Viss par logaritmiskajām nevienādībām. Piemēru analīze

Starp visu logaritmisko nevienādību dažādību atsevišķi tiek pētītas nevienādības ar mainīgu bāzi. Tos risina, izmantojot īpašu formulu, kuru nez kāpēc reti māca skolā:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Izvēles rūtiņas “∨” vietā varat ievietot jebkuru nevienlīdzības zīmi: vairāk vai mazāk. Galvenais, lai abās nevienādībās zīmes būtu vienādas.

Tādā veidā mēs atbrīvojamies no logaritmiem un samazinām problēmu līdz racionālai nevienlīdzībai. Pēdējo ir daudz vieglāk atrisināt, taču, atmetot logaritmus, var parādīties papildu saknes. Lai tās nogrieztu, pietiek ar to, lai atrastu pieņemamo vērtību diapazonu. Ja esat aizmirsis logaritma ODZ, ļoti iesaku to atkārtot - skatiet sadaļu “Kas ir logaritms”.

Viss, kas saistīts ar pieļaujamo vērtību diapazonu, ir jāizraksta un jāatrisina atsevišķi:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Šīs četras nevienlīdzības veido sistēmu, un tās ir jāizpilda vienlaikus. Kad ir atrasts pieņemamo vērtību diapazons, atliek tikai to krustot ar racionālās nevienlīdzības risinājumu - un atbilde ir gatava.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

Vispirms uzrakstīsim logaritma ODZ:

Pirmās divas nevienādības tiek izpildītas automātiski, bet pēdējā būs jāizraksta. Tā kā skaitļa kvadrāts ir nulle tad un tikai tad, ja pats skaitlis ir nulle, mums ir:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Izrādās, ka logaritma ODZ ir visi skaitļi, izņemot nulli: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Tagad mēs atrisinām galveno nevienlīdzību:

Mēs veicam pāreju no logaritmiskās nevienlīdzības uz racionālo. Sākotnējai nevienlīdzībai ir zīme “mazāks par”, kas nozīmē, ka iegūtajai nevienlīdzībai ir jābūt arī zīmei “mazāks par”. Mums ir:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 – x 2) x 2< 0;
(3–x) · (3 + x) · x 2< 0.

Šīs izteiksmes nulles ir: x = 3; x = –3; x = 0. Turklāt x = 0 ir otrās daudzkārtības sakne, kas nozīmē, ka, izejot tai cauri, funkcijas zīme nemainās. Mums ir:

Iegūstam x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Šis komplekts ir pilnībā ietverts logaritma ODZ, kas nozīmē, ka šī ir atbilde.

Logaritmisko nevienādību pārvēršana

Bieži vien sākotnējā nevienlīdzība atšķiras no iepriekšminētās. To var viegli labot, izmantojot standarta noteikumus darbam ar logaritmiem - skatiet sadaļu "Logaritmu pamatīpašības". Proti:

Jebkuru skaitli var attēlot kā logaritmu ar noteiktu bāzi;
Logaritmu ar vienādām bāzēm summu un starpību var aizstāt ar vienu logaritmu.

Atsevišķi vēlos atgādināt par pieņemamo vērtību diapazonu. Tā kā sākotnējā nevienādībā var būt vairāki logaritmi, ir jāatrod katra no tiem VA. Tādējādi vispārējā logaritmisko nevienādību risināšanas shēma ir šāda:

Atrodiet katra nevienādībā iekļautā logaritma VA;
Samaziniet nevienādību līdz standarta, izmantojot logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas formulas;
Atrisiniet iegūto nevienādību saskaņā ar iepriekš norādīto shēmu.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

Atradīsim pirmā logaritma definīcijas domēnu (DO):

Mēs risinām, izmantojot intervāla metodi. Skaitītāja nulles atrašana:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Tad - saucēja nulles:

x − 1 = 0;
x = 1.

Uz koordinātu bultiņas atzīmējam nulles un zīmes:

Iegūstam x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Otrajam logaritmam būs tāda pati VA. Ja netici, vari pārbaudīt. Tagad mēs pārveidojam otro logaritmu tā, lai bāze būtu divi:

Kā redzat, trīs logaritma bāzē un priekšā ir samazināti. Mēs saņēmām divus logaritmus ar tādu pašu bāzi. Saskaitīsim tos:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Mēs ieguvām standarta logaritmisko nevienādību. Mēs atbrīvojamies no logaritmiem, izmantojot formulu. Tā kā sākotnējā nevienlīdzība satur zīmi “mazāks par”, iegūtajai racionālajai izteiksmei arī jābūt mazākai par nulli. Mums ir:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Mums ir divi komplekti:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Atbildes kandidāts: x ∈ (−1; 3).

Atliek šķērsot šīs kopas - mēs saņemam īsto atbildi:

Mūs interesē kopu krustpunkts, tāpēc mēs izvēlamies intervālus, kas ir iekrāsoti uz abām bultiņām. Iegūstam x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - visi punkti ir caurdurti.

Starp visu logaritmisko nevienādību dažādību atsevišķi tiek pētītas nevienādības ar mainīgu bāzi. Tos risina, izmantojot īpašu formulu, ko nez kāpēc reti māca skolā. Prezentācijā tiek piedāvāti Vienotā valsts eksāmena - 2014 matemātikā C3 uzdevumu risinājumi.

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumus, izveidojiet Google kontu un piesakieties tajā: https://accounts.google.com

Slaidu paraksti:

Logaritmisko nevienādību risināšana, kas satur mainīgo logaritma bāzē: metodes, paņēmieni, ekvivalentas pārejas, matemātikas skolotājs, 143. vidusskola Knyazkina T.V.

Starp visu logaritmisko nevienādību dažādību atsevišķi tiek pētītas nevienādības ar mainīgu bāzi. Tos risina, izmantojot īpašu formulu, kuru nez kāpēc reti māca skolā: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Izvēles rūtiņas “∨” vietā var likt jebkuru nevienlīdzības zīmi: vairāk vai mazāk. Galvenais, lai abās nevienādībās zīmes būtu vienādas. Tādā veidā mēs atbrīvojamies no logaritmiem un samazinām problēmu līdz racionālai nevienlīdzībai. Pēdējo ir daudz vieglāk atrisināt, taču, atmetot logaritmus, var parādīties papildu saknes. Lai tās nogrieztu, pietiek ar to, lai atrastu pieņemamo vērtību diapazonu. Neaizmirstiet logaritma ODZ! Viss, kas saistīts ar pieļaujamo vērtību diapazonu, ir jāizraksta un jāatrisina atsevišķi: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Šīs četras nevienādības veido sistēmu, un tās jāizpilda vienlaikus. Kad ir atrasts pieņemamo vērtību diapazons, atliek tikai to krustot ar racionālās nevienlīdzības risinājumu - un atbilde ir gatava.

Atrisiniet nevienādību: Risinājums Vispirms izrakstīsim logaritma OD Pirmās divas nevienādības tiek izpildītas automātiski, bet pēdējā būs jāpieraksta. Tā kā skaitļa kvadrāts ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja pats skaitlis ir vienāds ar nulli, mums ir: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0. Izrādās, ka logaritma ODZ ir visi skaitļi, izņemot nulli: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Tagad mēs atrisinām galveno nevienlīdzību: veicam pāreju no logaritmiskās nevienādības uz racionālo. Sākotnējai nevienlīdzībai ir zīme “mazāks par”, kas nozīmē, ka iegūtajai nevienlīdzībai ir jābūt arī zīmei “mazāks par”.

Mums ir: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Logaritmisko nevienādību pārveidošana Bieži vien sākotnējā nevienādība atšķiras no iepriekš minētās. To var viegli labot, izmantojot standarta noteikumus darbam ar logaritmiem. Proti: Jebkurš skaitlis var tikt attēlots kā logaritms ar noteiktu bāzi; Logaritmu ar vienādām bāzēm summu un starpību var aizstāt ar vienu logaritmu. Atsevišķi vēlos atgādināt par pieņemamo vērtību diapazonu. Tā kā sākotnējā nevienādībā var būt vairāki logaritmi, ir jāatrod katra no tiem VA. Tādējādi vispārējā logaritmisko nevienādību risināšanas shēma ir šāda: Atrodiet katra nevienādībā iekļautā logaritma VA; Samaziniet nevienādību līdz standarta, izmantojot logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas formulas; Atrisiniet iegūto nevienādību saskaņā ar iepriekš norādīto shēmu.

Atrisiniet nevienādību: Risinājums Atradīsim pirmā logaritma definīcijas apgabalu (DO): Atrisiniet ar intervālu metodi. Atrodi skaitītāja nulles: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Tad - saucēja nulles: x − 1 = 0; x = 1. Atzīmējiet uz koordinātu līnijas nulles un zīmes:

Iegūstam x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Otrajam logaritmam būs tāda pati VA. Ja netici, vari pārbaudīt. Tagad pārveidosim otro logaritmu tā, lai pamatā būtu divi: Kā redzat, trīs logaritma pamatā un priekšā ir atcelti. Mēs saņēmām divus logaritmus ar tādu pašu bāzi. Saskaitiet tos: žurnāls 2 (x − 1) 2

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)

Mūs interesē kopu krustpunkts, tāpēc mēs izvēlamies intervālus, kas ir iekrāsoti uz abām bultiņām. Iegūstam: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - visi punkti ir caurdurti. Atbilde: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

USE-2014 uzdevumu risināšana C3

Atrisiniet nevienādību sistēmu Risinājums. ODZ:  1) 2)

Atrisiniet nevienādību sistēmu 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (turpinājums)

Atrisiniet nevienādību sistēmu 4) Vispārīgais risinājums: un -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (turpinājums)

Atrisiniet nevienādību (turpinājums) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Atrisiniet nevienlīdzības risinājumu. ODZ: 

Atrisiniet nevienlīdzību (turpinājums)

Atrisiniet nevienlīdzības risinājumu. ODZ:  -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2

Ar tiem ir iekšējie logaritmi.

Piemēri:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2$
$\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))$

Kā atrisināt logaritmiskās nevienādības:

Mums jācenšas samazināt jebkuru logaritmisko nevienādību līdz formai $\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))$ (simbols $˅$ nozīmē jebkuru no ). Šis veids ļauj atbrīvoties no logaritmiem un to bāzēm, veicot pāreju uz izteiksmju nevienlīdzību zem logaritmiem, tas ir, uz formu $f(x) ˅ g(x)$.

Bet, veicot šo pāreju, ir viens ļoti svarīgs smalkums:
$-$ ja ir skaitlis un tas ir lielāks par 1, nevienlīdzības zīme pārejas laikā paliek nemainīga,
$-$ ja bāze ir skaitlis, kas lielāks par 0, bet mazāks par 1 (atrodas starp nulli un vienu), tad nevienlīdzības zīmei jāmainās uz pretējo, t.i.

Piemēri:

$\log_2⁡((8-x))<1$
ODZ: $8-x>0$
$-x>-8$
$x<8$

Risinājums:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2\(x>6$
Atbilde: $(6;8)$

$\log$$_(0,5⁡)$ $(2x-4)$≥$\log$$_(0,5)$ ⁡$((x+ 1))$
ODZ: $\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)$
$\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)$ $\Leftrightrow$ $\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) $ $\bultiņa pa kreisi$ $x\in(2;\infty)$

Risinājums:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
Atbilde: $(2;5]$

Ļoti svarīgs! Jebkurā nevienādībā pāreju no formas $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ uz izteiksmju salīdzināšanu ar logaritmiem var veikt tikai tad, ja:

Piemērs . Atrisiniet nevienlīdzību: $\log$$≤-1$

Risinājums:

$\log$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	Izrakstīsim ODZ.
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	Atveram kronšteinus un atvedam .
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	Mēs reizinām nevienādību ar $-1$, neaizmirstot apgriezt salīdzinājuma zīmi.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	Konstruēsim skaitļa taisni un atzīmēsim uz tās punktus $\frac(7)(3)$ un $\frac(3)(2)$. Lūdzu, ņemiet vērā, ka punkts tiek noņemts no saucēja, neskatoties uz to, ka nevienlīdzība nav stingra. Fakts ir tāds, ka šis punkts nebūs risinājums, jo, aizvietojot ar nevienlīdzību, tas novedīs pie dalīšanas ar nulli.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	Tagad mēs uzzīmējam ODZ uz vienas un tās pašas skaitliskās ass un kā atbildi pierakstām intervālu, kas ietilpst ODZ.
	Mēs pierakstām galīgo atbildi.

Atbilde: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

Piemērs . Atrisiniet nevienādību: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Risinājums:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Izrakstīsim ODZ.
ODZ: $x>0$	Ķersimies pie risinājuma.
Risinājums: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Šeit mums ir tipiska kvadrātveida logaritmiskā nevienādība. Darīsim to.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Mēs izvēršam nevienlīdzības kreiso pusi uz .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Tagad mums ir jāatgriežas pie sākotnējā mainīgā - x. Lai to izdarītu, dodieties uz , kuram ir tāds pats risinājums, un veiciet apgriezto aizstāšanu.
$\left[ \begin(savācās) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Pārveidot $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$.
$\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Pāriesim pie argumentu salīdzināšanas. Logaritmu bāzes ir lielākas par $1$, tāpēc nevienādību zīme nemainās.
$\left[ \begin(savācies) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Apvienosim nevienādības risinājumu un ODZ vienā attēlā.
	Pierakstīsim atbildi.

Atbilde: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

Pēdējā nodarbībā aplūkojām vienkāršāko logaritmisko nevienādību un nevienādību risināšanu, kur logaritma bāze ir fiksēta.

Bet ko tad, ja logaritma pamatā ir mainīgais?

Tad tas mums nāks palīgā nevienlīdzību racionalizācija. Lai saprastu, kā tas darbojas, ņemsim vērā, piemēram, nevienlīdzību:

$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$

Kā gaidīts, sāksim ar ODZ.

ODZ

$$\left[ \begin(masīvs)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(masīvs)\right.$$

Risinājums nevienlīdzībai

Saprātosim tā, it kā mēs atrisinātu nevienlīdzību ar fiksētu bāzi. Ja bāze ir lielāka par vienu, mēs atbrīvojamies no logaritmiem, un nevienlīdzības zīme nemainās, ja tā ir mazāka par vienu, tā mainās.

Rakstīsim to kā sistēmu:

$$\left[ \begin(masīvs)(l) \left\( \begin(masīvs)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(masīvs)\right. \\ \left\ ( \begin(masīvs)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Tālākai argumentācijai pārvietosim visas nevienādību labās puses pa kreisi.

$$\left[ \begin(masīvs)(l) \left\( \begin(masīvs)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(masīvs)\right. \ \ \left\( \begin(masīvs)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Ko mēs saņēmām? Izrādās, ka izteicieniem "2x-1" un "x^2 - x" vienlaikus jābūt pozitīvam vai negatīvam. Tādu pašu rezultātu iegūsim, ja atrisināsim nevienlīdzību:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

Šī nevienlīdzība, tāpat kā sākotnējā sistēma, ir patiesa, ja abi faktori ir pozitīvi vai negatīvi. Izrādās, ka jūs varat pāriet no logaritmiskās nevienlīdzības uz racionālo (ņemot vērā ODZ).

Formulēsim logaritmisko nevienādību racionalizācijas metode$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \bultiņa pa kreisi (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ kur `\vee` ir jebkura nevienlīdzības zīme. (Zīmei `>` mēs tikko pārbaudījām formulas derīgumu. Par pārējo iesaku pārbaudīt pašam - labāk paliks atmiņā).

Atgriezīsimies pie savas nevienlīdzības risināšanas. Izvēršot to iekavās (lai funkcijas nulles būtu vieglāk saskatāmas), mēs iegūstam

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

Intervāla metode sniegs šādu attēlu:

(Tā kā nevienādība ir stingra un mūs neinteresē intervālu gali, tie netiek iekrāsoti.) Kā redzams, iegūtie intervāli apmierina ODZ. Mēs saņēmām atbildi: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`.

Otrais piemērs. Logaritmiskas nevienādības atrisināšana ar mainīgu bāzi

$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$

ODZ

$$\left\(\begin(masīvs)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1,\\ x > 0. \end(masīvs)\right.$$

$$\left\(\begin(masīvs)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0.\end(masīvs)\labais.$$

Risinājums nevienlīdzībai

Saskaņā ar likumu, ko tikko saņēmām logaritmisko nevienādību racionalizācija, mēs atklājam, ka šī nevienlīdzība ir identiska (ņemot vērā ODZ) ar sekojošo:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

Apvienojot šo risinājumu ar ODZ, mēs iegūstam atbildi: `(1,2)`.

Trešais piemērs. Daļas logaritms

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$

ODZ

$$\left\(\begin(masīvs)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(masīvs) \right.$ $

Tā kā sistēma ir salīdzinoši sarežģīta, nekavējoties uzzīmēsim nevienādību risinājumu uz skaitļu līnijas:

Tādējādi ODZ: "(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)".

Risinājums nevienlīdzībai

Atveidosim “-1” kā logaritmu ar bāzi “x”.

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$

Izmantojot logaritmiskās nevienādības racionalizācija mēs iegūstam racionālu nevienlīdzību:

$$(x-1)\left(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\right)\leqslant0.$$

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Izrakstīsim ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Atveram kronšteinus un atvedam .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Mēs reizinām nevienādību ar \(-1\), neaizmirstot apgriezt salīdzinājuma zīmi.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Konstruēsim skaitļa taisni un atzīmēsim uz tās punktus \(\frac(7)(3)\) un \(\frac(3)(2)\). Lūdzu, ņemiet vērā, ka punkts tiek noņemts no saucēja, neskatoties uz to, ka nevienlīdzība nav stingra. Fakts ir tāds, ka šis punkts nebūs risinājums, jo, aizvietojot ar nevienlīdzību, tas novedīs pie dalīšanas ar nulli.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Tagad mēs uzzīmējam ODZ uz vienas un tās pašas skaitliskās ass un kā atbildi pierakstām intervālu, kas ietilpst ODZ.
	Mēs pierakstām galīgo atbildi.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Izrakstīsim ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Ķersimies pie risinājuma.
Risinājums: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Šeit mums ir tipiska kvadrātveida logaritmiskā nevienādība. Darīsim to.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Mēs izvēršam nevienlīdzības kreiso pusi uz .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Tagad mums ir jāatgriežas pie sākotnējā mainīgā - x. Lai to izdarītu, dodieties uz , kuram ir tāds pats risinājums, un veiciet apgriezto aizstāšanu.
\(\left[ \begin(savācās) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Pārveidot \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Pāriesim pie argumentu salīdzināšanas. Logaritmu bāzes ir lielākas par \(1\), tāpēc nevienādību zīme nemainās.
\(\left[ \begin(savācies) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Apvienosim nevienādības risinājumu un ODZ vienā attēlā.
	Pierakstīsim atbildi.