Rotācijas kustības dinamikas pamatlikuma atvasināšana. Cieta ķermeņa rotācijas kustības dinamikas pamatlikuma pārbaude Cieta ķermeņa rotācijas kustības pamatlikums

Spēka moments attiecībā pret fiksētu punktuO ir vektora fiziskais lielums, ko nosaka rādiusa vektora reizinājums vilkts no punktaO tieši tāA spēka pielietošana, spēks (1.4.1. att.):

(1.4.1)

Šeit – pseidovektors, tā virziens sakrīt ar labā propellera kustības virzienu, kad tas griežas no plkst. Uz .

Spēka momenta modulis

Kur
– leņķis starp Un ,
– īsākais attālums starp spēka darbības līniju un punktu PAR–plecu spēks.

Spēka moments ap fiksētu asi z
, vienāds ar vektora projekciju uz šo asi spēka moments, kas noteikts attiecībā pret patvaļīgu punktuO dotā assz (1.4.1. att.).

Darbs, kas tiek veikts, kad ķermenis griežas, ir vienāds ar darbības spēka momenta un griešanās leņķa reizinājumu:

.

No otras puses, šis darbs virzās uz tā kinētiskās enerģijas palielināšanu:

, Bet

, Tāpēc

, vai
.

Ņemot vērā, ka
, saņemam

. (1.4.2)

Sapratu stingra ķermeņa rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojums attiecībā pret fiksētu asi: ārējo spēku moments, kas iedarbojas uz ķermeni, ir vienāds ar ķermeņa inerces momenta un leņķiskā paātrinājuma reizinājumu.

Var parādīt, ka, ja rotācijas ass sakrīt ar galveno inerces asi, kas iet caur masas centru, tad vektoru vienādība ir spēkā:

,

Kur es– ķermeņa galvenais inerces moments (inerces moments attiecībā pret galveno asi).

1.5. Leņķiskais impulss un tā saglabāšanās likums

impulsa moments materiālais punktsA attiecībā pret fiksētu punktu PAR ir vektora fiziskais lielums, ko nosaka vektora reizinājums:

(1.5.1)

Kur – rādiusa vektors, kas novilkts no punkta PAR tieši tā A;
– materiāla punkta impulss (1.5.1. att.).
– pseidovektors, tā virziens sakrīt ar labā propellera translācijas kustības virzienu, kad tas griežas no Uz .

,

Kur
– leņķis starp vektoriem Un ,– vektora roka attiecībā pret punktu PAR.

Impulsa impulss attiecībā pret fiksētu asi z sauc par skalāro lielumu
, vienāds ar leņķiskā momenta vektora projekciju uz šo asi, kas noteikta attiecībā pret patvaļīgu punktuPAR šī ass. Impulsa vērtība
nav atkarīgs no punkta stāvokļa PAR uz ass z.

Kad absolūti stingrs ķermenis griežas ap fiksētu asi z katrs atsevišķais ķermeņa punkts kustas pa nemainīga rādiusa apli kaut kādā ātrumā . Ātrums un impulsu
perpendikulāri šim rādiusam, t.i. rādiuss ir vektora plecs
. Tāpēc mēs varam rakstīt, ka atsevišķas daļiņas leņķiskais impulss

un ir vērsta pa asi virzienā, ko nosaka labās skrūves noteikums.

Stingra ķermeņa impulss attiecībā pret asi ir atsevišķu daļiņu leņķiskā impulsa summa:

.

Izmantojot formulu
, saņemam

, t.i.
. (1.5.2)

Tādējādi stingra ķermeņa leņķiskais impulss attiecībā pret asi ir vienāds ar ķermeņa inerces momenta attiecībā pret to pašu asi un leņķiskā ātruma reizinājumu.

Atšķirsim vienādojumu (1.5.2) attiecībā pret laiku:

, t.i.
. (1.5.3)

Šī izteiksme ir cita forma cieta ķermeņa rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojums (likums). attiecībā pret fiksētu asi: mehāniskās sistēmas (cieta ķermeņa) impulsa momenta laika atvasinājums attiecībā pret asi ir vienāds ar visu ārējo spēku galveno momentu, kas iedarbojas uz šo sistēmu attiecībā pret to pašu asi.

Var parādīt, ka pastāv vektoru vienādība
.

Slēgtā sistēmā ārējo spēku moments
Un
, kur

. (1.5.4)

Izteiksme (1.5.4) ir leņķiskā impulsa saglabāšanas likums : Slēgtā cikla sistēmas leņķiskais impulss ir saglabāts.

Salīdzināsim pamatlielumus un vienādojumus, kas nosaka ķermeņa griešanos ap fiksētu asi un tā translācijas kustību (1.5.1. tabula).

1.5.1. tabula

Pamatjēdzieni.

Spēka mirklis attiecībā pret rotācijas asi - tas ir rādiusa vektora un spēka vektora reizinājums.

Spēka moments ir vektors , kura virzienu nosaka karkasa (labās skrūves) noteikums atkarībā no spēka virziena, kas iedarbojas uz ķermeni. Spēka moments ir vērsts pa griešanās asi un tam nav noteikta pielietojuma punkta.

Šī vektora skaitlisko vērtību nosaka pēc formulas:

M=r×F× sina(1.15),

kur - leņķis starp rādiusa vektoru un spēka virzienu.

Ja a=0 vai lpp, spēka moments M=0, t.i. spēks, kas iet cauri rotācijas asi vai sakrīt ar to, neizraisa rotāciju.

Lielākais moduļa griezes moments rodas, ja spēks darbojas leņķī a=p/2 (M > 0) vai a=3p/2 (M< 0).

Izmantojot sviras jēdzienu d- tas ir perpendikuls, kas nolaists no rotācijas centra uz spēka darbības līniju), spēka momenta formula ir šāda:

Kur (1.16)

Spēku momentu likums(līdzsvara nosacījums ķermenim ar fiksētu rotācijas asi):

Lai ķermenis ar fiksētu rotācijas asi atrastos līdzsvarā, ir nepieciešams, lai uz šo ķermeni iedarbojošo spēku momentu algebriskā summa būtu vienāda ar nulli.

S M i =0(1.17)

Spēka momenta SI mērvienība ir [N × m]

Rotācijas kustības laikā ķermeņa inerce ir atkarīga ne tikai no tā masas, bet arī no tā sadalījuma telpā attiecībā pret rotācijas asi.

Inerci rotācijas laikā raksturo ķermeņa inerces moments attiecībā pret rotācijas asi Dž.

Inerces moments materiālais punkts attiecībā pret griešanās asi ir vērtība, kas vienāda ar punkta masas reizinājumu ar tā attāluma kvadrātu no rotācijas ass:

J i = m i × r i 2(1.18)

Ķermeņa inerces moments attiecībā pret asi ir to materiālo punktu inerces momentu summa, kas veido ķermeni:

J = S m i × r i 2(1.19)

Ķermeņa inerces moments ir atkarīgs no tā masas un formas, kā arī no rotācijas ass izvēles. Lai noteiktu ķermeņa inerces momentu attiecībā pret noteiktu asi, tiek izmantota Šteinera-Haigensa teorēma:

J = J 0 + m × d 2(1.20),

Kur J 0– inerces moments ap paralēlu asi, kas iet caur ķermeņa masas centru, d– attālums starp divām paralēlām asīm . Inerces momentu SI mēra [kg × m 2 ]

Inerces momentu cilvēka ķermeņa rotācijas kustības laikā nosaka eksperimentāli un aptuveni aprēķina, izmantojot cilindra, apaļā stieņa vai lodītes formulas.

Cilvēka inerces moments attiecībā pret vertikālo rotācijas asi, kas iet caur masas centru (cilvēka ķermeņa masas centrs atrodas sagitālajā plaknē nedaudz priekšā otrajam sakrālajam skriemelim), atkarībā no personas pozīcija, ir šādas vērtības: stāvot uzmanībā - 1,2 kg × m 2; ar "arabeskas" pozu - 8 kg × m 2; horizontālā stāvoklī – 17 kg × m 2.

Darbs rotācijas kustībā rodas, kad ķermenis griežas ārējo spēku ietekmē.

Spēka elementārais darbs rotācijas kustībā ir vienāds ar spēka momenta un ķermeņa elementārā griešanās leņķa reizinājumu:

dA i =M i × dj(1.21)

Ja uz ķermeni iedarbojas vairāki spēki, tad visu pielietoto spēku rezultanta elementāro darbu nosaka pēc formulas:

dA=M×dj(1.22),

Kur M– visu uz ķermeni iedarbojošo ārējo spēku kopējais moments.

Rotējoša ķermeņa kinētiskā enerģijaW līdz ir atkarīgs no ķermeņa inerces momenta un tā griešanās leņķiskā ātruma:

Impulsa leņķis (leņķiskais impulss) - lielums, kas skaitliski vienāds ar ķermeņa impulsa un griešanās rādiusa reizinājumu.

L=p× r=m× V× r(1.24).

Pēc atbilstošām transformācijām leņķiskā momenta noteikšanas formulu varat uzrakstīt formā:

(1.25).

Leņķiskais impulss ir vektors, kura virzienu nosaka labās puses skrūves noteikums. Leņķiskā impulsa SI mērvienība ir [kg × m 2 /s]

Rotācijas kustības dinamikas pamatlikumi.

Rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojums:

Rotācijas kustībā esoša ķermeņa leņķiskais paātrinājums ir tieši proporcionāls visu ārējo spēku kopējam momentam un apgriezti proporcionāls ķermeņa inerces momentam.

(1.26).

Šim vienādojumam ir tāda pati loma, aprakstot rotācijas kustību, kā Ņūtona otrajam likumam translācijas kustībai. No vienādojuma ir skaidrs, ka ārējo spēku iedarbībā, jo lielāks ir leņķiskais paātrinājums, jo mazāks ir ķermeņa inerces moments.

Otro Ņūtona likumu rotācijas kustības dinamikai var uzrakstīt citā formā:

(1.27),

tie. pirmais ķermeņa leņķiskā impulsa atvasinājums attiecībā pret laiku ir vienāds ar kopējo momentu visiem ārējiem spēkiem, kas iedarbojas uz doto ķermeni.

Ķermeņa leņķiskā impulsa saglabāšanas likums:

Ja visu uz ķermeni iedarbojošo ārējo spēku kopējais moments ir vienāds ar nulli, t.i.

S M i =0, Tad dL/dt=0 (1.28).

Tas nozīmē vai nu (1.29).

Šis apgalvojums veido ķermeņa leņķiskā impulsa saglabāšanas likuma būtību, kas formulēts šādi:

Ķermeņa leņķiskais impulss paliek nemainīgs, ja ārējo spēku kopējais moments, kas iedarbojas uz rotējošu ķermeni, ir nulle.

Šis likums ir spēkā ne tikai absolūti stingram ķermenim. Piemērs ir daiļslidotājs, kurš veic rotāciju ap vertikālo asi. Nospiežot rokas, slidotājs samazina inerces momentu un palielina leņķisko ātrumu. Lai palēninātu rotāciju, viņš, gluži pretēji, plaši izpleš rokas; Tā rezultātā palielinās inerces moments un samazinās griešanās leņķiskais ātrums.

Noslēgumā mēs sniedzam salīdzinošu tabulu ar galvenajiem daudzumiem un likumiem, kas raksturo translācijas un rotācijas kustību dinamiku.

1.4. tabula.

Kustība uz priekšu	Rotācijas kustība
Fiziskais daudzums	Formula	Fiziskais daudzums	Formula
Svars	m	Inerces moments	J = m × r 2
Spēks	F	Spēka mirklis	M=F×r, ja
Ķermeņa impulss (kustību apjoms)	p=m×V	Ķermeņa impulss	L = m × V × r; L=J×w
Kinētiskā enerģija		Kinētiskā enerģija
Mehāniskais darbs	dA=FdS	Mehāniskais darbs	dA=Mdj
Translācijas kustības dinamikas pamatvienādojums		Rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojums	,
Ķermeņa impulsa saglabāšanas likums	vai Ja	Ķermeņa leņķiskā impulsa saglabāšanas likums	vai SJ i w i =konst., Ja

Centrifugēšana.

Neviendabīgu sistēmu, kas sastāv no dažāda blīvuma daļiņām, atdalīšanu var veikt gravitācijas un Arhimēda spēka (peldošā spēka) ietekmē. Ja ir dažāda blīvuma daļiņu ūdens suspensija, tad uz tām iedarbojas neto spēks

F r =F t – F A =r 1 ×V × g - r × V × g, t.i.

F r =(r 1 - r) × V ×g(1.30)

kur V ir daļiņas tilpums, r 1 Un r– attiecīgi daļiņas vielas un ūdens blīvums. Ja blīvumi nedaudz atšķiras viens no otra, tad iegūtais spēks ir mazs un atdalīšanās (nogulsnēšanās) notiek diezgan lēni. Tāpēc atdalītās vides rotācijas dēļ tiek izmantota daļiņu piespiedu atdalīšana.

Centrifugēšana ir heterogēnu sistēmu, maisījumu vai suspensiju, kas sastāv no dažādas masas daļiņām, atdalīšanas (atdalīšanas) process, kas notiek centrbēdzes inerces spēka ietekmē.

Centrifūgas pamatā ir rotors ar ligzdām mēģenēm, kas atrodas slēgtā korpusā, kuru darbina elektromotors. Kad centrifūgas rotors griežas ar pietiekami lielu ātrumu, dažādas masas suspendētās daļiņas centrbēdzes inerces spēka ietekmē tiek sadalītas slāņos dažādos dziļumos, un smagākās tiek nogulsnētas mēģenes apakšā.

Var parādīt, ka spēku, kura ietekmē notiek atdalīšana, nosaka pēc formulas:

(1.31)

Kur w- centrifūgas griešanās leņķiskais ātrums, r- attālums no rotācijas ass. Jo lielāka ir atdalīto daļiņu un šķidruma blīvuma atšķirība, jo lielāka ir centrifugēšanas ietekme, kā arī būtiski atkarīga no griešanās leņķiskā ātruma.

Ultracentrifūgas, kas darbojas ar rotora ātrumu aptuveni 105–106 apgriezieni minūtē, spēj atdalīt šķidrumā suspendētas vai izšķīdinātas daļiņas, kuru izmērs ir mazāks par 100 nm. Tie ir atraduši plašu pielietojumu biomedicīnas pētījumos.

Ultracentrifugēšanu var izmantot, lai atdalītu šūnas organellās un makromolekulās. Pirmkārt, lielākas daļas (kodoli, citoskelets) nosēžas (nogulsnes). Turpinot palielināt centrifugēšanas ātrumu, secīgi nogulsnējas mazākas daļiņas - vispirms mitohondriji, lizosomas, tad mikrosomas un, visbeidzot, ribosomas un lielas makromolekulas. Centrifugēšanas laikā dažādas frakcijas nogulsnējas dažādos ātrumos, mēģenē veidojot atsevišķas joslas, kuras var izolēt un pārbaudīt. Frakcionētus šūnu ekstraktus (bezšūnu sistēmas) plaši izmanto intracelulāro procesu pētīšanai, piemēram, proteīnu biosintēzes pētīšanai un ģenētiskā koda atšifrēšanai.

Lai sterilizētu rokas instrumentus zobārstniecībā, liekās eļļas noņemšanai izmanto eļļas sterilizatoru ar centrifūgu.

Centrifugēšanu var izmantot, lai nogulsnētu urīnā suspendētās daļiņas; izveidoto elementu atdalīšana no asins plazmas; biopolimēru, vīrusu un subcelulāro struktūru atdalīšana; kontrolēt zāļu tīrību.

Uzdevumi zināšanu paškontrolei.

1. vingrinājums . Jautājumi paškontrolei.

Kāda ir atšķirība starp vienmērīgu apļveida kustību un vienmērīgu lineāro kustību? Kādos apstākļos ķermenis pārvietosies vienmērīgi pa apli?

Izskaidrojiet iemeslu, kāpēc vienmērīga kustība aplī notiek ar paātrinājumu.

Vai izliekta kustība var notikt bez paātrinājuma?

Kādos apstākļos spēka moments ir vienāds ar nulli? ņem vislielāko vērtību?

Norāda impulsa un leņķiskā impulsa saglabāšanās likuma piemērojamības robežas.

Norādiet atdalīšanas pazīmes gravitācijas ietekmē.

Kāpēc olbaltumvielu ar dažādu molekulmasu atdalīšanu var veikt, izmantojot centrifugēšanu, bet frakcionētās destilācijas metode ir nepieņemama?

2. uzdevums . Pārbaudes paškontrolei.

Aizpildiet trūkstošo vārdu:

Leņķiskā ātruma zīmes maiņa norāda uz_ _ _ _ _ rotācijas kustības izmaiņām.

Leņķiskā paātrinājuma zīmes izmaiņas norāda_ _ _ rotācijas kustības izmaiņas

Leņķiskais ātrums ir vienāds ar rādiusa vektora griešanās leņķa atvasinājumu attiecībā pret laiku.

Leņķiskais paātrinājums ir vienāds ar rādiusa vektora griešanās leņķa atvasinājumu attiecībā pret laiku.

Spēka moments ir vienāds ar_ _ _ _ _ ja spēka virziens, kas iedarbojas uz ķermeni, sakrīt ar griešanās asi.

Atrodi pareizo atbildi:

Spēka moments ir atkarīgs tikai no spēka pielikšanas punkta.

Ķermeņa inerces moments ir atkarīgs tikai no ķermeņa masas.

Vienota apļveida kustība notiek bez paātrinājuma.

A. Pareizi. B. Nepareizi.

Visi iepriekš minētie daudzumi ir skalāri, izņemot

A. spēka moments;

B. mehāniskais darbs;

C. potenciālā enerģija;

D. inerces moments.

Vektoru daudzumi ir

A. leņķiskais ātrums;

B. leņķiskais paātrinājums;

C. spēka moments;

D. leņķiskais impulss.

Atbildes: 1 – virzieni; 2 – raksturs; 3 – pirmais; 4 – otrais; 5 – nulle; 6 – B; 7 – B; 8 – B; 9 – A; 10 – A, B, C, D.

3. uzdevums. Iegūstiet attiecību starp mērvienībām :

lineārais ātrums cm/min un m/s;

leņķiskais paātrinājums rad/min 2 un rad/s 2 ;

spēka moments kN×cm un N×m;

ķermeņa impulss g×cm/s un kg×m/s;

inerces moments g × cm 2 un kg × m 2.

4. uzdevums. Medicīniskā un bioloģiskā satura uzdevumi.

Uzdevums Nr.1. Kāpēc lēciena lidojuma fāzē sportists nevar izmantot nekādas kustības, lai mainītu ķermeņa smaguma centra trajektoriju? Vai sportista muskuļi strādā, mainoties ķermeņa daļu novietojumam telpā?

Atbilde: Pārvietojoties brīvā lidojumā pa parabolu, sportists var mainīt tikai ķermeņa un tā atsevišķu daļu atrašanās vietu attiecībā pret tā smaguma centru, kas šajā gadījumā ir rotācijas centrs. Sportists veic darbu, lai mainītu ķermeņa rotācijas kinētisko enerģiju.

Uzdevums Nr.2. Kādu vidējo spēku cilvēks attīsta ejot, ja soļa ilgums ir 0,5 s? Apsveriet, ka darbs tiek tērēts apakšējo ekstremitāšu paātrināšanai un palēnināšanai. Kāju leņķiskā kustība ir aptuveni Dj=30 o. Apakšējās ekstremitātes inerces moments ir 1,7 kg × m 2. Kāju kustība jāuzskata par vienmērīgi mainīgu rotāciju.

Risinājums:

1) Pierakstīsim īsu problēmas stāvokli: Dt= 0,5 s; DJ=30 0 =p/ 6; es= 1,7 kg × m 2

2) Definējiet darbu vienā solī (labā un kreisā kāja): A= 2×Iw 2 / 2=Iw 2 .

Izmantojot vidējā leņķiskā ātruma formulu w av = Dj/Dt, mēs iegūstam: w= 2w av = 2×Dj/Dt; N=A/Dt= 4×I × (Dj) 2 / (Dt) 3

3) Aizstājiet skaitliskās vērtības: N=4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36) = 14,9 (W)

Atbilde: 14,9 W.

Uzdevums Nr.3. Kāda ir roku kustības nozīme ejot?

Atbilde: Kāju kustība, pārvietojoties divās paralēlās plaknēs, kas atrodas zināmā attālumā viena no otras, rada spēka momentu, kas tiecas pagriezt cilvēka ķermeni ap vertikālu asi. Cilvēks šūpo rokas “pret” kāju kustībām, tādējādi radot pretējās zīmes spēka momentu.

Uzdevums Nr.4. Viena no zobārstniecībā izmantoto urbju uzlabošanas jomām ir urbja rotācijas ātruma palielināšana. Bora uzgaļa griešanās ātrums pēdu urbjos ir 1500 apgr./min, stacionārajos elektriskajos urbjos - 4000 apgr./min, turbīnas urbjos - jau sasniedz 300 000 apgr./min. Kāpēc tiek izstrādātas jaunas modifikācijas urbjiem ar lielu apgriezienu skaitu laika vienībā?

Atbilde: Dentīns ir vairākus tūkstošus reižu jutīgāks pret sāpēm nekā āda: uz 1 mm ādas ir 1-2 sāpju punkti un uz 1 mm priekšzobu dentīna ir līdz 30 000 sāpju punktu. Apgriezienu skaita palielināšana, pēc fiziologu domām, samazina sāpes, ārstējot kariesa dobumu.

Z 5. uzdevums . Aizpildiet tabulas:

Tabula Nr.1. Uzzīmējiet analoģiju starp rotācijas kustības lineārajām un leņķiskajām īpašībām un norādiet saistību starp tām.

Tabula Nr.2.

6. uzdevums. Aizpildiet indikatīvo darbību karti:

2. nodaļa. Biomehānikas pamati.

Jautājumi.

Sviras un locītavas cilvēka muskuļu un skeleta sistēmā. Brīvības pakāpju jēdziens.

Muskuļu kontrakcijas veidi. Pamata fiziskie lielumi, kas raksturo muskuļu kontrakcijas.

Cilvēka motorikas regulēšanas principi.

Biomehānisko raksturlielumu mērīšanas metodes un instrumenti.

2.1. Sviras un locītavas cilvēka muskuļu un skeleta sistēmā.

Cilvēka muskuļu un skeleta sistēmas anatomijai un fizioloģijai ir šādas pazīmes, kas jāņem vērā biomehāniskajos aprēķinos: ķermeņa kustības nosaka ne tikai muskuļu spēki, bet arī ārējie reakcijas spēki, gravitācijas, inerces spēki, kā arī elastības spēki. un berze; lokomotorās sistēmas struktūra pieļauj tikai rotācijas kustības. Izmantojot kinemātisko ķēžu analīzi, translācijas kustības var reducēt līdz rotācijas kustībām locītavās; kustības tiek kontrolētas ar ļoti sarežģītu kibernētisku mehānismu, tādējādi notiek pastāvīga paātrinājuma maiņa.

Cilvēka muskuļu un skeleta sistēma sastāv no skeleta kauliem, kas ir savstarpēji savienoti un kuriem noteiktos punktos ir piestiprināti muskuļi. Skeleta kauli darbojas kā sviras, kurām locītavās ir atbalsta punkts, un tos virza muskuļu kontrakcijas radītais vilces spēks. Atšķirt trīs veidu sviras:

1) Svira, uz kuru darbojas spēks F un pretestības spēks R pielietots atbalsta punkta pretējās pusēs. Šādas sviras piemērs ir galvaskauss, kas aplūkots sagitālajā plaknē.

2) Svira, kurai ir aktīvs spēks F un pretestības spēks R pielietots vienā atbalsta punkta pusē, un spēks F pieliek sviras galam, un spēku R- tuvāk atbalsta punktam. Šī svira dod spēka pieaugumu un distances zudumu, t.i. ir spēka svira. Kā piemēru var minēt pēdas velves darbību, paceļot uz puspirkstiem, sejas-žokļu reģiona svirām (2.1. att.). Košļājamā aparāta kustības ir ļoti sarežģītas. Aizverot muti, apakšējā žokļa pacelšana no maksimālās nolaišanas stāvokļa līdz pilnīgai zobu aizvēršanai ar augšējā žokļa zobiem tiek veikta, pārvietojot muskuļus, kas paceļ apakšējo žokli. Šie muskuļi iedarbojas uz apakšžokli kā otrā veida svira ar balsta punktu locītavā (palielinot košļājamo spēku).

3) Svira, kurā darbības spēks tiek pielikts tuvāk atbalsta punktam nekā pretestības spēks. Šī svira ir ātruma svira, jo dod spēku zudumu, bet kustību pieaugumu. Piemērs ir apakšdelma kauli.

Rīsi. 2.1. Sejas-žokļu reģiona un pēdas velves sviras.

Lielāko daļu skeleta kaulu iedarbojas vairāki muskuļi, attīstot spēkus dažādos virzienos. To rezultāts tiek atrasts ar ģeometrisku saskaitīšanu saskaņā ar paralelograma likumu.

Skeleta-muskuļu sistēmas kauli ir savienoti viens ar otru locītavās vai locītavās. Kaulu galus, kas veido locītavu, satur kopā locītavas kapsula, kas tos cieši aptver, kā arī kauliem piestiprinātās saites. Lai samazinātu berzi, kaulu saskares virsmas ir pārklātas ar gludiem skrimšļiem un starp tām ir plāns lipīga šķidruma slānis.

Motoru procesu biomehāniskās analīzes pirmais posms ir to kinemātikas noteikšana. Balstoties uz šādu analīzi, tiek konstruētas abstraktas kinemātiskās ķēdes, kuru mobilitāti vai stabilitāti var pārbaudīt, pamatojoties uz ģeometriskiem apsvērumiem. Ir slēgtas un atvērtas kinemātiskās ķēdes, ko veido savienojumi un stingras saites, kas atrodas starp tām.

Brīvā materiāla punkta stāvokli trīsdimensiju telpā nosaka trīs neatkarīgas koordinātas - x, y, z. Tiek saukti neatkarīgi mainīgie, kas raksturo mehāniskās sistēmas stāvokli brīvības pakāpes. Sarežģītākām sistēmām brīvības pakāpju skaits var būt lielāks. Kopumā brīvības pakāpju skaits nosaka ne tikai neatkarīgo mainīgo skaitu (kas raksturo mehāniskās sistēmas stāvokli), bet arī sistēmas neatkarīgo kustību skaitu.

Pakāpju skaits brīvība ir locītavas galvenā mehāniskā īpašība, t.i. definē asu skaits, ap kuru iespējama locītavu kaulu savstarpēja rotācija. To galvenokārt izraisa locītavu saskarē esošo kaulu virsmas ģeometriskā forma.

Maksimālais brīvības pakāpju skaits locītavās ir 3.

Vienaksiālo (plakano) locītavu piemēri cilvēka ķermenī ir augšdelma, augšstilba un falangas locītavas. Tie pieļauj tikai saliekšanu un pagarināšanu ar vienu brīvības pakāpi. Tādējādi elkoņa kauls ar pusapaļa iecirtuma palīdzību nosedz cilindrisku izvirzījumu uz pleca kaula, kas kalpo kā locītavas ass. Kustības locītavā ir locīšana un pagarināšana plaknē, kas ir perpendikulāra locītavas asij.

Plaukstas locītavu, kurā notiek saliekšana un pagarināšana, kā arī addukcija un nolaupīšana, var klasificēt kā locītavas ar divām brīvības pakāpēm.

Locītavas ar trīs brīvības pakāpēm (telpiskā artikulācija) ietver gūžas un lāpstiņas locītavu. Piemēram, lāpstiņas pleca locītavā lodveida pleca kaula galva iekļaujas lāpstiņas izvirzījuma sfēriskajā dobumā. Kustības locītavā ir locīšana un pagarināšana (sagitālajā plaknē), addukcija un nolaupīšana (frontālajā plaknē) un ekstremitātes rotācija ap garenisko asi.

Slēgtām plakanām kinemātiskām ķēdēm ir vairākas brīvības pakāpes f F, ko aprēķina pēc saišu skaita nšādā veidā:

Situācija kinemātiskajām ķēdēm telpā ir sarežģītāka. Šeit attiecības pastāv

(2.2)

Kur f i - brīvības pakāpju ierobežojumu skaits es- th saite.

Jebkurā korpusā jūs varat izvēlēties asis, kuru virziens rotācijas laikā tiks saglabāts bez īpašām ierīcēm. Viņiem ir vārds brīvas rotācijas asis

Šajā nodaļā stingrs ķermenis tiek uzskatīts par materiālu punktu kopumu, kas nepārvietojas viens pret otru. Šādu ķermeni, kuru nevar deformēt, sauc par absolūti cietu.

Ļaujiet patvaļīgas formas cietam ķermenim griezties spēka iedarbībā ap fiksētu asi 00 (30. att.). Tad visi tā punkti apraksta apļus ar centriem uz šīs ass. Ir skaidrs, ka visiem ķermeņa punktiem ir vienāds leņķiskais ātrums un vienāds leņķiskais paātrinājums (noteiktā laikā).

Sadalīsim iedarbīgo spēku trīs savstarpēji perpendikulārās sastāvdaļās: (paralēli asij), (perpendikulāri asij un atrodas uz taisnes, kas iet caur asi) un (perpendikulāra. Acīmredzot ķermeņa griešanos izraisa tikai komponente, kas ir pieskares apļa aprakstītajam spēka pielikšanas punktam Rotācijas sastāvdaļas nav cēlonis Sauksim to par rotējošu spēku Kā zināms no skolas fizikas kursa, spēka darbība ir atkarīga ne tikai no tā lielumu, bet arī no tā pielietojuma punkta A attāluma līdz griešanās asij, t.i., tas ir atkarīgs no spēka momenta Rotācijas spēka moments (griezes moments) Rotācijas spēka un rādiusa reizinājums Apļa, ko apraksta spēka pielikšanas punkts, sauc:

Garīgi sadalīsim visu ķermeni ļoti mazās daļiņās - elementārās masās. Lai gan spēks tiek pielikts vienam ķermeņa punktam A, tā rotējošais efekts tiek pārnests uz visām daļiņām: katrai elementārajai masai tiks pielikts elementārs rotējošais spēks (skat. 30. att.). Saskaņā ar otro Ņūtona likumu,

kur ir lineārais paātrinājums, kas piešķirts elementārajai masai. Reizinot abas šīs vienādības puses ar elementārās masas aprakstītā apļa rādiusu un ieviešot leņķisko paātrinājumu, nevis lineāro (sk. 7. §), iegūstam

Ņemot vērā, ka griezes moments pielietots elementārajai masai, un apzīmējot

kur ir elementāras masas (materiāla punkta) inerces moments. Līdz ar to materiāla punkta inerces moments attiecībā pret noteiktu rotācijas asi ir materiāla punkta masas reizinājums ar tā attāluma līdz šai asij kvadrātu.

Summējot griezes momentus, kas pielietoti visām elementārām masām, kas veido ķermeni, mēs iegūstam

kur ir ķermenim pieliktais griezes moments, t.i., griešanās spēka moments ir ķermeņa inerces moments. Līdz ar to ķermeņa inerces moments ir visu ķermeni veidojošo materiālo punktu inerces momentu summa.

Tagad mēs varam pārrakstīt formulu (3) formā

Formula (4) izsaka rotācijas dinamikas pamatlikumu (Ņūtona otrais rotācijas kustības likums):

ķermenim pieliktā griešanās spēka moments ir vienāds ar ķermeņa inerces momenta un leņķiskā paātrinājuma reizinājumu.

No formulas (4) ir skaidrs, ka leņķiskais paātrinājums, ko ķermenim piešķir griezes moments, ir atkarīgs no ķermeņa inerces momenta; Jo lielāks inerces moments, jo mazāks leņķiskais paātrinājums. Līdz ar to inerces moments raksturo ķermeņa inerces īpašības rotācijas kustības laikā, tāpat kā masa raksturo ķermeņa inerces īpašības translācijas kustības laikā. Taču atšķirībā no masas, dotā ķermeņa inerces momentam var būt daudz vērtību. saskaņā ar daudzām iespējamām rotācijas asīm. Tāpēc, runājot par stingra ķermeņa inerces momentu, ir jānorāda attiecībā pret kuru asi tas tiek aprēķināts. Praksē mums parasti ir jātiek galā ar inerces momentiem attiecībā pret ķermeņa simetrijas asīm.

No formulas (2) izriet, ka inerces momenta mērvienība ir kilograms-kvadrātmetrs

Ja ķermeņa griezes momentu un inerces momentu, tad formulu (4) var attēlot kā

Šajā rakstā ir aprakstīta svarīga fizikas sadaļa - "Rotācijas kustības kinemātika un dinamika".

Rotācijas kustības kinemātikas pamatjēdzieni

Materiāla punkta rotācijas kustību ap fiksētu asi sauc par tādu kustību, kuras trajektorija ir aplis, kas atrodas plaknē, kas ir perpendikulāra asij, un tā centrs atrodas uz rotācijas ass.

Stingra ķermeņa rotācijas kustība ir kustība, kurā visi ķermeņa punkti pārvietojas pa koncentriskiem (kuru centri atrodas uz vienas ass) apļiem saskaņā ar materiāla punkta rotācijas kustības noteikumu.

Ļaujiet patvaļīgam cietam ķermenim T griezties ap O asi, kas ir perpendikulāra zīmējuma plaknei. Izvēlēsimies uz šī korpusa punktu M. Pagriežot šo punktu, tiks aprakstīts aplis ar rādiusu ap O asi r.

Pēc kāda laika rādiuss pagriezīsies attiecībā pret sākotnējo stāvokli par leņķi Δφ.

Labās skrūves virziens (pulksteņrādītāja virzienā) tiek uzskatīts par pozitīvo griešanās virzienu. Rotācijas leņķa izmaiņas laika gaitā sauc par stingra ķermeņa rotācijas kustības vienādojumu:

φ = φ(t).

Ja φ mēra radiānos (1 rad ir leņķis, kas atbilst lokam, kura garums ir vienāds ar tā rādiusu), tad apļveida loka ΔS garums, kuru materiālais punkts M šķērsos laikā Δt, ir vienāds ar:

ΔS = Δφr.

Vienmērīgas rotācijas kustības kinemātikas pamatelementi

Materiāla punkta kustības mērs īsā laika periodā dt kalpo kā elementārs rotācijas vektors dφ.

Materiāla punkta vai ķermeņa leņķiskais ātrums ir fizisks lielums, ko nosaka elementārās rotācijas vektora attiecība pret šīs rotācijas ilgumu. Vektora virzienu var noteikt pēc labās skrūves noteikuma pa O asi. Skalārā formā:

ω = dφ/dt.

Ja ω = dφ/dt = const, tad šādu kustību sauc par vienmērīgu rotācijas kustību. Ar to leņķisko ātrumu nosaka pēc formulas

ω = φ/t.

Saskaņā ar sākotnējo formulu leņķiskā ātruma izmērs

[ω] = 1 rad/s.

Ķermeņa vienmērīgo rotācijas kustību var raksturot ar rotācijas periodu. Rotācijas periods T ir fizikāls lielums, kas nosaka laiku, kurā ķermenis veic vienu pilnu apgriezienu ap griešanās asi ([T] = 1 s). Ja leņķiskā ātruma formulā ņemam t = T, φ = 2 π (viens pilns rādiusa r apgrieziens), tad

ω = 2π/T,

Tāpēc mēs definējam rotācijas periodu šādi:

T = 2π/ω.

Apgriezienu skaitu, ko ķermenis veic laika vienībā, sauc par rotācijas frekvenci ν, kas ir vienāda ar:

ν = 1/T.

Frekvences vienības: [ν] = 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Salīdzinot leņķiskā ātruma un griešanās frekvences formulas, iegūstam izteiksmi, kas savieno šos lielumus:

ω = 2πν.

Nevienmērīgas rotācijas kustības kinemātikas pamatelementi

Stingra ķermeņa vai materiāla punkta nevienmērīgo rotācijas kustību ap fiksētu asi raksturo tā leņķiskais ātrums, kas laika gaitā mainās.

Vektors ε , kas raksturo leņķiskā ātruma izmaiņu ātrumu, sauc par leņķiskā paātrinājuma vektoru:

ε = dω/dt.

Ja ķermenis griežas, paātrinot, tas ir dω/dt > 0, vektoram ir virziens pa asi tādā pašā virzienā kā ω.

Ja rotācijas kustība ir lēna - dω/dt< 0 , tad vektori ε un ω ir vērsti pretēji.

komentēt. Ja notiek nevienmērīga rotācijas kustība, vektors ω var mainīties ne tikai lielumā, bet arī virzienā (kad tiek pagriezta rotācijas ass).

Translācijas un rotācijas kustību raksturojošo lielumu saistība

Ir zināms, ka loka garums ar rādiusa griešanās leņķi un tā vērtību ir saistīts ar attiecību

ΔS = Δφ r.

Tad materiāla punkta lineārais ātrums, kas veic rotācijas kustību

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Materiāla punkta normāls paātrinājums, kas veic rotācijas translācijas kustību, ir definēts šādi:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Tātad skalārā formā

a = ω 2 r.

Tangenciāli paātrināts materiāla punkts, kas veic rotācijas kustību

a = ε r.

Materiālā punkta impulss

Materiāla m i masas punkta trajektorijas rādiusa vektora un tā impulsa vektorreizinājumu sauc par šī punkta leņķisko impulsu ap rotācijas asi. Vektora virzienu var noteikt, izmantojot labās skrūves likumu.

Materiāla punkta impulss ( L i) ir vērsta perpendikulāri plaknei, kas novilkta caur r i un υ i, un ar tiem veido vektoru labās puses trīskāršu (tas ir, virzoties no vektora gala r i Uz υ i labā skrūve parādīs vektora virzienu L i).

Skalārā formā

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Ņemot vērā, ka, pārvietojoties pa apli, rādiusa vektors un lineārā ātruma vektors i-tajam materiāla punktam ir savstarpēji perpendikulāri,

sin(υ i , r i) = 1.

Tātad materiāla punkta leņķiskais impulss rotācijas kustībai iegūs formu

L = m i υ i r i .

Spēka moments, kas iedarbojas uz i-to materiālo punktu

Rādiusa vektora vektorreizinājums, kas novilkts uz spēka pielikšanas punktu, un šo spēku sauc par spēka momentu, kas iedarbojas uz i-to materiāla punktu attiecībā pret griešanās asi.

Skalārā formā

M i = r i F i sin(r i , F i).

Ņemot vērā, ka r i sinα = l i ,M i = l i F i .

Lielums l i, kas vienāds ar perpendikula garumu, kas nolaists no griešanās punkta uz spēka darbības virzienu, sauc par spēka plecu F i.

Rotācijas kustības dinamika

Rotācijas kustības dinamikas vienādojums ir uzrakstīts šādi:

M = dl/dt.

Likuma formulējums ir šāds: ķermeņa, kas griežas ap fiksētu asi, leņķiskā impulsa izmaiņu ātrums ir vienāds ar visu ķermenim pielikto ārējo spēku radīto momentu attiecībā pret šo asi.

Impulsa moments un inerces moments

Ir zināms, ka i-tajam materiāla punktam leņķiskais impulss skalārā formā tiek dots pēc formulas

L i = m i υ i r i .

Ja lineārā ātruma vietā tā izteiksmi aizstājam ar leņķisko ātrumu:

υ i = ωr i ,

tad leņķiskā impulsa izteiksme pieņems formu

L i = m i r i 2 ω.

Lielums I i = m i r i 2 sauc par inerces momentu attiecībā pret absolūti stingra ķermeņa i-tā materiālā punkta asi, kas iet caur tā masas centru. Tad mēs rakstām materiālā punkta leņķisko impulsu:

L i = I i ω.

Mēs rakstām absolūti stingra ķermeņa leņķisko impulsu kā to materiālo punktu leņķiskā impulsa summu, kas veido šo ķermeni:

L = Iω.

Spēka moments un inerces moments

Rotācijas kustības likums nosaka:

M = dl/dt.

Ir zināms, ka ķermeņa leņķisko impulsu var attēlot ar inerces momentu:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Ņemot vērā, ka leņķisko paātrinājumu nosaka izteiksme

ε = dω/dt,

mēs iegūstam formulu spēka momentam, kas attēlots ar inerces momentu:

M = Iε.

komentēt. Spēka moments tiek uzskatīts par pozitīvu, ja leņķiskais paātrinājums, kas to izraisa, ir lielāks par nulli, un otrādi.

Šteinera teorēma. Inerces momentu saskaitīšanas likums

Ja ķermeņa rotācijas ass nešķērso tā masas centru, tad attiecībā pret šo asi var atrast tā inerces momentu, izmantojot Šteinera teorēmu:
I = I 0 + ma 2,

Kur es 0- ķermeņa sākotnējais inerces moments; m- ķermeņa masa; a- attālums starp asīm.

Ja sistēma, kas griežas ap fiksētu asi, sastāv no nķermeņus, tad šāda veida sistēmas kopējais inerces moments būs vienāds ar tās sastāvdaļu momentu summu (inerces momentu saskaitīšanas likums).

Spēka mirklis

Spēka rotācijas efektu nosaka tā moments. Spēka momentu jebkurā punktā sauc par vektora reizinājumu

Rādiusa vektors, kas novilkts no punkta līdz spēka pielikšanas punktam (2.12. att.). Spēka momenta mērvienība.

2.12. attēls

Spēka momenta lielums

vai arī varat rakstīt

kur ir spēka plecs (īsākais attālums no punkta līdz spēka darbības līnijai).

Vektora virzienu nosaka vektora reizinājuma noteikums vai “labās skrūves” noteikums (vektori un paralēlā translācija ir apvienoti punktā O, vektora virzienu nosaka tā, lai no tā gala būtu redzama rotācija no vektora k pretēji pulksteņrādītāja virzienam - 2.12. att. vektors ir vērsts perpendikulāri plaknes zīmējumam “no mums” (līdzīgi kā kardāna likumam - translācijas kustība atbilst vektora virzienam, rotācijas kustība atbilst rotācijai no līdz)).

Spēka moments jebkurā punktā ir vienāds ar nulli, ja spēka darbības līnija iet caur šo punktu.

Vektora projekciju uz jebkuru asi, piemēram, z asi, sauc par spēka momentu ap šo asi. Lai noteiktu spēka momentu ap asi, vispirms projicējiet spēku uz plakni, kas ir perpendikulāra asij (2.13. att.), un pēc tam atrodiet šīs projekcijas momentu attiecībā pret ass krustošanās punktu ar plakni, kas ir perpendikulāra asij. to. Ja spēka darbības līnija ir paralēla asij vai šķērso to, tad spēka moments ap šo asi ir vienāds ar nulli.

2.13.attēls

Impulss

Momentumulse materiālais punkts Masu, kas pārvietojas ar ātrumu attiecībā pret jebkuru atskaites punktu, sauc par vektorreizinājumu

Materiāla punkta rādiusa vektors (2.14. att.) ir tā impulss.

2.14. attēls

Materiāla punkta leņķiskā impulsa lielums

kur ir īsākais attālums no vektora līnijas līdz punktam.

Impulsa momenta virzienu nosaka līdzīgi kā spēka momenta virzienu.

Ja mēs reizinām izteiksmi L 0 un dalām ar l, mēs iegūstam:

Kur ir materiāla punkta inerces moments - masas analogs rotācijas kustībā.

Leņķiskais ātrums.

Stingra ķermeņa inerces moments

Redzams, ka iegūtās formulas ir ļoti līdzīgas attiecīgi impulsa un Ņūtona otrā likuma izteiksmēm, tikai lineārā ātruma un paātrinājuma vietā tiek izmantots leņķiskais ātrums un paātrinājums, bet masas vietā lielums. I=mR 2, zvanīja materiāla punkta inerces moments .

Ja ķermeni nevar uzskatīt par materiālu punktu, bet var uzskatīt par absolūti cietu, tad tā inerces momentu var uzskatīt par tā bezgalīgi mazo daļu inerces momentu summu, jo šo daļu rotācijas leņķiskie ātrumi ir vienādi. (2.16. att.). Bezgalīgi mazo lielumu summa ir integrālis:

Jebkuram ķermenim ir asis, kas iet caur tā inerces centru un kurām ir šāda īpašība: kad ķermenis griežas ap šādām asīm, ja nav ārējas ietekmes, rotācijas asis nemaina savu stāvokli. Tādas asis sauc brīvas ķermeņa asis . Var pierādīt, ka jebkuras formas ķermenim ar jebkuru blīvuma sadalījumu ir trīs savstarpēji perpendikulāras brīvas asis, t.s. galvenās inerces asis ķermeņi. Tiek saukti ķermeņa inerces momenti attiecībā pret galvenajām asīm galvenie (iekšējie) inerces momenti ķermeņi.

Dažu ķermeņu galvenie inerces momenti ir doti tabulā:

Huigensa-Šteinera teorēma.

Šo izteiksmi sauc Huigensa-Šteinera teorēma : ķermeņa inerces moments attiecībā pret patvaļīgu asi ir vienāds ar ķermeņa inerces momenta summu attiecībā pret asi, kas ir paralēla dotajai un iet caur ķermeņa masas centru, un ķermeņa masu ar attāluma starp asīm kvadrātā.

Rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojums

Rotācijas kustības dinamikas pamatlikumu var iegūt no Ņūtona otrā likuma stingra ķermeņa translācijas kustībai

Kur F- spēks, ko ķermenim pieliek pēc masas m; A– ķermeņa lineārais paātrinājums.

Ja līdz cietam masas ķermenim m punktā A (2.15. att.) pieliek spēku F, tad stingra savienojuma rezultātā starp visiem ķermeņa materiālajiem punktiem tie visi saņems leņķisko paātrinājumu ε un atbilstošus lineāros paātrinājumus, it kā uz katru punktu iedarbotos spēks F 1 ...F n. Par katru materiāla punktu mēs varam rakstīt:

Kur tāpēc

Kur m i- svars es- th punkti; ε – leņķiskais paātrinājums; r i– tā attālums līdz rotācijas asij.

Reizinot vienādojuma kreiso un labo pusi ar r i, saņemam

Kur - spēka moments ir spēka un tā pleca reizinājums.

Rīsi. 2.15. Stingrs ķermenis, kas rotē spēka ietekmē F par asi "OO"

- inerces moments i materiālais punkts (masas analogs rotācijas kustībā).

Izteicienu var uzrakstīt šādi:

Summēsim kreiso un labo daļu visos ķermeņa punktos:

Vienādojums ir stingra ķermeņa rotācijas kustības dinamikas pamatlikums. Lielums ir visu spēka momentu ģeometriskā summa, tas ir, spēka moments F, piešķirot paātrinājumu ε visiem ķermeņa punktiem. – visu ķermeņa punktu inerces momentu algebriskā summa. Likums ir formulēts šādi: "Spēka moments, kas iedarbojas uz rotējošu ķermeni, ir vienāds ar ķermeņa inerces momenta un leņķiskā paātrinājuma reizinājumu."

Citā pusē

Savukārt – ķermeņa leņķiskā impulsa maiņa.

Tad rotācijas kustības dinamikas pamatlikumu var pārrakstīt šādi:

Vai arī - spēka momenta impulss, kas iedarbojas uz rotējošu ķermeni, ir vienāds ar tā leņķiskā impulsa izmaiņām.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums

Līdzīgi kā ZSI.

Saskaņā ar rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojumu spēka moments attiecībā pret Z asi: . Tādējādi slēgtā sistēmā un līdz ar to visu slēgtajā sistēmā iekļauto ķermeņu kopējais leņķiskais impulss attiecībā pret Z asi ir nemainīgs lielums. Tas pauž leņķiskā impulsa saglabāšanas likums . Šis likums darbojas tikai inerciālās atskaites sistēmās.

Izdarīsim analoģiju starp translācijas un rotācijas kustības īpašībām.