единичны, т.е. ei = 1 (i = 1,2,...,n) , то базис называется ортонормированным , т.е. для ортонормированного базиса

Теорема. (о построении ортонормированного базиса)

Во всяком евклидовом пространстве E n существуют ортонормированные базисы.

Доказательство . Докажем теорему для случая n = 3.

Пусть E1 ,E2 ,E3 - некоторый произвольный базис евклидова пространства E3 Построим какой-нибудь ортонормированный базис в этом пространстве. Положим , где ? - некоторое вещественное число, которое выберем таким образом, чтобы было (e1 ,e2 ) = 0, тогда получим

причём очевидно, что? = 0 , если E1 и E2 ортогональны, т.е. в этом случае e2 = E2 , а , т.к. это базисный вектор.

Учитывая, что (e1 ,e2 ) = 0, получим

Очевидно, что , если e1 и e2 ортогональны с вектором E3 , т.е. в этом случае следует взять e3 = E3 . Вектор E3 ? 0 , т.к. E1 , E2 и E3 линейно независимы, следовательно e3 ? 0.

Кроме того, из приведённого рассуждения следует, что e3 нельзя представить в виде линейной комбинации векторов e1 и e2 , следовательно векторы e1 , e2 , e3 линейно незави симы и попарно ортогональны, следовательно, их можно взять в качестве базиса евклидова пространства E3 . Остаётся только пронормировать построенный базис, для чего достаточно каждый из построенных векторов разделить на его длину. Тогда получим

Итак, мы построили базис - ортонормированный базис. Теорема доказана.

Применённый способ построения ортонормированного базиса из произвольного базиса называется процессом ортогонализации . Заметим, что в процессе доказательства теоремы мы установили, что попарно ортогональные векторы линейно независимы. Кроме того, если - ортонормированный базис в En , тогда для любого вектора x? En имеет место единственное разложение

где x1 , x2 ,..., xn - координаты вектора x в этом ортонормированном базисе.

Так как

то умножив скалярно равенство (*) на , получим .

В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные базисы, а потому для простоты их записи нолики сверху у базисных векторов мы будем опускать.

Соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

N {\displaystyle n} -мерное евклидово пространство обозначается E n , {\displaystyle \mathbb {E} ^{n},} также часто используется обозначение (если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ 04 - Линейная алгебра. Евклидово пространство

✪ Неевклидова геометрия. Часть первая.

✪ Неевклидова геометрия. Часть вторая

✪ 01 - Линейная алгебра. Линейное (векторное) пространство

✪ 8. Евклидовы пространства

Субтитры

Формальное определение

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел , на векторах которого задана вещественнозначная функция (⋅ , ⋅) , {\displaystyle (\cdot ,\cdot),} обладающая следующими тремя свойствами:

Пример евклидова пространства - координатное пространство R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} состоящее из всевозможных кортежей вещественных чисел (x 1 , x 2 , … , x n) , {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),} скалярное произведение в котором определяется формулой (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . {\displaystyle (x,y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла . Длина вектора u {\displaystyle u} определяется как (u , u) {\displaystyle {\sqrt {(u,u)}}} и обозначается | u | . {\displaystyle |u|.} Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что | a u | = | a | | u | , {\displaystyle |au|=|a||u|,} то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами u {\displaystyle u} и v {\displaystyle v} определяется по формуле φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) . {\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right).} Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости ) данное определение угла совпадает с обычным . Ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы, угол между которыми равен π 2 . {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}.}

Неравенство Коши - Буняковского - Шварца и неравенство треугольника

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) {\displaystyle \arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right)} был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство | (x , y) | x | | y | | ⩽ 1. {\displaystyle \left|{\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right|\leqslant 1.} Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши - Буняковского - Шварца . Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника : | u + v | ⩽ | u | + | v | . {\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.} Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция d (x , y) = | x − y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|} задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} координатного пространства R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} задаётся формулой d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . {\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y})=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор x {\displaystyle x} евклидова пространства задаёт линейный функционал x ∗ {\displaystyle x^{*}} на этом пространстве, определяемый как x ∗ (y) = (x , y) . {\displaystyle x^{*}(y)=(x,y).} Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и

Кузьма Сергеевич Петров-Водкин

Пространство Эвклида

Яркий и самобытный российский художник, график, теоретик искусства Кузьма Сергеевич Петров-Водкин (1878-1939) прославился и как писатель, чье мастерство и манера изложения не уступают в своеобразии живописным работам. "Пространство Эвклида" является продолжением автобиографического произведения "Моя повесть" ("Хлыновск") и принадлежит к лучшим страницам отечественной мемуаристики. Эта живая энергичная проза, в которой будто наяву слышны интонации устного рассказа, передает все богатство впечатлений и переживаний тонкого и глубокого мастера.

Глава вторая

Глава третья

Глава четвертая

Глава пятая

Глава шестая

Глава седьмая

Глаза восьмая

Глава девятая

Глава десятая

Глава одиннадцатая

Глава двенадцатая

Глава тринадцатая

Глава четырнадцатая

Глава пятнадцатая

Глава шестнадцатая

Глава семнадцатая

Глава восемнадцатая

Глава девятнадцатая

Глава двадцатая

Глава двадцать первая

Глава двадцать вторая

Глава первая

ВЫЛЕТ ИЗ ГНЕЗДА

К выпускным экзаменам мы, школьники, незаметно для самих себя, возмужали. У каждого набухли и успокоились грудные железы. Лица стали озабоченнее. Огрубели наши голоса и смелее заговорили о девушках.

Начинали курить, правда, еще потихоньку от родителей. Пересилив тошноту и отвращение от табачного дыма, вырабатывали мы жесты затяжек, держания папиросы между пальцами, в углу рта, с цежением слов, выпускаемых одновременно с дымом.

Беседы сделались разумнее. Мы перешли к вопросам, о которых год тому назад и не думали. Насущным вопросом было - преимущества и осмысленность той или иной профессии: каждый намечал свой путь или кому его намечали родители, но немногие из нас решили бесповоротно переплеснуться за Хлыновск, и немногие сознавали всю скудность нашего учебного багажа, да и потребность в его пополнении была не у многих.

Сидим мы во дворе школы, - Петр Антонович нездоров, - мы знаем виновника нездоровья - буфет на "Суворове", сидим и обсуждаем наши предположения.

Буду в Москве улицы подметать, а в Хлыновске не останусь! - заявляет Позднухов - наш поэт, романтик. Он сирота; дядя, у которого Позднухов сиротствовал, тоже бобыль, из прутьев мебель налаживал; так дядя решил, что раз довел он племянника до "высокой науки", так теперь кормежку ему делай.

Пешком уйду, - продолжает Позднухов, - у меня и багаж готов: книга Пушкина, сорок копеек и сухарей насушил за зиму…

И мы знали, видно было по человеку, что он сдержит то, о чем говорит.

Петя Сибиряков - невеселый, у него тоже взрывчатое внутри, но он слишком мягок: его направляют в Саратов в торговое предприятие. Кузнецов, сын почтальона, в телеграфных чиновниках продолжит он профессию отца. Кира Тутин должен овладеть "высотами механики" - это его решение. Самый спокойный из всех за судьбу свою - это Вася Серов, он по прямой линии пройдет жизнь, его разум четок и цепок, кто не посторонится на его пути, сам свалится; логикой голых истин Вася победит все свои немощи, и любовь, и жалость, и межпланетные загадки, закроет клапаны рассудка на прошлое и будущее, чтобы выровнять настоящее в длину и в ширину.

Трое учеников предполагали держать в железнодорожное училище.

А ты? - обращаются ко мне. А я и не знаю, или, наоборот, слишком хорошо знаю мою склонность, но нет у меня определенной формы действия, я чую окольные пути, которые мне предстоят, я не знаю даже, есть ли для меня подходящая школа, да и как назвать тс, чем я хотел бы заняться, - ведь я был пионером в Хлыновске, открывшим новое занятие.

Наш круг мозолистый, изложи ему занятие ясное. Черноты работы он не испугается, над ней не посмеется, только чтоб не было в работе передаточности дальней и чтоб полезность ее была обоснована. А как мне было обосновать занятие художника?

Я также поеду в железнодорожное! - высказываю я товарищам только что созревшее во мне решение, - надо было с чего-то начинать жизнь и не прерывать учения.

Из выпускников у нас было два коновода - Серов и Тутин.

Всю школу прошел Серов на пятерках. Он не обладал фантазией игры и шалостей. Весь учебный материал он знал от сих и до сих. Прибегающим к нему за помощью товарищам он не отказывал, но ему казалось столь неестественным чего-нибудь не знать, что его помощь казалась высокомерной и всегда слегка колола самолюбие прибегнувшего к ней.

Большая голова Васи с черными глазами, которые, соединенные с гримасой угла рта, казались насмешливыми и недобрыми, эта голова, выбрасывавшая несомненные, школьные истины, была для меня объектом многих наблюдений. Я был к нему холоден, но не мог не восхищаться его мозговой коробкой, в которой так крепко были уложены и формулы математики, и призвание варягов, и катехизис. Отвечая урок низким, звучным голосом, Серов как бы приказывал квадрату гипотенузы строиться с катетами, Рюрик, Синеус и Трувор беспрекословно приходили владеть Русью, члены символа веры каменными плитами печатали неизбежность.

Внутри меня было несогласие с такой тиранической безусловностью, но я не мог не поддаваться его умозаключениям.

Ну и умный этот Васька, - говорил смешливый Гриша Юркин, - пра, ей-Богу, он в исправники пролезет!

Уж не знаю, крайности или прямолинейности сходятся, но законоучитель наш нарадоваться не мог на Серова. Отчитывает тот ему, бывало, урок, а протопоп умиленно разглаживает складки рясы и дакает в бороду и вздыхает, и растворяется в красноречии Васи от собственного косноязычия.

Вот бы архиерей-то, да бы из своих, - видно, мечтал поп.

И случалось, что после урока звал законоучитель Васю в уединение и убеждал юношу в выборе подобающей карьеры.

Опять в духовные звал, - отвечал Серов на наши расспросы.

Гриша Юркин спал и видел себя попом.

Ах ты, вот те, ах ты!… - ахал всерьез Юркин над своей мечтой. - Что же это длинногривый меня не приглашает? Ведь Васька назубок, а я по совести церковное знаю… Подожди, я ему изложу урок… Серову кутейность ни к чему, а я о сироте моей безродной стараюсь… Ах, уж покормил бы я мамашеньку шпионами в сметане!…

Надо сказать, несуразный Гриша отлично знал святцы и катехизис, но его несчастьем было всегдашнее умозатмение; он путал слова по созвучию - шпионы у него вызревали в навозе, шампиньоны предавали родину. И вот, когда на первом же уроке мечтающий о духовном звании предложил отвечать по богослужению, мы с удовольствием слушали Гришино изложение. Ему даже удавалось избегать путающих его слов. Протоиерей также насторожился по-хорошему и задал последний вопрос о "проскомидии прежде освященных даров", и вот на него четко, без запинки, что твой Серов, начал отвечать Юркин:

Микроскопия летаргии, пресыщенных даров совершается…

Законоучитель с кулаками бросился на бедного юношу:

Балда бесовская! Заткни омраченную глотку! Смешливый Гриша было фыркнул от трясения Протопоповой бороды, но потом очень вознегодовал.

Так вот назло тебе докажу, распро-поп эдакий!… - погрозил он вслед уходящему.

И что же, Юркин все-таки стал попом в селе Левитине, Мужики, говорят, любили веселого, простецкого батюшку, и если бы не водка, которой безмерно предался Гриша, может быть, он шагнул бы и за протопопа. Но однажды во время обедни зеленый змий показался ему идущим с клироса. Юркин шарахнул кадилом в змеиную пасть и непристойно заругался в ужаснувшуюся толпу прихожан.

Евклидово пространство

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство ) - в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии . В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно -мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .

в простейшем случае (евклидова норма ):

где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис , в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство , соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:

Связанные определения

• Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика .

• Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

• Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) - каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

Более абстрактный пример:

Вариации и обобщения

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Линейное пространство
• Выпуклый функционал

Смотреть что такое "Евклидово пространство" в других словарях:

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО - конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным произведением. Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к рых скалярное произведение (ху)векторов х … Физическая энциклопедия

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО - пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называется n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение … Большой Энциклопедический словарь

Евклидово пространство - пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. Упрощенно можно определить евклидово пространство, как пространство на плоскости или в трехмерном объеме, в которых заданы прямоугольные (декартовы) координаты, а… … Начала современного естествознания

Евклидово пространство - см. Многомерное (n мерное) векторное пространство, Векторное (линейное) пространство … Экономико-математический словарь

евклидово пространство - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN Cartesian space … Справочник технического переводчика

евклидово пространство - пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называют n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение. * * * ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ЕВКЛИДОВО… … Энциклопедический словарь

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО - пространство, свойства к рого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании Е. п. наз. n мерное векторное пространство, в к ром определено скалярное произведение … Естествознание. Энциклопедический словарь

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО - пространство, свойства к рого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п. конечномерное действительное векторное пространствоRn со скалярным произведением(х, у), х, к рое в надлежащим образом выбранных координатах… … Математическая энциклопедия

Евклидово пространство - (в математике) пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии (См. Евклидова геометрия). В более общем смысле Е. п. называется n мepное Векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные… … Большая советская энциклопедия

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО - [по имени др. греч. математика Евклида (Eukleides; 3 в. до н. э.)] пространство, в т. ч. многомерное, в к ром возможно ввести координаты х1,..., хп так, что расстояние р (М,М) между точками М (х1 ..., х n) и М (х 1 , .... xn) может быть… … Большой энциклопедический политехнический словарь