Окружность на координатной плоскости. Числовая окружность
Урок и презентация на тему: "Числовая окружность на координатной плоскости"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Что будем изучать:
1. Определение.
2. Важные координаты числовой окружности.
3. Как искать координату числовой окружности?
4. Таблица основных координат числовой окружности.
5. Примеры решения задач.
Определение числовой окружности на координатной плоскости
Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок. Начальная точка числовой окружности A совмещена с точкой (1;0).Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты х и у, причем:
1) при $x > 0$, $у > 0$ - в первой четверти;
2) при $х 0$ - во второй четверти;
3) при $х
4) при $х > 0$, $у
Для любой точки $М(х; у)$ числовой окружности выполняются неравенства: $-1
Запомните уравнение числовой окружности: $x^2 + y^2 = 1$.
Нам важно научиться находить координаты точек числовой окружности, представленных на рисунке.
Найдем координату точки $\frac{π}{4}$
Точка $М(\frac{π}{4})$ - середина первой четверти. Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую ОА и рассмотрим треугольник OMP.Так как дуга АМ составляет половину дуги АВ, то $∠MOP=45°$.Значит, треугольник OMP - равнобедренный прямоугольный треугольник и $OP=MP$, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: $x = y$.
Так как координаты точки $M(х;y)$ удовлетворяют уравнению числовой окружности, то для их нахождения нужно решить систему уравнений:
$\begin {cases} x^2 + y^2 = 1, \\ x = y. \end {cases}$
Решив данную систему, получаем: $y = x =\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Значит, координаты точки M, соответствующей числу $\frac{π}{4}$, будут $M(\frac{π}{4})=M(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Аналогичным образом рассчитываются координаты точек, представленных на предыдущем рисунке.
Координаты точек числовой окружности
Рассмотрим примеры
Пример 1.Найти координату точки числовой окружности: $Р(45\frac{π}{4})$.
Решение:
$45\frac{π}{4} = (10 + \frac{5}{4}) * π = 10π +5\frac{π}{4} = 5\frac{π}{4} + 2π*5$.
Значит, числу $45\frac{π}{4}$ соответствует та же точка числовой окружности, что и числу $\frac{5π}{4}$. Посмотрев значение точки $\frac{5π}{4}$ в таблице, получаем:
$P(\frac{45π}{4})=P(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Пример 2.
Найти координату точки числовой окружности: $Р(-\frac{37π}{3})$.
Решение:
Т.к. числам $t$ и $t+2π*k$, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то:
$-\frac{37π}{3} = -(12 + \frac{1}{3})*π = -12π –\frac{π}{3} = -\frac{π}{3} + 2π*(-6)$.
Значит, числу $-\frac{37π}{3}$ соответствует та же точка числовой окружности, что и числу $–\frac{π}{3}$, а числу –$\frac{π}{3}$ соответствует та же точка, что и $\frac{5π}{3}$. Посмотрев значение точки $\frac{5π}{3}$ в таблице, получаем:
$P(-\frac{37π}{3})=P(\frac{{1}}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Пример 3.
Найти на числовой окружности точки с ординатой $у =\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют?
Решение:
Прямая $у =\frac{1}{2}$ пересекает числовую окружность в точках М и Р. Точка М соответствует числу $\frac{π}{6}$ (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида: $\frac{π}{6}+2π*k$. Точка Р соответствует числу $\frac{5π}{6}$, а значит, и любому числу вида $\frac{5π}{6} +2 π*k$.
Получили, как часто говорят в таких случаях, две серии значений:
$\frac{π}{6} +2 π*k$ и $\frac{5π}{6} +2π*k$.
Ответ: $t=\frac{π}{6} +2 π*k$ и $t=\frac{5π}{6} +2π*k$.
Пример 4.
Найти на числовой окружности точки с абсциссой $x≥-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
Решение:
Прямая $x =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ пересекает числовую окружность в точках М и Р. Неравенству $x≥-\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки дуги РМ. Точка М соответствует числу $3\frac{π}{4}$ (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида $-\frac{3π}{4} +2π*k$. Точка Р соответствует числу $-\frac{3π}{4}$, а значит, и любому числу вида $-\frac{3π}{4} +2π*k$.
Тогда получим $-\frac{3π}{4} +2 π*k ≤t≤\frac{3π}{4} +2πk$.
Ответ: $-\frac{3π}{4} +2 π*k ≤t≤\frac{3π}{4} +2πk$.
Задачи для самостоятельного решения
1) Найти координату точки числовой окружности: $Р(\frac{61π}{6})$.2) Найти координату точки числовой окружности: $Р(-\frac{52π}{3})$.
3) Найти на числовой окружности точки с ординатой $у = -\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
4) Найти на числовой окружности точки с ординатой $у ≥ -\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
5) Найти на числовой окружности точки с абсциссой $x≥-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
Если расположить единичную числовую окружность на координатной плоскости, то для ее точек можно найти координаты. Числовую окружность располагают так, чтобы ее центр совпал с точкой начала координат плоскости, т. е. точкой O (0; 0).
Обычно на единичной числовой окружности отмечают точки соответствующие от начала отсчета на окружности
- четвертям - 0 или 2π, π/2, π, (2π)/3,
- серединам четвертей - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- третям четвертей - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
На координатной плоскости при указанном выше расположении на ней единичной окружности можно найти координаты, соответствующие этим точкам окружности.
Координаты концов четвертей найти очень легко. У точки 0 окружности координата x равна 1, а y равен 0. Можно обозначить так A (0) = A (1; 0).
Конец первой четверти будет располагаться на положительной полуоси ординат. Следовательно, B (π/2) = B (0; 1).
Конец второй четверти находится на отрицательной полуоси абсцисс: C (π) = C (-1; 0).
Конец третьей четверти: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Но как найти координаты середин четвертей? Для этого строят прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является отрезок от центра окружности (или начала координат) к точке середины четверти окружности. Это радиус окружности. Поскольку окружность единичная, то гипотенуза равна 1. Далее проводят перпендикуляр из точки окружности к любой оси. Пусть будет к оси x. Получается прямоугольный треугольник, длины катетов которого - это и есть координаты x и y точки окружности.
Четверть окружности составляет 90º. А половина четверти составляет 45º. Поскольку гипотенуза проведена к точке середины четверти, то угол между гипотенузой и катетом, выходящим из начала координат, равен 45º. Но сумма углов любого треугольника равна 180º. Следовательно, на угол между гипотенузой и другим катетом остается также 45º. Получается равнобедренный прямоугольный треугольник.
Из теоремы Пифагора получаем уравнение x 2 + y 2 = 1 2 . Поскольку x = y, а 1 2 = 1, то уравнение упрощается до x 2 + x 2 = 1. Решив его, получаем x = √½ = 1/√2 = √2/2.
Таким образом, координаты точки M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
В координатах точек середин других четвертей будут меняться только знаки, а модули значений оставаться такими же, так как прямоугольный треугольник будет только переворачиваться. Получим:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
При определении координат третьих частей четвертей окружности также строят прямоугольный треугольник. Если брать точку π/6 и проводить перпендикуляр к оси x, то угол между гипотенузой и катетом, лежащим на оси x, составит 30º. Известно, что катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Значит, мы нашли координату y, она равна ½.
Зная длины гипотенузы и одного из катетов, по теореме Пифагора находим другой катет:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
Таким образом T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Для точки второй трети первой четверти (π/3) перпендикуляр на ось лучше провести к оси y. Тогда угол при начале координат также будет 30º. Здесь уже координата x будет равна ½, а y соответственно √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Для других точек третей четвертей будут меняться знаки и порядок значений координат. Все точки, которые ближе расположены к оси x будут иметь по модулю значение координаты x, равное √3/2. Те точки, которые ближе к оси y, будут иметь по модулю значение y, равное √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
(10-й класс)
Цель. Показать учащимся приём построения “табличных” и связанных с ними углов без транспортира. Научить записывать значения углов, соответствующих указанным точкам единичной окружности.
Оборудование.
- Модель единичной окружности (плакат).
- Плакат единичной окружности, где показаны приёмы построения “табличных” углов.
- Карточки самостоятельных работ.
- Карточки с домашними заданиями.
- Карточки – “считалочки”.
- Геометрические инструменты.
- Фломастеры, цветной мел.
- Кодоскоп.
I. Организационный момент.
Постановка цели, мотивация учения.
Чтобы лучше понять и запомнить расположение точек на единичной окружности, мы познакомимся с приёмами построения “табличных” (30°, 45°, 60°) и связанных с ними углов без транспортира. Это позволит в дальнейшем не только легче освоить радианную меру угла, но и быстрее находить значения тригонометрических функций, хорошо решать простейшие тригонометрические уравнения, неравенства, системы.
II. Новый материал.
(фронтальная форма учебной работы)
1.1. Начертите на определённых листах и на доске координатную плоскость и окружность с центром в начале координат радиусом равным 1.
1.2. Определение единичной окружности (учащиеся)
1.3. Понятие узловых точек (пересечения единичной окружности и осей координат)
2.1. Отметим угловые точки на единичной окружности и запишем соответствующие им углы (0°, 90°, 180°, 360°)
(учащиеся работают у доски и на своих моделях единичной окружности).
Положительные углы против хода часовой стрелки (одним цветом).
Отрицательные углы – по часовой стрелке (другим цветом).
Все углы записываем внутри окружности.
3.1. Как построить точки, соответствующие углам 45°, 135°, 225°, 315°?
(делением пополам координатных углов).
3.2. Учащиеся предлагают свои варианты. Затем на отдельно приготовленном плакате рассказывают приём построение точек, соответствующие углам 45°, 135°, 225°, 315°.
3.3. Данный приём применяется к единичной окружности на доске и к своим моделям. Отмечают точки, соответствующие углам 45°, 135°, 225°, 315°.
4.1. Как построить точки соответствующие углам 30°, 150°, 210°, 330°?
(делением пополам вертикальных радиусов).
4.2. Учащиеся предлагают свои варианты. Затем по готовому плакату объясняют построение данных углов.
4.3. На демонстрационной модели и своих моделях единичных окружностей отмечают точки, соответствующие углам 30°, 150°, 210°, 330°.
5.1. Как построить точки соответствующие углам 60°, 120°, 240°, 300°?
(делением пополам горизонтальных радиусов).
5.2. Учащиеся предлагают свои варианты. Затем по готовому плакату объясняют приём построения данных углов
5.3. Учащиеся отмечают данные углы на демонстрационной модели и на своих моделях, используя предложенный приём.
6.1. Выразим в радианной мере величины углов
6.2. Около каждой из отмеченных точек единичной окружности запишем им соответствующие углы в радианах. (Вычисления на доске. Пример.)
(неотрицательные числа пишем одним цветом, а отрицательные другим).
7.1. Запоминанию данных углов помогает “Считалка”.
(карточки со “ Считалками” разложены на ученических столах перед началом урока).
а) “Ра пи на два” (/2)
“Два пи на два” ()
“Три пи на два” (3/2)
б) “Раз пи на четыре” (/4)
“Два пи на четыре” (2/4)
“Три пи на четыре” (3/4)
8. Запись углов, соответствующих одной точке единичной окружности
Пусть на окружности дана точка Р, которая получается повтором точки Р 0 на угол .
При обходе окружности на целое число оборотов мы попадаем на исходную точку Р. Значит, точке Р наравне с числом соответствует любое число вида +2п , п ЄZ.
На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам, запишите все такие углы, используя градусную меру и радианную.
0 =45 0 , любой другой угол отличается от угла 0 на 360 0 п , п ЄZ.
Запишем: =45 0 +360 0 п, п Є Z;
III. Проверка усвоения изученного.
(самостоятельная работа)
Для всех учащихся карточки с заданиями самостоятельной работы (записываем только ответы).
Самостоятельная работа.
1.На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам и , заключённым в промежутке от 0 0 до 360 0 . Выразите углы и в градусах.
2. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам и , заключённым в промежутке от 0 до 2 радиан. Выразите углы и , в радианах
3.На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам и , заключённым в промежутке от 0 до 2 радиан. Выразите и в радианах.
4. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам и . Запишите все углы и , используя градусную меру.
На тригонометрическом круге помимо углов в градусы мы наблюдаем .
Подробнее про радианы:
Радиан определяется как угловая величина дуги, длина которой равна её радиусу. Соответственно, так как длина окружности равна , то очевидно, что в окружности укладывается радиан, то есть
1 рад ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.
Все знают, что радиан – это
Так вот, например, , а . Так, мы научились переводить радианы в углы .
Теперь наоборот, давайте переводить градусы в радианы .
Допустим, нам надо перевести в радианы. Нам поможет . Поступаем следующим образом:
Так как, радиан, то заполним таблицу:
Тренируемся находить значения синуса и косинуса по кругу
Давайте еще уточним следующее.
Ну хорошо, если нас просят вычислить, скажем, , – здесь обычно путаницы не возникает – все начинают первым делом искать на круге.
А если просят вычислить, например, … Многие, вдруг, начинают не понимают где искать этот ноль… Частенько ищут его в начале координат. Почему?
1) Давайте договоримся раз и навсегда! То, что стоит после или – это аргумент=угол, а углы у нас располагаются на круге, не ищите их на осяx! (Просто отдельные точки попадают и на круг, и на ось…) А сами значения синусов и косинусов – ищем на осях!
2) И еще! Если мы от точки «старт» отправляемся против часовой стрелки (основное направление обхода тригонометрического круга), то мы откладываем положительные значения углов , значения углов растут при движении в этом направлении.
Если же мы от точки «старт» отправляемся по часовой стрелке, то мы откладываем отрицательные значения углов.
Пример 1.
Найти значение .
Решение:
Находим на круге . Проецируем точку на ось синусов (то есть проводим перпендикуляр из точки к оси синусов (оу)).
Приходим в 0. Значит, .
Пример 2.
Найти значение .
Решение:
Находим на круге (проходим против часовой стрелки и еще ). Проецируем точку на ось синусов (а она уже лежит на оси синусов).
Попадаем в -1 по оси синусов.
Заметим, за точкой «скрываются» такие точки, как (мы могли бы пойти в точку, помеченную как , по часовой стрелке, а значит появляется знак минус), и бесконечно много других.
Можно привести такую аналогию:
Представим тригонометрический круг как беговую дорожку стадиона.
Вы ведь можете оказаться в точке «Флажок», отправляюсь со старта против часовой стрелки, пробежав, допустим, 300 м. Или пробежав, скажем, 100м по часовой стрелке (считаем длину дорожки 400 м).
А также вы можете оказаться в точке «Флажок» (после «старт»), пробежав, скажем, 700 м, 1100 м, 1500 м и т. д. против часовой стрелки. Вы можете оказаться в точке «Флажок», пробежав 500 м или 900 м и т. д. по часовой стрелке от «старт».
Разверните мысленно беговую дорожку стадиона в числовую прямую. Представьте, где на этой прямой будут, например, значения 300, 700, 1100, 1500 и т.д. Мы увидим точки на числовой прямой, равноотстоящие друг от друга. Свернем обратно в круг. Точки «cлепятся» в одну.
Так и с тригонометрическим кругом. За каждой точкой скрыто бесконечно много других.
Скажем, углы , , , и т.д. изображаются одной точкой. И значения синуса, косинуса в них, конечно же, совпадают. (Вы заметили, что мы прибавляли/вычитали или ? Это период для функции синус и косинус.)
Пример 3.
Найти значение .
Решение:
Переведем для простоты в градусы
(позже, когда вы привыкнете к тригонометрическому кругу, вам не потребуется переводить радианы в градусы):
Двигаться будем по часовой стрелки от точки Пройдем полкруга () и еще
Понимаем, что значение синуса совпадает со значением синуса и равняется
Заметим, если б мы взяли, например, или и т.д., то мы получили бы все тоже значение синуса.
Пример 4.
Найти значение .
Решение:
Все же, не будем переводить радианы в градусы, как в предыдущем примере.
То есть нам надо пройти против часовой стрелки полкруга и еще четверть полкруга и спроецировать полученную точку на ось косинусов (горизонтальная ось).
Пример 5.
Найти значение .
Решение:
Как отложить на тригонометрическом круге ?
Если мы пройдем или , да хоть , мы все равно окажемся в точке, которую мы обозначили как «старт». Поэтому, можно сразу пройти в точку на круге
Пример 6.
Найти значение .
Решение:
Мы окажемся в точке ( приведет нас все равно в точку ноль). Проецируем точку круга на ось косинусов (смотри тригонометрический круг), попадаем в . То есть .
Тригонометрический круг – у вас в руках
Вы же уже поняли, что главное – запомнить значения тригонометрических функций первой четверти. В остальных четвертях все аналогично, нужно лишь следить за знаками. А «цепочку-лесенку» значений тригонометрических функций, вы, надеюсь уже не забудете.
Как находить значения тангенса и котангенса основных углов .
После чего, познакомившись с основными значениями тангенса и котангенса, вы можете пройти
На пустой шаблон круга. Тренируйтесь!
Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.
Обозначаем числа \(2π\), \(π\), \(\frac{π}{2}\), \(-\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{2}\)
Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен \(1\). Значит, длина окружности равняется \(2π\) (вычислили по формуле \(l=2πR\)). С учетом этого отметим \(2π\) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от \(0\) по числовой окружности расстояние равно \(2π\) в положительном направлении, а так как длина окружности \(2π\), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу \(2π\) и \(0\) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки - это нормально для числовой окружности.
Теперь обозначим на числовой окружности число \(π\). \(π\) – это половина от \(2π\). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от \(0\) в положительном направлении половину окружности.
Отметим точку \(\frac{π}{2}\) . \(\frac{π}{2}\) – это половина от \(π\), следовательно чтобы отметить это число, нужно от \(0\) пройти в положительном направлении расстояние равное половине \(π\), то есть четверть окружности.
Обозначим на окружности точки \(-\)\(\frac{π}{2}\) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.
Нанесем \(-π\). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.
Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число \(\frac{3π}{2}\) . Для этого дробь \(\frac{3}{2}\) переведем в \(\frac{3}{2}\) \(=1\)\(\frac{1}{2}\) , т.е. \(\frac{3π}{2}\) \(=π+\)\(\frac{π}{2}\) . Значит, нужно от \(0\) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.
Задание 1 . Отметьте на числовой окружности точки \(-2π\),\(-\)\(\frac{3π}{2}\) .
Обозначаем числа \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\), \(\frac{π}{6}\) ,\(\frac{7π}{6}\), \(-\frac{4π}{3}\), \(\frac{7π}{4}\)
Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac{π}{4}\)
, \(\frac{π}{3}\)
и \(\frac{π}{6}\)
.
\(\frac{π}{4}\)
– это половина от \(\frac{π}{2}\)
(то есть, \(\frac{π}{4}\)
\(=\)\(\frac{π}{2}\)
\(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac{π}{4}\)
– это половина четверти окружности.
\(\frac{π}{4}\) – это треть от \(π\) (иначе говоря,\(\frac{π}{3}\) \(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac{π}{3}\) – это треть от полукруга.
\(\frac{π}{6}\) – это половина \(\frac{π}{3}\) (ведь \(\frac{π}{6}\) \(=\)\(\frac{π}{3}\) \(:2\)) поэтому расстояние \(\frac{π}{6}\) – это половина от расстояния \(\frac{π}{3}\) .
Вот так они расположены друг относительно друга:
Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac{π}{2}\) ,\(π\), \(\frac{3π}{2}\) , \(\frac{π}{4}\) , \(\frac{π}{3}\) , \(\frac{π}{6}\) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.
Давайте теперь обозначим на окружности точку \(\frac{7π}{6}\) , для этого выполним следующие преобразования: \(\frac{7π}{6}\) \(=\)\(\frac{6π + π}{6}\) \(=\)\(\frac{6π}{6}\) \(+\)\(\frac{π}{6}\) \(=π+\)\(\frac{π}{6}\) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac{π}{6}\) .
Отметим на окружности точку \(-\)\(\frac{4π}{3}\) . Преобразовываем: \(-\)\(\frac{4π}{3}\) \(=-\)\(\frac{3π}{3}\) \(-\)\(\frac{π}{3}\) \(=-π-\)\(\frac{π}{3}\) . Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac{π}{3}\) .
Нанесем точку \(\frac{7π}{4}\) , для этого преобразуем \(\frac{7π}{4}\) \(=\)\(\frac{8π-π}{4}\) \(=\)\(\frac{8π}{4}\) \(-\)\(\frac{π}{4}\) \(=2π-\)\(\frac{π}{4}\) . Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac{7π}{4}\) , надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac{π}{4}\) .
Задание 2 . Отметьте на числовой окружности точки \(-\)\(\frac{π}{6}\) ,\(-\)\(\frac{π}{4}\) ,\(-\)\(\frac{π}{3}\) ,\(\frac{5π}{4}\) ,\(-\)\(\frac{7π}{6}\) ,\(\frac{11π}{6}\) , \(\frac{2π}{3}\) ,\(-\)\(\frac{3π}{4}\) .
Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac{7π}{2}\) ,\(\frac{16π}{3}\), \(-\frac{21π}{2}\), \(-\frac{29π}{6}\)
Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.
Из этого примера можно сделать вывод:
Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) - любое целое число) соответствует одна и та же точка.
То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».
Еще один вывод:
Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).
Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).
Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).
Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).
Сейчас обозначим число \(\frac{7π}{2}\) . Как обычно, преобразовываем: \(\frac{7π}{2}\) \(=\)\(\frac{6π}{2}\) \(+\)\(\frac{π}{2}\) \(=3π+\)\(\frac{π}{2}\) \(=2π+π+\)\(\frac{π}{2}\) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac{7π}{2}\) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\)\(\frac{π}{2}\) (т.е. половину окружности и еще четверть).