Video nodarbība "Aplis. Konstrukcijas ar kompasu un lineālu

Aplis ir slēgta izliekta līnija, kuras katrs punkts atrodas vienādā attālumā no viena punkta O, ko sauc par centru.

Tiek sauktas taisnas līnijas, kas savieno jebkuru apļa punktu ar tā centru rādiusi R.

Tiek saukta taisne AB, kas savieno divus riņķa punktus un iet caur tā centru O diametrs D.

Apļu daļas sauc loki.

Tiek izsaukta līnija CD, kas savieno divus riņķa punktus akords.

Tiek izsaukta taisne MN, kurai ar apli ir tikai viens kopīgs punkts pieskare.

Tiek izsaukta apļa daļa, ko ierobežo akords CD un loks segmentu.

Apļa daļu, ko ierobežo divi rādiusi un loka, sauc nozarē.

Tiek sauktas divas savstarpēji perpendikulāras horizontālas un vertikālas līnijas, kas krustojas apļa centrā apļa asis.

Leņķi, ko veido divi KOA rādiusi, sauc centrālais stūris.

Divas savstarpēji perpendikulārs rādiuss izveido leņķi 90 0 un ierobežo 1/4 no apļa.

Mēs uzzīmējam apli ar horizontālām un vertikālām asīm, kas sadala to 4 vienādās daļās. Nozīmētas ar kompasu vai kvadrātu pie 45 0, divas savstarpēji perpendikulāras līnijas sadala apli 8 vienādās daļās.

Apļa sadalīšana 3 un 6 vienādās daļās (reizes ar 3 ar trīs)

Lai apli sadalītu 3, 6 un to daudzkārtnēs, mēs uzzīmējam dotā rādiusa apli un atbilstošās asis. Dalīšanu var sākt no horizontālās vai vertikālās ass krustošanās punkta ar apli. Norādītais apļa rādiuss tiek secīgi atlikts 6 reizes. Tad iegūtos punktus uz apļa secīgi savieno ar taisnām līnijām un veido regulāru ierakstītu sešstūri. Savienojot punktus caur vienu, iegūst vienādmalu trīsstūri un sadalot apli trīs vienādās daļās.

Regulāra piecstūra konstrukcija tiek veikta šādi. Novelkam divas savstarpēji perpendikulāras apļa asis, kas vienādas ar apļa diametru. Sadaliet horizontālā diametra labo pusi uz pusēm, izmantojot loku R1. No iegūtā punkta "a" šī segmenta vidū ar rādiusu R2 velkam apļa loku, līdz tas krustojas ar horizontālo diametru punktā "b". Rādiuss R3 no punkta "1" uzvelciet apļa loku līdz krustojumam ar doto apli (5. punkts) un iegūstiet regulāra piecstūra malu. Attālums "b-O" parāda regulāra desmitstūra malu.

Apļa sadalīšana N-tajā identisku daļu skaitā (regulāra daudzstūra izveidošana ar N malām)

To veic šādi. Mēs zīmējam apļa horizontālas un vertikālas savstarpēji perpendikulāras asis. No apļa augšējā punkta "1" mēs novelkam taisnu līniju patvaļīgā leņķī pret vertikālo asi. Uz tā noliekam vienādus patvaļīga garuma segmentus, kuru skaits ir vienāds ar daļu skaitu, kurās sadalām doto apli, piemēram, 9. Pēdējā segmenta galu savienojam ar vertikālā diametra apakšējo punktu. . No segmentu galiem līdz krustojumam ar vertikālo diametru novelkam paralēlas līnijas iegūtajai, tādējādi sadalot dotā apļa vertikālo diametru noteiktā daļā. Ar rādiusu, kas vienāds ar apļa diametru, no vertikālās ass apakšējā punkta velkam loku MN, līdz tas krustojas ar apļa horizontālās ass turpinājumu. No punktiem M un N velkam starus cauri vertikālā diametra pāra (vai nepāra) dalījuma punktiem, līdz tie krustojas ar apli. Iegūtie apļa segmenti būs vēlamie, jo punktu 1, 2, …. 9 sadaliet apli 9 (N) vienādās daļās.

Tiek izsaukts teikums, kas izskaidro konkrēta izteiciena vai vārda nozīmi definīcija. Mēs jau esam tikušies ar definīcijām, piemēram, ar leņķa definīciju, blakus leņķiem, vienādsānu trīsstūri utt. Sniegsim definīciju citai ģeometriskai figūrai - aplim.

Definīcija

Šo punktu sauc apļa centrs, un segments, kas savieno centru ar jebkuru apļa punktu, ir apļa rādiuss(77. att.). No apļa definīcijas izriet, ka visiem rādiusiem ir vienāds garums.

Rīsi. 77

Līnijas segmentu, kas savieno divus riņķa punktus, sauc par tā hordu. Akordu, kas iet caur apļa centru, sauc par akordu diametrs.

78. attēlā segmenti AB un EF ir apļa hordas, segments CD ir apļa diametrs. Acīmredzot apļa diametrs ir divreiz lielāks par tā rādiusu. Apļa centrs ir jebkura diametra viduspunkts.

Rīsi. 78

Jebkuri divi punkti uz riņķa sadala to divās daļās. Katru no šīm daļām sauc par apļa loku. 79. attēlā ALB un AMB ir loki, ko ierobežo punkti A un B.

Rīsi. 79

Lai zīmējumā attēlotu apli, izmantojiet kompass(80. att.).

Rīsi. 80

Lai uzzīmētu apli uz zemes, var izmantot virvi (81. att.).

Rīsi. 81

Plaknes daļu, ko ierobežo aplis, sauc par apli (82. att.).

Rīsi. 82

Konstrukcijas ar kompasu un lineālu

Mēs jau esam nodarbojušies ar ģeometriskām konstrukcijām: zīmējām taisnas līnijas, nolikām malā segmentus, kas vienādi ar dotajiem, zīmējām leņķus, trīsstūrus un citas figūras. Tajā pašā laikā mēs izmantojām mēroga lineālu, kompasu, transportieri, zīmēšanas kvadrātu.

Izrādās, ka daudzas konstrukcijas var veikt, izmantojot tikai kompasu un taisngriezi bez mēroga dalījumiem. Tāpēc ģeometrijā īpaši tiek izdalīti tie būvniecības uzdevumi, kas tiek risināti, izmantojot tikai šos divus rīkus.

Ko ar tiem var darīt? Ir skaidrs, ka lineāls ļauj novilkt patvaļīgu līniju, kā arī konstruēt taisni, kas iet caur diviem dotiem punktiem. Izmantojot kompasu, varat uzzīmēt apli ar patvaļīgu rādiusu, kā arī apli ar centru noteiktā punktā un rādiusu, kas vienāds ar noteiktu segmentu. Veicot šīs vienkāršās darbības, mēs varam atrisināt daudzas interesantas būvniecības problēmas:

izveidot leņķi, kas vienāds ar doto;
caur doto punktu novelk taisni, kas ir perpendikulāra dotajai taisnei;
sadaliet šo segmentu uz pusēm un veiciet citus uzdevumus.

Sāksim ar vienkāršu uzdevumu.

Uzdevums

Uz dotā stara no tā sākuma novietojiet malā segmentu, kas vienāds ar doto.

Lēmums

Attēlosim uzdevuma nosacījumā dotos skaitļus: staru OS un segmentu AB (83. att., a). Pēc tam ar kompasu konstruējam apli ar rādiusu AB ar centru O (83. att., b). Šis aplis krustos staru OS kādā punktā D. Nepieciešamais ir segments OD.

Rīsi. 83

Būvniecības uzdevumu piemēri

Leņķa konstruēšana, kas vienāda ar doto leņķi

Uzdevums

No dotā stara novietojiet leņķi, kas vienāds ar doto staru.

Lēmums

Šis leņķis ar virsotni A un staru OM parādīts 84. attēlā. Jākonstruē leņķis, kas vienāds ar leņķi A, lai viena no tā malām sakristu ar staru OM.

Rīsi. 84

Uzzīmēsim patvaļīga rādiusa apli, kura centrs atrodas dotā leņķa virsotnē A. Šis aplis krusto stūra malas punktos B un C (85. att., a). Tad uzzīmējam tāda paša rādiusa apli ar centru dotā stara OM sākumā. Tas šķērso staru punktā D (85. att., b). Pēc tam mēs izveidojam apli ar centru D, kura rādiuss ir vienāds ar BC. Apļi ar centriem O un D krustojas divos punktos. Apzīmēsim vienu no šiem punktiem ar burtu E. Pierādīsim, ka leņķis MOE ir nepieciešamais.

Rīsi. 85

Apsveriet trīsstūrus ABC un ODE. Nogriežņi AB un AC ir riņķa rādiusi ar centru A, bet segmenti OD un OE ir riņķa rādiusi ar centru O (sk. 85. att., b). Tā kā pēc konstrukcijas šiem apļiem ir vienādi rādiusi, tad AB = OD, AC = OE. Arī pēc konstrukcijas BC = DE.

Tāpēc Δ ABC = Δ ODE no trim pusēm. Tāpēc ∠DOE = ∠BAC, t.i., konstruētais leņķis MOE ir vienāds ar doto leņķi A.

Tādu pašu konstrukciju var veikt uz zemes, ja kompasa vietā izmantojam virvi.

Leņķa bisektrise konstruēšana

Uzdevums

Konstruējiet dotā leņķa bisektrisi.

Lēmums

Šis leņķis BAC parādīts 86. attēlā. Uzzīmēsim patvaļīga rādiusa apli ar centru virsotnē A. Tas krustos leņķa malas punktos B un C.

Rīsi. 86

Pēc tam uzzīmējam divus apļus ar tādu pašu rādiusu BC ar centriem punktos B un C (attēlā parādītas tikai šo apļu daļas). Tie krustojas divos punktos, no kuriem vismaz viens atrodas stūra iekšpusē. Mēs to apzīmējam ar burtu E. Pierādīsim, ka stars AE ir dotā leņķa BAC bisektrise.

Apsveriet trīsstūrus ACE un ABE. Tie ir vienādi no trim pusēm. Patiešām, AE ir kopējā puse; AC un AB ir vienādi ar viena apļa rādiusiem; CE = BE pēc konstrukcijas.

No trijstūra ACE un ABE vienādības izriet, ka ∠CAE = ∠BAE, t.i., stars AE ir dotā leņķa BAC bisektrise.

komentēt

Vai doto leņķi var sadalīt divos vienādos leņķos, izmantojot kompasu un taisngriezi? Ir skaidrs, ka tas ir iespējams - šim nolūkam ir jāuzzīmē šī leņķa bisektrise.

Šo leņķi var arī sadalīt četros vienādos leņķos. Lai to izdarītu, jums tas ir jāsadala uz pusēm un pēc tam atkal sadaliet katru pusi uz pusēm.

Vai ir iespējams sadalīt doto leņķi trīs vienādos leņķos, izmantojot kompasu un taisngriezi? Šis uzdevums, saukts leņķa trisekcijas problēmas, daudzus gadsimtus ir piesaistījis matemātiķu uzmanību. Tikai 19. gadsimtā tika pierādīts, ka šāda konstrukcija nav iespējama patvaļīgam leņķim.

Perpendikulāru līniju konstrukcija

Uzdevums

Dota līnija un punkts uz tās. Izveidojiet taisni, kas iet caur noteiktu punktu un ir perpendikulāra noteiktai taisnei.

Lēmums

Dotā taisne a un dotais šai taisnei piederošais punkts M parādīts 87. attēlā.

Rīsi. 87

Uz taisnās līnijas a stariem, kas izplūst no punkta M, mēs noliekam vienādus segmentus MA un MB. Pēc tam izveidojam divus apļus ar centriem A un B ar rādiusu AB. Tie krustojas divos punktos: P un Q.

Novelkam līniju caur punktu M un vienu no šiem punktiem, piemēram, taisni MP (skat. 87. att.), un pierādīsim, ka šī taisne ir vēlamā, tas ir, ka tā ir perpendikulāra dotajai taisnei a. .

Patiešām, tā kā vienādsānu trijstūra PAB mediāna PM ir arī augstums virs jūras līmeņa, tad PM ⊥ a.

Segmenta vidusdaļas izbūve

Uzdevums

Izveidojiet šī segmenta viduspunktu.

Lēmums

Dotais segments ir AB. Konstruējam divus apļus ar centriem A un B ar rādiusu AB. Tie krustojas punktos P un Q. Novelciet taisni PQ. Šīs taisnes krustpunkts ar nogriezni AB ir vēlamais nogriežņa AB viduspunkts.

Patiešām, trijstūri APQ un BPQ ir vienādi trīs malās, tātad ∠1 = ∠2 (89. att.).

Rīsi. 89

Līdz ar to segments RO ir vienādsānu trijstūra ARV bisektrise un līdz ar to mediāna, tas ir, punkts O ir segmenta AB viduspunkts.

Uzdevumi

143. Kuri no 90. attēlā redzamajiem posmiem ir: a) riņķa hordas; b) apļa diametri; c) riņķa rādiusi?

Rīsi. 90

144. Segmenti AB un CD ir apļa diametri. Pierādīt, ka: a) akordi BD un AC ir vienādi; b) akordi AD un BC ir vienādi; c) ∠BAD = ∠BCD.

145. Segments MK ir apļa diametrs ar centru O, un MR un RK ir šī riņķa vienādas hordas. Atrodiet ∠POM.

146. Nogriežņi AB un CD ir apļa diametri ar centru O. Atrodi trijstūra AOD perimetru, ja zināms, ka CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Punkti A un B ir atzīmēti uz riņķa līnijas ar centru O tā, lai leņķis AOB būtu taisns. Segments BC ir apļa diametrs. Pierādīt, ka akordi AB un AC ir vienādi.

148. Uz taisnes ir doti divi punkti A un B. Sijas BA turpinājumā nogriež nogriezni BC tā, lai BC \u003d 2AB.

149. Dota taisne a, uz tās neguļošs punkts B un nogrieznis PQ. Izveidojiet punktu M uz taisnes a tā, lai BM = PQ. Vai problēmai vienmēr ir risinājums?

150. Dots aplis, uz tā neguļošs punkts A un nogrieznis PQ. Izveidojiet punktu M uz apļa tā, lai AM = PQ. Vai problēmai vienmēr ir risinājums?

151. Dots akūts leņķis BAC un stars XY. Konstruējiet leņķi YXZ tā, lai ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Ir dots strupais leņķis AOB. Konstruējiet staru OX tā, lai leņķi XOA un XOB būtu vienādi strupi leņķi.

153. Dota taisne a un punkts M, kas neatrodas uz tās. Izveidojiet taisni, kas iet caur punktu M un ir perpendikulāra taisnei a.

Lēmums

Konstruēsim apli ar centru dotajā punktā M, krustojot doto taisni a divos punktos, kurus apzīmējam ar burtiem A un B (91. att.). Pēc tam konstruējam divus apļus ar centriem A un B, kas iet caur punktu M. Šie apļi krustojas punktā M un vēl vienā punktā, ko apzīmējam ar burtu N. Nozīmēsim līniju MN un pierādīsim, ka šī taisne ir vēlamā. viens, t.i., tas ir perpendikulārs taisnei a.

Rīsi. 91

Patiešām, trijstūriem AMN un BMN ir vienādas trīs malas, tāpēc ∠1 = ∠2. No tā izriet, ka segments MC (C ir taisnes a un MN krustošanās punkts) ir vienādsānu trīsstūra AMB bisektrise un līdz ar to arī augstums. Tādējādi MN ⊥ AB, t.i., MN ⊥ a.

154. Trijstūris ABC ir dots. Konstruēt: a) bisektrise AK; b) VM mediāna; c) trijstūra augstums CH. 155. Izmantojot kompasu un lineālu, izveidojiet leņķi, kas vienāds ar: a) 45°; b) 22°30".

Atbildes uz uzdevumiem

152. Instrukcija. Vispirms konstruējiet leņķa AOB bisektrisi.

§ 1 Aplis. Pamatjēdzieni

Matemātikā ir teikumi, kas izskaidro konkrēta vārda vai izteiciena nozīmi. Šādus teikumus sauc par definīcijām.

Definēsim apļa jēdzienu. Aplis ir ģeometriska figūra, kas sastāv no visiem plaknes punktiem, kas atrodas noteiktā attālumā no konkrētā punkta.

Šo punktu, sauksim to par punktu O, sauc par apļa centru.

Nozaru, kas savieno centru ar jebkuru apļa punktu, sauc par apļa rādiusu. Šādu segmentu ir daudz, piemēram, OA, OB, OS. Viņiem visiem būs vienāds garums.

Līnijas segmentu, kas savieno divus riņķa punktus, sauc par hordu. MN ir apļa horda.

Akordu, kas iet caur apļa centru, sauc par diametru. AB ir apļa diametrs. Diametrs sastāv no diviem rādiusiem, kas nozīmē, ka diametra garums ir divreiz lielāks par rādiusu. Apļa centrs ir jebkura diametra viduspunkts.

Jebkuri divi apļa punkti sadala to divās daļās. Šīs daļas sauc par apļa lokiem.

ANB un AMB ir apļveida loki.

Plaknes daļu, kuru ierobežo aplis, sauc par apli.

Kompass tiek izmantots, lai zīmējumā attēlotu apli. Apli var uzzīmēt arī uz zemes. Lai to izdarītu, vienkārši izmantojiet virvi. Pievienojiet vienu virves galu zemē iedurtai tapai un aprakstiet apli ar otru galu.

§ 2 Konstrukcijas ar kompasu un lineālu

Ģeometrijā daudzas konstrukcijas var veikt, izmantojot tikai kompasu un lineālu bez mēroga dalījumiem.

Izmantojot tikai lineālu, jūs varat uzzīmēt patvaļīgu līniju, kā arī patvaļīgu līniju, kas iet caur noteiktu punktu, vai līniju, kas iet caur diviem noteiktiem punktiem.

Kompass ļauj uzzīmēt apli ar patvaļīgu rādiusu, arī apli ar centru noteiktā punktā un rādiusu, kas vienāds ar noteiktu segmentu.

Atsevišķi katrs no šiem instrumentiem ļauj izgatavot visvienkāršākās konstrukcijas, bet ar šo divu rīku palīdzību var veikt jau sarežģītākas darbības, piemēram,

atrisināt tādas ēkas problēmas kā

Izveidojiet leņķi, kas vienāds ar doto leņķi,

Izveidojiet trīsstūri ar noteiktām malām,

Sadaliet segmentu uz pusēm

Caur doto punktu novelciet līniju, kas ir perpendikulāra dotajai līnijai utt.

Apskatīsim problēmu.

Uzdevums: uz dotā stara no tā sākuma nolikt malā segmentu, kas vienāds ar doto.

Dota stara OS un segments AB. Nepieciešams izveidot segmentu OD, kas vienāds ar segmentu AB.

Ar kompasa palīdzību konstruējam apli, kura rādiuss ir vienāds ar nogriežņa AB garumu un kura centrs ir punktā O. Šis aplis krustos doto staru OS kādā punktā D. Nogrieznis OD ir vēlamais segments.

Izmantotās literatūras saraksts:

1. Ģeometrija. 7.-9.klase: mācību grāmata. vispārējai izglītībai organizācijas / L.S. Atanasjans, V.F. Butuzovs, S.B. Kadomcevs un citi - M .: Izglītība, 2013. - 383 lpp.: ill.
2. Gavrilova N.F. Pourochnye attīstība ģeometrijā 7. klase. - M.: "WAKO", 2004. - 288s. - (Lai palīdzētu skolas skolotājai).
3. Belitskaya O.V. Ģeometrija. 7. klase. 1. daļa. Pārbaudes. - Saratova: Licejs, 2014. - 64 lpp.

Koka detaļu ražošanā vai apstrādē dažos gadījumos ir jānosaka, kur atrodas to ģeometriskais centrs. Ja daļai ir kvadrātveida vai taisnstūrveida forma, tad to nav grūti izdarīt. Pietiek savienot pretējos stūrus ar diagonālēm, kas tajā pašā laikā krustojas precīzi mūsu figūras centrā.
Produktiem, kuriem ir apļa forma, šis risinājums nederēs, jo tiem nav stūru un līdz ar to diagonāļu. Šajā gadījumā ir nepieciešama cita pieeja, kuras pamatā ir citi principi.

Un tie pastāv, un daudzās variācijās. Dažas no tām ir diezgan sarežģītas un prasa vairākus rīkus, citas ir viegli īstenojamas, un to ieviešanai nav nepieciešams viss ierīču komplekts.
Tagad mēs apskatīsim vienu no vienkāršākajiem veidiem, kā atrast apļa centru tikai ar parastu lineālu un zīmuli.

Apļa centra atrašanas secība: