Многомерное пространство и действительность. Большая советская энциклопедия - многомерное пространство

УДК 115

© 2006 г ., А.В. Коротков, В.С. Чураков

Многомерные концепции пространства

и времени (пространства-времени)

Говоря о семимерном пространстве, следует уточнить, почему мы говорим именно о семимерном, а не о n -мерном пространстве, многомерном пространстве. Дело в том, что трехмерное векторное исчисление Гамильтона – Грассмана дает только три закона сохранения, а в физике элементарных частиц выяснились новые законы сохранения барионного числа, лептонного числа, четности, целый ряд законов сохранения. Стало понятно (по крайней мере, в области физики элементарных частиц), что физика должна быть существенно уточнена, расширена до многомерного варианта . Возникает вопрос: какой же размерностью следует обходиться – 4, 5, 6, 8, 129 или 1000001? Вопрос не праздный. Кроме того, даже если будет выяснена размерность физического пространства, что из эксперимента практически невозможно получить, то встанет вопрос о том – какой же математикой пользоваться при описании явлений в этом пространстве данной размерности, не равной трем?

Поэтому следует исходить, прежде всего, из теории чисел. Еще Пифагор отмечал, что все сущее есть число, т.е. физика, теоретическая физика – это теория числа по сути своей, теория трехмерных векторных чисел. Теория поля полностью и целиком построена на трехмерном векторном исчислении. Квантовая механика в том числе. Все разделы теоретической физики пользуются аппаратом трехмерной векторной алгебры трехмерного векторного исчисления. Попытки расширить пространство приводят к анализу, следовательно, самого понятия числа, как такового.

Одномерное векторное число – это пространство на линейке, пространство чисел на линейке. Трехмерное векторное число, трехмерное векторное пространство теперь нам всем хорошо понятно со времен Гамильтона, но не ранее того. Многомерное векторное пространство, определяемое линейной векторной алгеброй, как того требует трехмерное векторное исчисление, может быть получено путем расширения трехмерных векторных пространств, трехмерной векторной алгебры. Таким образом, мы должны в линейном векторном пространстве ввести векторное и скалярное произведения двух векторов. Это, собственно, основная задача теории многомерных чисел – ввести, определить скалярное, первое и второе векторное произведение двух векторов. Подходов к такому определению немного. В общем виде определение этих понятий ничего не дает, кроме путаницы.

Следует исходить из тех принципов, которыми пользовался еще Гамильтон при построении трехмерного векторного исчисления. Он сначала построил путем расширения комплексных чисел алгебру кватернионов, а затем из нее получил скалярное векторное произведение двух векторов в трехмерном векторном пространстве, т.е. в пространстве векторных кватернионов. Если идти по этому пути, то следует расширять, удваивать систему кватернионов до системы октанионов, что сделал Кэли в 1844 году, но дальнейшие преобразования использовать такие же, какие использовал Гамильтон при получении трехмерного векторного числа и четырехмерного кватернионного числа. Если идти по этому пути, то единственно возможной алгеброй, которая получается из алгебры кватернионов, является семимерная векторная алгебра со скалярным, евклидового характера и векторным произведением двух векторов .

То есть сразу дается ответ на два вопроса: какой размерности должно быть пространство? А это именно семь, не четыре, не пять, не шесть. И во-вторых, задано скалярное и векторное произведения двух векторов строго. Это позволяет развернуть алгебру, т.е. получить свойства алгебры, вытекающей из этих двух фундаментальных понятий, что и было в свое время осуществлено на практике. Таким образом, мы получаем семимерную евклидову векторную алгебру с семью ортами ортогональной системы координат, возможно ортогональной, в которой строится семимерный вектор. Сразу возникает целый ряд новых, совершенно новых для алгебры понятий, таких как: векторное произведение не только двух векторов, но и трех, четырех, пяти, шести векторов. Это инвариантные величины, дающие в свою очередь определенные законы сохранения. Среди скалярных величин также появляются величины инвариантные, как функции не только двух векторов скалярного произведения двух векторов, но и как функции большего числа векторов. Это смешанные произведения трех векторов, четырех векторов, семи векторов. По крайней мере, эти функции найдены, уточнены их свойства, и эти функции дают инвариантные понятия типа законов сохранения – законов сохранения этих величин. То есть появляется возможность получения совершенно новых законов сохранения величин, физических величин – при использовании вместо трехмерной алгебры семимерной векторной алгебры. Трехмерные законы сохранения энергии, импульса и момента импульса следуют из этой алгебры просто как частный случай. Они имеют место, сохраняются, никуда не исчезают, они фундаментальны, так же как и новые законы сохранения, появляющиеся при рассмотрении семимерных пространств .

Говоря о многомерности вообще, следовало бы уточнить: а нельзя ли построить алгебры большей размерности – векторной алгебры большей размерности? Ответ таков – можно! Но свойства этих алгебр совершенно иные, хотя они включают трехмерные семимерные алгебры как частный случай, как подалгебры. Свойства их видоизменяются. Например, известный закон для двойного векторного произведения будет сформулирован совершенно иначе. Это уже будет не алгебра Мальцева, это будет пятнадцатимерие – совершенно иная алгебра, а для тридцатиодномерия – вообще вопрос не изучался. Что говорить о 15-ти или 31-мерном пространстве, когда концепция семимерного пространства еще не завоевала прочной фундаментальной позиции в умах ученых. Прежде всего, нужно базироваться на анализе семимерного варианта как очередного варианта за трехмерным векторным исчислением. Надо отметить, что в векторной алгебре по своей сути не используют понятие деления, т.е. даже трехмерная алгебра – это алгебра без деления – нельзя вектору сопоставить обратный вектор, либо найти ему противоположный, т.е. найти обратный вектор. И в векторной алгебре отсутствует понятие единицы, как таковой, скалярной единицы, которую можно было бы делить на обратное число, получая вектор. Поэтому это снимает ограничения в плане того, что мы имеем только четыре алгебры с делением – четырехмерная, двухмерная, одномерная, восьмимерная. Расширение дальнейшее было бы просто невозможным. Но поскольку векторные алгебры – алгебры без деления, можно пытаться идти по этому пути дальше, строя многомерные алгебры.

Вторым аспектом является то, что уж поскольку мы работаем с алгебрами без деления, то можно использовать алгебры, которые могут быть получены путем расширения действительных чисел без использования процедуры деления. В двухмерном варианте это двойные и дуальные числа, в четырехмерном варианте – псевдокватернионы и дуальные кватернионы, в восьмимерном варианте – псевдооктанионы и дуальные октанионы. Из них той же процедурой Гамильтона можно получить трехмерные псевдоевклидовы индекса 2 и семимерные псевдоевклидовы индекса 4 векторные алгебры. Опять вопрос стоит о трехмерном и семимерном варианте. Надо отметить, что возможно также дуальное расширение, но дуальное расширение, в свою очередь, характеризуется тем, что оно не имеет изоморфной группы преобразований. Псевдоевклидовы алгебры трехмерные и семимерные, как оказывается, имеют группы, могут быть описаны групповыми свойствами преобразований этих векторных величин. В то же время дуальные величины преобразуются друг в друга с помощью матриц, квадратных матриц вырожденных, т.е. имеют определитель, не равный нулю, эти матрицы. И это резко ограничивает возможности таких алгебр для применения. Тем не менее, они могут быть построены. Но группы преобразований вырождены. Эта концепция приводит, следовательно, к расширению понятия действительного числа одномерной векторной величины, трехмерные векторные величины, дуальноевклидовы, псевдоевклидовы и собственно евклидовы и семимерные векторные величины – собственно евклидовы, дуальноевклидовы, псевдоевклидовы.

Математика таких пространств уже определена , и проблем с использованием преобразований и выражений в этих пространственных соотношениях не вызывают никаких затруднений. Единственно, несколько более сложный вариант – семимерие, нежели трехмерие. Но компьютерная техника позволяет без проблем осуществлять эти преобразования. Таким образом, мы фиксируем понятия одномерного, трехмерного и семимерного пространства, собственно евклидового, как основного из этих пространств, псевдоевклидового, как существующая возможность невырожденных преобразований пространственных с соответствующей группой псевдоевклидовых преобразований и дуальноевклидовых. Вот в результате получается набор из девяти векторных алгебр, которые можно рассматривать для физических приложений. По крайней мере, шесть величин собственно евклидовых и псевдоевклидовых, наверное немного неточно, не девять, а семь – и в результате не шесть, а четыре величины, пять величин, пять алгебр будут иметь место для возможных приложений физических. Итак, следует повторить: основа на данный момент, основным пространственным преобразованием пространственной векторной алгебры является семимерная евклидова алгебра . Это основа. Если эту основу изучить, освоить, применить, это будет уже очень немало. И позволит быстро и без проблем освоить основные векторные преобразования векторной алгебры.

Семимерное пространство характеризуется тем, что все пространственные направления совершенно одинаковые, т.е. пространство изотропно по своим свойствам. В то же время мы имеем не только понятия векторов, но и понятия изменения векторов, положения хотя бы векторов в пространстве. Следовательно, нужно оценивать характер изменения этих положений векторов в пространстве – и это уже с необходимостью приводит к применению понятия времени как скалярной величины, по которой можно осуществлять дифференцирования векторных величин. Поэтому более верной концепцией, наверное, будет рассматривать не просто семимерное пространство, а восьмимерное пространство – время. Семь совершенно идентичных пространственных координат плюс временная координата как скалярная компонента. То есть рассматривать восьмимерный радиус-вектор Ctr , где r – семикомпонентная величина, а t – время однокомпонентная скалярная величина. Точно так же это проделано в четырехмерном пространстве-времени Минковского и поэтому не вызывает никаких нареканий и отрицательных соображений и эмоций. Восьмимерное пространство-время связывает так же, как частная теория относительности, время с пространственными соотношениями. Имеет место относительность понятий пространственных величин и временных величин. Имеют место те же преобразования Лоренца, если использовать не YZ , равный нулю, а все шесть остальных компонентов, кроме первой, равными нулю. То есть частная теория относительности четырехмерного пространства-времени Минковского является просто частным случаем преобразования восьмимерного пространства-времени. Вот, собственно, наверное, и все, что следовало бы отметить. Единственное, стоило дополнить или повторить, что в семимерном пространстве имеют место совершенно новые законы сохранения величин, а в восьмимерном пространстве-времени точно так же появляются эти величины, как сохраняющиеся фундаментальные величины и варианты при переходе от одной системы восьмимерного пространства-времени к другой – другой системе отсчета.

Что еще стоило бы отметить? При использовании собственно евклидового семимерного пространства получается восьмимерное пространство- время индекса 1, по сути дела, либо некоторые авторы, наоборот, берут три отрицательные компоненты радиус-вектора, поэтому можно говорить об индексе 3, потому что квадрат скорости, либо квадрат радиуса-вектора определяется суммой квадратов компонентов в собственно евклидовом пространстве. В семимерном пространстве практически эта тенденция сохранена целиком и полностью, если использовать собственно евклидову векторную алгебру. Однако семимерное пространство может быть построено также с применением семимерной псевдоевклидовой векторной алгебры индекса 4, и это говорит о том, что квадрат интервала радиуса-вектора, квадрат радиуса-вектора лучше сказать, квадрат модуля радиуса-вектора может быть не только положительным, но также и нулем и даже отрицательной величиной, квадрат модуля радиус-вектора семимерного псевдоевклидового пространства. Точно так речь может вестись о квадрате любого вектора, в частности вектора скорости. Поэтому понятие скорости псевдоевклидовой семимерной векторной алгебры совершенно иное, нежели в семимерном собственно евклидовом пространстве. И это приводит к серьезнейшим изменениям в физическом плане, если строить физическую теорию на базе таких алгебр. В математическом плане нареканий нет, и алгебра может быть фундаментом для построения многомерной физики и, без проблем, многомерная физика строится. Сложнее восприятие этих величин. То есть скорость – величина, в данном случае скорость света, как фундаментальная величина может иметь место только как понятие скорости распространения электромагнитных волн. На базе восьмимерной псевдоевклидовой алгебры с применением семимерной псевдоевклидовой алгебры, скорость может быть не только положительной величиной, но и отрицательной и нулевой.

Это требует в свою очередь дополнительных рассмотрений таких физических пространств, осознания их наличия в действительном мире и попыткой объяснить теорию полей не только электромагнитных, но других, в частности гравитационных, слабых, сильных. Имеющиеся в настоящий момент векторные многомерные алгебры позволяют сделать более глубокий анализ, нежели наличие только трехмерной векторной алгебры и причем только собственно евклидовой векторной алгебры Гамильтона – Грассмана.

Библиографический список

1. Готт, В.С. Пространство и время микромира / В.С. Готт. – М.: Изд-во «Знание», 1964. – 40 с.

2. Коротков, А.В. Элементы семимерного векторного исчисления. Алгебра. Геометрия. Теория поля / А.В. Коротков. – Новочеркасск: Набла, 1996. – 244 с.

3. Румер, Ю.Б. Принципы сохранения и свойства пространства и времени / Ю.Б. Румер // Пространство, время, движение. – М.: Изд-во «Наука», 1971. – С. 107-125.

1. Важным этапом в развитии новых геометрических идей было создание геометрии многомерного пространства, о котором уже шла речь в предыдущей главе. Одной из причин ее возникновения служило стремление использовать геометрические соображения при решении вопросов алгебры и анализа. Геометрический подход к решению аналитических вопросов основан на методе координат. Приведем простой пример.

Требуется узнать, сколько целочисленных решений имеет неравенство . Рассматривая как декартовы координаты на плоскости, видим, что вопрос сводится к следующему: сколько точек с целочисленными координатами содержится внутри круга радиуса

Точки с целочисленными координатами - это вершины квадратов со стороной единичной длины, покрывающих плоскость (рис. 21). Число таких точек внутри круга приближенно равно числу квадратов, лежащих внутри круга, т. е. приблизительно равно площади круга радиуса Таким образом, интересующее нас число решений неравенства приближенно равно При этом нетрудно доказать, что допускаемая здесь относительная ошибка стремится к нулю при Более точное исследование этой погрешности представляет собой весьма трудную задачу теории чисел, служившую в сравнительно недавнее время предметом глубоких исследований.

В разобранном примере оказалось достаточным перевести задачу на геометрический язык, чтобы сразу получить результат, далеко не очевидный с точки зрения «чистой алгебры». Совершенно так же решается аналогичная задача для неравенства с тремя неизвестными. Однако, если неизвестных более трех, этот метод не удается применить, поскольку наше пространство трехмерно, т. е. положение точки в нем определяется тремя координатами. Для сохранения полезной геометрической аналогии в подобных случаях вводят представление об абстрактном

Мерном пространстве», точки которого определяются координатами При этом основные понятия геометрии обобщаются таким образом, что геометрические соображения оказываются применимыми к решению задач с переменными; это сильно облегчает нахождение результатов. Возможность такого обобщения основана на единстве алгебраических закономерностей, в силу которого многие задачи решаются совершенно единообразно при любом числе перемепных. Это позволяет применять геометрические соображения, действующие при трех переменных, к любому их числу.

2. Зачатки понятия о четырехмерном пространстве встречаются еще у Лагранжа, который в своих работах по механике рассматривал время формально как «четвертую координату» наряду с тремя пространственными. Но первое систематическое изложение начал многомерной геометрии было дано в 1844 г. немецким математиком Грассманом и независимо от него англичанином Кэли. Они шли при этом путем формальной аналогии с обычной аналитической геометрией. Эта аналогия в современном изложении выглядит в общих чертах следующим образом.

Точка в «-мерном нространстве онределяется координатами Фигура в -мерном пространстве - это геометрическое место, или множество точек, удовлетворяющих тем или иным условиям. Например, «n-мерный куб» определяется как геометрическое место точек, координаты которых подчинены неравенствам: Аналогия с обычным кубом здесь совершенно прозрачна: в случае, когда т. е. пространство трехмерно, наши неравенства действительно определяют куб, ребра которого параллельны осям координат и длина ребер равна (на рис. 22 изображен случай

Расстояние между двумя точками можно определить как корень квадратный из суммы квадратов разностей координат

Это представляет собой прямое обобщение известной формулы для расстояния на плоскости или в трехмерном пространстве, т. е. при n = 2 или 3.

Теперь можно определить в -мерном пространстве равенство фигур. Две фигуры считаются равными, если между их точками можно установить такое соответствие, при котором расстояния между парами соответственных точек равны. Преобразование, сохраняющее расстояния, можно назвать обобщенным движением. Тогда по аналогии с обычной

эвклидовой геометрией можно сказать, что предмет «-мерной геометрии составляют свойства фигур, сохраняющиеся при обобщенных движениях. Это определение предмета -мерной геометрии было установлено в 70-х годах и дало точную основу для ее разработки. С тех пор. -мерная геометрия служит предметом многочисленных исследований во всех направлениях, аналогичных направлениям эвклидовой геометрии (элементарная геометрия, общая теория кривых и т. п.).

Понятие расстояния между точками позволяет перенести на «n-мерное пространство также другие понятия геометрии, такие как отрезок, шар, длина, угол, объем и т. п. Например, -мерный шар определяется как множество точек, удаленных от данной не больше, чем на данное

Поэтому аналитически шар задается неравенством

где - координаты его центра. Поверхность шара задается уравнением

Отрезок можно определить как множество таких точек X, что сумма расстояний от X до А и В равна расстоянию от А до В. (Длина отрезка есть расстояние между его концами.)

3. Остановимся несколько подробнее на плоскостях различного числа измерений.

В трехмерном пространстве таковыми являются одномерные «плоскости» - прямые и обычные (двумерные) плоскости. В -мерном пространстве при вводятся в рассмотрение еще многомерные плоскости числа измерений от 3 до

Как известно, в трехмерном пространстве плоскость задается одним линейным уравнением, а прямая - двумя такими уравнениями.

Путем прямого обобщения приходим к следующему определению: -мерной плоскостью в -мерном пространстве называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют системе линейных уравнений

причем уравнения совместны и независимы (т. е. ни одно из них не является следствием других). Каждое из этих уравнений представляет -мерную плоскость, а все они вместе определяют общие точки к таких плоскостей.

То, что уравнения (8) совместны, означает, что вообще есть точки, им удовлетворяющие, т. е. данных -мерных плоскостей пересекаются. То, что ни одно уравнение не является следствием других, означает, что ни одно из них нельзя исключить. Иначе система сводилась бы к меньшему числу уравнений и определяла бы плоскость большего числа измерений. Таким образом, говоря геометрически, дело сводится к тому, что -мерная плоскость определяется как пересечение штук -мерных плоскостей, представляемых независимыми уравнениями. В частности, если то имеем уравнений, которые определяют «одномерную плоскость», т. е. прямую. Таким образом, данное определение А-мерной плоскости представляет естественное формальное обобщение известных результатов аналитической геометрии. Польза этого обобщения обнаруживается уже в том, что выводы, касающиеся систем линейных уравнений, получают геометрическое истолкование, которое делает эти выводы более ясными. С таким геометрическим подходом к вопросам линейной алгебры читатель мог ознакомиться в главе XVI.

Важным свойством -мерной плоскости является то, что она может рассматриваться сама как -мерное пространство. Так, например, трехмерная плоскость сама есть обычное трехмерное пространство. Это дает возможность переносить на пространства высшего числа измерений многие выводы, полученные для пространств низшего числа измерений, подобно обычным рассуждениям от

Если уравнения (8) совместны и независимы, то, как доказывается в алгебре, из переменных можно выбрать к так, что остальные переменных можно через них выразить. Например:

Здесь могут принимать любые значения, а остальные через них определяются. Это значит, что положение точки на -мерной плоскости определяется уже к координатами, могущими принимать любые значения. Именно в этом смысле плоскость имеет к измерений.

Из определения плоскостей разного числа измерений можно чисто алгебраически вывести следующие основные теоремы.

1) Через каждые точку, не лежащую на одной -мерной плоскости, проходит -мерная плоскость и притом только одна.

Полная аналогия с известными фактами элементарной геометрии здесь очевидна. Доказательство этой теоремы опирается на теорию систем линейных уравнений и несколько сложно, так что мы не будем излагать.

2) Если -мерная и -мерная плоскости в -мерном пространстве имеют хотя бы одну общую точку и при этом то они пересекаются по плоскости размерности не меньшей, чем

Как частный случай отсюда вытекает, что две двумерные плоскости в трехмерном пространстве, если они не совпадают и не параллельны, пересекаются по прямой Но уже в четырехмерном пространстве две двумерных плоскости могут иметь единственную общую точку. Например, плоскости, задаваемые системами уравнений:

очевидно, пересекаются в единственной точке с координатами

Доказательство сформулированной теоремы чрезвычайно просто: -мерная плоскость задается уравнениями; -мерная задается уравнениями; координаты точек пересечения должны удовлетворять одновременно всем уравнениям. Если ни одно уравнение не является следствием остальных, то по самому определению плоскости в пересечении имеем -мерную плоскость; в противном случае получается плоскость большего числа измерений.

К двум указанным теоремам можно добавить еще две.

3) На каждой -мерной плоскости есть по крайней мере точек, не лежащих в плоскости меньшего числа измерений. В -мерном пространстве есть по крайней мере точек, не лежащих ни в какой плоскости.

4) Если прямая имеет с плоскостью (любого числа измерений) две общие точки, то она целиком лежит в этой плоскости. Вообще, если -мерная плоскость имеет с -мерной плоскостью общих точек, не лежащих в -мерной плоскости, то она целиком лежит в этой -мерной плоскости.

Заметим, что -мерную геометрию можно строить, исходя из аксиом, обобщающих аксиомы, сформулированные в § 5. При таком подходе четыре указанные выше, теоремы принимаются за аксиомы сочетания. Это кстати показывает, что понятие аксиомы относительно: одно и то же

утверждение при одном построении теории выступает как теорема, при другом - как аксиома.

4. Мы получили общее представление о математическом понятии многомерного пространства. Чтобы выяснить реальный физический смысл этого понятия, обратимся снова к задаче графического изображения. Пусть, например, мы хотим изобразить зависимость давления газа от объема. Берем на плоскости координатные оси и на одной оси откладываем объем , а на другой - давление . Зависимость давления от объема при данных условиях изобразится некоторой кривой (при данной температуре для идеального газа это будет гипербола согласно известному закону Бойля-Мариотта). Но если мы имеем более сложную физическую систему, состояние которой задается уже не двумя данными (как объем и давление в случае газа), а, скажем, пятью, то графическое изображение ее поведения приводит к представлению соответственно о пятимерном пространстве.

Пусть, например, речь идет о сплаве трех металлов или о смеси трех газов. Состояние смеси определяется четырьмя данными: температурой давлением и процентными содержаниями двух газов (процентное содержание третьего газа определяется тогда тем, что общая сумма процентных содержаний равна 100%, так что Состояние такой смеси определяется, следовательно, четырьмя данными. Графическое его изображение требует или соединения нескольких диаграмм, или приходится представлять себе это состояние в виде точки четырехмерного пространства с четырьмя координатами Таким представлением фактически пользуются в химии; применение методов многомерной геометрии к задачам этой науки разработано американским ученым Гиббсом и школой советских физико-химиков академика Курнакова. Здесь введение многомерного пространства диктуется стремлением сохранить полезные геометрические аналогии и соображения, исходящие из простого приема графического изображения.

Приведем еще пример из области геометрии. Шар задается четырьмя данными: тремя координатами его центра и радиусом. Поэтому шар можно представлять точкой в четырехмерном пространстве. Специальная геометрия шаров, которую построили около ста лет назад некоторые математики, может рассматриваться поэтому как некоторая четырехмерная геометрия.

Из всего сказанного выясняется общее реальное основание для введения понятия многомерного пространства. Если какая-либо фигура, или состояние какой-либо системы и т. задается данными, то эту фигуру, это состояние и т. п. можно мыслить как точку некоторого -мерного пространства. Польза этого представления примерно та же, что польза обычных графиков: она состоит в возможности применить известные геометрические аналогии и методы для изучения рассматриваемых явлений.

В математическом понятии многомерного пространства нет, следовательно, никакой мистики. Оно представляет собой не более как некоторое абстрактное понятие, выработанное математиками для того, чтобы описывать на геометрическом языке такие вещи, которые не допускают простого геометрического изображения в обычном смысле. Это абстрактное понятие имеет вполне реальное основание, оно отражает действительность и было вызвано потребностями науки, а не праздной игрой воображения Оно отражает тот факт, что существуют вещи, которые, как шар или смесь из трех газов, характеризуются несколькими данными, так что совокупность всех таких вещей является многомерной. Число измерений в данном случае есть именно число этих данных. Как точка, двигаясь в пространстве, меняет три свои координаты, так шар, двигаясь, расширяясь и сжимаясь, изменяет четыре свои «координаты», т. е. четыре величины, которые его определяют.

В следующих параграфах мы еще остановимся на многомерной геометрии. Сейчас же важно только понять, что она является методом математического описания реальных вещей и явлений. Представление о каком-то четырехмерном пространстве, в котором находится наше реальное пространство - представление, использовавшееся некоторыми беллетристами и спиритами, не имеет отношения к математическому понятию о четырехмерном пространстве. Если и можно говорить здесь об отношении к науке, то разве лишь в смысле фантастического искажения научных понятий.

5. Как уже говорилось, геометрия многомерного пространства строилась сначала путем формального обобщения обычной аналитический геометрии на произвольное число переменных. Однако такой подход к Делу не мог полностью удовлетворить математиков. Ведь цель состояла не столько в обобщении геометрических понятий, сколько в обобщении самого геометрического метода исследования. Поэтому важно было дать чисто геометрическое изложение -мерной геометрии, не зависящее от аналитического аппарата. Впервые это было сделано швейцарским математиком Шлефли в 1852 г., рассмотревшим в своей работе вопрос о правильных многогранниках многомерного пространства. Правда, работа Шлефли не была оценена современниками, так как для ее понимания нужно было в той или иной мере подняться до абстрактного взгляда на геометрию. Лишь дальнейшее развитие математики внесло в этот в опрос [полную ясность, выяснив исчерпывающим образом взаимоотношение аналитического и геометрического подходов. Не имея возможности углубляться в этот вопрос, мы ограничимся примерами геометрического изложения -мерной геометрии. Рассмотрим геометрическое определение -мерного куба. Двигая отрезок в плоскости перпендикулярно самому себе на расстояние, равное его длине, мы зачертим квадрат, т. е. двумерный куб (рис. 23, а). Совершенно аналогично, двигая квадрат в направлении, перпендикулярном его плоскости, на расстояние, равное его

стороне, мы зачертим трехмерный куб (рис. 23, б). Чтобы получить четырехмерный куб, применяем то же построение: взяв в четырехмерном пространстве трехмерную плоскость и в ней трехмерный куб, двигаем его в направлении, перпендикулярном этой трехмерной плоскости, на расстояние, равное ребру (по определению прямая перпендикулярна -мерной плоскости, если она перпендикулярна всякой прямой, лежащей в этой плоскости). Это построение условно представлено на рис. 23, в, Здесь изображено два трехмерных куба - данный куб в первоначальном и конечном положении. Линии, соединяющие вершины этих кубов, изображают те отрезки, по которым двигаются вершины при перемещении куба.

Мы видим, что четырехмерный куб имеет всего 16 вершин: восемь у куба и восемь у куба . Далее, он имеет 32 ребр»: 12 ребер передвигаемого трехмерного куба в начальном положении ребер его в конечном положении и 8 «боковых» ребер. Он имев! 8 трехмерных граней, которые сами являются кубами. При движенга трехмерного куба каждая его грань зачерчивает трехмерный куб, так что получается 6 кубов - боковых граней четырехмерного куба, и, кроме того, имеются еще две грани: «передняя» и «задняя», соответственно перво начальному и конечному положению передвигаемого куба. Наконец, четырехмерный куб имеет еще двумерные квадратные грани общим числом 24: по шести у кубов и еще 12 квадратов, которые зачерчу вают ребра куба при его перемещении.

Итак, четырехмерный куб имеет 8 трехмерных граней, 24 двумерных грани, 32 одномерных грани (32 ребра) и, наконец, 16 вершин; кажда грань есть «куб» соответствующего числа измерений: трехмерный куб, квадрат, отрезок, вершина (ее можно считать нульмерным кубом).

Аналогично, перемещая четырехмерный куб «в пятое измерение», получим пятимерный куб, и так, повторяя это построение, можно построить куб любого, числа измерений. Все грани -мерного куба сами

являются кубами меньшего числа измерений: -мерные, и т. д. и, наконец, одномерные, т. е. ребра. Любопытной и нетрудной задачек является найти, сколько граней каждого числа измерений имеет -мерный куб. Легко убедиться, что он имеет штук -мерных граней и вершин. А сколько будет, например, ребер?

Рассмотрим еще один многогранник -мерного пространства. На плоскости простейшим многоугольником является треугольник - он имеет наименьшее возможное число вершин. Чтобы получить многогранник с наименьшим числом вершин, достаточно взять точку, не лежащую в плоскости треугольника, и соединить ее отрезками с каждой точкой этого треугольника. Полученные отрезки заполнят трехгранную пирамиду - тетраэдр (рис. 24).

Чтобы получить простейший многогранник в четырехмерном пространстве, рассуждаем так. Берем какую-нибудь трехмерную плоскость и в ней некоторый тетраэдр Т. Затем, взяв точку, не лежащую в данной трехмерной плоскости, соединяем ее отрезками со всеми точками тетраэдра Т. На самом правом из рис. 24 условно изображено это построение. Каждый из отрезков, соединяющих точку О с точкой тетраэдра Т, не имеет с тетраэдром других общих точек, так как в противном случае он целиком помещался бы в трехмерном пространстве, содержащем Т. Все такие отрезки как бы «идут в четвертое измерение». Они заполняют простейший четырехмерный многогранник - так называемый четырехмерный симплекс. Его трехмерные грани суть тетраэдры: один в основании и еще 4 боковых грани, опирающиеся на двумерные грани основания; всего 5 граней. Его двумерные грани - треугольники; их всего 10: четыре у основания и шесть боковых. Наконец, он имеет 10 ребер и 5 вершин.

Повторяя такое же построение для любого числа измерений, получим простейший -мерный многогранник - так называемый n-мерный симплекс. Как видно из построения, он имеет вершину. Можно убедиться, что все его грани тоже являются симплексами меньшего числа измерений: -мерные, -мерные и т. д.

Легко также обобщить понятия призмы и пирамиды. Если мы будем параллельно переносить многоугольник из плоскости в третье измерение, то он зачертит призму. Аналогично, перенося трехмерный многогранник в четвертое измерение, получим четырехмерную призму (условно это изображено на рис. 25). Четырехмерный куб есть, очевидно, частный случай призмы.

Пирамида строится следующим образом. Берется многоугольник в точка О, не лежащая в плоскости многоугольника. Каждая точка многоугольника соединяется отрезком с точкой О и эти отрезки заполняют пирамиду с основанием (рис. 26). Аналогично, если в четырехмерном пространстве дан трехмерный многогранник и точка О, не лежащая с ним в одной трехмерной плоскости, то отрезки, соединяющие точки многогранника с точкой О, заполняют четырехмерную пирамиду с основанием Четырехмерный симплекс есть не что иное, как пирамида с тетраэдром в основании.

Совершенно аналогично, отправляясь от -мерного многогранника можно определить -мерную призму и -мерную пирамиду.

Вообще -мерный многогранник есть часть -мерного пространства, ограниченная конечным числом кусков -мерных плоскостей; -мерный многогранник есть часть -мерной плоскости, ограниченная конечным числом кусков -мерных плоскостей. Грани многогранника сами являются многогранниками меньшего числа измерений.

Теория -мерных многогранников представляет собой богатое конкретным содержанием обобщение теории обычных трехмерных многогранников. В ряде случаев теоремы о трехмерных многогранниках обобщаются на любое число измерений без особого труда, но встречаются и такие

вопросы, решение которых для -мерных многогранников представляет огромные трудности. Здесь можно упомянуть глубокие исследования Г. Ф. Вороного (1868-1908), возникшие, кстати сказать, в связи с задачами теории чисел; они были продолжены советскими геометрами. Одна из возникших задач - так называемая «проблема Вороного» - все еще не решена полностью

Примером, на котором обнаруживается существенная разница между пространствами разных измерений, могут служить правильные многогранники. На плоскости правильный многоугольник может иметь любое число сторон. Иными словами, имеется бесконечно много разных видов правильных «двумерных многогранников». Трехмерных правильных многогранников всего пять видов: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. В четырехмерном пространстве есть шесть видов правильных многогранников, но уже в любом пространстве большего числа измерений их всего три. Это: 1) аналог тетраэдра - правильный -мерный симплекс, т. е. симплекс, все ребра которого равны;

2) -мерный куб; 3) аналог октаэдра, который строится следующим образом: центры граней куба служат вершинами этого многогранника, так что он как бы натягивается на них. В случае трехмерного пространства это построение произведено на рис. 27. Мы видим, что в отношении правильных многогранников двух, трех и четырехмерные пространства занимают особое положение.

6. Рассмотрим еще вопрос об объеме тел в -мерном пространстве. Объем -мерного тела определяется аналогично тому, как это делается в обычной геометрии. Объем - это сопоставляемая фигуре численная характеристика, причем от объема требуется, чтобы у равных тел были равные объемы, т. е. чтобы объем не менялся при движении фигуры как твердого целого, и чтобы в случае, когда одно тело сложено из двух, его объем был равен сумме их объемов. За единицу объема принимается объем куба с ребром, равным единице. После этого устанавливается, что объем куба с ребром а равен Это делается так же, как на плоскости и в трехмерном пространстве, путем заполнения куба слоями из кубов (рис. 28). Так как кубы укладываются по направлениям, то это и дает

Что такое пространственные и временные координаты ? Явных из них четыре: три пространственных и одна временная. Возможны ли дополнительные, не известные нам, скрытые пространственные и временные размерности в нашем мире?

Физики, утверждают, что да. В 1921 г. в журнале “Sitzungsberichte der Berliner Akademie” появилась статья Теодора Калуцы под названием “К проблеме единства физики” (статья была рекомендована А.Эйнштейном). В ней исследователь предложил дополнить четыре измерения пространства- времени пятым, пространственным измерением. Введение пятого измерения позволяло описать все известные в то время фундаментальные измерения (гравитационное и электромагнитное) через пространственные категории.

Несколько лет спустя, шведский физик Оскар Клейн расширил эту теорию, рассмотрев другие многомерные варианты Мироздания и проверив их совместимость с уже известными фундаментальными физическими законами. В современной физике теорией Калуцы - Клейна называют любую квантовую теорию, пытающуюся объединить фундаментальные взаимодействия в пространстве-времени, имеющем более четырех измерений. В настоящее время существует большое количество теорий, рассматривающих наш Мир как 5-ти, 6-ти и даже 12-ти мерный, причем дополнительные координаты могут оказаться как пространственными, так и временными.

Однако существует ряд сильных аргументов “против” многомерья. Прежде всего, оно не наблюдаемо. И сколько бы теорий физики не изобретали, в нашем мире не обнаружено ни одного факта, подтверждающего теорию многомерья. Кроме, разумеется, человеческого разума .

Более того, оказалось, что в случае наличия в окружающем нас мире дополнительных измерений, некоторые существующие природные явления были бы невозможны (в частности существование планет, звезд, атомов и молекул ).

Наглядно, хоть и не совсем верно, это можно представить так, если бы в нашем мире были бы дополнительные пространственные размерности, то что – нибудь туда определенно бы провалилось, выпало, выгнулось (атомы, орбиты планет, волны или частицы). Но ведь этого не происходит!
Естественно, многомерные теории учитывали ограничения, накладываемые реальностью. Существует несколько способов сгладить противоречие между жесткими требованиями нашего мира и мечтой о многомерных реальностях.

Первый способ.

Был предложен в работе А.Эйнштейна и П.Бергмана “Обобщение теории электричества Калуцы”, в ней предполагалось, “что пятая координата может изменяться лишь в некоторых ограниченных пределах: от 0 до некоторого значения Т , т.е. 5-мерный мир заключен как бы в некотором слое толщиной Т”. Величина эта настолько мала, что даже элементарная частица (электрон, например) превосходит ее настолько, насколько земной шар - горошину. И поместить в этот более чем узкий слой дополнительного измерения невозможно ничего.

Если представить весь наш видимый мир с его 4-мя измерениями как плоскость, например, листок бумаги, то пятое измерение предстанет в виде тончайшего слоя пространства нанесенного на этот листик. Во все стороны лист – бесконечен, а вверх (в 5-е измерение) его протяженность ограничена микроскопической величиной слоя. В такое измерение не то что человеку, даже элементарной частице провалится невозможно. И увидеть его нельзя. Даже самые сильные микроскопы не помогут.

Способ второй.

Протяженность пространства в четвертом измерении может быть как угодно велика (в принципе сравнима с почти бесконечными длиной, шириной и высотой). Однако, это пространство “свернуто в исключительно малую окружность”. И это свернутое 5-е направление (координатная ось) соединено с видимым нами 4-х мерных миром лишь узенькой горловиной, диаметр которой сопоставим с размером описанного выше 5-мерного слоя. “Чтобы обнаружить эту окружность, энергия освещающих ее частиц должна быть достаточна велика. Частицы меньших энергий распределяться по окружности равномерно и ее нельзя будет обнаружить. Самые мощные ускорители создают пучки частиц, обеспечивающих разрешающую способность 10 –16 см. Если окружность в пятом измерении имеет меньшие размеры, то обнаружить ее пока невозможно”.

Принятие одного из этих положений объясняет ненаблюдаемость дополнительных измерений (кстати, именно поэтому их и называет скрытыми) и почему они никак не влияют на наш мир .

Но к многомерным теориям пространства, кроме физиков, обращались и представители других естественных наук, в частности В.И.Вернадский , который предполагал, что “физическое пространство не есть геометрическое пространство трех измерений ”
Как, вообще, в голову человека могли прийти эти многомерные пространства, если их нет в окружающей реальности? И можем ли мы придумать, вообразить нечто, чему нет никакого аналога во внешнем мире (до сих пор в качестве такового предлагалось только колесо, да и то ему были аналоги – движущиеся округлые диски – луна и солнце).

Если психика является отображением макрокосма, то она отражает все пространственно – временные свойства мироздания , в том числе и те, о которых мы пока еще и не подозреваем. Это относится к любым представлениям о пространстве. Чем сложнее устроен Мир вокруг нас, тем более сложным является отображение. Любое зеркало - двумерно, но способно отразить трехмерные предметы, как и за абсолютно плоским экраном телевизора существует объемный мир; и если немного постараться, то показываемые пейзажи могут приобрести глубину. А если психика все же не отображение, а неуловимая высшая субстанция, то, в этом случае, созданный “по образу подобию” человек изначально несет в себе Высший план строения Вселенной. И, разумеется, если этим планом предусмотрены высшие измерения для пространства –времени, человек несет в себе и их.
Отражаются (могут ли отражаться) в чувственных образах скрытые размерности внешнего мира, если конечно таковые в нем имеются?
Человек может воспринимать и визуализировать только трехмерные объекты, образы большей мерности принципиально не доступны ни восприятию, ни воображению, т.е. мы не можем их не только увидеть, но и представить.
У нас развились “органы” лишь для тех сторон Сущего-в-себе, какие важно было принимать в расчет для сохранения вида.
Да, но... А если восприятие или воображение многомерных структур имеет смысл и значение для выживания вида? Если мы этого не осознаем, но многомерность пространства-времени играет важную роль в организации нашей психической жизни? Тогда возможно, мы внутри нас как-то отображаем многомерную структуру Вселенной, хотя и не осознаем этого, ведь рыба, отражающая гидродинамические свойства воды строением своего тела, тоже не подозревает об этом и, тем более, не знакома с законами термодинамики.

В исследованиях было установлено эмпирически, что образы измененных состояний сознания могут быть многомерными.

На сеансах с применением ЛСД испытуемые, “знакомые с математикой и физикой, иногда сообщают, что многие из концепций этих дисциплин, которые ускользают от рационального понимания, могут стать более постижимыми и даже могут быть пережиты в измененных состояниях сознания. Способствующие постижению инсайды включают такие теоретические системы, как неэвклидова геометрия, геометрия n-мерного пространства, пространство – время, специальную и общую теорию относительности Эйнштейна” ...
Если скрытые измерения пространства –времени существуют в какой-либо форме, то их наличие должно получить свое отображение в структуре внутреннего пространства, т.е. при определенных условиях (возможно, в измененных состояниях сознания) человек в той или иной степени может визуализировать зрительные образы с мерностью большей трех . Если это происходит, то мы можем говорить о многомерности внутреннего пространства человека. Если подобное окажется человеку не под силу, значит его внутреннее пространство – в лучшем случае 3-мерно.
Гипноз. Испытуемые вводились в состояние глубокого гипноза.
1 опыт - после пробуждения на некоторое время (до получения завершающего сигнала), они перестанут видеть все, что находится справа от них, при этом неважно, куда они смотрят, и каким глазом (правосторонняя агнозия);
2 опыт - после пробуждения на некоторое время (до получения завершающего сигнала), они перестанут видеть все, что находится слева от них, при этом неважно, куда они смотрят, и каким глазом (левосторонняя агнозия).
Во второй серии опытов вызывалась визуализация образов 4-го пространственного измерения . До эксперимента испытуемые не знали, что именно им предстоит визуализировать. Перед опытом испытуемым напоминали некоторые положения школьного курса геометрии. Рисовалось прямая, прямой угол, оси координат; из спичек и пластилина составлялось: прямая, угол, две прямых под углом в 90 градусов, три прямых пересекающихся под углами 90 градусов – декартовы оси координат, демонстрировался пример объемного прямого угла – угол комнаты, в котором пересекаются три стены под прямым углом. Ненавязчиво упоминалось, что 4-ю линию таким образом провести нельзя (“как бы еще одну линию провести под прямым углом ко всем остальным – не получается, ну ладно”).

1. Визуализация в состоянии гипноза. Испытуемые вводились в аналогичное состояние глубокого гипноза. Далее им предлагалось вообразить:
1) прямую линию,
2) две линии, пересекающиеся под углом 90 градусов,
3) три линии, пересекающиеся под углом 90 градусов.
После чего переходили к визуализации 4-го пространственного измерения. Испытуемым предлагалось мысленно провести еще одну линию (четвертую) под углом в 90 градусов ко всем остальным. Другой вариант – предлагалось представить угол комнаты и попробовать вообразить четвертую стену, под прямым углом к остальным. Далее испытуемым предлагалось мысленно “посмотреть” в направлении этой линии и словесно описать все, что они видят.

2. Постгипнотическая визуализация . В состоянии глубокого гипноза испытуемым внушалось, что после пробуждения на некоторое время (до получения завершающего сигнала), они сохранят свою способность визуализировать 4 -ую прямую линию и смогут смотреть в ее направлении из любой точки комнаты. Далее, они выводились из состояния гипноза, и проверялась сохранность внушения. Испытуемые описывали особенности своего видения мира. В заключении давался завершающий сигнал.

В экспериментах принимали участие 7 человек .
Результаты второй серии. Феномен визуализации 4-го пространственного измерения удалось вызвать очень легко . Все семь человек справились с заданием.
При визуализации под гипнозом большинство испытуемых в направлении 4-й оси “видели” или абстрактные геометрические фигуры или затруднялись с описанием увиденного
В следующей группе экспериментов делалась попытка физического проникновения в 4-е измерения в ситуации постгипнотического внушения. В этой группе опытов был подтвержден известный факт, что физически в 4-е измерение проникнуть, увы, невозможно. Даже если человек видит образы этого измерения, все равно физическое тело накладывает ограничения на свободу его перемещений. Таким образом, почти все наши испытуемые, “заглядывая” в 4-е измерения, визуализировали абстрактные геометрические фигуры. И только в одном случае, испытуемая воображала реальные картины. Кстати, это была единственная в этой серии опытов испытуемая-левша.

Вопрос, который возникает. А может быть, все это – игра воображения ? Может быть, испытуемые на самом деле не представляли четвертое измерение , а только воображали, что воображают? Но ведь именно пространство воображения и изучалось; не физический мир , как он устроен (все-таки изучение физического мира – дело другой науки – физики ), а мерность нашего с вами пространства воображения. И если человек только воображает, что он воображает четвертое изменение, может быть это и означает, что он может вообразить высшие измерения в своем внутреннем пространстве.
Обращает на себя внимание факт. Легкость выполнения задания “вообразить четвертое измерение” испытуемыми. Можно предположить, что многомерность пространства воображения – естественное состояние человеческой психики, имеющее под собой вполне материальное - мозговой субстрат.

Действительно, если нашему миру многомерность не чужда, то разве возникшая по его образу и подобию психика не должна отразить ее глубинами своего бытия? Следует учесть, что такое определение внутреннего пространства не нарушает ни один из законов физики.

Обратимся теперь к вербальной сфере. Воплощенные в слове идеи доводятся до сознания и тем самым осознаются нами. Отображение многомерных аспектов вселенной происходит через воплощение соответствующих идей в достижениях культуры (от мифов и сказок до формул и теорий). И именно в таких формах эти идеи и осознаются человечеством – как мифы и легенды, как фантазии и художественные произведения; воплощение в виде формул и теорий.

Сначала, конечно, отображение многомерной структуры вселенной шло в мифах. Представления о том, что наша вселенная состоит из нескольких миров, сообщающихся или почти не сообщающихся, достаточно распространено в мифологии разных народов. Например, в мифах древних славян существовало представление о трех основных субстанциях мира. Представление о многомерности строения внутреннего мира человека встречается в египетской мифологии. Это достаточно обычное разделение мироздания на три мира (земное, небесное и подземное царство).

Человек отображал многомерность нашего мира и скрытые пространственно-подобные измерения с незапамятных времен. Но вопрос, как проникнуть в высшие измерения пространства нашей Вселенной, пока остается из породы вечных. Ответы на него, конечно же, существуют, просто не совсем понятно, как ими воспользоваться.
Наиболее часто, для перехода в высшие измерения рекомендуется свое внутреннее пространство представить как внешнее, а внешнее пространство многомерной реальности как внутреннее. С точки зрения топологии многомерных пространств, это действительно прекрасный способ вообразить четвертое пространственное измерение, находясь в третьем.
Еще в апокрифическом Евангелие от Фомы именно в таких словах описан путь человека в царство божье. “Когда вы сделаете двоих одним, и когда вы сделаете внутреннюю сторону как внешнюю сторону, и внешнюю сторону как внутреннюю сторону, и верхнюю сторону как нижнюю сторону, /.../ когда вы сделаете глаза вместо глаза и руку вместо руки, и ногу вместо ноги, образ вместо образа - тогда вы войдете в [царствие]. Обычно эти слова трактуют в переносном смысле: человек должен полностью измениться, понять себя, осознать сложную природу своего внутреннего мира, изменить ее в лучшую сторону и т.д. Но, возможно, эти слова можно понять и в их прямом смысле, как еще одно описание перехода в высшие измерения. Ну а “царствие небесное” – это классическое представление иных реальностей в мифологии многих народов.
Наша психика обладает дополнительными измерениями, как некая не сводимая к обыденной реальность высшего (в пространственно-временном смысле) порядка.
А может быть и иначе, только благодаря наличию в нашей Вселенной дополнительных измерений, появилась сама возможность психического отображения, возникла психика и развился разум.

пространство, имеющее число измерений (размерность) более трёх. Реальное пространство трёхмерно. Через каждую его точку можно провести три взаимно перпендикулярные прямые, но уже нельзя провести четыре. Если принять указанные три прямые за оси координат, то положение каждой точки пространства определится заданием трёх действительных чисел - её прямоугольных координат. Обобщая это положение, я-мерным евклидовым пространством называют совокупность всевозможных систем из п чисел - "точек" этого пространства.

• - ...

  Физическая энциклопедия

• - веществ. линейное пространство, снабжённое не положительно определённым скалярным произведением. Для П. п. размерности n и индекса p аксиома положит...

  Физическая энциклопедия

• - топологическое пространство с умножением, обладающим двусторонней гомотопич. единицей. Подробнее, пунктированное топологич...

  Математическая энциклопедия

• - Канторовича пространство,- порядково полное векторное пространство, т. е. векторное полуупорядоченное пространство, в к-ром всякое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань...

  Математическая энциклопедия

• - распределение вероятностей на -алгебре борелевских множеств s-мерного евклидова пространства...

  Математическая энциклопедия

• - логически мыслимая форма, служащая средой, в к-рой осуществляются другие формы и те или иные конструкции...

  Математическая энциклопедия

• - пространство между паутинной и мягкой моз говыми оболочками головного и спинного мозга, в котором находится спинномозговая жидкость и проходят крупные кровеносные сосуды...

  Медицинские термины

• - Под М. ш. в большинстве случаев понимается семейство моделей и связанных с ними методов для представления данных о сходствах или различиях стимульных объектов либо др. элементов на основе заданной...

  Психологическая энциклопедия

• - вид шкалирования, которое в большинстве случаев основано на неметрических методах оценки сходства и различия между сигналами. Ш. м. занимает особое место среди методов шкалирования...

  Большая психологическая энциклопедия

• - пространство, имеющее число измерений более трёх. Реальное пространство имеет 3 измерения, поверхность - 2, линия 1. Обычная "пространственная интуиция", человека ограничена тремя измерениями...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - технология представления данных в одном массиве для оперативной динамичной аналитической обработки.По-английски: Multidimensional viewСм. также: Структуры баз данных  ...

  Финансовый словарь

• - пространство, имеющее число измерений более трёх. Обычное евклидово пространство, изучаемое в элементарной геометрии, трёхмерно; плоскости - двумерны, прямые - одномерны...

  Большая Советская энциклопедия

• - МНОГОМЕРНОЕ пространство - пространство, имеющее число измерений более трех. Реальное пространство трехмерно...

  Большой энциклопедический словарь

• - Устар. В неопределённом направлении; бесцельно, не обращаясь ни к кому. Лежит на подушке и смотрит куда-то, в какое-то пространство неведомое. Кузнец Ермил сидел на пороге, праздно смотрел в пространство...

  Фразеологический словарь русского литературного языка

• - нареч, кол-во синонимов: 2 без определенного направления в пустоту...

  Словарь синонимов

• - сущ., кол-во синонимов: 1 пространство...

  Словарь синонимов

"МНОГОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО" в книгах

Пространство - друг, пространство - враг