Модуль изменения импульса формула. Импульс

Изменяются, так как на каждое из тел действуют силы взаимодействия, однако сумма импульсов остается постоянной. Это и называется законом сохранения импульса .

Второй закон Ньютона выражается формулой . Ее можно записать иным способом, если вспомнить, что ускорение равно быстроте изменения скорости тела. Для равноускоренного движения формула будет иметь вид:

Если подставить это выражение в формулу, получим:

,

Эту формулу можно переписать в виде:

В правой части этого равенства записано изменение произведения массы тела на его скорость. Произведение массы тела на скорость является физической величиной, которая называется импульсом тела или количеством движения тела .

Импульсом тела называют произведение массы тела на его скорость. Это векторная величина. Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости.

Другими словами, тело массой m , движущееся со скоростью обладает импульсом . За единицу импульса в СИ принят импульс тела массой 1 кг , движущегося со скоростью 1 м/с (кг·м/с). При взаимодействии друг с другом двух тел если первое действует на второе тело силой , то, согласному третьему закону Ньютона , второе действует на первое силой . Обозначим массы этих двух тел через m 1 и m 2 , а их скорости относительно какой-либо системы отсчета через и . Через некоторое время t в результате взаимодействия тел их скорости изменятся и станут равными и . Подставив эти значения в формулу, получим:

,

,

Следовательно,

Изменим знаки обеих частей равенства на противоположные и запишем в виде

В левой части равенства - сумма начальных импульсов двух тел, в правой части - сумма импульсов тех же тел через время t . Суммы равны между собой. Таким образом, несмотря на то. что импульс каждого тела при взаимодействии изменяется, полный импульс (сумма импульсов обоих тел) остается неизменным.

Действителен и тогда, когда взаимодействуют несколько тел. Однако, важно, чтобы эти тела взаимодействовали только друг с другом и на них не действовали силы со стороны других тел, не входящих в систему (либо чтоб внешние силы уравновешивались). Группа тел, не взаимодействущая с другими телами, называется замкнутой системой справедлив только для замкнутых систем.

Проделаем несколько несложных преобразований с формулами. По второму закону Ньютона силу можно найти: F=m*a. Ускорение находится следующим образом: a=v⁄t . Таким образом получаем: F=m*v /t.

Определение импульса тела: формула

Выходит, что сила характеризуется изменением произведения массы на скорость во времени. Если обозначить это произведение некой величиной, то мы получим изменение этой величины во времени как характеристику силы. Эту величину назвали импульсом тела. Импульс тела выражается формулой:

где p импульс тела, m масса, v скорость.

Импульс это векторная величина, при этом его направление всегда совпадает с направлением скорости. Единицей импульса является килограмм на метр в секунду (1 кг*м/с).

Что же такое импульс тела: как понять?

Попробуем по-простому, «на пальцах» разобраться, что такое импульс тела. Если тело покоится, то его импульс равен нулю. Логично. Если скорость тела изменяется, то у тела появляется некий импульс, который характеризует величину приложенной к нему силы.

Если воздействие на тело отсутствует, но оно движется с некоторой скоростью, то есть имеет некий импульс, то его импульс означает, какое воздействие способно оказать данное тело при взаимодействии с другим телом.

В формулу импульса входит масса тела и его скорость. То есть чем большей массой и/или скоростью обладает тело, тем большее воздействие оно может оказать. Это понятно и из жизненного опыта.

Чтобы сдвинуть тело небольшой массы, нужна небольшая сила. Чем больше масса тела, тем большее придется приложить усилие. То же самое касается и скорости, которую сообщают телу. В случае же воздействия самого тела на другое, импульс также показывает величину, с которой тело способно действовать на другие тела. Эта величина напрямую зависит от скорости и массы исходного тела.

Импульс при взаимодействии тел

Возникает еще один вопрос: что произойдет с импульсом тела при его взаимодействии с другим телом? Масса тела измениться не может, если оно остается целым, а вот скорость может измениться запросто. При этом скорость тела изменится в зависимости от его массы.

В самом деле, понятно, что при столкновении тел с очень разными массами, скорость их изменится по-разному. Если летящий на большой скорости футбольный мяч врежется в неготового к этому человека, например зрителя, то зритель может упасть, то есть приобретет некоторую небольшую скорость, но точно не полетит как мячик.

А все потому, что масса зрителя намного больше массы мяча. Но при этом сохранится неизменным общий импульс этих двух тел.

Закон сохранения импульса: формула

В этом и заключается закон сохранения импульса: при взаимодействии двух тел их общий импульс остается неизменным. Закон сохранения импульса действует только в замкнутой системе, то есть в такой системе, в которой нет воздействия внешних сил или их суммарное действие равно нулю.

В реальности практически всегда на систему тел оказывается стороннее воздействие, но общий импульс, как и энергия, не пропадает в никуда и не возникает из ниоткуда, он распределяется между всеми участниками взаимодействия.

Пуля 22-го калибра имеет массу всего 2 г. Если кому-нибудь бросить такую пулю, то он легко сможет поймать ее даже без перчаток. Если же попытаться поймать такую пулю, вылетевшую из дула со скоростью 300 м/с, то даже перчатки тут не помогут.

Если на тебя катится игрушечная тележка, ты сможешь остановить ее носком ноги. Если на тебя катится грузовик, следует уносить ноги с его пути.

Рассмотрим задачу, которая демонстрирует связь импульса силы и изменения импульса тела.

Пример. Масса мяча равна 400 г, скорость, которую приобрел мяч после удара - 30 м/с. Сила, с которой нога действовала на мяч - 1500 Н, а время удара 8 мс. Найти импульс силы и изменение импульса тела для мяча.

Изменение импульса тела

Пример. Оценить среднюю силу со стороны пола, действующую на мяч во время удара.

1) Во время удара на мяч действуют две силы: сила реакции опоры , сила тяжести .

Сила реакции изменяется в течение времени удара, поэтому возможно найти среднюю силу реакции пола.

Часто в физике говорят об импульсе тела, подразумевая при этом количество движения. На самом же деле это понятие тесно связано с совершенно другой величиной - с силой. Импульс силы - что это, как он вводится в физику, и каков его смысл: все эти вопросы подробно освещены в статье.

Количество движения

Импульс тела и импульс силы - это две взаимосвязанных величины, более того, они практически означают одно и то же. Сначала разберем понятие количества движения.

Количество движения как физическая величина впервые появилось в научных трудах ученых нового времени, в частности в XVII веке. Здесь важно отметить две фигуры: это Галилео Галилей, знаменитый итальянец, который обсуждаемую величину так и называл impeto (импульс), и Исаак Ньютон, великий англичанин, который помимо величины motus (движения) также использовал понятие vis motrix (движущая сила).

Итак, названные ученые под количеством движения понимали произведение массы объекта на скорость его линейного перемещения в пространстве. Это определение на языке математики записывается так:

Обратим внимание, что речь идет о величине векторной (p¯), направленной в сторону движения тела, которая пропорциональна модулю скорости, а роль коэффициента пропорциональности играет масса тела.

Связь импульса силы и изменения величины p¯

Как было сказано выше, помимо количества движения Ньютон ввел еще понятие движущей силы. Эту величину он определил так:

Это всем знакомый закон появления ускорения a¯ у тела в результате воздействия на него некоторой внешней силы F¯. Эта важная формула позволяет вывести закон импульса силы. Заметим, что a¯ - это производная по времени скорости (быстрота изменения v¯), что означает следующее:

F¯ = m*dv¯/dt или F¯*dt = m*dv¯ =>

F¯*dt = dp¯, где dp¯ = m*dv¯

Первая формула во второй строке - это импульс силы, то есть величина, равная произведению силы на промежуток времени, в течение которого она действует на тело. Она измеряется в ньютонах на секунду.

Анализ формулы

Выражение для импульса силы в предыдущем пункте также раскрывает физический смысл этой величины: она показывает, на сколько изменяется количество движения за промежуток времени dt. Заметим, что это изменение (dp¯) совершенно не зависит от общего значения количества движения тела. Импульс силы - это причина изменения количества движения, которая может приводить как к увеличению последнего (когда угол между силой F¯ и скоростью v¯ меньше 90 o), так и к его уменьшению (угол между F¯ и v¯ больше 90 o).

Из анализа формулы следует важный вывод: единицы измерения импульса силы совпадают с таковыми для p¯ (ньютон в секунду и килограмм на метр в секунду), более того, первая величина равна изменению второй, поэтому вместо импульса силы часто используют фразу "импульс тела", хотя более правильно говорить "изменение количества движения".

Силы, зависящие и не зависящие от времени

Выше закон импульса силы был представлен в дифференциальной форме. Чтобы посчитать значение этой величины, необходимо провести интегрирование по времени действия. Тогда получаем формулу:

∫ t1 t2 F¯(t)*dt = Δp¯

Здесь сила F¯(t) действует на тело в течение времени Δt = t2-t1, что приводит к изменению количества движения на Δp¯. Как видно, импульс силы - это величина, определяемая силой, зависящей от времени.

Теперь рассмотрим более простую ситуацию, которая реализуется в ряде экспериментальных случаев: будем считать, что сила от времени не зависит, тогда можно легко взять интеграл и получить простую формулу:

F¯*∫ t1 t2 dt = Δp¯ => F¯*(t2-t1) = Δp¯

При решении реальных задач на изменение количества движения, несмотря на то, что сила в общем случае зависит от времени действия, ее полагают постоянной и вычисляют некоторую эффективную среднюю величину F¯.

Примеры проявления на практике импульса силы

Какую роль играет эта величина, проще всего понять на конкретных примерах из практики. Перед тем как их привести, выпишем еще раз соответствующую формулу:

Заметим, если Δp¯ - величина постоянная, тогда модуль импульса силы - это тоже константа, поэтому чем больше Δt, тем меньше F¯, и наоборот.

Теперь приведем конкретные примеры импульса силы в действии:

• Человек, который прыгает с любой высоты на землю, старается при приземлении согнуть ноги в коленях, тем самым он увеличивает время Δt воздействия поверхности земли (сила реакции опоры F¯), тем самым уменьшая ее силу.
• Боксер, отклоняя голову от удара, продлевает время контакта Δt перчатки соперника с его лицом, уменьшая ударную силу.
• Современные автомобили стараются конструировать таким образом, чтобы в случае их столкновения их корпус как можно сильнее деформировался (деформация - это процесс, развивающийся во времени, что приводит к значительному снижению силы столкновения и, как следствие, снижению рисков повреждения пассажиров).

Понятие о моменте силы и его импульсе

И импульс этого момента - это другие величины, отличные от рассмотренной выше, поскольку они касаются уже не линейного, а вращательного движения. Итак, момент силы M¯ определяется как векторное произведение плеча (расстояния от оси вращения до точки воздействия силы) на саму силу, то есть справедлива формула:

Момент силы отражает способность последней выполнить кручение системы вокруг оси. Например, если взяться за гаечный ключ подальше от гайки (большой рычаг d¯), то можно создать большой момент M¯, что позволит открутить гайку.

По аналогии с линейным случаем импульс M¯ можно получить, умножив его на промежуток времени, в течение которого он воздействует на вращающуюся систему, то есть:

Величина ΔL¯ носит название изменения углового момента, или момента импульса. Последнее уравнение имеет важное значение для рассмотрения систем с осью вращения, ведь оно показывает, что момент импульса системы будет сохраняться, если отсутствуют внешние силы, создающие момент M¯, что математически записывается так:

Если M¯= 0, тогда L¯ = const

Таким образом, оба уравнения импульсов (для линейного и кругового движения) оказываются аналогичными в плане их физического смысла и математических следствий.

Задача на столкновение птицы и самолета

Эта проблема не является чем-то фантастическим. Такие столкновения действительно происходят довольно часто. Так, по некоторым данным в 1972 году на территории воздушного пространства Израиля (зона наиболее плотной миграции птиц) было зарегистрировано около 2,5 тысяч столкновений птиц с боевыми и транспортными самолетами, а также с вертолетами.

Задача заключается в следующем: необходимо приблизительно рассчитать, какая сила удара приходится на птицу, если на пути ее движения встречается самолет, летящий со скоростью v=800 км/ч.

Перед тем как приступать к решению, примем, что длина птицы в полете составляет l = 0,5 метра, а ее масса равна m = 4 кг (это может быть, например, селезень или гусь).

Пренебрежем скоростью движения птицы (она мала в сравнении с таковой для самолета), а также будем считать массу самолета намного большей, чем птицы. Эти приближения позволяют говорить, что изменение количества движения птицы равно:

Для вычисления силы удара F необходимо знать продолжительность этого инцидента, она приблизительно равна:

Комбинируя эти две формулы, получаем искомое выражение:

F = Δp/Δt = m*v 2 /l.

Подставив в него цифры из условия задачи, получаем F = 395062 Н.

Более наглядно будет перевести эту цифру в эквивалентную массу, используя формулу для веса тела. Тогда получим: F = 395062/9,81 ≈ 40 тонн! Иными словами птица воспринимает столкновение с самолетом так, будто на нее свалилось 40 тонн груза.

Изучив законы Ньютона, мы видим, что с их помощью можно решить основные задачи механики, если нам известны все силы, действующие на тело. Есть ситуации, в которых определить эти величины затруднительно или вообще невозможно. Рассмотрим несколько таких ситуаций. При столкновении двух биллиардных шаров или автомобилей мы можем утверждать о действующих силах, что это их природа, здесь действуют силы упругости. Однако ни их модулей, ни их направлений мы точно установить не сможем, тем более что эти силы имеют крайне малое время действия. При движении ракет и реактивных самолетов мы также мало что можем сказать о силах, приводящих указанные тела в движение. В таких случаях применяются методы, позволяющие уйти от решения уравнений движения, а сразу воспользоваться следствиями этих уравнений. При этом вводятся новые физические величины. Рассмотрим одну из этих величин, называемую импульсом тела

Стрела, выпускаемая из лука. Чем дольше продолжается контакт тетивы со стрелой (∆t), тем больше изменение импульса стрелы (∆), а следовательно, тем выше ее конечная скорость.

Два сталкивающихся шарика. Пока шарики находятся в контакте, они действуют друг на друга с равными по модулю силами, как учит нас третий закон Ньютона. Значит, изменения их импульсов также должны быть равны по модулю, даже если массы шариков не равны.

Проанализировав формулы, можно сделать два важных вывода:

1. Одинаковые силы, действующие в течение одинакового промежутка времени, вызывают одинаковые изменения импульса у различных тел, независимо от массы последних.

2. Одного и того же изменения импульса тела можно добиться, либо действуя небольшой силой в течение длительного промежутка времени, либо действуя кратковременно большой силой на то же самое тело.

Согласно второму закону Ньютона, можем записать:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

Отношение изменения импульса тела к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, равно сумме сил, действующих на тело.

Проанализировав это уравнение, мы видим, что второй закон Ньютона позволяет расширить класс решаемых задач и включить задачи, в которых масса тел изменяется с течением времени.

Если же попытаться решить задачи с переменной массой тел при помощи обычной формулировки второго закона Ньютона:

то попытка такого решения привела бы к ошибке.

Примером тому могут служить уже упоминаемые реактивный самолет или космическая ракета, которые при движении сжигают топливо, и продукты этого сжигаемого выбрасывают в окружающее пространство. Естественно, масса самолета или ракеты уменьшается по мере расхода топлива.

Несмотря на то что второй закон Ньютона в виде «равнодействующая сила равна произведению массы тела на его ускорение» позволяет решить довольно широкий класс задач, существуют случаи движения тел, которые не могут быть полностью описаны этим уравнением. В таких случаях необходимо применять другую формулировку второго закона, связывающую изменение импульса тела с импульсом равнодействующей силы. Кроме того, существует ряд задач, в которых решение уравнений движения является математически крайне затруднительным либо вообще невозможным. В таких случаях нам полезно использовать понятие импульса.

С помощью закона сохранения импульса и взаимосвязи импульса силы и импульса тела мы можем вывести второй и третий закон Ньютона.

Второй закон Ньютона выводится из соотношения импульса силы и импульса тела.

Импульс силы равен изменению импульса тела:

Произведя соответствующие переносы, мы получим зависимость силы от ускорения, ведь ускорение определяется как отношение изменения скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:

Подставив значения в нашу формулу, получим формулу второго закона Ньютона:

Для выведения третьего закона Ньютона нам понадобится закон сохранения импульса.

Векторы подчеркивают векторность скорости, то есть то, что скорость может изменяться по направлению. После преобразований получим:

Так как промежуток времени в замкнутой системе был величиной постоянной для обоих тел, мы можем записать:

Мы получили третий закон Ньютона: два тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и противоположными по направлению. Векторы этих сил направлены навстречу друг к другу, соответственно, модули этих сил равны по своему значению.

Список литературы

1. Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2012.
2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. - М.: Мнемозина, 2014.
3. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика - 9, Москва, Просвещение, 1990.

Домашнее задание

1. Дать определение импульсу тела, импульсу силы.
2. Как связаны импульс тела с импульсом силы?
3. Какие выводы можно сделать по формулам импульса тела и импульса силы?

1. Интернет-портал Questions-physics.ru ().
2. Интернет-портал Frutmrut.ru ().
3. Интернет-портал Fizmat.by ().